Unidad III. Movimiento en dos o tres dimensiones

Cinemática del movimiento en dos

dimensiones

Cinemática del movimientobidimensional o en el plano

El movimiento en la direcciòn x es independiente del

movimiento en la dirección y. Utilizaremos las

mismas ecuaciones definidas para el movimiento en

una dimensiòn, pero de manera separada para cada

dimensiòn.

Vector posición rEn dos dimensiones:

En tres dimensiones:

r xi y j

r xi y j zk

• Desplazamiento

2 1r r r

2 2 2 1 1 1

2 1 2 1 2 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

r x i y j z k x i y j z k

r x x i y y j z z k

r xi y j zk

Donde: (x1,y1,z1) corresponden a las coordenadas del vector posición r1 y (x2, y2, z2) corresponden a las coordenadas del vector posición r2

• Velocidad mediadesplazamiento

velocidad mediaintervalo de tiempo

med

med

rv

t

xi y j zk x y zv i j k

t t t t

La dirección de la velocidad media es la misma que la del desplazamiento.

Velocidad instantánea

• Donde las componentes escalares del vector v son

( )

x y z

d rv

dt

d dx dy dzv xi y j zk i j k

dt dt dt dt

v v i v j v k

, ,x y z

dx dy dzv v v

dt dt dt

La velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula

Aceleración

• Aceleración media

• Aceleración instantánea

med

va

t

yx z

x y z

dvdv dv dva i j k

dt dt dt dt

a a i a j a k

El vector posición para una partícula que se mueve en el plano

xy se puede escribir como:

r xi y j

La velocidad de una partícula está dada por:

Movimiento en dos dimensiones con aceleración

consante

(1)

(2)

x y

d r dx dyv i j

dt dt dt

v v i v j

Como la aceleración es constante sus componentes también son

constantes, asíq eu podemos aplicar las mismas ecuaciones que

el movimiento en una dimensión tanto para las componentes de

la velocidad en x como para y.

ta x0xx

ta y0yy

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

x x y y

x y x y

a t i a t j

i j a i a j t

0 a t

x yi j

Componente x de la velocidad

Componente y de la velocidad

(3)

De la Ec. (2)

(5)

(4)

Este resultado establece que la velocidad de una partícula en

cierto intervalo t es igual a la suma de su velocidad inicial v0 y y

una velocidad adicional at ,

De manera similar,

2

x21

0x0 tatvxx

2

y21

0y0 tatvyy

Sustituyendo en Ec. (1)

2

0 0 0 0

210 0 2

1( ) ( ) ( )

2x y x y

r

r x i y j v i v j t a i a j t

r r v t a t

(8)

(7)

(6)

Movimiento en 2 dimensiones con aceleraciónconstante

0x

2

0

2

x

2

x21

0x0

x0x21

0

x0xx

xxa2vv

tatvxx

tvvxx

tavv

“Horizontal” (x) “Vertical” (y)

0y

2

0

2

y

2

y21

0y0

y0y21

0

y0yy

yya2vv

tatvyy

tvvyy

tavv

x = coordenada x en el tiempo t

x0 = [coordenada x en el tiempo t=t0]

vx = Componente de la velocidad en la

dirección x en el tiempo t .

vx0 = Componente de la velocidad en

dirección x en el tiempo t=t0

y = coordenada y en el tiempo t

y0 = [coordenada x en el tiempo t=t0]

vy = componente de la velocidad en la

dirección y en el tiempo t .

vy0 = componente de la velocidad en la

dirección y en el tiempo t=t0

Ejemplo: Una partícula inicia en el origen en t = 0 con una

velocidad inicial con componentes x de 20 m/s y componente

en y de -15 m/s. La partícula se mueve en el plano xy sólo con

una componente de aceleración en x de ax = 4.0 m/s2.

s/m)t420(ta x0xx

s/m15ta y0yy

[(20 4 ) 15 ] /x yi j t i j m s

(A) Determine las componentes del vector veolcidad en cualquier

tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo.

Solución:

21v

vtan

x

y1

s/m43vvv 2

y

2

x

B) Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en t = 5.0 s.

