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Kharla Mérida

Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado

Las Ecuaciones de 2do grado son otro tipo de representación de situaciones,

eventos o fenómenos observados por el hombre, de tal manera que una cantidad representada con una letra, quede expresada en forma cuadrática, e igualada a cero. Este tipo de ecuaciones son vitales para el cálculo de valores de diversos fenómenos, en distinta áreas del conocimiento. Aprendamos cómo resolverlas.

1

El tiempo es amigo y cómplice cuando desarrollamos la capacidad de hacer que cada vivencia sea materia prima de la evolución.

10.2 Ecuaciones de 2do Grado

Descripción

10 10ma Unidad

Ecuaciones

https://t.me/kharlamerida


Kharla Mérida


2

Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido

Videos Disponibles

Operaciones y Simplificación en los Números Reales.

Ecuaciones de 2do Grado. Definición y Casos, Resolvente y Deducción, Resolver

Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicios, Enunciados que Resultan en Ecuaciones de 2do

Grado. Problemas.

ECUACIONES. De 2do Grado. Definición y Casos

ECUACIONES. De 2do Grado. Caso 2



ECUACIONES. De 2do Grado. Resolvente. Deducción

ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 1








https://guao.org/docentes/tercer_ano/matematica/ecuaciones_de_2do_grado_introduccion_y_ejercicios-ecuaciones_de_segundo_grado
















https://guao.org/docentes/tercer_ano/matematica/ecuaciones_de_2do_grado_introduccion_y_ejercicios-ecuaciones_de_segundo_grado_caso_2










































https://guao.org/docentes/tercer_ano/matematica/ecuaciones_de_2do_grado_introduccion_y_ejercicios-ecuacion_de_segundo_grado_y_factorizacion















https://guao.org/docentes/tercer_ano/matematica/ecuaciones_de_2do_grado_introduccion_y_ejercicios-ecuacion_de_segundo_grado_ejercicio_1































































































































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ECUACIONES. De 2do Grado. Definición y Casos

De 2do Grado. Es una ecuación cuya expresión es cuadrática. 2ax +bx + c = 0

Hay 4 casos fundamentales en las ecuaciones de 2do Grado.

Caso 1. Si b = c = 0

Caso 2. Si c = 0

Caso 3. Si b = 0

Caso 4. Si a 0, b 0 y c 0

La ecuación queda de la forma 2ax = 0

2x = 0

x = 0

la ecuación queda de la forma

3

Guiones Didácticos

2ax +bx = 0

la ecuación queda de la forma

pasamos a dividiendo al cero

Despejando x

observamos que ambos términos tienen el factor x.

sacamos x factor común y queda x(ax b)

Nota: para que el producto de dos cantidades de cero, es

necesario que al menos una de las dos cantidades sea

cero.

x ax +b = 0

x = 0 ax +b = 0

Despejando x x = 0b

x = -a

Una vez aquí existen dos posibilidades de solución: • Que x2 sea igual a un número positivo, lo que nos

da dos soluciones en los reales. • Que x2 sea igual a un número negativo. Lo cual no

tiene solución en los reales.

2ax + c = 0

Despejando x 2 c

x = -a

c-a

positivo

c-a

negativo

Esta es la forma completa de la ecuación de 2do grado. Para hallar el valor de x en este caso se aplica la fórmula de la ecuación de segundo grado, llamada también Resolvente.

2ax +bx + c = 02-b ± b 4ac

x =2a




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ECUACIONES. De 2do Grado. Casos 2

Hallar las soluciones de las ecuaciones de 2do grado dadas

Resolvamos la ecuación 2x2 – 12x = 0

4

Caso 2. Si c = 0 , ax2 + bx = 0

Basándonos en la ecuación de 2do grado general podemos ver que falta el término independiente, por lo que c vale cero que corresponde al caso 2.

22x 12x = 0 25x 15x = 0 27x 21x = 0

2ax +bx + c = 0

2ax +bx = 0

0

Descomponemos cada término en factores más simples.

