Partes i y II Del Modulo Matematica Financiera Avanzada

MDULO DE MATEMTICA FINANCIERA AVANZADA ESPECIALIZACIN EN FINANZAS

LUIS ALEJANDRO FONSECA PEZ Pgina 1

MDULO DE MATEMTICAS FINANCIERAS

JUSTIFICACIN.

El desarrollo empresarial y organizacional debe orientarse a la bsqueda de polticas que conlleven a las empresas a definir y establecer nuevas oportunidades de crecimiento; este desarrollo est ntimamente ligado a la realizacin de proyectos, entendindose como tal toda actividad encaminada a lograr un resultado especfico, lo cual se logra mediante la asignacin de recursos. Lo anterior implica un proceso de toma de decisiones administrativas o gerenciales con el cual tiene que enfrentarse el profesional. Es aqu donde la Matemtica Financiera se convierte en una herramienta fundamental para el analista financiero dentro del proceso de toma de decisiones desde el punto de vista econmico, porque le permite mediante modelos matemticos encontrar equivalencias financieras entre flujos de fondos ubicados en diferentes periodos de tiempo, lo cual es de gran importancia en la evaluacin de proyectos de inversin que conlleven a la solucin de un problema o de una situacin determinada.

OBJETIVOS.

Interpretar y aplicar diferentes modelos matemticos en el proceso de toma de decisiones para la evaluacin de proyectos de inversin. COMPETENCIAS A DESARROLLAR.

Comprensin de la importancia de la Matemtica Financiera dentro de la formacin integral del Especialista en Finanzas.

Capacidad de establecer modelos matemticos para encontrar equivalencias financieras, tanto entre tasas de inters como entre flujos de fondos.

Habilidad en el manejo de hojas electrnicas para realizar equivalencias financieras.

Destreza en la solucin de problemas que impliquen la utilizacin de factores mltiples.

CONTENIDOS TEMTICOS.

1. Conceptos Bsicos de la Matemtica Financiera. 2. Inters Simple 3. Inters Compuesto 4. Tasa de inters nominal 5. Tasa de inters efectiva 6. Capitalizacin continua



7. Ecuaciones de valor 8. Mtodos de amortizacin Factor valor presente pago nico Factor Cantidad compuesta pago nico Factor de recuperacin de capital Factor valor presente serie uniforme Factor cantidad compuesta serie uniforme Factor fondo de amortizacin 9. Gradientes Gradientes aritmticos Gradientes geomtricos Gradientes escalonados 10. Clculo de rentabilidad de activos financieros.

METODOLOGA. Para el logro de las competencias incluidas en el curso se trabajar de la siguiente forma:

Clases magistrales donde se presentarn los conceptos tericos fundamentales de la Matemtica Financiera.

Solucin de casos. Talleres en clase orientados por el profesor. Trabajos fuera de clase y orientados por el profesor va internet.

SISTEMA DE EVALUACIN.

Talleres individuales y grupales en las diferentes jornadas de trabajo, con un valor del 30%

Talleres e investigaciones individuales o grupales fuera de clase, con un valor del 30%

Dos parciales individuales, con un valor del 20% cada uno. BIBILOGRAFA RECOMENDADA

lvarez, Alberto. Matemticas financieras. Bogot, McGraw Hill, 2 ed., 1999. Arboleda Vlez, Germn. Fundamentos de Ingeniera Financiera. Bogot, AC

editores, 1999. Baca Currea, Guillermo. Ingeniera Econmica. Bogot, Fondo Educativo

Panamericano, 8 ed, 2005. (Incluye software) Blank, Leland y Tarquin, Anthony. Ingeniera Econmica. Mxico, McGraw Hill, 5

ed, 2004. Buenaventura Vega, Guillermo. Matemticas Financieras. Bogot, Universidad

Icesi, 2000. Coos Bu, Ral. Anlisis y Evaluacin de Proyectos de Inversin. Grantt, Eugene. Principios de Ingeniera Econmica.



Hernndez, Abraham. Formulacin y Evaluacin de Proyectos de Inversin. Mxico, Ecafsa, 3 ed, 2000.

Miranda Miranda, Juan Jos. Gestin de Proyectos. Bogot, editora Guadalupe, 4 ed., 2001.

I.T.G.E. Manual de Evaluacin Tcnico-Econmica de proyectos Mineros de Inversin. (Incluye software)

Medinae Serrano, Antonio. Cincuenta Modelos Financieros en Excel. (Incluye software)

Mokate, Karen Marie. Evaluacin Financiera de proyectos de Inversin. Bogot, Universidad de Los Andes, 2001.

Newnan P., Donald. Anlisis Econmico en Ingeniera. Sapag Chain, Nassir y Sapag Chain, reinaldo. Preparacin y Evaluacin de

Proyectos. Santiago de Chile, McGraw Hill, 4 ed., 2000. Seplveda, Jos; Souder William y Gottfried, Byron. Ingeniera Econmica.

Mxico, McGraw Hill. Varela Villegas, Rodrigo. Evaluacin Econmica de proyectos de Inversin. www.fna.gov.co (Pgina del Fondo Nacional de Ahorro) www.legiscol.com/uvr.htm (variaciones y clculo de la UVR) www.businesscol.com www.lacafu.com www.latin-focus.com www.ideas.repec.org www.dane.gov.co www.dnp.gov.co www.banrep.gov.co

INFORMACIN DEL DOCENTE. Nombre: Luis Alejandro Fonseca Pez Ttulo: Ingeniero en Minas Posgrados:

Especialista en Desarrollo Sistemtico de Recursos Mineros. Especialista en Gestin de Recursos Mineros Magister en Ingeniera y Ciencias de los Materiales

Cargo: Decano UPTC Sede Sogamoso Telfono: 0987-701693 Email: [email protected]



1. CONCEPTOS GENERALES

Antes de empezar a tratar cada uno de los captulos de que consta este mdulo, es importante comprender con claridad el significado de algunos conceptos considerados fundamentales en el estudio de las Matemticas Financieras.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. Este concepto es considerado en el

campo de las Matemticas Financieras, y en las finanzas en general, como el ms importante, ya que de aqu surge el concepto de Equivalencia sobre el cual se fundamenta esta asignatura. Lo anterior se comprende al considerar que el dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo. Como podr entenderse una unidad monetaria en el momento actual vale ms que la misma unidad monetaria a ser recibida en el futuro; lo anterior es debido a: al disponer del dinero hoy se dispone de liquidez; se puede prestar y obtenerse de este modo una remuneracin; debido al costo de oportunidad; se elimina el riesgo de perderlo al tener que recibirlo en el futuro. Consideremos la siguiente situacin: alguna persona de este curso estara dispuesta a prestar hoy un milln de unidades monetarias con la condicin de que le devuelvan las mismas unidades dentro de un perodo de tiempo especificado, por ejemplo dentro de un ao? La respuesta seguramente ser que no; por el contrario, las prestara a cambio de recibir una cantidad mayor, por ejemplo 1.100.000 UM; esto quiere decir que en el periodo de tiempo especificado (un ao) la persona ha obtenido una rentabilidad del 10%.

COSTO DE OPORTUNIDAD. Se define como el sacrificio en que se incurre al tomar una decisin, ya que el dinero puede ser destinado a distintas actividades: se puede gastar; se puede invertir o simplemente se puede guardar. Todas estas posibilidades constituyen un costo de oportunidad. El costo de oportunidad est ntimamente ligado a la cantidad de dinero disponible para invertir y a las posibilidades de invertir dicho dinero (portafolio de inversin). El dinero es escaso y las posibilidades de inversin pueden ser muchas; de todas esas posibilidades se seleccionar la de mayor rentabilidad, de tal suerte que la rentabilidad que produce la mejor alternativa rechazada se conoce como costo de oportunidad.

VALOR PRESENTE. Corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a una tasa de inters especificada y durante un determinado periodo de tiempo. Para este curso se designar con la letra P



VALOR FUTURO. El valor futuro es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final del plazo pactado en una transaccin. El valor futuro es la suma del valor presente y los intereses devengados durante el tiempo en que se efectu la inversin. Para efectos de este curso se designar con la letra F.

INTERS. Es una remuneracin o compensacin (en UM) que recibe una persona por sacrificar el uso de un dinero que le pertenece al prestrselo a otra persona para que lo usufructe. Desde otra perspectiva se define como la remuneracin o compensacin que paga una persona por usufructuar un dinero que no le pertenece. Se establece para un determinado periodo de tiempo. Para efectos de este curso al inters lo designaremos con la letra I.

TASA DE INTERS. Corresponde al porcentaje que representa la compensacin pagada, I, con respecto a la cantidad de dinero recibida, P. Es decir: Si P 100% I x% Por tanto x(%) = I * 100% / P, : x = I/P (1) Donde x representa la tasa de inters, que de ahora en adelante llamaremos con la letra i. Por tanto, reemplazando x por i en la expresin (1) se tiene que: i = I/P , donde (2) i = Tasa de inters de un perodo de tiempo determinado I = Remuneracin o compensacin pagada o recibida P = Cantidad de dinero recibida o prestada en el momento presente. A partir de esta expresin tan sencilla se establecern todas las expresiones que se utilizarn durante el curso.

EQUIVALENCIA. Un principio importante que se debe tener en cuenta en el estudio de la Matemtica Financiera es que no se pueden sumar o restar flujos de fondos o cantidades de dinero, que se encuentren ubicadas en distintos periodos de tiempo. Por ejemplo, si hoy se dispone de 100 UM y dentro de tres meses se recibirn adicionalmente 200 UM no se puede concluir que al final se dispondra de 300 UM ya que hay que considerar el efecto de los intereses



causados en los tres meses en las 100 UM; es decir que las 100 UM se deben transformar en un monto equivalente al final del mes 3 a travs de la tasa de inters considerada (valor del dinero en el tiempo) y en ese momento se podr sumar el valor obtenido con las 200 UM. Por tanto se podr concluir que dos cantidades de dinero son equivalentes (no iguales) cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente de mayor cantidad, transcurrido un periodo de tiempo (F). Por ejemplo, si hoy se puede adquirir un artculo de consumo por 100 UM y ese mismo artculo al final del ao vale 110 UM, se puede decir que las dos cantidades de dinero son equivalentes (no iguales) ya que sirven para satisfacer la misma necesidad. Esta equivalencia la hace una tasa de inters, que en este caso es del 10% anual. Se puede concluir entonces que el concepto de equivalencia es relativo, ya que depende de una tasa de inters determinada: - Ante dos cantidades de dinero de igual valor en distintos momentos, se

preferir aquella ms cercana. - Ante dos cantidades de dinero capitales presentes en el mismo momento

pero de diferente valor, se preferir aquella de importe ms elevado.