(20 4 5) 15 (40 15 ) /v i j i j m s

El ángulo de v es, respecto al eje +vx

Y la rapidez es la magnitud de la

velocidad v

(C) Determine las coordenadas x e y de la partícula para

cualquier tiempo t y el vector posición en ese instante.

m)t2t20(x

t42

1t200x

tatvxx

2

2

2

x21

0x0

m)t15(y

0t150y

tatvyy 2

y21

0y0

2[(20 2 ) 15 ]r xi y j t t i j m

Entonces, el vector posición en cualquier tiempo es

Movimiento de un proyectil

• Suponga que la aceleración de la gravedad es constante, tiene dirección hacia abajo y magnitud de 9.8 m/s2

Ignore la resistencia del aire

Ignoere la rotación de la Tierra

Ignore la variacion de la gravedad en función de la distancia al centro de la Tierra.

La “aceleración de la gravedad” significa la aceleración d un objeto en caída libre, sólo debido a la aceleración de la gravedad.

La velocidad horizontal es constante, por tanto: ax = 0

El movimiento vertical está gobernado por la aceleraciónconstante debida a la gravedad.

Demostraremos que la trayectoria de un proyectil es

parabólica. Elijamos nuestro marco de referencia tal que la dirección y es

vertical y positiva hacia arriba. Además, tomemos en t = 0, que el proyectil

inicia con una velocidad en el origen de v0, tal como se muestra en la Figura.

El vector forma un ángulo con la horizontal..

cosvvv

vcos 00x

0

0x

0

0 0

0

sen seny

y

vv v

v

Ahora, el movimiento del proyectil puede analizarse como compuesto de dos

componentes independientes : Componente horizontal con velocidad uniforme

y componente vertical con movimiento uniformemente variado (aceleración

constante) debido a la gravedad de la Tierra.

La componente horizontal de la velocidad (permanece

constante en el tiempo y es igual a la componente x de la

velocidad inicial,ya que no hay aceleración horizonal)

0 0 cos constantex xv v v

La componente vertical de la velocidad es

0 0( sen )y yv v gt v gt

Usando (3)

Usando (4)

(9)

(10)

La componente horizontal de la posición

0 0( cos )xx v t v t

La componente vertical de la posición

2 2

0 0

1 1( sen )

2 2yy v t gt v t gt

de (11)

cosv

xt

0

Sustituyendo en (12)2

22

0

x)cosv2

g(tanxy

Que tiene la forma de2bxaxy Que es la ecuación de una parábola

Usando (6)

Usando (7)

(11)

(12)

Alcance horizontal y altura máxima del proyectil

La distancia R se denomina

alcance horizontal del proyectil,

y la distancia h es su máxima

altura.

De ec. (10) vy=0 en el pico0 senv

tg

El tiempo t para el cual el proyectil alcanza al pico:

Nota: el tiempo de vuelo es 02 sen2

vt

g

Sutituyendo en (12)

20 0max 0

2 2

0

s n 1 s n( s n ) ( )

2

sen

2

v e v eh y v e g

g g

vh

gLa máxima altura

El alcance R es la poición horizonal del proyectil en un tiemp

que es dos veces el tiempo que alcanza su pico. 2t.

Usando ec. (11)

entonces

)t2)(cosv(xR 0

00

2 2

0 0

2 sen( cos )( )

2 sen cos sen 2

vR v

g

v vR

g gSubstituya con el valor de t

Aplicando la identidad trigonométrica: sen 2 2sen cosa a a

Alcance

El alcance R de un proyectil es la distancia horizontal

de un proyecil a la que viaja antes de aterrizar.

2

0 sen 2v

Rg

El máximo valor R es

g

vR

2

0

max

Este resultado implica que el máximo valor del ángulo 2sin

Ocurre cuando 902 Por tanto, R es màximo para 45

PreguntaTres proyectiles (a, b y c) se lanzan con la misma rapidez

inicial con diferentes ángulos, como en la Figura. Liste los

proyectiles en orden de mayor a menor de la componente

horizontal de la velocidad inicial.

1. (a, b,c)

2. (c, b, a)

3. (b, a, c) o (b, c, a)

4. (a, c, b) o (c, a, b)

(de mayor a menor)

Problema: Un golfista golpea una pelota que adquiere una

velocidad inicial de 40.3 m/s en un ángulo de 32.0° respecto a la

horizontal. (a) ¿Cuánto tarda la bola en alcanzar su mayor altura?

(b) ¿Cuán lejos llega la pelota y cuánto tiempo dura en el aire (c)

¿Cuál es la máxima altura de la pelota de golf? (d) Cuál es la

velocidad cuando golpea al terreno?

Problema

Un aeroplano de rescate deja caer un paquete de raciones de

emergencia a unos exploradores. El aeroplano viaja

horizontalmente a 40.0 m/s y una altura de 100 m por

encima del terreno. ¿Dónde cae el paquete en relación al punto

desde el cual fue liberado?

