La Integral de Feynman

Coloquio del Departamento de Matemática – FCE – UNLP

4 de junio de 2014

Dr. Gerardo Rossini

Matemática y Física

Coloquio

Integral de Feynman (1948)

Formulación alternativa de la mecánica cuántica:

Distribución de “probabilidades” sobre historias clásicas

Mecánica Cuántica de una partícula (1920-1930)

Formalismo de operadores lineales, autoadjuntos, en espacios de Hilbert

(Dirac, 1930 - von Neumann, 1932)

Vectores Estados de la partícula

Operadores autoadjuntos Cantidades medibles

Espectro Autovalores: posibles resultados de una medidaAutovectores: estados con valor predecible

Desarrollo en autovectores

Probabilidad de obtener al medir

(además, estos objetos evolucionan en el tiempo t)

Rescatemos que la mecánica cuántica es probabilística

Rescatemos que una realización posible de espacios de Hilbertes un espacio de funciones

Que al depender del tiempo serán

Y que para partículas libres los autovectores más usuales son ondas

El problema de autovalores es del tipo Sturm-Liouville

Función de onda:

Los operadores lineales son entonces operadores diferenciales

“mecánica ondulatoria” - muestra fenómenos de superposición e interferencia

Interferencia constructiva

Interferencia destuctiva

Superposición de ondas

Mecánica clásica de una partícula

Formalismo de Newton: ecuaciones diferenciales de 2do orden

Condiciones iniciales

Solución única,

teoría determinista

Mecánica clásica de una partícula – formalismo variacional

Se asocia a cada historia x(t) una funcional S[x(t)] : Acción clásica

La funcional acción se construye

L se llama función lagrangiana, por ejemplo

Historia solución: la evolución de Mínima Acción.

Cálculo variacional, ecuaciones de Euler-Lagrange:

Mecánica cuántica de una partícula – formalismo de Feynman

Todas las historias posibles ocurren simultáneamente, y no son excluyentes

Cada una tiene un “peso”, en una cierta distribución

La “probabilidad” de encontrar a la partícula en xb en el momento tb

se construye superponiendo la “probabilidad” de cada historia posible

b

Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica

Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica

tapando larendija 2

tapando larendija 1

Probabilidades clásicas (Laplace) vs. interferencia cuántica

Feynman propuso mantener las leyes de probabilidades, pero cambiar la forma de calcularlas

interferenciacuántica

Amplitud de probabilidad

Adición de amplitudes de probabilidad de eventos simultáneos:

interferenciacuántica

Probabilidad

Múltiples alternativas: historias

ba

tales que

Amplitud de probabilidad, por adición:

Postulado: la amplitud de probabilidad asociada a cada historia está relacionada con la acción clásica

(sugerido por Dirac, hacia 1930)

● Todas las historias aportan la misma probabilidad

● Lo que queda es una suma de fases interferencia

Comentario: interferencia, escalas y límite clásico

Amplitud de probabilidad de transición a b

● ¿sobre qué conjunto de funciones se suma?

● ¿con qué medida?

Integral de Riemann Integral de Feynman Path integralIntegral de caminosIntegral de trayectoriasIntegral Funcional

No es una definición rigurosa, sólo un método

Teoría de medida Medida heurística

Matemática y heurística

...

Relación con integrales estocásticas y la medida de Wiener

Rotación de Wick

oscilante gaussiana

integración estocásticamedida de Wiener

Cálculo de Ito, Stratonovich, etc

Aditividad respecto de puntos intermedios

Propagación y función de onda – Relación con la ecuación de Schrödinger

Es solución de la ecuación de Schrödinger

Integrales funcionales gaussianas – Desarrollos en funciones ortogonales Determinantes de operadores

Sea

Sean

autoadjunto

Conjunto completo de autofunciones ortonormales

Y la historia continúa ...