MATEMÁTICA - MÓDULO 1 - NÚMEROS LOS NÚMEROS NATURALES, LOS NÚMEROS ENTEROS Y LOS NÚMEROS RACIONALES.

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. 1. N Ú M E R O S Los números son entes abstractos que indican cantidad. Según su naturaleza, estos objetos se agrupan en conjuntos diversos, cada vez más amplios, que con algunas operaciones definidas sobre ellos, cumplen ciertas propiedades. En este capítulo revisaremos los conjuntos de números más importantes y la aritmética definida sobre ellos. 1.1. Los Números Naturales ( ℕ). Los Números Naturales son el primer conjunto que aparece en la naturaleza dado que corresponde a las primeras abstracciones que realiza el hombre al surgir los conceptos de "unidad" y de "cuenta", tanto en su historia como en la actualidad durante la infancia. Los Números Naturales son un conjunto ordenado de infinitos elementos de los cuales el primero es la unidad o 1. Cualquier otro elemento puede ser formado a partir de la adición sucesiva de unidades. Así, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, etc. En notación de conjunto, los Números Naturales se definen como:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .....} donde # ℕ = ∞ Todo número natural tiene un sucesor, es decir, otro número que le sigue. Por ejemplo, el sucesor de 1 es 2, el de 10 es 11, el de 113 es 114, y en general, el sucesor de n es (n + 1). Todo número natural tiene un antecesor, es decir, otro número que le precede, menos el 1. Por ejemplo, el antecesor de 2 es 1, el de 10 es 9, el de 113 es 112, y en general, el antecesor de n es (n − 1). Sobre el conjunto ℕ se definen las operaciones adición (+) y multiplicación (⋅), operaciones que tú debes manejar a la perfección. Sin embargo, las operaciones sustracción (−) y división (:) no siempre están definidas, pues hay casos en que dichas operaciones no dan como resultado un número natural. A continuación definiremos algunos subconjuntos importantes de ℕ. 1.1.1. Los Números Pares. Los Números Pares es un conjunto ordenado de cardinalidad infinita, cuyos elementos pueden dividirse exactamente por 2. Por comprensión, este conjunto se define

Los Números Pares = { x ∈ ℕ / x = 2n, n ∈ ℕ } y por extensión sería

Los Números Pares = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, .... } Todo número par tiene un sucesor par. Por ejemplo, el sucesor par de 2 es 4, el de 16 es 18, el de 412 es 414, el de x es (x + 2) y en general, el de 2n es (2n + 2). Todo número par tiene un antecesor par, salvo el 2. Por ejemplo, el antecesor par de 4 es 2, el de 16 es 14, el de 412 es 410, el de x es (x − 2) y en general, el de 2n es (2n − 2). 1.1.2. Los Números Impares.

1

Los Números Impares es un conjunto ordenado de cardinalidad infinita, cuyos elementos no son pares, es decir, no se pueden dividir exactamente por 2. Por comprensión, este conjunto se define

Los Números Impares = { x ∈ ℕ / x = 2n − 1, n ∈ ℕ }

y por extensión sería

Los Números Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...... }

Todo número impar tiene un sucesor impar. Por ejemplo, el sucesor impar de 1 es 3, el de 17 es 19, el de 911 es 913, el de x es (x + 2) y en general, el de (2n − 1) es (2n + 1). Todo número impar tiene un antecesor impar, excepto el 1. Por ejemplo, el antecesor impar de 3 es 1, el de 17 es 15, el de 911 es 909, el de x es x − 2, y en general, el de 2n − 1 es 2n − 3. 1.1.3. Los Números Primos. Los Números Primos es un conjunto de infinitos elementos formado por aquellos naturales divisibles exactamente sólo por 1 y por sí mismos. Así, el 3 es un número primo pero el 6 no lo es. A continuación definimos este conjunto por extensión indicando los primeros 25 números primos. Los Números Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,

89, 97... } 1.1.4. Los Números Compuestos Los Números Compuestos es un conjunto de infinitos elementos formado por todos los naturales que no son primos, es decir, por aquellos que tienen más de dos factores o divisores. Por extensión, podemos escribir Los Números Compuestos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,...} 1.1.5. Los Múltiplos de x (M(x)) Si x es un número natural cualquiera, el conjunto de los Múltiplos de x está formado por infinitos elementos que se obtienen al multiplicar x por cualquier número natural. En símbolos, este conjunto lo definimos como

M(x) = { y ∈ ℕ / y = nx, n ∈ ℕ } Así, por ejemplo, la extensión de los múltiplos de 5 es el conjunto M(5) = { y ∈ ℕ / y = 5n, n ∈ ℕ } = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, .... } Ejercicios 1.1 1. Determina por extensión, con a lo menos 15 elementos, los conjuntos M(2), M(3), M(4), M(6) y

M(12). 3. Determina el conjunto M(2) ∩ M(3). 4. Determina el conjunto M(2) ∩ M(3) ∩ M(4). 5. Determina el conjunto M(2) ∩ M(3) ∩ M(4) ∩ M(6). 6. Compara todos los resultados obtenidos. En el número 3 de los ejercicios planteados, has determinado los elementos comunes a M(2) y M(3), es decir, los múltiplos comunes de 2 y de 3. Lo mismo hiciste en el número 4, es decir, determinaste los múltiplos comunes de 2, 3 y 4, y en 5, para 2, 3, 4 y 6. Ahora, en el caso de los múltiplos comunes, por ejemplo de 2 y 3, uno de ellos es el menor, el 6. A este elemento se le denomina Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) entre 2 y 3. Y en el caso de 2, 3, 4 y 6, el 12 es su M.C.M. Ejercicios 1.2 Determina el M.C.M. para cada grupo de números. 2

i) 2 y 5 iv) 5 y 7 ii) 3, 9 y 12 v) 4, 9 y 12 iii) 4, 6 y 8 vi) 3, 7 y 9 1.1.6. Los Divisores de x (D(x)) Si x es un número natural cualquiera, el conjunto de los Divisores de x está formado por un número finito de elementos cuya propiedad es dividir exactamente a x. En símbolos, este conjunto se puede definir como

D(x) = { y ∈ ℕ / ∃ n ∈ ℕ tal que yn = x } Así, por ejemplo, la extensión de los divisores de 18 es el conjunto

D(18) = { y ∈ ℕ / ∃ n ∈ ℕ tal que yn = 18 } = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Ejercicios 1.3 Determina la extensión de los siguientes conjuntos.

