• Nombre: Manuel León Piña

• C.I :26182466

Momento Angular

El momento angular de una partícula respecto al origen O es la cantidad vectorial definida como:

donde r es el vector posición de la partícula con respecto a O. Para determinar la magnitud de empleamos la siguiente ecuación:

donde es el ángulo más pequeño entre .

Momento Angular de un sistema de Partículas

El momento angular de un sistema de partículas está definido como la suma de los momentos angulares de las partículas individuales que lo conforman:

Momento Angular y Torca Por otro lado, la suma vectorial de todas las torcas externas , que actúan sobre un sistema de partículas es igual a la velocidad de cambio del momento angular total del sistema:

Cuando el cuerpo es rígido y rota alrededor de uno de sus ejes principales, se cumple la siguiente igualdad:

Donde es la velocidad angular del cuerpo al rotar alrededor de ese eje. E es el momento de inercia del cuerpo.

Momento de Inercia El momento de inercia del cuerpo I que se define de la

siguiente manera:

Donde es la masa de una partícula que forma parte del sistema y su distancia al eje de rotación. El momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así como de la manera en que está distribuida su masa, y desempeña el papel de “masa” en las ecuaciones rotacionales.

Para cuerpos rígidos:

es la distancia del diferencial de masa (dm) al eje de rotación.

Conservación del momento angular

Si la suma de torcas externas es cero, entonces el momento angular del sistema se conserva, sin importar qué cambios se efectúen en el sistema. Por lo tanto, si el cuerpo rota alrededor de uno de sus ejes principales, tenemos la siguiente ecuación:

Donde los subíndices se refieren a los valores de la inercia rotacional y a la velocidad angular antes y después de la redistribución de masa.

Cinemática Rotacional

La energía cinética rotacional de un cuerpo con inercia rotacional I y velocidad angular :ω

Y el torque es:

Además:

Ejemplo

Juan que tiene una masa de 62Kg, un torso de 40cm de ancho, se sube a una rueda giratoria en un parque infantil.

Un amigo, lo pone a girar con los brazos extendidos y bolas de acero de 1.5 kg masa en cada mano. Para determinar un aproximado de su inercia rotacional, su cuerpo se aproxima como un cilindro. La longitud de cada uno de sus brazos es 65cm. Si el periodo de la rueda es 6 segundos cuando Juan tiene los brazos extendidos, si inmediatamente recoge los

brazos, ¿cual es su velocidad angular, con los brazos extendidos y con los brazos recogidos?.

Solución

El momento de inercia para un cilindro es , donde M es la masa del integrante y R es la mitad del ancho de su torso. De modo que:

El momento de inercia con los brazos extendidos:

El momento de inercia con los brazos contraídos:

donde B es la masa de una bola de acero y h es la longitud del brazo.

Como:

Entonces:

Como no actúan torcas externas:

Sustituyendo:

Sustituyendo en:

Con:

M = 62Kg; R= 0,40m/2 = 0,20m; h = 0,65m; B = 1,5Kg

Movimiento giroscópico

¿Por qué un trompo parece desafiar la ley de la gravedad? ¿Por qué personas normales, sin habilidades de equilibristas, pueden conducir tanto bicicletas como motocicletas sin caerse? ¿Porqué los proyectiles que giran sobre su eje mantienen una trayectoria tan estable? Todos estos fenómenos cotidianos, nos rodean y suceden normalmente. Y por supuesto, al igual que todo suceso que ocurre en la Tierra poseen una explicación física.Todos estos hechos, implican una cierta estabilidad por parte de cuerpos rígidos en rotación. Esta estabilidad intrínseca y otros fenómenos pueden ser explicados gracias al efecto giroscópico.

Movimiento giroscópico

Un giróscopo es un aparato que tiene entre otros elementos un rotor o volante giratorio que cuando está en rotación presenta dos propiedades fundamentales, la inercia giroscópica (una vez comunicada al rotor una rotación, esta tiende a conservar la dirección de rotación primitiva) y la precesión (inclinación en un ángulo recto ante cualquier fuerza que tienda a cambiar el plano de rotación). Estas propiedades son consecuencias de los principios de conservación de la cantidad de movimiento y del momento cinético y en ocasiones pueden dar lugar a curiosos movimientos de los cuerpos.

Elementos del movimiento GiroscópicoLa rigidez en el espacio es la tendencia

que tienen todos los cuerpos en rotación a seguir girando en el mismo plano y sobre el mismo eje.

La precesión es el movimiento generado al cambiar la orientación del eje (o plano) de rotación, producto de una fuerza externa que actúa perpendicular a la variación.

Para el análisis consideremos la siguiente figura

AnálisisEste fenómeno se relaciona el momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo y la razón a la que cambia el momento angular del cuerpo, dada por la ecuación:

Cuando el volante gira alrededor de su eje de simetría, Li está a lo largo del eje. Cada cambio del momento angular dL es perpendicular al eje, porque el momento de torsión también lo es. Esto hace que cambie la dirección de L, pero no su magnitud. Los cambios dL siempre están en el plano horizontal x-y, así que el momento angular y el eje del volante con el que se mueve siempre son horizontales. Es decir, el eje no se cae, tiene precesión. El cambio infinitesimal del momento angular es , que es perpendicular a L. Esto implica que el eje del volante del giróscopo giró un ángulo pequeño dθ dado por . La razón a la cual se mueve el eje, dθ /dt, se denomina velocidad angular de precesión:

De modo que la velocidad angular de precesión es inversamente proporcional a la velocidad angular de giro alrededor del eje. Un giróscopo que gira rápidamente tiene precesión lenta; si la fricción hace que el volante se frene, la velocidad angular de precesión aumenta.

Al precesar un giróscopo, su centro de masa describe un círculo de radio r en un plano horizontal. La componente vertical de la aceleración es cero, así que la fuerza normal hacia arriba η ejercida por el pivote debe ser igual en magnitud al peso. El movimiento circular del centro de masa con una velocidad Ω requiere una fuerza F dirigida hacia el centro del círculo, con magnitud . Esta fuerza también debe ser proporcional al pivote.

Este análisis del giróscopo anterior fue hecho suponiendo que el vector momento angular solo está asociado a la rotación del volante y es puramente horizontal. Sin embargo, también habrá una componente vertical del momento angular asociada a la precesión del giróscopo. Al ignorar esto, se supone que la precesión es lenta; Es decir, Ω es mucho menor que la velocidad angular de rotación ω.