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Dedicatoria: El presente trabajo

está dedicado para nuestros

padres, que con su incansable

apoyo que nos brindan, hacen

que salgamos adelante.

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Momento angular

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante

en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a

la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en

todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los

sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas

es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el

sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida

como ley de conservación del momento angular. El momento angular para

un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece dichocuerpo a la variación de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de

Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s.

Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo

al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una

magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una

partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y

dirección) también se conserva.

El nombre tradicional en español es momento cinético, pero por influencia delinglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras

variantes como cantidad de movimiento angular.

El momento angular es una magnitud que se conserva, es decir, la suma del

momento angular transferido de un cuerpo a otro en un sistema cerrado es

siempre cero. Es decir, la cantidad que se transfiere a otra el cuerpo de una es

igual a la cantidad recibida por los demás organismos. Si no fuera cierto que el

momento angular es conservador, tal vez no los días variado en el tiempo y tal

vez incluso existen, tal vez no era posible que la ausencia de las estaciones o

los años respectivos 365,25 días.

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De igual forma que a todo cuerpo en movimiento se les asocia el llamado

momento lineal, todo cuerpo que se mueve en una trayectoria curva ( y por lo

tanto, bajo aceleración), posee una magnitud llamada momento angular que es

igual al producto de masa por su velocidad angular:

L= m x w

La velocidad angular mide el arco recorrido por el móvil en la unidad de

tiempo( grados por segundo o radianes por segundo), y puede relacionarse con

la velocidad lineal del objeto conociendo el radio de la curva .

El modulo del momento angular de un objeto que posee un movimiento circular,

se relaciona con los módulos de su momento lineal (p) y del radio de curvatura

(r) de la trayectoria, de la siguiente manera:

L=r x p

En donde el momento angular tiene como modulo:

p=m x v

De a cuerdo con las ecuaciones anteriores, tenemos lo siguiente:

L=r x m x v

Además sabemos que la velocidad que adquiere un cuerpo, cuando un

movimiento circular es:

V=r x w

Finalmente, el momento angular se define como:

L=m x r² x w

De lo que podemos observar, que el momento angular de un cuerpo depende

directamente de la masa del cuerpo que gira, su radio de giro y del valor de la

velocidad angular que este posea.

Vectorialmente hablando, el momento angular es perpendicular al plano en

donde se realiza el movimiento, por lo tanto, tiene la misma dirección de la

velocidad angular. La dirección de estos se realiza utilizando la regla de la

mano derecha.

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Momento angular de un sistema de partículas

 

Para un conjunto de partículas, el momento angular del conjunto es igual a:

Supongamos, por sencillez, un sistema conformado por dos partículas

sometidas a su interacción mutua y a las fuerzas externas F1 Y F2

Principio del impulso y momentum angular.

El cambio en el momentum angular (el momentum angular es igual a: distanciax velocidad x masa) desde un punto 1 a un punto 2 es igual al cambio en elimpulso angular (el impulso angular es igual a: fuerza x distancia x tiempo) detodas las fuerzas desde el punto 1 al punto 2.

Si la suma de fuerzas externas se anula, el momentum del sistema seconserva. Análogamente, si la suma de torques externos respecto a un puntoes cero, el momentum angular del sistema respecto a dicho punto esconstante, lo que constituye la importante ley de conservación del

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momentum angular, que, con las leyes de conservación del momentum y dela energía, es uno de los principios básicos de la física, principios quetrascienden el ámbito de la mecánica clásica y que tienen validez en toda lafísica. Como el momentum angular es un vector, puede conservarse sucomponente respecto a un determinado eje si la componente del torque

externo neto respecto a dicho eje se anula.

Determinación del Impulso o Cantidad de Movimiento Lineal de un CuerpoRígido Sujeto Movimiento Plano General.

De la cinética de partículas es bien conocido que el impulso o cantidad demovimiento de una partícula está dada por

……………………… (i) 

Por lo tanto, el impulso o cantidad de movimiento de un cuerpo rígido B ,denotada porL, está dada por

……………………………(ii) 

Donde dm es la diferencial de masa de una partícula arbitraria del cuerpo rígidoB . Expresándola velocidad de la partícula en términos de la velocidad delcentro de masas, vea la figura 1 se tiene que

…………………………..(iii) 

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Por lo tanto, la ecuación (ii) se reduce a

…….. (a) 

Donde es la masa total del cuerpo B y se ha sustituido la ecuación

…………………………..(b) 

La ecuación (a) permite determinar el impulso o cantidad de movimiento lineal

del cuerpo rígido B .

Determinación del Impulso o Cantidad de Movimiento Angular de unCuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano General.

En esta sección se determinara el impulso o cantidad de movimiento angularde un cuerpo rígido sujeto a movimiento plano general.De la cinética de partículas es bien conocido que el impulso o cantidad demovimiento angular de una partícula está dada por la ecuación.