DIAGRAMA DE FLUJO. El diagrama del flujo es un modelo grfico utilizado para representar los desembolsos e ingresos de efectivo a travs del tiempo, trazados en escala temporal. Es importante la comprensin y la construccin del diagrama de flujo de efectivo ya que es una herramienta importante en la solucin de problemas en el campo de las finanzas. Por convencin los ingresos se representan en este diagrama con flechas hacia arriba mientras que los egresos con flechas hacia abajo.

Del diagrama de flujo siguiente se pueden hacer las siguientes observaciones:

- Se encuentra diseado en meses - En los meses 0, 1, y 2 se muestran egresos por valor de 100 UM cada uno. - En los meses 3, 4, 5 y 6 se muestran ingresos por valor de 150 UM cada

uno.



MATEMTICA FINANCIERA. La Matemtica Financiera es una derivacin de la matemtica aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o inters, a travs de mtodos de evaluacin que permiten tomar decisiones de inversin. Llamada tambin anlisis de inversiones, administracin de inversiones o ingeniera econmica.



2. TASAS DE INTERS

Conocido el concepto de tasa de inters se proceder a estudiar su clasificacin:

De acuerdo a la forma en que se paguen: - Tasa de Inters Simple (is) - Tasa de Inters Compuesta (ic)

De acuerdo a la capitalizacin: - Tasa de Inters Nominal (inom) - Tasa de Inters Efectiva (ie)

De acuerdo al momento en que se paguen: - Tasa de Inters Vencida - Tasa de Inters Anticipada

2.1. De acuerdo a la forma en que se paguen.

2.1.1 Tasa de Inters Simple. Se denomina inters simple al inters que se aplica siempre sobre el capital inicial (valor presente o principal), debido a que los intereses generados no se capitalizan.

El inters simple es un tipo de inters que siempre se calcula sobre el capital inicial sin la capitalizacin de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el clculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo.

El inters simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al inters compuesto, puesto que la base para su clculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del inters compuesto.

El inters simple es de poco o nulo uso en el sector financiero formal, pues este utiliza el inters compuesto. Se utiliza principalmente por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prenderas.

Sea P la cantidad de dinero prestada a una tasa de inters simple i, durante n periodos de tiempo. La remuneracin I del primer periodo de inters simple ser:



I1 = P * i (despejando I de la expresin (2))

La cantidad acumulada de dinero al finalizar el primer periodo de inters simple ser:

F1 = P + I1 = P + P*i = P(1+i)

Para el segundo periodo de inters simple, la remuneracin obtenida ser:

I2 = P * i, ya que este inters solo se reconoce sobre la cantidad inicial, o sea sobre P. Por tanto la cantidad de dinero acumulado al finalizar el segundo periodo de inters simple ser:

F2 = P + I1 + I2 = P + P*i + P*i = P(1+2i)

Al finalizar el tercer periodo de inters simple, la remuneracin obtenida ser:

I3 = P*i; por tanto la cantidad de dinero acumulada ser:

F3 = P(1+2i) + P*i = p(1+3i)

De tal suerte que la cantidad de dinero acumulada al finalizar el periodo n de inters simple ser:

F = P(1+ni) (3)

La anterior expresin es til para calcular la cantidad de dinero que se puede acumular (F) durante n periodos a una tasa de inters simple.

Ejemplo 1: Calcular la cantidad de dinero acumulada a una tasa simple del 2% mensual durante 12 meses si se prestan $3.000.000

Aplicando la expresin (3) se tiene que:

F = $3.000.000(1+12*0.02) = $3.720.000



Se puede ver que el rendimiento mensual es constante, esto debido a que siempre se calcula sobre el capital inicial que en este caso es de $3.000.000 * 0.02 = $60.000.

Ejemplo 2. Determinar la cantidad de tiempo necesaria para que una cantidad de dinero dada se triplique, si la tasa de inters simple que opera es del 10% anual.

Se sabe que F = P(1+ni); entonces despejando n se tiene que:

n = (F/P -1)/i = (3P/P -1)/0.1 = 20 aos.

Como la tasa de inters i est dada en aos, el resultado que se obtiene de n tambin estar dado en aos.

Ejemplo 3. Cul ser el monto el 24 de diciembre de un capital de $10.000.000 depositado el 15 de mayo de ese mismo ao, en una cuenta de ahorros que paga el 19% anual simple?

Se calcula primero el nmero de das transcurridos entre las dos fechas dadas, el cual es de 223 das. (Su clculo es muy sencillo en Excel).

El inters diario correspondiente a esta operacin es de 19%/365, el cual es de 0.052%.

Aplicando la expresin (3), se tiene que:

F = $10.000.000(1+223*0.00052) = $1.159.600

Ejemplo 4. El 05 de febrero se firm un pagar por $2.500.000 a una tasa de inters simple del 18%. En qu fecha los intereses llegarn a ser de $320.000?

I = $320.000 P = $2.500.000 i = 0.18 F = P(1+ni) = 2.820.000 = 2.500.000(1+0.18*n); despejando n se tiene que: n = 0.7111 aos, ya que la tasa de inters es anual. Este valor corresponde a 260 das. Por tanto la fecha pedida ser el 23 de octubre. Ejemplo 5. Si se quieren acumular $7.000.000 en un periodo de tiempo de 3 aos y a una tasa de inters simple del 12% anual, qu cantidad de dinero se debe depositar ahora? F = P(1+ni); despejando P se tiene que: P = F/(1+ni) = $7.000.000/(1+3*0.12) = $5.147.059 sera la cantidad de dinero a depositar hoy.



Ejemplo 6. Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200.000 que vence dentro de cuatro meses, a una tasa de inters simple del 40%. Adems tiene otra deuda de $150.000 contrada hace dos meses, a una tasa simple del 35% y que vence dentro de dos meses. Considerando una tasa de inters simple del 42%, qu pago deber hacer hoy para saldar sus deudas si se compromete a pagar $100.000 dentro de seis meses? Ejemplo 7. Si una persona invierte hoy cierta cantidad en un proyecto que le redita $5.000.000 al cabo de cuatro meses y $3.000.000 despus de seis meses, qu cantidad tendra que haber invertido para logra un 16% sobre su inversin? Ejemplo 8. Cul ser el precio al contado de un automvil que se pag de la siguiente manera: una cuota inicial de $25.000.000; un abono de $12.000.000 realizado seis meses despus de la compra y un pago final de $5.000.000 ocho meses despus de la compra. La tasa de inters fue del 2% mensual simple. 2.1.2 Tasa de Inters Compuesto. Corresponde a aquella tasa de inters que se cobra o se paga por un crdito y al ser liquidado el inters se acumula al capital, por lo que en la siguiente liquidacin de intereses el inters anterior forma parte del capital o base del clculo del nuevo inters, lo cual se conoce como capitalizacin de intereses.

Este sistema, al capitalizar los intereses, hace que el valor que se paga por concepto de intereses se incremente periodo a periodo, puesto que la base para el clculo del inters se incrementa cada vez que se liquidan los respectivos intereses (ver diagrama de flujo). Este sistema es ampliamente aplicado en el sistema financiero. En todos los crditos que hacen los bancos sin importar su modalidad, se utiliza el inters compuesto.

La razn por la que existe este sistema, es porque supone la reinversin de los intereses por parte del prestamista.

Sea P la cantidad de dinero colocada en una cuenta de ahorros que paga inters compuesto; sea i la tasa de inters compuesto por periodo que paga la cuenta. Al finalizar el primer periodo de inters compuesto la remuneracin recibida ser:



I1 = P * i

La cantidad de dinero acumulada al finalizar este primer periodo, F1, es:

F1 = P + I1 = P + P*i = P(1+i)

Al final del segundo periodo de pago de intereses, la remuneracin recibida es:

I2 = P(1+i)*i, ya que en este caso, a diferencia del anterior, la tasa de inters se aplica a la cantidad de dinero acumulada (F2) y no solo al principal como es el caso de la tasa de inters simple. De tal modo que la cantidad de dinero acumulada al finalizar el segundo periodo es:

F2 = P(1+i) + P(1+i)*i = P +Pi +Pi + Pi2 = P + 2Pi +Pi2 = P(1+i)2

Para el tercer periodo de pago de intereses, la remuneracin o inters generado es:

I3 = P(1+i)2 *i

De tal forma que la cantidad ahora acumulada ser:

F3 = P(1+i)2 + P(1+i)2 *i = P(1+i)3

Generalizando para cualquier periodo n se tiene que:

F = P(1+i)n (4)

Esta expresin se utiliza para calcular la cantidad de dinero que se puede acumular a partir de una cantidad P durante n periodos y a una tasa de inters compuesto i.



Ejemplo 9. Una persona deposita $1.000.000 en una cuenta de ahorros que le paga una tasa de inters compuesto del 11% anual. Si mantienen en la cuenta el dinero y los intereses generados, cunto dinero tendr acumulado al cabo de 4 aos? F = P(1+i)n = $1.000.000(1+0.11)4 = $1.518.070. Si la cuenta pagara tasas de inters simple, se acumularan $1.440.000 en la cuenta al final de los cuatro aos, valor menor que el correspondiente al acumulado en condiciones de inters compuesto, debido al efecto de la capitalizacin de intereses. Ejemplo 10. Cunto tiempo se requiere para que una suma de dinero se duplique en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de inters compuesto del 10%? Despejando n de la expresin (4) se tiene que: n = ln(F/P)/ln(1+i), reemplazando los valores correspondientes: n = ln(2/1)/ln(1+0.10) = 7.27 aos. El valor obtenido corresponde a aos ya que la tasa de inters se encuentra expresada en aos. Ejemplo 11. Una persona deposit $5.000.000 en una cuenta de ahorros, dejando su dinero y los intereses generados por un tiempo de 15 meses. Si al final de este tiempo tena en la cuenta $5.450.000, qu tasas de inters oper en esta transaccin? Para este problema la incgnita es la tasa de inters, por tanto de la expresin (4):

i = (F/P)1/n 1 = (5.450.000/5.000.000)1/15 1 = 0.005762 = 0.576% mensual. Se comprender el hecho de que la tasa obtenida sea de periodicidad mensual.

