Modulo matematica 1_año

COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA

“CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 1




PRIMER QUIMESTRE

BLOQUE 1:

Funciones Lineales

FICHA N°1:

Función Matemática

OBJETIVOS:

Fomentar el análisis y evaluación de las

funciones matemáticas, además interactuar con los teoremas y sus aplicaciones en este amplio

campo de las Funciones.

Destreza de Criterio de desempeño:

Desarrollo de evaluaciones funcionales.

Graficación de funciones lineales.

Aplicación de teoremas de evaluación funcional.

Objetivo Educativo.

En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones

lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de la vida misma.

El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite

tomar decisiones importantes.

Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación

o correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue

usado por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene

Descartes. (1596 – 1560).

En una función se asocian dos variables x e y tal forma que al asignar un valor a x entonces, por

alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y es una función

(univoca) de x.




La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la

variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de

x constituye el dominio de definición de la función y los valores que toma x constituye su recorrido

x y

Dominio Recorrido.

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido)

Ejemplo

x y

Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen

(Correspondencia) en el conjunto de llegada.

X y

Dominio Recorrido

1 2 3

4

55

55

5

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d




No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen

(correspondencia) en el conjunto de llegada

X y

Dominio Recorrido

FUNCIONES LINEALES

Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es representado

en el plano cartesiano. Su forma característica es

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta y

b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la

recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.

Ejemplo

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

La grafica nos confirma lo que dice la ecuación que la pendiente de la recta es 2, mientras que el punto

de corte con el eje vertical es -3.

𝑥 𝑓(𝑥)

-2 -7

-1 -4

0 -3

1 -1

2 1

1 2 3

4

a b c

d




FICHA Nº 1

INVESTIGO Nº 1

1. Escribir una definición de Función.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte. Con el

eje de las ordenadas.

𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

4. Dibujar la gráfica de la siguiente ecuación e identificar la pendiente y el punto de corte con el

eje y. Encuentre las coordenadas. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________




FUNCIONES

GLOSARIO Nº 1

Escribir las definiciones correspondientes.

Función:………………………………………………………………………………………………………………

Dominio………………………………………………………………………………………………………………

Recorrido……………………………………………………………………………………………………………

Contra dominio:………………………………………………………………………………………………….

Pendiente…………………………………………………………………………………………………………..

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO Nº 1

Complete el siguiente mapa conceptual.

F. lineales F. Cuadráticas




CUESTIONARIO Nº 1

Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta en cada

caso.

x y

Dominio Recorrido

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de

corte con el eje y.

a. 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1

c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

d. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5

e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante

1 2 3

4

a b c

d




BLOQUE 1:

Funciones Lineales

FICHA N°2:

Evaluación de Funciones

OBJETIVOS:

Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los

teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.


Desarrollo de evaluaciones funcionales.

Graficación de funciones lineales.

Aplicación de teoremas de evaluación funcional.

Objetivo Educativo.

Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un valor numérico de sus variables. Si la función se escribe como ƒ(x), la función evaluada para una valor numérico, por ejemplo 6, se escribe ƒ(6). Para realizar la evaluación se sustituye el valor numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las operaciones aritméticas necesarias. Ejemplo. Evaluar la función

ƒ(x) = x4+ x3- 11x2- 9x + 18 cuando el valor numérico de x es 4.

ƒ(4) = 44 + 43 - 11(4)2 - 9(4) + 18

ƒ(4) = 256 + 64 - 11(16) - 36 + 18 ƒ(4) = 256 + 64 - 176 - 36 + 18 ƒ(4) = 126




Cuando una función se evalúa para un valor determinado del dominio, significa que dicho valor se puede sustituir por la literal x que forma a esa función. El valor de y (contra dominio o imagen) se denomina f(x) cuando el dominio está formado por dicha letra x; por tanto, en una pareja ordenada el dominio es el primer valor y el contra dominio el segundo. Es decir: (x, y). Ejemplos

Consideremos f(x)=2x2–6x+8, si queremos evaluar f(a) quedaría: f (a)=2a 2– 6a+8 Así mismo, para f(p) tenemos:

f(p)=2p2– 6p+8 Para f(2x–3) el resultado sería:

f(2x–3)= 2(2x–3)2–6(2x–3)+8

= 2(4x2–12x+9)–12x+18+8

= 8x2–24x+18–12x+18+8

f(2x–3)= 8x2– 36x + 44

Como podemos observar, en todos los casos el valor de x fue sustituido por el valor con el que se quiere evaluar la función.

Encontremos f(2) si f(x)=4x3–8x2+9x– 8

Evaluando tenemos:

f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8

f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8

f(2)= 32 – 32 + 18 - 8

f(2)=10




LECCIÓN Nº 2

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: __________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO Nº 2

1. Escribir una definición de evaluación de una Función.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

3. Identifique que se debe hacer para realizar una evaluación de una función

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

4. Investiga sobre el valor numérico.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________




RESUMO Nº 2

Complete el mapa conceptual.

EVALUACION DE UNA FUNCION

Evaluar numéricamente Valor numérico

GLOSARIO Nº 2

Evaluar:………………………………………………………………………………………………………………................... Dominio…………………………………………………………………………………………………………………..………….. Recorrido……………………………………………………………………………………………………………………………… Valor:………………………………………………………………………………………………………………………………...... Valor numérico…………………………………………………………………………………………………………………… Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..………………………………………




CUESTIONARIO Nº 2

Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide y escribe aquí el resultado.

1. f(x)= 2x2 + 8x – 4, Calcular f(–3).

2. f(x)=4x3–10x2+8x–8, Calcular f(2x–8).

3. f(x)=12x5+4x4–5x3+ 3x 2–3x +1, Calcular f(–1).

4. f(x)=6x7+8x5–7x3–3x+12, Calcular f(–2).

5. f(x)=6x2–12x+6, Calcular f(1–x7).





BLOQUE 1:

Funciones Lineales

FICHA N°3:

Dominio de una Función

OBJETIVOS:

Reconocer los dominios e intervalos de una función, mediante sus análisis correspondientes

determinar sus pociones crecientes y decrecientes.


Reconocer los intervalos de una función.

Aplicación de teoremas de los dominios funcionales.

Analizar los recorridos de las funciones lineales.

Objetivo Educativo.

Se llama dominio de definición de una función al conjunto de los valores al conjunto de valores de las variables independientes x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente.

Para calcular el dominio de la función hay que hacer todas las consideraciones para definir el o los intervalos de los valores que pueden adoptar la variable independiente. El todo los casos el intervalo que represente el dominio de función siempre será el menor subconjunto de todos Ejemplo: Determine el dominio de la siguiente función:

f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8

f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8

f(2)= 32 – 32 + 18 - 8

f(2)=10




El único valor que no puede tomar la variable independiente es 2, porque en tal caso el denominador de la fracción se haría cero, y como sabemos no existe la división por cero por esto hay que restringir este valor es todos los números reales (R) que si puede adoptar, por tanto:

Recorrido de una función.

El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Cuando el dominio de la función ha sufrido alguna restricción en los reales, el recorrido automáticamente aumentara adopta valores determinados. Un método clásico de calcular el recorrido de una función es el de despejar de la variable dependiente y en esa expresión analizar la variable dependiente como si se trataría de encontrar el dominio.

Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la

función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio

usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical

(el eje y).

Ejemplo:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

La función f(x) = x + 1 es una función creciente en los números reales.




LECCIÓN Nº 3

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO Nº 3

1. Establece una semejanza y diferencia entre dominio y recorrido de una función. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

2. Que es el despeje de una variable. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

3. Investiga que se refiere función definida a trazos. Elabora un ejemplo: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________




RESUMO Nº 3

Completar el cuadro sinóptico.

Dominio de una función

Dominio Recorrido

es

es

Ejemplos

GLOSARIO Nº 3

Punto de llegada:………………………………………………………………………………………… Punto de salida……………………………………………………………………………………………

Intervalo cerrado………………………………………………………………………………………… Intervalo abierto:………………………………………………………………………………………… Punto de corte……………………………………………………………………………………………..

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..………………………………………




CUESTIONARIO Nº 3

Encuentre el dominio y el recorrido de la función:

1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5

2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1

4. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1





BLOQUE 1:

Funciones Lineales:

FICHA N°4:

Intervalos De Funciones

OBJETIVOS:

Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis,

aplicando métodos numéricos.


Determinación de las funciones crecientes.

Determinación de funciones decrecientes.

Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.

Objetivo Educativo.

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras:

a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la

función. c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función. d. Mediante una representación gráfica.

Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la población.




Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis. Del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Función creciente en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:




Función decreciente en un intervalo

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de intervalo, y , se cumple que: Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, entonces es función.

A cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, por lo tanto es función.

No es función, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.




LECCION Nº4

NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO Nº 4

Establece una diferencia entre función creciente y decreciente. ______________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente. ______________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente. ______________________________________________________________________________

GLOSARIO Nº 4

Función:……………………………………………………………………………………………………………………… Creciente:………………………………………………………….………………………………………………………… Decreciente:………………………………………………………………………………………………………………… Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..…………… Punto de corte………………………………………………………………………………………………………….. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………..……………………………………………………………………….




RESUMO Nº 4

Creciente Decreciente

es

es

ejemplos

CUESTIONARIO Nº 4

Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente:


FUNCION




BLOQUE 1:

Funciones Lineales FICHA N°5:

Rectas y Pendientes

OBJETIVOS:

Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano

cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.


Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.

Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.

Objetivo Educativo.