1. D(2) 6. D(9) 11. D(20) 2. D(3) 7. D(10) 12. D(24) 3. D(4) 8. D(11) 13. D(8) ∩ D(12) 4. D(6) 9. D(12) 14. D(12) ∩ D(20) 5. D(8) 10. D(15) 15. D(20) ∩ D(24)

En los números 13, 14 y 15 estás determinando los elementos comunes a dos conjuntos, y como esos elementos son los divisores de dos números, entonces el conjunto intersección contiene a los divisores comunes de ambos números. En el ejercicio 13, el mayor divisor común entre 8 y 12 es el 4. A este elemento se le denomina Máximo Común Divisor (M.C.D.) entre 8 y 12. En el ejercicio 14, 4 es el M.C.D. entre 12 y 20 y en el ejercicio 15, 4 es el M.C.D. entre 20 y 24. Ejercicios 1.4 Determina el M.C.D. en los siguientes casos. i) entre 12 y 36 ii) entre 20 y 30 iii) entre 28 y 42 iv) entre 8 y 15 v) entre 7 y 9 vi) entre 16 y 21 1.1.7. Números Primos entre sí. Dos números naturales son primos entre sí cuando el máximo común divisor entre ambos es 1. Por ejemplo, 8 y 15 son primos entre sí, pues D(8) = {1, 2, 4, 8}, D(15) = {1, 3, 5, 15} y D(8) ∩ D(15) = { 1 }. Si dos números son primos entre sí, el mínimo común múltiplo entre ambos es el producto de ellos. Por ejemplo, el M.C.M. entre 8 y 15 es 8 · 15. 1.2. Los Números Cardinales

3

El conjunto ℕ nos sirve para determinar la cardinalidad de casi cualquier conjunto, sin embargo, no nos sirve para determinar la cardinalidad del conjunto Ф. Para resolver este problema agregamos un nuevo número al conjunto ℕ formando así un nuevo conjunto: los Números Cardinales.

ℕ0 = { 0 } U ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.......} Entonces, podemos escribir ahora # Ф = 0. Además, se tiene la relación ℕ ⊂ ℕ0. 1.2.1. Los Dígitos Los dígitos son el conjunto de símbolos con los que podemos escribir cualquier número. La extensión de este conjunto es

Dígitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y su cardinalidad es 10. En nuestro sistema de numeración decimal (base 10) cada dígito posee dos tipos de valores: A) Valor absoluto: corresponde a la cantidad de unidades que cada dígito representa. Así 4

corresponde a cuatro unidades. B) Valor relativo: corresponde a la cantidad de unidades que cada dígito representa, pero según la

posición que ocupa en un número determinado. Por ejemplo, en el número 440, ambos cuatros corresponden al mismo concepto, pero el primer 4 se refiere a 4 centenas (cuatrocientas unidades) por ocupar la tercera columna de derecha a izquierda, mientras que el segundo 4 se refiere a 4 decenas (cuarenta unidades) por ocupar la segunda columna.

De esta forma, todo número decimal se puede descomponer en una suma de múltiplos de 10. 1.324 = 1.000 + 300 + 20 + 4 = 1·1.000 + 3·100 + 2·10 + 4 237 = 200 + 30 + 7 = 2·100 + 3·10 + 7 46.598 = 40.000 + 6.000 + 500 + 90 + 8 = 4·10.000 + 6·1.000 + 5·100 + 9·10 + 8 1.3. Los Números Enteros (ℤ) Ya vimos que no todas las sustracciones se podían realizar en el conjunto ℕ. Por ejemplo, (5 − 7) ∉ ℕ. Para resolver este problema, al conjunto ℕo le agregamos los números negativos formando así el conjunto de los Números Enteros.

ℤ = { Números Negativos } U ℕo = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Por razones prácticas, se suele separar el conjunto en tres grupos: enteros negativos (ℤ −), enteros positivos (ℤ +) y el cero ({0}). Además se cumple la relación

ℕ ⊂ ℕo ⊂ ℤ Todo número entero posee dos características: un signo y un valor absoluto, excepto el cero, que no posee signo. signo: puede ser positivo (+) o negativo (−) x ∈ ℤ

4

valor absoluto o módulo ( | x | ): es el número de unidades que representa, sin considerar el signo.

Ejemplos. signo: + signo: − signo: + +5 −10 17 |+5| = 5 |−10| = 10 |17| = 17 signo: − signo: no tiene −1 0 | 1 | = 1 | 0 | = 0 Un número positivo puede escribirse de varias formas diferentes:

+5 ; (+5) ; ( 5 ) ; 5 ; +5

Un número negativo puede escribirse:

− 5 ó (− 5) ó − 5

A continuación revisaremos las operaciones definidas en ℤ. 1.3.1. Adición en ℤ La adición en ℤ presenta dos casos, ya sea que los elementos que se sumen sean de igual signo o sean de signos diferentes. a) Si se suman elementos de igual signo, se calcula la suma de los valores absolutos y se conserva el

signo de los sumandos. Ejemplos: 1. 3 + 4 = + ( | 3 | + | 4 | ) = 7 2. (− 5) + (− 3) = − ( |− 5| + |− 3| ) = −8 3. 10 + (+23) = 33 4. − 18 + (− 9) = − 27 b) Si se suman elementos de distinto signo, se calcula la diferencia entre los valores absolutos y se

conserva el signo del elemento de mayor valor absoluto. Ejemplos: 1. (−3) + (+7) = + (7 − 3) = 4 2. 5 + (−9) = − (9 − 5) = − 4 3. −7 + 16 = + (16 − 7) = 9 4. 23 +(−10) = + (23 − 10) = 13 5. −12 + 4 = − (12 − 4) = −8 Señalemos aquí dos propiedades importantes. Elemento neutro aditivo. Existe un número entero, el cero, que sumado con cualquier número entero no le altera su valor. Es decir, si x ∈ ℤ,

x + 0 = 0 + x = x

Elemento inverso aditivo u opuesto. Cada elemento entero posee un elemento opuesto de manera que, al sumar ambos números, dan por resultado el cero o neutro aditivo. Es decir, si x ∈ ℤ, existe un 5

elemento −x tal que

x + (−x) = (−x) + x = 0

Ejemplo:

