Didactica de la matematica - Modulo II

1. PER Ministerio de EducacinPER Ministerio de EducacinPER Ministerio de EducacinPER Ministerio de Educacin PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA EDUCACIN SECUNDARIA MDULO DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA IGUALDAD Y ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO 2. Mdulo de actualizacin en didctica de la Matemtica Igualdad y ecuaciones lineales de primer grado Educacin Secundaria - Matemtica MINISTERIO DE EDUCACIN Avenida de la Arqueologa, cuadra 2- San Borja Lima 41, Per Telfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe Ministro de Educacin: Jaime Saavedra Chanduv Viceministro de Gestin Pedaggica: Flavio Figallo Rivadeneyra Directora de Educacin Superior Pedaggica: Paula Maguia Ugarte Coordinadora pedaggica: Elliana Ramrez Arce de Snchez Moreno Equipo pedaggico de elaboracin del mdulo : Tim DeWinter Vernica Ugarte Galdos Nora Ysela Espinoza Chirinos Coordinacin editorial Nilo Gabriel Espinoza Surez Editor: Nilo Gabriel Espinoza Surez Correccin de estilo: Gerson Rivera Cisneros Diseo e ilustracin: Ivn Casapa Eguren Diagramacin: Christian Bendez Rodrguez Fotografa: Sergio Nawuel Bravo 3. AGRADECIMIENTOS A nuestros colaboradores del Archivo Fotogrfico de IPEBA. A la comunidad educativa, profesoras y profesores, personal administrativo, padres de familia y estudiantes de las I. E. P. La Casa de Cartn, en especial al profesor Gregorio Fernndez Gonzales y al director Carlos Palacios Berrios. Al colegio Trener, en especial al profesor Fernando Daneri Vargas y a su directora, Maria Mercedes Garca de Valenzuela. 4. 4 Lectura previa:Las matemticas ocultas en la vida cotidiana ................................. 13 Primera situacin para la reflexin pedaggica: Igualdad y ecuaciones ....................................................................................... 16 Primer taller presencial ............................................................................ 24 Segunda situacin para la reflexin pedaggica: Representacin de una ecuacin......................................................................... 26 Crculo de interaprendizaje colaborativo 1 ................................................... 37 Tercera situacin para la reflexin pedaggica: Resolucin de ecuaciones simples ....................................................................... 39 Segundo taller presencial ......................................................................... 48 Cuarta situacin para la reflexin pedaggica: Ecuaciones simultneas ..................................................................................... 50 Crculo de interaprendizaje colaborativo 2.................................................... 60 Profundizacin terica y pedaggica 1: Resolucin de ecuaciones simples y de ecuaciones lineales simultneas................. 61 Tercer taller presencial ............................................................................ 72 Profundizacin terica y pedaggica 2: Ecuaciones en contexto...................................................................................... 74 Cuarto taller presencial............................................................................ 79 II. IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO I. INFORMACIN GENERAL Programa de actualizacin en didctica de la Matemtica ..................................... 6 Presentacin del mdulo de actualizacin Igualdad y ecuaciones lineales de primer grado............................................................................................................... 8 Secuencia formativa del mdulo ......................................................................... 10 Productos previstos para este mdulo.................................................................. 12 CONTENIDO 5. 5 Ejecucin de la prctica pedaggica en el aula y elaboracin de la narracin documentada .................................................................................................... 80 Crculo de interaprendizaje colaborativo 3.................................................... 82 Presentacin de las narraciones documentadas y el trabajo final............................ 83 Crculo de interaprendizaje colaborativo 4.................................................... 84 Autoevaluacin del participante sobre el mdulo................................................... 85 Glosario ........................................................................................................... 86 Bibliografa ....................................................................................................... 87 Anexo 1 ........................................................................................................... 89 Anexo 2 ........................................................................................................... 92 6. 6 PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO IGUALDAD Y ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMtica II MATEMticA III 7. 7 LOS DOCENTES PARTICIPANTES TEMARIO Interactanconsusparesdemanerareflexivaycrticaparapresentarformasdeintervencin en el aula donde se evidencia el manejo de los conceptos matemticos y el uso de diversas estrategias,constituyendo una comunidad de aprendizaje. Plantean situaciones problemticas y actividades relativas a las nociones de ecuaciones simples y simultneas considerando su contexto, el rol de facilitadores que cumplen como docentes, la implementacin de diversas estrategias y la participacin activa y reflexiva de los estudiantes durante la construccin de las nociones matemticas. Aplican sus conocimientos conceptuales y procedimentales durante el desarrollo de actividades propuestas justificando de forma reflexiva y crtica las nociones y procedimientos empleados contrastados con su prctica pedaggica. Igualdad y ecuaciones. Representacin de una ecuacin. Resolucin de ecuaciones simples. Ecuaciones simultneas. 8. 8 Asimismo, busca fortalecer las competencias de los docentes para desarrollar y conducir situaciones de aprendizaje para la resolucin de ecuaciones aplicadas a problemas reales, en un clima que propicie la reflexin y la construccin del aprendizaje de manera individual y colectiva, tomando en cuenta las caractersticas de los estudiantes y del contexto. Reflexionaremos sobre las diversas estrategias que podemos usar en la resolucin de ecuaciones simples y de ecuaciones lineales simultneas; as como en los principios que subyacen en las frmulas o en las operaciones que normalmente se usan para resolverlas. Utilizaremos el enfoque problmico de la matemtica que busca contextualizar el aprendizaje. Proponemos que los docentes generen situaciones significativas de aprendizaje donde las matemticas ayuden a los alumnos a resolver situaciones cotidianas. Se desarrollarn trabajos que permitan la aplicacin prctica de lo aprendido, as como la elaboracin de material que pueda ser usado en el aula. Adems, tendremos la oportunidad de reflexionar sobre la prctica docente y las herramientas y recursos matemticos de forma crtica y reflexiva, individual y grupalmente. PRESENTACIN DEL MDULO DE ACTUALIZACIN en didctica de la Matemtica Igualdad y ecuaciones lineales de primer grado 1 MINISTERIO DE EDUCACIN DEL PER (2014). Marco Curricular Nacional. Propuesta para el dilogo (segunda versin). Lima: Minedu. Consulta: 12 de julio de 2014. Este mdulo tiene por finalidad contribuir con la prctica pedaggica que diariamente realizas en el aula para orientar a los estudiantes en el logro de los aprendizajes fundamentales relacionados con Matemtica1 . 9. 9 En este mdulo, el participante de la modalidad semipresencial intervendr en talleres presenciales y crculos de interaprendizaje colaborativo. Adems, interactuar en un foro, elaborar propuestas pedaggicas para aplicarlas en el aula y presentar tareas y narraciones documentadas de la prctica realizada. El participante que siga la modalidad virtual (e-learning 1 o 2) recibir una gua orientadora para desarrollar el equivalente de actividades que se plantean para los talleres presenciales y crculos de interaprendizaje colaborativo. ACTIVIDADESYTAREAS A continuacin te presentamos la secuencia formativa del mdulo en la modalidad semipresencial. 10. 10 FORODE D Foroparaplantearconsultas, du*CIAC: Crculo de interaprendizaje colaborativo SITUACIN 3 SITUACIN 2 SITUACIN PARA REFLEXIONAR 1 SITUACIN 4 TAREA CIAC LECTURA PREVIA EJECUCIN DE LA PRCTICA , EL ABORACIN DE LA NARRACIN DOCUMENTADA Y DESARROLLO DETRABAJO FINAL PRESENTACINDELASNA DOCUMENTADA YDELTRABAJOFI TALLER PRESENCIAL REFLEXIN 3 REFLEXIN 2 REFLEXIN SOBRE LASITUACIN PRESENTADA1 REFLEXIN 4 TAREA TAREA TAREA TAREA SECUENCIA FORMATIVA DEL MDULO 10 11. 11 E DUDAS as, dudas,sugerenciasydicultades. REFLEXIN TAREA TALLER PRESENCIAL TALLER PRESENCIAL TALLER PRESENCIAL CIAC CIAC* CIAC AUTOEVALUACIN DELASNARRACIONES UMENTADAS RABAJOFINAL PROFUNDIZACIN TERICAYPEDAGGICA2 PROFUNDIZACIN TERICAY PEDAGGICA1 REFLEXIN (MODALIDAD SEMIPRESENCIAL) 11 12. 12 Los productos previstos para este mdulo consisten en: 1. SESINTALLER MATEMTICO El primer producto consiste en la elaboracin, implementacin y registro de una sesin de aprendizaje en la que se desarrolle la construccin de una nocin correspondiente a lo desarrrolllado en este mdulo, ecuaciones de primer grado. Como parte de este producto, es necesario consignar trabajos de los estudiantes, fotos, registros de dilogo, entre otros. Debers desarrollar la sesin de aprendizaje en aula durante la sptima semana y narrar su implementacin. La narracin documentada debe incluir reflexin sobre las siguientes preguntas: a. Qu situacin motiv el desarrollo de las actividades propuestas durante la sesin? b. Cmo propuso las actividades a sus estudiantes, y cmo respondieron ellos?, sucedi algo que no haba previsto y, de ser as, cmo enfrent la situacin? c. Cmo fue la participacin de los estudiantes durante la sesin?, cmo los apoy en el desarrollo de sus aprendizajes? d. Qu materiales utiliz?, qu interrogantes formul para problematizar a sus estudiantes?, qu aprendieron ellos?, qu aprendi usted? 2. TRABAJO FINAL En la ltima semana de este mdulo debers presentar el trabajo final. Este consiste en redactar siete problemas matemticos que se resuelvan a travs de ecuaciones simples o ecuaciones lineales simultneas. Los problemas deben estar contextualizados a tu realidad y organizados de menor a mayor nivel de dificultad, indicando por qu se han clasificado de esta manera. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir explicacin detallada de los pasos seguidos para su solucin. PRODUCTOS PREVISTOS PARA ESTE MDULO 13. 