Se denomina pendiente de la recta la inclinación de un elemento respecto de la horizontal. La pendiente de una recta en un sistema cartesiano, se representa con la letra m y está definido como el cambio o variación en el eje “y” dividido por el respecto cambio en el eje “x” entre dos puntos de la recta. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva de eje OX. Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta Pendiente dados dos puntos




Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece

al crecer el ángulo.

Calculo de la pendiente de la recta: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).

Escribir su ecuación punto pendiente.

Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.




RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman entre ellas es de 90°.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. Para que el producto de las dos pendientes de dos líneas rectas sea igual a -1 una de ellas debe ser inverso negativo de la otra y viceversa Ejemplo:

Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 3) y (-3,-2) y compararla con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2,3) y (0,5).

𝑥1 = 2 𝑥2 = 3 𝑦1 = −3 𝑦2 = −2

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =(−2) − (−3)

(3) − (2)

𝑚 = 1 𝑚2 = −1

5 (0,5)

4

3 (2,3)

2

1

-3 -2 -1 1 1 2

-2

(-3,-2) -




LECCION N°5

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO N°5

Escriba en que caso se dice que dos rectas son perpendiculares: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Escriba que significa la pendiente de una recta. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Sintetizar como se calcula la pendiente de una recta conociendo dos puntos de esta: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

GLOSARIO N°5

Pendiente……………………………………………………………………………………………………………………………. Rectas Paralelas…………………………………………………………………………………………………………………… Rectas perpendiculares……………………………………………………………...…………………………………………… Ángulos:………………………………………………………………………………………………………………………………. Variación………………………………………………………………………………………………………………………………

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………….




RESUMO N°5

Pendiente de una Recta

Concepto Rectas paralelas

es es

Formulas




CUESTIONARIO N°5





BLOQUE 2:

Álgebra y Geometría

FICHA N°6:

Progresiones

OBJETIVOS:

Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el

entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.


Reforzar los conocimientos anteriores.

Interpolar medios geométricos.

Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas

Objetivo Educativo.

INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS

Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos.

Es decir a……………. …………..b




Medios entre a y b

Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la

progresión geométrica, la fórmula es:

𝑟 = √𝑡𝑛

𝑡1

𝑚+1

𝒕𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.

𝒕𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.

𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂

𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃

Ejemplo:

Interpolar 3 medios geométricos entre 1

4 𝑦 4

DATOS:

𝒕𝒏 = 𝟒 𝒕𝟏 = 𝟏

𝟒 𝒎 = 𝟑 𝒓 =

𝑟 = √𝑡𝑛

𝑡1

𝑚+1

= √41

4

3+1 = √16

4 = 2

Escribimos la progresión geométrica:

1

4,

𝟏

𝟐, 𝟏, 𝟐, 4.

3 medios geométrico

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54…..

La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80




Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos

podemos utilizar una fórmula:

𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟 𝑆 =

𝑡1 − 𝑡𝑛

1 − 𝑟

Ejemplo:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30, 90, …………….

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡𝟕 =? 𝒕𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 = ?

Desarrollo:

Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑

Calculamos S:

𝑆 =𝑡1(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟; 𝑆 =

10(1 − 37)

1 − 3 ; 𝑆 =

10(−2186)

−2 ; 𝑆 = 10930




LECCION N°6

INVESTIGO N°6

Que es INTERPOLAR medios geométricos.

______________________________________________________________________________

Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos.

______________________________________________________________________________

Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos.

______________________________________________________________________________

Escriba las fórmulas para determinar la suma de n términos.

______________________________________________________________________________

GLOSARIO N°6

Busque el significado de las siguientes palabras:

Interpolar:……………………………………………………………………………………………………………………

Medios geométricos:…………………………………………………………………………………………………..

Términos:……………………………………………………………………………………………………………………….

Serie:………………………………………………………………………………………………………………………………

Expresión:……………………………………………………………………………………………………………………..

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

FECHA: ____________________________________




Proceso


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RESUMO N°6

Interpolación de medios Suma de n términos

Proceso es es

Formula Formula




CUESTIONARIO N°6

Determine la solución de las siguientes series de progresiones.

1. Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10

2. Interpolar 4 medios geométricos entre11

2 𝑦

16

81

3. Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………2

27

4. Calcular el dato que falta:

a. 𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =?

b. 𝑡1 = 2 𝑡𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 =

c. 𝑡𝑛 = 54 𝑡1 =2

9 𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80

8

9

d. 𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =?





BLOQUE 2:


FICHA N°7: ECUACIÓN DE LA

RECTA

OBJETIVOS:

Determinar la función de una recta en el plano cartesiano y poder representar gráficamente, al

igual que la determinación de la pendiente y su sentido de inclinación.


Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación escritas en sus diferentes formas

Graficar una recta, dada su ecuación en sus diferentes formas.

Objetivo Educativo.

Sea la recta de la pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (𝑥1, 𝑦1), que tiene como

ecuación la siguiente expresión

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚(𝑦1 − 𝑥1)

Siendo la pendiente y las coordenadas (𝑥1, 𝑦1) valores reales, entonces la expresión (𝑥1, −𝑚𝑦1)

también es un valor real que lo nombraremos con “b” , entonces la ecuación queda expresada

de la siguiente manera:

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

En esta forma como ya vimos “m” es la pendiente y “b” es la ordenada de intersección de la

recta con el eje vertical. Ejemplo:




Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y

comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical (-1,-3).

4

3

2 (2,3)

1

-3 -2 -1 1 1 2

-2

Determinación.

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 =

3−(−3)

2−(−1) =

3+3

2+1 =

6

3= 2

Escribimos la ecuación punto pendiente, transformemos la forma reducida y comprobemos los

parámetros:

𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2)

𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4

𝑦 − 3 = 2𝑥 − 1

Y-3+2=2x

y=2x+1

𝑚 = 2 → 𝑏 = 1




ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:

Tomemos como referencia la misma recta anterior:

𝒚 − 𝟑 = 𝟐(𝒙 − 𝟐)

𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4

0 = 2𝑥 − 𝑦 − 4 + 3

𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

Realicemos esta expresión con la fórmula de la ecuación general de la recta:

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

En donde:

𝐴 = 2 𝐵 = −1 𝐶 = −1

𝑚 = −𝐴

𝐵 𝐵 = −

𝐶

𝐵

Comprobemos las relaciones en la ecuación estudiada:

𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

𝑚 = −2

(−1)= 2

𝑏 = −(−1)

(−1)= −1

GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA

Conociendo el significado de cada elemento de la ecuación de reducida de la recta , la

elaboración de la gráfica se facilita de manera significativa. Ejemplo:

𝑦 = −2𝑥 − 6




En esta ecuación observamos lo siguiente:

1. La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente en todo su dominio.

2. La ordenada que determina el punto de corte con el eje vertical es -6.

3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es -3 este valor se

obtiene cuando y = 0

𝑦 = −2𝑥 − 6

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

0 = −2𝑥 − 6

2𝑥 = −6

𝑥 = −6

2= −3

Estos parámetros son suficientes para graficar la recta con absoluta precisión:

Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y

comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.

GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

De manera análoga a la anterior, se conoce el significado de cada elemento de la ecuación de

general de la recta, la gráfica es igual de sencilla:

Ejemplo:

Graficar la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0

Igualmente de esta ecuación podemos deducir lo siguiente:

1. La pendiente es positiva, por lo por lo tanto la ecuación es creciente en tanto que su

dominio:

𝐴 = 2 𝐵 = −3 𝐶 = −6

𝑚 = −𝐴

𝐵 𝐵 = −

2

−3=

2

3

2. La pendiente que determina el punto de corte con el eje vertical es 3

𝑏 = −𝐶

𝐵 = −

−6

−3= −2




3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es 3 y se calcula así:

𝑎 = −𝐶

𝐴 = −

−6

2= 3

𝑦 = −2𝑥 − 6

𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎

-

4

3

2

1

-3 -2 -1 -1 1 2 3

-2

Corte en el eje horizontal (3) -3

Corte eje vertical (-2)




LECCIÓN N°7

INVESTIGO N°7

Escribir el significado geométrico de m y b de la ecuación reducida de la recta.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Explica el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación reducida.

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_____________________________________________________________________________

Explicar el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación general:

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




Formula

Es

RESUMO N°7

Complete el siguiente mapa conceptual.

Ecuación reducida de la recta Ecuación general de la recta

Proceso es

GLOSARIO N°7

Ecuación reducida:……………………………………………………………………………………………………………

Decreciente……………………………………………………………………………………………………………………….

Punto de intersección horizontal……………………………………………………………………………………….

Punto de intersección vertical…………………………………………………………………………………………..

Abscisa……………………………………………………………………………………………………………………………..





______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

CUESTIONARIO N°7

1. Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por el punto (3, −5) y es paralela a la recta 𝑦 = −2𝑥 + 2

2. Encuentre la pendiente y el punto de corte con el eje vertical de la recta2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0.

3. Escriba la ecuación reducida y general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4, −3)





BLOQUE 2:


FICHA N°8:

ECUACIONES LINEALES

OBJETIVOS:

Plantear sistemas de ecuaciones lineales y determinar soluciones aplicando diversos métodos

de solución analizados a continuación


Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica.

Plantear sistema de ecuaciones lineales.

Optimizar el medio de solución del sistema de ecuaciones.

Objetivo Educativo.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES

Un sistema es un conjunto de ecuaciones agrupadas con la finalidad de buscarles una solución

común. Las coordenadas del punto de corte o intersección entre dos líneas rectas, constituye la

solución al sistemas planteado.

