Nociones de Matematica UBA XXI Modulo 1

7/27/2019 Nociones de Matematica UBA XXI Modulo 1

1/82

NDICE

NDICE ACTIVIDADES

NDICE RESPUESTAS

NDICE ANEXO TERICO

BIBLIOGRAFA

SARA ELSA ELIZONDOISABEL GIUGGIOLINI

GUSTAVO ZORZOLI

2005

Derechos reservados. Ley 11723.

Anterior ndice

Anterior ndice Siguiente

Siguiente

1


2/82

NDICE ACTIVIDADES

Contenido

Nmeros Reales

Actividad 1.4

Intervalos de Nmeros Reales4

Actividad 2.4

Nmeros Reales: Operaciones y propiedades4 Actividad 3.4

Nmeros Reales: Operaciones y propiedades4

Actividad 4.4


Anterior ndice Siguiente 2


3/82

NDICE RESPUESTAS

Contenido

Nmeros Reales

Actividad 1.

1.a

1.b 1.c

1.d

1.e

Para ingenirselas

Intervalos de Nmeros Reales

Actividad 2.

2.a

2.b

2.c

2.d

Para ingenirselas

Nmeros Reales: Operaciones y propiedades

Actividad 3.

3.i

3.ii.

3.iii




4/82

3.iv

3.v

3.vi

3.vii

3.viii

3.ix

3.x

3.xi

3.xii

Para ingenirselas

Para profundizar 1

Para profundizar 2

Nmeros Reales: Operaciones y propiedades

Actividad 4.

4.a

4.b

4.c

4.d

4.e

Para profundizar

SiguientendiceAnterior


4


5/82

NDICE ANEXO TERICO

Contenido

Nmeros Reales

Conjuntos Numricos

Operaciones en los Reales.

Adicin y multiplicacin. Propiedades

Orden en IR.

Definicin y propiedades

Intervalos Reales

Valor absoluto de un nmero real. Propiedades

Nmeros reales y la recta real

Otras operaciones en IR

Potenciacin y radicacin en IR

Exponente fraccionario

Para Recordar De los nmeros enteros

Mltiplos y divisores

Nmeros pares e impares

Nmeros primos y compuestos

Divisor comn mayor y mltiplo comn menor

De los Nmeros Racionales

Fracciones irreducibles

Comparacin de fracciones

Operaciones con racionales

Expresin fraccionaria y decimal




6/82

BIBLIOGRAFA

Mdulo 1

Agrasar y otros; Matemtica: Anexo Terico 8. Tercer ciclo EGB.

Editorial Longseller, Buenos Aires, 2004.

Agrasar y otros; Matemtica: Anexo Terico 9.Tercer ciclo EGB.

Editorial Longseller, Buenos Aires, 2004.

Guzmn, M.; Clera, J.; Matemticas I. COU.

Editorial Anaya, Madrid, 1988.

Guzmn, M.; Clera, J.; Matemticas II. COU.


Guzmn, M.; Clera, J.; Salvador, A.; Matemticas Bachillerato 1.


Guzmn, M.; Clera, J.;Salvador, A.; Matemticas Bachillerato 2.


Guzmn, M.; Clera, J.; Salvador, A.; Matemticas Bachillerato 3.





7/82

Nmeros Reales

Este mdulo tiene como fin que Ud. logrerepresentar nmeros reales, operar con ellos yutilizarlos en la resolucin de problemas.

Le proponemos una secuencia de actividadesque contemplan estos aspectos.

Si tiene alguna dificultad puede, consultar el

anexo terico, la bibliografa propuesta ocomunicarse con su tutor.




8/82

ACTIVIDAD 1

b.Es cierto que: toda fraccin puede escribirse

en forma decimal? Justifique. toda expresin decimal puede

escribirse como fraccin?Justifique.