Movimiento circular y & velocidad

relativa

Movimiento Circular

Considere un objeto que se mueve a rapidez constante en un

círculo. La dirección del movimiento está cambiando, por

tanto, la velocidad está cambiando (aunque se mantenga

constante la magnitud de la velocidad cambia la dirección)

En consecuencia, el objeto se está acelerando.

La dirección de la aceleración está dirigida al centro del

círculo. Y se denomina aceleración centrípeta (que significa

“busca el centro”).

La magnitud de la aceleraciónes igual a

r

vac

2

Aceleración centrípetaConsideremos una partícula que se mueve en un círculo de radio r en sentido antihorario, con el módulo de la velocidad uniforme. Aunque vcambia de dirección en todo momento, mantiene su magnitud idéntica.

En cierto instante, la partícula se encuentra en la posición P. Las coordenadas de P son: ( , )p px y

Observemos que el ángulo θ, que forma r y xp

es el mismo que forma v y yp, por ser mutuamente perpendiculares.

A

B 90º 180º

90º 180º

90º 90º

A

A B

A A B

B

• La velocidad es

• La aceleración es

sen cos

x y

P P

v v i v j

v i v j

y xv i v j

r r

xv

yvv

Px

Pyr

2 2

( cos ) ( sen )

cos sen

p P

y x

dydv v v dxa i j

dt r dt r r

v vv v j

r r

v vv i v j

r r

v vi j

r r

2 22 2

2 2

2

cos sen

x y

x y

a a i a j

v va a a

r r

va

r

2va

r

Aceleración centrípeta o radial (otrocamino para derivar la ecuación)

1

2

ˆ ˆ( cos ) ( sen )

ˆ ˆ( cos ) ( sen )

Distancia viajada 2

si se mide en radianes

v v x v y

v v x v y

r

• Podemos encontrar la aceleración en un punto P calculando la aceleraciónpromedio en el intervalo simétrico 1 2.

1v

1xv

1yv

2

2

El tiempo transcurrido es t d/v 2

Las componentes de la aceleración

cos cos0

2

sen

sen sen

2

son

xx

y

y

y

v vva

t θr / v

θr

v v v va

t θ

/

/

v

r v r

va

r

0si

r

vac

2Luego,

• El vector aceleración siempre apunta al centro del círculo

• El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria.

• Período T

Tiempo que tarda en dar una vuelta completa (distancia igual a )2 r

2 rT

v

Ejemplo: ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra al

moverse en su órbita alrededor del Sol?

Solution:

rac

2

2 r

TPero

23

2

45.93 10 /c

ra m s

T

Luego

11( ) 1.496 10

1

r Tierra m

t año

Aceleración tangencial

La componente tangencial de la aceleración

provoca el cambio en la velocidad de la

partícula. Esta componente es paralela a la

eolocidad instantánea. Y está dada por:

Aceleración Radial y Aceleración Tangencial

dt

dat

Nota: Si la velocidad es constante la aceleración tangencial

es cero (Movimiento Circular Uniforme)

raa cr

2

La aceleración radial es el cambio

de dirección en la vector velocidad

y es la componente radial de la

aceleración aparece por el cambio

en direcciòn del vector velocidad

dado por:

Aceleración radial

Aceleración total

La aceleración total es el vector suma de los vectores

componete radial y tangencial:

rt

rt

aaa

aaa

22

Ya que las componentes son perpendiculares entre sì

Movimiento circular no uniforme

• La rapidez varía• La componente radial de la

aceleración es

• La componente tangencial de la aceleración es

• La aceleración total es:

2

rad

va

r

tan

d va

dt

tanrada a a

Ejemplo: Un carro tiene aceleración constante de 0.300 m/s2

paralela al camino. El carro pasa por una subida que tiene forma

circular de radio de 500 m. En el momento que el carro se

encuentra en la cima de la subida, su vector velocidad es

horizontal y tiene una magnitud de 6.00 m/s. ¿Cuál es la

dirección de la aceleración total para el carro en este instante?

Si es el ángulo entre ar y at

22

/072.0500

36sm

rar

2 2 2 2 2 2

2

(0.30 / ) (0.072 / )

0.309 /

t ra a a m s m s

m s

5.13tan 1

t

r

a

a

Problema: Un tren se detiene a medida que gira en una vuelta

horizontal, pasando de 90km/h a 50km/h en 15s. El radio de la

curva es de 150m. Calcule la aceleración del tren.