13 Dos caminos paralelos. En uno est el mundo fsico, la naturaleza, la vida cotidiana del hombre. En el de al lado, ese lenguaje de pensamiento abstracto llamado matemticas. Pero en el trayecto ambos caminos se conectan, mejorando de tal manera y tan a menudo la vida del hombre que los ejemplos se convierten en infinitos, tan cotidianos, que no hace falta ms que ir al bao, encender la calefaccin o el ordenador para encontrar matemticas. El ejemplo de los caminos paralelos lo pona Gutam Mukharjee (45 aos), del Instituto Indio de Estadstica, durante un descanso de las sesiones del Congreso Internacional de Matemticos que se acaba de celebrar en Madrid. All, unos 3500 expertos discutieron sobre el presente y el futuro de esta ciencia y, adems, mostraron cmo las matemticas envuelven la vida cotidiana. Del termostato al buscador de Internet Cuando alguien pone el termostato de la calefaccin a una temperatura de 20 grados, la mquina encender los radiadores hasta que la casa est un poco por encima de esos 20 grados. Despus los apagar hasta que el ambiente est un poquito por debajo de lo deseado. Luego volver a encenderlos... "La estrategia cundo se enciende, cundo se apaga no es trivial. Para calcularlo se utilizan ecuaciones matemticas", explica Enrique Zuazua, profesor de la Universidad Autnoma de Madrid. Esas mismas ecuaciones se usan para mantener una velocidad constante en los lectores de CD, o para saber hasta dnde hay que llenar de agua la cisterna, aade. "La gente est acostumbrada a que las cosas funcionen solas, pero detrs hay algo que las hace funcionar", explica Zuazua. Al introducir una palabra en el buscador de internet, por ejemplo, en Google, los resultados tampoco son casuales. "Los matemticos imaginamos la Red como un montn de canicas colocadas sobre una superficie. Hay que identificar quines son los que miran y quines los que son mirados, buscar la palabra que se pide y jerarquizar los resultados. Si buscas la palabra "Kleinberg", quieres encontrar a Jon Kleinberg, el cientfico que acaba de obtener el premio Nevanlinna, no al seor Kleinberg que vive no s dnde". Todo eso se hace a travs de algoritmos que contemplan todas esas variables. LECTURA PREVIA LAS MATEMTICAS OCULTAS EN LAVIDA COTIDIANA [[ J. A. Aunin (2006) 14. 14 El casco de los ciclistas y el carro que menos consume En los ltimos aos, la forma de los cascos de los ciclistas ha cambiado: redondeados por delante, acabados en pico por detrs..., y no se trata de una cuestin esttica, sino de aerodinmica, que intenta mejorar el rendimiento de los deportistas. Mediante ecuaciones, se simula el comportamiento de un objeto slido (el casco, la bicicleta...) en interaccin con un fluido (el aire) hasta dar con el diseo ms eficiente (en este caso, el que ponga menos resistencia al aire). En los aviones, los carros o los barcos se utiliza el mismo procedimiento, y el diseo variar en funcin del objetivo: que sea ms rpido, ms estable o que gaste menos combustible. Decisiones y jerarquas reales En las empresas, ms all de las jerarquas de jefes, subjefes y tropa, las matemticas permiten conocer la jerarqua real: qu empleado tiene mejores contactos o a quin hay que dirigirse para canalizar mejor una informacin. Lo hacen los matemticos sometiendo los registros de sus correos electrnicos a la teora de Grafos. Las aplicaciones de las matemticas en sociologa son muy amplias y van ms all de la estadstica. Sirven incluso para evitar la propagacin de una epidemia o para disminuir su impacto. Cuando no se dispone de medios para inmunizar o controlar a toda la poblacin, las matemticas permiten determinar a qu personas hay que vacunar para reducir el riesgo, explica ngel Snchez, de la Universidad Carlos III de Madrid. De la clula al espacio Predecir el comportamiento de una clula (por ejemplo, una bacteria) y despus programarla para que realice una funcin distinta, la que se necesite en cada momento. La segunda parte sera imposible sin la primera, prediccin que se hace con matemticas. Eso es lo que estn haciendo en la Universidad de Valencia y la Universidad Politcnica de Valencia. Y de lo ms pequeo y cercano, a lo ms lejano, el espacio. De nuevo con simulaciones matemticas se calcula en qu momento exacto una sonda espacial ha de apagar los motores al entrar en contacto con la gravedad, y en qu momento, ya cerca del suelo, debe abrir los paracadas y volver a encender los motores para aterrizar en su destino sin hacerse papilla. 15. 15 Una escultura como una ecuacin Msica, pintura, escultura..., las artes se han apoyado siempre, de una u otra manera, en las matemticas. Un ejemplo es la obra del escultor japons Keizo Ushio, que trabaja con formas geomtricas y topolgicas como la Banda de Mobius (una cinta de una sola cara y no orientable), o el toro (una superficie cerrada producto de la unin de dos circunferencias). Una muestra de esta ltima, realizada en granito durante el Congreso de Matemticos, se puede encontrar en el futuro Centro de Fsica del campus de Cantoblanco (Madrid) del CSIC. A partir de clculos matemticos, Ushio fragmenta las formas para convertirlas en sus esculturas. "Las matemticas son un lenguaje universal, y no hace falta papel para plasmarlas", explica. De hecho, asegura que hace sus clculos "mentalmente". Oushi Zokei (2008), escultura cerca al mar, obra del artista japones Keizo Ushio, ubicada en Bondi Beach (Australia) . Fotografa de Bentley Smith, bajo licencia Creative Commons. Extraido de 16. 16 PRIMERA SITUACIN PARA LA REFLEXIN PEDAGGICA [[ IGUALDADY ECUACIONES A continuacin te presentamos una situacin de aprendizaje donde el docente tiene como propsito que sus estudiantes de primer grado de secundaria construyan la nocin de ecuaciones a partir de la idea de igualdad, representen las ecuaciones identificando los elementos que las componen, valoren su uso y aplicacin y modelen situaciones reales en trminos matemticos durante las diversas actividades que realicen, todo ello con el fin de desarrollar y fortalecer su pensamiento matemtico. El docente ingresa al aula y dialoga con los estudiantes sobre el propsito de la situacin a desarrollar. Docente: Seguramente ms de uno de ustedes ya ha escuchado sobre las ecuaciones o las ha desarrollado, quin ha usado alguna ecuacin? (Eldocenteescuchasusideasylasanotaenlapi- zarra. Les comenta que posteriormente las reto- marn para contrastar con lo realizado). Ahora vamos a conocer ms sobre las ecuaciones y cmo se las representa simblicamente. El docente recoge los saberes previos de los estudiantes con respecto a la igualdad relacionada con la matemtica para tomarla como punto de partida para la construccin del concepto de ecuacin. Docente: Saban que en nuestra vida tenemos diversas experiencias de igualdades relacionadas con la matemtica? Pensemos, cmo podemos poner dos cosas en situacin de igualdad? Mencionen algunos ejemplos Karina: Tiene que ver con cantidades? Rafael: Es como cuando compramos en la tienda no? Docente: A ver, Rafael, explcanos, por favor Rafael: Por ejemplo, con 2 soles puedo comprar diez panes, eso quiere decir que diez panes cuestan 2 soles no? a. Propsito b. Recojo de saberes previos DESARROLLO DE LA SECUENCIA DIDCTICA 17. 17 El docente presenta la siguiente imagen e inicia el dilogo de la siguiente manera: Docente: Hemos visto que las igualdades relacionadas con las matemticas tienen que ver con equivalencias de cantidades, entonces observemos esta imagen y pensemos, qu colocaramos en el segundo platillo para mantener la balanza en equilibrio? Diego: En el otro lado colocara 6 cubos. Luca: Eso es muy fcil, as no vale! Docente: Luca, crees que Diego tiene razn? Luca: Bueno, s, es cierto que si pongo 6 cubos la balanza se equili- bra. c. Construccin de la idea de igualdad matemtica Y recibe las siguientes respuestas: Docente: As es! Las igualdades matemticas estn relacionadas con cantidades, como el ejemplo que mencion Rafael o cuando decimos: Tengo 13 aos la misma edad que Gina Pensemos otros ejemplos Julin: Tambin puede ser Medio kilo de comida para gatos vale S/. 4.00. Docente: As es!, tambin podemos decir que medio kilo de comida de gatos equivale a S/. 4.00. 18. 18 Docente: Claro, 6 cubos en un lado y 6 en el otro mantienen la balanza en equilibrio, pero observen que en la primera imagen no se han coloca- do cubos para equilibrar la balanza, sino una pelota, entonces relacio- nemos. Podemos utilizar la pelota para equilibrar la segunda balanza?, cmo sera? Karina: Profe, tendra que haber ms pelotas, porque hay ms cubos Gabriel: Verdad no?, ya s, colocara 2 pelotas. Docente: Por qu? Gabriel: Porque 1 pelota pesa igual que 3 cubos negros, y si en el otro lado hay 6 cubos entonces se necesitaran 2 pelotas. Karina: Es el doble no? Docente: Explcalo, por favor. Karina: Fjense, en una balanza hay 3 cubos y del otro lado hay 6 cubos, en una hay una pelota, entonces en la otra tendra que haber 2 pelotas. Docente: Bien. Tenemos dos ideas, Gabriel nos ha mencionado la relacin del peso entre los cubos y las pelotas para equilibrar la balanza, y Karina lo ha relacionado con el doble... Ambas formas de razonamiento son vlidas. En esta oportunidad estamos relacionando el peso de dos objetos diferentes. En este caso el peso de las pelotas con el peso de los cubos. Luca: Entonces podemos decir que el peso de 3 cubos equivale al peso de una pelota y el de 6 cubos equivale a 2 pelotas. Docente: As es, entonces, de qu otra forma lo podemos representar? El docente invita a Gabriel a la pizarra. Gabriel se incorpora de su asiento, se dirige a la pizarra y escribe: Observa que El docente promueve la explicacin del proceso realizado por el estudiante El docente aprovechas las ideas de los estudiantes para ayudarlos a pasar de la representacin grfica a la representacin simblica de la igualdad. 19. 19 Docente: Qu piensan los dems? Estn de acuerdo? Gabriel: No s, puede ser Docente: Fjense, nosotros ya tenamos la representacin grfica, pero en la matemtica esto no es suficiente, se necesita pasar a un lenguaje simblico; es decir, a una representacin simblica, tal como hizo Luca, pues emple letras y nmeros. Gabriel: Entonces lo grfico se representa simblicamente con nmeros y letras. Docente: As es, ahora veamos. Qu significa que la balanza de platillos est en equilibrio? Karina: Significa que lo que hay en un platillo pesa igual a lo que hay en el otro platillo. Docente: Muy bien, Karina. Entonces estamos representando igualdades matemticas. Ahora les planteo otro ejemplo. Dibuja y escribe en la pizarra lo siguiente: Docente: Vamos a ver, Gabriel realiz otra forma de representacin, es una representacin grfica. Qu opinan? Recuerden que la idea es ayudarnos. Karina: Lo que puso nos ayuda a ver que son iguales cubos y pelotas, pero en el grfico con las balanzas sabamos que se refera al peso, no solo a los objetos. Jos: Profe, tiene razn porque si no estn las balanzas, cmo sabemos si estn en equilibrio. Docente: Entonces, de qu otra forma podramos representar el grfico de los pesos de los objetos en las balanzas? Luca: Tambin puede ser as El peso de una pelota sera una p que viene a ser igual al peso de 3 cubos c, y el otro sera el peso de 6 cubos es igual al peso de 2 pelotas Entonces queda as (va es- cribiendo y leyendo en voz alta): 1p = 3c6c = 2p 20. 