4 + (−4) = (−4) + 4 = 0

Decimos entonces que x es el opuesto de −x y viceversa. 1.3.2. Sustracción en ℤ. Para realizar la sustracción en ℤ aplicaremos la siguiente regla: toda resta se transforma en una suma entre el minuendo y el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b) ; a, b ∈ ℤ minuendo sustraendo De esta forma, se aplica uno de los dos casos de la suma de enteros y así resolvemos el problema. Ejemplos. 1. 5 − 2 = 5 + (− 2) = + (5 − 2) = 3 2. − 7 − 4 = − 7 + (− 4) = − (7 + 4) = −11 3. 9 − (− 2) = 9 + 2 = 11 4. − 3 − (− 8) = −3 + 8 = + (8 − 3) = 5 De la definición de sustracción se desprenden dos conclusiones importantes. a) Como toda resta se transforma en suma, entonces sólo hablaremos de la adición en ℤ, aunque en el

papel aparezca un signo + o un signo −. b) Regla del signo menos. Cada vez que aparezca un signo − delante de una suma entre paréntesis,

éste se cambia a +, se eliminan los paréntesis y se cambian los signos de todos los elementos ubicados dentro del paréntesis.

Ejemplo: − ( 3 + 4 − 2) + (−3 − 4 + 2) −3 − 4 + 2 Si queremos resolver la siguiente operación

− (−5 + (4 − 7) − (5 − 1) − 1)

podemos elegir dos caminos: i) eliminemos los paréntesis aplicando la regla del signo −. + (5 − (4 − 7) + (5 − 1) + 1) 5 + (− 4 + 7) + (5 − 1) + 1 5 + 3 + 4 + 1 = 13 ii) resolvamos el problema operando ahora desde adentro hacia afuera. − (− 5 + (4 − 7) − (5 − 1) − 1) − (− 5 + (− 3) − ( 4 ) − 1 ) − (− 8 − 4 − 1) − (− 13 ) = 13 Ejercicios 1.5 6

Resuelve las siguientes adiciones en ℤ. 1. (5 + 4 − 2) − (8 − 9 − 3) = 2. −(2 − 4 − 9 − (8 − 5)) = 3. −(2 − (5 − (7 + 4) + 2) + 1) = 4. 10 + − 4 − − 9 + 1 = 5. −(− 2 + − 3 − − 1 − 5) + 1 = 6. −(− (− 2 + 3 − (1 − 5))) = 7. − 4 − (− 5) + (− 3) − 2 = 1.3.3. Multiplicación en ℤ. La Multiplicación en ℤ, al igual que la adición, también presenta dos casos: cuando los factores son de igual signo y cuando son de signos diferentes. a) Si se multiplican elementos de igual signo, el producto es positivo.

Ejemplos:

1. 3 · 4 = 12 2. (− 5) · (− 7) = 35 3. − 2 · −9 = 18 b) Si se multiplican elementos de signos diferentes, entonces el producto es negativo.

Ejemplos:

1. (−3) · 4 = − 12 2. 7 · (−2) = − 14 3. − 9 · 7 = − 63 4. 8 · − 6 = − 48 Recordemos ahora la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Si a, b y c son números enteros, se cumple que

a · (b + c) = a · b + a · c

lo que significa que al resolver esta operación, puede efectuarse la distribución y luego la suma, o bien la suma y después la multiplicación. Por ejemplo, a) 4 · ( 5 + 7) = 4 · 5 + 4 · 7 = 20 + 28 = 48 b) 4 · (5 + 7) = 4 · 12 = 48 Esta propiedad permite explicar más claramente la regla del signo menos que se vio anteriormente. Si se tiene la operación

− (3 + 4 − 2) ésta es equivalente a escribir

−1 · (3 + 4 − 2)

y por distributividad se obtiene

−1 · 3 + (−1) · 4 − (−1) · 2

y multiplicando, se llega a

− 3 + (− 4) − (− 2) = − 3 − 4 + 2

lo que equivale a la regla ya aludida: el − se cambió a +, se eliminan los paréntesis y se cambian los signos de la suma. Recuerda que esta regla no se aplica cuando lo que hay dentro del paréntesis es una multiplicación. En efecto, cuando la operación es

7

− (5 · (− 7))

lo que corresponde es cambiar el signo del producto de la multiplicación, es decir

− (− 35 ) = + 35

Recuerda también que, si las operaciones no están jerarquizadas mediante paréntesis, se resuelven primero las multiplicaciones y después las adiciones. Por ejemplo a) 5 · (4 + 3 · 9) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155 b) 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 9 = 20 + 27 = 47 c) (9 + 5) · (4 + 3 · (5 − 2)) = 14 · (4 + 3 ⋅ 3) = 14 · (4 + 9) = 14 · 13 = 182 d) 9 + 5 · 4 + 3 · 5 − 2 = 9 + 20 + 15 − 2 = 42 Ejercicios 1.6 1. 5 · (4 − 3 · (2 + 3 − 1) − 2 ) = 8. (−3) · 4 − 2 · (−8) = 2. − (7 · 4 · (−5)) = 9. 12 − 4 · (3 − 5) − (−14) · 4 = 3. 9 − 2 · (4 + 10) · (5 − 4) − 1 = 10. − (3 − 15) · (−2) − 15 + 6 = 4. − 5 (3 · 4) = 11. 7 + 3 · (−10) = 5. − (− (−3 + 2 · (1 − 3) − 2)) = 12. 9 + 3 · −14 + 14 − − 4 · 2 = 6. 2 · (−1) · (−12) = 13. −12 · (−12 − 2 · (4 − 6) + 2) = 7. 5 · 7 − 2 · 8 + 9 · (−3) = 14. − (5 − 7 + 4) · (3 − 2 − 10) · (−2) = 15. −3 − (− 9) − (− (9 − 2)) = 1.4. Los Números Racionales (ℚ)

1.4.1. Concepto de Fracción. Según el diccionario, fraccionar significa partir o dividir, por lo tanto, una fracción es una partición o división de una cosa. En matemáticas, las "cosas" que se parten o fraccionan son cantidades. Supongamos que el rectángulo de la figura 1.4.1 representa una cantidad cualquiera que ha sido "fraccionada" o dividida en dos partes iguales. Cada parte de la división es una fracción del total y como el total se dividió en dos, cada fracción es una mitad del total, es decir, 2

1 del todo.