Sacamos 2x como factor común

2x.x – 6.2x

2x(x – 6) = 0

Igualamos a cero cada factor de la expresión factorizada 2x = 0 x – 6 = 0

x = 6 x = 0

Resolvamos la ecuación 5x2 + 15x = 0



5x.x + 3.5x

5x(x + 3) = 0

Igualamos a cero cada factor de la expresión factorizada 5x = 0 x + 3 = 0

x = -3 x = 0 Despejamos

Despejamos

Resolvamos la ecuación –7x2 – 21x = 0



–7x.x – 37x = 0

–7x(x + 3) = 0

Igualamos a cero cada factor de la expresión factorizada –7x = 0 x + 3 = 0

x = -3 x = 0 Despejamos




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Hallar las soluciones de las ecuaciones de 2do grado dadas

El 1 que está restando pasa sumando al cero

5

Caso 3. Si b = 0 , ax2 + c = 0

Basándonos en la ecuación de 2do grado general, podemos ver que falta el término de grado 1, por lo que b vale cero y se corresponde con el caso 3.

4x2 – 1 = 0 3x2 + 12 = 0 –2x2 + 6 = 0

2ax +bx + c = 0

2ax + c = 0

0

Resolvamos la ecuación 4x2 – 1 = 0

x = - ½ , x = ½

4x2 = 1

El 4 que está multiplicando a x2 pasa dividiendo al 1. 2 1x =

4

Dos números satisfacen esta ecuación

Nota: Para despejar x de una ecuación de la forma x2 = a, se aplica raíz cuadrada del otro lado de la igualdad, considerando dos posibles valores una negativa y una

positiva. Recordemos que toda potencia con exponente es par resulta positiva, para cualquier signo de la base.

x2 = a 2(- a) = a

( )2a = ax = a

Resolvamos la ecuación 3x2 + 12 = 0

El 12 que está sumando pasa restando al cero 3x2 = – 12

El 4 que está multiplicando a x2 pasa dividiendo al 1. 2 12x = -

3

Dos números satisfacen esta ecuación 2x = -4

¿Qué números reales elevados al cuadrado resultan -4 ?

Sabemos que toda potencia con exponente par resulta positiva, así que no hay

valor real que elevado al cuadrado de negativo. Esta ecuación no tiene solución.




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6

El 6 que está sumando pasa restando al cero

Resolvamos la ecuación –2x2 + 6 = 0

–2x2 = – 6

El 4 que está multiplicando a x2 pasa dividiendo al 1. 2 -6x =

-2

Dos números satisfacen esta ecuación

2x = 3

x = - 3 x = 3


Esta fórmula es infalible o concluyente para obtener las raíces de una expresión cuadrática, en caso de que las tenga, o saber que no tiene.

Discriminante, Es el binomio que está como cantidad subradical en la Resolvente. Se simboliza con la letra griega delta mayúscula, .

= b2 – 4ac

Dos Soluciones

Una Solución

Sin Solución

Para que la ecuación tenga dos soluciones, el

discriminante debe ser mayor que cero.

Caso 4. Si a 0, b 0 y c 0 , ax2 + bx + c = 0

Resolvente, fórmula para resolver ecuaciones de 2do grado.

2ax +bx + c = 02-b ± b 4ac

x =2a

Nota: el valor del Discriminante indica el tipo de solución que tiene una ecuación de

2do grado.

2b 4ac > 0

2b 4ac = 0

2b 4ac < 0

Para que la ecuación tenga una solución, el

discriminante debe ser igual a cero.

Para que la ecuación no tenga solución, el

discriminante debe ser menor que cero.

Determinar si la ecuación 3x2 – 10x + 7 = 0 tiene solución y cuáles.

Ejemplo

Tenemos que a = 3, b = -10 y c = 7

sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula 2=(-10) 4 3 7

=100 84 =16Efectuamos las operaciones

=16

Como = 16 0 (positivo) la ecuación tiene dos soluciones.

2= b 4ac




Kharla Mérida


Aplicamos la fórmula sustituyendo los valores de a, b y c.

7

2-b ± b 4acx =

2a

2-(-10)± (-10) 4 3 7x =

2 3

10 ± 100 84 10 ± 16x

6 6Efectuando las operaciones

7x =

3x =1

ECUACIONES. De 2do Grado. Resolvente. Deducción

Para deducir la resolvente, partimos de la ecuación de 2do grado y utilizamos un recurso visto en matemática de 2do año, factorizar completando trinomio cuadrado perfecto.

