103

MOVIMIENTO COMPUESTO Considerando el caso de una partícula que se mueve

sobre una superficie horizontal y que abandona dicha superficie en el punto P, tal como se muestra en la figura, se cumple:

El tiempo en caída libre de P hasta C es el mismo que ha transcurrido al recorrer con velocidad constante de P a C” y es el mismo que ha transcurrido en recorrer la trayectoria curva real PC’.

A partir del momento en que la partícula abandona la

superficie horizontal, el movimiento es compuesto, horizontal con MRU y vertical con MRUV.

La velocidad horizontal es constante e igual a la

velocidad inicial durante todo el movimiento, mientras que la velocidad vertical aumenta.

La velocidad total en cualquier punto de la trayectoria

es:

2 2x yV V V

ó también: 2 2 2

0V V g t

Fórmulas del movimiento compuesto semiparabólico: Del movimiento horizontal:

0x V t 0

xt

V

… (1) Del movimiento vertical:

… (2) Sustituyendo con (1):

… (3) Igualando (1) y (2):

Movimiento Parabólico

Este movimiento resulta de la composición de un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y un movimiento de caída libre vertical (MCLV).

21h gt

2

2ht

g

2

20

1 xh g

2 V

02h

x Vg

xV

yV V0V

0xV

0yV

X

YM

H

D

xV

P

M.R.U.

M.R.U.V.

Mov. Parabólico

0V

A

B

C

A" B" C"

A'

P

B'

C'

0VP

yV V

x 0V V

x

h

C

104

Restricciones para el análisis del movimiento parabólico: Se desprecia la fricción del aire. Aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera

constante la aceleración de la gravedad Los alcances serán pequeños de tal manera que nos

permitan no tomar en cuenta la forma de la Tierra. Las velocidades de disparo no deben ser muy grandes

porque el móvil podría adquirir trayectorias elípticas y rotar alrededor de la Tierra. Características:

Su trayectoria es una parábola. Por ser movimiento compuesto, se descompone en dos

movimiento simples a) En el eje horizontal se tiene un MRU b) En el eje Y se tiene un movimiento vertical ascendente y luego descendente. c) La velocidad de disparo se descompone en dos ejes "X" e "Y".

y 0V V sen; x 0V V cos

d) Para un mismo nivel de referencia los módulos de las velocidades son iguales, lo mismo sucede con los ángulos. Descomponiendo la velocidad inicial:

Dado que se trata de un movimiento compuesto, es posible definir los dos tipos de movimiento involucrados: Horizontal con MRU

Desplazamiento: 0x V cos t … (1)

Velocidad horizontal: x 0x 0V V V cos (Constante durante todo el movimiento) Vertical con MRUV

Desplazamiento: 2

01

y V sen t gt2

… (2)

Velocidad vertical: y 0V V sen gt … (3)

2 2y 0V (V sen ) 2gh

… (4)

Observe que en el punto “M” (la mitad del recorrido) la velocidad vertical es nula, luego de la relación (3) se deduce que:

00 V sen gt

0V sent

g

De donde el tiempo total de vuelo será: La velocidad total en un punto “P” cualquiera de la trayectoria estará dada por:

2 2x y V V V

Analizando otra vez el punto “M”, en la relación (4) se

tiene: 2 2

00 V sen 2gH A partir de esto podemos definir la altura máxima alcanzada en un movimiento parabólico:

2 20V sen

H 2g

Se sabe que: 0x V cos t ; entonces para determinar el máximo alcance horizontal utilizaremos la relación (1) reemplazando el tiempo con el tiempo total de vuelo:

00

2V senD V cos

g

202V sen cos

Dg

Por identidad de ángulo doble se sabe que: sen2 2sen cos , entonces:

20V sen2

D g

Alcance máximo: Analizando el numerador de la relación anterior podemos apreciar que el valor máximo para “D” se da cuando sen2 1 , por lo cual 2 90º ; luego:

20

máxV

D g

De lo expuesto se deduce que el ángulo de tiro para lograr máximo alcance horizontal es 45º. Importante: Observe que al dividir miembro a miembro las ecuaciones de la altura máxima y alcance máximo obtenemos:

2 20

2

20

V sen

H sen2g

D 2sen2V sen2

g

2H sen

D 4sen cos

Finalmente:

H tan

4D

0x 0

0y 0

V V cos

V V sen

xV

yV V0V

0xV

0yV

X

YM

H

D

xV

P

105

Posición de la partícula: La posición o coordenadas de la partícula estarán dadas por las ecuaciones paramétricas: La posición transcurrido un tiempo “t”

0

20

x V cos t ... (1)

1y V sen t gt ... (2)

2

Ecuación de la trayectoria del movimiento parabólico:

De (1) se tiene que: 0

xt

V cos

Sustituyendo en (2):

2

00 0

x 1 xy V sen g

V cos 2 V sen

2

2 20

gx y x tan

2V sen

RESUMEN DE FÓRMULAS

Tiempo de vuelo

Posición – partícula

Altura máxima

Alcance horizontal

Ángulo de tiro

Relación de H y TV

ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO El alcance horizontal máximo se logra cuando el ángulo de

disparo es de 45°. Entonces:

2V

D g

CASO ESPECIAL En el siguiente gráfico podemos observar que, se lanzan dos proyectiles, ambos con la misma velocidad inicial pero bajo diferentes ángulos de elevación:

Se cumple que: 1 2D D ; siempre y cuando los ángulos

de lanzamiento sean complementarios: 90 ;

pero 1 2H H .

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una pelota se lanza con una velocidad inicial de 100 m/s con un ángulo de inclinación con la horizontal de 37º. Calcular que velocidad lleva la pelota transcurridos 4 s.

2(g 10 m/s ) .

a) 46,82 m/s b) 82,46 m/s

c) 80,42 m/s d) 42,86 m/s

e) 86,42 m/s Solución: Sabemos que:

2 2x fyV V V

…(1)

Luego: fy 0yV V gt 60 10(4)

fyV 20 m/s …(2)

Reemplazando (2) y xV en (1) 2 2

V 80 20 V 82,46 m/s Rpta.

2. Calcular la mínima velocidad que puede tener un motociclista para lograr pasar el obstáculo mostrado en la

figura. 2

(g 10 m/s ) . a) 20 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s d) 50 m/s e) 60 m/s Solución:

Sen2 Sen2(15º) Sen30º

El alcance horizontal:

2V Sen2

Dg

Luego:

gD 10(20)V

Sen 30º 1/2

V 20 m/s Rpta.

0

V2V sen

Tg

0

20

x V cos .t

1y V sen .t gt

2

2 20V sen

H2g

20V sen2

Dg

4H

tanD

2VgT

H8

Vo

2D

2HVo

1 D

1 H

15º

20 m

0V

0yV 60 m/s 100 m/s

37º

V

xV 80 m/s

fyV

80 m/s

106

3. ¿Con qué inclinación se debe lanzar un cuerpo para que su alcance horizontal sea igual al triple de su altura máxima? a) 50º b) 51º c) 53º d) 55º e) 60º Solución:

Por condición del problema: D 3H 2

2 V sen cos

g

2

3 V

2sen

2 g

4

tg 3

53º Rpta.

4. Desde la parte superior de un edificio de 45 m de altura, se dispara una pelota con una velocidad de 50 m/s y formando un ángulo de 53º de elevación con respecto a la horizontal. Calcular el desplazamiento horizontal de la

pelota hasta impactar con la tierra, usar 2

g 10 m/s . a) 250 m b) 260 m c) 270 m d) 280 m e) 290 m Solución:

Nos piden calcular el tiempo: ABCDT T , primero calculamos el tiempo ABC.

ABC

42(50)

5t10

ABCt 8s

Seguidamente calculamos CD" t " usando la ecuación:

20

1h V t gt

2

2

210t45 40t 9 8t t

2

2

0 t 8t 9 0 (t 1)(t 8) t 1 s El desplazamiento de la pelota es: d 30(9) m

d 270 m Rpta. 5. Dos proyectiles “A” y “B” lanzados con inclinaciones de 53º y 37º respectivamente alcanzan iguales alturas máximas. El proyectil “A” experimenta un alcance horizontal de 9 m. ¿Qué alcance horizontal experimenta B? a) 12 m b) 15 m c) 16 m d) 18 m e) 20 m Solución:

Aplicando:

4Htg

D

Para A:

4 4H

3 9

H 3m

Para B:

3 4(3)

4 x

x 16 m Rpta. 6. Un bombardero vuela horizontalmente a una altura de 500 m con una velocidad de 100 m/s. desde él se suelta su proyectil, ¿en qué tiempo el proyectil dará en el blanco y

con qué velocidad llegará (en m/s)? 2

(g 10 m/s ) .

a) 100 2

b) 110 2

c) 120 2

d) 105 2

e) 125 2

ABC

2V sen53ºt

g

V

H

D

50 m/s

40 m/s

30 m/s 53º

30 m/s

40 m/s

h 45 m

D

d

B

C53ºA 30 m/s

B53º

A

x

37ºH

9m

H

yx

100 m/s

fV V

500 m

100 m/s

107

Solución:

Datos: xV 100 m/s (constante)

0V 0 (Velocidad inicial en el eje Y) 2

0

1h V t gt

2

21500 0 10 t

2

t 10 s Cálculo de la velocidad de llegada (V)

f 0V V gt

fV 0 10(10) fV 100 m/s

2 2 2 2 2

x fV V V 100 100

V 100 2 m/s Rpta. 7. Con una inclinación de 45º una piedra es lanzada con

60 2 m/s de velocidad. Para qué tiempo la velocidad de la piedra tendrá una inclinación de 37º al subir.

2(g 10 m/s ) . a) 1,2 s b) 1,4 s c) 1,5 s d) 1,6 s e) 1,7 s Solución:

xV 60 2 cos45º 60 m/s

0V 60 2 sen45º 60 m/s

En el eje Y: f 0V V gt (sube: –g)

fV 60 10t …(1) En el punto final:

f

x

Vtan 37º

V

3 60 10t

4 60

180 240 40t

t 1,5 s Rpta.

8. Una esquiadora abandona el llano con una velocidad de 20 m/s en el punto “A”. ¿A qué distancia de “A” aterrizará

sobre la pendiente? 2

(g 10 m/s ) . a) 55 m b) 45 m c) 35 m d) 65 m e) 75 m

Solución:

xV 20 m/s ; 0V 0

En el eje Y: 2

y 5t … (1)

En el eje X: xx V t x 20t … (2)

Del diagrama:

ytan 37º

x

2

3 5t

4 20t

t 3

De (1) y (2): 2

x 20(3) 60

y 5(3) 45

Por Pitágoras: 2 2

d x y

2 2d 60 45 d 75 m Rpta. 9. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 90 m/s y ángulo de elevación de 60º contra un plano inclinado que hace un ángulo de 30º con el horizonte. Hallar el alcance a lo largo del plano inclinado.