21 Fig. 1.4.1 2

1

121

21

=+

Si mayor es la partición que se hace de un total, más pequeña es la fracción resultante (fig. 1.4.2).

8

Fig. 1.4.2 Si de una cantidad dividida en cuatro partes queremos tomar 3 fracciones, eso lo indicamos como 3

veces 41 , es decir

43 (fig. 1.4.3).

41

41

41

Fig. 1.4.3

3 veces 41 =

41 · 3 =

43

Por lo tanto, una fracción "ba " podemos definirla como la cantidad que resulta de dividir un entero

cualquiera en "b" partes iguales (denominador) y de ellas tomar "a" partes (numerador). Así, 32 es la

cantidad que resulta de dividir un entero en 3 partes iguales y de ellas tomar 2 (fig. 1.4.4).

32 numerador

denominador

Fig. 1.4.4

Ejemplo 1. ¿Cuánto dinero es los 53 de $ 1.500?

Para encontrar la solución aplicamos el concepto de fracción. $ 1.500 lo dividimos en 5 partes con lo que cada parte es de $ 300. Ahora tomamos 3 partes de $ 300 cada una y obtenemos un resultado de $ 900 (fig. 1.4.5).

$ 300 $ 300 $ 300 $ 300 $ 300

$ 1.500 Fig. 1.4.5

53 de $ 1.500 = 3 ·

51.500 = $ 900

Ejemplo 2. ¿Cuántos cc de agua contiene una botella de 43 de litro llena hasta la mitad?

9

Para llegar a la solución debemos hacer dos cálculos: cuántos cc son 43 de litro y cuántos cc son la

mitad de 43 de litro.

a) 43 de litro =

43 de 1.000 cc = 1.000 ·

43 =

41.000 · 3 = 3 · 250 = 750 cc.

b) 21 de

43 de litro =

21 de 750 cc =

2750 · 1 = 375 cc.

Ejercicios 1.7 Calcula

a) ¿Cuántos minutos son 43 de 1 hora?

b) ¿Cuántos días son los 52 de 1 año?

c) ¿Cuántos gramos son 81 de kilogramo?

d) ¿Cuánto dinero es los 74 de $ 2.800?

e) ¿Cuántas personas son los 65 de un grupo de 36 estudiantes?

Veamos ahora qué sucede cuando nos encontramos con fracciones de la forma aa , por ejemplo, la

fracción 33 . Según vimos, esta fracción indica que de una cantidad dividida en 3 partes iguales estamos

tomando las tres partes (fig. 1.4.6). Fig. 1.4.6

3 · 31

33 =

o sea, estamos tomando el entero completo, es decir 1 entero. Por lo tanto, al tener fracciones con numerador y denominador iguales, éstas son equivalentes a la unidad completa, lo que se escribe

xx

22

55 = 1 ; = 1 ; = 1

Ahora, si el numerador de la fracción es mayor que el denominador, esto se interpreta de la

siguiente manera. Supongamos la fracción 35

31. Ya sabemos que esta fracción significa 5 veces lo que

conseguimos tomando las 3 partes de un entero dividido en 3 y tomando 2 partes de otro entero equivalente al primero, también dividido en 3 (fig. 1.4.7).

10

Fig. 1.4.7

33 +

32 =

35

Entonces, lo que obtuvimos fue más de un entero; fue un entero y 32 más, lo que se escribe

1 +

32 = 3

21

Este número se denomina número mixto y está formado por la suma de un entero y una fracción.

jemplos.

.

E

= 2 + 41 = =

49 1 4

12

= 1 + 51 = =

56 2. 5

11

= 3 + 21 = =

27 3. 2

13

Ejercicios 1.8

. Transforma mediante esquemas los siguientes números mixtos en fracción.

)

1

a 831

b) 7

52 c) 9

73 2. Transforma, ayudándote con esquemas, las siguientes fracciones en números mixtos.

a) 38

24 b)

610 c)

1.4.2. Fracciones equivalentes.

En la figura 1.4.8 se tiene el esquema de las fracciones 1 y 2 4

aplicadas sobre el mismo

2 . Observa que dichas fracciones

entero representan la misma partición, por lo tanto, decimos que 21 y

42 son

acciones equivalentes. fr

1 1

21

21 4 4

41

41 11

1 2

Fig. 1.4.8

En símbolos, si

ba y

dc son dos fracciones, la relación de equivalencia se escribe

bc = ad dc

ba

⇔≡

Ejemplos.

1.

42

21≡ , porque 1 · 4 = 2 · 2

2. 129

86≡ , porque 6 · 12 = 9 · 8

. 31512

76≠ , porque 6 · 15 ≠ 7 · 12

.4.3. Orden de las Fracciones.

Simbólicamente, el criterio para ordenar las fracciones es el siguiente: si

1 Las fracciones, como representan cantidades numéricas, se ordenan de menor a mayor.

ba y

dc son fracciones, entonces

bc > ad dc >

ba

⇔

Ejemplos.

.

143 > , porque 3 · 2 > 4 · 1

.

235 >

52 , porque 5 · 5 > 3 · 2

.

385 <

34 , porque 5 · 3 < 8 · 4

.4.4. Amplificación y simplificación de fracciones.

obtenga una fracción equivalente.

Si

1 Amplificar o simplificar una fracción es multiplicar o dividir, respectivamente, el numerador y el denominador de ella por un mismo número entero de manera que se

ba es una fracción, podemos amplificarla por el entero m haciendo

m bm a

··

y podemos, en general, simplificarla por el entero n haciendo

m b :

obteniendo, en ambos casos, una fracción equivalente a

m a :

b. Ahora, si no encontramos ningún entero qa ue

ivida exactamente al numerador y al denominador, entonces decimos que la fracción es irreductible. d

12

Eje s. mplo

1. 45 amplificada por 3 es

1215 =

3 · 43 · 5

2. 137 amplificada por 2 es

2614

3. 3224 simplificada por 4 es

86 =

4 : 324 : 24

4. 186 simplificada por 6 es

3 1

. 1195 es una fracción irreductible.

división. Al efectuar la división entre el numerador inador (divisor) se obtiene un número (cuociente) que puede ser entero, decimal

o o decimal semiperiódico.