Ejemplo 12. Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de $2.000.000 al final de 3 aos, si la tasa de inters es del 2% mensual.

F = 2.000.000

i = 2% mensual

N = 36 meses.

F = P * (1+ i)n, despejando el valor de P:

P = F * (1+i)-n

P = 2.000.000 * (1+.02)-36 = $980.446; la tasa de inters y los periodos considerados deben estar referidos al mismo tiempo; es decir que si el periodo de tiempo es meses, la tasa de inters que se debe incluir en la frmula es mensual.



El diagrama de flujo de caja para este problema es:

2.2. De acuerdo a la capitalizacin.

2.2.1 Tasa de Inters Nominal. La tasa nominal es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados peridicamente no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una funcin lineal al cabo del periodo anual.

Mientras no se especifique lo contrario, las tasas de inters siempre estarn referidas a un periodo de un ao; siempre sern vencidas y nominales. Por ejemplo, si usted va a depositar una determinada cantidad de dinero en una institucin financiera y la informacin que le suministran es que le reconocen una tasa del 4%, usted da por entendido que esa tasa es: anual; vencida y nominal.

Se puede decir entonces, que las tasas de inters nominal no contemplan el efecto de la capitalizacin de intereses; en este curso la tasa nominal se denominar por inom.

Antes de explicar que es una tasa de inters efectiva definamos qu es la capitalizacin. La capitalizacin de intereses quiere decir que la institucin financiera agrega los intereses que ha generado el dinero que el cliente mantiene en la institucin, al saldo que mantiene el cliente al momento de realizar este proceso, aumentando as su capital, el mismo que servir de base para la siguiente capitalizacin. En un periodo de tiempo de un ao (periodo al que generalmente estn referidas las tasas de inters), pueden haber m periodos de capitalizacin de intereses:

Si m = 1, la capitalizacin es anual, es decir no hay capitalizacin de intereses. En este caso, como se comprobar ms adelante, la tasa nominal coincide con la tasa efectiva.

Si m = 2, la capitalizacin de intereses es semestral; la tasa nominal es diferente a la efectiva.



Si m = 4, la capitalizacin es trimestral.

Si m = 6, la capitalizacin es bimestral.

Si m = 12, la capitalizacin es mensual.

Si m = 365, la capitalizacin es diaria.

Surge entonces la pregunta: hasta cunto puede crecer m? Qu pasa si la capitalizacin es cada hora? O si por el contrario es cada minuto, o cada segundo, o cada dcima de segundo. De esto se puede establecer que m (periodos de capitalizacin) puede crecer indefinidamente, es decir tener capitalizacin de intereses a cada instante y en esta situacin se habla de capitalizacin continua, tema que se abordar en el numeral 2.6.

2.2.2 Tasa de Inters Efectiva. Corresponde a una tasa de inters referida siempre a un periodo de tiempo de un ao y que a diferencia de la tasa nominal contempla los efectos causados por la capitalizacin de intereses en ese periodo de un ao. Se puede decir que por esta razn las tasas efectivas siempre sern mayores que las tasas nominales.

Consideremos que en un periodo de un ao se tienen m periodos de capitalizacin de intereses. Consideremos adicionalmente que depositamos cierta cantidad de dinero P en una cuenta que reconoce una tasa nominal inom. La pregunta es cunto dinero podremos acumular al final del ao?

Para obtener el valor pedido se debe calcular primero una tasa de inters peridica, rm, correspondiente a la tasa de inters para cada periodo de capitalizacin de intereses. Esta tasa peridica se obtiene dividiendo la tasa nominal entre los periodos de capitalizacin, de la siguiente manera:

rm = inom/m (5)

Por tanto la remuneracin o compensacin recibida en cada periodo de capitalizacin de intereses ser:

I = P * rm , de la expresin (1)

De lo anterior se puede establecer que para el primer periodo de capitalizacin de intereses:

I1 = P * rm y la cantidad de dinero acumulada, F1, al final de este primer periodo ser:

F1 = P + rm * P = P(1+rm)

Para el segundo periodo de capitalizacin de interese se tiene que:



I2 = P(1+rm) * rm, y la cantidad de dinero acumulada, F2, ser:

F2 = P(1+rm) + P(1+rm) * rm = P(1+rm)2

Para el tercer periodo de capitalizacin de intereses se tiene que:

I3 = P(1+rm)2 * rm, y la cantidad de dinero acumulada, F2, ser:

F2 = P(1+rm)2 + P(1+rm)2 * rm = P(1+rm)3

Y de lo anterior se puede concluir que al finalizar el ao con un total de m periodos de capitalizacin de inters en ese ao, la cantidad de dinero acumulada ser:

F = P(1+rm)m (6)

Ejemplo 13. Una persona deposita $100.000 en una cuenta de ahorros que le paga una tasa de inters compuesto del 1% mensual. Cunto dinero tendr acumulado dentro de un ao?

Aplicando la expresin (6) se tiene que:

F = 100.000(1+0.01)12 = $112.683 (al final de un ao). Para este caso m = 12, es decir la capitalizacin de intereses en la cuenta es mensual.

Ahora resolvamos el mismo problema utilizando la expresin (4): F = P(1+i)n

En este caso la tasa debe ser mensual por tanto n tambin ser mensual. Al reemplazar los valores correspondientes se llega a que la cantidad de dinero acumulada ser:

F = 100.000(1+0.01)12 = $112.683, cantidad igual a la obtenida anteriormente.

Es importante tener en cuenta la diferencia entre n y m. El trmino n hace referencia a los periodos de tiempo contemplados en una transaccin, los cuales pueden ser das, semanas, meses, trimestres, semestres, aos, etc., mientras que el trmino m hace referencia exclusivamente al nmero de periodos de capitalizacin de intereses que se dan en un periodo de tiempo de un ao.

El problema anterior se puede resolver con la expresin (4) utilizando n = 1 ao; en este caso la tasa de inters que se tendra que utilizar debera ser la tasa anual. Se hace aqu la aclaracin que en todos los modelos matemticos utilizados para encontrar equivalencias entre flujos de fondos ubicados en diferentes periodos de tiempo, la tasa de inters que se debe utilizar es la real del periodo al que est referido el valor de n. Por ejemplo, si n est dado en meses se debe utilizar la tasa peridica rm, la cual es la real de ese mes; si por el contrario n est dado en aos se debe utilizar la tasa de inters efectiva, ie, la cual es la real de ese ao. Por tal razn, si para el problema del ejemplo 13 se conociera la tasa efectiva, la situacin sera:



F = P(1+ie)n = 100.000(1+ie)n , y el valor obtenido debera ser el mismo al obtenido utilizando la expresin (6). Por tanto se puede decir que:

P(1+ie)n = P(1+rm)m Esto siempre y cuando n = 1, como es el caso de este problema.

Despejando el valor de ie, se tiene que:

ie = (1+rm)m 1 (recuerden que n = 1)

De la expresin (5) se tiene que rm = inom/m, por tanto:

ie = (1+inom/m)m 1 (7)

Esta expresin nos permite encontrar equivalencias financieras entre tasas nominales vencidas y tasas efectivas de inters. Es importante tener en cuenta que las tasas efectivas siempre estn referidas a un periodo de un ao y que no se pueden dividir ya que contemplan el efecto producido por la capitalizacin de intereses. Las nicas tasas de inters que se pueden dividir son las tasas nominales; es decir que las tasas de inters peridicas solamente se pueden calcular a partir de las tasas nominales, que al igual que las efectivas estn referidas a un periodo de tiempo de un ao.

Ejemplo 14. A qu tasa de inters efectiva es equivalente una tasa nominal del 6% capitalizada mensualmente.

Antes de utilizar la frmula correspondiente es importante analizar lo siguiente: la tasa nominal que nos da el problema es anual, ya que como se anot anteriormente las tasas de inters por extensin son anuales, nominales y vencidas.

Utilizando la expresin (7) se tiene que:

ie = (1+inom/m)m 1 = (1+0.06/12)12 1 = 0.0617 = 6.17%

Ejemplo 15. A qu tasa efectiva corresponde una tasa nominal del 10%?

Se analiza que la tasa dada es anual y adems que como no se especifica la capitalizacin se asume que es anual o sea que m = 1, es decir no hay capitalizacin de intereses. Por tanto:

ie = (1+inom/m)m 1 = (1+0.10/1)1 1 = 0.10 = 10%.

Con el ejemplo anterior se demuestra que cuando m = 1 la tasa de inters nominal es igual a la tasa de inters efectiva; en cualquier otra situacin la tasa efectiva siempre ser mayor que su equivalente nominal.

Por otro lado, siempre hay que tener en cuenta que en las expresiones anteriores la tasa de inters a emplear debe estar expresada en decimal y no en porcentaje.

Ejemplo 16. Encontrar la tasa nominal que capitalizada diariamente sea equivalente a una tasa efectiva del 14%.



Para este caso de la expresin (7) se despeja la tasa nominal:

ie = (1+inom/m)m 1

inom = [ (1+ie)1/m 1] * m (8)

Reemplazando los valores en la expresin (8), se tiene que:

inom = [ (1+0.14)1/365 1] * 365 = 0.131 = 13.1%

Como puede apreciarse la tasa nominal es menor que su equivalente efectiva.

Ejemplo 17. Si se tiene una tasa nominal del 12% capitalizada trimestralmente, encontrar la tasa peridica mensual equivalente.

En este caso primero se halla la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal del 12% capitalizada trimestralmente. A partir de esta se halla la tasa nominal que capitalizada mensualmente sea equivalente a la efectiva obtenida y a partir de sta se encuentra la tasa peridica mensual rm:

ie = (1+0.12/4)4 1 = 0.1255 = 12.55%

De la expresin (8) se tiene que:

inom = [ (1+0.1255)1/12 1] * 12 = 0.1188 = 11.88% CM

Lo anterior quiere decir que una tasa nominal del 11.88% capitalizada mensualmente es equivalente a una tasa efectiva del 12.55%; como esta tasa efectiva del 12.55% es equivalente a una tasa nominal del 12% capitalizada trimestralmente (CT), se concluye que la tasa nominal del 11.88% CM es equivalente a la tasa nominal del 12% CT ya que las dos conducen a la misma tasa efectiva. Por tanto:

rm = 11.88%/12 = 0.99% mensual

La tasa mensual del 0.99% es equivalente a la tasa nominal del 12% CT.

