Estocasticidad de un atractor caótico determinista ...

Estocasticidad de un atractor caótico determinista

implementado en FPGA

L. De Micco, O. G. Zabaleta, C. M. González , C. M. Arizmendi y H. A. Larrondo

Lab. de Componentes Electrónicos y Lab. de Mecánica Estadística Facultad de Ingeniería, UNMDP, Argentina.

I B E R C H I P XVI Workshop 23 a 25 de febrero 2010

Delineamiento

Introducción

Implementación

Resultados Conclusiones Agradecimientos

• Simulación con Simulink/Matlab • Simulación con el software de desarrollo Quartus II • Implementación física en la placa Cyclone III EP3C120 (Altera)

• Generación de ruido mediante sistemas caóticos • Discretización de sistemas caóticos continuos • Cuantificación de estocasticidad


Generación de ruido mediante sistemas caóticos

Método de multiplexación por CDMA. Mejora de la compatibilidad electromagnética en

circuitos electrónicos. Muestreo aleatorio. Encriptamiento.

Aplicaciones de ruidos en electrónica:



• Secuencias de ruido Sistemas estocásticos.

Sistemas caóticos.

Las secuencias caóticas son más simples de implementar que las estocásticas.


Características de los sistemas caóticos:

Sist. continuos 3D Caos.

Sist. discretos 1D Caos.

• Modelos deterministas simples y conocidos.

• Alineales.

• Evolución temporal de sus variables tiene la apariencia de una señal estocástica.

• Gran sensibilidad a las condiciones iniciales.

• Sist. continuos o discretos (mapas).



Sist. continuos 3D Caos.

Sist. discretos 1D Caos.

• Modelos deterministas simples y conocidos.

• Alineales.

• Evolución temporal de sus variables tiene la apariencia de una señal estocástica.

• Gran sensibilidad a las condiciones iniciales.

• Sist. continuos o discretos (mapas).

¿Cómo son afectadas las propiedades estocásticas de los sist. Continuos cuando son discretizados?

Características de los sistemas caóticos:




Los sistemas caóticos poseen dos características contrapuestas:

• Son sistemas deterministas Por tener un modelo matemático que los describe.

• Son sistemas estocásticos Debido la sensibilidad a las condiciones iniciales que presentan, la predictibilidad a largo plazo se pierde. Para los cuales el análisis se realiza por la vía estadística.


Los sistemas caóticos poseen dos características contrapuestas:

• Son sistemas deterministas Por tener un modelo matemático que los describe.

• Son sistemas estocásticos Debido la sensibilidad a las condiciones iniciales que presentan, la predictibilidad a largo plazo se pierde. Para los cuales el análisis se realiza por la vía estadística.

Si fuera posible implementarlos con precisión infinita los sistemas caóticos serían deterministas en sentido estricto.

Esta dualidad determinista-estocástico de los sistemas caóticos los hace especialmente interesantes para la

ingeniería, dado que las señales que generan se pueden utilizar como ruidos controlados en diversas

aplicaciones.



En este trabajo se investiga el efecto de la discretización sobre la estocasticidad del sistema

caótico.

El sistema estudiado es el oscilador de Lorenz implementado en una Field Programmable Gate Array

(FPGA).

La determinación del grado de estocasticidad tiene por objeto proporcionar una metodología de diseño

optimizada para el uso que se pretenda dar al sistema caótico.



Delineamiento

Introducción

Implementación





Discretización de sistemas caóticos continuos

Si, por ejemplo, el sistema caótico va a ser utilizado en aplicaciones que requieran predictibilidad a largo plazo la discretización debe llevar a un sistema determinístico y con fuerte correlación (no lineal) entre los valores sucesivos de las series temporales.

Por otro lado, si el sistema caótico va a reemplazar a un sistema estocástico se deberá diseñar de modo que sea lo menos predictivo



En una implementación real tanto el tiempo como los propios valores de las señales son discretos.

• La discretización del tiempo: Algoritmo reemplaza las ecuaciones diferenciales teóricas que modelan el sistema.

Algoritmos: 1) Euler de primer orden: es el más simple, las derivadas son directamente

reemplazadas por incrementos finitos. 2) Runge-Kutta de orden 4 o mayor, algoritmos de paso variable: permiten un

sistema discreto más cercano al sistema continuo , son más elaborados, utilizan más recursos.


En una implementación real tanto el tiempo como los propios valores de las señales son discretos.

• La discretización del tiempo: Algoritmo reemplaza las ecuaciones diferenciales teóricas que modelan el sistema.

Algoritmos: 1) Euler de primer orden: es el más simple, las derivadas son directamente

reemplazadas por incrementos finitos. 2) Runge-Kutta de orden 4 o mayor, algoritmos de paso variable: permiten un

sistema discreto más cercano al sistema continuo , son más elaborados, utilizan más recursos.