2(g 10 m/s ) . a) 420 m b) 400 m c) 520 m d) 540 m e) 600 m Solución:

xV 90cos60º 45 m/s

0V 90sen60º 45 3 m/s En el eje Y:

20

1y V t gt

2

2

y 45 3t 5t …(1) En el eje X:

xx V t x 45t …(2) y

tan 30ºx

(del diagrama)

23 45 3t 5t

3 45t

2

45 3 t 3 45 3 t 15t 2

15t 2(45 3)t t 6 3 s

En (1): y 270m d sen30º y (del diagrama)

d 540 m Rpta.

y

xxV

0V

45º

37ºfV

xV

B37º

A

x 37º

Y

X

y

20 m/s

d

0V

xV

60º

d

xX

y

30º

Y

108

10. Dos cuerpos lanzados simultáneamente desde los puntos “A” y “B” chocan en el punto “P” tal como se

muestra. Hallar “”.2

(g 10 m/s ) . a) 45º b) 40º c) 35º d) 30º e) 25º Solución:

Primer proyectil: xV 20cos37º 16 m/s

0V 20sen37º 12 m/s 2

0

1h V t gt

2

2

h 12t 5t …(1)

16 16t t 1 s En (1) h 7m

2do. proyectil: xV Vcos

0V Vsen 21

7 Vsen (1) (10)(1)2

Vsen 12 …(3)

Dist. horizontal: xx V t 12 V cos 1

Vcos 12 …(4)

Dividiendo (3) por (4): tan 1

45º Rpta. 11. ¿Con qué velocidad mínima debe salir un motociclista de la rampa, para que pueda cruzar el obstáculo?

2(g 10 m/s ) . a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s Solución: Altura vectorial:

20

1h V t gt

2

23

80 Vt 5t5

…(1)

Desplazamiento horizontal:

xx V t 4

320 Vt5

400t

V

… (2) Sustituyendo (2) en (1):

23 400 400

80 V 55 V V

2

40080 240 5

V

400

8V

V 50 m/s Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente una partícula con una rapidez de 8 m/s. Si la azotea está a 80 m del piso. ¿A qué distancia del pie del edificio logra

caer la piedra? 2

(g 10 m/s ) . a) 18 m b) 32 m c) 40 m d) 50 m e) 80 m 2. Con una inclinación de 30º se lanza un proyectil con una velocidad de 20 m/s sobre el horizonte. Hallar el tiempo que debe transcurrir para impacte en el piso.

2(g 10 m/s ) . a) 6 s b) 5 s c) 4 s d) 3 s e) 2 s 3. El alcance horizontal de un proyectil disparado por un cañón, con una velocidad de 75 m/s y un ángulo de

inclinación de 37º sobre la horizontal es de: 2

(g 10 m/s ) a) 520 m b) 530 m c) 540 m d) 560 m e) 580 m 4. Desde un gran edificio se lanza horizontalmente a 30 m/s un objeto y se pide determinar el ángulo que formara su velocidad instantánea con la vertical al cabo de 4 s

2(g 10 m/s ) a) 53º b) 37º c) 30º d) 60º e) 45º 5. Determinar la altura de un edificio, si al lanzar desde su azotea horizontalmente un proyectil, con una velocidad de 10 m/s, éste cae a 20 m del pie del edificio. a) 18 m b) 18,6 m c) 19,6 m d) 20,2 m e) 22,5 m

A B37º

20 m/sP V

h

16m 12m

80 m

320 m

53º

80 m

320 m

37º

h

X

Y

0V

xV

109

6. Un helicóptero vuela horizontalmente con una

velocidad de 72 km/h a una altura de 200 m , si desde el helicóptero se dejara caer una bomba, ¿con qué velocidad (en m/s) la bomba tocará el piso?

a) 20 7 b) 20 11 c) 20 13

d) 20 15 e) 15 11 7. Desde A se lanza un proyectil con dirección al punto “P”

cual debe ser la velocidad inicial “ 0V ” (en m/s) para que

el proyectil impacte en el punto “B” 2

(g 10 m/s )

a) 20 / 3

b) 10 / 3

c) 25 / 3

d) 25 3

e) 15 / 3 8. En un partido de fútbol, Paulito le comunica a una pelota la velocidad de 90 km/h con un ángulo de 16º con la horizontal, si se encuentra en ese instante a 24 m de distancia del arco contrario. ¿Hay posibilidad de gol? la

altura del arco 2,5 m 2

(g 10 m/s ) a) la pelota sale fuera del arco b) faltan datos c) si hay gol d) choca con el madero superior e) la pelota no llega al arco 8. A partir del siguiente esquema. ¿Qué medida tiene “L”

en metros? 2(g 10 m/s ) .

a) 160 m b) 220 m c) 180 m d) 240 m e) 200 m 9. Con un ángulo de elevación de 53º, cierto misil es lanzado con una velocidad de 200 m/s ¿Qué velocidad tendrá el misil al cabo de 10 s?

2(g 10 m/s )

a) 60 5 m/s b) 30 5 m/s

c) 40 5 m/s d) 25 5 m/s e) 50 5 m/s

|0. Una avioneta vuela horizontalmente a una altura de 720 m. Divisa un objetivo a 480 m de distancia, medidos horizontalmente. ¿A qué velocidad debe desplazarse para que al soltar una caja de víveres, ésta logre llegar al punto

deseado? ( 2

g 10 m/s ). a) 40 m/s b) 38 m/s c) 36 m/s d) 32 m/s e) 30 m/s 11. Calcular la velocidad del móvil en el punto “P” el cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto “A” y

llega al punto “B” como indica la figura ( 2

g 10 m/s ). a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s e) 35 m/s 12. Hallar la velocidad de lanzamiento (en m/s) considerando que la altura máxima alcanzada fue de 20 m y que la partícula entró sin dificultad en el hoyo practicado

en el piso. 2

(g 10 m/s ) . a) 28 b) 26 c) 25 d) 24 e) 20 14. Un motociclista asciende por una rampa, con una rapidez constante de 20 m/s, desprendiéndose de ella al final. ¿Cuánto tiempo el motociclista estará en el aire?

2(g 10 m/s )

Además tg 0,5 . a) 3 s b) 4 s c) 5 s d) 6 s e) 7 s 37º

0V 20 m/s

0V

A B

P

20m

15m

37º

L

L

V 70 m/s

80 m

60 m

P

20 m

60 m 53º

110

15. Si y . Hallar la velocidad (en m/s)

de llegada al punto “C” .

a) 5 55

b) 4 65

c) 5 65

d) 3 29

e) 4 15 16. En el punto más alto de una trayectoria parabólica, la velocidad del móvil es: a) nada b) máxima

c) igual a la velocidad inicial 0V

d) igual a la componente vertical de 0V

e) igual a la componente horizontal de 0V 17. En la figura el proyectil es lanzado con velocidad V. El tiempo que tarda el proyectil en ir del punto A al punto C, es: a) igual al tiempo entre O y A b) la mitad del tiempo entre O y B c) la mitad del tiempo entre B y D d) igual al tiempo entre B y D

e)

0AC

2V sent

g

18. Una pelota es lanzada desde “A” con velocidad de 50

m/s. ¿A qué altura “h” impacta en la pared? 2

(g 10 m/s )

. a) 35 m b) 40 m c) 45 m d) 50 m e) 60 m

19. ¿Con qué ángulo debe ser lanzado un cuerpo de peso P para que su altura máxima sea igual a su alcance horizontal, si sobre el cuerpo actúa a favor del movimiento una fuerza horizontal constante igual a P/8 debido al viento? a) arc tan 1/8 b) arc tan 8 c) arc tan 4 d) arc cot 6 e) arc cot 1/4 20. Desde una altura de 280 m se lanza un cuerpo con

velocidad de 5 2 m/s, según la figura. ¿Qué tiempo

después llega al suelo? 2

(g 10 m/s ) . a) 5 s b) 6 s c) 7 s d) 9 s e) 12 s 21. El proyectil es disparado con velocidad de 20 m/s y un

ángulo de 37º. ¿Cuál es el valor de “x”? 2

(g 10 m/s ) . a) 4 m b) 12 m c) 24 m d) 32 m e) 40 m 22. Un cañón dispara un proyectil según la figura. ¿En qué

tiempo el proyectil llega al suelo? 2

(g 10 m/s ) . a) 20 s b) 15 s c) 12 s d) 10 s e) 8 s 23. Una pelota es impulsada desde A con velocidad V. Si choca en la pared en B justo cuando alcanza su altura

máxima, ¿con qué ángulo fue lanzado? 2

(g 10 m/s ) . a) 15º b) 30º c) 37º d) 53º e) 74º

ABt 3 s BCt 2 s

2(g 10 m/s )

A

0V

37ºB

C

O a a a a D

Y

X

A C

B

53º

h

d 30 m

0V

45º

280 m0V

0V

x

2x

37º

45º

375 m

0V 100 m/s

75º

2,5 m

5 3

V

A

B

111

500 m 10 m/s

Vrío

6 m

53° O

A

Vo

24. Un cuerpo es lanzado desde A con velocidad de 100 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida, sobre el plano inclinado, impacta el cuerpo? a) 245 m b) 355 m c) 475 m d) 525 m e) 652 m 25. Determinar la distancia “d” si los cuerpos son lanzados con la misma velocidad V y chocan en el mismo punto P. a) 10 m b) 15 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m 26. Hallar la velocidad del lanzamiento de la bolita para que pueda ingresar justamente por el estrecho canal. a) 45 m/s b) 50 m/s c) 55 m/s d) 60 m/s e) 72 m/s 27. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad V se debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente por el canal B. Desprecie la resistencia del aire

2g 10m / s.