Ejemplo 17. Utilizando una tasa de inters efectiva del 48%, calcule las siguientes tasas equivalentes: nominal mes vencido; nominal trimestre vencido; trimestral; semestral.

a) Nominal mes vencido: es lo mismo que decir nominal capitalizada mensualmente. Por tanto de la expresin (8) se tiene: inom = [ (1+o.48)1/12 1] * 12 = 0.3985 = 39.85% CM

b) Nominal trimestre vencido: es lo mismo que decir nominal capitalizada trimestralmente. De la expresin (8) se tiene:



inom = [ (1+0.48)1/4 1] * 4 = 0.4119 = 41.19% CT

c) Trimestral. La tasa trimestral pedida es una tasa de inters peridica y como ya se sabe estas tasas peridicas siempre se obtienen a partir de tasa de inters nominales anuales capitalizadas al mismo periodo al que se calcula la peridica. Por ejemplo si nos piden calcular una tasa mensual, debemos obtenerla a partir de una tasa nominal capitalizada mensualmente. Para este caso, como piden la tasa peridica trimestral debemos partir de la tasa nominal capitalizada trimestralmente, la cual ya se calcul en el numeral anterior y que es del 41.19% CT. Por tanto:

rm = 41.19%/4 = 10.3% trimestral

d) Semestral. Para calcular esta tasa peridica semestral se debe hacer a partir de una tasa nominal capitalizada semestralmente, la cual se calcula a partir de la expresin (8) tomando m = 2.

inom = [ (1+0.48)1/2 1] * 2 = 0.4331 = 43.31% CS, por tanto:

rm = 43.31%/2 = 21.66% semestral

Ejemplo 18. Si se invierten hoy $10.000.000 en una entidad financiera, y $5.000.000 adicionales a los 18 meses, cunto dinero podra habr en la cuenta al cabo de dos aos, si la tasa de inters en del 24%.

La tasa de inters dada se debe tomar como una tasa anual, nominal, vencida y con un valor de m = 1, ya que no se especifica capitalizacin de intereses; por tanto corresponde a una tasa efectiva y como se anot anteriormente las tasas efectivas no se pueden dividir. Por tanto para obtener la tasa peridica mensual es necesario a partir de la efectiva dada encontrar una tasa nominal capitalizada mensualmente:

inom = [ (1+0.0.24)1/12 1] * 12 = 0.2171 = 21.71% CM, por tanto:

rm = 21.71%/12 = 1.81% mensual

Con esta tasa de inters peridica se trasladan los $10.000.000 del periodo cero al mes 24 y los $5.000.000 del mes 18 al mes 24; por tanto:

F = 10.000.000(1+0.0181)24 + 5.000.000(1+0.0181)6 = $15.380.502 + $5.568.172 =

F = $20.948.674

Ejemplo 19. Una empresa tom un prstamo a una tasa de inters del 20% capitalizado mensualmente. Los pagos que se acordaron fueron: $10.000.000 al



finalizar el mes 10; $20 millones al final del tercer semestre y $30 millones al final del tercer ao. Cul fue el valor del prstamo?

Ejemplo 20. Si se toma un prstamo por $10.000.000 a una tasa de inters del 24% semestre vencido, cul sera el valor de la deuda al final del mes 6 si se han hecho los siguientes pagos: $2 millones al final del mes 1; $3 millones al final del mes 3 y $4 millones al final del mes 5?

Ejemplo 21. Se abre una cuenta con $1.000.000 y se hacen depsitos de $200.000 al final del mes 1; $400.000 al final del mes 3 y $500.000 al final del mes 6. Despus de cunto tiempo se tiene un saldo de $3 millones en la cuenta si la cuenta da una rentabilidad del 1% mensual?

Ejemplo 22. Cul debe ser la tasa efectiva anual para que $1.500.000 invertidos hoy se conviertan en $2 millones dentro de 20 meses?

Ejemplo 23. En cunto tiempo se quintuplica el valor de una inversin si la tasa de inters es del 28% efectiva anual?

Ejemplo 24. Se abre una cuenta con $1 milln y se retiran $400.000 despus de 6 meses, y $400.000 despus de un ao. Cunto tiempo se debe esperar para retirar otros $400.000, si la tasa de inters es del 1% mensual?

Ejemplo 25. Suponga que un inversionista tiene unas acciones que le dan un rendimiento nominal del 19% pagadero mes vencido. Las proyecciones muestran que el precio de la accin permanecer estable por muchos aos y decide cambiar esas acciones por un CDT que paga intereses por trimestre vencido. Cul debe ser la tasa de inters nominal pagada por el CDT para que la inversin sea por lo menos igual de rentable al rendimiento de las acciones?

Ejemplo 26. Un prestamista presta dinero de la siguiente manera: presta $50 el lunes y le devuelven $54 al lunes siguiente. Qu tasas de inters nominal y efectiva est cobrando?

Ejemplo 27. Una persona ha solicitado a un banco un prstamo por la suma de $10.000.000. El banco para este tipo de prstamos otorga un plazo de seis meses a un inters del 1.6% mensual. Si la persona recibe el dinero menos los intereses generados por el prstamo, cul es el inters mensual en esta transaccin?

2.3 De acuerdo al momento en que se paguen.

2.3.1 Tasa de Inters vencido. Por extensin y mientras no se especifique lo contrario, las tasas de inters son de carcter vencido, es decir se aplican al principal una vez terminado el respectivo periodo de capitalizacin de intereses; en este momento se suman al capital acumulado en el periodo inmediatamente anterior y de esta manera



generan nuevamente intereses que se siguen sumando al principal, hasta llegar al final de tiempo pactado en la transaccin correspondiente.

2.3.2 Tasa de Inters anticipada. Hasta el momento solamente se ha hablado de tasas vencidas, pero en ciertas circunstancias los intereses son calculados y cobrados de forma anticipada; entonces se hace necesario encontrar un modelo matemtico que permita realizar equivalencias financieras entre tasas de inters vencidas y tasas de inters anticipadas.

Consideremos que usted acude a un prstamo de $P el da de hoy y por un periodo de tiempo cualquiera (n = 1). Asumamos que por este crdito le van a cobrar una tasa de inters correspondiente al periodo del 10% pagadera de forma anticipada. De tal suerte que el da de hoy recibe los $P menos los intereses correspondientes al periodo pactado.

Si llamemos ra la tasa de inters peridica anticipada, el valor de los intereses causados en ese periodo de tiempo es:

I = ra * P, por tanto el da de hoy usted recibira P - ra * P = P(1- ra)

Al finalizar el periodo pactado en el prstamo usted tendr que devolver los $P que le prestaron. Por tanto estos valores los podemos relacionar a travs de la expresin (4):

F = P(+i)n. En este caso particular F vale $P y P = P(1- ra). Reemplazando se tiene que:

P = = P(1- ra)(1+i)n despejando la tasa de inters i se tiene que:

i = (1-ra)-1 -1 (9)

Lo anterior se puede establecer ya que hemos asumido que n = 1. Si adems asumimos que el periodo de tiempo es igual a un ao, la expresin (9) se puede escribir de la siguiente manera:

ie = (1-ra)-1 -1 (10)

ya que como se haba hecho la aclaracin, en las expresiones utilizadas para encontrar equivalencias financieras entre cantidades de dinero ubicadas en distintos periodos de tiempo, siempre se debe utilizar la tasa real del periodo y si el periodo de tiempo es anual la tasa debe ser la efectiva anual, la cual es la real del ao.

La expresin (10) nos permite calcular una tasa de inters efectiva a partir de una tasa anual anticipada, pero con la restriccin de que solo es valedera cuando en un ao solo hay un periodo de cobro de intereses anticipados, es decir cuando m = 1. Cuando se rompe esta condicin, por ejemplo que en el ao se cobren dos o tres o ms veces



intereses anticipados, la expresin deja de tener valor y no se puede utilizar. Para subsanar esta situacin se sabe que:

ie = (1+inom/m)m 1

Despejando inom se tiene que:

inom/m = [ (1+ie)1/m 1] = rm ya que rm = inom/m

Como para este caso estamos considerando que m = 1 ya que solo hay un periodo de pago de intereses anticipados en el ao, en esta situacin Inom = ie = rm. Reemplazando el valor de inom por el de rm se tiene que:

rm = [ (1+ie)1/m 1] = (1-ra)-1 -1

Despejando ie se tiene que:

ie = (1-ra)-m 1 (11)

Es de importancia anotar que ra es una tasa de inters peridica pagadera de forma anticipada; por tanto ra = inom/m, siendo m el nmero de veces que en un ao se cobran intereses por anticipado.

Ejemplo 28. Calcular la tasa de inters efectiva que resulta de una tasa del 12% pagadera trimestre anticipado (TA).

Para resolver este problema se considera que la tasa del 12% es una tasa anual, nominal y anticipada. Utilizando la expresin (11) se tiene que:

ie = (1-ra)-m 1 = (1-inom/m)-m -1 = (1-0.12)-4 -1 = 0.1296 = 12.96%

Esto quiere decir que una tasa nominal del 12% pagadera trimestre anticipado es equivalente a una tasa efectiva del 12.96%.

Ejemplo 29. Encontrar la equivalencia entre una tasa de inters del 15% capitalizada mensualmente y una tasa de inters pagadera trimestre anticipado.

Para resolver este problema se debe considerar que la tasa de inters del 15% CM es una tasa nominal, anual y vencida. A partir de esta tasa encontramos una tasa efectiva equivalente y seguidamente se calcula la tasa anticipada a partir de esta efectiva:

ie = (1+0.15/12)12 1 = 0.1608 = 16.08%

A partir de la expresin (11): ie = (1-ra)-m 1 se despeja el valor de ra y se tiene:

ra = 1 (1+ie)-1/m



Reemplazando se tiene:

ra = 1 (1+0.1608)-1/4 = 0.0366 = 3.66% trimestral anticipada. Por tanto la tasa nominal anual ser:

inom = ra * m = 3.66% * 4 = 14.64% pagadera trimestre anticipado.

