Modelar y Simular Un Ejemplo de Un Sistema Caótico

7/23/2019 Modelar y Simular Un Ejemplo de Un Sistema Caótico

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3. Modelar y simular un ejemplo de un sistema caótico, y explicar donde segenera el caotismo del sistema.

Para los sistemas lineales estables, pequeñas diferencias en las condicionesiniciales pueden solo causar pequeñas diferencias en las salidas. Los sistemasno lineales, sin embargo pueden mostrar un fenómeno llamado caos, medianteel cual signica que la salida del sistema es extremadamente sensible a lascondiciones iniciales. La caracterstica esencial del caos es la impredecibilidadde la salida del sistema. !ncluso si tenemos un modelo exacto del sistema nolineal y una computadora extremadamente precisa, la respuesta del sistema alargo pla"o aun no puede ser predecida.

#l caos se debe distinguir del mo$imiento aleatorio. #n el mo$imiento aleatorio,el modelo del sistema o entrada contiene incertidumbre y como un resultado,

la $ariación del tiempo de la salida no puede ser predecida exactamente. #lmo$imiento caótico, o de otra manera, el problema in$olucrado esdeterminstico, y %ay una pequeña incertidumbre de la entrada o condicionesiniciales en la salida del sistema.

&%ora, consideremos el siguiente sistema caótico.

K 1( d2

x

d t 2 )+k 2∗( dxdt )+k 3 ( x5 )=k 4∗sin (wt )

'onde

K 1=1 ;

k 2=0.2 ;

k 3=0.8 y 0.2

k 4=5 ; w=1

#l sistema representa una estructura mec(nica con una fuer"a exteriorarmónica, f=A*sin (wt), con un sistema ligeramente amortiguado )*+-.+, es elcoeciente de dxdt/.



#n la ecuación del sistema, est( presente una no linealidad fuerte, el cual es

x5

, y se $a a $ericar su in0uencia en la respuesta del sistema $ariando

ligeramente su coeciente *3, de -.1 a -.+.

2e tiene el diagrama de bloques del sistema con condiciones iniciales.

Sistema 1. X (0)=4; x’ (0)=2;

Sistema 2 x (0)=4.001 x’ (0)=2.001;

Parámetros de las condiciones iniciales del sistema.



#l diagrama de bloques del sistema es el siguiente.

Diagrama de bloques del sistema mostrado

Las respuestas de los dos sistemas son

Respuestas de los sistemas anteriores, ntese que en t=!" apro#imadamente,la no linealidad comien$a a in%uenciar fuertemente.



&%ora, un segundo caso, cuando *3-.+, la no linealidad presente disminuyesu in0uencia en la respuesta del sistema, y se mantiene las mismascondiciones iniciales.

Diagramade bloquesdel sistema,conk 3=0.2 para x5



Respuesta de los sistemas (ba&o las mismas condiciones iniciales, ' con n=.+ los sistemas no presentan caos).

#ntonces, se puede concluir, que el sistema caótico del ejemplo, la no

linealidad x5

es el factor determinante que generaba el comportamiento

caótico del sistema, cuando este es reducido, a pesar de que las condicionesiniciales, sean estrictamente diferentes, las respuestas de los sistemas siguensiendo iguales.

4. a partir del análisis de lyapunov, apl!uelo a 2 sistemas no lineales."ise#e un $ontrolador no lineal a partir del análisis de esta%ilidad delyapunov. &odele y simule el sistema $ontrolado en &atla%.

a. 4onsiderar el primer sistema no lineal.

´ X 1=− x12+sin ( x 2 ) x2

+u

´ X 2= x 15−3∗ x23+ x1∗ x2

Y =2∗ x1

#l anterior sistema de segundo orden, no lineal. Para aplicar la estabilidad delyapuno$, se deben cumplir dos condiciones. #legir una función de lyapuno$,tal que para todo $alor de x la función de lyapuno$ es positi$a, y la segundacondición, para todo $alor de x la din(mica de la función de lyapuno$ debe sernegati$a.

2ea f ( x )= x 12+ x 22

, la función de lyapuno$.

#s positi$a para todo $alor de x.

EsV ( X )=f ( X )= x12+ x 22>0∀ x

&%ora para la segunda condición.