a) 10 3 m/s

b) 20 3 m/s c) 10 m/s d) 20 m/s e) 30 m/s 28. Una piedra se lanza de un edificio a otro con la velocidad de 10 m/s, logrando impactar, formando un ángulo de 45º con la horizontal. halle la separación entre

los edificios 2

(g 10m / s ) . a) 8,4 m b) 11,2 m c) 14,6 m d) 16,1 m e) 6,4 m

29. Una partícula es lanzada perpendicular-mente a un plano inclinado tal como se muestra. Determine el tiempo que debe pasar para que impacte en el plano no considere

la resistencia del aire 2

(g 10 m/s ) . a) 6,5 s b) 6 s c) 6,25 s d) 7 s e) 5,6 s 30. Mediante un bote se consiguió cruzar el río de 500 m de ancho; cuya corriente tiene una velocidad constante de 5 m/s. Si el motor le imprime una velocidad (respecto del río) de 10 m/s en la dirección que se muestra. ¿Cuántos metros fue desplazado en la dirección de la orilla? a) 50 m b) 100 m c) 200 m d) 250 m e) 1400 m 31. Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/s deja caer una piedra desde una altura de 100 m. ¿Con qué velocidad (aproximada) llega la piedra a tierra si se desprecia el efecto del rozamiento del aire? a) 140 m/s b) 166,4 m/s c) 230 m/s d) 256,4 m/s e) 345,6 m/s 32. Una bomba lanzada desde un avión que viaja a 300 m/s impacta, sobre un barco en reposo con una rapidez de 500 m/s. Calcular el tiempo que tarda la bomba en hacer

impacto. (2

g 10 m/s ). a) 10 s b) 20 s c) 30 d) 40 s e) 50 s 33. Se lanza una piedra desde “O” con una rapidez de 10 m/s y ángulo de tiro de 53° contra una pared que se encuentra a 6 m de “O”. Halle la distancia entre “A” y “B”,

si “B” es el punto donde cae la piedra. (2

g 10 m/s ). a) 4 m b) 5 m c) 8 m d) 2 m e) 3 m

16º

37º

0VB

A

20 m

20 m

d

V

V

60º

V

37º

55 m

37º

25 m/s

60ºA

B

15 mV

37º

112

53° A

C D

B

45° 53°

Vo

34. Desde la parte superior de una torre de 5 m de altura, se lanza horizontalmente una pelotita y cae al suelo en un punto situado a una distancia de 1,5 m, del borde de la

torre. Calcule Tang , donde “ ” es el ángulo que forma la velocidad de la pelotita con la horizontal en el instante

en que ésta llega al suelo. (2

g 10 m/s ). a) 2,67 b) 3,67 c) 4,67 d) 5,67 e) 6,67 35. Se lanza un proyectil con una velocidad de 100 m/s formando un ángulo de 53° con la horizontal, tal como se indica. Si el tiempo que demora en ir de “A” hacia “B” es el mismo tiempo que demora en ir de “C” hacia “D”, hallar el tiempo que demora en ir de “C” hacia “B”. a) 2 s b) 4 s c) 6 s d) 8 s e) 10 s 36. El alcance máximo de un proyectil es 8 m. Calcule la altura máxima para dicho lanzamiento. a) 5 m b) 4 m c) 3 m d) 1 m e) 2 m 37. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente una piedra con rapidez Vo y luego de 3 s la rapidez es el

doble de la inicial. Determine Vo. (2

g 10 m/s ).

a) 30 3 m/s b) 15 3 m/s

c) 20 3 m/s d) 10 3 m/s

e) 5 3 m/s 38. Se dispara un proyectil con un ángulo de elevación de

30° hacia una pared que se encuentra a 20 3 m . Si en 4 s choca con dicha pared. ¿Con qué rapidez ha sido

disparado el proyectil? (2

g 10 m/s ). a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s d) 20 m/s e) 25 m/s 39. Un proyectil es lanzado desde A y se incrusta perpendicularmente en la pared inclinada. Calcular el intervalo de tiempo empleado en realizar dicho

movimiento. Vo 50 m/s ; 2

g 10 m/s .

a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 0,5 s e) 2,5 s

EVALUACIÓN

1. Desde una altura determinada se suelta un cuerpo. Si en el último segundo de su movimiento recorre 15 m ¿Desde qué altura se soltó? a) 15 m b) 20 m c) 25 m d) 30 m e) 10 m 2. Un cuerpo es soltado desde una altura “H” sobre la superficie terrestre, se observa que en el último segundo de su caída recorre 3H/4. Halle “H” (en m) (g = 10 m/s2). a) 15 b) 20 c) 25 d) 45 e) 80 3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y cuando le falta 2s para alcanzar su altura máxima, se encuentra a 60 m del piso. ¿Cuál fue la velocidad de disparo? (g = 10 m/s2) a) 30 m/s b) 60 m/s c) 40 m/s d) 75 m/s e) 50 m/s 4. Una piedra soltada desde el borde de un pozo emplea 4s en llegar al fondo. ¿Qué altura desciende durante el último segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2) a) 5 m b) 45 m c) 25 m d) 80m e) 35 m 5. Desde cierta altura se lanza hacia arriba una piedra a 40 m/s y simultáneamente otra se lanza a 30 m/s ¿Qué distancia los separa al cabo de 2 s? a) 100 m b) 120 m c) 140 m d) 160 m e) 120 m 6. Desde cierta altura se suelta una pelota y después del choque contra el piso rebota con la mitad de velocidad de impacto, si luego alcanza una altura máxima de 20 m

113

¿Desde qué altura se soltó? a) 40 m b) 60 m c) 80 m d) 100 m e) 120 m

7. Desde un globo aerostático que sube a 20 m/s se suelta una piedra la cual llega al piso al cabo de 6 s. ¿Qué distancia los al globo y la piedra en dicho instante? a) 60 m b) 90 m c) 120 m d) 150 m e) 180 m

8. Una esfera se deja en libertad desde una altura de 80 m y al rebotar en el piso se eleva solo hasta la cuarta parte de la altura anterior. ¿Qué tiempo ha transcurrido hasta que se ha producido él tercer impacto? a) 4 s b) 6 s c) 8 s d) 9 s e) 10 s

9. Un cohete es disparado verticalmente hacia arriba. Inicialmente sus motores le imprimen una aceleración de

52

m / s durante 8 s, y luego se desplaza por acción de la gravedad. ¿Hasta qué altura se elevó el cohete? a) 240 m b) 120 m c) 80 m d) 160 m e) 300 m

10. Desde un punto que se halla a 20 m de altura se deja caer un cuerpo ¿Cuál será la mínima velocidad que deberá poseer otro cuerpo que es lanzado verticalmente hacia abajo desde una altura de 30 m, para que alcance al primero justo antes de llegar al suelo? a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 8 m/s

11. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba. A los 5 s de ser lanzado alcanza la altura h qué modo que al ascender 25 m más, sólo le faltara 2 s para alcanzar su altura máxima. Hallar “h” a) 250 m b) 265 m c) 275 m d) 285 m e) 295 m

12. Una partícula emplea 4 s en alcanzar su altura máxima. ¿En cuánto tiempo logra subir la segunda mitad de dicha altura?

a) b) c)

d) e)

13. En el instante mostrado, las partículas A y B son lanzadas verticalmente con igual rapidez de 10m/s. Determine la separación entre ambas luego de 2s de ser lanzadas. (g=10m/s2)

a) 25m b) 30m c) 40 2m

d) 50m e) 50 2m 14. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, desde la

superficie de la tierra, con una cierta velocidad inicial que permite alcanzar una altura máxima “H”. Si dicha velocidad inicial se duplicara, su altura máxima aumentaría en 60 m. Hallar dicha altura máxima “H” a) 5 m b) 10 m c) 15 m d) 20 m e) 25 m 15. Dos cuerpos “P” y “Q” que se colocan en la misma vertical. El cuerpo “P” se lanza hacia arriba con una velocidad de 60 m/s y en mismo instante “Q” se deja caer. Desde que altura “H”, se tendrá que dejar caer “Q”. para que ambos se encuentren en la altura máxima recorrida por “P”. a) 300 m b) 330 m c) 360 m d) 390 m e) 410 m 16. Desde una altura de 100 m se deja caer una partícula y al mismo tiempo desde la tierra es lanzada otra partícula, y tienen la misma velocidad cuando se encuentran. ¿Qué altura ha recorrido la partícula lanzada desde la tierra? a) 25 m b) 50 m c) 75 m d) 45 m e) 60 m 17. Un cuerpo se deja en libertad en lo alto de un plano inclinado sin fricción, el cual forma 37º con la horizontal. Halle cuánto desciende durante 3 s. a) 18 m b) 27 m c) 15 m d) 20 m e) 25 m

2 2 s 2 s 3 2 s

2 3 s 3 5 s

0"v "

vA

A 30m

vB

B

114

45m V

30 m

18. Si en el instante en que A se deja en libertad, B es impulsado a 10 m/s. Determine a que altura se produce el choque. a) 21/5 m b) 28/5 m c) 24/5 m d) 31/4 m e) 32/5 m

19. En el preciso instante en que un tubo de 1m de longitud es soltado desde una de sus aberturas una pequeña esfera es lanzada hacia abajo con 10m/s. Determine durante cuantos segundos la esfera estuvo al interior del tubo.(g=10m/s2) a) 0,1s b) 0,15 s c) 0,20 s d) 0,25 s e) 0,30 s

20. En el instante mostrado, desde el globo aerostático que asciende con rapidez v, se lanza un objeto hacia abajo con una rapidez de 8m/s, respecto del globo. Si el objeto demora 2s en pasar desde A hasta B, determine v. a) 24 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 26 m/s e) 28 m/s

21. Desde un puente de 45 m de altura una persona suelta una esfera, instante en el cual un carro que describe un MRU se encuentra a 30 m y dirigiendo hacia el puente. Si la esfera cae justo en el carro. Calcular la rapidez V del carro. a) 10 m/s b) 4 m/s c) 8 m/s d) 2 m/s e) 6 m/s

22. Desde una altura de 20 m respecto de la superficie de un lago se suelta un objeto y emplea 5 s en llegar hasta el fondo, si cuando ingresa al agua mantiene su rapidez constante. Calcular la profundidad del lago. a) 30 m b) 60 m c) 40 m d) 65 m e) 50 m

23. De las posiciones indicadas A y B se lanzan simultáneamente con velocidades “2v” y “v” respectivamente. Si el cuerpo que fue lanzado en B, llega sólo hasta el nivel A. Halle la altura de separación entre los móviles cuando la que se lanzó de A comienza a descender. a) 6 m b) 8 m c) 10 m d) 12 m e) 14 m

24. Las esferas son lanzadas simultáneamente tal como se muestra en el gráfico. Determine luego de cuantos segundos estarán separados 20m y en cuantos segundos se cruzan al mismo nivel a partir del instante mostrado. a) 3,2 s; 6s b) 4,8 s; 8s c) 3,6 s; 8s d) 2,8 s; 6s e) 4,8 s; 6s

25. El alcance horizontal de una piedra lanzada desde cierto punto es R= 240 m y la altura máxima que se ha elevado es de H=45 m. ¿Hallar la velocidad con que se lanzado? a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s

26. Una piedra es lanzada con una cierta inclinación respecto a la horizontal. Hallar dicha inclinación, si el alcance “R” es el doble de la altura máxima.

a) b) c)

d) e)

1tan (2)

1tan (0.5) 1tan (3)

1tan (1.2)

1tan (2.5)

A

B

8m

53º

A

B

25m

80m

g

v g

15m/s

10m/s

40m

12m

2m

A

B

v

2v

115

27. ¿Con qué velocidad (en m/s) hay que lanzar una partícula

del punto A para que en 1 s. llegue al punto B?

a) 10i 3j

b) 10i 3j

c) 3i 10j

d) 3i 10j

e) 10i 8j 28. Calcular la velocidad del móvil en el punto “P” (en m/s).

El cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto “A” y llega al punto “B” como indica en la figura. a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

29. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad V se debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente por el canal B. Desprecie la resistencia del aire.

a) 10 3 m/s

b) 20 3 m/s c) 10 m/s d) 20 m/s e) 30 m/s 30. Calcule el tiempo necesario para que la partícula

lanzada con una velocidad de colisione en la superficie inferior.

a) 7 s b) 8 s c) 9 s d) 10 s e) 11 s

31. Una partícula se lanza horizontalmente con una velocidad inicial de 40 m/s, desde lo alto de una torre. ¿Qué ángulo formara el vector velocidad de la partícula con respecto a la horizontal, luego de 3 s? a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º

32. En la figura, determine la altura “H” medida desde la línea horizontal, en la cual la esfera impactó.

a) 300 m b) 320 m c) 360 m d) 350 m e) 310 m 33. Una esquiadora abandona el llano con una velocidad de 20 m/s en el punto “A”. ¿A qué distancia de “A” aterrizará sobre la pendiente? a) 55 m b) 45 m c) 35 m d) 65 m e) 75 m 34. Se lanza un cuerpo con un ángulo de elevación de 53º alcanzando una velocidad de 36 m/s en el punto más alto de su trayectoria. Hallar su altura máxima. a) 115.2 m b) 130 m c) 120 m d) 120.5 m e) 130.5 m 35. Un proyectil es lanzado con 37º de inclinación. Si cuando ha ascendido los 75% de su altura máxima “H” le falta 3 s para conseguir dicha altura. Calcular la velocidad de lanzamiento. a) 50 m/s b) 75 m/s c) 100 m/s d) 125 m/s e) 150 m/s 36. Desde A se lanza un proyectil con dirección al punto

“P” cuál debe ser la velocidad inicial “ 0V ” (en m/s) para que el proyectil impacte en el punto “B”

a)

b)

c)

d)

e)

50 m/s

0v =100 m / s

20 / 3

10 / 3

25 / 3

25 3

15 / 3

0v

20 m

80m

60m

B10m

8m

A

60ºA

B

15 mV

53°0v

100 m

53º 45º0v

160 m

H

B37º

A

0V

A B

P

20m

15m

116

53º

4m

A

18m0

37. Se lanza un cuerpo con una velocidad y una inclinación de 45º. ¿Qué tiempo debe pasar para que su velocidad forme 37º con la horizontal? a) 2 s b) 3 s c) 5 s d) 6 s e) 7 s 38. En la trayectoria parabólica que describe el proyectil, hallar el tiempo que empleo en ir de A hacia B, si su

rapidez en A fue de 15m/s. 2g 10m / s

a) 1,0s b) 1,5s c) 2,0s d) 2,5s e) 3,0s 39. Se lanza una bolita desde “A” con rapidez de 10 m/s y ángulo de inclinación de 53º, llegando al punto “B” perpendicularmente al plano inclinado. Hallar el tiempo de movimiento de la bolita. a) 0,1s b) 0,2s c) 0,3s d) 0,4s e) 0,5s 40. Un objeto A es soltado desde una altura H=125 m, 3 s después es lanzado hacia abajo otro cuerpo B desde la misma altura, si ambos llegan simultáneamente a la tierra, determinar la rapidez inicial de B (en m/s). a) 28.4 b) 31.6 c) 52.5 d) 63.4 e) 72.8 41. Desde el borde de una azotea de un edificio de 33.6 m de altura se lanza un objeto (hacia abajo) con una rapidez de 2 m/s. Halle la rapidez (en m/s) del objeto, un instante antes de que impacte con el piso. a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30 42. Desde un globo que asciende con una velocidad de 6 m/s, se lanza una piedra horizontalmente respecto del globo con una velocidad de 5 m/s. La piedra experimenta un alcance horizontal de 15 m hasta llegar al suelo. ¿Desde qué altura “H” se soltó la piedra? a) 24 m b) 25 m c) 27 m d) 29 m e) 32 m

43. En la figura el campo gravitatorio se representa mediante las líneas de fuerza. Se lanza una pelota perpendicular a la superficie con una velocidad de 20 m/s. Hallar la altura máxima que alcanza la pelota respecto a la superficie. La intensidad del campo gravitatorio es

. a) 24 m b) 25 m c) 27 m d) 29 m e) 32 m 44. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba de la azotea de un edificio con una rapidez de 30 m/s. Si el objeto demora 8 s en llegar al suelo, hallar la altura del

edificio. ( ). a) 80 m b) 90 m c) l00 m d) 70 m e) 60 m 45. Desde se lanza un proyectil “P” verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s. Determinar cuántos segundos después de que partió “P” se debe lanzar un proyectil “Q” desde el punto “A” con un ángulo de elevación de 37º para que ambos colisiones cuando “P” se halle en su altura máxima. a) 4 s b) 5 s c) 6 s d) 7 s e) 8 s 46. Desde el punto “O” se apunta el aro “A” y se lanza una pelota. Hallar con qué rapidez se debe lanzar la pelota para que pase por el centro del aro. a) 10 m/s d) 20 m/s b) 12 m/s e) 15 m/s c) 18 m/s

40 2 m / s

2(10 m / s )

2g 10m / s

0v53º

g

0v

385 m

320 m

0v

A

B

37º

A

Av

y

37º

g

x

53ºB

Bv

A

0v

53º

g

45º

45º

v

117

45º

37ºA

B

h

47. Un objeto fue lanzado con una velocidad de 15 m/s y formando 37º con la horizontal. Hallar la rapidez del objeto 1,4 s. Después del lanzamiento. a) 12 m/s b) 15 m/s c) 13m/s d) 18 m/s e) 14 m/s 48. Con que inclinación respecto a la horizontal se debe disparar un proyectil para que alcance una altura de 5 m si su velocidad inicial es de 20 m/s. Considerar nula la resistencia del aire. a) 45º b) 53º c) 30º d) 37º e) 60º 49. Un jugador de basquetbol impulsa una balón con una velocidad de 10 m/s formando 37º con la horizontal y desde una altura de 2,25 m. ¿A qué distancia de jugador dará el primer rebote? a) 16 m d) 10 m c) 8 m d) 18 m e) 12 m 50. La trayectoria mostrada pertenece a un movimiento parabólico. Determinar “h”, si la velocidad en “A” tienen

un módulo de 10 m/s. a) 1 m d) 1,6 m b) 1,2 m e) 1,8 m c) 1,4 m 51. Un cuerpo “A” es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿A qué altura se encontraba un cuerpo “B” que fue lanzado horizontalmente con una rapidez igual a 4 m/s y al mismo tiempo que el cuerpo “A” y que luego choca con este último durante el vuelo? La distancia horizontal entre las posiciones iniciales de los cuerpos es 4 m. a) 5 m b) 20 m c) 10 m d) 25 m c) 15 m 52. En la figura se muestra un proyectil que es lanzado tal como se muestra en la figura. Si el tiempo para ír de O hacia A es de 12 s. determine el tiempo (en s) de C a D. a)4 b)1 c) 3 d)5 e) 2

53. Se lanza un proyectil con velocidad, bajo un ángulo con el horizonte. Si la altura máxima alcanzada es la tercera parte del alcance horizontal. Determínese la tangente del ángulo de lanzamiento. a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3 d) 5 e) 3/5 54. El niño mostrado en la figura lanza una piedra con una velocidad, de tal forma que se introduce en el tubo que se orienta 45° respecto a la vertical; de modo que el movimiento de la piedra coincide con el eje del tubo. Determine el módulo de (en m/s) , si h = 1,2m. a) 12 b) 18 c) 10 d) 32 e) 14 55. La esferita es lanzada con cierta rapidez “V” la cual luego de 7 segundos, logra impactar perpendicularmente contra el plano inclinado. Determinar “V”. (g=10m/s2) a) 10 m/s b) 40 m/s c) 20 m/s d) 50 m/s e) 30 m/s 56. Un grifo (caño) malogrado está a 40 cm del fondo de un lavadero y gotea a razón de 7 gotas por segundo. ¿A distancia (en cm) de una gota que toca el fondo está la gota siguiente? a) 0.80 b) 9.8 c) 33 d) 34 e) 35 57. Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. Hallar el desplazamiento (en m)

entre los instantes

a) b) c)

d) e)

2( 10m/ s )g

1 2t 2s y t = 6s.

