Movimiento ondulatorio PPP.pdf

Vibraciones y Ondas

Movimiento Ondulatorio

Ondas mecánicas: Necesitan de un medio material para transmitirse: sonido.

Ondas electromagnéticas: No necesitan de medio material para su propagación: luz.

► Movimiento ondulatorio

► Clasificación de las ondas

► Propagaciónde ondas

► Ecuación de una onda

► Ondas armónicas

► Principio de Huygens

► Propiedades

► Interferencia

Una onda representa el movimiento de propagación de una perturbación de un punto a otro sin que exista transporte neto de materia.En una onda se propaga energía.

Propagación de una onda en el agua

En una onda se representa cómo varía la magnitud perturbada en función del espacio y el tiempo.

► Ondas estacionarias

► Animaciones y videos

Según el número de dimensionesen que se propaga

Unidimensionales: Se propagan en un única dirección: ondas en una cuerdaBidimensionales: Se propagan en dos

direcciones: ondas en el aguaTridimensionales: Se propagan en todas las

direcciones: sonido y luz.

Según la dirección de oscilación y la de propagación de la onda

Longitudinales: Si coincide la dirección de oscilación de la propiedad perturbada y la de propagación de la onda.

Transversales: Si la dirección de oscilación de la propiedad perturbada es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Onda Longitudinal Onda Transversal







► Propiedades

► Interferencia



Para que una onda mecánica se propague por un medio debe tener: elasticidad e inercia.

En general, la velocidad de propagación de una onda en un medio se puede expresar como: inercialpropiedad

elásticapropiedadv =

En el caso de ondas propagándose en una cuerda de tensión T y densidad lineal de masa μ: μ

=Tv

En la figura se representa el movimiento de un pulso transmitiéndose por una cuerda.Cada punto de la cuerda alcanza una altura

“y” diferente.Esta altura “y” depende de la distancia “x” a la

que está el punto considerado y del tiempo “t”transcurrido, ya que el pulso avanza en la dirección de la cuerda.

La ecuación que representa la propagación de una onda es una función de la coordenada de la dirección de avance y del tiempo y se le llama Función de Onda.

)t,x(fy =







► Propiedades

► Interferencia



En la figura se representa el movimiento de una onda que se mueve hacia la derecha visto desde dos sistemas de referencia distintos: uno fijo, O, y otro que se mueve solidario con el pulso, O’.Para el observador O los valores de “y”

son función de “x” y de “t”, es decir, y=f(x,t).Para el observador O’, los valores de “ y’ ”

sólo son función de “ x’ “ ya que para él la onda permanece estática, es decir, y’ =f(x’).

⇒=⋅−=== 'yy;tvx'x;)'x(f'y;)t,x(fy )tvx(fy ⋅−=

Si la onda se desplazase hacia la izquierda su ecuación sería: )tvx(fy ⋅+=

Ecuación Generalde la Onda

)tvx(fy ⋅±=







► Propiedades

► Interferencia



Onda armónica en una cuerda producida por un oscilador armónico

La perturbación que se propaga en forma de onda armónica es producida por un oscilador armónico.

)tvx(ksenA)t,x(y ⋅±=

)tvx(kcosA)t,x(y ⋅±=

Parámetros de una onda armónica

λ Longitud de onda: Distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en idéntico estado de perturbación.

T Período: Tiempo que tarda un punto cualquiera en repetir un determinadoestado de perturbación.

f Frecuencia: Número de veces que un determinado punto repite cierto estado de perturbación por unidad de tiempo.

vVelocidad de propagación: Desplazamiento efectuado por la onda en la unidad de tiempo. Esta velocidad no es la misma que la de oscilación de un punto del medio.

k Número de onda: Número de longitudes de onda que hay en una distancia 2π, es decir, k = 2π/λ.







► Propiedades

► Interferencia



Una onda que se mueva hacia la derecha se expresa como:

fvT

v ⋅λ=⇒λ

=vT2k2k π

=⇒λπ

=v

kT2 ω

=⇒π

=ω

)tvx(ksenA)t,x(y ⋅−=

Aunque, al ser armónica, también se puede expresar como una función coseno, en función del estado inicial de la perturbación, es decir:

)tvx(kcosA)t,x(y ⋅−=

Teniendo en cuenta que k·v = ω, la ecuación se puede expresar de la forma:

)txk(senA)t,x(y ω−= )txk(senA)t,x(y ω+=

Si se mueve hacia la derecha Si se mueve hacia la izquierda







► Propiedades

► Interferencia



Una onda se propaga en forma de frentes de ondas.Un frente de onda es la superficie que une todos los puntos

del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en el mismo instante.

Principio de Huygens

Todo punto de un medio hasta el cual llega una perturbación se comporta como un foco emisor de ondas secundarias que se propagan en la dirección de la perturbación.La superficie tangente a todas las ondas secundarias en un instante dado constituye el siguiente frente de ondas.