SISTEMAS CONSISTENTES E INCONSISTENTES:

𝒍𝟐 𝒍𝟏 𝒍𝟏

𝒍𝟐

Sistema Consistente Sistema inconsistente




𝑦 = 3

Un sistema consistente, cuanto tiene solución, es decir, las rectas se intersectan en un punto que tiene

coordenadas reales. Un sistema, inconsistente cuando no tiene solución, es decir, que las rectas no se

intersectan en ningún punto.

Para poder resolver un sistema de ecuaciones se debe cumplir con una condición básica y elemental:

“El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas presentes en el sistema”

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen varios métodos como el de reducción,

sustitución, igualación, a través de la regla de Kramer y también se puede resolver de manera

gráfica aunque no es tan confiable.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, por el método de

reducción, se recomienda los siguientes pasos:

1. Se prepara las dos ecuaciones, multiplicándola por el número que convenga. La idea es igualar

los coeficientes de una misma variable pero con signo contrario para poderlas suprimirlas.

2. Restamos o suprimimos los términos igualados, y de esa manera desaparece una de las

incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y luego se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituye la solución del sistema.

Ejemplo:

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2𝑥 − 3𝑦 = −5 (1)

𝑥 + 2𝑦 = −8 (2)

En este caso es mejor igualar los coeficientes de “x”, para ello la ecuación (2), se multiplica por (-2) y de

esa manera está lista para reducirse.

2𝑥 − 3𝑦 = −5

𝑥 + 2𝑦 = −8𝑥 (−2)




En la primera ecuación.

2𝑥 − 3𝑦 = −5

2𝑥 − 3(3) = −5

2𝑥 = 9 − 5

𝑥 =4

2

X=2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, por el método de sustitución, se

recomienda los siguientes pasos:

1. Se despeja una de las variables o incógnitas en cualquiera de las incógnitas, en lo posible

despejar la variable del término cuyo coeficiente sea uno.

2. Una vez despejada la variable, remplazar esta expresión en la otra ecuación, de esta manera se

obtiene una tercera ecuación. Con una sola incógnita.

3. Se despeja la variable y se remplaza en la tercera ecuación para hallar el valor de la incógnita

resultante.

Ejemplo:

2𝑥 − 3𝑦 = −5

𝑥 + 2𝑦 = 8

En este caso lo mejor es despejar la variable 𝑥 de la segunda ecuación por tener al uno como

coeficiente.

En la segunda ecuación.

𝑥 + 2𝑦 = 8

𝑥 = 8 − 2𝑦

Reemplazamos la variable despejada en este caso la “x”

2(8 − 2𝑦) − 3𝑦 = −5

16 − 4𝑦 − 3𝑦 = −5




𝑦 = 3

x= 2

Resolvemos la función.

−7𝑦 = −5 − 16

y =−21

−7

Finalmente reemplazamos en valor obtenido, en este caso obtuvimos el valor de “y”.

𝑥 = 8 − 2(3)

𝑥 = 8 − 6




LECCION N° 8

INVESTIGO N° 8

Sintetizar el método de reducción para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sintetizar el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

RESUMO N° 8

. Elabore un mapa conceptual sobre el sistema de ecuaciones lineales: método de

reducción y el método de sustitución.

5.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 8

Sistema es:

Ecuaciones:

1.

Rectas de intersección.

1.

Rectas paralelas es:

1.

Igualdad es:


6.




CUESTIONARIO N° 8

1. Determine el resultado de los valores de y y de x en el siguiente sistema de

Ecuaciones lineales por el método reducción: Señale la respuesta

2𝑥 − 3𝑦 = −19

− 𝑥 + 5𝑦 = 27

( )𝑥1 = −2 𝑦 = 5 ( )𝑥1 = 12 𝑦 = −5

( )𝑥1 = −3 𝑦 = 2

2. Determine el resultado de los valores de (y) y de x en el siguiente sistema de

Ecuaciones lineales por el método sustitución: Señale la respuesta

𝑥 + 3𝑦 = 8

𝑥 + 2𝑦 = 1

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7 ( )𝑥1 = 13 𝑦 = −7

( )𝑥1 = 7 𝑦 = 1

3. Determine el resultado de los valores de yy de x en el siguiente sistema de

Ecuaciones lineales por el método sustitución: Señale la respuesta

𝑥 + 3𝑦 = 8

2𝑥 + 3𝑦 = 7

( )𝑥1 = −1 𝑦 = 2 ( )𝑥1 = 3 𝑦 = −2





BLOQUE 2:


FICHA N°9:

Intersecciones y Determinantes

OBJETIVOS:

Dar solución al sistema de ecuaciones mediante métodos gráficos que analizaremos en esta

lección, fomentar el desempeño gráfico y desarrollo del pensamiento.


Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica.

Resolver un sistema de ecuaciones por el método de determinantes.

Objetivo Educativo.

Entonces x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de

la siguiente manera:

Literalmente planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y planteamos la siguiente

matriz, que nos permitirá determinar los valores de “X” y ”Y”.

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓




Para mejor entendimiento realizamos una demostración con un sistema de ecuaciones de dos

incógnitas.

Ejemplo:

Resuelva el sistema anterior para comprobar la validez del método:

{2𝑥 + 3𝑦 = 1 (1)2𝑥 − 𝑦 = 3 (2)

𝑥 =

|1 3

×3 − 1

|

|2 3

×2 − 1

|

=1(−1) − (3)(3)

2(−1) − 3(2)=

−1 − 9

−2 − 6→ =

−10

−8 𝒙 =

𝟓

𝟒

𝑦 =

|2 1

×2 3

|

|2 3

×2 − 1

|

=2(3) − (1)(2)

2(−1) − 3(2)=

6 − 2

−2 − 6→=

4

−8 𝒙 = −

𝟏

𝟐

El método es Válido.

MÉTODO GRAFICO

Habíamos determinado que las ecuaciones lineales rectas pueden ser representadas en el plano

cartesiano, entonces las coordenadas del punto de corte o intersección entre dos líneas rectas,

constituye la solución del sistema planteado:

Ejemplo:

Resolver gráficamente el siguiente sistema:

{3𝑥 − 𝑦 = 6 (1)

−𝑥 − 2𝑦 = 5 (2)

Usaremos la gráfica que se obtiene a través de la ecuación general de la recta.

3𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 𝑎 = 3 𝑏 = −1 𝑐 = −6

𝑏 = −𝑐

𝑏=

(−6)

(−1)= 6 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦




𝑎 = −𝑐

𝑎=

(−6)

(−1)= 2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥

En (2)

−𝑥 − 2𝑦 = 5

𝑎 = −1 𝑏 = −2 𝑐 = −5

𝑏 = −𝑐

𝑏=

(−5)

(−2)= −

5

2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒

𝑎 = −𝑐

𝑎=

(−5)

(−1)= −5 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥

El punto de intersección entre ellas corresponderá la solución del sistema:

Para comprobar analíticamente el resultado, las

coordenadas del punto de corte deben satisfacer las

ecuaciones del sistema.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛. (1, −3)

𝑬𝒏(𝟏)

𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟔

𝟑(𝟏) − (−𝟑) = 𝟔

𝟑 + 𝟑 = 𝟔 → 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏

𝑬𝒏 (𝟐)

−𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓

−𝟏 + 𝟔 = 𝟓 → 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏




LECCION Nº 9

INVESTIGO Nº 9

Investigue sobre el método de Gabriel Cramer

7.

RESUMO Nº 9

Elabore un mapa conceptual sobre de la aplicación del método de Cramer:

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO Nº 9

Sintetizar es: _________________________________________________________________

Ecuación: ______________________________________________________________

Paralelos. ______________________________________________________________

Rectas paralelas es: _______________________________________________________

Intersección:____________________________________________________________


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CUESTIONARIO Nº 9

Determine los valores de “X” y de “Y” en el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método Cramer. Señale la respuesta

{2𝑥 − 3𝑦 = −19− 𝑥 + 5𝑦 = 27




Determine los valores de “X” y de “Y” en el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el

método Cramer:

{𝑥 + 3𝑦 = 8 𝑥 + 2𝑦 = 1

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7 ( )𝑥1 = 13 𝑦 = −7 ( )𝑥1 = 7 𝑦 = 1

Responda falso o verdadero:

El método más adecuado para resolver una ecuación lineal es de sustitución.

Con el método de sustitución es posible que existan dos soluciones para un sistema de

ecuaciones lineales.

Es posible que existan dos soluciones para un sistema de ecuaciones lineales con tres

incógnitas.

Con el método de Cramer es posible que existan seis soluciones para un sistema de

ecuaciones lineales con tres incógnitas.





BLOQUE 2:


FICHA N°10:

Modelado de Sistemas de

Ecuaciones.

OBJETIVOS:

Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados

anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones.

Destreza de Criterio de desempeño

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica

Plantear un sistema de ecuaciones lineales

Determinar soluciones al sistema de ecuaciones lineales

Objetivo Educativo.

Resolver un problema implica trasformar un enunciado en un modelo matemático; el proceso no es fácil pero con un poco de práctica y cierta metodología se facilita el proceso de resolución-

Comprensión del enunciado:

Constituye la parte fundamental para iniciar la construcción del modelo matemático, es importante,

mientras se lee, identificar lo que se desea averiguar y con esto viene implícito lo identificación de las

variables

Modelo matemático:

Significa traducir el problema en una o varias ecuaciones que tengan un

planteamiento lógico y consistente.