0 j 6 j 40 j

40 j 60 j

118

58. Una partícula se encuentra en en la posición

parte del reposo con aceleración . Determinar (en m) su desplazamiento en el tercer segundo de su movimiento.

a) b) c)

d) e) 59. Un proyectil se dispara con una velocidad inicial

, desde la superficie de un planeta

donde la aceleración gravitacional es . Determine el rango (en m) del proyectil. a) 13 b) 22 c) 48 d) 65 e) 80 60. Una persona se encuentra en la posición

y parte con una velocidad inicial de

¿Cuál deber ser su aceleración para que

llegue a la posición en 2 s (en )?

a) b) c)

d) e) 61. Desde un mismo punto en una meseta plana horizontal se lanzan dos proyectiles A y B ambos haciendo

un ángulo de 45º respecto del piso y rapideces iniciales

y respectivamente. Si el proyectil B logra doble alcance

que A, halle:

a) 1 b) c)

d) 2 e) 62. Una partícula es lanzada perpendicularmente a un

plano inclinado tal como se muestra .Determine que debe pasar para que impacte en el plano no considere la resistencia del aire. a) 650 m b) 625 m c) 615 m d) 700 m e) 560 m

63. La rapidez de lanzamiento del proyectil es de 0V 5

m/s. Hallar el tiempo que demora el proyectil en ir de A hacia B. a) 0.20 s b) 0.25 s c) 0.30 s d) 0.35 s e) 0.40 s

64. Se lanza del suelo una bola con rapidez de 40 2 m/s y una inclinación de 45º ¿Después de que tiempo su velocidad formara 37º con la horizontal en su movimiento de ascenso? a) 1 s b) 2 s c) 4 s d) 6 s e) 8 s 65. Hallar la rapidez con que se lanza un cuerpo

horizontalmente desde cierta altura “h”, si luego de 3 s su rapidez fue el doble de la inicial. a) 10 m/s b) 12 m/s c) 14 m/s d) 16 m/s e) 18 m/s 66. Desde el suelo se lanza un cuerpo con un ángulo de elevación de 530 alcanzado una rapidez de 30 m/s en el punto más alto de su trayectoria. Hallar su altura máxima H. a) 50 m b) 60 m c) 70m d) 80 m e) 90 m 67. Durante una prueba, un comando se deja caer de un helicóptero que se mantiene en el aire a 2800 m del nivel de la pista prueba, si lleva consigo un retro propulsor que

le permite variar su rapidez a razón de 4 . Determine la altura, en la cual debe activarse el retro propulsor de tal manera que el comando se pose suavemente en el suelo a) 900 m b) 800 m c) 2500 m d) 2000 m e) 2400 m

t =0

(3i+4j)m2(6i+8j)m / s

5i+20j 8i+20j 7i+8j

15i+20j 1.2i+18j

0v (30i+40j)m / s

2g ( 6i 10j)m / s

0r (2i 3j)m

0v 2i m / s.

r 8im 2m / s

i 1.5j 8i 20j i 1.5j

2i 1.5j 2i 1.5j

Av

Bv

A Bv / v

2 3

5

3d /16 2m / s

37º

25 m / s

d

A37º

16º0v

g B

119

68. Desde lo alto de una torre de 180 m de altura, se lanza un objeto hacia arriba con velocidad de 45 m/s. Después de cuánto tiempo (en s) dicha objeto llega al piso a) 4.5 s b) 7 s c) 3 s d) 12 s e) 15 s 69. Un cuerpo se deja caer en libertad en lo alto de un plano inclinado sin fricción, el cual forma 37º con la horizontal. Hallar cuánto desciende durante 2 s

. a) 18 m b) 15 m c) 12 m d) 9 m e) 3 m 70. Desde un globo con aire caliente estacionado a 60 m sobre el nivel de cierto lago, deja caer un objeto; un buzo va en su búsqueda y lo encuentra a 4 m de profundidad respecto a la superficie libre. Determine la desaceleración

que provocó el agua sobre dicho objeto (en ). a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 220 71. Las esferas A y B lanzadas simultáneamente con la misma rapidez, A horizontalmente y B verticalmente, chocan estando a una altura de “H/2”. Halle “X” a) 0,5m b) 1.0m c) 1,5m d) 2,0m e) 2,5m 72. Los proyectiles A y B son lanzados simultáneamente,

colisionando en el aire. Hallar la razón Tg / Tg entre los

ángulos de disparo “ ” y “ ”. a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3 e) 1/4

73. Desde un globo que asciende con rapidez de u=6m/s, se lanza una piedra horizontalmente (respecto del globo)

con rapidez de XV 5m / s alcanzando una distancia horizontal de 15 m hasta llegar al suelo, ¿Desde qué altura “H” se lanzó la piedra? a) 21m b) 23m c) 25m d) 27m e) 29m 74. Un punto A se encuentra en la misma vertical que otro punto B y a 60m de altura sobre este. En el punto A se suelta una pelota y 2s después se lanza desde B otra con una rapidez de 20 m/s vertical hacia arriba. ¿A cuántos metros chocan de B? a) 10 m b) 30 m c) 15 m d) 35 m e) 25 m 75. Respecto al movimiento de caída libre, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Se deja caer una bola de acero y una pelota simultáneamente y desde una misma altura, impacta en el piso primero la bola de acero y luego la pelota. II. Cuando se deja caer una partícula desde cierta altura, la distancia que recorre es directamente proporcional al tiempo al cuadrado. III. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez v desde el borde un barranco y simultáneamente una segunda piedra es lanzada verticalmente hacia abajo con la misma rapidez v, la segunda piedra llega al fondo del barranco con mayor velocidad que la primera. a) VVV b) FVF c) VFV d) FFV e) FFF 76. Desde el piso se lanza 2 pelotitas hacia arriba, la primera a 30 m/s y la segunda 2 segundos después pero a 40 m/s, ¿qué distancia las separa cuando la primera llega a su altura máxima? Use. (g=10m/s2) a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

2(g 10 m / s )

2m / s

1H m

/ 2H

A

v

B

/ 2H

g

v

B

H

A

1v 2v

d 2d

H

U

g

0

u

120

77. El piloto de un avión que vuela horizontalmente a una altura "H" con una rapidez "V" observa el blanco bajo un ángulo de depresión "", halle Tgθ, conociéndose que en dicho instante el piloto dejo caer una bomba que acertó en el blanco.

a) b) c)

d) e) 78. En el instante mostrado, las esferas son lanzadas simultáneamente. Si ambas logran impactar, determine la rapidez v.(g=10m/s2) a) 10m/s b) 20m/s c) 35m/s d) 40m/s e) 75m/s

Lectura 5:

BREVE HISTORIA DE LAS CATAPULTAS

Los textos clásicos revelan una nueva comprensión sobre la historia de las catapultas y balanzas. Apártate Arquímedes. Un investigador de la Universidad de Harvard ha encontrado que los antiguos artesanos griegos eran capaces de diseñar máquinas sofisticadas sin necesidad de comprender la teoría matemática que subyace a su construcción. Los análisis recientes de tratados técnicos y fuentes literarias del siglo V a.c revelan que la tecnología floreció entre los profesionales con limitados conocimientos teóricos. “Los artesanos tenían su propio tipo de conocimiento que no tenía que estar basado en la teoría”, explica Mark Schiefsky, profesor de cultura clásica en la Faculta de Arte y Ciencias de Harvard. “No iban a la Academia de Platón a aprender geometría, y aun así eran capaces de construir dispositivos calibrados con precisión”. La balanza, usada para medir el peso en todo el mundo antiguo, es la mejor ilustración de los hallazgos de Schiefsky sobre la distinción entre el conocimiento teórico y el de los artesanos. Trabajando con un grupo liderado por Jürgen Renn, Director del Instituto Max Planck para la Historia de la Ciencia en Berlín, Schiefsky ha encontrado que la balanza romana — una balanza con brazos desiguales — se usó a principio de los siglos V y IV a.c., antes de que Arquímedes y otros pensadores de la era helenística dieran una demostración matemática de sus bases teóricas. “La gente supone que Arquímedes fue el primero en usar la balanza romana dado que suponen que no se podía crear una sin conocer la ley

de las palancas. De hecho, puedes — y la gente lo hacía. Los artesanos tenían su propio conjunto de reglas para hacer la escala y calibrar el dispositivo”, dice Schiefsky. Las necesidades prácticas, así como la prueba y error, llevó al desarrollo de tecnologías como la balanza romana. “Si alguien lleva un trozo de carne de 50 kilos al ágora, ¿cómo lo pesas?”, pregunta Schiefsky. “Sería genial tener un contrapeso de 5 kilos en lugar de uno de 50, pero para hacer eso necesitas cambiar el punto de equilibrio y comprender ostensiblemente el principio de proporcionalidad entre el peso y la distancia desde el fulcro. Aun así, estos artesanos fueron capaces de calibrar sus dispositivos sin comprender la ley de la palanca”. Los artesanos aprendieron a mejorar estas máquinas a través del uso productivo en el curso de sus carreras, dice Schiefsky. Con el surgimiento del conocimiento matemático en él era helenística, la teoría comenzó a ejercer una mayor influencia en el desarrollo de las tecnologías antiguas. La catapulta, desarrollada en el siglo III a.c., proporciona la forma en que se sistematizó la ingeniería. Con la ayuda de las fuentes literarias y datos de las excavaciones arqueológicas, “Podemos rastrear con certeza cuando comenzaron los antiguos a usar métodos matemáticos para construir la catapulta”, apunta Schiefsky. “Las máquinas se construyeron y calibraron con precisión”. Los reyes alejandrinos desarrollaron y patrocinaron un programa de investigación activa para un mayor refinamiento de la catapulta. A través de la experimentación y la aplicación de métodos matemáticos, tales como el desarrollado por Arquímedes, los artesanos fueron capaces de construir unas máquinas de gran potencia. Tendones de animales trenzados ayudaron a incrementar el poder del brazo de lanzamiento, el cual podría arrojar piedra de 25 kilos o más. La catapulta tuvo un gran impacto en la política del mundo antiguo. “Podías atacar repentinamente una ciudad que anteriormente había sido impenetrable”, explica Schiefsky. “Estas máquinas cambiaron el curso de la historia”. De acuerdo con Schiefsky, la interacción entre el conocimiento teórico y el saber práctico es crucial para la historia de la ciencia occidental. “Es importante explorar lo que hicieron los artesanos y lo que no hicieron”, dice Schiefsky, “de forma que podamos comprender mejor cómo encaja su trabajo en el arco del desarrollo científico”. La investigación de Schiefsky está patrocinada por la Fundación Nacional de Ciencia y el Instituto Max Planck para Historia de la Ciencia en Berlín.

v gH 22

vgH

2

2

gH

v

gH

v2

gH

v

v

53°

45m

45m

g

25m/s

121

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

Es aquel movimiento que se caracteriza por que su

trayectoria es una circunferencia y de acuerdo a su

velocidad angular se pueden clasificar en:

Movimiento Circunferencial Uniforme (MCU)

La velocidad angular es constante.

Movimiento Circunferencial Uniformemente

Variado (MCUV)

La velocidad angular es variable y además posee

aceleración angular.

DEFINICIONES:

1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR (): Es el ángulo

que se describe en el centro de la trayectoria

correspondiente a un arco de circunferencia, se le expresa

generalmente en radianes.

2. DESPLAZAMIENTO LINEAL (L): Es la longitud de

arco de la circunferencial recorrido por un cuerpo con

movimiento circunferencial.

3. PERIODO (T): Es el tiempo que demora un cuerpo con

movimiento circunferencial en dar una vuelta completa.

Unidades: segundos (s)

4. FRECUENCIA (f): Es el número de vueltas que efectúa

el móvil con movimiento circunferencial en cada unidad

de tiempo. También se define como la inversa del

periodo.

UNIDADES:

= (R.P.S.) = = Hertz (Hz)

= (R.P.M.)