1.4.5. Números decimales.

Ya vimos que toda fracción representa una (dividendo) y el denominito, decimal periódicf

Ejemplos:

a) 6

126 ⇒ 126 : 6 = 21 (entero)

b) 53 ⇒ 37 : 5 = 7,4 (decimal finito)

c) 98 ⇒ 8 : 9 = 0,888.... (decimal periódico)

d) 9075 ⇒ 75 : 90 = 0,8333.... (decimal semiperiódico)

Por lo tanto, podemos concluir que toda fracción puede transformarse en un nú mero decimal

o todos los números decimales pueden aciones importantes.

a) Entero a fracción.- Puede hacerse dividiendo el entero por 1

(entero, finito, periódico o semiperiódico), pero, por el contrario, ntransformarse en fracción. Veamos a continuación algunas transform

20 = 120 ; 5 =

15

o bien dividiendo el entero por 1 y luego amplificando por cualquier otro entero.

i) 5 = 735 =

7·17 · 5 =

15

ii) 3 = 39 =

3·13 · 3 =

1 3

iii) 3 = 721 =

7·17 · 3 =

13

buna potencia de 10 con tantos ceros com) Decimal finito a fracción.- Puede hacerse dividiendo el número, sin considerar la coma decimal, por

o cifras tenga la parte decimal del número.

13

i) 10,4 = 5

52 = 2:102 : 104 =

10104

ii) 0,236 = 2559=

4:1.0004:236=

1.000236

iii) 3,5 = 27 =

5:105 : 35 =

1035

iv) 0,75 = 43 =

25:10025 : 75 =

10075

81=

125:1.000125:125=

1.000125 v) 0,125 =

Ejercicios 1.9 1. Calcula.

a) los 75 de 126 b) los

125 de 9 c) los 3

4 de 20

d) los 175 de 20 e) los

49 de 4 f) la mitad de 0,7

00

g) 101 de 0,1 h) la tercera parte de 24 i) la cuarta parte de 500

j) los 4

de 1,2 3

a)

2. Transforma a decimal.

83 b)

57 c)

910

d) 525 e)

616 f) 2

11

g) 431 h ) 5

42 i ) 972

j) 2013

3. Determina la relación que existe ( =, > ó <) entre las parejas de fracciones siguientes.

a) 41 ________

51 b)

45

87 ________ c)

410 ________

1025

d) 186 ________

4515 e)

71 _______ _

132 f) 0,5 ________

21

________ 47 g) 0,3 ________ 0,255 h) 4

31 ________ 1,75 i) 511

j) 81 ________ 1,25

4. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de fracciones.

14

a) 21 ,

101 ,

51 ,

31 b)

76 ,

79 ,

710 ,

72 c)

54 ,

203 ,

32 ,

41

d) 34 ,

23 ,

76 ,

56 e) 6

543

32 1 , 1 , 1 1 f) 0,1 ; 0,02 ; 0,05 2

1 ,

1, ,0 h)

41 ; 0,125 ; 0,09 i)

35 g) 32 ; 1,9 ; 2 5 ; 1,114 ; 1,01

j) 521 ; 1,25 ;

6 7

plifica, si es posible, las siguientes fracciones.

5. Sim

a) 96121 b)

4669 c)

4880

d) 72

122 e) 188 f)

2512

g) 931 h)

217 i)

500250

j) 104

128

. a en fracción los siguientes núm

e) 0,005 f) 1,001

g) 10,25 h) 12,5 i) 0,625

al cu a) un entero, este entero puede ser positivo, negativo, o cero, con lo

6 Transform eros. a) 0,18 b) 7,0 c) 3,125 d) 14,5 j) 0,0625 1.4.6. Los números racionales. (ℚ) Ya definimos una fracción como la partición de un entero y dijimos que esa partición correspondía

ociente entre el numerador y el denominador. De aquí surgen dos observaciones importantes:

si una fracción es la partición de

que se obtendrían números tales como 4

− ó 34

que no se encuentran necesariamente en los

conjuntos definidos hasta ahora.

0

Entonces, es necesario definir un nuevo conjunto, bién los número úmeros racionales y

e como sigue

b) Si una fracción es un cuociente, este cuociente puede ser un número entero, pero en general será un

número decimal que tampoco se encuentra en los conjuntos definidos hasta ahora. más amplio, que incluya todos estos casos nuevos

s ya conocidos. Este nuevo conjunto es el conjunto ℚ de los ny tamse defin

15

ℚ = { x / iódico } x es un número decimal periódico o semiper

o bien

ℚ = { x / x = qp , p ∈ ℤ , q ∈ ℤ y q ≠ 0 }

ima un od m iente de dos número. Por extensión, este conjunto sería, aproximadamente

De acuerdo a esta últ definición, número racional es t o nú ero formado por el cuoceros enteros cualesquiera, con la sola restricción que el denominador o divisor no sea el entero

c

ℚ = {-∞ ; ... ;−2; ... ; 23− ; ... ;−1; ... ; 4

3− ; ... ;−0,5; ... ; 0 ; ... ; 41 ; ... ; 2

1 ; ... ;0,75; ... ; 1; ....+∞}

Dicha aproximación se debe a que ℚ es un conjunto ordenado y de cardinalidad infinita. Además, ste conjunto se puede poner en correspondencia 1 a 1 con los puntos de una recta infinita, dando origen a

ℕ0

0 ∈ ℚ ; 1 ∈ ℚ ; −1 ∈ ℚ

elo que se conoce como Recta Numérica (fig. 1.4.9). Esta correspondencia da origen a la propiedad de densidad del conjunto ℚ, es decir el conjunto ℚ es denso, lo que significa que siempre entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que estén, encontraremos un tercero al medio.

Fig. 1.4.9 La recta asociada a ℚ

Las siguientes relaciones son correctas. ℕ ⊂ ℚ ; ⊂ ℚ ; ℤ ⊂ ℚ

21 ∈ ℚ ;

21

− ∈ ℚ ; 5

0 ∈ ℚ

0,5 ∈ ℚ ; −0,5 ∈ ℚ ; 0,375 ∈ ℚ

212 ∈ ℚ ;

65

− ∈ ℚ ; etc.