Encuentre ejemplos que

muestren sus afirmaciones

a.A qu conjunto numrico

pertenecen los nmeros escritos ala derecha? Intente, si es posible,escribirlos de otra manera.

i) 3 ; ii) 1 ;

iii) 5,0 ; iv) 0 ;

v) 5 ; vi)4

1;

vii) 7,2

)

; viii) ;

ix)8

9 ; x)

3

2




9/82

c.En las igualdades los nmeros my n son reales: qu puedeafirmar, con respecto a m y n?Justifique.

i) n - m = 0 ii) m . n > 0

iii) m + n = m iv) m. n = 0

v) 1n

m= vi) 2 m = 0

vii) 0n

m= viii) m + 2 = n - 2

ix) m. n = 1 x) n. 2 = m. 2

xi) m .2 = m xii) 5m =

d.Encuentre tres cifras decimales delos siguientes nmeros.

i) 3 32

ii) 17

iii)2

31+




10/82

Para ingenirselas

e.Decida si las afirmaciones sonverdaderas o falsas. Justifique.

i) 1


11/82

Intervalos de Nmeros Reales

En la siguiente actividad se le proponetrabajar con subconjuntos de nmeros realesy valor absoluto.

Si tiene alguna dificultad puede, consultar elanexo terico, la bibliografa propuesta ocomunicarse con su tutor.




12/82

ACTIVIDAD 2

a.

Represente sobre la recta numrica:2

51;52;5;21;2

++

Reflexione sobre los procedimientos que us.

0 1

IR

-1

0 1 2 3 4-1-2-3-4

IRi.

ii. IR

0 1 2 3 4-1-2-3-4

b.Escriba como intervalo o unin de intervalos de nmeros reales los conjuntos marcados enla recta:




13/82

iii. IR

0 1 2 3 4-1-2-3-4

IR

0 1 4-3-4 62iv

v. IR

0 1 2 3 4-1-2-3-4

c.Represente en la recta numrica IRlos intervalos:

i. ( ] [ )+ ;23;

ii. ) )1;32;5

iii. ( )5;0IR

iv. [ ];04-2-;5

12




14/82

Para ingenirselas

d.Encuentre, si es posible los valores dea que verifican:

i.4

5a = ii. 02a =+

iii. 7a = iv. 2a =

v.4

3a vi. 0a

vii. 5a viii. 0a




15/82

Nmeros Reales:Operaciones y propiedades

Le proponemos revisar sus conocimientos conrespecto a las operaciones con los nmerosreales mediante la resolucin de las siguientesactividades.

Si tiene alguna dificultad puede, comosiempre, consultar el anexo terico, labibliografa propuesta o comunicarse con sututor.




16/82

ACTIVIDAD 3 Nmeros Reales: Operaciones y propiedades

Para profundizar

Resuelva los problemas:

i) Sean a y b dos nmeros enteros, tal que a = 187 y b0. La divisin de a por b tienecociente 15 y resto 7. Halle b.

ii) La suma entre el doble de un nmero natural y el triple de ese nmero es 125. Cul esese nmero?

iii) Encuentre dos nmeros impares consecutivos cuya suma es - 424.

iv) Con las cifras 2, 4, 7 y 5, se escriben nmeros de dos cifras que son mltiplos de 3.cuntos nmeros pueden escribirse?

v) Se han consumido8

7partes de un bidn de aceite. Al reponer 38 litros se llena hasta sus

5

3partes. Cul es la capacidad del bidn?

vi) Para abaratar costos el proveedor prepara una mezcla de 22 kg de harina a $1,20 con 38kg de harina de $1,40 Cunto cuesta el kilogramo de harina mezcla?

vii) Se van a distribuir 3959 libros de texto entre tres escuelas, de tal modo que a la segundacorresponda los

5

4de lo que corresponde a la primera y a la tercera los

6

5de lo de la

segunda. Cuntos libros se les entregar a cada escuela?