• La discretización en amplitud: equivale a definir un alfabeto finito y convertir la serie original en una serie simbólica (que en nuestro caso es también una serie numérica).

Así por ejemplo la representación en aritmética entera con n bits tiene un alfabeto de 2n símbolos y una representación punto flotante tiene un alfabeto que depende del estándar adoptado.

Aritmética: 1) Entera, 16 bits, 32 bits, etc. 2) Punto flotante: Standard IEEE 754 precisión simple, precisión doble, etc.



El sistema dinámico de Lorenz está definido por las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

Donde , y son los parámetros constructivos del sistema.

Con:

el sistema presenta comportamiento caótico



Discretización temporal

Aplicando el algoritmo de Euler al Sistema de Lorenz:

Algoritmos más elaborados como el de Runge-Kutta de orden 4 o mayor, los algoritmos de paso variable, o los de varios pasos permiten un sistema discreto más cercano al sistema continuo pero a un mayor costo en recursos.

Entre los algoritmos usuales el más simple es el método de Euler de primer orden en el que las derivadas son directamente reemplazadas por incrementos finitos.

Donde es el paso


Discretización en amplitud - Aritmética entera

El sistema resulta:

, en este caso son las ctes de polarización

El hardware puede reducirse significativamente si se adopta una aritmética entera y se utilizan divisores potencia de 2. Para esto se polarizan las variables aleatorias para emplear números naturales:

usando

y la función floor()


Las operaciones aritméticas con números en punto flotante: • insumen más tiempo y • requieren un hardware más complejo.

Por otra parte, se consigue: • alto margen dinámico y • mayor precisión.

Actualmente existen FPGAs, capaces de trabajar en punto flotante a frecuencias muy altas, lo que disminuye considerablemente las desventajas de trabajar con punto flotante.

31 30 23 22 0

23 bits de mantisa 8 bits de exponente bit de signo

En el estándar IEEE 754 de 32 bits:

Discretización en amplitud – Punto flotante

(-2 * signo + 1) * 1,mantisa * 2 exponente


Delineamiento

Introducción

Implementación





Cuantificación de estocasticidad - Cuantificadores

• Hay infinitas posibilidades para asignar una PDF a una dada secuencia de datos. 1) PDF basada en el histograma (hist):

• Solo cuenta el número de veces en que aparece cada elemento de la serie.

• No tiene en cuenta el orden temporal de los mismos.


• Hay infinitas posibilidades para asignar una PDF a una dada secuencia de datos. 1) PDF basada en el histograma (hist).

2) PDF de Bandt y Pompe (BP).



Caracterizan una dada PDF.

Entropía de Shannon (H)

Complejidad Estadística (C)

“Orden erfecto”

QLMPR P. W. Lamberti, M. T. Martín, A. Plastino y O. A.Rosso, Physica A 334, 119 (2004).

Divergencia de Jensen-Shannon:

“Máxima aleatoriedad”

Histograma ó Band y Pompe



Se generaron las series X, Y y Z de más de 150000 valores de forma de cubrir siempre la misma zona del atractor. Con en el rango [0,003; 0,0045].

Para cada serie se calculó el valor de H y C y se los representó en el plano entropía-complejidad (H-C)

Cuantificación de estocasticidad - Representación plano H-C


La región accesible, que para el caso d = 6 está limitada por las curvas puntedas en azul, puede dividirse en dos subregiones indicadas como determinista (de baja entropía) y estocástica (de alta entropía) respectivamente.



= 0,003; 0,004 y 0,0045

El incremento de produce un incremento de H y C pero el sistema se mantiene dentro de la región determinista. Si se intenta superar el valor = 0,0045 el sistema deja de ser caótico y alcanza un estado final con H = 0 y C = 0.



Skipping de 2, 3, 5, 7, 9, 11, 20 y 23 Puede verse que, mediante esta técnica, se obtienen secuencias cuyo punto representativo en el plano C - H se encuentra en la región estocástica.

= 0,0045

Skipping: Saltear valores de la serie



Skipping de 2, 3, 5, 7, 9, 11, 20 y 23 Puede verse que, mediante esta técnica, se obtienen secuencias cuyo punto representativo en el plano C - H se encuentra en la región estocástica.

= 0,0045

Entran en zona estocástica



Aritmética entera

Con aritmética entera usando 16 bits se obtiene un punto en la zona determinista.



Randomizando con bit más significativo

Con aritmética entera usando 16 bits se obtiene un punto en la zona determinista. Para acercarse a la zona estocástica se utilizan técnicas de randomización sobre la serie, técnica del bit más significativo y menos significativo.