1.4.7. Adición en ℚ

Sean a, b, c y d números enteros con b y d no nulos. Se define la adición en ℚ como

Revisemos ahora las operaciones definidas en ℚ.

.

bdbc + ad = c + a

db

suma de dos racionales da como resultado un nuevo racional cuyo numerador es una suma de nteros y su denominador es el M.C.M. de los denominadores iniciales.

jemplos.

es decir, la e E

16

65=

62+3=

3 · 21 · 2+1 · 3=

31+

21 1.

125 =

1283 =

3 · 42 · 41 · 3 =

32

41 −−−− 2.

107=

103+4=

103 · 1+2 · 2=

103+

52 3.

2431=

242110=

247 · 35)( · 2=

87

125 −−−−−−

− 4.

32=

34+2=

34+

32 −− 5.

4019=

404+

4015=

4 · 104 · 1+

5 · 85 · 3=

101+

83 6.

211=

21+10=

21+

22 · 5=

21+5 7.

8. 1243=

123+24+4+12=

41+2+

31+1=2+1 4

131

1513

51

32 6=

153+10+6=

51+

32+4+2=42 + 9.

10. 432=

4=

4=

2+1+

4 112+4+515

i) Elemento neutro aditivo: existe un número racional, el cero, que sumado con cualquier racional da

como resultado el mismo racional. Es decir, si

Algunas propiedades importantes de la adición en ℚ.

ba∈ ℚ,

ba=

ba+=+

ba 00 ; (b ≠ 0)

Elem ii) ento inverso aditivo u opuesto: existe, para cada número racional, un elemento opuesto tal

que, al sumarse ambos, dan por resultado el neutro aditivo. Es decir, si ba ∈ ℚ, existe

ba

− ∈ ℚ tal

que

0=ba+a=a+a

⎟⎞

⎜⎛ −

⎟⎞

⎜⎛ − ; (b ≠ 0)

bbb ⎠⎝⎠⎝

Observemos que, por la regla del signo menos y por la definición de número racional, podemos ente

escribir indistintam

baaa

−b-b

− ó ;

17

barepresentando las tres escrituras al mismo elemento opuesto de . Recuerda también que el opuesto de

ba

− es el racional ba .

1.4.8. Multiplicación en ℚ

. Sean a, b, c y d números enteros con b y d no nulos. Se define la multiplicación en ℚ como

bdac=c a ·

db

resultado es un nuevo racional cuyo numerador es el roducto de los numeradores iniciales y el denominador es el producto de los denominadores iniciales. Si

n re t , é t e plificarse.

Ejemplos.

.

p

Es decir, al multiplicar dos racionales, el

el resultado de la multiplicación es una fracció duc ible s a d be sim

6. 10

7=4028=

54 ·

87 −−−

158 =

34 ·

521

.

7. 833 =

411 ·

23 =

43 ·

211

912 =

1824 =

98 ·

232

.

8. 23 =

46 =

43 · 2 =

43 · 2

218- =

74 ·

32-3

9. 52

53 6 =

52 + 2 + 4 =

512 + 4 =

53 · 4 + 1 · 4 =

53 + 1 · 4 = 4 · 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

269 =

21- ·

139-4.

5. 7-21-3-7824212

= = ·

Revisemos algunas propiedades importantes de la multiplicación en ℚ. i) Elemento neutro multiplicativo: existe un número racional, el 1, que multiplicado con cualquier

racional no le altera su valor. Es decir, si b

es un racional, entonces a

baa

ba · ; =

b 1 = 1 · (b ≠ 0)

ii) Elemento inverso multiplicativo o recíproco: para cada número racional, excepto para el 0, existe

un elemento recíproco tal que, al multiplicarse ambos, dan por resultado el neutro multiplicativo.

Es decir, si ba ∈ ℚ, existe

ab tal que

1 = baba

ab =

a

b·· ; (b ≠ 0)

También se suele escribir el recíproco de como ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ba -1

ba , o sea

ab = ⎟

⎠⎝ b⎞

⎜⎛ a -1

18

Ejemplos.

1. El recíproco de 4

es 334 , pues 1 =

12 =

3 ·

4. 6.

57 =

75 -1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1243

2. El recíproco de 51 es 5, es pu 1 =

55 = 5 ·

51 . 7. 9 =

91 -1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3. El recíproco de 3 es 31 . 8.

23-2

⎟⎜⎛ =

3- -1

⎠⎞

⎝

. El recíproco de 43- es

34- , pues 1 =

1212 =

34- ·

43- . 9.

71- = )(-7 1- 4

5. l recíproco de E51- es −5, pues 1 = 5 = 5- · 1- . 10.

32 = 1 1

55 21-

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

Distributividad de la multiplicación respecto de la suma: Si ba ,

dc y

fe son racionales, con b, d

y f no nulos, se cumple que

iii)

fbdbfdb ⎠⎝

e a + c a = e + c a ··· ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

1.4.9. División en ℚ Para efectuar divisiones en ℚ, éstas se transforma

el divisor. Es decir, si

.

n en una multiplicación del dividendo por el

ba y

dc son racionales recíproco d

cd a=c a=ca · · : ⎟

⎞⎜⎛ ; (b, c

bdbdb

1

⎠⎝

−

y d ≠ 0)

Ejemplos.

1. 32 =

64 =

34 ·

21 =

43 :

21 7. ( )

225=1 · 5=2 : 5 −−

−

2. 15

7=37 ·

51=

73:

51 −−− 8. ( )

121=

31 ·

41=3 :

41 −−

−−

51836− =

10=

29 ·

54=

92 :

54

−−− 9.

45 = 5 ·

41 =

51

41

3.

4. 10. 152 =

51 ·

32 =

53

2 102·5

21:5 = =

34 =

31 · 4 = 3 : 4 11. 6 = 2 · 3 =

213 5.

12. 1=4

34

3−

−

141 =

21 ·

71 = 2 :

716.