20 Gina: Va un cuaderno! Docente: Por qu? Gina: Porque si dos cuadernos pesan igual que 4 papas, y 3 naranjas pesan igual a 2 papas, entonces es la mitad; la mitad de 2 cuadernos es 1 cuaderno. Jos: Pero si se trata de un cuaderno grueso, como uno de 200 hojas tamao A4, pesara ms que 3 naranjas. Luca: Bueno, s, pero podra ser un cuaderno un poco grueso y tamao chico. Karina: Tambin depender del tamao de las naranjas. Docente: Interesante Veamos, todos estamos de acuerdo con que se trata de un cuaderno? Estudiantes:(En coro) S! Docente: Aunque vemos que el cuaderno a colocar tendr que cumplir algunas condiciones como la que dice Luca: que sea un poco grueso, e incluso la naranja no puede ser muy grande. Por ahora, nos vamos a detener a relacionar las cantidades Gina, por favor, representa la relacin entre el peso de las naranjas y el cuaderno. Gina sale a la pizarra y escribe: Gina: Tres naranjas pesan igual que un cuaderno. He co- locado n para representar a las naranjas y c para los cuadernos. Docente: Bien! Entonces, qu podemos decir sobre la igualdad?, cmo se representa? Gabriel: Es cuando dos cantidades valen lo mismo y la repre- sentamos con el signo igual. Docente: Muy bien, Gabriel nos dice que una igualdad es cuando dos cantidades valen lo mismo, estn de acuerdo? Los estudiantes responden afirmativamente. Docente: Entonces podemos decir que 3n = 1c Observa que Los estudiantes con apoyo del docente arriban a la conclusin sobre lo que es una igualdad y la forma de representarla. Docente: Observemos y respondamos. Qu colocaran en el platillo vaco de la balanza nmero tres para lograr que est en equilibrio y, por lo tanto, haya una igualdad? 21. 21 Docente: Por ejemplo, tambin son igualdades matemticas: El profesor escribe la idea en la pizarra. Una igualdad en matemtica expresa la equivalencia de dos cantidades. 34 = 2612 + 5= 17 22. 22 TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA PRIMERA SITUACIN PROPUESTA Luego de leer el texto, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea. Observa el rol que desarrolla la docente durante la situacin planteada y responde: Consideras que el dilogo establecido entre docente y estudiantes permite la construccin de la nocin de igualdad? Justifica tu respuesta. Por qu crees que el docente solicita explicaciones de lo planteado o propuesto por sus estudiantes en forma permanente? 1. ANLISIS DELTEXTO Contesta la siguiente pregunta: Cules de las estrategias planteadas por el docente del ejemplo podras usar en tu aula? Menciona tres. Escribe dos problemas matemticos distintos, pertinentes a tu realidad, que se puedan modelar con la ecuacin anterior. Explica en qu medida son pertinentes a tu grupo de alumnos. Observa la siguiente ecuacin: 2. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 3. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMTICAS x 3 2 17+ = 23. 23 Indicaciones Extensin mxima del documento: 2 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: MatematicaSecundaria.Mdulo1.TareaSituacin1_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL PRIMER TALLER PRESENCIAL. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO. Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre la primera situacin propuesta de acuerdo con las indicaciones y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidadad semipresencial como los de la modalidad virtual. 24. 24 Lectura previa Las matemticas ocultas en la vida cotidiana. Situacin para la reflexin pedaggica 1: Igualdad y ecuaciones. Concretar en el aula alguna de las ideas bsicas desarrolladas. Buscar herramientas digitales que permitan desarrollar ecuaciones. Iniciar el planteamiento de la sesin de taller matemtico y del trabajo final. ACUERDOSY COMPROMISOS TEMAS ATRATAR PRIMERTALLER PRESENCIAL Los talleres presenciales tienen como finalidad acompaar a los docentes en su proceso de formacin profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexin sobre la didctica de la matemtica, desde el enfoque problmico. Ofrecen informacin actualizada y difunden prcticas pedaggicas, secuencias didcticas, actividades, videos y publicaciones especficas. Generan climas de confianza y camaradera entre los docentes. PROPSITOS El participante: Comparte sus opiniones sobre la primera situacin de aprendizaje. Aclara sus conocimientos bsicos sobre ecuaciones. Dialoga con otros docentes y propone otras estrategias para introducir el concepto de ecuaciones en el aula. Comprende los productos finales del mdulo. Los participantes que cursan lamodalidad e-learning intervienenen un foro de intercambio paraconcretar los propsitos del taller,desarrollar los temas y llegar aacuerdos y compromisos. Nota 25. 25 Piensa en la sesin de aprendizaje que aplicars y en el trabajo final. La sptima semana de este mdulo la dedicars a desarrollar una sesin de taller matemtico para resolver un problema de la realidad de tus alumnos a travs de ecuaciones de primer grado Luego, debes presentar una redaccin de lo aplicado en el aula. 1. Cuida que tu propuesta considere las condiciones pedaggicas para realizar la actividad, la organizacin de los estudiantes para trabajar en equipo y la creacin de un clima de confianza. 2. Considera en tu propuesta los siguientes aspectos: Nombre de la propuesta. Propsito con el que desarrrollas la actividad. Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar. Secuencia de las actividades que realizarn tus estudiantes. Registro del avance de tus alumnos. 3. Presenta esta propuesta en cuanto se te solicite. En la ltima semana de este mdulo debers presentar el trabajo final. Este consiste en redactar siete problemas matemticos que se resuelvan a travs de ecuaciones simples o ecuaciones lineales simultneas. Los problemas deben estar contextualizados a tu realidad y organizados de menor a mayor nivel de dificultad, indicando por qu los has clasificado de esta manera. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir explicacin detallada de los pasos seguidos para su solucin. ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIN DE LA PROPUESTA DE PRCTICA PEDAGGICA EN EL AULA A DESARROLLARSE EN LA SPTIMA SEMANA ORIENTACIONES GENERALES PARA LA ELABORACIN DEL TRABAJO FINAL A ENTREGARSE EN LA LTIMA SEMANA DEL MDULO 26. 26 [[REPRESENTACIN DE UNA ECUACIN SEGUNDA SITUACIN PARA LA REFLEXIN PEDAGGICA A partir de la nocin de igualdad matemtica, los estudiantes pasan a construir la nocin de ecuacin. Para ello el docente les propone lo siguiente: En este momento, los estudiantes trabajarn en parejas. El docente atiende a los grupos, asegurando que los integrantes se expliquen mutuamente el proceso que estn siguiendo para resolver la igualdad propuesta; adems, les pregunta por las razones que hicieron que colocarn un determinado nmero, por la relacin que hay entre las cantidades de la igualdad; propicia la confrontacin de las ideas que guiaron el proceso seguido para dar con la respuesta. Veamos lo que sucedi en un grupo de trabajo. Docente: Ahora vamos a trabajar en parejas. Escribiremos lo que hicimos para encontrar la respuesta, luego lo compartiremos en grupo. Qu nmero colocaramos en el casillero en blanco? 25 + + 11 = 43 Docente: Cmo les fue a ustedes? Karina: Tenemos dudas esto es como las igualdades? Docente: Por qu lo dices? Karina: (Se queda pensativa) Miguel: Yo pienso que en ambos lados tendra que salir 43 porque se trata de una igualdad Docente: Cmo deduces eso? Miguel: Porque 25 ms una cantidad, ms 11 es igual a 43 no? Docente: As es, ahora busquen la cantidad que falta y resuelvan esta igualdad, voy a atender a los otros grupos. 27. 27 Docente: Ahora, vamos a compartir el proceso que seguimos por parejas Tendr alguna relacin con las igualdades? Karina: S!, lo que resolvimos fue una igualdad. Docente: A ver, Karina, explcanos a todos por qu dices eso? Karina: Podemos decir que esta parte (sealando 25 + + 11) equivale a 43. Gabriel: Es cierto, nosotros tambin hicimos esa relacin, eso es una igualdad, aunque en esta oportunidad (sealando 25 + + 11) est faltando un nmero Karina: S, la cantidad que falta es 7. Luca: A m me sali 7, tambin. Docente: Vamos a compartir cmo llegamos a esa respuesta. EN PLENARIO El docente abre espacio para el intercambio de ideas con los estudiantes, para compartir y reflexionar sobre el proceso seguido para llegar a la respuesta, y, adems, hacerles notar que lo presentado es una igualdad. Observa que El docente toma como punto de partida las ideas que los estudiantes manifiestan, para preguntar y repreguntar de forma pertinente. De esta manera los ayuda en la construccin de sus aprendizajes matemticos. 28. 28 29. 29 30. 30 Docente: Correcto, se trata de ecuaciones. Entonces, qu podemos decir de las ecuaciones. Gabriel: Que se trata de igualdades. Luca: Que tienen una x Docente: A esa x se le conoce como variable En una ecuacin, casi siempre, queremos calcular el valor de la variable. Docente: Les propongo resolver lo siguiente (Les entrega una hoja igual a la que aparece en la siguiente pgina). Docente: Qu piensan de los procedimientos realizados? Alguno de ustedes realiz algo similar? Gina: S, nosotros lo hicimos como el grupo de Karina, pasando a restar las dos cantidades. Hctor: Entonces, llegaron a hallar el valor de . Docente: As es, y qu les parece si en lugar de colocamos una letra: Escribe en la pizarra: Docente: Qu les parece? Cmo calcularamos ahora el valor de x? Hctor: Igual que antes, solo ha cambiado el casillero por la letra x. Docente: Bien, y saben cmo se denomina. Gina: Creo que son ecuaciones. Miguel: S, las ecuaciones siempre tienen letras y nmeros. 25 + x + 11 = 43 31. 31 1. Qu valores tienen x e y en las siguientes balanzas que estn en equilibrio? Represntenlo como una igualdad. 2. En nuestras expresiones, x e y son las variables, cul sera el valor numrico de x y de yen este caso? 3. Cul es el nombre de las expresiones en las que hay una igualdad y variables?, por qu crees que tienen ese nombre? 7+4+3=x+8+4 Y+6+3=2+7+1 14 = x= 14 32. 32 Luego de un tiempo pertinente, pide a los estudiantes que presenten sus resultados y los expliquen. DEL LENGUAJEVERBAL AL LENGUAJE ALGEBRAICO A continuacin, el docente trabaja con los estudiantes el fortalecimiento de la traduccin del lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa. Docente: Hemos observado que en la igualdad se ha hecho presente una letra, la cual representa un valor numrico. Entonces, si digo La edad de Ana es 11, cmo creen que podramos simbolizarlo? Karina: Podramos poner A = 11. Docente: Por qu? Karina: Porque la edad de Ana sera A, y es igual a 11 Docente: Puedo reemplazar A por una x ? Hctor: Puede ser x= 11. Docente: Muy bien y a esa letra se le llama variable. Cualquiera sea la letra que utilicemos, est representando un valor, es una variable, entonces qu es una variable? Hctor: Una letra. Docente: Solamente una letra? Po- demos decir, entonces, que cualquier letra puede ser una variable? Gina: No cualquier letra. Debe tener un valor Docente: Correcto, Gina. Observa que El docente problematiza , retando a sus estudiantes con interrogantes y actividades que desafan y ponen a prueba sus competencias. 33. 