Ejemplo: Una partícula se mueve en una trayectoria circular

con un radio de 0.4 m con velocidad constante. Si la

partícula ejecuta cinco revoluciones en cada segundo de su

movimiento, encuentre (a) la velocidad de la partícula y (b) su

aceleración.

(a) Como r =0.4 m, la partícula viaja una distancia de 2πr =

2.51 m en cada revolución. Por tanto, viaja una distancia de de

12.57 m en cada segundo (ya que realiza 5 rev. en el segundo).

v = 12.57m/1s = 12.6 m/s

2 22(12.6 / )

397 /0.4

m sa m s

r m

(b)

¿Qué ocurre si se

corta la cuerda?

La bola debe

moverse con

velocidad

constante.

Esto significa que

la bola continúa a

lo largo de la

tangente al círculo.

Problema

Usted conduce su carro con una velocidad constante de 12 m/s, y

encuentra una subida en el camino que tiene una sección transversal

circular. Si el radio de la curvatura de la subida es de 35 m,

encuentre la aceleración radial del carro cuando pasa por la subida

Componentes perpendicular y paralelas de la aceleración

a a a

Componentes perpendicular y paralelas de la aceleración

Componentes perpendicular y paralelas de la aceleración

Velocidad relativa• Dos observadores con movimiento relativo uno respecto al otro

generalmente no están de acuerdo en los resultados de un experimento.• Por ejemplo, los observadores A y B más abajo observan distintas

trayectorias para la bola.• Otro ejemplo, si vez una paloma que se mueve a 30 km/h al Este, para la

paloma que está al lado se encuentra estacionaria.

Marcos de referencia

• Marco de referencia: es el objeto en el cual colocamos nuestro sistema de coordenadas, y medimos el tiempo.

• Ejemplos de marco de referencia: la Tierra, un vehículo en movimiento, etc.

• Consideremos dos observadores que observan el mismo movimiento de una partícula P. Denominemos a los marcos de referencia de cada observador como Marco A y Marco B.

• En lo que sigue, el marco B tiene un movimiento relativo al marco A.

Marco A Marco B

xx

yy

OO

ABv

Movimiento relativo en una dimensión

• A partir del gráfico, la coordenada xPA de P medida por A es igual a la coordenada xPB de P medida por B más la coordenada xBA medida por A.

Marco A Marco B

x

y

O

ABv

PPAx

PBxBAx

PA PB BAx x x

Velocidad relativa

• Derivando la ecuación anterior, obtenemos la velocidad relativa:

• Es decir, “la velocidad vPA de P medida por A es igual a la velocidad vPB medida por B más la velocidad vBA de B medida por A”.

• Esta es la transformación galileana de la velocidad. • Solo consideraremos marcos de referencia que se

mueven a velocidad relativa constante uno respecto al otro, o sea vBA constante.

( ) ( ) ( )PA PB BAd x d x d x

dt dt dt

PA PB BAv v v

Aceleración relativa

• Derivando la ecuación anterior de las velocidades, obtenemos

• “Observadores en diferentes marcos de referencia que se mueven a velocidad constante relativa a otro marco medirán la misma aceleración para la partícula en movimiento”

BA

( ) ( ) ( )

ya que v es constante.

PA PB BA

PA PB

d v d v d v

dt dt dt

a a

Movimiento relativo en dos dimensiones

• Dos observadores en marcos de referencia A y B, y que se mueve el B con velocidad constante vBA, observan una partícula P en movimiento:

• La posición de la partícula respecto al marco A es la suma vectorial de la posición de la partícula respecto a B y la posición del marco B respecto al A.

PA PB BAr r r

P

Marco B

Marco A

x

x

yy

o

o

PAr

BAr

PBr

Velocidades relativas en dos o tres dimensiones

• Derivando la ecuación anterior

• Se denomina transformación galileana de la velocidad, “la velocidad de una partícula P con respecto al marco A es la suma vectorial de la velocidad respecto al marco B y la velocidad del marco B respecto al marco A”

( ) ( ) ( )PA PB BA

PA PB BA

d r d r d r

dt dt dt

v v v

Algunas notas importantes sobre los índices en el movimiento relativo

• El orden de los índices es relevante.Se pueden “multiplicar” los índices para verificar el

orden correcto:

• Para tres o más marcos se sigue el mismo orden:

En general, si A y B son dos marcos de referencia cualesquiera:

P P B

A B A

AB BAv v

PA PC CB BAv v v v

P P C B

A C B A

Concepto cental de resolución del problema del movimiento en el plano tratando las componentes

“x” y “y” de manera independiente Se lanza una bola hacia arriba desde un tren en movimiento

La vista de la trayectoria desde los dos marcos de referencia es:

Marco de referencia

en la Tierra

Marco de referencia

del tren.