19

Ejercicio

s 1.10

1. Calcula las siguientes sumas en ℚ.

a) = 135 +

132 b) =

56 +

59 c) = 2 + 1 2

121

d) = 2 + 59 =

87 +

43e) f) =

41 +

37

g) = 154 +

61 h) =

31+1

4− i) =

45

25−

−

j) =231

21− k) =

545 + 4

− l) =

3 + 34 + 4 + 4

m) = 5 + 3 + 1 n) 423

=51+31

−42

o) =65

121

43

−−

p) = 3 q) 12

+ 2 + 41 =19

− r) 41

5− =2+13

52

3−

en ℚ.

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones

a) = 21 ·

45 b) = 4 ·

53 c) =

79 · 5

d) = 31 · 3 e)

5− ( )=4 ·

34

− f) = 95 ·1 −−

2

g) ( ) = 5 · 7 −− h)

14= 4 · 3 · 1 i) = 9 · 1 · 5 −

952 215

j) = 61 · 3−

15412 · −− k) ( )=17 · 1

− l) = 17 1010

9 · −

a) 0 b) 1 c) −1

0 10 f)

9

3. Determina el elemento opuesto y el elemento recíproco en cada uno de los siguientes casos.

d) 1 e) −21

g) 21

− h) 45 i) 3

11

j) 31 + 1 k)

2 4·253− l)

32

1

5

1−

n) 74

−− m) o)

10

7−

4. Resuelve las siguientes divisiones en ℚ.

a) = 41 :

71 b) =

54 : 9 c ) = 3 :

97

d) = 71 : 9 −

14 e) =

101 : 5

5− f) = 10)( :

125

−

g) = 4 : 16 ⎟⎞

⎜− h) 3 ⎠⎝

⎛ = 10 : )(− i) 3

5 = : 7 −− 73

3

) 4 : 3 = l) = 34 :

311 j) 0 : 4 = k

20

m) = 10

99

5n) =

−

44

7 o) =

493

−

5. Resuelve las siguientes operaciones.

a) = 45

+2

− b) 16

10 · 43 = 3

: + 1829

41 :

45 c) =

54 · 3

d) =

21 + 1

1 E) =

212

1+1−

f) =1+

34

32−

g) =

21 + 1

1 + 1

1 h) = 3 · 1 21

32

1.5. Potencias. La definición de multiplicación o una suma abreviada de un mismo elemento. Así, 5 · 3 es equivalente a 3 + 3 e se lee "5 veces 3". Esta explicación nos permite interpretar o traducir algunas operaciones expresadas en palabras a símbolos. Por ejemplo,

3 veces 4 = 4 + 4 + 4 = 3 · 4

6 veces 1 = 6 · 1

9 veces 5 = 9 · 5

ción sucesiva puede abreviarse mediante una potencia. Así,

l 3, 4 veces por sí mismo

l 4, 2 veces por sí mismo

7 · 7 = 72 = 7 al cuadrado

6 · 6 = 63 = 6 al cubo

ue se multiplica se denomina úmero que indica las veces que lica la nte.

en ℤ la podemos interpretar com+ 3 + 3 + 3, lo qu

4 veces 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 · 2

De la misma manera, una multiplica

3 · 3 · 3 · 3 = 34 = el producto de

4 · 4 = 42 = el producto de

5 · 5 · 5 = 53 = 5 elevado a 3

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 2 elevado a 5

6 ·

donde el factor q base y el n se multipbase es el expone Ejemplos.

a) 22

k) 52 = 25 l) 53 = 125

2 n) 72 = 49 o) 82 = 64

2 r) 103 = 1.000

= 4 b) 23 = 8 c) 24 = 16

d) 25 = 32 e) 26 = 64 f) 32 = 9

g) 33 = 27 h) 34 = 81 i) 42 = 16

j) 43 = 64

m) 6 = 36

p) 92 = 81 q) 10 = 100

21

1.6. 1.6.1. igual base e igual exponente. Ejemplos:

b) 32 + 32 + 32 + 32 = 4 · 32 = 4 · 9 = 36

x2y

puede

lic otencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes. Por

+ 5

c) a6

d)

ii) s de distinta base e igual exponente, se multiplican las bases y se mantiene jemplo:

a) a · b = (a · b)

5 3

d) 2 · 3 · 4 · 5 = 1205

1.6.3. División de potencias i) e dividen otencias de igual base e igual exponente, el resultado es 1 siempre que la base no sea

cero. Por ejemplo:

a)

Operaciones con potencias

Suma de potencias

Sólo se pueden sumar potencias de

a) a5 + a5 + a5 = 3 · a5 = 3a5

c) x2y + 3x2y + x2y + 2x2y = 7

Observación: Si tenemos x2y + xy2 no se pueden sumar (no son términos semejantes); x3 + x5 tampoco se

n sumar.

1.6.2. Multiplicación de potencias i) Si se multip an p

ejemplo: 5 5 5 10 a) a · a = a = a

b) x3 · x3 · x3 · x3 = x 4 · 3 = x12

· a2 = a6 + 2 = a 8

35 · 3 6 = 35 + 6 = 3 11

Si se multiplican potenciael exponente común. Por e

6 6 6

b) 33 · 53 = (3 · 5)3 = 1

c) x 3 · y 3 · z 3 = (xyz) 3

5 5 5 5

Si s p

16

6

=aa

b) 355

2

2

=b

3b

c) 525

1252

2

=cc

ii) Si se dividen potencias de igual base y distinto exponente, se mantiene la base y se restan los

exponentes. Por ejemplo:

2353

5aa) aaa

== −

b) 333333

5

6

=

22

iii) Si se dividen potencias de distinta base e igual exponente, se dividen las bases y se mantiene el onente común. Por ejemplo: exp

6

6

6

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ba

ba a)

273927

927 3

3

3

3

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= b)

8198181 222 ⎞⎛c)

992 ⎠⎝

==⎟⎜=

ncia de una potencia.

una potencia está elevada a otro exponente. La operación se realiza manteniendo la m

(a5)2 = a5 · 2 = a10 ) ((23 )2)2) = 23 · 2 · 2 = 212

1.6.4. Pote Es el caso en que ase original y ultiplicando los exponentes. b

Ejemplos a)

b

c) 273 22⎟⎞

⎜⎛=⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

33

33 ⎠⎝⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝

.