V́ ( x )<0



V́ ( x )=2∗ x1∗ ´ x1+2∗ x2∗ ´ x2<0

2∗ x 1∗

[− x12+

sin ( x2 )

x 2

+u

]+2∗ x 2∗[ x 15−3 x2

3+ x1∗ x2 ]<0

2∗ x 1∗[− x12+

sin ( x2 ) x 2

+u]<−2∗ x 2∗[ x15−3 x23+ x1∗ x2 ]

[− x1

2

+sin ( x2 ) x 2 +u]<

−2∗ x2∗[ x15−3 x 23+ x 1∗ x 2 ]

2∗ x 1

u=− x2∗[ x 15−3 x2

3+ x 1∗ x2 ] x1

+ x12−sin ( x2 ) x2

− x 1

2e agrega el x5 para garanti"ar que sea 6)x/ 7-

La ecuación anterior representa el control para el sistema no lineal. &%ora paracomprobar la segunda condición.

2∗ x 1∗ − x12+sin ( x2 ) x 2

+u +2∗ x 2∗[ x 15−3 x23+ x1∗ x2 ]<0

2e reempla"a el $alor de u

V́ ( x )=2∗ x1∗[− x12+sin ( x 2 ) x2

+− x2∗[ x 15−3 x2

3+ x 1∗ x2 ] x1

+ x12−sin ( x2 ) x 2

− x 1]+2∗ x 2∗[ x 15−3 x2



V́ ( x )=2∗ x1∗[− x 2∗[ x 15−3 x23+ x1∗ x2 ]

x1− x1]+2∗ x 2∗[ x15−3 x 2

3+ x1∗ x 2 ]<0

V́ ( X )=−2∗ x 2∗[ x 15

−3 x23

+ x1∗ x2 ]−2 x 12

+2∗ x2∗[ x15

−3 x 23

+ x 1∗ x 2 ]<0

V́ ( x )=−2 x12<0

Diagrama de bloques del sistema con un controlador con l'apuno.



#s un ejemplo pedagógico, ya que no se considera el uso del obser$ador nolineal.

b. 2egundo sistema no lineal.

#l siguiente sistema no lineal.

´ x+sin2( x) – cos ( x )+sin (u)+√ x

Y =1

2∗ x

2e elige la función de lyapuno$.

V ( X )=si n2( x)

La cual es positi$a para todo $alor de 8.

&%ora la segunda condición.

V ( x)=2∗sin ( x)∗cos( x )∗´ x

x

−sin2 ( x )+cos ( x )−sin (u )−√ ¿

¿V ( x )=2∗sin ( x )∗cos ( x )¿

(−sin2 ( x )+cos ( x )−sin (u)−√ x )<0

(−sin2 ( x )+cos ( x )−√ x )<sin (u)

−sin2 ( x )+cos ( x )−√ x+

x2

cos ( x )∗sin ( x )¿¿

sin−1¿



Llamaremos al t9rmino

!= x

2

cos ( x )∗sin ( x )

&%ora reempla"ando la señal de control en la ecuación.

V́ ( x )=2∗sin ( x )∗cos ( x )[−sin2 ( x )+cos ( x )−sin (u )−√ x]<0

V́ ( x )=2∗sin ( x )∗cos ( x )[−sin2 ( x )+cos ( x )−sin (sin−1 (−sin ( x )2+cos ( x )+cos ( x )−√ x− ! ) )−√ x ]<0

V́ ( x )=2∗sin ( x )∗cos ( x )[−sin2 ( x )+cos ( x )−[−sin ( x )2+cos ( x )−√ x+ ! ]−√ x ]<0

x

V́ ( x )=2∗sin ( x )∗cos ( x )[−sin2 ( x )+cos ( x )+sin ( x )2−cos ( x )+√ x− ! ]−√ ¿¿<0

x

V́ ( x )=2∗sin ( x )∗cos ( x )[−sin2 ( x )+cos ( x )+sin ( x )2−cos ( x )+√ x− ! ]−√ ¿¿<0

V́ ( x )=−2∗sin ( x )∗cos ( x )∗ !

4omo

!= x

2

cos ( x )∗sin ( x )

V́ ( x )=−2∗sin ( x )∗cos ( x )∗ x2

cos ( x )∗sin ( x)

V́ ( x )=−2 x2



La cual es una función negati$a para todo 8.

Diagrama de bloques del sistema +, con el controlador no lineal por l'apuno

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