2-b ± b 4acx =

2a

2ax +bx + c = 0

Necesitamos que haya al menos un término cuadrado perfecto.

Dividimos toda la ecuación entre a

Simplificamos las a

Observamos que el término cuadrado perfecto es x2

2a b c 0x + x + =

a a a a

2 b cx + x + = 0

a a

Dividimos el coeficiente de x entre 2 y elevamos el

cociente al cuadrado. Este valor es el segundo cuadrado

perfecto del trinomio.

bba

2 2a

2 2

2

b b

2a 4a

Sumamos y restamos el valor obtenido al trinomio

cuadrado

Ordenamos la expresión: primero los tres términos del

trinomio cuadrado perfecto (TCP), luego los dos términos

restantes.

2 2

2

2 2

b c b bx + x + + = 0

a a 4a 4a

2 2

2

2 2

b b c bx + x + + = 0

a 4a a 4a

cuadrado perfecto

TCP

Factorizamos el TPC, colocamos las raíces de los términos

cuadrados entre paréntesis, separamos con el signo del

doble producto y elevamos al cuadrado. Los otros dos

términos los pasamos al otro lado efectuando la operación

contraria.

2 2

2

b c bx + =

2a a 4a

Efectuamos la suma del 2do lado de la igualdad

2 2

2

b b 4acx + =

2a 4a




Kharla Mérida


Para eliminar el cuadrado de la potencia del 1er lado

de la igualdad aplicamos raíz cuadrada del otro lado,

recordando colocar el doble signo de las dos posibles

soluciones.

8

Distribuimos la raíz para numerador y denominador y

simplificamos la raíz de 4a2.

2 2

2

b b 4acx + =

2a 4a

2

2

b b 4acx + =

2a 4a

2

2

b b 4acx + =

2a 4a

2b b 4acx =

2a 2aPasamos b/2a, que está sumando, al otro lado

restando.

Efectuamos la suma de fracciones con igual

denominador.

2b b 4acx =

2a


Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado –x2 + 3x + 7 = 0 y resolverla

¿Qué valores tienen a, b y c?

• a, que es el coeficiente de x2, es -1 • b, que es el coeficiente de x, es 3 • c, que es el término independiente, es 7

Esta ecuación tiene todos los términos corresponde al 4to caso. El

discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y cuántas.

a = -1 b = 3 c = 7

2x + 3x +7 = 0

sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante

El discriminante dio 37, un valor positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

2= 3 4 (-1) 7

2= b 4ac

= 9 28 = 37

sustituimos a, b y c en la resolvente. 2-3 3 4 (-1) 7

x =2(-1)

-3 37x =

-2

Efectuamos las operaciones

-3 37x =

-2

-3 37x =

-2Separamos las soluciones

3 37x =

2

3 37x =

2

Si multiplicamos numerador y denominador por -1

no se altera la fracción con esto logramos que el

denominador quede positivo.




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Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 4x2 + 12x + 9 = 0 y

resolverla

9


• a, que es el coeficiente de x2, es 4 • b, que es el coeficiente de x, es 12 • c, que es el término independiente, es 9

Esta ecuación tiene todos los términos corresponde al 4to caso. El discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y cuántas.

a = 4 b =12 c = 9

2= b 4ac


El discriminante dio 0, la ecuación tiene una solución.

2=12 4 4 9

=144 144 = 0

sustituimos a, b y c en la resolvente.

2-12 12 4 4 9x =

2 4

Efectuamos las operaciones -12 144 144

x =8

-12 0 12x = -

8 8

3x = -

2Simplificamos


Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 3x2 + 8x = 0 y resolverla



A esta ecuación le falta el término independiente, corresponde al 2do caso. El discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y

cuántas.

a = 3 b = 8 c = 0

2= b 4ac


El discriminante dio 0, la ecuación tiene una solución.

2= 8 4 3 0

= 64 0 = 64

sustituimos a, b y c en la resolvente.

2-12 12 4 4 9x =

2 4





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El caso dos tiene dos soluciones, una de ellas es cero, sin embargo hallaremos el valor del discriminante para verificar la correspondencia entre su valor y la cantidad de soluciones.