= (R.P.H.)

5. VELOCIDAD TANGENCIAL ( ): Es una magnitud

vectorial cuyo módulo mide el arco recorrido por el móvil

en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser tangente a

la trayectoria.

UNIDADES: m/s, cm/s, etc.

6. VELOCIDAD ANGULAR (): Es una magnitud

vectorial cuyo módulo mide el ángulo barrido por el

móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser

perpendicular al plano de rotación.

Unidades: rad/s, rev/min (R.P.M.)

o

tiempo T

N de vueltas

oN de vueltas

f tiempo

rev/s 1/s

rev/min

rev/hora

V

A

B

V

L

R

122

8. Es aquella

magnitud vectorial que nos indica cuanto aumenta o

disminuye la velocidad angular en cada unidad de

tiempo.

Unidades: 2 2 2

rad/s , rad/min , rad/h , etc.

9. ACELERACIÓN TANGENCIAL ( Ta )

Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto

cambia la velocidad tangencial en cada unidad de

tiempo.

Unidades: 2 2

m/s , cm/s

10. ACELERACIÓN CENTRÍPETA ( ca )

Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es

el móvil su dirección radial y sentido siempre señalan

hacia la parte central de la circunferencia.

Unidades: , 2

cm/s

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

UNIFORME

En un movimiento circunferencial que se caracteriza

porque su velocidad angular permanece constante durante

todo el movimiento, esto significa que en tiempos iguales

barre ángulos iguales.

Velocidad angular ():

En general se define como velocidad angular a la razón

que existe entre el ángulo descrito por unidad de tiempo:

ángulo

tiempo t

Unidades: rad/s; R.P.M.

En función del período y la frecuencia:

2 2 f

T

Velocidad tangencial ( V )

V R 2 R

V 2 Rf T

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

UNIFORMEMENTE VARIADO

Es aquel movimiento que se caracteriza por que su

trayectoria es una circunferencia y su velocidad varía

uniformemente conforme transcurre el tiempo esto

significa que su aceleración angular permanece constante.

Las ecuaciones del movimiento son las mismas del

movimiento rectilíneo uniformemente variado. Además

algunas ecuaciones esenciales:

La aceleración en el Movimiento Circular

Uniformemente Variado

Aceleración centrípeta Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el

móvil su dirección radial y sentido siempre señalan hacia

la parte central de la circunferencia.

2

cV

aR

2

c a R Unidades: 2

m/s

Aceleración Tangencial:

Se define como el producto de la velocidad angular por el

radio de curvatura de la trayectoria:

a R

Si representamos un movimiento curvilíneo en general:

De acuerdo al diagrama se puede definir la aceleración

total en cualquier punto mediante el Teorema de

Pitágoras:

2 2 a a a ct

Fórmulas del MCUV

S R

V R

a R

f 0 t

f 0 t

2 2f 0 2

20

1 t t

2

2m/s

t

a

a

ca

ta

ta

ca

c

t

a : aceleración centrípeta

a : aceleración tangencial

a : aceleración total

123

TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS

Conociéndose las características de los movimientos

circulares en general, estas se aprovechan para transmitir

movimientos ya sea para aumentar o disminuir las

velocidades angulares o tangenciales. Ver Fig. 3.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. La luna hace una revolución completa en 28 días, si la

distancia promedio entre la Luna y la Tierra es de

m, aproximadamente, halle la velocidad

tangencial de la Luna con respecto a la Tierra.

a) 990 m/s b) 987 m/s

c) 992 m/s d) 997 m/s

e) 1000 m/s

Solución:

El período de la Luna es 28 días

T 28 24 3600 s La velocidad tangencial se define como:

V R 2 R

VT

Sustituyendo variables: 7

2 (38,4 10 )V

28 24 3600

V 997 m/s Rpta.

2. Considerando un radio ecuatorial de 6400 km,

determine la velocidad tangencial, con respecto al eje

terrestre, en un punto ecuatorial en km/h.

a) 1600

km/h3

b) 1400

km/h3

c) 1600

km/h3

d) 1700

km/h3

e) 1600

km/h5

Solución:

Dadas las condiciones, el periodo de un punto de la

superficie terrestre es 24 horas.

T 24 3600 s

Se sabe que: 2 R

VT

Sustituyendo:

2 (6400 km)V

24 h

V 1600

km/h 3

Rpta.

3. Halle la velocidad tangencial alrededor del eje

terrestre de un punto en la superficie terrestre a una latitud

de 60º N en km/h.

a) 800

rad/h3

b) 500

rad/h3

d) 750

rad/h3

d) 505

rad/h3

e) 500 rad/h

Solución:

La velocidad angular en cualquier punto de la Tierra es la

misma, pero la velocidad tangencial varía de acuerdo al

radio de la trayectoria de dicho punto de la Tierra.

2

T

2 rad

24 h

rad/h12

Cálculo del radio de curvatura a latitud 60º N:

r R cos 60º

1r 6400

2

r 3200 km

Velocidad tangencial:

V R

V rad/h 3200 km12

V 800

rad/h 3

Rpta.

4. ¿Cuánto dura el día de un planeta “saturno” cuyo radio

promedio es 10000 km; si un punto superficial a latitud

37º N (medido desde su línea ecuatorial) tiene una

velocidad lineal de 400 km/h ?

a) 36 h b) 32 h c) 40 h

d) 42 h e) 50 h

738,4 10

A B

BVAV

A B

BVAV

B A

BA

A B

BA

r

60º

V R

124

Solución:

Ubicamos un punto de latitud 37º N y hallamos su radio

de giro (r)

r 1000cos37º

4r 10000

5

r 8000 km La velocidad lineal:

2 rV

T

2 (8000)400

T

2 (8000)T

400

T 40 horas

El día en el planeta “saturno” dura:

40 h Rpta.

5. En una pista circular se cruzan dos partículas con

velocidades angulares de rad/s10

y rad/s

20

. Si estas

velocidades angulares son mantenidas constantes, hallar

el tiempo adicional suficiente para que los vectores

velocidad de estas partículas formen 90º.

a)

Solución:

Se sabe que: t

Del diagrama:

1 22

1 2t t2

1 2t( )

2

Reemplazando: t10 20 2

3t

20 2

t 3,33 s Rpta.

6. Sobre dos vías circulares tangentes se desplazan dos

móviles, tal como se muestra en la figura, con velocidades

angulares constantes B A( 2 ) . Determinar el valor del

ángulo " " si se sabe que los móviles colisionan en “O”

antes de completar la primera vuelta.

a) 25º b) 30º c) 37º d) 45º e) 53º

Solución:

Para que “A” y “B” colisionen en “O” es necesario que

ambos lleguen a “O” y en el mismo tiempo, es decir:

A Bt t A B

A B

A A

3

2 22

32

2

2 4 3 2

6

30º Rpta.

7. En el instante se muestra la posición de las partículas

que viajan circularmente por pistas tangentes

exteriormente, si la velocidad angular de “A” es

rad/min , hallar la velocidad angular de “B” (en

rad/min) para que las partículas se encuentren en “O” sin

dar más vueltas.

a) 4

b)

3

c)

2

d) 5

e)

2

5

Solución:

Del diagrama: A

B

300º

60º

Los móviles se encuentren en “O”, llegan a dicho punto

al mismo tiempo, luego:

A Bt t A B

A B

B

300º 60º

B rad/min

5

Rpta.

r

37º

R

P

N

1V2V12

O

A

B

O

B

A

O30º

B

A

O30º B60º

A

125

8. Al desconectarse un ventilador se genera una

desaceleración de 20 2

rad/s , si inicialmente el ventilador

gira a razón de 100 rad/s . Hallar el número de vueltas

que darán las aspas del ventilador hasta detenerse.

a) 32 b) 36 c) 40

d) 45 e) 48

Solución: 2 2

f 0

2

2(100)

2(20) 250 rad

Cálculo del número de vueltas:

250Nº vueltas

2

Nº vueltas 40 Rpta.

9. Hallar la velocidad angular (en rad/s) del tambor de

60 m de radio en el momento en que la carga desciende

a razón de 6 m/s. Los tambores de radios “R” y “2R” son

solidarios.

a) 18

b) 20

c) 24

d) 25

e) 28

Solución:

Seleccionemos un par adecuado de tambores:

1 2 1 2

1 2

V V

R R

2V6

R 2R 2V 6 m/s

En los tambores B y C:

3 2V V 3 3R 12

312

0,6 20 rad/s Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Señale verdadero (V)o falso (F) respecto al

movimiento circunferencial (MC)

I. En un MC si el módulo de la velocidad es

constante, entonces la aceleración es

necesariamente cero.

II. Si la aceleración tangencial es cero, entonces la

velocidad la velocidad es constante.

III. Es imposible desplazarse a lo largo de una curva

sin aceleración

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FFV e) FFF

2. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea de

acuerdo al Movimiento Circular Uniforme.

I. Posee aceleración.

II. Su velocidad es constante, en módulo y dirección.

III. Es un movimiento periódico.

a) VFV b) VFF c) FVV

d) VVV e) FFF

3. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las

siguientes proposiciones:

I. La aceleración tangencial es nula cuando la rapidez

es constante.

II. En el M.C.U. la aceleración normal es constante.

III. En el M.C.U.V. la magnitud de la aceleración

tangencial es constante.

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FFF e) VFV

4. Señale verdadero (V)o falso (F) respecto al

movimiento circunferencial

I. Si el período en un MCU aumenta entonces el radio

disminuye.

II. En un MCUA, la aceleración instantánea es tangente

a la trayectoria.

III. En un movimiento circunferencial, si la aceleración

no varía en magnitud entonces el módulo de la velocidad

es constante

a) VVV b) VFV c) FFV

d) FVF e) FFF

5. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea

respecto a la aceleración centrípeta.

I. Es constante su módulo en el MCU.

II. Modifica la dirección de la velocidad tangencial.

III. Siempre es perpendicular a la velocidad

tangencial.

a) FFV b) FVV c) VVF

d) VFV e) VVV

6. Indique la proposición incorrecta respecto al MCUV.

a) Su aceleración angular es constante sólo en

módulo.

b) Posee aceleración tangencial constante.

c) Su velocidad angular varía uniformemente en

módulo.

d) No es un movimiento periódico.

e) Posee aceleración centrípeta variable.

R

2R

60 cm

1

B

60 cm2 3

A C

1V

126

7. Señale con V (verdadero) o F (falso), respecto de la

aceleración tangencial.