En el frente de ondas S, los puntos A, B y C, se comportan como focos emisores de ondas secundarias.Estas ondas secundarias alcanzan, en el mismo

instante los puntos A’, B’ y C’. La superficie tangente a estos puntos, S’, es el nuevo frente de ondas.A su vez, los puntos A’, B’ y C’, se convierten en focos

emisores de ondas secundarias que originan el nuevo frente S’’, y así sucesivamente.En la figura adjunta se muestra la propagación de

frentes de ondas esféricos.







► Propiedades

► Interferencia



Tanto la onda incidente como la reflejada, al propagarse por el mismo medio, se mueven a la misma velocidad.

Cuando una onda que se propaga por un medio llega a la superficie de separación de otro medio distinto, la onda se refleja cambiando de dirección pero sigue propagándose por el mismo medio.

i r

A C

D Bi r

N

Medio 1

Medio 2

El frente de onda AB incide formando un ángulo “i” con la normal N a la superficie de separación.El frente de onda reflejado CD forma un ángulo “r” con la normal N.Cuando el punto B del frente de onda incidente llega a C, el punto A se encuentra en

el punto D del frente de onda reflejado.Como el tiempo que transcurre y la velocidad de propagación son los mismos:

isenACBCtv == rsenACADtv == rsenACisenAC =

ri = Cuando una onda se refleja, el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales.







► Propiedades

► Interferencia



En el tiempo que B llega a C, se ha generado en el segundo medio un nuevo frente de ondas DC propagándose a distinta velocidad.

iA C

V1

Bi

r

N

D

r

V2

Medio 1

Medio 2

Cuando una onda que se propaga por un medio llega a la superficie de separación de otro medio distinto, además de la onda reflejada, se produce otra onda que se propaga por el otro medio llamada onda refractada.

La onda refractada, al propagarse por otro medio lo hace a distinta velocidad de la incidente, provocando un cambio de direcciónen su movimiento.

isenACtvBC 1 ==

rsenACtvAD 2 ==

rsenisen

vv

2

1 =

Dividiendo m. a m. ambas ecuaciones:

Si v2 < v1 , i > r , la dirección de la onda refractada se acerca a la normal.Si v2 > v1 , i < r , la dirección de la onda refractada se aleja

de la normal.







► Propiedades

► Interferencia



Si el tamaño de la abertura o el obstáculo es grande comparado con la longitud de la onda el fenómeno de la difracción apenas es relevante.Si el tamaño es

comparable con la longitud de la onda, el fenómeno de la difracción adquiere importancia.Este es un fenómeno

típicamente ondulatorio no dándose en el caso de partículas materiales.

Se llama Difracción al fenómeno por el cual una onda modifica su dirección de propagación al encontrarse con aberturas u obstáculos.







► Propiedades

► Interferencia



Supongamos dos ondas armónicas de la misma amplitud, longitud de onda y frecuencia angular pero de diferente fase moviéndose en el mismo medio:

Interferencia es el encuentro en un punto del espacio de dos o más movimientos ondulatorios que se propagan por el mismo medio.

Principio de superposición: La perturbación producida en un punto por dos o más ondas es igual a la suma algebraica de las perturbaciones producidas en dicho punto por cada una de las ondas consideradas de modo aislado.

)tkx(senAy1 ω−=

)tkx(senAy2 δ−ω−=

Cuando dichas ondas coincidan en un punto del medio, la perturbación “y” de ese punto, teniendo en cuenta el principio de superposición, será:

[ ])tkx(sen)tkx(senAyyy 21 δ−ω−+ω−=+=

Si a = kx – ωt y b = kx – ωt – δ y teniendo en cuenta que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+2

basen2

bacos2bsenasen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

−ω−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

=2

tkxsen2

cosA2yEcuación de la perturbación resultante en cualquier punto

del espacio







► Propiedades

► Interferencia



La onda resultante de la interferencia es también armónica (función seno).Tiene la misma longitud de onda y frecuencia que las

ondas individuales.La amplitud de la onda resultante, A’ = 2A cos δ/2,

depende de la diferencia de fase de las ondas individuales.

⇒⋅= 0cosA2'AA) Las ondas incidentes están en consonancia de fase ( δ = 0 )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

−ω−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

=2

tkxsen2

cosA2y

A2'A =

Cuando dos ondas en consonancia de fase (desfase nulo) interfieren entre sí, lo hacen de manera constructiva, y la amplitud resultante es el doble de las amplitudes originales.

B) Las ondas incidentes están en oposición de fase ( δ = π )⇒π⋅= cosA2'A 0'A =

Cuando dos ondas en oposición de fase (desfase π) interfieren entre sí, lo hacen de manera destructiva, y la amplitud resultante es cero, anulándose sus efectos.







► Propiedades

► Interferencia



En la foto se muestra dos fuentes puntuales que vibran en consonancia de fase.Producen ondas circulares en la superficie del agua que

interfieren en todos los puntos del espacio.En este caso, la diferencia de fase entre las ondas que

interfieren se debe a la diferencia que hay entre las distanciasque recorre cada una hasta el punto de encuentro.