Aplicamos factorización por factor común

F.C. = x

10



A esta ecuación le falta el término independiente, corresponde al 2do caso. El discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y cuántas.

a = 3 b = 8 c = 0

2= b 4ac


El discriminante dio 0, la ecuación tiene dos soluciones.

2= 8 4 3 0

= 64 0 = 64

Sólo x está en ambos términos del binomio entonces x es el factor común.

¿cuál es el factor común en la expresión cuadrática?.

Colocamos x seguida de paréntesis .

3x2 + 8x = 0

x( ) = 0

x(3x + 8) = 0 Dividimos cada término de la expresión cuadrática

entre el factor común, x, y colocamos los cocientes

en el paréntesis.

3x2

x = 3x 8x

x = 8

Igualamos a cero cada factor x = 0 3x + 8 = 0

Recordemos. Para que el producto de dos factores sea igual a cero, ab = 0, es necesario que a = 0 o que b = 0.

Despejamos x de la segunda igualdad x = 0 8

x = -3


Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado -9 + 4x2 = 0 y resolverla


• a, que es el coeficiente de x2, es 4 • b, que es el coeficiente de x, es 0 • c, que es el término independiente, es -9

a = 4 b = 0 c = -9

A esta ecuación le falta el término de grado 1, corresponde al 3er caso. Hallaremos igual el discriminante para verificar la correspondencia entre su valor y el tipo de solución.

2= b 4ac




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11


El discriminante dio 144, positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

2= 0 4 4 (-9)

= 0 144 =144

despejamos x de la ecuación.

Pasamos 9 sumando

3x = -

2

Aplicamos raíz cuadrada al segundo lado de la

igualdad, considerando los dos signos

3x =

2

-9 + 4x2 = 0

4x2 = 9

2 9x =

4Pasamos 4 dividiendo

9

x =4


Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 2x2 + 6 = 0 y resolverla


• a, coeficiente de x2, es 2 • b, coeficiente de x, es 0

• c, término independiente, es 6

A esta ecuación le falta el término de grado 1, corresponde al 3er caso. Hallemos el valor del discriminante para verificar que tipo de solución tiene la ecuación.

a = 2 b = 0 c = 6

2= b 4ac

sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 2= 0 4 2 6

= 0 48 = -48

El discriminante dio -48, negativo, por lo que la ecuación no tiene solución. Sin embargo despejaremos x para que visualices lo que sucede cuando la ecuación no tiene solución.

Pasamos 6, que está sumando, restando al otro lado

2x2 + 6 = 0

2x2 = -6

Pasamos 2 dividiendo al otro lado 2 6

x = -2

2x = -3Llegamos a la igualdad de una potencia de exponente par con un número

negativo. Sabemos que toda potencia con exponente par es positiva, por

lo que esta igualdad no se cumple para ningún valor real. La ecuación no

tiene solución.




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Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado x2 + x + 6 = 0 y resolverla

La raíz de un número negativo no existe en los números reales, es decir, no existe en los reales un número que elevado al cuadrado de -23, de modo que esta ecuación no tiene solución.

12


• a, coeficiente de x2, es 1 • b, coeficiente de x, es 1 • c, término independiente, es 6

Esta ecuación tiene todos los términos, corresponde al 4to caso. Hallemos el valor del discriminante para verificar que tipo de solución tiene la ecuación.

a =1 b =1 c = 6

2= b 4ac

sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 2=1 4 1 6

=1 24 = -23

El discriminante dio -23, negativo, por lo que la ecuación no tiene solución. Aplicaremos la resolvente para que visualices lo que sucede cuando la ecuación no

tiene solución.

sustituimos a, b y c en la fórmula de la resolvente

2-1 1 4 1 6x =

2 1

La cantidad subradical es el discriminante, que vale

-23

-1 -23x =

2


Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 2x2 + 7x + 9 = 0 y resolverla.