Ejecución del modelo:

Aquí se aplica todos los métodos aprendidos para la resolución del modelo matemático. Es fundamental

comprobar los resultados después del proceso.

Ejemplo:

María ha comprado 2 pantalones y cinco camisas en $ 160 dólares ¿En este problema está claro que se

desea investigar el valor de cada artículo, sabiendo que su prima en el mismo almacén pago $ 130

dólares por 3 pantalones y 2 camisas?

Comprensión del enunciado

En este problema está claro que se desea investigar el valor de cada artículo y a través de una simple

comparación de precios, sin duda cada mujer ha comprado diferente cantidad de artículos sabiendo que

el precio de los mismos no ha cambiado, puesto que el problema dice que fueron adquiridos en el

mismo almacén.

Modelo matemático.

Para el modelo matemático, usaremos p para identificar la variable pantalones y c para la variable

camisas.

Lo que compro María:

2𝑝 + 5𝑐 = 160

Lo que compro la prima:

3𝑝 + 2𝑐 = 130

Con estos datos podemos ya plantear el modelo matemático a trasvés de un sistema, puesto que se

tiene dos incógnitas y dos ecuaciones:

{2𝑝 + 5𝑐 = 1603𝑝 + 2𝑐 = 130

Ejecución del modelo: Apliquemos reducciones para resolver el sistema:

Cada camisa costo $20 dólares

y $30 dólares cada pantalón.

Estos valores satisfacen las

ecuaciones del sistema.




LECCION N° 10

INVESTIGO N° 10

8. Investigue sobre el proceso para la solución de ecuaciones lineales con dos incógnitas y

poner un ejemplo:

9.

RESUMO N° 10

Elabore un mapa conceptual sobre la solución de problemas:

10.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 10

Compresión:

Modelo matemático:

2.

Enunciado.

2.

Ejecución del modelo:

2.

Ecuación lineal:


11.




CUESTIONARIO N° 10

EN LOS SIGUIENTE PROBLEMAS SEÑALE CON UNA X LA RESPUESTA SEGÚN DONDE

CORRESPONDA:

1. Carlos y José fueron a pescar. Al fin del día Carlos dijo “si tú me das uno de tus peces, entonces yo

tendré el doble que tú”. José le respondió: Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número

de peces que tú”. ¿Cuántos peces tenían cada uno al final del día.

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7 ( )𝑥1 = 13 𝑦 = −7

( )𝑥1 = 7 𝑦 = 1

H

2. La diferencia de dos números es 14 y 1

4 de su suma es 13. Hallar los números.

( )𝑥1 = 33 𝑦 = 19 ( )𝑥 = 12 𝑦 = −5

( )𝑥 = −3 𝑦 = 2




3.6 libras de café y cinco libras de azúcar costaron $ 2, 27 y 5 libras de café y 4 libras de azúcar

(a los mismos precios) costaron $ 1.88. Hallar el precio de una libra de café y una de azúcar.

( )𝑥 = 33 𝑦 = 19 ( )𝑥1 = 32 𝑦 = 7 ( )𝑥 = −3 𝑦 = 2





SEGUNDO QUIMESTRE

BLOQUE 3:

MATEMÁTICA DISCRETA

FICHA N°11:

SISTEMAS

TRIDIMENSIONALES

OBJETIVOS:

Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados

anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones.

Destreza de Criterio de desempeño

Resolver un sistema de dos ecuaciones con 3× 3 en función a las reglas establecidas.

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica

Plantear un sistema de ecuaciones lineales

Objetivo Educativo.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3x3

Estos sistemas se caracterizan por tener tres incógnitas, por lo tanto se necesitarán al menos

tres ecuaciones para poder resolverlos. Para solucionar estos sistemas se usan de forma

pormenorizada los mismos métodos usados en los sistemas anteriores, usando siempre una de

las ecuaciones como enlace entre las otra dos.

El a nuestro alrededor es tridimensional a simple vista, pero en realidad hay más dimensiones,

por lo que también puede ser considerado un espacio tetra-dimensional si incluimos

el tiempo como cuarta dimensión.

http://es.wikipedia.org/wiki/4-variedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo




Para mejorar el entendimiento resolvemos el sistema tridimensional de ecuaciones.

Ejemplo:

Nombramos a las ecuaciones como se indica.

{

𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −12

−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 7

Con (1) y (2)

(1) (2) (3)

𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −12

.× (−1)

𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10 −𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12

. 5𝑦 − 4𝑧 = 17

Con (1) y (3)

𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10 −𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 7

. 4𝑦 − 3𝑧 = 17

Con (4) y (5)

5𝑦 − 4𝑧 = 22 (−4)

4𝑦 − 3𝑧 = 17 (5)

−20𝑦 + 16𝑧 = −88 20𝑦 − 15𝑧 = 85

. 𝒛 = −𝟑

Como vemos se ha tomado la ecuación (1)como enlace entre los otros dos ecuaciones y en cada caso

se ha procedido a reducir la misma variable para obtener las ecuaciones (4) 𝑦 (5 ) se ha procedido a

reducir la variable y para poder hallar la variable z




Con el valor de “z” calculado se puede remplazar en cualquiera de las ecuaciones (4) 𝑜 (5 )para hallar

el valor del variable “y”.

En (4)

5𝑦 − 4𝑧 = 22

4𝑦 − 4(−3) = 22

5𝑦 + 12 = 22

5𝑦 = 22 − 12

5𝑦 = 10

𝑦 =10

5

𝒚 = 𝟐

Si remplazamos el valor de “z” en la ecuación (5), deberíamos obtener el mismo resultado para “y”

En (5)

4𝑦 − 3𝑧 = 17

4(2) − 3𝑧 = 17

8 − 3𝑧 = 17

−3𝑦 = 17 − 8

−3𝑧 = 9

𝒛 = 𝟗

−𝟑→ 𝑧 = −3

Conociendo los valores de “Z” y “Y”, entonces se puede reemplazar en cualquiera de las ecuaciones

(1), (2)𝑜 (3)

𝒚 = 𝟐 𝒛 = −𝟑

Reemplazamos en la tercera ecuación del sistema.

−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 7

−𝑥 + (2) − 2(−3) = 7

−𝑥 + 2 + 6 = 7 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 − 𝑥 + 8 = 7

𝒙 = 𝟏𝟓




LECCION N° 11

INVESTIGO N°11

Elabore un concepción general sobre el sistema de ecuaciones:

12.

RESUMO N°11

Elabore un mapa conceptual sobre la solución de problemas:

13.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°11

Determinante:

Matriz:

3.

Sistema.

3.

Constante:

3.

Variable:

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado

1.




CUESTIONARIO N°11

EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SEÑALE CON UNA X LA RESPUESTA SEGÚN DONDE

CORRESPONDA:

1. {

𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6 2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2

( )𝑥1 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = 3 ( )𝑥1 = 3 𝑦 = −7 𝑧 = 3

( )𝑥1 = 7 𝑦 = 1 𝑧 = 2

H

2.{ 2𝑥 − 5𝑦 = 134𝑦 + 𝑧 = −8

𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −2

( )𝑥 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = 3 ( )𝑥 = −1 𝑦 = −3 𝑧 = 4

( )𝑥 = 7 𝑦 = 1 𝑧 = 2

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7




3. { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = −53𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 = 10

( )𝑥 = 5 𝑦 = 4 𝑧 = 3 ( )𝑥 = 1 𝑦 = 3 𝑧 = 4 ( )𝑥 = 5 𝑦 = 4 𝑧 = 2

1.





BLOQUE 3:

MATEMÁTICA DISCRETA:

FICHA N°12:

FUNCIONES E

INTERSECCIONES

Objetivos

Determinación de los puntos donde se intersecan las funciones lineales en los ejes vertical y

horizontal respectivamente.


Determinar la intersección de una recta con el eje horizontal a partir de la resolución de la ecuación 𝑓 (𝑥) = 0 en donde f es la función cuya gráfica es la recta.

Puntos de solución de un sistema de ecuaciones.

Análisis gráfico y determinación de soluciones a los sistemas presentados.

Objetivo Educativo.

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON EL EJE HORIZONTAL.

Otro de los procedimientos prácticos para hallar analíticamente la intersección de una recta

con el eje horizontal es a través de la consideración de la siguiente condición:

Primeramente determinamos la ecuación de la recta.

Cuando la línea recta corta el eje horizontal, el recorrido de la función (𝑦) se ubica en el cero

del eje horizontal; por lo tanto si igualamos la función a cero y despejamos la variable

independiente “x”, se obtendrá el punto de corte con el eje horizontal.

Para determinar el punto de intersección en el eje horizontal “x” la variable “y” toma el valor de

cero, igualmente para determinar el valor del punto en el eje vertical “y” el valor de la variable

“x” toma el valor de cero.




𝑦 = 3𝑥 − 6

Para determinar el procedimiento de intersección de una función con los ejes procedemos de la

siguiente manera.

Ejemplo:

a) Hallar el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos 𝐴(0, −6) 𝑦 𝐵(1, −3) con

el eje x.

Apoyémonos en el gráfico para comprobar la validez del procedimiento.

Hallemos y comprobemos la ecuación

de la recta:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =−3 − (−6)

1 − 0=

−3 + 6

1= 3

𝑚 = 3

Con el punto 𝐵(1, −3)

𝑦 − 𝑦1 = m(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − (−3) = 3(𝑥 − 1) 𝑦 + 3 = 3𝑥 − 3 𝑦 = 3𝑥 − 3 − 3

El punto de intersección de esta recta con el eje horizontal se calcula cuando 𝑓(𝑥) = 0

𝑓(𝑥) = 0

0 = 3𝑥 − 6

6 = 3𝑥

𝑥 = 2




LECCION N° 12

INVESTIGO N° 12

Sintetice el proceso para determinar la intersección de una recta con el eje vertical a partir de

la evaluación de la función en x = 0:

2.