Dos ondas son coherentes cuando su diferencia de fase es constante a lo largo del tiempo. Ondas procedentes de fuentes en consonancia de fase.

A) Interferencia constructiva. A) Interferencia destructiva.

λ=Δ nd

En los puntos que satisfacen esta condición la interferencia es constructiva y se producen máximos

( )2

1n2d λ+=Δ

En los puntos que satisfacen esta condición la interferencia es destructiva y se producen mínimos, anulándose entre ellas.







► Propiedades

► Interferencia



En la figura se muestra el aspecto de las ondas estacionarias que se producen en una cuerda fija por los dos extremos.La interferencia se produce entre la onda que se mueve

hacia la izquierda y su reflejada en la pared, moviéndose hacia la derecha.Existen puntos, llamados vientres, en los que la amplitud

de oscilación es máxima.Otros puntos, llamados nodos, no oscilan nunca teniendo

amplitud nula.El número de vientres y nodos depende de la frecuencia de

oscilación.Si consideramos dos ondas idénticas moviéndose en

sentidos opuestos sus ecuaciones serán:

Las ondas estacionarias son producidas por la interferencia entre dos ondas iguales que se propagan en el mismo medio pero en sentidos opuestos

)tkx(senAy1 ω+= )tkx(senAy2 ω−=

Aplicando el principio de superposición y las relaciones trigonométricas vistas anteriormente, obtenemos la ecuación de la onda estacionaria:

( ) tcoskxsenA2y ω⋅=







► Propiedades

► Interferencia



La frecuencia de la onda estacionaria es igual a la de las ondas armónicas que se superponen.La amplitud de la onda estacionaria, A’ = 2 A sen

kx, es función de la posición “x”, de modo que hay puntos que oscilan con amplitud máxima y otros que no oscilan.


A) Localización de los nodos.

En los nodos la amplitud de oscilación, A’, es cero y esto ocurrirá cuando:

....,3,2,,0kx0kxsen πππ=⇒=

Y como k = 2π / λ , entonces:

⇒λ

λλ

=⇒πππ=λπ ....,

23,,

2,0x....,3,2,,0x2

,....3,2,1,0n2

nx =λ

=

La amplitud de cada punto es función de su posición

Los nodos están situados a distancias iguales a números enteros de medias longitudes de onda.







► Propiedades

► Interferencia




B) Localización de los vientres.

En los vientres la amplitud de oscilación, A’, es máxima y esto ocurrirá cuando:

....,2

7,2

5,2

3,2

kx1kxsen ππππ=⇒=

Y como k = 2π / λ , entonces:

⇒λλλλ

=⇒πππ

=λπ ....,

47,

45,

43,

4x....,

25,

23,

2x2

( ) ,....3,2,1,0n4

1n2x =λ

+=

Los vientres están situados a distancias iguales a números impares de cuartas longitudes de onda.







► Propiedades

► Interferencia



Si consideramos una cuerda de longitud “L”, fija por ambos extremos. Los extremos fijos deben ser nodos, por lo que deberá cumplirse que:

⇒=⇒=λλ

=f2

vnLfvcomo;

2nL

L2vnf =

Dando a n los valores 1, 2, 3, …, se obtienen las posibles frecuencias que darían lugar al establecimiento de ondas estacionarias. A estas frecuencias se les llama armónicos.

μ=

TL2nf







► Propiedades

► Interferencia



Vamos a analizar la fotografía instantánea de la onda estacionaria en diferentes instantes de tiempo.En rojo y azul se representan las ondas cuya

interferencia originan la onda estacionaria, en negro.

t = 0

Las ondas que interfieren están en consonancia de fase, interfiriendo constructivamente, dando lugar a una onda de amplitud 2 A.

t = T/4

Las ondas se han desplazado relativamente media longitud de onda, encontrándose en oposición de fase y la interferencia es destructiva.

t = T/2

Las ondas vuelven a estar en consonancia de fase, pero invertidas con respecto a la situación inicial.

La existencia de nodos, al no oscilar nunca, implica que una onda estacionaria no transporta energía de un punto a otro







► Propiedades

► Interferencia



En el extremo cerrado se forma un nodo de desplazamiento ya que las partículas de aire no pueden desplazarse. En el extremo abierto se produce un vientre.







► Propiedades

► Interferencia


Las ondas estacionarias también pueden generarse por el sonido que se transmite dentro de tubos

A) Tubo abierto por uno de los extremos

( ) ⇒=λ+

=λ⇒λ

+=fvcomoy;

1n2L4

41n2L

( )L4v1n2f +=

B) Tubo abierto por los dos extremos

⇒=λ=λ⇒λ

=fvcomoy;

nL2

2nL

L2vnf =

Se forman vientres de desplazamiento en ambos extremos.► Animaciones y

videos







► Propiedades

► Interferencia



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