• a, coeficiente de x2, es 2 • b, coeficiente de x, es 7 • c, término independiente, es 9

Esta ecuación tiene todos los términos, corresponde al 4to caso. Hallemos el valor del discriminante para verificar que tipo de solución tiene la ecuación.

a = 2 b = 7 c = 9

2= b 4ac

sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 2= 7 4 2 9

= 49 72 = -23

El discriminante dio -23, negativo, por lo que la ecuación no tiene solución. Aplicaremos la resolvente para que visualices lo que sucede cuando la ecuación no tiene solución.





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Veamos cómo queda la resolvente al sustituir los valores.

13

La raíz de un número negativo no existe en los números reales, es decir, no existe en los reales un número que elevado al cuadrado de -23, de modo que esta ecuación no tiene solución.

sustituimos a, b y c en la fórmula de la resolvente

2-7 7 4 2 9x =

2 2

La cantidad subradical es el discriminante, que vale

-23

-7 -23x =

4

Ahora veremos un caso especial de ecuaciones de 2do grado, las Ecuaciones con valor absoluto. Es recomendable revisar los objetivos 4.1 Números Negativos, Valor Absoluto, El Opuesto, Representación de Números Enteros en la Recta y 7.4 Inecuaciones. Con Valor Absoluto para estar al día en el significado y definición matemática de Valor Absoluto.

ECUACIONES. Con Valor Absoluto. Ejercicio 4

Resolver la ecuación dada 2x + 4x = 5

Recordemos. que para que el valor absoluto sea igual a 15 es necesario que su argumento sea igual a -15 o a 15.

Estas dos posibilidades nos llevarán a dos soluciones para la ecuación planteada.

En la primera ecuación:

Pasamos 5 sumando al primer lado de la

igualdad.

Que el Argumento sea Negativo Que el Argumento sea Positivo 2x + 4x = -5 2x + 4x = 5

x2 + 4x + 5 = 0

Lo primero que haremos es aplicar la definición de valor absoluto.

x2 + 4x = -5

Los valores de a, b y c para esta ecuación son: a = 1,

b = 4 , c = 5. Aplicamos la resolvente.

2-4 4 4 1 5x =

2 1

El discriminante es un valor negativo, la raíz de un

número negativo no existe en los reales. La ecuación

no tiene solución.

-4 16 20x =

2

= -5 0

En la segunda ecuación:

Pasamos 5 restando al primer lado de la

igualdad. x2 + 4x – 5 = 0

x2 + 4x = 5


b = 4 , c = -5. Aplicamos la resolvente.

(2-4 4 4 1 -5)x =

2 1



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14

El discriminante es un valor positivo, procedemos a

calcular el valor de la resolvente. -4 16 20

x =2

= 36 0

-4 36 -4 6x =

2 2Efectuamos las operaciones, y separamos las

soluciones para simplificar fracciones.

-4 6x =

2

-4 6x =

2

x =1 x = -5

ECUACIONES. Con Valor Absoluto. Ejercicio 6

Resolver la ecuación dada


La ecuación tiene como solución 2x + 4x = 5

25x x = 9x

Como no sabemos si 5x – x2 es positivo o negativo, consideramos las dos posibilidades.

5x – x2 = 9x

Cada una de estas posibilidades dan dos soluciones para la ecuación planteada.

Que el Argumento sea Negativo Que el Argumento sea Positivo

5x – x2 = -9x

En la primera ecuación:

Reunimos todos los términos en el 1er lado de la

igualdad. 5x – x2 – 9x = 0


b = 4 , c = 0. Hallamos el discriminante. 2= 4 4 1 0

5x – x2 = 9x

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1,

para que el coeficiente de x2 quede positivo.

x2 + 4x = 0

=16

Simplificamos términos semejantes y ordenamos los

términos. Corresponde al caso 2.

– 5x + x2 + 9x = 0

El discriminante dio 16, positivo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones. Aplicamos factorización por factor común.

F.C. = x Sólo x está en ambos términos del binomio entonces x es el factor común.



x2 + 4x = 0

x( ) = 0

x(x + 4) = 0 Dividimos cada término de la expresión cuadrática


en el paréntesis.

x2

x = x 4x

x = 4



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Despejando x de la segunda igualdad

15

Igualamos a cero cada factor x = 0 x + 4 = 0

x = 0 x = -4

En la segunda ecuación:

Reunimos todos los términos en el 1er lado de la

igualdad. 5x – x2 + 9x = 0


b = -14 , c = 0. Hallamos el discriminante. 2=(-14) 4 1 0

5x – x2 = -9x

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1,

para que el coeficiente de x2 quede positivo.

x2 – 14x = 0

=196

Simplificamos términos semejantes y ordenamos los

términos. Corresponde al caso 2.