17/82

Para profundizar

Para ingenirselas

xi) Josefina, que es repostera, dispone de dos moldes: uno cuadrado de 0,80 m de permetroy otro rectangular cuyas dimensiones difieren en 9 cm y cuyo permetro mide 82 cm.Cul de los dos moldes debe usar para su torta si quiere que la misma tenga mayorsuperficie?

xii) Para resolver sin calculadora.El rea del cuadrado ABCD es 100 cm2.Cunto mide el rea del otro cuadrado?

viii) En el tringulo ABC se sabe que el ngulo A mide la mitad que el ngulo B y el nguloC es la cuarta parte de la suma de las medidas de los otros dos. Cunto mide cada uno

de los ngulos interiores del tringulo CBA ? Qu tipo de tringulo es?

ix) Cuantas cajitas cbicas de 15 cm de arista se pueden envasar como mximo en unacaja de base cuadrada de 0,75 m de lado y altura 0,90 m?

x) Un depsito tiene 0,75 m de largo, 0,60 m de ancho por 30cm de altura. Cuntosbaldes de 12 litros contiene si est lleno hasta 10cm del borde?

CB

A D




18/82

Nmeros Reales:Operaciones y propiedades

En esta actividad adems de seguir

trabajando con las operaciones entrenmeros reales y sus propiedades, lepresentamos situaciones en las que deberrefutar o demostrar algunas proposiciones.

Si tiene alguna dificultad puede, comosiempre, consultar el anexo terico, labibliografa propuesta o comunicarse con sututor.




19/82

ACTIVIDAD 4

a. Resuelva las operaciones y exprese el resultado en su mnima expresin.

i) =

3

32-

1-

25.5

5

125

ii ) =+

+

6

24

2

32-2

iii) 33 212.212 +

iv)

27-12-33

4

v) c - { - 10 + [ - c + ( 5 - a ) + 1 ] + a } =

vi) =

2

2

1

3

2152

xx

x)x(x(x > 0)

vii)ab

ba.ab 32= (a >0 y b > 0)




20/82

b.Exprese el conjunto de valoresde x para el cual las siguientesexpresiones corresponden anmeros reales.

i) x5 i i ) 3 2-x i i i ) 1-x

iv)2x-1

1 v) 5x-

vi) 2-x)(

vi i ) 3x)-1( vi i i ) 3x ix)4x)-1(

c.Muestre mediante ejemplos quelas siguientes afirmaciones sonfalsas.

i) La suma de dos nmeros pares es impar.

ii) La suma de dos nmeros irracionales esun irracional.

iii) El producto de dos irracionales es irracional.




21/82

Para profundizar

e.Decida si las siguientesafirmaciones son verdaderas ofalsas. Justifique.

i) El cociente de dos nmeros irracionalesnegativos es un irracional.

ii) Si el nmero natural p divide al natural qentonces p divide a q2+2q.

d.Demuestre que lassiguientes afirmaciones sonverdaderas.

i) El producto de dos nmeros impares esimpar.

ii) La suma de un nmero mltiplo de 6con otro nmero mltiplo de 10 es par.




22/82

Para ingenirselas

Cuntos nmeros de 3 cifras distintas se pueden formar con el 5, el 6 y el 7?




23/82

Para ingenirselas

De cuntas formas se pueden sentar 5 personas en cinco asientos consecutivos enel cine?




24/82

Para ingenirselas

Se extraen, sin reponer, 5 cartas, de un mazo de 40 naipes. De cuntas formaspuede hacerse?




25/82

Para Profundizar 1

i) Calcule el valor de las siguientes expresiones.

( ) 22 ba3 + ; ( )2ba3 + ;b

1a + ;

b

1a +;

a

ba +, si 5by2-a == ,

ii) Se introducen en un recipiente 30 dl, 10 cl y litro de agua y se ha llenado hastasus 2/3 partes. Cul es su capacidad?

iii) Una placa de moldes de silicona de 17,5 cm x 30 cm tiene 6 moldes media esferade 3,5 cm de radio. Cul es la capacidad de cada molde?

iv) El peso especfico de la leche es 3cm

g

025,1 . Se recibieron 2,5 litros de leche quepesan 2,380 kg. Se pregunta si la leche tiene agua y en caso afirmativo cul es ladiferencia de los pesos especficos.