33 El docente escribe en la pizarra lo siguiente: Docente: Entonces, si x representa la edad de Ana, cmo representaramos el doble de la edad de Ana? Hctor: Podra ser x+2. Docente: Hctor, si Ana tiene 11 aos, cul sera el doble de su edad? Hctor: El doble de 11 es 22. Docente: Si x representa la edad de Ana, x+2 es 22?, qu opinas? Hctor: No ah Ya s, el doble es 2 por 11, entonces ser 2 por x, o sea, 2x, profe. Docente: Felicitaciones, Hctor! El doble quiere decir multiplicar por 2 tal cantidad. Entonces el triple de la edad de Ana, cmo se representar? Karina: Con 3x, profesor. Docente: Bien, Karina. Ahora les desafo a explicar qu representan las siguientes expresiones: El docente escribe en la pizarra lo siguiente: Gina: La primera es una fraccin, creo que es x entre 2. Docente: Si sabemos que x representa la edad de Ana, cmo enunciamos la expresin x 2 ? Miguel: Ya s!, es la mitad de x, o sea, la mitad de la edad de Ana. Docente: Muy bien! Y la segunda expresin? Miguel: Humm Es una resta. Docente: Efectivamente, hay una resta, una diferencia, qu se resta? Gina: Se resta la edad de Ana. Docente: Dime Gina, cunto y a qu cantidad se le resta?, observa, analiza y responde. Gina: Se resta 3. Una variable es una letra o smbolo que toma un valor numrico. 1) 2)x 2 x 3 34. 34 Hctor: S, se resta 3 a la edad de Ana, si su edad es 11, entonces es (11 3). Docente: Bien, ahora cmo lo expresa- mos en lenguaje oral. Karina: Puede ser, la edad de Ana menos tres. Miguel: O la edad de Ana disminuida en tres. Gina: Como se resta su edad con 3, sera (11-3), entonces tambin puede ser la edad de Ana hace 3 aos. Docente: Correcto! Los tres han enunciado correctamente la expresin (x 3). Como ven, podemos traducir el lenguaje verbal a un lenguaje algebraico y viceversa. 35. 35 TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA SEGUNDA SITUACIN PROPUESTA Luego de leer el texto, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea. Observa el rol que desarrolla la docente durante la situacin planteada y responde: Cmo describiras el rol que la docente desempea? Consideras que el dilogo establecido entre docente y estudiantes permite comprender la representacin de una ecuacin? Justifica tu respuesta. Qu preguntas de las que ha hecho el docente a los alumnos les ha permitido matematizar? Seala un ejemplo y explica por qu. 1. ANLISIS DELTEXTO Formula una situacin de aprendizaje en la cual se evidencie la participacin activa de los estudiantes; considera la construccin de nociones del dominio Cambio y Relaciones. 2. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 3. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMTICAS: La frmula v= a.b.h puede usarse para hallar el volumen de una caja rectangular: Haz que b sea el sujeto de la frmula. Escribe un problema matemtico, contextualizado a la realidad de tus alumnos, que se resuelva con la ecuacin donde b es el sujeto de la frmula. Dale valores reales a las variables. Indica dos preguntas que puedes hacer a tus alumnos para construir con ellos el aprendizaje. 36. 36 EscribelasrespuestasdelaseccinReflexionandosobrelasegundasituacinpropuesta de acuerdo con las indicaciones y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 2 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: MatematicaSecundaria.Mdulo1.TareaSituacin2_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE TU TAREA AL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 1. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO. 37. 37 El crculo de interaprendizaje colaborativo (CIAC), por ser una prctica pedaggica orientada a la profesionalizacin docente, tiene por finalidad que el docente ample y enriquezca su propio desempeo de forma colectiva, mediante el anlisis de su prctica pedaggica en el aula. 2. PREPARACIN PARA EL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE 3. ACUERDOSY COMPROMISOS El participante: Desarrolla las tareas planteadas. Lleva ideas sobre la sesin que aplicars en el aula y el trabajo final. Concretar en el aula alguna de las buenas estrategias conversadas. Iniciar el planteamiento de la sesin de taller matemtico y del trabajo final. 1. PROPSITOS Comparte sus opiniones sobre la segunda situacin de aprendizaje. Aclara sus conocimientos bsicos sobre la representacin de ecuaciones. Dialoga con otros docentes sobre el desempeo del docente en el ejemplo y propone otras estrategias para presentar la representacin de ecuaciones a los alumnos. Comenta sus ideas sobre la sesin que aplicar en el aula y el trabajo final. CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 1 Piensa en la sesin que aplicars en clase; as como en tu trabajo final. 38. 38 A continuacin te presentamos orientaciones para que puedas elaborar la propuesta de prctica pedaggica que realizars en el aula. La sptima semana de este mdulo la dedicars a desarrollar una sesin de taller matemtico para resolver un problema de la realidad de tus alumnos. Luego, debes presentar una redaccin de lo aplicado en el aula. Adapta la secuencia didctica propuesta para aplicarla en tu aula de acuerdo con tu realidad y las caractersticas de tus estudiantes. 1. Cuida que tu propuesta considere las condiciones pedaggicas para realizar la actividad, la organizacin de los estudiantes para trabajar en equipo y la creacin de un clima de confianza. 2. Considera en tu propuesta los siguientes aspectos: Nombre de la propuesta. Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar. Secuencia de las actividades que realizarn tus estudiantes. Registro del avance de los alumnos. 3. Presenta esta propuesta en cuanto se te solicite. En la ltima semana de este mdulo debers presentar el trabajo final. Este consiste en redactar siete problemas matemticos que se resuelvan a travs de ecuaciones simples o ecuaciones lineales simultneas. Los problemas deben estar contextualizados a tu realidad y organizados de menor a mayor nivel de dificultad, indicando por qu los has clasificado de esta manera. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir explicacin detallada de los pasos seguidos para su solucin. ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIN DE LA PROPUESTA DE PRCTICA PEDAGGICA EN EL AULA A DESARROLLARSE EN LA SPTIMA SEMANA ORIENTACIONES GENERALES PARA LA ELABORACIN DEL TRABAJO FINAL A ENTREGARSE EN LA LTIMA SEMANA DEL MDULO 39. 39 En esta tercera situacin abordaremos la resolucin de ecuaciones simples, haciendo nfasis en los procesos que subyacen para ello, como el aislamiento de la variable y la transposicin de trminos (basado en la ley de la igualdad). De igual manera, veremos cmo las ecuaciones simples pueden representar situaciones de la vida real. A continuacin, presentamos una situacin problemtica generada en el aula de tercer grado de secundaria, seccin D, durante la clase de Matemtica. Antes de la realizacin del concurso anual de matemtica, el profesor del rea ofreci en las cuatro aulas de tercer grado de secundaria a su cargo, un premio especial para aquella aula que obtenga el mayor promedio en el concurso. Ello gener una competencia entre los estudiantes de las cuatro secciones. Una vez realizada la competencia y habiendo hecho la correccin de las pruebas del concurso, el docente ingres al aula y comunic a los estudiantes que ya tena los resultados. [[ RESOLUCIN DE ECUACIONES SIMPLES TERCERA SITUACIN PARA LA REFLEXIN PEDAGGICA PLANTEAMIENTO DE LA SITUACIN PROBLEMTICA Al ingresar al aula, les expres lo siguiente: Docente: Vamos a considerar que el promedio de esta aula, el tercero D, es x. Donde: x es la nota promedio de la seccin D. a es la nota promedio de la seccin A. b es la nota promedio de la seccin B. c es la nota promedio de la seccin C. 3 2 a x b c = + + A continuacin, les propuso como reto, aislar el valor de x, y luego indic que posteriormente dara los valores numricos de a, b y c para que puedan encontrar el promedio de su aula y reconocer el aula ganadora. Los estudiantes, entusiasmados, pidieron ms datos, indicando que esos no eran suficientes. El profesor les pregunt qu datos queran tener. Ellos manifestaron que necesitaban los promedios de cada seccin, l les record que los dara luego, pero que primero se encarguen de despejar la variable. 40. 40 TRABAJO EN EQUIPOS Para realizar la actividad indicada, el docente conform grupos de cinco estudiantes. El docente ejerce su rol de facilita- dor del aprendizaje y monitorea el trabajo de los grupos, realizando preguntas que ayuden a la realizacin de la actividad y absuelve interrogantes. Una vez en grupos, los estudiantes tuvieron 15 minutos para desarrollar la actividad. Luego de cumplido el tiempo, tres de los grupos presentaron sus procedimientos en la pizarra: DURANTE ELTRABAJO EN EQUIPO, ES IMPORTANTE QUE... El docente: El docente no: Plantee preguntas que problematicen al estudiante, lo hagan reflexionar y orienten a la solucin de la actividad. Brinde los procedimientos o las estrategias que conlleven a toda o parte de la solucin de la actividad. PRIMER GRUPO SEGUNDO GRUPO TERCER GRUPO 3 2 a x b c = + + 3 2 a x b c = + + 3 2 a x b c = + + 3 2 2 2 a x b c = + + 3 2 2 2 a b c x + = 2 3 2 2 2 + =a b c x 6a b c x =6a b c x = 2 3 + =( )a b c x = + x b c a2 3. 6a b c x + = x b c a = +( ) 6 41. 41 PROMOVIENDO LA REFLEXIN Con el fin de promover la reflexin sobre lo trabajado por sus estudiantes, el docente pide que los valores: a=1, b=2 y c=3 sean reemplazados en la expresin inicial y en las expresiones compartidas por los tres grupos en la pizarra, para as verificar sus procesos. Si todas estaban correctas, deberan dar los mismos resultados. Pasados algunos minutos, invita a otros alumnos (de preferencia que no hayan participado antes) para que compartan su comprobacin en la pizarra. ECUACIN INICIAL PLANTEADA POR EL DOCENTE Reemplazamos cada variable por el valor asignado: a = 1, b = 2, c = 3 3 1 2 3 2 ( ) = + +x Una vez hallada esta ecuacin debo tratar de despejar x, es decir, aislarla; para ello, lo primero que debo hacer es deshacerme del 2 que divide a (x + 5) Para eliminar el 2 que divide lo multiplico por 2, para obtener as 1; pero, basndonos en la ley de la igualdad debo realizar esta operacin en ambos lados de la igualdad: 3 2 5 2 2 = + x 2 entre 2 es igual a 1, y ya que 1 es el elemento neutro de la multiplicacin, ya no afecta la ecuacin. 6 = x + 5 Luego, para despejar el valor de x, debo eliminar el 5 que suma, para ello resto 5 en ambas partes. 6 5 5 5 1 = + = x x 3 2 a x b c = + + 3 5 2 = +x 42. 42 ECUACIN PLANTEADA POR EL SEGUNDO GRUPO x b c a = +( ) 6 Reemplazamos cada variable por el valor asignado. a = 1, b = 2 y c = 3 x x = + = (( ) ( )) ( ) 2 3 6 1 5 6 ECUACIN PLANTEADA POR EL PRIMER GRUPO 6a- b + c= x Reemplazamos cada variable por el valor asignado. a = 1, b = 2 y c = 3 6(1) (2) + (3) = x 6 2 +3 = x 7 = x ECUACIN PLANTEADA POR ELTERCER GRUPO 6a- b - c= x Reemplazamos cada variable por el valor asignado. a =1, b = 2 y c = 3 6 (1) (2) (3) = x 6 - 5 = x 1 = x 43. 