Se concluye entonces que una tasa nominal del 14.64% pagadera trimestre anticipado es equivalente a una tasa nominal del 15% capitalizada mensualmente.

Ejemplo 30. A partir de una tasa mensual anticipada del 3%, calcular la tasa trimestral equivalente.

Con la tasa dada se calcula la tasa efectiva equivalente:

ie = (1-ra)-m 1 = (1-0.03)-12 1 = 0.4412 = 44.12%

A partir de esta tasa efectiva se calcula una tasa nominal capitalizada trimestralmente para encontrar l tasa peridica trimestral:

inom = [ (1+ie)1/m 1] * m = 0.3827 = 38.27% CT, por tanto la tasa trimestral es:

rm = 38.27%/4 = 9.57% trimestral.

Ejemplo 31. Una persona deposita $4.000.000 en una entidad que le reconoce una tasa de inters del 20% pagadera trimestre anticipado. Cunto dinero tendr en la cuenta despus de tres aos?

Primero se convierte la tasa de inters dada en una tasa de inters efectiva:

ie = (1-ra)-m 1 = (1-inom/m)-m -1 = (1-0.20/4)-4 1 = 0.2277 = 22.77%

F = P(1+i)n = 4.000.000(1+0.2277)3 = $7.401.790

Al cabo de tres aos tendr en su cuenta la suma de $7.401.790.

Ejemplo 32. Una empresa necesita un crdito por valor de $200.000.00. El banco le cobra una tasa de inters del 30% pagadera trimestre anticipado. Cunto dinero debe solicitar la empresa para que una vez deducidos los intereses del primer periodo le entreguen efectivamente los $200 millones de pesos?

Se calcula la tasa trimestral ra = 30%/4 = 7.5%

Por tanto los intereses del primer trimestre sern:

I = ra * X, siendo X el valor del prstamo a solicitar, es decir



P = X - I = X - ra * X = X(1-ra) = 200.000.000, por tanto

X = $200.000.000/0.925 = $216.216.216

El valor solicitado debe ser de $216.216.216

Ejemplo 33. Dada una tasa nominal del 36% trimestre anticipada, determinar el valor de la tasa nominal trimestre vencida.

Se calcula primero la tasa de inters efectiva equivalente a una tasa nominal del 36% trimestre anticipada:

ie = (1-ra)-m 1 = (1-inom/m)-m -1 = (1-0.36/4)-4 1 = 0.4582 = 45.82%

Con esta tasa se halla una tasa nominal trimestre vencida, que es lo mismo que decir capitalizada trimestralmente:

inom = [ (1+ie)1/m 1] * m = inom = [ (1+0.4582)1/4 1] * 4 = 0.3956 = 39.56% CT

2.4 Tasas de inters pasivas y activas.

2.4.1 Tasa de inters pasiva. Tambin llamada tasa de captacin es la que pagan los intermediarios financieros a los oferentes de recursos por el dinero captado.

2.4.2 Tasa de inters activa. Tambin llamada tasa de colocacin, es la que reciben los intermediarios financieros por el prstamo de dinero. Siempre es mayor que la pasiva, ya que su diferencia con respecto a la tasa de captacin es la que permite al intermediario financiero cubrir los costos administrativos, dejando adems una utilidad razonable. La diferencia entre la tasa activa y la tasa pasiva se conoce con el nombre de margen de intermediacin (Spread bancario).

La tasa de inters activa tiene tres componentes:

El efecto de la inflacin: medida del aumento del nivel general de precios, establecida a travs del IPC; se nota su efecto en la prdida del poder adquisitivo de la moneda. Por tanto, a mayor inflacin mayor tasa de inters.

El efecto del riesgo: el riesgo es inherente al negocio o a la inversin. A mayor riesgo mayor tasa de inters.

El margen de ganancia: margen propio del negocio o inversin, que se traduce en lo que el inversionista desea ganar, libre de riesgo e inflacin. Generalmente los bonos del tesoro de los Estados Unidos son tomados como parmetro para establecer la tasa libre de riesgo.



2.4.3 Efecto de la inflacin sobre las tasas de inters. Consideremos que se hace una inversin de un milln de pesos en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa efectiva del 20%. Al finalizar el ao se tendr acumulada una cantidad de dinero F = $1.200.000. Podemos concluir que nuestra riqueza se ha incrementado en este 20%? La respuesta es que no, ya que la economa de cualquier pas y especficamente la de Colombia enfrenta diariamente un fenmeno inflacionario. Para conocer realmente el aumento o disminucin de nuestra riqueza tenemos que disponer de una adecuada medida de esta riqueza. Una buena medida a nivel personal, es la capacidad de adquirir bienes y servicios.

Del ejemplo anterior, imaginemos que los bienes que podemos adquirir hoy, cada uno vale $1.000; con el $1 Milln de pesos, de los cuales disponemos, ahora podemos adquirir 1.000 bienes. Nos tendremos que preguntar entonces, cuntos bienes podemos comprar dentro de un ao con $1.200.000. Si estimamos una inflacin del 10% en el ao (asumida), cada bien tendr al final del ao un precio de $1.100 y con el dinero que disponemos alcanzaremos a comprar 1091 bienes ($1.200.000/$1.100). Concluimos que nuestra capacidad de compra se incremento en el 9.1% aproximadamente. Un error usual, consiste en restar a la tasa en trminos corrientes la tasa de inflacin, olvidndonos que los intereses corrientes sufren tambin del efecto de la inflacin.

La siguiente frmula, permite calcular la tasa de inters en trminos reales:

ir = [(1+ Tasa corriente) (1+ Tasa inflacin)]-1. (12)

Para el ejemplo la tasa de inters en trminos reales, ir, sera:

ir = [(1+0.20)/(1+0.10)] 1 = 9.09%

2.5 Tasas mltiples de inters. Cuando sobre una inversin o prstamo actan simultneamente dos tasas, la tasa resultante se conoce como la tasa mltiple de inters. En Colombia hay dos casos de tasas de inters mltiple: uno de estos casos, es el crdito para vivienda en Unidades de Valor Real (UVR) o anteriormente crdito de las corporaciones de ahorro y vivienda en unidades de poder adquisitivo constantes (UPAC) y el otro caso es cuando se efectan negociaciones con el extranjero.

Veamos a continuacin, la ilustracin del funcionamiento de la tasa mltiple de inters en un crdito para vivienda en UVR.:

Supongamos un crdito para vivienda por la suma de $1 milln de pesos adquirido en UVR. Este prstamo est sometido al efecto de dos tasas: Por un lado a la tasa pactada en UVR y por otro lado a la tasa de la inflacin correspondiente. Para nuestra demostracin la tasa en UVR es del 14% efectiva anual y la tasa de inflacin del 10% anual. Adems supondremos que el valor de la UVR en la fecha del desembolso sea de $120.



La institucin financiera, en este caso no concede el crdito en pesos sino en UVR y sobre estas unidades prestadas aplica la respectiva tasa. El nmero de unidades desembolsadas se calcula de acuerdo al valor de la unidad en el momento de efectuar el desembolso. En la fecha de pago se calculan las unidades adeudadas y se convierten a pesos segn el valor de la unidad en esa fecha. El valor de la unidad se ha indexado por la tasa de inflacin en el periodo respectivo de duracin del crdito.

El anterior proceso es ms simple observarlo con los diagramas de flujo de caja:

Sea:

P = Valor presente del prstamo en UVR i = Tasa de inters efectiva en UVR F = Valor futuro del prstamo en UVR

El prstamo en UVR es de 8.333.3333, el cual se cancela con un valor futuro de 9.500 UVR.

Llamemos ahora:

TVP = Tasa de cambio del valor de la UVR en la fecha del desembolso INF = Tasa de inflacin del periodo correspondiente TVF = Tasa de cambio del valor futuro de la UVR en la fecha de pago



El valor de la unidad ascender a $132, en el momento de pagar el crdito. Para conocer la tasa de inters efectiva, elaboremos un flujo de caja en pesos y establezcamos la tasa:

F = P(1+ie)n

9.500 * 132 = 8.333.33 * (1 + ie)1

8.333.33 * (1+0.14) * 120 * (1+0.10) = 8.333.33 * 120 * (1+ie)

(1+0.14) * (1+0.10) = (1+ie), entonces:

ie = [(1+0.14) * (1+0.10)] 1

ie = 25.40%.



Generalizando la frmula para hallar la tasa mltiple:

ie = (1+i1) * (1+i2) 1 (13)

i1 = la tasa en UVR o la tasa en el extranjero si estamos negociando con otro pas

i2 = la tasa de inflacin o la tasa de devaluacin del peso colombiano frente a la moneda del pas extranjero.

Tambin: ie = i1 + i2 + i1 * i2

La anterior frmula indica que cuando nos endeudamos o invertimos en UVR o en moneda extranjera estamos sometidos a 2 tasas: i1, i2.

El costo de la deuda es igual a la suma de las 2 tasas ms el producto de ambas, anlogamente sucede cuando invertimos.

Es importante recalcar que cuando nos endeudamos en UVR o en moneda extranjera, no nos debe importar la tasa de cambio. Esto quiere decir que si la unidad vale $100 o $5.000 o $20.000 no es malo o bueno, realmente lo que nos impacta son las tasas de inters, tanto la tasa de inflacin que se refleja en la cotizacin de la unidad, como en la tasa a la cual se pacta la deuda. Si contratamos un crdito de $1.000.000 cuando la unidad vale $100, nos estn prestando 10.000 UVR las que debemos de pagar con 11.400 UVR, cotizadas a $110, si seguimos trabajando con las tasas propuestas en el ejemplo, para un total a pagar de $1.254.000. Ahora, si el prstamo del milln nos lo efectan cuando la unidad vale $20.000, el crdito otorgado es de 50 UVR (1.000.000 20.000) las cuales se deben de cancelar con 57 UVR (50*1.14) al valor de $22.000 que es el precio alcanzado por cada unidad (20.000*1.10) y de nuevo el resultado de la cantidad a pagar es de $1.254.000 (57 * 22.000).

En resumen para tomar la decisin de endeudamiento es indispensable conocer el valor de la tasa de inters efectiva y compararla con otras alternativas de financiacin, sin importar el sistema de amortizar la deuda inicialmente. Lgicamente el flujo de caja, la rentabilidad del proyecto y las condiciones de la entidad son tambin elementos determinantes en tomar la decisin final.