26/82

Para profundizar 2

i) En la pirmide alimentaria se seala un intervalo de raciones diarias para cada grupo dealimentos. Una racin en el grupo hortalizas incluye: 50 g de verduras para ensaladas; 60g de hortalizas picadas y cocidas o crudas; 175 g de zumo de hortalizas. Establezca parauna racin de hortalizas el porcentaje de cada uno de sus componentes.

ii) Cunto mide el volumen del recipiente representado en el dibujo? Cuntos litrosllenaran este recipiente?

25 cm

2,5 cm

5 cm

iii) Para resolver sin calculadora. ABCD cuadrado; E punto medio de AD ; F punto

medio de BA y cm22

5EF = . Cunto mide el permetro de ABCD?

D

A

E

F B

C




27/82

Para profundizar 3

i) El producto de un racional positivopor un irracional es irracional.

ii) Entre dos irracionales siempre hay

un irracional.

iii) 2 no se puede escribir comofraccin.

Decida si las siguientes afirmacionesson verdaderas o falsas. Justifique.




28/82

Resolucin

ACTIVIDAD 1

i) IN3 ; ii) Z1 ; iii)

2

10,5Q;5,0 = ; iv) Z0 ;

v) I5 ; vi) 0,254

1;Q

4

1= ; vii)

9

2572,;Q7,2 =))

;

viii) I ; ix) 1,125-8

9Q;

8

9= ; x) 6,0

3

2;Q

3

2 )=

a. A qu conjunto numrico pertenecen los nmeros escritos a la derecha? Intente,si es posible, escribirlos de otra manera.

i)

ii) No, por ejemplo , es un nmero que tiene infinitas cifras decimales, y no se puedeescribir como fraccin.

b. Es cierto que: toda fraccin puede escribirse en forma decimal? Justifique. toda expresin decimal puede escribirse como fraccin? Justifique.




29/82

i) m - n = 0 m = n ii) m. n > 0 m >0 n >0 m < 0 n < 0

iii) m + n = m n = 0 iv) m.n = 0 m =0 n = 0

v)1

n

m= m = n n 0

vi) 2.m = 0 m = 0

vii) 0n

m

= m = 0 n 0

viii)

m + 2 = n 2 n m = 4

Existen infinitos pares de nmerosreales que cumplen m-n = 4

ix) m.n = 1 m =n

1 n 0 m 0

x) m. 2 = n. 2 m = n

xi) m 2 = m m =0 xii) 5m5m5m ===

c. En las igualdades los nmeros m y n son reales: qu puede afirmar, conrespecto a m y n? Justifique.

i) 3,175323 ii) 4,12317 iii) 366,12

31

+

d. Encuentre tres cifras decimales de los si uientes nmeros.




30/82

iii) 1


31/82

ACTIVIDAD 2

a. Represente sobre la recta numrica:

2

51;52;5;21;2

++

Reflexione sobre los procedimientos que us.

En el anexo terico puede consultar cmo representar algunos nmeros irracionales

utilizando regla y comps.

Otra forma es usando la calculadora

1,622

51

-4,4752-

2,245

2,4121

411,2

+

+

Su representacin aproximada es:

52 0 2

2

51+

5

21+




32/82

i) [ ]2;1

ii) ]( ( )3;01-;

iii) ]( [ )+ ;22-;

iv) 6;2

v) ( ] [ ) ( )+ ;00;13;

b. Escriba como intervalo o como unin de intervalos de nmeros realeslos conjuntos marcados en la recta:




33/82

c.