RESUMO N° 12

Elabore un mapa conceptual sobre la Intersección de una recta con el eje horizontal y la

intercepción de una recta con el eje vertical:

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 12

Eje vertical:

Eje horizontal:

4.

Abscisa.

4.

Corte:

4.

Intersección:





CUESTIONARIO N°12


CORRESPONDA:

1. Hallar analíticamente el punto de intercesión de la recta 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟗 con el eje horizontal

( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −9

2

( ) 𝑥 = 0 𝑦 = 4

( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −3

2

H

2. Hallar el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos 𝑨(𝟎, −𝟔)(𝟏, −𝟑)

( )𝑥 = 1 𝑦 = 0 ( )𝑥 = 2 𝑦 = 0

( )𝑥 = −2 𝑦 = 0

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7




3. Hallar analíticamente el punto de intersección de la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0 con el eje de la

horizontal.

( ) 𝑥 =10

2 𝑦 = 0

( ) 𝑥 = 1 𝑦 = 3

( ) 𝑥 =9

2 𝑦 = 0

( )𝑁𝐴

4. Hallar el punto de intersección con el eje vertical de la recta que pasa por los puntos de coordenadas

𝐴(−2, 3 ) 𝑦 𝐵(2, −5)

( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 0 ( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 3

( ) 𝑥 =8

3 𝑦 = 0





BLOQUE 3:


FICHA N°13:

FUNCIONES E

INTERSECCIONES

Objetivos.

Comprender el teorema que rige las intersecciones en los ejes del plano cartesiano, como lo

son los ejes verticales representados por la f(x).


Resolver la intersección de una recta sobre el eje vertical en función a una puntos dados

Analizar las intersecciones en el eje vertical del plano cartesiano

Objetivo Educativo.

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON EL EJE VERTICAL

De igual manera, otro de los procedimientos prácticos para hallar analíticamente la intersección

de la recta con eje vertical es atreves de la consideración de las siguientes condiciones:

Cuando la línea recta corta el eje vertical el dominio de la función se ubica en el cero del eje

vertical; por lo tanto si despejamos de la función la variable “x” y evaluamos cuando 𝑓(𝑥) = 0

entonces encontraremos la intersección de la recta con eje vertical.

Los puntos de intersección de cualquier curva (en este caso es recta) con los ejes coordenados

los obtienes haciendo x=0 e y=0.

Por ejemplo x=0,

2x-3y-12=0

2(0)-3y-12=0

3y=-12

y=-4.

Por tanto, el punto de intersección será (0, -4).




Determinamos otra intersección.

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 15

Hallemos comprobemos la ecuación de la recta:

𝑚𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚−5 − 3

2 − (2)

𝑚−8

4= −2

Con el punto 𝐴(−2,3)

𝑦 − 3 = −2[𝑥 − (−2)]

𝑦 − 3 = −2[𝑥 + 2]

𝑦 − 3 = −2𝑥 − 1

Para hallar el punto de intersección de la recta con el eje vertical , debemos expresar la función en

términos de “y” es decir despejar “x”

𝑦 = −2𝑥 − 1

𝑦 + 1 = −2𝑥

𝑥 =(𝑦 + 1)

2

𝑓(𝑥) = 0

0 =(𝑦 + 1)

2

0 = −𝑦 − 1

𝑦 = −1

El punto de intersección con el eje vertical es(−1,0)




LECCION N° 13

INVESTIGO N°13

Sintetice el proceso para determinar la intersección de una recta con el eje vertical a partir de

la evaluación de la función en x = 0: (l0 líneas)

4.

RESUMO N°13

Elabore un mapa conceptual sobre la Intersección de una recta con el eje horizontal y la

intercepción de una recta con el eje vertical:

5.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°13

Eje vertical:

Eje horizontal:

5.

Abscisa.

5.

Corte:

5.

Intersección:





CUESTIONARIO Nº13


CORRESPONDA:

1. Hallar analíticamente el punto de intercesión de la recta 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟗 con el eje horizontal

( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −9

2

( ) 𝑥 = 0 𝑦 = 4

( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −3

2

2. Hallar el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos 𝑨(𝟎, −𝟔)(𝟏, −𝟑)

( )𝑥 = 1 𝑦 = 0 ( )𝑥 = 2 𝑦 = 0

( )𝑥 = −2 𝑦 = 0

1.

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7




3. Hallar analíticamente el punto de intersección de la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0 con el eje de la

horizontal.

( ) 𝑥 =10

2 𝑦 = 0

( ) 𝑥 = 1 𝑦 = 3

( ) 𝑥 =9

2 𝑦 = 0

( )𝑁𝐴

4. Hallar el punto de intersección con el eje vertical de la recta que pasa por los puntos de coordenadas

𝐴(−2, 3 ) 𝑦 𝐵(2, −5)

( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 0 ( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 3

( ) 𝑥 =8

3 𝑦 = 0





BLOQUE 3:


FICHA N°14:

INECUACIONES

Objetivos.

Reconocer la simbología de las inecuaciones y determinar sus soluciones analíticas mediante el

uso del plano cartesiano.


Resolver la intersección de una recta sobre el eje vertical en función a una puntos dados

Graficar las inecuaciones determinado sus símbolos de igualdad y desigualdad.

Resolver sistemas de inecuaciones de dos incógnitas.

Objetivo Educativo.

Una inecuación es una expresión matemática que se caracteriza por tener los signos de una desigualdad (>, <). Al tratarse de una expresión algebraica el resultado es un conjunto, en el cual la variable independiente puede tomar un valor cualquier con las condiciones planteadas en la desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo

INECUACIONES

Los intervalos pueden ser de varios tipos

a. Intervalo cerrado, es decir que incluye los límites.

[𝒂, 𝒃] → 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

b. Intervalo abierto, es decir que no incluye los limites.

(𝒂, 𝒃 ) → 𝒂 < 𝑥 < 𝑏




c. Intervalo semiabierto, es decir que no incluye uno de los limites, esto por lo general sucede

con los intervalos al infinito.

(−∞, 𝒂] → 𝒙 ≤ 𝒂

𝐆𝐑𝐀𝐅𝐈𝐂𝐀𝐒 𝐃𝐄 𝐔𝐍𝐀 𝐈𝐍𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍

Para graficar una inecuación lineal se recomienda tomar en cuenta los siguientes pasos:

1. Siendo la inecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0, realiza la gráfica de la recta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

Para ello se puede seguir cualquier de los procedimientos estudiados anteriormente,

sin olvidar que para graficar una recta dos puntos son suficientes

2. Una vez elaborada la gráfica de la recta, seleccionar un punto que se encuentra afuera

de la línea recta.

3. Si las coordenadas del punto seleccionados satisfacen las condiciones planteadas en la

inecuación, entonces sombrear le semiplano que contiene ese punto. Si no satisface la

inecuación, entonces se deberá sombrear el otro semiplano.

El semiplano sombreado constituye la solución de la inecuación.

Ejemplo:

Graficar la inecuación 2𝑥 − 3𝑦 > 12 y determina r el semiplano solución. Usemos los

puntos de intersección de la recta 2𝑥 − 3𝑦 > 0 con el eje horizontal y vertical.

2𝑥 − 3𝑦 = 12

2𝑥 − 12 = 3𝑦

𝑦 =2𝑥 − 12

3

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0

2𝑥 − 12 = 0

𝑥 = 6 → (0,6) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙




Punto de corte en el eje vertical.

Con eje vertical

2𝑥 = 3𝑦 + 12

𝑦 =12 + 3𝑦

2

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0

12 + 3𝑦 = 0

𝑦 =12

3→ (0, −4) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

Ejemplo

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 6

-2 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒(1, −3)




LECCION N° 14

INVESTIGO N°14

Elabore una concepción de inecuaciones

1.

RESUMO N°14

Elabore un mapa conceptual sobre las inecuaciones

2.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°14

Inecuación lineal:

Inecuación cuadrática:

6.

Intervalo cerrado.

6.

Intervalo abierto:

6.

Intervalo semiabierto:


3.




CUESTIONARIO N°14


CORRESPONDA: REALICE EL PROCESO.

Que significa inecuación

Responda falso o verdadero según la respuesta:

Inecuación es una expresión matemática que se caracteriza por tener presente el signo de la

igualdad.

Grafiqué la inecuación dada: 2𝑥 − 3𝑦 > 12

H

2 Grafiqué la inecuación dada: 2𝑥 − 3𝑦 < 6

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7




3. Grafiqué la inecuación dada: 3𝑥 − 𝑦 ≥ 9

1.





BLOQUE 3:

MATEMÁTICA

DISCRETA

FICHA N°15:

La Parábola

Objetivos:

Estudiar la ecuación cuadrática, determinar su gráfica y sus comportamientos en el plano

cartesiano.


La ecuación cuadrática y su método de resolución de la misma, de igual manera que tipo de grafica representa la ecuación cuadrática en el plano.

Curvatura y solución de sistemas cuadráticos

Punto vértice y recorridos.

Objetivo Educativo.

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo “+” y “-“ de la x que se obtuvo

Lo que para determinar la solución al sistema de ecuaciones cuadráticas nos da una función más conocida como la “ fórmula general ” la misma que será de gran ayuda para determinar la respuesta del sistema de funciones.