I. Puede ser opuesta a la velocidad tangencial.

II. Es constante en dirección.

III. Modifica el módulo de la velocidad tangencial

únicamente.

a) VVF b) VFV c) FVV

d) VVV e) FFF

8. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea

respecto a la aceleración angular.

I. Es perpendicular a la aceleración centrípeta.

II. Es constante en módulo únicamente.

III. Modifica únicamente el módulo de la velocidad

angular.

a) VVF b) FVV c) VFV

d) FFV e) VVV

9. ¿Cuándo se dice que la aceleración angular es

negativa?

a) Cuando tiene el mismo sentido que el

desplazamiento angular.

b) Cuando la velocidad angular es opuesta al

desplazamiento angular.

c) Cuando es opuesta al desplazamiento angular.

d) Cuando es opuesta a la velocidad angular.

10. Una partícula gira con una frecuencia correspondiente

a .Calcular su velocidad angular en ( )

a) b) c)

d) e)

11. Un cuerpo posee una velocidad de 10π rad/s

(constante). Hallar el numeró de vueltas que da en

medio minuto

a) 5 b) 150 c) 300

d) 50 e) 20

12. Marquito observa el paso de un meteoro fugaz el 14

de febrero durante 3,14 segundos en el cielo y

describe en ese tiempo un arco de 8°. ¿Cuál fue la

velocidad media expresada en (km/h) si la distancia

media al observador fue de 60 km?

a) 9 500 b) 9 600 c) 9 700

d) 9 800 e) 9 900

13. Un disco gira con una velocidad angular constante. Si

los puntos periféricos tienen el triple de velocidad de

aquellos puntos que se encuentran a 5 cm más cerca

al centro del disco, Hallar el radio del disco

a) 7,5 cm b) 15 cm c) 25 cm

d) 10 cm e) 20 cm

14. Las partículas parten simultáneamente con periodos

de 20 y 30 segundos. ¿Al cabo de que tiempo logran

cruzarse por segunda vez?

a) 6 s

b) 12 s

c) 18 s

d) 21 s

e) 25 s

15. Considerando que la tierra rota uniformemente,

determinar la rapidez tangencial de una

ciudad ubicada en el hemisferio norte a 53º de latitud.

(Radio terrestre 6400km).

a) b) c)

d) e)

16. Si la rueda de 10 cm de radio rota con una rapidez

angular constante de 20 rad/s, con qué rapidez

desciende el bloque. (r=5cm)

a) 10 cm/s

b) 20 cm/s

c) 20 cm/s

d) 40 cm/s

e) 50 cm/s

17. En el siguiente sistema, determinar la velocidad

angular de la rueda “B”

a)

b)

c)

d)

e)

720R.P.M rad s

24 36 36

24 18

m / s

4000

9

800

9

300

5

400

9

1600

9

aR 6m

b aR 2m , 60rad s

120 rad s

180 rad s

150 rad s

200 rad s

145 rad s

10cm

r4r

127

18. Un motor lleva una polea de 20 cm de radio que gira

a una velocidad de 600 R.P.M. y pone se en

movimiento mediante una transmisión por faja otra

polea de 40 cm de radio. La velocidad angular que gira

esta última polea en rad/s. Es ( )

a) 40

b) 30

c) 20

d) 60

e) 80

19. Un móvil con M.C.U emplea "t" segundos en efectuar

una vuelta sobre una pista circular y cada 3/8 t

segundos se cruza con un segundo móvil que va en

dirección contraria. ¿Cuál es el período del segundo

móvil?

a) t/8 b) 3 t/5 c) 2t/5

d) 6t/5 e) 2t/7

20. Los puntos periféricos de un disco giran

uniformemente a 4 m/s, si los puntos, que se

encuentran a 0,2 m de la periferia giran a 3 m/s. Halle

el radio del disco.

a) 0,2 m b) 0,4 m c) 0,6m

d) 0,8 m e) 1,0 m

21. A, B y C tiene MCU, A y B son solidarias; RB = 50

cm, RA=10cm y RC = 40 cm. Si la frecuencia angular

de A es 4 rev/s, calcular el periodo de C.

a) 1 s b) 2 s c) 3 s

d) 0,1 s e) 02 s

22. Si el bloque "A" se mueve con rapidez de 3 m/s. ¿Con

qué rapidez se mueve "B"?.

a) 3 m/s b) 8 m/s c) 1 m/s

d) 6 m/s e) 2 m/s

23. Un disco experimenta un MCUV en un determinado

segundo el disco gira 12 rad y en el segundo siguiente

un ángulo de 16 rad. Hallar la magnitud de la

aceleración angular que experimenta el disco.

a) 4 rad/s2

b) 6 rad/s2

c) 3 rad/s2

d) 1 rad/s2

e) 2 rad/s2

24. Una partícula gira alrededor de una circunferencia con

MCUV. En un determinado instante su rapidez es de

6πrad/s y tres segundos después su rapidez es de

9πrad/s. Calcular el número de vueltas que ha dado

luego de 6 s de iniciado su movimiento

a) 7

b) 12

c) 9

d) 13

e) 8

25. Dos discos concéntricos y pegados giran con una

velocidad angular constante de 30 rad/s. Si ,

determine la rapidez con la cual se mueve la polea A.

a) 7,5 m/s

b) 20 m/s

c) 22,5 m/s

d) 15 m/s

e) 10 m/s

26. Dos partículas que ejecutan MCU se encuentra 10

segundos después del instante que se muestra en la

figura. Si , hallar .

a)

b)

c)

d)

e)

3

RA

RB RC

Faja

r 0.3m

1rad/ s

2en rad / s

17

18

18

19

19

2020

21

21

22

g

r

4r

A

2R1R21

A B

4r

6r

r

2r r

r

128

AR = 10 m

V

B

27. El movimiento de A se transmite a B por una correa,

tal como se muestra. Calcule la rapidez del punto P(en

cm/s), se sabe que la frecuencia de A es 5 Hz, los

radios de A y B de 5 cm y 10 cm respectivamente. El

punto P dista 8 cm del centro.

a) 60

b) 50

c) 40

d) 20

e) 15

28. Una partícula que realiza MCUV parte del reposo. Si

en ha recorrido una longitud igual a dos

veces el radio de la trayectoria. Calcular la rapidez

angular en rad/s a los 5 segundos después de iniciado

el movimiento.

a) 10

b) 5

c) 15

d) 20

e) 4

29. Determine la magnitud de la aceleración centrípeta

(en m/s2) de un móvil en el instante t = 5 s, si el radio

de giro del móvil es 0,4 m. La ecuación del

movimiento es θ = 5 + 25 t, donde θ:

radianes, t: segundos.

a) 250

b) 200

c) 120

d) 140

e) 239

30. En el instante mostrado en la figura, una partícula que

se mueve con MCUV tiene una rapidez de 30 m/s y

aceleración "" que hace 37º con la tangente a la

trayectoria. Calcule el valor de " ".

a) 200 m/s2

b) 220 m/s2

c) 240 m/s2

d) 300 m/s2

e) 320 m/s2

31. En el preciso instante que la esfera es soltada el disco

inicia su movimiento con una aceleración angular de

. Determinar el valor de "h" si dicha

esfera ingresa al agujero, luego que el disco dio 2

vueltas. g = 10 m/s2.

a) 2,5 m

b) 3,0 m

c) 3,5 m

d) 5,0 m

e) 5,5 m

32. Una partícula parte del reposo en "A" y describe una

circunferencia como trayectoria. Si después de 4/3 s

se encuentra en "B" con una velocidad

, determine su recorrido

angular y la magnitud de la aceleración angular.

a)

b)

c)

d)

e)

33. A 1,25m del piso, en un plano horizontal, un depósito

de arena gira con una velocidad angular de 4 rad/s y

con 2 m de radio mientras va dejando caer gránulos de

arena por un orificio practicando en el fondo del

depósito halle el radio de la circunferencia de arena

que se forma en el piso.

a) 2m b) 3m c) 4m

d) e)

34. Un pastor hace girar su honda en una circunferencia

de 2 m de radio a razón de . ¿Con que

velocidad sale la piedra si la cuerda se rompe después

de 8 vueltas?

a) 12 m/s b) 14 m/s c) 16 m/s

d) 18 m/s e) 20 m/s

t 1 s

a

28 /rad s

5 3 5 /v i j m s

22 3; /

3 4rad rad s

2;7,5 /3

rad rad s

2; /rad rad s 22 ;3,5 /rad rad s

2; /3 2

rad rad s

2 5m 4 2m

22rad/s

A

P

B

a

R = 5m

37º

h

129

35. Determine la aceleración angular de un volante que

inicia su movimiento desde el reposo y adquiere en 6

s una velocidad de 240 R.P.M ( )

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 3

36. La velocidad angular del volante de un auto aumenta

a la razón constante de 3000 R.P.M a 4200 R.P.M en

60 s La aceleración angular del auto en ( )

a) 1 b) 4 c) 5

d) e)

37. Una partícula inicia su M.C.U.V con una velocidad

tangencial de 6 m/s .Si su aceleración tangencial es de

, y su radio de giro es de 9m .Su velocidad

tangencial en m/s y en rad/s luego de 12 s es.

a) 48 y 6 b) 54 y 6 c) 48 y 8

d) 54 y 8 e) 48 y 9

38. Una esferita se desplaza con M.C.U .V de tal modo

que luego de recorrer 8 m incrementa su velocidad de

4 m/s a 12 m/s .Si su radio es de 4 m. La aceleración

tangencial ( ) y la aceleración angular en (

) es.

a) 4 y 3 b) 6 y 12 c) 5 y 10

d) 8 y 2 e) 6 y 10

39. Un cuerpo está girando alrededor de una

circunferencia con aceleración angular constante de

20 ; si necesita 3 s para girar un ángulo de 234

rad. ¿Qué velocidad angular poseía al cabo de ese

tiempo?

a) 102 rad/s b) 108 rad/s c) 105 rad/s

d) 112 rad/s e) 115 rad/s

40. Determinar la aceleración angular con que gira una

rueda para que en el tercer segundo efectúe 16 vueltas

menos que en el séptimo segundo.

a) b) c)

d) e)

41. Calcular la aceleración angular en que tiene

un disco, sabiendo que es capaz de triplicar su

velocidad luego de realizar 600 vueltas en 20 s.

a) b) c)

d) e)

EVALUACIÓN

1. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea de

acuerdo al Movimiento Circunferencial Uniforme.

I. Posee aceleración.

II. Su velocidad es constante, en módulo y dirección.

III. Es un movimiento periódico.

a) VFV b) VFF c) FVV

d) VVV e) FFF

2. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea

respecto a la aceleración centrípeta.