43 TRABAJO EN PLENARIA PARA LA REFLEXIN GRUPALY JUSTIFICACIN DE PROCESOSY RESULTADOS Una vez reemplazados los valores asignados en plenaria, el docente dialoga sobre los resultados obtenidos para x que, en algunos casos, difieren: Para la ecuacin planteada por el profesor, el valor de x fue 1. Para la ecuacin planteada por el primer grupo, el valor de x fue 7. Para la ecuacin planteada por el segundo grupo, el valor de x fue - 5 6 Para la ecuacin planteada por el tercer grupo, el valor de x fue 1. Plantea las interrogantes: Si todas representan el valor de x, cmo deberan ser las cantidades?, por qu? Promueve la participacin de los estudiantes, en forma ordena- da, para que expliquen sus respuestas y escoge a dos o tres estudiantes para que argu- menten el por qu (segn su anlisis) de la diferencia en los resultados, particularmente, el valor de x= - 5 6 . Plantea interrogantes conducentes a analizar si es o no es posible obtener valores negativos como - 5 6 = 0,83333 en los promedios de evaluaciones de un aula. Invita a justificar sus opiniones. El docente va anotando las respuestas en la pizarra mientras realiza interrogantes de verificacin (por ejemplo: cul de las respuestas consideras que es la correcta?), interrogantes de causa efecto (por ejemplo: estuvieron correctas las operaciones realizadas?), interrogantes de generalizacin (por ejemplo: cun importante es aplicar correctamente una operacin?), etc. 44. 44 VERIFICACINY FORMALIZACIN DEL APRENDIZAJE Luego del anlisis en plenaria, el docente pide que regresen a sus grupos para que comprueben e identifiquen el valor correcto de la variable x. Transcurrido el tiempo asignado, invita a dos grupos voluntarios a socializar sus procedimientos. Conjun- tamente con los estudiantes llega a establecer qu pasos seguimos para resolver ecuaciones: LEY DE UNIFORMIDAD O IGUALDAD Una ecuacin no cambia si a los dos miembros se les suma o se les resta la misma cantidad. Una ecuacin no cambia si a sus dos miembros se les multiplica o se les divide por la misma cantidad. Para formalizar el procedimiento realiza la resolucin conjunta con los estudiantes. Durante el proceso de transposicin, fortalece permanentemente la aplicacin de la ley de uniformidad a partir de las interrogantes: lo pasamos?, qu significa en realidad pasarlo? (tanto para la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin). Ejemplo: 3 2 2 2 6a x b c a x b c = + + = + + El docente rememora lo aplicado por los grupos en sus procedimientos (sobre la ley de uniformidad o igualdad), propone algunos ejemplos ms y les recuerda: Debemos tener siempre presente qu queremos lograr, qu variable queremos aislar a un lado de la igualdad. Debemos observar qu nmeros o variables afectan a la variable para poder cancelarlos eliminarlos, adecuadamente. Debemos cambiar de signo a la variable si la transponemos de un lado a otro de la igualdad. 45. 45 Despus de haber aislado la variable x, el docente brinda los valores de a, b y c que correspondan al promedio de notas que obtuvieron las secciones A, B y C respectivamente. a= 8 b = 15 c= 16 Invita a los grupos a calcular el promedio del aula y descubrir qu aula fue la que obtuvo mayor promedio. Elige tres estudiantes de diversos grupos para socializar en la pizarra sus resultados. Con la participacin de los estudiantes, concluye con la siguiente frase: Por ltimo, indica que hallen las ecuaciones para los valores de a, b y c. Qu seccin tuvo el mejor promedio? Luego, obtuvo: 6 6 a b x b c b a b x c = + + = + 6 6 a b c x c c a b c x = + = Resolver una ecuacin es calcular el valor de una o ms variables. 46. 46 TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA TERCERA SITUACIN PROPUESTA Luego de leer el texto, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea. Por qu crees que el docente solicita explicaciones de lo planteado o propuesto a sus estudiantes de forma permanente? En qu medida consideras que el problema planteado por el profesor motiv a los alumnos a resolver ecuaciones? 1. ANLISIS DELTEXTO En la situacin planteada, los alumnos llegaron a establecer los siguientes pasos para resolver ecuaciones: 2. PLANTEAMIENTOS POSIBLES Revisa los fascculos de las Rutas del Aprendizaje correspondientes a Matemtica ciclos VI y VII, identifica qu estrategias se plantean para resolver problemas. 3. RELACIN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL Incluye la respuesta en la tarea. Qu opinin te merecen estos tres pasos?, cmo los mejoraras para trabajar con tus alumnos? Debemos tener siempre presente qu queremos lograr, qu variable queremos aislar a un lado de la igualdad. Debemos observar qu nmeros o variables afectan a la variable para poder cancelarlos eliminarlos, adecuadamente. Debemos cambiar de signo a la variable si la transponemos de un lado a otro de la igualdad. 47. 47 4. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMTICAS: Escribe un problema matemtico sobre la cantidad de frutas vendidas en el kiosco escolar. Luego, resulvelo indicando paso a paso qu preguntas haras a tus alumnos para aclarar posibles errores al resolverlo. Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre la tercera situacin propuesta de acuerdo con las indicaciones y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 2 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: MatematicaSecundaria.Mdulo1.TareaSituacin3_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE TU TAREA AL SEGUNDO TALLER PRESENCIAL. Participante en la modalidad virtual: COLOCA TU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO. 48. 48 SEGUNDOTALLER PRESENCIAL El participante: PROPSITOS TEMAS ATRATAR ACUERDOSY COMPROMISOS Resolucin de ecuaciones. Incorporar en el aula las estrategias de trabajo analizadas. Continuar desarrollando los trabajos finales. Los talleres presenciales tienen como finalidad acompaar a los docentes en su proceso de formacin profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexin sobre la didctica de la matemtica, desde el enfoque problmico. Ofrecen informacin actualizada y difunden prcticas pedaggicas, secuencias didcticas, actividades, videos y publicaciones especficas. Generan climas de confianza y camaradera entre los docentes. Aclara sus conocimientos sobre resolucin de ecuaciones, a travs del compartir sus respuestas con los colegas. Piensa en la sesin que aplicars en clase; as como en el trabajo final. 49. 49 ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIN DE LA PROPUESTA DE PRCTICA PEDAGGICA EN EL AULA A DESARROLLARSE EN LA SPTIMA SEMANA ORIENTACIONES GENERALES PARA LA ELABORACIN DEL TRABAJO FINAL A ENTREGARSE EN LA LTIMA SEMANA DEL MDULO La sptima semana de este mdulo la dedicars a desarrollar una sesin de taller matemtico para resolver un problema de la realidad de tus alumnos. Luego, debes presentar una redaccin de lo aplicado en el aula. Adapta la secuencia didctica propuesta para aplicarla en tu aula, de acuerdo con tu realidad y las caractersticas de tus estudiantes. 1. Cuida que tu propuesta considere las condiciones pedaggicas para realizar la actividad, la organizacin de los estudiantes para trabajar en equipo y la creacin de un clima de confianza. 2. Considera en tu propuesta los siguientes aspectos: Nombre de la propuesta. Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar. Secuencia de las actividades que realizarn tus estudiantes. Registro del avance de los alumnos. 3. Presenta esta propuesta en cuanto se te solicite. En la ltima semana de este mdulo debers presentar el trabajo final. Este consiste en redactar siete problemas matemticos que se resuelvan a travs de ecuaciones simples o ecuaciones lineales simultneas. Los problemas deben estar contextualizados a tu realidad y organizados de menor a mayor nivel de dificultad, indicando por qu los has clasificado de esta manera. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir explicacin detallada de los pasos seguidos para su solucin. 50. 50 ECUACIONES SIMULTNEAS CUARTA SITUACIN PARA LA REFLEXIN PEDAGGICA En esta cuarta situacin para la reflexin abordaremos la resolucin de ecuaciones lineales simultneas y qu tipo de situaciones de la vida real se pueden resolver con ellas. El profesor de Matemtica a cargo del aula de tercero de secundaria de la institucin educativa Hroes del Cenepa es abordado por cuatro alumnos en el recreo, ellos le piden ayuda. Los estudiantes hicieron una presentacin de teatro pro fondos su fiesta de fin de ao y vendieron en total 300 entradas. Han cobrado a los asistentes a la funcin a 5 nuevos soles a cada adulto y 4 nuevos soles a cada nio. En total han recibido S/. 1 440 nuevos soles. Los tesoreros del grado tienen toda esta informacin, aunque no saben cuntas entradas de nio y de adulto vendieron, pero necesitan tenerla para hacer el informe econmico que presentarn maana en la hora de tutora. El profesor pide permiso a los tesoreros para comunicar el problema al aula y lo comparte a los alumnos y alumnas pidiendo sugerencias para resolverlo. 51. 51 Los alumnos comienzan a adivinar posibles cifras como solucin. Alumno 1:Seguro han vendido 200 de 5 soles y 110 de 4. Mire, profe, 200 por 5 es 1000 y 110 por 4 es 440. Ya est! Alumno 2:Pero tambin podran haber vendido 280 de 5, eso es 1400 y 10 de 4, eso es 40. Tambin puede ser! Docente: Ambos tiene razn en que esas son posibles respuestas, pero hay un dato adicional en el problema afirm para luego dirigirse a una de las tesoreras. Cuntas entradas se vendieron en total? Tesorera: En total se vendieron 300 entradas porque estaban todas las sillas llenas y solo tenamos 300 sillas. Alumno 1: Entonces, mi idea no puede ser, porque yo dije 200 adultos y 110 nios, habran faltado 10 sillas. Alumna 2: Tampoco la ma, porque habran quedado 10 sillas vacas. Docente: Entonces, podemos ver que hay va- rias posibles respuestas que cumplen con una de las condiciones del problema, es decir con haber recaudado 1440 soles. Verdad? Pero, qu otra condicin debe cumplir la respuesta? Alumna 3: Adems deben sumar 300 entradas. Docente: Muy bien, este problema nos plantea dos condiciones. Si pensamos resolver este problema usando ecuaciones, cuntas incgnitas hay que encontrar?; recordemos que incgnitas son datos que no conocemos. Alumno 1: Tenemos que encontrar dos datos, la cantidad de entradas de adulto y la cantidad de nios. Docente: Muy bien, para resolver problemas usando ecuaciones debemos prestar mu- cha atencin a lo que queremos encontrar. En este caso, necesitamos la cantidad de entradas de adultos y de nios, podemos darles las letras "a" y "n" respectivamente. Quin me puede ayudar a escribir una ecuacin, es decir una igualdad usando las incgnitas? Alumno 4: Profe, yo creo que la igualdad sera: 5a + 4n = 1440 52. 