De esta manera se tiene

Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si las dos raíces son reales e iguales

Si las dos raíces son complejas conjugadas

Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:




La intersección de rectas y parábolas Determine los puntos donde las curvas se intersecan

La intersección se da en (1,1) y (-2,2)




LECCIÓN N° 15

INVESTIGO N° 15

Investigue todo concerniente a la parábola

2.

RESUMO N° 15

Haga un mapa conceptual acerca de cómo se utiliza la ecuación del teorema fundamental del

algebra

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 15

Vértice:

Ecuación cuadrática:

7.

Eje focal:

7.

Parábola:

7.


4.




CUESTIONARIO N° 15

Resuelva las ecuaciones cuadráticas con la ecuación de la forma a𝒙𝟐+ bx + c=0

3𝑥2 − 𝑦 = 9

2𝑥2 − 3𝑦 = 12

Grafiqué la ecuación dada: 2𝑥2 − 3𝑦 = 12




Grafiqué la ecuación dada: 2𝑥2 − 3𝑦 = 4

Encuentre los puntos en que se cruzan las curvas: 3𝑥2 − 𝑦 = 9 𝑥 − 𝑦 = 3





BLOQUE 4:

Probabilidad y Ecuaciones Cuadráticas

FICHA N°16:

Intersección de Funciones

Cuadráticas.

OBJETIVOS:

Estudiar la parábola y sus diferentes componentes


Comprender que las raíces de una ecuación cuadrática son los cruces de la parábola con el eje u otra parábola.

Determinar el comportamiento local y global de la función cuadrática a través del análisis de su dominio, recorrido, crecimiento, decrecimiento, concavidad y simetría y de la interpretación geométrica de los parámetros que la definen.

Objetivo Educativo.

CRUCES DE LA PARÁBOLA

La parábola al ser una gráfica que como ya vimos tiende una figura parecida con una u es factible que toque a los ejes cartesianos en 2 ocasiones por lo general, siendo este el caso podemos utilizar el teorema fundamental del algebra para resolver los puntos en los cuales la gráfica se encuentra con el eje x o y.

Secuencia para determinaros puntos de intersección.

1) Despejar la “y” de las dos ecuaciones.

2) Igualas las dos fórmulas que te quedara una ecuación de segundo grado, teniendo en cuenta que tiene que quedar igualada a cero, entonces, hallas “x” con la formula resolvente de la función cuadrática para hallar las raíces ( x1 y x2 ).




3) Una vez que tienes los valores de x, los reemplazas en cualquiera de las dos funciones del principio para hallar los valores de y que le corresponden.

4) Escribir los dos puntos intersección como pares ordenados

(x1;y1) y (x2;y2)

Primer ejemplo la función esta igualada a cero-

2x2 – x – 1 = 0

Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula




Domino y recorrido de una parábola

La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c representa una parábola y tiene como dominio los reales.

El punto máximo o mínimo de la parábola (o sea el vértice) tiene abscisa (coordenada horizontal)

x = –b/2a.

EJEMPLO :

Graficar y obtener el dominio y recorrido de f(x) = 3x2 – 5x – 6.

El vértice de la parábola se encuentra en x = –(–5)/(2 ´ 3) = 5/6.

Generamos una tabla de valores alrededor de x = 5/6, graficamos y obtenemos el dominio y el recorrido.

x –1 0 5/6 1 2

f(x) 2 –6 –97/12 –8 –4




Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro en el que son decrecientes. Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo (+ ∞), y decreciente en el intervalo (-∞;).Si a<0, la función f(x) es creciente en el intervalo (-∞) , y decreciente en el intervalo (- ∞).

Concavidad

Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa:

También suele decirse que:

* Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.

* Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.

Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea




LECCION N°16

INVESTIGO N°16

Investigue como se calcula el foco de una parábola

5.

RESUMO N°16

Elabore un mapa conceptual con los tipos de parábolas por la orientación de la

Concavidad y sus gráficas.

6.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°16

Vértice:

Concavidad:

8.

Eje focal:

8.

Simetría:

8.





CUESTIONARIO N°16

Obtener el dominio y el recorrido de las siguientes funciones cuadráticas.

1) f(x) = x2 – 5x – 3

2) f(x) = –2x2 + 4x – 1

1.

Encuentre la concavidad de forma analítica de la ecuación dada. 2𝑥2 − 3𝑦 = 12




Encuentre el vértice analíticamente de la ecuación dada 𝑥2 − 2𝑦 = 6

Encuentre los puntos en que la parábola se cruza con el eje x y grafique 3𝑥2 − 𝑦 = 9





BLOQUE 4:

Probabilidad y Ecuaciones Cuadráticas

FICHA N°17:

Máximos y Mínimos de

Funciones Cuadráticas.

OBJETIVOS:

Ampliar el estudio de la ecuación de segundo grado y la parábola.

Destreza de Criterio de desempeño.

Realizar el análisis de los mínimos y máximos de una parábola.

Analizar cómo se solucionan sistemas de ecuaciones de segundo grado.

Determinación de los puntos máximos y mínimos.

Objetivo Educativo.

La parábola cuya ecuación es de la forma Y= a𝑥2 + bx + c, abre hacia arriba si a es positiva entonces tienen un mínimo, cuando a es negativa abre hacia abajo y tiene un máximo. El mínimo o máximo se encuentra en el punto x= -b / 2a que es el vértice. Por ejemplo y = 2x^2 + 12x - 4 de donde a =2 , b = 12 sustituimos

x = -b / 2a

x= - 12 / 2*2

x= -12 /4 = -3

Es un mínimo ya que a = 2 es positiva para calcular cuánto vale el mínimo sustituimos en la parábola y = 2𝑥2 + 12x – 4




Evaluamos la función cuadrática. y(3) = 2(−3)2 + 12(-3) – 4

= 2*9 - 36 -4 = 18 - 36 - 4= -22

SISTEMAS DE ECUACIONES SEGUNDO GRADO

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de primer grado 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación 3º Se resuelve la ecuación resultante. 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

Sistemas de ecuación lineales y rectas.

Al analizar las gráficamente la resolución de sistemas de ecuaciones podemos observar que de hecho los resultado que vamos a obtener al resolver un sistema de ecuaciones en el cual hay un ecuación cuadrática y una recta van a ser los puntos en los cuales las 2 se cortan.

Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas

Al analizar las gráficamente la resolución de sistemas de ecuaciones de segundo grado podemos observar que de hecho los resultado que vamos a obtener al resolver un sistema de ecuaciones en el cual hay dos ecuaciones cuadráticas van a ser los puntos en los cuales las 2 se cortan.




Análisis grafico de funciones lineales y cuadráticas con sus respuestas.

Análisis grafico entre funciones cuadráticas y sus respuestas




Conclusiones gráficas.

EJEMPLO:

Ejercicios 1

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y = 7 − x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3º Se resuelve la ecuación resultante. (En el lado derecho se muestran los cálculos auxiliares)

http://2.bp.blogspot.com/-FChjGYC9isA/T8qfswc8CYI/AAAAAAAAANI/Fuf7FFnZjHU/s1600/Poli.png

http://1.bp.blogspot.com/-YXvN1of_Zds/T8qgG9AK-gI/AAAAAAAAANQ/_inE5J4akNY/s1600/Poli.png

http://2.bp.blogspot.com/-LvdhiWnJjew/T8qhwEz4eQI/AAAAAAAAANw/RG20jppJLco/s1600/Poli.png




4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. (Recordar que en el paso 1 hallamos que y = 7 − x) x = 3 y = 7 − 3 y = 4 x = 4 y = 7 − 4 y = 3

Ejercicio 2

Sistema de ecuaciones

3y = 𝑥2+1

6y = 𝑥2+6x-4

http://3.bp.blogspot.com/-wrV3_Z_JcOc/T8qin3sf7DI/AAAAAAAAAN4/ehf79P9VkU4/s1600/Poli.png




LECCION N° 17

INVESTIGO N° 17

Investigue 2 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.

2.

RESUMO N° 17

Realice un resumen sobre cómo resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas.

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 17

Sistema de ecuaciones

Mínimos de una ecuación

9.

Máximos de una ecuación

9.

Ecuaciones de segundo grado

9.


4.




CUESTIONARIO N° 17

Determinar la solución de los sistemas de ecuaciones cuadráticas

y = x2 – 5x – 3

y = –2x2 + 4x – 1

1.

Determinar la solución del sistema de ecuaciones de segundo grado 2𝑥2 − 3𝑦 = 12𝑦 + 2𝑥 𝑥2 − 𝑦 = 6




Determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones

y = x ² + 4.x + 4 3x - 2y = -16

Determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones

x ² - x - y = 0 5x + y = 17





BLOQUE 4:

Probabilidad y Ecuaciones

Cuadráticas

FICHA N°18:

Geometría Discreta

OBJETIVOS.

Ampliar el estudio de la Geometría Plana.

Destreza de Criterio de desempeño.

Realizar el análisis de las teorías de la geometría y sus aplicaciones.

Objetivo Educativo.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y

del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la

geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con

el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá

de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de

estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos

que verifican dicha ecuación.

https://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_geom%C3%A9tricas

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial

https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraica

https://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico

https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n


https://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico





Secciones cónicas

LA PARÁBOLA

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una

recta fija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas se expresa mediante la ecuación:

LA CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos

contenidos en una circunferencia determinada.