– 5x + x2 – 9x = 0

El discriminante dio 196, positivo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones. Aplicamos factorización por factor común.

F.C. = x

Sólo x está en ambos términos del binomio entonces x es el factor común.



x2 – 14x = 0

x( ) = 0

x(x – 14) = 0 Dividimos cada término de la expresión cuadrática


en el paréntesis.

x2

x = x 14x

x = 14

Despejando x de la segunda igualdad

Igualamos a cero cada factor x = 0 x – 14 = 0

x = 0 x = 14

Nota: el cero es solución común a ambas ecuaciones. Entonces la ecuación con valor absoluto tiene realmente tres soluciones.

x = 0 x = 14 x = -4

ECUACIONES. Con Valor Absoluto. Ejercicio 7 y 8

Resolver la ecuación |x2 – 3|= 6.


Como no sabemos si x2 – 3 es positivo o negativo, consideramos las dos posibilidades.

x2 – 3 = -6



x2 – 3 = 6



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Ambas son ecuaciones cuadráticas correspondientes al caso 3, en el que b = 0.

16

Pasaremos el 3, que está restando, al otro lado de la ecuación sumando.

En ambas ecuaciones, operamos la suma de algebraica del segundo lado de la igualdad.

x2 = -6 + 3 x2 = 6 + 3

x2 = -3 x2 = 9

Esta igualdad no se cumple para ningún

número real. Toda potencia con

exponente par es positiva, por lo tanto

diferente de un número negativo.

x2 = -3

En este punto atenderemos cada ecuación de forma independiente

x = -3 x = 3

En la segunda igualdad aplicamos raíz

cuadrada en el segundo lado de la

igualdad considerando los dos signos.

x = 9

La ecuación con valor absoluto tiene dos soluciones. x = -3 x = 3

Resolver la ecuación |x2 – 9|= 7.


Como no sabemos si x2 – 9 es positivo o negativo, consideramos las dos posibilidades.

x2 – 9 = -7



x2 – 9 = 7

Ambas son ecuaciones cuadráticas correspondientes al caso 3, en el que b = 0.

Pasaremos el 9, que está restando, al otro lado de la ecuación sumando.

En ambas ecuaciones, operamos la suma de algebraica del segundo lado de la igualdad.

x2 = -7 + 9 x2 = 7 + 9

x2 = 2 x2 = 16

Aplicamos raíz cuadrada en el segundo lado de la igualdad considerando los dos signos.

x = 16

La ecuación planteada tiene cuatro soluciones.

x = 2 x = 4x = 2 x = 4x = 2

x = 2 x = 2 x = 4 x = 4



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De 2do Grado. Es una ecuación cuya expresión es cuadrática.

Emparejando el Lenguaje

2ax +bx + c = 0

Discriminante, Es el binomio que está como cantidad subradical en la Resolvente. Se simboliza con la letra griega delta mayúscula, .

= b2 – 4ac

17



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18

A Practicar

Resolver las siguientes ecuaciones de 2do grado

1. 2x2 + 1 = 0 2. -x2 + 3x + 7 = 0 3. x2 + 2x + 3 = 0 4. 12x2 – 8x = 0 5. 14x – x2 = 0

6. 16 – 9x2 = 0 7. 3x2 + 4x – 8 = 0 8. 4x2 + 4x – 3 = 0 9. – x2 – 6 = 0 10. – 7x2 – 21x = 0



Kharla Mérida


19

¿Lo Hicimos Bien?

1. No tiene solución en los reales

2.


4.

5.

6.

7.

8.


10. x = 0 , x = -3

3 37x =

2

3 37x =

2

,3 1

x = - x =2 2

2x = 0 , x =

3

x = 0 , x =14

,4 4

x = - x =3 3

,

-2 2 7 -2 2 7x = x =

3 3


Presentación de PowerPoint. Ecuaciones De 2do... · Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do...

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