Randomizando con bit menos significativo

Con aritmética entera usando 16 bits se obtiene un punto en la zona determinista. Para acercarse a la zona estocástica se utilizan técnicas de randomización sobre la serie, técnica del bit más significativo y menos significativo. La técnica del bit menos significativo permite un salto a la región estocástica En este ultimo caso el punto representativo corresponde a un PRNG.


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Introducción

Implementación





Simulación con Simulink/Matlab - Herramientas utilizadas

DSPBuilder

Entorno Simulink MATLAB

• Altera DSP Builder Blockset

• IP MegaCores

• Herramientas Matlab

• Simulación sin retardos

• Funcionamiento

Quartus II ALTERA

• Altera DSP Builder Blockset

• IP Mega Cores

• Bloques VHDL

• Simulación con retardos

Bloques VHDL

Proyectos

Trabajamos con el software Quartus que provee la empresa ALTERA. También trabajamos en el entorno simulink de matlab gracias al programa DSPBuilder que permite llevar bloques y proyectos de un entorno a otro.


Simulación con Simulink/Matlab - Esquema simplificado de Sist. de Lorenz


Simulación con Simulink/Matlab - Simulink

Ejemplo de la implementación en Simulink de una de las ramas del Sistema de Lorenz (Rama x)



Rama X del sistema que consta de un sumador, un restador y un multiplicador en punto flotante (bloques de la librería de Altera).

Restador en punto flotante




Multiplicador en punto flotante




Sumador en punto flotante



El bloque Registro es un latch que retarda un ciclo la salida del sistema. Fue programado en VHDL e importado al Simulink.


Simulación con Simulink/Matlab -Simulink

A la entrada del latch fue necesario insertar un bloque z-1 para evitar un problema propio de Simulink que surge cuando se trabaja con lazos realimentados. Este retardo no afecta al diseño.



La salida del registro es tomada por el subsistema Floating Point (FP) que se encarga de separar los bits de signo, exponente y mantisa, y realizar la operación:



El mismo procedimiento se aplica a las tres ramas. El oscilosopio virtual permite visualizar los datos, que almacenados quedan disponibles para ser procesados y graficados en Matlab, para una verificación preliminar del del diseño.


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Introducción

Implementación





Simulación con el software de desarrollo Quartus II

La implementación se realizó con el software de desarrollo de la placa Cyclone III EP3C120 de Altera, es especial para el desarrollo de sistemas que involucran el procesamiento de señales, ya que cuenta con una interesante cantidad de memoria y multiplicadores.

El diseño se realizó en Quartus II ; si bien Matlab permite exportar el proyecto, y programar el dispositivo desde el propio Simulink presenta ciertas limitaciones, tales como la imposibilidad de simulación con retardos reales.


Rama x



Diagrama temporal de simulación en entorno Quartus II 7.2


Las señales x, y, z corresponden a las salidas de los registros. Los datos están expresados como unsigned integer y corresponden a números en punto flotante.


Delineamiento

Introducción

Implementación





Resultados

Salida Signal Tap II

Signal Tap: Mientras que el diseño corre en la FPGA, esta herramienta permite almacenar las señales deseadas en la memoria del dispositivo. Luego, la placa envía los datos a la PC para ser analizados.


Resultados

Datos tomados con Signal Tap y graficados en Matlab

Series temporales obtenidas con la placa para t = 0,0045.


Resultados

Datos tomados con Signal Tap y graficados en Matlab

Atractor obtenido con la placa para t = 0,0045.


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Introducción

Implementación





Conclusiones

1. Si el sistema caótico va a ser utilizado en aplicaciones que requieran predictibilidad a largo plazo el diseño debe ser tal que el punto representativo se encuentre en la región determinista del plano C-H, que corresponde a sistemas con una fuerte correlación (no lineal) entre los valores sucesivos de las series temporales.

2. Si el sistema caótico va a reemplazar a un sistema estocástico el punto representativo debe encontrarse en la zona estocástica. En particular para el caso de un PRNG, debe encontrarse lo más cerca posible del punto H=1, C=0.


Conclusiones

3. Las secuencias generadas utilizando aritmética de punto flotante, si bien reproducen más exactamente y con mayor precisión el atractor de Lorenz, no tienen acceso a la zona estocástica. Para lograr acceder a esta zona se utilizó la técnica de skipping.

4. Otra alternativa para acceder a la región estocástica es utilizar una implementación en aritmética entera que tiene la ventaja de utilizar recursos significativamente menores y además permite un salto a la región estocástica mediante la sencilla técnica de randomización de uso del bit menos significativo.


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Introducción

Implementación





Este trabajo ha sido parcialmente financiado por CONICET (PIP2004),

ANPCyT (PICT 04) y UNMDP

AGRADECIMIENTOS


e-mail: [email protected]

¡Gracias!

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