Elementos de la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto

cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia

dividida por 2π.;

Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa

por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia

dividida por π;

https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro




Cuerda, La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de

longitud máxima.;

Secante, es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;

Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un

arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA

𝑨 = 𝟐𝝅𝒓𝟐

𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝒓

LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos

es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Secante

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse




LA HIPÉRBOLA.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus

distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre

los vértices.

https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola




LECCION N° 18

INVESTIGO N° 18

Investigue que es la recta tangente a la circunferencia y hacer un gráfico.

2.

RESUMO N° 18

Realice un resumen sobre las secciones Cónicas. (Use regla y compas)

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 18

Radio

Recta Secante

10.

Directriz

10.

Eje focal

10.


4.




CUESTIONARIO N° 18

Determinar los puntos de intersección de las dos ecuaciones.

y = x2 – 5x – 3

y = –2x2 + 4x – 1

1.

Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2x - 6y = 4 , y dicha recta pasa por el punto (-3;-2)

1.




Determine la grafica (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟏 Identifique: El punto del centro: El diámetro: El Área de la gráfica:

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7

Determine las intersecciones de las gráficas:

5x ² - 7x - y = 10 8x + 3y = 17





BLOQUE 4:

Probabilidad y

Ecuaciones Cuadráticas

FICHA N°19:

Coordenadas Polares

OBJETIVOS:

Ampliar el estudio de las Coordenadas cartesianas y polares en el plano bidimensional.


Análisis de las coordenadas cartesianas, coordenadas polares. Y sus transformaciones de grados a radianes, conversiones básicas.

Objetivo Educativo

Con las coordenadas cartesianas señalas un punto en un gráfico dando la distancia de lado y hacia arriba:

El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 arriba.




Ejes X y Y

La dirección izquierda-derecha (horizontal) se suele llamar X ...

... y arriba-abajo (vertical) se suele llamar Y.

Las líneas de referencia (desde donde se miden distancias) se llaman ejes.

Hay un eje X y un eje Y.

Direcciones

Cuando x (la primera coordenada) aumenta, el punto se mueve a la derecha. (Si disminuye, el punto va a la izquierda.)

Cuando y (la segunda coordenada) aumenta, el punto se mueve arriba. (Si disminuye, el punto va abajo.)




Aquí tienes los cuatro cuadrantes en un gráfico:

El origen

El punto (0,0) tiene el nombre especial de "el origen", y a veces se le llama con la letra "O".




COORDENADAS POLARES

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y

una distancia.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o

rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema

de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre

cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia

de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece

en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o

«radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES

RADIANES

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorario




EL “PI” es una constante que determina el perímetro de la circunferencia sobre su diámetro

Ejemplo de conversiones

Por ejemplo necesitamos convertir de grados a radianes la siguiente cantidad, dada en grados.

EJEMPLO

Convertir 600 → 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Realizamos la regla de 3, teniendo en cuenta lo principal que 360𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 2𝜋 y escribimos.

360𝑜 → 2𝜋

600 → 𝑥

Y decimos..!si360𝑜 grados equivale a 2pi radianes ,,,mm 600 grados cuanto será en radianes..??

Hacemos la operación de la regla de tres.

(600). (2𝜋)

360𝑜 =

120(𝜋)

360𝑜=

1(𝜋)

3=

𝜋

3 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

EJEMPLO

Convertir 2700 → 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Realizamos la regla de 3, teniendo en cuenta lo principal que 360𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 2𝜋 y escribimos.

360𝑜 → 2𝜋

2700 → 𝑥

Y decimos..!si360𝑜 grados equivale a 2pi radianes ,,,mm 2700 grados cuanto será en radianes..??

Hacemos la operación de la regla de tres.

(2700). (2𝜋)

360𝑜=

540(𝜋)

360𝑜=

3(𝜋)

2=

3𝜋

2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠




LECCION N°19

INVESTIGO N°19

Investigue sobre las coordenadas polares y el círculo trigonométrico.

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RESUMO N°19

Realice un resumen sobre las conversiones de grados a radianes. (Use regla)

1.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 19

Numero “pi”

Conversión

11.

Radianes

11.

Abscisas y Ordenadas

11.


2.




CUESTIONARIO N°19

Determinar las conversiones.

1) Convertir 82o a radianes.

1.

2) Convertir 1.84 radianes a grados.

2.

3) Convertir 247o a radianes.

3.

4) Convertir 4.06 radianes a grados.

4.

1.

2.

3.




Determine el punto de intersección de las dos rectas usando el teorema de igualación de las “y” e identifique el cuadrante donde está dicho punto de intersección. −𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟐 𝟔𝒚 − 𝟓𝒚 = −𝒙 + 𝟐

Determine los puntos en el plano polar. (Use graduator) P1(3; 𝟔𝟎𝒐) P2(5; 𝟖𝟎𝒐) P3(3; 𝟏𝟐𝟎𝒐)





BLOQUE 4: Probabilidad y

Ecuaciones Cuadráticas

FICHA N°20

Teoremas Básicos.

Objetivos:

Sistemas de ecuaciones y aplicaciones en geometría analítica


Realizar el análisis de las cónicas y ecuaciones vistas en clase

LA RECTA

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

En una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente

Ecuación punto-pendiente.

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana

https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea

https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_recta




Distancia entre puntos

Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.

Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el rectángulo coloreado:

Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abscisa, la distancia entre ellos se calcula sin necesidad de aplicar la fórmula anterior.

INTERSECCION ENTRE RECTAS

Para detrminar el punto que se genera en el cruze o interseccion de dos rectas realizamos el

siguiente procedimiento:

1) Primero despejamos la variable “y” de cada una de las ecuaciones.

2) Tomamos e igualamos las dos “y”




3) Resolviendo ,ordenando las “x” a un lado y simplificando terminos nos queda un valor en “x”

el mismo que es parte del punto

4) Despues obteniendo ya el punto en “x” reemplazamos ese punto en cualquiera de las dos

ecuaciones y asi obtenemos el punto “y”

P( “x” ; ”y” )

Ejemplo:

2x +y =1 ; X+y=2

1) y=1-2x ; y=2-x

2) y=y

3) 1-2x=2-x

-2+ 1=-x +2x ; -1=x

4) reempazo en cualquiera de las dos ecuaciones la x=-1

X+y=2

(-1)+y=2 ; y=2+1 ; y=3 punto de intersecion de las dos rectas es el punto P(-1;3)




INTERSECCION ENTRE PARABOLAS

De igual manera que las rectas, la única diferencia es que cuando igualamos las “y” en la

resolución me queda una ecuación de segundo grado.




Ejemplo:

Resolver

Determinamos los valores de a , b , c

a=1 b=-5 c=6

Reemplazamos en la formula general

Una vez obtenidos los puntos x1 y x2 reemplazamos un por uno en una de cualquiera de las

ecuaciones

Obteniendo asi dos puntos

P1(x1;y1) P2(x2;y2) los mismos que son los puntos donde se cortan las dos parabolas.




LECCION N° 20

INVESTIGO N°20

Investigue 2 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.

2.

RESUMO N° 20

Realice un resumen sobre cómo resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas.

3.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°20

Intersección

Formula general de segundo grado

5.

Rectas paralelas

12.

Rectas perpendiculares

12.


4.




CUESTIONARIO N°20

Determinar los puntos donde se cruzan usando la formula general

y = 3x2 – 2x – 3

y = –5x2 + 4x – 1

Solución




Determinar las intersecciones de las graficas 2𝑥 − 𝑦 = 1 2𝑥2 − 3𝑦 = 6𝑦

Determine las intersecciones de las dos graficas con ecuación

y = x ² + 4x + 4 3x - 2y = -16

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7




Determine las intersecciones de las dos graficas

x ² - x - y = 0 5x + y = 17

1.





ÍNDICE

PRIMER QUIMESTRE

BLOQUE 1: FUNCIONES LINEALES ........................................................................................3

FICHA N°1: Función Matemática ....................................................................................................3

FUNCIONES LINEALES ....................................................................................................................................5

FICHA Nº 1 .....................................................................................................................................................6

INVESTIGO Nº 1 .............................................................................................................................................6

GLOSARIO Nº 1 ..............................................................................................................................................7

RESUMO Nº 1 ................................................................................................................................................7

CUESTIONARIO Nº 1 ......................................................................................................................................8

FICHA N°2: Evaluación de Funciones ...........................................................................................9

LECCIÓN Nº 2 .............................................................................................................................................. 11

INVESTIGO Nº 2 .......................................................................................................................................... 11

RESUMO Nº 2 ............................................................................................................................................. 12

GLOSARIO Nº 2 ........................................................................................................................................... 12

CUESTIONARIO Nº 2 ................................................................................................................................... 13

FICHA N°3: Dominio de una Función ......................................................................................... 14

Recorrido de una función. .......................................................................................................................... 15

Dominio y recorrido ................................................................................................................................... 15

LECCIÓN Nº 3 .............................................................................................................................................. 16

INVESTIGO Nº 3 .......................................................................................................................................... 16

RESUMO Nº 3 ............................................................................................................................................. 17

GLOSARIO Nº 3 ........................................................................................................................................... 17

CUESTIONARIO Nº 3 ................................................................................................................................... 18

FICHA N°4: Intervalos De Funciones .......................................................................................... 19

FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO ................................................................................................... 20

FUNCIÓN ESTRICTAMENTE DECRECIENTE EN UN INTERVALO ................................................................... 20

FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO ............................................................................................... 21




LECCION Nº4 ............................................................................................................................................... 22

INVESTIGO Nº 4 .......................................................................................................................................... 22