Ejemplo 34. Un inversionista residente en Colombia, adquiere un documento que vale 300 US$, recibiendo una tasa de inters del 6% en US$ y con un plazo de un ao. El tipo de cambio actual es 1 US$ = $1.950 y se estima una devaluacin durante ese ao del 20%. Calcular la rentabilidad que se podr obtener, teniendo en cuenta que la inflacin para el ao en que se hizo la inversin fue del 18 %. La inflacin siempre se da como una tasa efectiva anual. El clculo de la rentabilidad total, es posible a travs de la expresin (13): ie = (1+i1) * (1+i2) 1



ie = (1+0.06) * (1+0.20) 1 = 27.2% Ahora, como l inflacin del ao fue del 18%, entonces la rentabilidad real o deflactada

se obtiene aplicando la expresin (12):

ir = [(1+ Tasa corriente) (1+ Tasa inflacin)]-1.

ir = = [(1+ 0.272) (1+ 0.18)]-1 = 0.0779 = 7.79%

De lo anterior se puede concluir que el inversionista recibir una tasa real de

rendimiento del 7.79% (efectiva anual).

2.6 Capitalizacin Continua. La capitalizacin continua es un caso especial de las matemticas financieras y se presenta cuando el valor de m tiende a infinito. En este caso la tasa efectiva de inters no se puede obtener directamente de la expresin (7), sino que por el contrario se hace necesario realizar algunos ajustes.

Se sabe que:

ie = (1+inom/m)m 1

Por tanto, bajo condiciones de capitalizacin continua se dan dos condiciones especiales:

m tiende a infinito inom/m tiende a cero

Aplicando la funcin lmite a lo dos miembros de la anterior ecuacin, se tiene que:

lim = lim 1 + - 1 Para simplificar la solucin del lmite se hace la siguiente conversin:

Inom/m = x; por tanto m = inom/x

Por tal razn si m tiende a infinito x tiende a cero. Replanteando el lmite se tiene:

lim = lim1 + ; resolviendo el lmite se tiene que: ie = einom 1 (14)



Donde:

e = nmero 2,717281828

inom = Tasa de inters nominal anual

ie = Tasa de inters efectiva equivalente a la nominal capitalizada continuamente.

Ejemplo 35. Determinar la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal del 10% capitalizada continuamente (CC).

ie = einom 1, por tanto:

ie = e0.10 1 = 0.1051 = 10.51%

Ejemplo 36. Calcular la tasa de inters nominal que capitalizada continuamente sea equivalente a una tasa efectiva del 20%.

Reemplazando inon de la expresin (14), se tiene:

ln(ie+1) = inom * lne

inom = ln(1+0.20) = 0.1823 = 18.23% CC



3. MTODOS DE AMORTIZACIN DE DEUDAS

3.1 Ecuaciones de Equivalencia. Antes de proceder a la definicin de ecuaciones de equivalencia o tambin llamadas ecuaciones de valor, resolvamos el siguiente caso:

Ejemplo 36. Una persona debe pagar $2.000.000 en 4 meses y $8.000.000 en 8 meses. Qu pago nico debe efectuar para amortizar por completo la deuda, si se acuerda una tasa de inters de 12% y la fecha focal dentro de 6 meses?

Primero se hace el diagrama de flujo:

De acuerdo al enunciado la persona desea pagar toda la deuda en el mes 6 (fecha focal), es decir que a ese periodo se deben trasladar las dos deudas de 2 y 8 millones ubicadas en los periodos 4 y 8 respectivamente. Para trasladar la deuda de 2 millones ubicada en el mes 4 se utiliza la expresin: F = P(1+i)n, ya que se va a encontrar un valor futuro a partir de un valor presente. Para este caso se debe tener en cuenta que el diagrama de flujo est elaborado en meses mientras que la tasa de inters que da el problema es una tasa anual, nominal, vencida y como no especifica periodos de capitalizacin se entiende que no hay capitalizacin de intereses, por tanto esta tasa corresponde a una tasa de inters efectiva (cuando m = 1, inom = ie). Entonces se hace necesario convertir esta tasa en una tasa nominal capitalizada mensualmente, con el fin de encontrar la tasa de inters mensual.

Inom = [(1+ie)1/m -1] * m = [(1+0.12)1/12 -1] * 12 = 0.1139 = 11.39% CM

Por tanto la tasa mensual es de 11.39%/12 = 0.95% mensual.

Ahora si trasladamos la deuda de 2 millones ubicada en el mes 4 al mes 6:

F = 2.000.000(1+0.0095)2 = $2.038.181



Ahora se traslada la deuda de 8 millones ubicada en el mes 8 al mes 6; en este caso se debe utilizar la expresin:

P = F(1+i)-n , ya que se va a encontrar un valor presente a partir de un valor futuro. Luego:

P = 8.000.000(1+0.0095)-2 = $7.850.139

Como las dos deudas ya se encuentran ubicadas en el mismo periodo de tiempo (mes 6) se pueden sumar, lo cual nos da un valor de $9.888.320. Esto indica que el valor de las dos deudas llevadas al mes 6 (fecha focal) sera el valor que la persona debera pagar en dicho mes para amortizar completamente su deuda.

Al resolver este problema lo que se ha hecho es encontrar equivalencias financieras entre flujos de fondos ubicados en diferentes periodos de tiempo, a travs de una tasa de inters dada y con expresiones matemticas o modelos matemticos, que en el campo de las finanzas se conocen con el nombre de factores de la matemtica financiera o de la ingeniera econmica. Por tanto podemos definir una ecuacin de valor como un modelo matemtico que nos permite hacer comparaciones financieras entre flujos de fondos ubicados en diferentes periodos de tiempo. El concepto de fecha focal hace referencia a la fecha o periodo de tiempo en el cual se est haciendo la respectiva equivalencia. Esta equivalencia puede hacerse tanto para flujos de egresos como para flujos de ingresos.

Ejemplo 37. Se va a negociar una deuda que tiene un valor de $320.000 en el periodo 3, por tres valores as: $100.000 hoy, $150.000 al final del periodo 3 y el saldo en el mes cinco. Calcular el valor del saldo a cancelar, suponiendo que el inters es del 3% mensual.

Para este problema la fecha focal se puede fijar en el mes 5, ya aqu se pueden hacer las equivalencias financieras y encontrar de forma directa el valor de X. Por tanto se lleva a este periodo el valor de la deuda y los valores cancelados en el periodo 0 y en el



periodo tres, los cuales sumados se restan con el valor equivalente de la deuda, obtenindose as el saldo a pagar en el mes 5.

Primero se trasladan los $100.000 del mes 0 al mes 5:

F = 100.000(1+0.03)5 = $115.927

Ahora se trasladan los $150.000 del mes 3 al mes 5:

F = 150.000(1+0.03)2 = $159.135

Se traslada el valor de la deuda ubicada en el mes 3 ($320.000) al mes 5:

F = 320.000(1+0.03)2 = $339.488

Por tanto el valor del saldo a pagar en el mes 5, X, es:

X = $339.488 ($115.927 + $159.135) = $64.426

Resumiendo se puede decir que la metodologa para el establecimiento de la ecuacin de equivalencia es la siguiente:

Determinar la tasa de inters peridica: Tanto la entidad de crdito como los acreedores deben pactar la tasa de inters a la cual se efectuar la operacin. Si se evalan proyectos de inversin, los inversionistas debe definir la tasa mnima atractiva de retorno.

Determinar la fecha de comparacin o fecha focal: No hay restriccin para la seleccin de la fecha focal, pero si se requiere que sea solamente una, necesariamente no tiene que coincidir con la fecha de pago y la fecha de comparacin es necesario establecerla como requisito indispensable por el concepto del valor del dinero a travs del tiempo.

Establecer la ecuacin de valor: Tanto las deudas y pagos, ingresos y egresos se trasladan a la fecha focal establecida previamente, comparndolos.

Una deuda contrada en un periodo de tiempo determinado, o a lo largo de varios periodos, se puede amortizar utilizando cualquiera de las ecuaciones de equivalencia o de valor definidas en el numeral anterior, y que en esencia constituyen los factores de la Matemtica Financiera; pueden utilizarse de manera independiente o combinadas, lo cual se tratar en los siguientes numerales.

3.2 Factor Cantidad Compuesta Pago nico. Este factor permite encontrar un valor futuro a partir de un valor presente y fue deducido en el numeral 2.1.2 cuando se trat lo correspondiente a tasas de inters compuesto. Este modelo matemtico tiene la forma:

F = P(1+i)n



Para utilizar correctamente este factor en la solucin de problemas y toma de decisiones, es importante tener en cuenta que la tasa de inters a incluir en el modelo debe ser la real del periodo de tiempo especificado; es decir que si los periodos de tiempo estn referidos a meses, la tasa de inters debe ser mensual; si los periodos son trimestrales, la tasa debe ser trimestral. Si los periodos estn dados en aos, la tasa de inters debe ser la tasa efectiva.

Ejemplo 38. Un prstamo de $1.000.000 adquirido hoy se piensa pagar en dos pagos iguales, uno al final del mes uno y el otro al final del mes tres. Si la tasa de inters pactada es del 1.8% mensual, calcule el valor de los dos pagos.

Una manera de calcular X, que es el valor de la cuota, consiste en trasladar la cuota del mes 1 al mes 3 y sumarla con el valor de la cuota ubicada en el mes 3. Posteriormente trasladamos el valor del prstamo al mes 3 y se calcula el valor de X:

F = X(1+0.018)2 = 1.0363 X

La suma de las dos cuotas en el mes 3 es: 1.0363X + X = 2.0363X

Ahora se traslada al mes 3 el valor del prstamo:

F = 1.000.000(1+0.018)3 = $1.054.978

Este valor debe ser equivalente a la suma de las dos cuotas, ya que todos los valores se encuentran ubicados en el mes 3. Por tanto:

$1.054.978 = 2.0363X; despejando X, se tiene que:

X = $518.086

Ejemplo 39. Una empresa contrajo una deuda por $10.000.000 con el compromiso de pagarla junto con los intereses en un plazo de doce meses; sin embargo la empresa quiere pagar $7.000.000 al final del mes quinto. Cul es el valor del saldo de la deuda al final del mes 12? La tasa de inters es del 2% mensual.