52 Docente: Estn de acuerdo con lo que ha planteado su compaero? Alumna 2: S, profesor, porque eso quiere decir que 5 soles por a, es decir la cantidad de entradas de adultos, ms 4 soles por n, es decir la cantidad de entradas de nios, debe sumar en total lo que recaudamos. Docente: Muy bien, esa ecuacin es correcta, pero solo cumple con una condicin del problema. En este caso tenemos una segunda condicin. Quin puede escribir, en forma de ecuacin, la segunda condicin del problema? Alumna 3: Profesor, yo creo que la segunda ecuacin debe ser: Docente: Qu opinan los dems? Es esa una segunda ecuacin vlida para este problema? Alumno 4: S, profesor. Pero, eso significa que tenemos que encontrar dos valores en dos ecuaciones diferentes? a + n = 300 5a + 4n = 1440 a + n = 300 Docente: Muy bien, eso significa que hay dos variables que deben cumplir con dos condiciones. Estas son: Alumno 1: Yo tengo una idea, profe, podemos ver qu combinaciones de cantidad de entradas de adultos y de nios que sumen 1440 soles podemos encontrar. Y luego elegimos las que sumen 300 entradas. Docente: Es una excelente idea. Por favor, trabajen en parejas y dennos sus resultados. Luego llenaron juntos la siguiente tabla: Alguien sabe cmo podemos resolverlo? Cantidad de entradas de adulto a Valor de las entradas de adultos 5a Cantidad de entradas de nios n Valor en soles de las entradas 4n Valor total de lo vendido 5a + 4.n Suma de entradas a + n 200 1 000 110 440 1440 310 280 1400 10 40 1 440 290 256 1280 40 160 1440 296 240 1200 60 240 1 440 300 53. 53 Terminada la actividad, evaluaron la tabla y hallaron la respuesta correcta (la ltima de la tabla), la que cumpla con ambas condiciones. Entonces, el profesor pregunt a los alumnos si haba otra forma de resolverlo. Los alumnos propusieron ideas: Alumno 1: Podemos resolver solo una ecuacin. Docente: Por favor, pasa a la pizarra y hazlo para todos: Alumno 1: Pero, no puedo saber en realidad cunto vale a. Docente: Has hallado el valor de a, pero en funcin de n. Haz hecho un buen trabajo despejando una variable, pero tienes dos variables. Ahora que ya hallamos el valor de a, podemos reemplazar dicho valor en la segunda ecuacin. Es decir, escribimos la segunda ecuacin; pero, en lugar de escribir la variable a escribimos el nuevo valor que tenemos para a, as tendremos una ecuacin que contiene solo la variable n. Les pongo un ejemplo sencillo. Si yo s que a es el doble de b, esta podra ser la ecuacin que represente lo que dije? (escribe en la pizarra): Alumnos: (En coro) S, es cierto. Docente: Bien, ahora imaginemos que yo tengo otra ecuacin que relaciona a y b (escribe en la pizarra): Sera correcto que yo reemplace a por 2b? Es correcto este razonamiento?(Escribe en la pizarra) a = 2 b 3a + b= 7 5 4 1440 5 4 4 1440 4 5 a n a n n n + = + = aa n a n = = 1440 4 5 5 1440 4 5( ) a n = 1440 4 5 3 2 7 6 7 7 7 7 7 7 7 1 ( ) + = + = = = = b b b b b b b 54. 54 Alumnos: (En coro) S, es correcto. Docente: Bueno, en nuestro caso no es tan fcil, pero igual podemos reemplazar el valor de a en funcin a n. Alguien quiere hacerlo en la pizarra? Alumno 2: Yo, profe, yo lo hago. El profesor refuerza la idea de despejar la variable n buscando des- hacerse de otros valores. Tambin refuerza la idea de igualdad y, por tanto, lo que se hace en un lado de la ecuacin debemos hacerlo en el otro lado para mantener la igualdad. a n n n + = + = ( ) 300 1440 4 5 300 ( ) ( ) 1440 4 5 300 1440 4 5 5 300 5 5 + = + = n n n n (( ) ( ) 1440 4 5 5 1500 5 1440 4 5 5 1500 + = + = n n n n 1440 4 5 1500 1440 15 + = + = n n n 000 1440 1440 1500 1440+ = n n = 60 55. 55 El docente refuerza la idea de qu significa n. n= La cantidad de entradas de nios vendidas. Pide a los alumnos que hallen el valor de a, es decir la cantidad de entradas de adultos vendidas. Primero lo hacen a travs de clculo mental y luego aplicando ambas ecuaciones lineales simultneas. Comprueban que todos los resultados sean iguales 1. Clculo mental: 2. Usando la ecuacin (1) 3. Usando la ecuacin (2) Si n vale 60 y esa es la cantidad de entradas de nios vendidas y, adems, sabemos que en total se vendieron 300 entradas. Cuntas entradas de adultos se vendieron? Finalmente, el docente presenta a los alumnos otra manera de resolver ecuaciones lineales simultneas, a travs del mtodo de cancelacin. Se vendieron 240 entradas de adulto. 300 60 = 240 a n a a a + = + = + = = 300 60 300 60 60 300 60 240 5 4 1440 5 4 60 1440 5 240 1440 5 240 240 a n a a a + = + = + = + ( ) == = = = 1440 240 5 1200 5 5 1200 5 240 a a a 56. 56 Existen diversas maneras de resolver este sistema de ecuaciones. Un mtodo es el de cancelacin; este mtodo parte del principio de que si yo tengo dos igualdades, por ejemplo: a = b y c = d, si sumo o resto el lado derecho de ambas igualdades y sumo o resto el lado izquierdo de ambas igualdades, debe seguir mantenindose la igualdad. Usando esta misma idea, vamos a resolver este sistema de ecuaciones. Para ello, primero vamos a numerar ambas ecuaciones otorgndole los nmeros (1) y (2), para poder operar ordenadamente: Debemos buscar que sumando ambas ecuaciones una de las variables se elimine, es decir se vuelva 0. Por ejemplo, podemos elegir multiplicar toda la ecuacin (1) por -5 para tener en la ecuacin (1) el valor -5a y en la ecuacin (2) el valor + 5a y que se cancelen al sumarse. Resolucin de ecuaciones lineales simultneas a n a n + = + = 300 5 4 1440 a b c d a c b d = = + = + y ( ) ( ) a n a n + = + = 300 1 5 4 1440 2 Por ejemplo: Sucede lo mismo si los resto. 3 + 5 = 8 7 = 10 3 Entonces: 8 2 10 6 11 5 8 2 6 10 11 5 + = = + = ( ) 4 4= 57. 57 A esta nueva ecuacin le pondremos el n- mero (3) Ahora tenemos tres ecuaciones en simul- tneo: Luego, sumamos (3) + (2) Como tenemos un valor de n negativo multiplicamos por 1 ambos lados de la igualdad, para volverlo positivo. Inmediatamente, reemplazamos la variable n en la ecuacin (1) para hallar el valor de a: Cuando queremos eliminar una variable y esta est sumando o restando la ecuacin debemos convertirla en 0. Si la variable est multiplicando o dividiendo debemos convertirla en 1. Observa y compara a + 0 = a a + 1 = a + 1 a 1= a a 0 = 0 (a + n)(-5) = 300(-5) a (-5) + n(-5) = 300(-5) -5a -5n = -1500 a + n = 300 (1) 5a + 4n = 1440 (2) -5a -5n = -1500 (3) ( ) ( ) 5 4 1440 3 5 5 1500 2 0 60 a n a n n + = + = = = n 60 -n ( -1 ) = - 60 (-1) n = 60 a + 60 = 300 a +60 60 = 300 60 a = 240 a + n = 300 58. 58 TAREA [[ REFLEXIONAMOS SOBRE LA CUARTA SITUACIN PROPUESTA Qu opinin te merece el hecho de que el docente del ejemplo improvis una sesin de aprendizaje a raz del problema planteado por las alumnas tesoreras en el recreo? Qu criterios deberan tenerse presentes para poder improvisar una clase como en el ejemplo? 1. ANLISIS DELTEXTO Qu opinas de la forma como el docente del ejemplo condujo las preguntas a los alumnos? Menciona tres aspectos que creas que puedes usar en tu aula. 2. RELACIN CONTU PRCTICA PEDAGGICA Observa las siguientes ecuaciones lineales simultneas y la resolucin que se ha planteado. Responde: Se ha resuelto adecuadamente el problema o existen errores en la resolucin? Cmo explicaras a tus alumnos qu significa este resultado y cmo se representa este resultado en una grfica? Si sustituimos el valor de (2) en (1) 3. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMTICAS 2 6 1 1 1 2 2 x y x y + = = ( ) ( ) 2 1 1 2 6 2 6 2 6 + = + = = y y y y 59. 59 EscribelasrespuestasdelaseccinReflexionandosobrelacuartasituacinpropuesta de acuerdo con las indicaciones y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 2 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: MatematicaSecundaria.Mdulo1.TareaSituacin4_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVAUNACOPIAIMPRESADESUTAREAALSEGUNDO CIRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO. 60. 60 El participante: El crculo de interaprendizaje colaborativo (CIAC), por ser una prctica pedaggica orientada a la profesionalizacin docente, tiene por finalidad que el docente ample y enriquezca, de forma colectiva, su propio desempeo mediante el anlisis de su prctica pedaggica en el aula. 2. PREPARACIN PARA EL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE Lleva la tarea resuelta. Prepara tu sesin de taller matemtico para recibir retroalimentacin de tus colegas antes de su aplicacin en el aula. Lleva el avance de tu trabajo final. 1. PROPSITOS Comparte sus opiniones sobre el desempeo docente en la cuarta situacin de aprendizaje. Comparte sus dudas sobre diversas formas de resolver ecuaciones lineales simultneas y cmo desarrollarlas con los alumnos. Comparte sus resultados sobre el punto tres de la tarea: Practicando nuestras habilidades matemticas y los compara con los resultados de sus colegas. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Incorporar en su trabajo diario algunas de las estrategias rescatadas de esta situacin de aprendizaje, as como las compartidas por sus colegas. Incorporar en el diseo de la sesin las sugerencias recibidas por sus colegas, as como en el trabajo final. CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 2 Los participantes que se encuentrenen la modalidad e-learningintervienen en un foro deintercambio para concretarlos propsitos del crculo deinteraprendizaje y los acuerdos ycompromisos. Nota 61. 61 [[ RESOLUCIN DE ECUACIONES SIMPLESY DE ECUACIONES LINEALES SIMULTNEASTERICAY PEDAGGICA 1 PROFUNDIZACIN Para resolver ecuaciones debemos despejar la incgnita, es decir aislarla a un lado de la igualdad para hallar su valor. Para aislar una variable debemos ir eliminando los otros trminos, para ello debemos considerar dos aspectos: Primero: debemos considerar el orden en el que deben realizarse las operaciones. 1. RESOLUCIN DE ECUACIONES SIMPLES ORDEN DE RESOLUCIN EN OPERACIONES (PEMDAS) Parntesis (P) Exponentes y Radicales (E) Multiplicacin y Divisin (MD) Adicin y Sustraccin (AS) Segundo: debemos considerar qu elementos afectan a la variable. Por ejemplo: En este caso, lo que tiene lgica es que primero eliminemos o nos deshagamos del 7 que divide, es decir que no est en el mismo lado de la igualdad en el que est la variable; eso lo haremos multiplicando por 7 a ambos lados de la igualdad. x + = 3 7 2 x + = 3 7 7 2 7 62. 62 Luego, para despejar x, debemos tratar de que el +3 se vuelva 0, eso lo haremos restando 3 a ambos lados de la igualdad. En el caso del siguiente ejemplo: Lo primero que debemos hacer es eliminar los parntesis para poder simplificar expresiones y luego aislar las variables a un lado de la igualdad. En seguida, debemos deshacernos del 2, eso lo haremos sumando 2 a cada lado de la igualdad. Finalmente, debemos poner las variables en un mismo lado de la igualdad, para ello restare- mos 3y de ambos lados. x x + = = 3 3 14 3 11 ( )4 6 8 3 4 2 3 y y y y + = = 4 3 3 2 3 2 y y y y y = + = 4 2 2 3 2 4 3 2 y y y y + = + = + ( )4 6 8 3y y+ = Para resolver una ecuacin debemos considerar dos leyes. Una ecuacin no cambia si a los dos miembros se les suma o se les resta la misma cantidad. Una ecuacin no cambia si a sus dos miembros se les multiplica o se les divide por la misma cantidad. Si tenemos una igualdad y sumamos lo mismo a ambas partes, la igualdad se mantiene. Lo mismo sucede si restamos, multiplicamos o dividimos por el mismo valor a ambos lados de la igualdad. Normalmente sabemos que cuando una expresin pasa al otro lado de la igualdad debe cambiar de signo. Es importante entender que dicha expresin se basa en La Ley de la Uniformidad. El valor o variable no pasa al otro lado con el signo cambiado, sino que para eliminar dicha expresin se debe realizar la operacin inversa en ambos lados de la igualdad, de esa 2. LEYESY PROPIEDADES QUE PERMITEN RESOLVER ECUACIONES Ley de uniformidad o igualdad 63. 