I. Es constante su módulo en el MCU.

II. Modifica la dirección de la velocidad tangencial.

III. Siempre es perpendicular a la velocidad tangencial.

a) FFV b) FVV c) VVF

d) VFV e) VVV

3. Indique la proposición incorrecta respecto al MCUV.

a) Su aceleración angular es constante sólo en módulo.

b) Posee aceleración tangencial constante.

c) Su velocidad angular varía uniformemente en

módulo.

d) No es un movimiento periódico.

e) Posee aceleración centrípeta variable.

4. Señale con V (verdadero) o F (falso), respecto de la

aceleración tangencial.

I. Puede ser opuesta a la velocidad tangencial.

II. Es constante en dirección.

III. Modifica el módulo de la velocidad tangencial

únicamente.

a) VVF b) VFV c) FVV

d) VVV e) FFF

5. Señale en la figura la expresión correcta que relaciona

a los vectores mostrados.

a) V r

b) V r

c) V r

d) V r

e) V r

6. Cinco ruedas se encuentran conectadas como se

muestra en la figura. Halle la velocidad del bloque

“Q” si se sabe que: AR 5m , BR 10m , DR 6m

y ER 12m.

a) 2 m/s

b) 3 m/s

c) 4 m/s

d) 5 m/s

e) 10 m/s

3

2rad s 3

2 1

24 m s

2m s 2rad s

2rad s

24 m/s

26 m/s

28 m/s

210 m/s

212 m/s

2(rad / s )

2 3

4 5

Vr

90º

AB C

E

D

Q

Vp 10 m/s

130

7. Marquito observa el paso de un meteoro fugaz el 14

de febrero durante 3,14 s en el cielo y describe en ese

tiempo un arco de 9°. ¿Cuál fue la velocidad media

expresada en (km/s) si la distancia media al

observador fue de 80 km?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8. Si las partículas A y B parten simultáneamente con

A 3 rad/s y B 2 rad/s . ¿Qué tiempo tardan

en encontrarse?

a) 0,2 s

b) 0,3 s

c) 0,4 s

d) 0,5 s

e) 0,1 s

9. Determine el tiempo mínimo que tardan en

encontrarse los móviles 1 y 2, si 1 rad / s y

2 2 rad / s .

a) 0,6 s

b) 0,5 s

c) 0,4 s

d) 0,2 s

e) 0,1 s

10. En el sistema mostrado se sabe que A 12rad/s ,

hallar la velocidad tangencial en el borde de la rueda

C.

a) 8 m/s

b) 6 m/s

c) 4 m/s

d) 2 m/s

e) 1 m/s

11. Dos cuerpos en una trayectoria circunferencial parten

desde un mismo punto con velocidades de 8 y

2 m/s en sentidos contrarios. ¿Al cabo de cuánto

tiempo se encontraran? (R 10m) .

a) 1 s

b) 2 s

c) 3 s

d) 4 s

e) 5 s

12. Dos pelotas atadas a una cuerda giran en un plano con

M.C.U. Si la velocidad tangencial de “A” es de 20

cm/s. ¿Cuál es la velocidad angular del conjunto y la

velocidad tangencial correspondiente de “B” en rad/s

y cm/s respectivamente?

a) 0 y 8

b) 1 y 62

c) 33 y 5

d) 7 y 1

e) 2 y 50

13. Una rueda de 2,5 m de radio gira a razón de 120/

R.P.M. respecto a un eje fijo que pasa por su centro,

una partícula se suelta del punto “A” halle el

desplazamiento horizontal “x” 2

(g 10 m/s ) .

a) 8 m

b) 10 m

c) 4 m

d) 5 m

e) 15m

14. A 1,25m del piso, en un plano horizontal, un depósito

de arena gira con una velocidad angular de 4 rad/s y

con 2 m de radio mientras va dejando caer gránulos de

arena por un orificio practicando en el fondo del

depósito halle el radio de la circunferencia de arena

que se forma en el piso 2

(g 10 m/s ) .

a) 2m b) 3m c) 4m

d) 2 5m e) 4 2m

15. Las partículas parten simultáneamente con periodos

de 20 y 30 segundos. ¿Al cabo de que tiempo logran

cruzarse por segunda vez?

a) 6 s b) 12 s c) 18 s

d) 21 s e) 25 s

16. En MCUV se puede afirmar:

I. y son colineales.

II. y a son ortogonales.

III. y v son colineales.

a) I b) II c) III d) IV e) todas

17. Una partícula de MCUV partió desde el reposo con

aceleración de 6 rad/s2, al cabo de los 10s su

aceleración centrípeta es m/s2 es: el radio de giro es de

1m.

a) 3000 b) 3200 c) 3400

d) 3600 e) 3800

x

A B

E

1

E

2

A

C2m

3mAB

1m

15cm

10cm

O

A

B

131

18. Una partícula describe una trayectoria circular de

radio 0,5 m con aceleración angular constante 2

5 rad/ s Si parte del reposo, hallar el módulo de

la aceleración normal dos segundos después de su

partida en m/s2.

a) 100 b) 50 c) 25

d) 10 e) 5

19. Halle “” en un MCUV, sie en 3 segundos el disco

gira 180 rad siendo 108 rad/s su velocidad angular al

cabo de este tiempo.

a) 32 rad/s2 b) 34 rad/s2 c) 36 rad/s2

d) 38 rad/s2 e) 40 rad/s2

20. En un MCUV se obeserva que en 2s triplica su

velocidad con desplazamiento angular de 4 rad. Halle

el desplazamiento angular para el siguiente segundo.

a) 3 rad b) 3,5 rad c) 4 rad

d) 4,5 rad e) 5 rad

21. Con MCUV en 1s una particular gira 42 rad, en el

siguiente segundo gira 54 rad, halle la aceleración

angular en rad/s2.

a) 8 b) 10 c) 12

d) 14 e) 16

22. Una partícula describe una trayectoria circular de 6m

de radio, halle la velocidad para cierto instante en que

su aceleración mide 15 m/s2 y forma 37° con la

velocidad.

a) 6 m/s b) 3 6 c) 12

d) 12 2 e) 15

23. Una hélice parte con velocidad inicial de 4 rad/s.

¿Cuántas vueltas dará en el tercer segundo?. Su

aceleración es de 6 rad/s2.

a) 6,5 b) 7,5 c) 8,5

d) 9,5 e) 10,5

24. Un tocadisco gira a 33 rpm al cortar la corriente la

fricción hace que el tocadisco se frene con

desaceleración constante, observándose que luego de

3s gira a 32,5 rpm. ¿Qué tiempo, en segundos, tarda

el tocadisco para detenerse?

a) 250 b) 89 c) 180

d) 198 e) 195

25. Un cilindro de 1m de diámetro que se encuentra

rotando a razón de 30 rpm es desacelerado

uniformemente hasta 15 rpm. Si durante este tiempo

se han enrollado 90m de cuerda sobre el cilindro la

aceleración angular (en rad/s2) es:

a) 0,011 b) 0,021 c) 0,041

d) 0,051 e) 0,031

26. La velocidad de un automóvil aumenta

uniformemente en 10s de 19 km/h a 55 km/h. El

diámetro de sus ruedas es 50 cm, la aceleración

angular de las mismas en rad/s2.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

27. Hallar la velocidad angular inicial MCUV si su

aceleración angular es /9 rad/s2 y en el quinto

segundo recorre un cuarto de vuelta. (Dar la respuesta

en rad/s).

a) /2 b) c) 2

d) /4 e) 0

28. Una partícula recorre una circunferencia de 20 cm de

radio con una aceleración tangencial cuyo módulo

siempre es de 5 2

cm/s . ¿Cuánto tiempo después de

haber partido desde el reposo la aceleración lineal de

la partícula forma 45º con su respectiva velocidad?

a) 1 s b) 2 s c) 3 s

d) 4 s e) 5 s

29. Desde el reposo una partícula parte con aceleración

angular constante de /2 rad/s2, luego de uns instante

“t” la partícula pasa por un punto “A” y en un segundo

más gira un cuarto de vuelta. Hallar “t” (en s).

a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5

d) 0,6 e) 0,7

30. Cuando un ventilador es apagado, debido a la

fricción, desacelera uniformemente recorriendo 80

rad en los 4 primeros segundos, si la desaceleración

angular es de 4 rad/s2 encuentre el tiempo que demora

la fricción en detener al ventilador.

a) 7s b) 8s c) 9s

d) 10s e) 11s

31. Un disco que parte desde el reposo con aceleración

angular constante empleó “n” segundos en su segunda

vuelta, ¿Cuántos segundos emplearía en la primera

vuelta?

a) n b) 2 c) n 2 1

d) n 2 2 e) n 3

32. Un móvil parte desde el reposo con MCUV, halle el

ángulo que formará su aceleración con su velocidad

cuando el móvil se haya desplazado en “”.

a) b) 2 c) 1tg

d) 1

tan (2 )

e) 1

cot

33. La velocidad angular de un disco aumenta a razón

constante de 2400 RPM a 4800 RPM en 30 s. Hallar

la aceleración angular.

132

a) 22,45 rad/s b) 23,4 rad/s

c) 22,67 rad/s d) 22,4 rad/s

e) 22,8 rad/s

34. Transcurrido un tiempo “t” de haber partido un auto

con aceleración constante, las ruedas disponen de una

velocidad angular de 10 rad/s, si en 2s más las ruedas

giran a razón de 15 rad/s; encuentre “t”.

a) 1s b) 4s c) 7s

d) 10s e) 13s

35. En la correspondencia – vs – t. Halle el

desplazamiento angular hasta t 6 s , desde que se

inició el movimiento.

a) 60 rad

b) 22 rad

c) 33 rad

d) 66 rad

e) 132 rad

36. Anulada la corriente que alimenta a una hélice, este

gira “n” vueltas en el último segundo, halle la

velocidad angular de la hélice a 3s antes de detenerse

suponiendo una desaceleración uniforme.

a) 10 n rad/s b) 11 n rad/s

c) 12 n rad/s d) 13 n rad/s

e) 14 n rad/s

37. Un disco delgado de radio “R” soldado

perpendicularmente a un eje de longitud “H” gira

sobre un plano rugoso, sin deslizar, debido a que el

alambre gira con una velocidad angular constante “

”. ¿Cada cuánto tiempo el disco describe una

circunferencia sobre el piso?

a) 2 2

2 R H

R

b) 2 R H

R

c) 2 2

2 R H

R

d) 2 2

2 H R

R

e) 2 2

R H

R

45º

0t(s)

(rad/ s)

8