Donde r( M/O)es el vector de posición de la partícula de masa m localizada enel punto M  respecto al punto O . Expresando la velocidad de la partícula entérminos de la velocidad del centro de masas, vea la figura 1 se tiene querepitiendo la ecuación (iii)

De manera semejante, el vector de posición r( M/O) puede escribirse como:

Por lo tanto, el impulso o cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígidosujeto a movimiento plano general, con respecto al punto O , está dado por: (Hoes momento angular)

Sin embargo, por la definición del centro de masas, se tiene que

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 Por lo tanto, se tiene que el impulso angular está dado por

…………….. (A) 

Por un lado, se tiene que

Por el otro lado, se tiene que

Sustituyendo estos dos resultados en la ecuación (A), se tiene que

En particular, si el punto O coincide con el centro de masas G del cuerpo rígido,entonces

y la ecuación se reduce a

Principio de conservación del momento angular

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento delas fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores seancero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, esdecir, permanece constante.

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Se dice momento angular de un cuerpo que gira, por ejemplo una estrella que

gira alrededor de sí misma, al producto de la masa m por el radio r, por su

velocidad de rotación v.

Un principio físico de fundamental importancia es la llamada conservación del

momento angular: ello nos dice que si un cuerpo que gira se contrae, es decir,si la masa que lo forma se reúne en el centro, la velocidad de rotación aumenta

de manera que el momento angular resultante se mantiene inalterado, y, a la

inversa, si la masa se distribuye hacia la periferia, la velocidad de rotación

disminuye de manera que el momento angular se mantiene.

Este principio encuentra una verificación experimental en la simple observación

de que una bailarina, quien realiza un movimiento con los brazos abiertos, gira

con mayor velocidad si acerca los brazos hacia el tórax

Ejemplo:

Para analizar la conservación del momento angular, un estudiante realiza el

siguiente ejercicio: se sienta en una silla de escritorio giratoria y extiende los

brazos, sosteniendo en cada mano tres libros cuyo peso total es de 2 kg.

Luego, luego se da un impulso que lo hace girar de modo que los libros en su

mano alcanzan una rapidez de 2 m/s y tienen un radio de giro de 70 cm.

º Sin considerar la masa del estudiante, ¿cuál es la rapidez lineal de los libros

cuando el estudiante baja sus brazos hasta quedar con un radio de giro de 20cm?

SOLUCION:

Li = Lf

ri. mi . vi = rf . mf . vf

ri . vi = rf . vf

0.7 m x 2 m/s = 0.2 m x vf

Vf =7 m/s

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Relación entre el momento de una fuerza y el momento angular.

Los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas que actúan sobre

la partícula en la figura 15-21ª pueden ser relacionados al momentum angular

de la partícula usando la ecuación de movimiento. Si la masa de la partícula es

constante, podemos escribir

ΣF=mv 

Los momentos de las fuerzas con respecto al punto O se pueden obtener

efectuando una multiplicación de productos cruz a cada lado de esta ecuación

mediante el vector posición r, el cual se mide en el marco de referencia inercial

x, y, z. Tenemos

ΣMo=r X ΣF=r X mv 

Del apéndice C, la derivada de r X mv puede escribirse como

Ho=d/dt(r X mv)=r X mv + r X mv

El primer término en el lado derecho, r X mv = m(r X r)=0, ya que el producto

cruz de un vector consigo mismo es cero. Por consiguiente, la ecuación

anterior toma la forma

ΣMo= Ho (1) 

Esta ecuación establece que el momento resultante con respecto al punto O de

todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio

con respecto al tiempo del momentum angular de la partícula con respecto al

punto O. Este resultado es similar a la ecuación 15-1, esto es,

ΣF = L (2)

Aquí L= mv, por lo que la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es igual

a la razón de cambio con respecto al tiempo del momentum lineal de la

partícula.

A partir de las derivaciones, se observa que las ecuaciones (1) y (2) son otramanera de establecer la segunda ley del movimiento de Newton. En otras

secciones de este libro se mostrara que esas ecuaciones tienen muchas

aplicaciones prácticas cuando se amplían y se usan en la solución de

problemas que implican un sistema de partículas o un cuerpo rígido.

Sistema de partículas

El momento angular de un sistema de particulas se define como la suma

vectorial del momento angular de cada una de ellas:

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 Supongamos un sistema formado por dos particulas sobre las que actuanfuerzas internas (en rojo) y fuerzas externas (en verde):

Para saber bajo que condiciones se conserva L, expresamos su derivada

aplicando los conceptos vistos en conservacion del momento angular de una

particula: 

Calculamos los momentos de las fuerzas que actuan sobre cada particula,

recordando que las fuerzas internas tienen igual modulo y sentido opuesto:

Al sumar ambos, se anula el termino correspondiende a las fuerzas internas yaque resulta un producto vectorial de vectores paralelos, como se puede ver en

el dibujo anterior:

Generalizando este caso para un sistema de mas particulas, se puede afirmar

que las fuerzas internas no hacen variar el momento angular de un sistema.

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Conclusiones

En un sistema aislado se conserva el momento angular 

Las fuerzas internas no hacen variar el momento angular de un sistema. 

El momento angular es constante cuando el vector posicion es paralelo

a la fuerza, el producto vectorial es nulo por lo que L tambien es

constante. 

El momento angular es constante cuando la fuerza a la que esta

sometida la particula es nula por lo que no ejerce momento y por lo tanto

se mueve con m L constante, ademas de un momento lineal constante.