63 a a = = 1 1 9 9 5 8 2x = 5 8 8 2 8 5 10 x x + = + = El elemento neutro de una operacin es un nmero que operado con cualquier otro nmero no lo altera. Elemento neutro de la suma y resta El 0 es el elemento neutro de la suma y resta porque todo nmero sumado y restado con l da el mismo nmero. Elemento neutro de la multiplicacin y divisin El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin y divisin, porque todo nmero multiplicado o dividido por 1 da como resultado el mismo nmero. Basados en esa propiedad, cuando queremos eliminar una variable o expresin y esta est sumando o restando en la ecuacin, debemos buscar convertirla en 0. Si la variable est multiplicando o dividiendo, debemos convertirla en 1. Ejemplo 1: Nos conviene deshacernos del 8 que est al lado izquierdo de la ecuacin. Observamos que ese valor est restando al 5x y debemos tratar de convertirlo en 0, ya que el elemento neutro de la adicin y de la sustraccin es el 0. Propiedad de los elementos neutros forma se elimina la expresin que no se quera y al otro lado se queda la operacin inversa. Ejemplo: 7 8 6 7 8 8 6 8 7 8 8 6 8 x x x + = + = + = 7 2 7 7 2 7 x x x = = = 22 7 a + 0 = a 3 + 0 = 3 64. 64 Inmediatamente, para no tener el 5 en ese lado de la igualdad, debemos dividir ambos lados entre 5. Si queremos eliminar el 3 y observamos que ese valor est dividiendo al numerador (12 y), debemos tratar de convertirlo en 1, ya que el elemento neutro de la multiplicacin y de la divisin es el 1. En el ejemplo, para despejar y, debemos multiplicar por 3 a ambos lados de la igualdad. Luego, debo eliminar el 12, para ello resto 12 de cada lado de la igualdad. Finalmente para hallar el valor positivo de la variable multiplico ambos lados de la igualdad por -1. Ejemplo 2: 5 5 10 5 2 x x = = 12 3 2 = y 12 3 3 2 3 12 6 = = y y ( ) ( ) = = y y 1 6 1 6 Existen diversas maneras de resolver este sistema de ecuaciones. Un mtodo es el de cancelacin, el cual parte del principio de que si yo tengo una igualdad, puedo sumar lo mismo a ambos lados y esta igualdad se va a mantener: Si a = b, entonces a + c = b + c De esta misma manera, si m = n y p = q y sumo el lado derecho de ambas igualdades y si sumo el lado izquierdo de ambas igualdades, debe seguir mantenindose la igualdad. Lo mismo sucede si resto. m = n y p = q m p = n q 3. ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS Resolucin de ecuaciones lineales simultneas 12 12 6 12 6 = = y y 65. 65 Usando esta misma idea, vamos a buscar resolver este sistema de ecuaciones. Para ello, primero vamos a numerar ambas ecuaciones, otorgndole los nmeros (1) y (2), para poder operar ordenadamente. Primero numeramos las ecuaciones: Vamos a multiplicar la ecuacin (1) por 2, para que tengan el mismo coeficiente de x en ambas ecuaciones: 2x. Va- mos a numerar como (3) esta nueva ecuacin. x + 2y = 8 (1) 2x + y= 7 (2) Por ejemplo: Sucede lo mismo si los sumo. 8 + 2 = 10 6 = 11 5 Entonces: 8 2 10 6 11 5 8 2 6 10 11 5 + = = + = ( ) 4 4= 2x + 4y = 16 (3) La ecuacin (1) multiplicada por 2. Ahora a la ecuacin (3) le restamos la ecuacin (2). 2x + 4y = 16 (3) 2x + y = 7 (2) 3y = 9 (3) (2) Resolviendo 3y = 9, es decir y = 3 Este valor se sustituye en la ecuacin (1) x + 2 (3) = 8 x + 6 = 8 x= 2 Este par de ecuaciones nos da una relacin entre las variables cuando x vale 2 e y vale 3. Otro mtodo es el de sustitucin. En el ejemplo: x + 2y = 5 3 x + y = 5 Primero, hallamos el valor de x en relacin a y usando una de las ecuaciones. x + 2y = 5 Para hallar el valor de x debemos dejarla sola a un lado de la igualdad. Por lo cual, utilizando las leyes y propiedades anteriores, reconocemos que debemos eliminar 2y y volverla 0. Para ello debemos restar 2y de ambos lados de la igualdad. x + 2y 2y = 5 2y x = 5 2y 66. 66 Luego de haber hallado el valor de x en funcin de y, reemplazamos dicho valor en la segunda ecuacin: 3x + y = 5 3 (5 2y) + y = 5 15 6y + y = 5 15 5y = 5 Despus, usando las leyes y propiedades anteriores, aislamos la expresin que tiene la variable y. 15 5y = 5 15 5y 15 = 5 15 -5y = -10 Enseguida debemos dejar sola a la variable y lo haremos dividiendo entre -5 a ambos lados de la igualdad: = = = 5 10 5 5 10 5 2 y y y Llegados a este punto, reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones y la resolvemos como una ecuacin simple para hallar el valor de x: Si reemplazamos y en la primera ecuacin, sera: ( ) x y x x x + = + = + = + = 2 5 2 2 5 4 5 4 4 5 4 x = 1 67. 67 Si reemplazamos y en la segunda ecuacin, sera: 3 5 3 2 5 3 2 2 5 2 3 3 3 3 3 3 x y x x x x + = + = + = = = x = 1 Una ecuacin lineal simultnea representa dos valores relacionados entre s. Si conocemos la relacin entre las dos variables, podemos construir una grfica. Para dibujar la grfica ser necesario construir una tabla de valores, la cual nos da pares ordenados para cada ecuacin. Tomamos por lo menos dos pares ordenados y unimos dichos puntos con una recta; hacemos esto mismo con los pares ordenados de la segunda ecuacin. Ubicamos ambas rectas en un plano cartesiano. La solucin a ambas ecuaciones se da en la interseccin de ambas rectas. Queremos graficar el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y = 27 3x - 3y = 9 Para la ecuacin: 2x + y = 27 Cuando x es 5: 2x + y = 27 2 5 + y = 27 10 + y = 27 10 + y 10 = 27 10 y = 17 Por tanto, nuestra tabla de valores para esta ecuacin sera la siguiente: Graficando ecuaciones lineales simultneas Para la ecuacin: 3x 3y = 9 Cuando x es 5: Con lo cual comprobamos nuestro resultado. 3 3 9 3 5 3 9 15 3 9 15 x y y y = = = 33 15 9 15 3 9 15 3 y y = = yy y y = = = 6 3 1 6 1 3 6 ( ) ( ) 3 3 6 3 3 3 6 3 y y = = y = 2 3 3 9 3 5 3 9 15 3 9 15 x y y y = = = 33 15 9 15 3 9 15 3 y y = = yy y y = = = 6 3 1 6 1 3 6 ( ) ( ) 3 3 6 3 3 3 6 3 y y = = y = 2 Cuando x es y es 5 17 10 7 68. 68 Si resolvemos nuevamente la ecuacin 3x - 3y = 9, asumiendo que x es 10, entonces el valor de y ser 7. Por tanto, nuestra tabla de valores para la segunda ecuacin sera la siguiente: Cuando x es y es 5 2 10 7 GRFICO DE LA ECUACIN (10,7) (5,2) 0 3x -3 y = 9 2x + y =27 x y (5,17) 69. 69 INFORMACIN COMPLEMENTARIA La "Ley del Producto" que presentamos a continuacin nos permitir exponer conceptos ms complejos de lgebra. LEY DEL PRODUCTO El arte de resolver ecuaciones est enraizado en una propiedad fundamental de los nmeros reales. Propiedad del Producto La nica manera de que un producto p. q. r... z pueda ser igual a 0 es si uno de los factores p, q, r, z es igual a 0. Ejemplos: (a) Si el nmero desconocido x satisface la ecuacin entonces De manera similar, (b) Si el nmero desconocido x satisface la ecuacin (x 1) (x+ 2) = 0, (x 1) = 0, x = 1, (x + 2) = 0, x = -2. (3x + 2) (7 4x) (x 2) = 0, Entonces uno de los factores debe ser igual a cero; por lo tanto 3x + 2 = 0, o 7 4x = 0, o x 2 = 0. Por supuesto, si en la ecuacin original la incgnita x representaba el nmero de hijos en una familia, o el ancho (en cm) de un rectngulo, entonces las soluciones negativas seran descartadas. x = 2 3 x = 7 4 x = 2 70. 70 TAREA [[REFLEXIONANDO SOBRE LA PROFUNDIZACINTERICA Luego de leer el texto, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea. Qu errores comunes cometen tus alumnos al resolver ecuaciones? Menciona cuatro. Disea dos afiches que puedas colocar en tu aula para facilitar la comprensin de tus alumnos y evitar que cometan errores comunes. 1. RELACIN CONTU PRCTICA PEDAGGICA: Revisa los Mapas de Progreso e identifica cules de los conceptos presentados en esta profundizacin terica deben desarrollarse y seala a qu aos/ciclos de secundaria deben aplicarse. Incluye la respuesta en la tarea. 2. RELACIN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL Disea un problema matemtico contextualizado a tu realidad, que se resuelva con ecuaciones simples, y disea un problema matemtico contextualizado a tu realidad, que se resuelva con ecuaciones lineales simultneas. Indica qu preguntas haras a tus alumnos para acompaarlos en la resolucin adecuada de los problemas planteados anteriormente. Indica cuatro preguntas distintas en cada uno de los dos ejemplos. 3. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMTICAS: 1 71. 71 Indicaciones Extensin mxima del documento: 2 pginas, adicional a los dos afiches Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: MatematicaSecundaria.Mdulo1.TareaProfundizacin1_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVAUNACOPIAIMPRESADESUTAREAALSEGUNDO CIRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO. Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre la Profundizacin terica 1 de acuerdo con las indicaciones y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. 72. 72 Aclarar sus conocimientos sobre resolucin de ecuaciones simples y de ecuaciones lineales simultneas, a travs de compartir sus respuestas con los colegas. PROPSITO TEMAS ATRATAR ACUERDOSY COMPROMISOS Profundizacin terica sobre resolucin de ecuaciones. Incorporar en el aula las estrategias de trabajo analizadas. Colocar en las aulas los afiches desarrollados. Continuar desarrollando los trabajos finales. TERCERTALLER PRESENCIAL Los talleres presenciales tienen como finalidad acompaar a los docentes en su proceso de formacin profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexin sobre la didctica de la matemtica, desde el enfoque problmico. Ofrecen informacin actualizada y difunden prcticas pedaggicas, secuencias didcticas, actividades, videos y publicaciones especficas. Generan climas de confianza y camaradera entre los docentes Piensa en la sesin que aplicars en clase; as como en el trabajo final. 73. 73 A continuacin te ofrecemos las pautas detalladas para la elaboracin de la propuesta de prctica pedaggica que realizars en el aula. ORIENTACIONES DETALLADAS PARA LA ELABORACIN DE LA PRCTICA PEDAGGICA ORIENTACIONESGENERALES PARA LA ELABORACIN DELTRABAJO FINALA ENTREGARSE EN LALTIMASEMANA DEL MDULO La sptima semana de este mdulo la dedicars a desarrollar una sesin de taller matemtico para resolver un problema de la realidad de tus alumnos, a travs de ecuaciones lineales de primer grado. Luego, debes presentar una narracin de lo aplicado en el aula. 1.Revisa las cuatro situaciones para la reflexin pedaggica que hasta ahora hemos desarrollado. 2.Elige qu desarrollars con tus alumnos. Basndote en el anlisis que has hecho a travs de los Talleres y Crculos sobre las mejores estrategias y prcticas docentes, elabora una sesin de taller matemtico para resolver un problema, tomando en cuenta la realidad de tus alumnos. Recuerda que una sesin de taller matemtico es: Escenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en un periodo de sesiones de aprendizaje. El estudiante despliega diversos recursos (tcnicos, procedimentales y cognitivos) con la intencin de resolver situaciones problemticas usando diversas estrategias de solucin (Minedu 2013b: 21). Debe apreciarse la intervencin del docente y las acciones que realizarn los estudiantes. Trata de que la propuesta promueva un clima de trabajo en equipo, de cooperacin y confianza. 3. Considera en tu propuesta los siguientes aspectos: Nombre de la propuesta. Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar. Propsito con el que desarrollarn la actividad. Secuencia de las actividades que realizarn tus estudiantes. Registro del avance de tus estudiantes. 4. Presenta esta propuesta en cuanto se te solicite. En la ltima semana de este mdulo debers presentar el trabajo final. Este consiste en redactar siete problemas matemticos que se resuelvan a travs de ecuaciones simples o ecuaciones lineales simultneas. Los problemas deben estar contextualizados a tu realidad y organizados en grupos de menor a mayor nivel de dificultad, indicando por qu se han clasificado de esta manera. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir una explicacin detallada de los pasos que se siguieron para su solucin. 74. 74 [[ECUACIONESY PROBLEMAS MATEMTICOSTERICA y PEDAGGICA 2 PROFUNDIZACIN El Ministerio de Educacin, en las Rutas del Aprendizaje, indica que asume la resolucin de problemas como prctica pedaggica de la escuela. Este documento plantea que la resolucin de situaciones problemticas es la actividad central de las matemticas y que es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad matemtica con la realidad cotidiana (Minedu 2013b:10). En este documento se plantea que: 1. La resolucin de problemas debe impregnar ntegramente el currculo de la matemtica. 2. La matemtica se ensea y se aprende resolviendo problemas. 3. Las situaciones problemticas deben plantearse en contextos de la vida real o en contextos cientficos. 4. Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes. 5. La resolucin de problemas sirve de contexto para desarrollar capacidades matemticas (Minedu 2013b: 11). A continuacin, encontrars dos textos que explican la importancia del contexto en la en- seanza de las matemticas. EL CONTEXTO DEL APRENDIZAJE Seentiendequeunaprendizajeesfuncionalcuandolapersonaqueloharealizadopuedeutilizarlo de una manera efectiva en una situacin concreta para resolver un problema determinado; esta utilizacinsehaceextensivaalaposibilidaddeutilizaraquelloquesehaaprendidoparaabordar nuevas situaciones, para efectuar nuevos aprendizajes. Un aprendizaje es funcional cuando la persona que lo ha realizado puede utilizarlo, pero para ello tiene que poder actualizarlo, o sea recuperarlo de donde est almacenado. Este tipo de memoria, la memoria comprensiva, tiene poco que ver con la memoria mecnica, que permite la reproduccin exacta del contenido memorizado. Si el aprendizaje ha sido signicativo, el nuevo contenido se ha integrado en la estructura previa produciendo modicaciones en esta estructura, esto hace que sea difcil que estecontenidopuedaserreproducidotalcual,pero,porlamismarazn,laposibilidaddeutilizar este conocimiento su funcionalidad es muy elevada, cosa que no sucede en el caso de la memoria mecnica. (Font 2007: 430) El punto de vista que considera la comprensin en trminos de competencia resalta que hablar de competencia es hablar de uso competente en situaciones reales, con lo cual pone al contexto en primerplanodelareflexin. () La importancia que tiene contextualizar el conocimiento matemtico es hoy en da ampliamente asumida, ya que considera que el contexto puede ser la clave para relacionar lo que los psiclogos han aprendido sobre el modo en que los humanos razonan, sienten, recuerdan, imaginan y deciden con lo que, por su parte, han aprendido los antroplogos sobre la manera en que el significado es construido,aprendido,activadoytransformado.(Font2007:431) 75. 75 [ Una parte de la prueba PISA evala las habilidades matemticas de los alumnos, buscando saber si pueden resolver problemas reales. Una de las preguntas planteadas en el 2012 fue sobre el Monte Fuji, en Japn. Presentamos informacin relacionada al tipo de preguntas de las pruebas PISA, as como algunas de las preguntas de la prueba del 2012. ECUACIONES EN CONTEXTO En ellos queda en evidencia la importancia de contextualizar las matemticas para que se pueda dar un aprendizaje significativo. [El problema llamado] SUBIDA AL MONTE FUJI se utiliz en el estudio principal de PISA 2012 (). Las preguntas 1 y 3 pertenecen a la categora de contenido cantidad, pues en ellas se pide a los alumnos que realicen clculos utilizando fechas y medidas y que hagan conversiones. El concepto clave de la pregunta 2 es la velocidad y, por tanto, se encuentra en la categora de contenido cambio y relaciones. Todas ellas pertenecen a la categora de contexto social, pues los datos hacen referencia al acceso del pblico al Monte Fuji y a sus recorridos. Las dos primeras preguntas son ejemplos de la categora de proceso formulacin matemtica de las situaciones, ya que la principal exigencia de estas preguntas implica la elaboracin de un modelo matemtico que pueda dar respuesta a las preguntas planteadas. La pregunta 3 se ubica en la categora empleo de datos, conceptos, procedimientos y razonamientos matemticos, pues en este caso la principal exigencia es calcular un promedio, asegurndose de que la conversin de las unidades se realiza correctamente, de ah que se trabaje fundamentalmente en los detalles del problema ms que en la asociacin de los mismos con los elementos contextuales. En el estudio principal de PISA 2012, las tres preguntas diferan en dificultad. La pregunta 1 era de dificultad media y las preguntas 2 y 3 eran muy difciles. (Ministerio de Educacin, Cultura y Deporte de Espaa 2013: 39) En un extremo tendramos problemas contextualizados que se han diseado para activar procesos complejos de modelizacin, mientras que en el otro extremo tendramos problemas relativamente sencillos cuyo objetivo es la aplicacin de los conceptos matemticos previamente estudiados. ()Este criterio de clasicacin es el que se utiliza en el estudio PISA cuando consideran tres niveles de complejidad a la hora de considerar los tems con los que evaluar las competencias Primer nivel: Reproduccin y procedimientos rutinarios. Segundo nivel: Conexiones e integracin para resolver problemas estndar. Tercer nivel: Razonamiento, argumentacin, intuicin y generalizacin para resolver problemas originales. (Font 2007: 438) 76. 76 SUBIDA AL MONTE FUJI El Monte Fuji es un famoso volcn inactivo del Japn. PREGUNTA 1 La subida al Monte Fuji solo est abierta al pblico desde el 1 de julio hasta el 27 de agosto de cada ao. Alrededor de unas 200 000 personas suben al Monte Fuji durante este periodo de tiempo. Como media, alrededor de cuntas personas suben al Monte Fuji cada da? A. 340 B. 710 C. 3400 D. 7 100 E. 7 400 PREGUNTA 2 La ruta del Gotemba, que lleva a la cima del Monte Fuji, tiene unos 9 kilmetros (km) de longitud. Los senderistas tienen que estar de vuelta de la caminata de 18 km a las 20:00 h. Toshi calcula que puede ascender la montaa caminado a 1,5 kilmetros por hora, como media, y descenderla al doble de velocidad. Estas velocidades tienen en cuenta las paradas para comer y descansar. Segn las velocidades estimadas por Toshi, a qu hora puede, como muy tarde, iniciar su caminata de modo que pueda estar de vuelta a las 20:00 h? ........................................................................ PREGUNTA 3 Toshi llev un podmetro para contar los pasos durante su recorrido por la ruta del Gotemba. Segn el podmetro, dio 22 500 pasos en la ascensin. Calcula la longitud media del paso de Toshi en su ascensin de 9 km por la ruta del Gotemba. Expresa tu respuesta en centmetros (cm). Respuesta . cm 77. 77 TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA SEGUNDA PROFUNDIZACIN TERICA Luego de leer los textos, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea. Basado en las lecturas, define en tus propias palabras el trmino contextualizar el conocimiento matemtico Matematizar: Implica tener las habilidades para poder interpretar y transformar la realidad o parte de ella con la ayuda de la matemtica; asimismo, tener la disposicin de razonar matemticamente para enfrentar una situacin problemtica y resolverla. En qu sentido los problemas matemticos nos permiten matematizar? Qu condiciones deberan tener estos problemas para que nos permitan desarrollar esta capa- cidad? 1. ANLISIS DE LOSTEXTOS Menciona cinco caractersticas de tu grupo de alumnos que debas tener presente al contextualizar los aprendizajes matemticos en tu aula. 2. RELACIN CONTU PRCTICA PEDAGGICA Adapta el problema Subida al Monte Fuji a la realidad de tus alumnos. 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 78. 78 Indicaciones Extensin mxima del documento: 2 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: MatematicaSecundaria.Mdulo1.TareaProfundizacin2_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE TU TAREA AL CRCULO DE APRENDIZAJE COLABORATIVO 3. Participante en la modalidad virtual: COLOCA TU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO. Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre la Profundizacin terica 2 de acuerdo con las indicaciones y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. 79. 79 Aclarar sus conocimientos sobre ecuaciones y problemas matemticos, a travs de compartir sus respuestas con los colegas. PROPSITO TEMAS ATRATAR ACUERDOSY COMPROMISOS Profundizacin terica sobre ecuaciones y problemas matemticos. Incorporar en el aula las estrategias de trabajo analizadas. Continuar desarrollando los trabajos finales. CUARTO TALLER PRESENCIAL Los talleres presenciales tienen como finalidad acompaar a los docentes en su proceso de formacin profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexin sobre la didctica de la matemtica, desde el enfoque problmico. Ofrecen informacin actualizada y difunden prcticas pedaggicas, secuencias didcticas, actividades, videos y publicaciones especficas. Generan climas de confianza y camaradera entre los docentes Piensa en la sesin que aplicars en clase; as como en el trabajo final. 80. 80 Implementa en el aula la propuesta pedaggica (taller matemtico) teniendo en cuenta las sugerencias de mejora brindadas por tus colegas y tu formador. Esta prctica la realizan los participantes de la modalidad semipresencial y virtual. EJECUCIN DE LA PRCTICA PEDAGGICA EN ELAULAY ELABORACIN DE LA NARRACIN DOCUMENTADA ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIN DE LA NARRACIN DOCUMENTADA DE LA PRCTICA PEDAGGICA Piensa y narra la prctica que realizaste. Toma en cuenta el asunto que quieres presentar, los cuestionamientos y las interpretaciones que presentars. Tambin puedes apoyarte en las siguientes preguntas (no se trata de responderlas, sino de narrar lo sucedido): Cmo propusiste la actividad a los estudiantes y cmo respondieron? Sucedi algo que no habas previsto? De haber sido as, cmo enfrentaste la situacin? Cmo fue la participacin de los estudiantes en la actividad? Cmo los apoyaste en el desarrollo de sus aprendizajes? Qu aprendieron los estudiantes? Qu aprendiste t? Cmo registraste el aprendizaje de los estudiantes? Recogeevidenciasdelaexperiencia(fotos,trabajosdelosestudiantes,registrodelasinteraccionesdocente-estudianteyestudiante-estudiante,entreotras). Imp

Didactica de la matematica - Modulo II

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