(x + y2 − 3z)0 = 1 ) a0 + b0 − 1.0000 = 1 + 1 − 1 = 1

⎠⎝ ⎠⎝ .6.5. Potencias de exponente cero1

Toda base distinta de cero elevada a un exponente igual cero tiene valor 1.

jemplos E

) a0 = 1 a

b)

c

( )d) ( ) 2259 + xy

1π44 000

=+−+ ba

0

cias de exponente negativo.

Si una base está elevada a un exponente negativo (< 0), el resultado es el valor recíproco o inverso multiplicativo de la base, elevada al mismo exponente, pero positivo.

mplos:

0

1.6.6. Poten

Eje

91

313

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=− a)

41

414

11 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=− b)

( ) ( ) 6

6632 11

aaaa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== −− c)

23

827

23

23

32

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

3

333

==⎟⎠⎞

−

d)

e) 22

⎟⎞

⎜⎛=⎟

⎞⎜⎛

− ba ⎠

dero o falso:

2 3

g) 42 + 32 = 72

h) 45 · 55 = 2010 i) 33 − 30 = 26

2. (−1)1 + (−1)2 + (−1)4 – (−1)7 =

.

⎝⎠⎝ ab Ejercicios 1.11 1. Diga si es verda

a) 53 = 35 bc) 53 = 15 ) 4−3 = 64

d) 42 = 8 e) 8 − 4 = 0 f) 82 + 83 = 85

( ) =−− 2-333 100,5· · )10( · 33

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

21 · 4

2 2

4.

=− −−− 22+4 · 5 542 5. 6. =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

41 33 1 · 12

7. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ba

ba

2

22 2

125 :

425

10n

onde n ∈ ℤ. Si el exponente es positivo, indica la cantidad de ceros que se escriben detrás de un 1 en a la cantidad de ceros que se escr en delante de un 1 en una cifra

imales de la cifra.

100 −2 = 0,01

105 = 100.000 10 −5 = 0,00001 106 = 1.000.000 10 −6 = 0,000001

. . .

1.7. Potencias de 10. Se denominan así aquellas potencias cuya base es 10 y el exponente es cualquier número entero. Es decir, es una potencia de la forma

duna cifra entera, y si es negativo indic ibdecimal y que es igual al número de dec Ejemplos. 100 = 1 101 = 10 10 −1 = 0,1 102 = 10 103 = 1.000 10 −3 = 0,001 104 = 10.000 10 −4 = 0,0001 . etc. etc.

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1.8. Notación exponencial.

un número pued últiplos de 10 (tema 1.2.1 - Los ígitos). Ahora podemos completar esa interpretación de cualquier cifra numérica. Revisemos la

= 1·1.000 + 3·100 + 2·10 + 4

Reemplazando ahora por potencias de 10, podemos escribir

1.324 = 1·10 + 3·10 + 2·10 + 4·100

Hagamos lo mismo con los números 237 y 46.598.

+ 8·100

liar a los números decimales esta forma de descomponer una cifra sando también potencias de exponente negativo. Así, el número 42,3 se puede descomponer como

42,3 = 40 + 2 + 0,3 = 4·10 + 2 + 3·0,1

usando potencias de 10, nos queda

42,3 = 4·10 + 2·10 + 3·10

Anotemos ahora la descomposición del número 3.234,786

3.234,786 = 3.000 + 200 + 30 + 4 + 0,7 + 0,08 + 0,006

= 3·103 + 2·102 + 3·101 + 4·100 + 7·10 −1 + 8·10 −2 + 6·10 −3

.12

one las siguientes cifras:

) 1,1

Esta aplicación de las potencias de 10 es la que se utiliza para abreviar cifras que son muy grandes o o notación científica. Si una cifra cualquiera es multiplicada por

na potencia de 10, el producto será la misma cifra numérica pero con la coma decimal corrida tantos lugares como lo indique el exponente de la potencia, ya sea a la derecha si ese exponente es positivo, ya ea a la izquierda si es negativo.

3,14 · 1.000 = 3.140

Observa que el resultado no tiene c la coma se encuentra después del 0. Es ecir, la coma se corrió 3 lugares hacia la derecha (desde tras el 3 hasta tras el 0), lo que estaba indicado

Ya vimos cómo e expresarse como una suma de mddescomposición del número 1.324. 1.324 = 1.000 + 300 + 20 + 4

3 2 1 237 = 2·102 + 3·101 + 7·100 46.598 = 4·104 + 6·103 + 5·102 + 9·101

Esta notación nos permite ampu y

1 0 −1 Ejercicios 1 Descomp ab) 20,32 c) 450,003 d) 9.002 e) 0,05 muy pequeñas en lo que se conoce comu

s Ejemplo 1. Multipliquemos 3,14 · 103

oma, lo que significa que

dpor el exponente de la potencia de 10 (+3).

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Ejemplo 2. Multipliquemos 3,14 · 10 −3

3,14 · 0,001 = 0,00314

l se corrió, desde tras el 3, tres lugares hacia la izquierda, apareciendo dos im dicado por el exponente −3 de la potencia de 10.

jemplos.

) 641,3 · 10 = 6,413

) 6,5 · 10 = 0,0065

s escribir una cifra cualquiera con tantos decimales o dígitos enteros como ismo concepto.

4 con 1, 3 y 4 decimales y con 3 y 4 dígitos enteros.

) 3,14 = 31,4 · 10 −1 · 10 1

) 3,14 = 0,0314 · 10 2

) 3,14 = 3.140 · 10

) Escribe la cifra equivalente en cada caso.

1. 5 · 10 = 5. 0,003 · 10 = =

b) Escribe en notación científica dejando un sólo dígito entero distinto de 0. 1. 6.450.324 = 5. 1.324,2 = 2. 0,00324 = 6. 0,005 = 3. 53,728 = 7. 2.000 = 4. 0,7 =

Esta vez la coma decimadec ales más, lo que estaba in E a) 732,005 · 10 2 = 73.200,5

−2bc) 6,49 · 10 4 = 64.900

−3d También podemoqueramos, usando este m Ejemplo. Escribamos 3,1 ab) 3,14 = 0,314cd) 3,14 = 314 · 10 −2

−3e Ejercicios 1.13 a

4 2 2. 7,3 · 102 = 6. 0,143 · 103

3. 12,5 · 103 = 7. 0,5 · 103 = 4. 6 · 105 =

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