Se lleva el valor pagado en el mes 5 al mes 12: F = 7.000.000(1+0.02)7 = $8.040.800 El valor de la deuda al final del mes 12 es: F = 10.000.000(1+0.02)12 = $12.682.418 El saldo de la deuda al final del mes 12 ser: $12.682.418 - $8.040.800 = $4.641.618 3.3 Factor Valor Presente Pago nico. Este factor resulta de despejar el valor de P del anterior factor. Por tanto: P = F / (1+i)n = F (1+i)-n Ejemplo 40. Resolvamos mediante la utilizacin de este factor el problema planteado en el ejercicio 38: Un prstamo de $1.000.000 adquirido hoy se piensa pagar en dos pagos iguales, uno al final del mes uno y el otro al final del mes tres. Si la tasa de inters pactada es del 1.8% mensual, calcule el valor de los dos pagos.

En este caso los dos pagos iguales ubicados en el mes 1 y en el mes 3 se trasladan al mes cero y ah se hace la equivalencia con el valor del prstamo:

P = X(1+0.018)-1 = 0.9823 X para la primera cuota

P = X(1+0.018)-3 = 0.9479 X para la segunda cuota

La suma de las dos cuotas en el mes cero es:

0.9823 X + 0.9479 X = 1.9302 X

Por tanto:

1.9302 X = $1.000.000. Despejando X:

X = $518.081

Como se observa el valor de la cuota obtenido en los dos casos es el mismo, con lo cual se puede concluir que la equivalencia entre flujos de fondos puede hacerse en cualquier periodo de tiempo. Ejercicio 41. Una persona adquiri un crdito por valor den$5.000.000, el cual debe pagarse de la siguiente forma: $2.500.000 al final del mes 6; $1.500.000 al final del



mes 9 y el saldo al final del mes 12. Si la persona desea cancelar la totalidad de la deuda al final del mes 5, cunto dinero debe pagar? Ejercicio 42. Una persona ha depositado $700.000 mensuales durante tres aos en una entidad financiera. A partir del cuarto ao aument sus depsitos a $1.200.000 mensuales durante tres aos ms. Cunto dinero tena en su cuenta un ao despus del ltimo depsito si la tasa de inters es del 5.5% capitalizado diariamente?

Ejercicio 43. Si se invierten hoy $10.000.000 en una entidad financiera, y $5.000.000 adicionales a los 18 meses, cunto dinero podra retirar al cabo de dos aos si la tasa de inters en el primer ao es del 24% capitalizado semestralmente, y en el segundo ao es del 20% capitalizado trimestralmente?

Ejercicio 44. Una empresa tom un prstamo a una tasa de inters del 20% capitalizado mensualmente. Los pagos que se acordaron fueron: $10.000.000 al finalizar el mes 10; $20 millones al final del tercer semestre y $30 millones al final del tercer ao. Cul fue el valor del prstamo?

Ejercicio 45. Si se toma un prstamo por $10.000.000 a una tasa de inters del 24% semestre vencido, cul sera el valor de la deuda al final del mes 6 si se han hecho los siguientes pagos: $2 millones al final del mes 1; $3 millones al final del mes 3 y $4 millones al final del mes 5?

Ejercicio 46. Se abre una cuenta con $1.000.000 y se hacen depsitos de $200.000 al final del mes 1; $400.000 al final del mes 3 y $500.000 al final del mes 6. Despus de cunto tiempo se tiene un saldo de $3 millones en la cuenta si la cuenta da una rentabilidad del 1% mensual?

Ejercicio 47. Se abre una cuenta con $1 milln y se retiran $400.000 despus de 6 meses, y $400.000 despus de un ao. Cunto tiempo se debe esperar para retirar otros $400.000, si la tasa de inters es del 1% mensual?

3.4 Factor de Recuperacin de Capital. Este factor es utilizado en la amortizacin de deudas, ya no con pagos nicos, como en los casos anteriores, sino a travs de pagos peridicos uniformes, los cuales constituyen Series Uniformes. Por ejemplo pagar un crdito en 36 cuotas mensuales iguales. En este mtodo de amortizacin los pagos deben ser iguales y deben realizarse con la misma periodicidad pactada, por ejemplo pagos mensuales, pagos trimestrales, etc.

Consideremos un prstamo de $P el cual debe ser pagado en n cuotas peridicas vencidas. Del diagrama de flujo podemos considerar que:



El valor de cada cuota se denotar en adelante por la letra A

El valor presente del prstamo se puede establecer a travs de la expresin:

P = A(1+i)-1 + A(1+i)-2 + A(1+i)-3 + + A(1+i)-n (15)

Factorizando A de la expresin (15) se tiene que:

P = A (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + + (1+i)-n (16)

Multiplicando los dos trminos de la expresin (16) por el factor 1/(1+i)1:

P/(1+i)1 = A (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)-4 + + (1+i)-n-1 (17)

Restando (17) (16), se tiene que:

P/(1+i)1 P = A -(1+i)-1 + (1+i)-n-1

Haciendo los arreglos correspondientes se tiene que:



P = () (18)

Despejando A de la expresin anterior se tiene que:

A = P () (19)

La expresin (19) constituye el modelo matemtico llamado Factor de Recuperacin de Capital, y es el que utiliza el sistema financiero mundial para calcular el valor de las cuotas uniformes con las que se amortizan los crditos. Es importante aclarar que para poder utilizar de forma directa este factor es necesario considerar los siguientes aspectos:

Tanto i como n deben estar referidos al mismo periodo de tiempo. El primer valor de A debe estar exactamente ubicado un periodo despus del

valor de P.

Ejemplo 48. Una persona solicita un crdito a una entidad financiera por valor de $10.000.000. El banco le responde que para ese tipo de crditos maneja una tasa efectiva del 25% y que el prstamo debe ser pagado en 24 cuotas mensuales iguales. Determine el valor de la cuota a pagar.

Para encontrar el valor de la cuota se utiliza la expresin (19), pero como los pagos son mensuales se debe encontrar la tasa de inters mensual. Para esto se calcula una tasa nominal que capitalizada mensualmente sea equivalente a la tasa efectiva del 25%:

inom = [ (1+0.25)1/12 1] * 12 = 0.2252 = 22.52%

Por tanto la tasa mensual ser rm = 1.88%



Reemplazando los valores correspondientes en la expresin (19) de tiene que:

A = $521.551

Este ser el valor mensual que la persona deber pagar a la institucin financiera para cancelar en su totalidad el crdito al momento de cancelar la cuota nmero 24.

Ejemplo 49. En el problema anterior, una vez cancelada la cuota nmero 13 cul ser el saldo de la deuda?

Una forma sencilla de encontrar este valor es realizar en Excel un cuadro de amortizacin:



Una vez obtenido el cuadro de amortizacin se puede ver que al momento de cancelar la cuota nmero 13 la persona estara debiendo al banco la suma de $5.139.360. Tambin se puede ver que al momento de cancelar la cuota 24 el saldo de la deuda es de cero pesos.

Si no se dispusiera de Excel se procedera de la siguiente manera:

Mediante la expresin (18) se halla el valor presente de las cuotas pagadas hasta el mes 13 inclusive:

P = $5.965.841

En el periodo cero (mes cero) el saldo equivalente de la deuda es:

$10.000.000 - $5.965.841 = $4.034.159

Este valor lo trasladamos al mes 13 y ser el saldo de la deuda en dicho periodo:

F = 4.034.159(1+0.0188)13 = $5.139.362

La diferencia de $2 entre las dos respuestas es por los decimales utilizados.



3.5 Factor Valor Presente Serie Uniforme. Este factor permite calcular el valor presente de una serie de pagos iguales espaciados de forma regular a travs de la expresin:

P = () Ejemplo 50. Una persona solicita un crdito de libre inversin por $7.500.000. Las condiciones de pago son: cuotas mensuales iguales ms cuotas extras semestrales del mismo valor. Si el crdito se pact a dos aos, determinar el valor de la cuota a pagar, si la tasa de inters es del 2% mensual.

Del diagrama de flujo se puede establecer que el valor presente del crdito es:

P = A(P/A, 2%, 18) + A(P/F, 2%, 6) + A(P/F, 2%, 12) + A(P/F, 2%, 18)

P = 14.9920 A + 0.888 A + 0.7885 A + 0.7002 A

P = 17.3687 A, por tanto

A = $431.811

Este valor corresponde al valor de la cuota mensual a pagar, as como al valor de las cuotas extras cada 6 meses.

Una forma sencilla de presentar las ecuaciones de valor es expresndolas a travs de factor; por ejemplo el factor cantidad compuesta pago nico, su frmula es.

F = P (1+i)n; expresndola mediante factor se puede escribir de la siguiente manera:



F = P(F/P, i% n). El trmino entre parntesis se encuentra tabulado en los libros de matemticas financieras bajo el nombre de factores de inters para capitalizacin discreta.

P = F/(1+i)n se puede notar como:

P = F(P/F, i%, n)

P = A(P/A, i%, n) corresponde a la notacin por factor de la expresin (18) utilizada para encontrar el valor presente de una serie uniforme-

A = P(A/P, i%, n) corresponde a la notacin por factor de la expresin (19), utilizada para encontrar el valor de una serie uniforme (A) a partir de un valor presente.

Ejemplo 51. Un padre de familia debe reunir para dentro de cuatro aos $36.000.000. Con este fin abre una cuenta de ahorros con $8.000.000 proponindose en adelante consignar cuotas iguales. El inters reconocido es del 9.5%. Hallar el valor de la cuota mensual a depositar de tal manera que el padre de familia cumpla su objetivo de reunir los $36.000.000.

Primero se calcula el inters peridico mensual a partir de la tasa efectiva del 9.5% que da el problema.

inom = 9.11% anual; rm = 0.759% mensual

El valor de la cuota se calcula de la siguiente manera:

Se convierten los $36.000.000 del mes 48 en un valor presente en el periodo cero:

P = F(P/F, i%, n) = $36.000.000(P/F, 0.759%, 48)

P = $25.042.505

Este valor debe ser igual a la suma de los $8.000.000 ms el valor presente de la serie uniforme mensual correspondiente al ahorro:

$8.000.000 + A(P/A, i%, n) = $25.042.505

$8.000.000 + A(P/A, 0.759%, 48) = $25.042.505

$8.000.000 + A(40.1021) = $25.042.505

A = $424.978

El ahorro mensual debe ser de $424.978



Ejemplo 52. Para cancelar una deuda de $15.000.000 se hacen pagos mensuales de $500.000, tanto tiempo como sea necesario. Si la tasa de financiacin es del 36% cuntos pagos completos de $500.000 se deben realizar? Con qu pago adicional hecho en la fecha del ltimo pago de $500.000 cancelar la deuda?