Movimiento y(t) debido a

1) a = -g y

2) vy = v0y – g t

3) y = y0 + v0y – g t2/2

Movimiento x : x = vxt

Movimiento neto: R = x(t) i + y(t) j (vector)

Preguntas[1]Usted se encuenttra en un tren que viaja a 40 mph al Norte. Si usted

camina 5 mph hacia la parte frontal del tren,¿cuál es su velocidadrespecto al suelo?

A) 45 mph B) 40 mph C) 35 mph

[2]Usted viaja en un tren que viaja a 40 mph Norte. Si usted camina a 5 mph hacia la parte trasera del tren, ¿cuál es su velocidad relativarespecto al suelo?

A) 45 mph B) 40 mph C) 35 mph

[3]Usted está en un tren que viaja a 40 mph al Norte. Si camina a 5 mph hacia los lados de las ventajas del tren, ¿cuál es su velocidad respecto al suelo?

A) < 40 mph B) 40 mph C) >40 mph

Discusion

[1]: Un objeto sale de una rampa que forma un ángulo de 20º con

la horizontal y tiene una velocidad de 11m/s

(1) ¿Qué tan lejos llega el objeto?

s/m34.1020cos11cosvv 00x

0 0 sen 11sin 20 3.76 /yv v m s

s84.3t

t8.976.30

gtvv 0yy

Solución:

Las componentes x , y de la velocidad

inicial son

El tiempo t para el cual llega al pico es:

m94.7)768.0)(20)(cos11(R

)t2)(cosv(xR 0

(2) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

m72.0)384.0(8.92

1384.076.3y

gt2

1tvy

2

max

2

0y

El alcance es

[2]: Una piedra es lanzada desde la azotea de un edificio hacia

arriba con un ángulo de 30.0 ° respecto a la horizontal con una

velocidad inicial de 20.0 m/s, como se muestra en la Figura. Si la

altura del edificio es de 45.0 m,

(A) ¿Cuánto tardará la piedra en

llegar al suelo?

0 0 sen 20sen30 10 /yv v m s

s/m3.1730cos20cosvv 00x

s22.4t

045t10t9.4

t8.92

1t1045

gt2

1tvy

2

2

2

0y

Usando la ecuación:

(B) ¿Cúál es la velocidad de la piedra justo antes de golpear al

suelo?s/m3.17vv 0xx

s/m4.3122.48.910gtvv 0yy

s/m9.35vvv 2

y

2

x

[3]:

Una bola es lanzada desde una torre de 30 m de altura con un ángulo de

30° respecto a la horizontal con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto

tardará la bola en llegar al suelo?. (Considere g = 10 m/s2 ) :

0 0 sen 10sen 30 5 /yv v m s

st

tt

tt

gttvy y

3

06

102

1530

2

1

2

2

2

0Usando la ecuación:

No tomando en cuenta el valor negativo, t = -2 s

Solution:

[4]: En un verano caluroso una una niña se tira de una cuerda hacia

el agua como se muestra en la Figura. Cuando deja la cuerda su

velocidad inicial es 2.25 m/s en un ángulo de 35.0 respecto a la

horizontal. Si ella está en el aire por 1.60 s, ¿Desque qué altura se

lanzó?

v0 = 2.25 m/s

v0x = v0 cos(35) = 1.8 m/s

v0y = v0 sen(35) = 1.3 m/s

Solución:

y = y0 +v0y t – (1/2) g t2

y-y0 = - 10.5 m

y =0

y0 = +10.5 m

Usando:

[5]:

Un proyectil es lanzado horizontalmente con una velocidad inicial v0

desde una altura y0. Desprecie la fricción aerodinámica.

v0 = 3.5 m/s y0 = 4.0 m

(1) ¿En qué tiempo t el proyectil llegará al suelo?

v0

x

y

y0

2

0 0

0

0

1

2

4.0

0

y

y

y y v t gt

y m

v

2

2

0

10 4.0

2

2(4.0) / (9.81) 0.816

0.90

y

gt

t

t s

a)(2) ¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad del proyectil

cuando golpea al suelo?

smv

a

smv

tavv

x

x

x

xxx

/5.3

0

/5.30

0

smv

smssmgtvv

smv

vvv

yy

x

yx

/53.9

/86.8)90.0)(/81.9(

/5.3

2

0

22

(3) ¿Cuál es la velocidad del proyectil cuando golpea al suelo?