GLOSARIO Nº 4 ........................................................................................................................................... 22

RESUMO Nº 4 ............................................................................................................................................. 23

CUESTIONARIO Nº 4 ................................................................................................................................... 23

FICHA N°5: RECTAS Y PENDIENTES ............................................................................................. 24

RECTAS PARALELAS .................................................................................................................................... 25

RECTAS PERPENDICULARES ........................................................................................................................ 26

LECCION N°5 ............................................................................................................................................... 27

INVESTIGO N°5 ........................................................................................................................................... 27

GLOSARIO N°5 ............................................................................................................................................ 27

RESUMO N°5 .............................................................................................................................................. 28

CUESTIONARIO N°5 .................................................................................................................................... 29

BLOQUE 2: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ............................................................................... 30

FICHA N°6: PROGRESIONES .......................................................................................................... 30

INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS ............................................................................................. 30

MEDIOS ENTRE A Y B .................................................................................................................................. 31

MEDIOS GEOMÉTRICOS ............................................................................................................................. 31

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICAS. ............................................................. 31

LECCION N°6 ............................................................................................................................................... 33

INVESTIGO N°6 ........................................................................................................................................... 33

GLOSARIO N°6 ............................................................................................................................................ 33

RESUMO N°6 .............................................................................................................................................. 34

CUESTIONARIO N°6 .................................................................................................................................... 35

FICHA N°7: ECUACION DE LA RECTA .......................................................................................... 36

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ............................................................................................................. 38

GRAFICA DE LA ECUACION REDUCIDA DE LA RECTA ................................................................................. 38

GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. ................................................................................... 39




LECCION N°7 ............................................................................................................................................... 41

INVESTIGO N°7 ........................................................................................................................................... 41

RESUMO N°7 .............................................................................................................................................. 42

GLOSARIO N°7 ............................................................................................................................................ 42

CUESTIONARIO N°7 .................................................................................................................................... 43

FICHA N°8: ECUACIONES LINEALES ............................................................................................ 44

SISTEMA DE DOS ECUACIONES .................................................................................................................. 44

METODO DE REDUCCION ........................................................................................................................... 45

METODO DE SUSTITUCION:........................................................................................................................ 46

LECCION N° 8 .............................................................................................................................................. 48

INVESTIGO N° 8 .......................................................................................................................................... 48

RESUMO N° 8.............................................................................................................................................. 48

GLOSARIO N° 8 ........................................................................................................................................... 49

CUESTIONARIO N° 8 ................................................................................................................................... 50

FICHA N°9: INTERSECCIONES Y DETERMINANTES ............................................... 51

MÉTODO GRAFICO ..................................................................................................................................... 52

LECCION Nº 9 .............................................................................................................................................. 54

INVESTIGO Nº 9 .......................................................................................................................................... 54

RESUMO Nº 9 ............................................................................................................................................. 54

GLOSARIO Nº 9 ........................................................................................................................................... 55

CUESTIONARIO Nº 9 ................................................................................................................................... 55

FICHA N°10: MODELADO DE SISTEMAS DE ECUACIONES. ....................................................................... 57

COMPRENSIÓN DEL ENUNCIADO: .............................................................................................................. 57

MODELO MATEMÁTICO: ............................................................................................................................ 57

EJECUCIÓN DEL MODELO: .......................................................................................................................... 58

MODELO MATEMÁTICO. ........................................................................................................................... 58

LECCION N° 10 ............................................................................................................................................ 59

INVESTIGO N° 10 ........................................................................................................................................ 59




RESUMO N° 10............................................................................................................................................ 59

GLOSARIO N° 10 ......................................................................................................................................... 60

CUESTIONARIO N° 10 ................................................................................................................................. 61

SEGUNDO QUIMESTRE

BLOQUE 3: MATEMATICA DISCRETA .............................................................................. 63

FICHA N°11: SISTEMAS TRIDIMENSIONALES ......................................................................... 63

SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3x3 ............................................................................................................ 63

LECCION N° 11 ............................................................................................................................................ 66

INVESTIGO N°11 ......................................................................................................................................... 66

RESUMO N°11 ............................................................................................................................................ 66

GLOSARIO N°11 .......................................................................................................................................... 67

CUESTIONARIO N°11 .................................................................................................................................. 68

FICHA N°12: FUNCIONES E INTERSECCIONES ........................................................................ 70

INTERSECCION DE UNA RECTA CON EL EJE HORIZONTAL. ......................................................................... 70

LECCION N° 12 ............................................................................................................................................ 72

INVESTIGO N° 12 ........................................................................................................................................ 72

RESUMO N° 12............................................................................................................................................ 72

GLOSARIO N° 12 ......................................................................................................................................... 73

CUESTIONARIO N°12 .................................................................................................................................. 74

FICHA N°13: FUNCIONES E INTERSECCIONES ........................................................................ 76

INTERSECCION DE UNA RECTA CON EL EJE VERTICAL ................................................................................ 76

LECCION N° 13 ............................................................................................................................................ 78

INVESTIGO N°13 ......................................................................................................................................... 78

RESUMO N°13 ............................................................................................................................................ 78

GLOSARIO N°13 .......................................................................................................................................... 79

CUESTIONARIO Nº13 .................................................................................................................................. 80




FICHA N°14: INECUACIONES ....................................................................................................... 82

INECUACIONES ........................................................................................................................................... 82

GRAFICAS DE UNA INECUACION............................................................................................................. 83

LECCION N° 14 ............................................................................................................................................ 85

INVESTIGO N°14 ......................................................................................................................................... 85

RESUMO N°14 ............................................................................................................................................ 85

GLOSARIO N°14 .......................................................................................................................................... 86

CUESTIONARIO N°14 .................................................................................................................................. 87

FICHA N°15: LA PARÁBOLA ............................................................................................................ 89

LECCIÓN N° 15 ............................................................................................................................................ 92

INVESTIGO N° 15 ........................................................................................................................................ 92

RESUMO N° 15............................................................................................................................................ 92

GLOSARIO N° 15 ......................................................................................................................................... 93

CUESTIONARIO N° 15 ................................................................................................................................. 94

BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y ECUACIONES CUADRÁTICAS ........................... 96

FICHA N°16: INTERSECCIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS. ......................................... 96

CRUCES DE LA PARÁBOLA .......................................................................................................................... 96

DOMINO Y RECORRIDO DE UNA PARÁBOLA .............................................................................................. 98

INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ................................................................................... 99

CONCAVIDAD .............................................................................................................................................. 99

SIMETRÍA .................................................................................................................................................... 99

LECCION N°16 ........................................................................................................................................... 100

INVESTIGO N°16 ....................................................................................................................................... 100

RESUMO N°16 .......................................................................................................................................... 100

GLOSARIO N°16 ........................................................................................................................................ 101

CUESTIONARIO N°16 ................................................................................................................................ 102




FICHA N°17: MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS ........................ 104

SISTEMAS DE ECUACIONES SEGUNDO GRADO ........................................................................................ 105

SISTEMAS DE ECUACIÓN LINEALES Y RECTAS. ......................................................................................... 105

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CUADRÁTICAS ....................................................................................... 105

LECCION N° 17 .......................................................................................................................................... 109

INVESTIGO N° 17 ...................................................................................................................................... 109

RESUMO N° 17.......................................................................................................................................... 109

GLOSARIO N° 17 ....................................................................................................................................... 110

CUESTIONARIO N° 17 ............................................................................................................................... 111

FICHA N°18: GEOMETRÍA DISCRETA ........................................................................................ 113

SECCIONES CÓNICAS ................................................................................................................................ 114

LA PARÁBOLA ........................................................................................................................................... 114

LA CIRCUNFERENCIA. ............................................................................................................................... 114

ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA .................................................................................................................. 115

LA ELIPSE .................................................................................................................................................. 115

LA HIPÉRBOLA. ......................................................................................................................................... 116

LECCION N° 18 .......................................................................................................................................... 117

INVESTIGO N° 18 ...................................................................................................................................... 117

RESUMO N° 18.......................................................................................................................................... 117

GLOSARIO N° 18 ....................................................................................................................................... 118

CUESTIONARIO N° 18 ............................................................................................................................... 119

FICHA N°19: COORDENADAS POLARES ................................................................................. 121

EJES X Y Y .................................................................................................................................................. 122

DIRECCIONES ............................................................................................................................................ 122

EL ORIGEN ................................................................................................................................................ 123

COORDENADAS POLARES ......................................................................................................................... 124

CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES .......................................................................................... 124

RADIANES ................................................................................................................................................. 124




LECCION N°19 ........................................................................................................................................... 126

INVESTIGO N°19 ....................................................................................................................................... 126

RESUMO N°19 .......................................................................................................................................... 126

GLOSARIO N° 19 ....................................................................................................................................... 127

CUESTIONARIO N°19 ................................................................................................................................ 128

FICHA N°20: TEOREMAS BÁSICOS............................................................................................. 130

LINEALIDAD .............................................................................................................................................. 130

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE ................................................................................................................ 130

DISTANCIA ENTRE PUNTOS ...................................................................................................................... 131

INTERSECCION ENTRE RECTAS ................................................................................................................. 131

INTERSECCION ENTRE PARABOLAS .......................................................................................................... 133

LECCION N° 20 .......................................................................................................................................... 135

INVESTIGO N°20 ....................................................................................................................................... 135

RESUMO N° 20.......................................................................................................................................... 135

GLOSARIO N°20 ........................................................................................................................................ 136

CUESTIONARIO N°20 ................................................................................................................................ 137

Modulo matematica 1_año

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