Primero se calcula la tasa de inters peridica mensual rm:

Ie = 36%; inom = 31.146% (m = 12); rm = 2.595% mensual

El nmero de pagos (n) se puede determinar con el factor:

P = A(P/A, i%, n); reemplazando los valores conocidos se tiene que:

$15.000.000 = $500.000(P/A, 2.595%, n)

Por el mtodo de prueba y error se calcula el valor de n:

Si n = 60, $500.000(P/A, 2.595%, 60) = $15.125.338

Para n = 59, $500.000(P/A, 2.595%, 59) = $15.017.841

Para n = 58, $500.000(P/A, 2.595%, 58) = $14.907.554

Entonces con 58 pagos completos de $500.000 se pagaran $65.875.775; el valor futuro de los $15.000.000 en el periodo 58 es:

F = P(F/P, i%, n) = $15.000.000(F/P, 2.595%, 58)

F = $66.284.2910

La diferencia entre los dos valores anteriores sera el valor del pago adicional que tendra que realizar para cancelar la deuda:

$66.284.291 - $65.875.775 = $408.516

3.6 Series Uniformes Diferidas. Este es un caso especial que se presenta cuando en un crdito a ser pagado con cuotas peridicas uniformes se establece un periodo de gracia determinado.

Ejemplo 53. Una empresa compra un equipo que tiene un costo inicial de $18.000.000. Las condiciones de pago son: cuotas mensuales iguales, tasa de inters del 3% mensual y con un periodo de gracia de cuatro meses. Determinar el valor de la cuota mensual si el crdito se pact a 24 cuotas mensuales.



Para hallar el valor de la cuota, A, el valor del equipo de $18.000.000 se traslada al periodo 4 (P en el diagrama de flujo)

P` = 18.000.000(F/P, 3%, 4) = $20.259.159

Con este valor se halla el valor de A:

A = P (A/P, 3%, 24) = 20.259.159(A/P, 3%, 24) = $1.196.254

3.7 Series Uniformes Indefinidas. Constituye una serie peridica que tiene un nmero indefinido de pagos, es decir no es posible determinar el valor de n; por tanto en este caso las expresiones (18) y (19) dejan de tener validez. Veamos el siguiente caso: supongamos que usted deposita una cierta cantidad de dinero P en una cuenta de ahorros que paga una tasa de inters i por periodo. Al finalizar el primer periodo de pago de intereses la cantidad de dinero que usted recibe es:

I1 = P * i



Supongamos adicionalmente que usted retira estos intereses ganados dejando en la cuenta solo el valor P. Para el siguiente periodo de pago de intereses los intereses que usted gana son:

I2 = P * i

Vuelve y retira los intereses ganados dejando en la cuenta el valor P. La pregunta que surge es: Por cunto tiempo puede usted retirar de su cuenta de forma peridica la cantidad P * i?

Se puede dar respuesta al interrogante anterior diciendo que mientras la tasa de inters permanezca invariable en el tiempo y que mientras se mantenga en La cuenta el valor P, se podr retirar el valor P * i de manera indefinida. (Ver diagrama de flujo)

Del diagrama de flujo anterior se puede apreciar que la cantidad de intereses generada se convierte en una cantidad uniforme peridica y por tanto se puede asimilar a una serie uniforme peridica a la cual hemos llamado por la letra A. Por tanto:

I = P * i se puede escribir como:

A = P * i (20)

La expresin (20) nos permite calcular el valor de una serie uniforme peridica indefinida conociendo su valor presente y la tasa de inters. Esta expresin es de gran importancia en la Evaluacin de proyectos cuando se hace necesario calcular el costo capitalizado de proyectos, especialmente en el sector pblico.

Ejemplo 54. Una persona desea empezar a retirar a partir del prximo ao una cantidad de dinero igual a $5.000.000 de forma indefinida. Qu cantidad de dinero debera depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga una tasa de inters del 6%?

De la expresin (20) se tiene que:

P = $5.000.000/0.06 = $83.333.333

La anterior sera la cantidad de la cual la persona debera disponer hoy para poder retirar de su cuenta y de forma indefinida una cantidad de $5.000.000 por ao.

3.8 Series Uniformes Anticipadas. Como se haba especificado en los numerales anteriores las series uniformes son un conjunto de flujos de fondos iguales distribuidos peridicamente en el tiempo y en un diagrama de flujo estndar el primer valor de esta serie est ubicado en el tiempo exactamente un periodo despus de donde se encuentra ubicado el valor presente de dicha serie.



Para este caso la distribucin de fondos cambia ya que el primer valor de la serie coincide en el tiempo con la ubicacin de P, tal como se muestra en el siguiente diagrama

Este caso es caracterstico de los arrendamientos donde el primer pago se hace por adelantado, tambin en algunos planes de telefona celular, el sistema leasing y algunas veces en el sistema financiero. Para ilustrar esta situacin veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 55. Una persona adquiere en arriendo una habitacin, comprometindose a pagar $350.000 mensuales, haciendo el primer pago al momento de la entrega de la habitacin. Si para esa persona opera una tasa mnima atractiva de retorno del 1.5%, mensual determine cul es el valor presente de dicho contrato si se pacta a un ao.

Una forma de solucionar este problema es tomando una serie uniforme comprendida entre el mes 1 y el mes 11 y luego sumarle el valor del cuota que se encuentra ubicada en el mes 0:

P = A(P/A, 1.5%, 11) + A

P = 350.000(P/A, 1.5%, 11) + 350.000

P = $3.524.891 + $350.000

P = $3.874.891

3.9 Factor Cantidad Compuesta Serie Uniforme. Este modelo permite calcular el valor futuro de una serie uniforme, tal y como se muestra en el diagrama de flujo. De este



diagrama se puede establecer que el modelo puede ser utilizado bajo las siguientes condiciones:

* El ltimo valor de la serie uniforme debe coincidir en el tiempo con el valor futuro F que se quiere calcular.

* Para establecer el valor de n se empieza a contar desde un periodo antes de donde se encuentra ubicado el primer valor de la serie.

Tanto n como i deben estar referidas al mismo periodo de tiempo.

Del diagrama se puede establecer que:

F = A(1+i)n-1 + A(1+i)n-2 + A(1+i)n-3 + + A

Factorizando A se tiene que:

F = A [(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + + 1] (21)

Multiplicando la expresin (21) en sus dos miembros por (1+iNn se tiene que:

F(1+i) = A [(1+i)n + (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + + (1+i)] (22)

Restando (22) (21) se tiene que:

F(1+i) -F = A [(1+i)n -1)]

Despejando F:

F = A [(1+i)n -1)]/I (23)



3.10 Factor Fondo de Amortizacin. Este factor resulta de despejar el valor de A de la expresin (23) y sirve para calcular el valor de una serie uniforme a partir de un valor futuro:

A = Fi [1/((1+i)n 1)] (24)

Ejemplo 56. En los ltimos diez aos Jorge ha depositado $500.000 al final de cada ao, en una cuenta de ahorros que le paga el 10%. Cunto dinero tendr en la cuenta inmediatamente despus de haber realizado el ltimo depsito?

Utilizando el factor cantidad compuesta serie uniforme:

F = A[ (1+i)n - 1)/i)] Reemplazando los valores se tiene que:

F = $500.000(F/A, 10%, 10) = $7.968.712

Jorge al final de los diez aos tendra $7.968.712 en su cuenta.

Ejemplo 57. El seor Ramrez buscando un futuro econmico feliz deposita cada seis meses $2.000.000 en un fondo que le reconoce una tasa de inters del 9% A.S.V. El primer depsito lo hizo cuando cumpli los 40 aos y el ltimo cuando cumpli los 68. El dinero permaneci en la cuenta y lo retir cuando cumpli 75 aos. Cunto dinero recibi el seor Ramrez?

Primero se calcula el valor futuro de los 57 depsitos semestrales con una tasa de inters semestral del 4.5%:

F = A(F/A, i%, n) = $2.000.000 (F/A, 4.5%, 57) = $501.874.219

Este valor se lleva ahora al ao en que cumpli los 75 aos de edad, es decir considerando 14 periodos semestrales (7 aos) y una tasa semestral del 4.5%:

F = P(F/P, i%, n) = $501.874.219 (F/P, 4.5%, 9) = $929.443.412

El seor Ramrez recibi la suma de $929.443.412

Ejemplo 58. Una persona deposita $600.000 mensuales durante cuatro aos, en una entidad financiera que reconoce una tasa de inters del 18% A.T.V. Al cabo de ese



tiempo empieza a retirar la suma de $600.000 mensuales durante cuatro aos. Cul es el saldo que le debe quedar en su cuenta al final de los ocho aos?

Primero se halla el valor futuro de los 48 depsitos mensuales de $600.000, pero antes es necesario establecer la tasa de inters peridica mensual:

Ie = 19.252% Con esta tasa calculamos la tasa nominal anual pagadera mensualmente, se divide entre 12 y se obtiene la tasa mensual:

Inom = 17.737%; rm = 1.478% mensual.

F = A(F/A, i%, n) = $600.000(F/A, 1.478%, 48)

F = $41.501.732 (al final del mes 48)

Ahora se halla el valor presente de los 48 retiros de $600.000 pero ubicado en el periodo 48:

P = A(P/A, i%, n) = $600.000(P/A, 1.478%, 48)

P = $20.521.781 (en el mes 48)

Por tanto en el mes 48 existir en la cuenta un valor equivalente de:

$41.501.732 - $20.521.781 = $20.979.951

Este valor se lleva al mes 96 (final del ao 8):

F = P(F/P, i%, n) = $20.979.951(F/P, 1.478%, 48)

F = $42.428.300

Partes i y II Del Modulo Matematica Financiera Avanzada

Documents

Transcript of Partes i y II Del Modulo Matematica Financiera Avanzada