Represente en la recta numrica IR los intervalos:

5

IR

0 1 3 4-1-2-3-4

i) ( ] [ )+ ;23;

ii) [ ) [ )

=;13-1;32;5

iii) )5;0IR = ( ] );5[0;

iv) [ ];04-2-;5

12

=

0;

512

1-1

IR

2 4-2 0 3-3

3

IR

0 1 2 3 4-1-2-3-4

5

12

IR

0 1 2 3 4-1-2-3




34/82

i) 4

5

-a4

5

a4

5

a===

ii) ===+ S2-a02a

iii) 7-a7a7a ===

iv) -2a2a2a2a ====

v)4

3a

4

3-

4

3a

vi) IRa0a

vii) ( ) ( )5;5--IR;55-;-a5a =

viii) 0a;0a =

d.Encuentre, si es posible, los valores de a que verifican:




35/82

ACTIVIDAD 3

i) Sean a y b dos nmeros enteros, tal que a = 187 y b0. La divisin de a por btiene cociente 15 y resto 7. Halle b.

12b

b15180

15b180

b.157187

7b.15187

=

=

=

=

+=

ii) La suma entre el doble de un nmero natural y el triple de ese nmero es 125.Cul es ese nmero?

25n

5125n

125n5

125n.3n.2

=

=

=

=+

iii) Encuentre dos nmeros impares consecutivos cuya suma es - 424.

211-esoconsecutivimparsuy213-n

4262n

2-424-2n

-4242n2

4242nn

=

=

=

=+

=++

iv) Con las cifras 2, 4, 7 y 5, se escriben nmeros de dos cifras que son mltiplosde 3. Cuntos nmeros pueden escribirse?

Los nmeros son 6: 24 27- 42 45 - 54 - 57 - 72 75-

Resuelva los problemas:




36/82

v) Se han consumido8

7partes de un bidn de aceite. Al reponer 38 litros se llena

hasta sus5

3partes. Cul es la capacidad del bidn?

litros80b

b40

19litros38

b4019litros38

b8

1-b

5

3litros38

b5

3litros38b.

8

1

=

=

=

=

=+

vi) Para abaratar costos el proveedor prepara una mezcla de 22 kg de harina a$1,20 con 38 kg de harina de $1,40.Cunto cuesta el kilogramo de harinamezcla?

.kiloel33,1$60

79,60

$79,6$53,20$26,40cuestanmezclaharinadekilogramos60Los

mezclaharinadekilos6038kg22kg

$53,20.kgel$1,40a38kgy$26,40kilogramoel1,20$akg22

=+

=+




37/82

vii) Se van a distribuir 3959 libros de texto entre tres escuelas, de tal modo que a la

segunda corresponda los5

4de lo que corresponde a la primera y a la tercera los

6

5de lo de la segunda. Cuntos libros se les entregar a cada escuela?

libros10701284.6

5b

6

5c

libros128416055

4b

libros1605a37

153959a

3959a.1537

3959a5

4.

6

5a

5

4a

===

==

==

=

=++




38/82

viii) En el tringulo ABC se sabe que el ngulo A mide la mitad que el ngulo B y elngulo C es la cuarta parte de la suma de las medidas de los otros dos. Cunto

mide cada uno de los ngulos interiores del tringulo CBA ?Qu clase detringulo es?

( )

o.obtusngulyescalenoesABCtringuloEl

36C;96B;48A

96B180B8

15

180B8

3BB

2

1

tringulo.undeinterioresngulosdeSuma180CBA

B8

3B

2

3

4

1BB

2

1

4

1BA

4

1CyB

2

1A

===

==

=++

=++

=

=

+=+==

ix) Cuantas cajitas cbicas de 15 cm de arista se pueden envasar como mximo enuna caja de base cuadrada de 0,75 m de lado y altura 0,90 m?

Volumen de la caja: rea de la base x altura(0,75m)2 x 0,90m = 0,50625 m3 = 506250 cm3

Volumen de las cajitas: (15cm)3 = 3375 cm3

506250 cm3 3375 cm3 = 150 cajitas

Otra forma75 15 = 5 cajas por lado90 15 = 6 cajas por altura. No hay desperdicio de las espacio, por lo tanto,5 x 5 x 6 = 150 cajitas

x) Un depsito tiene 0,75 m de largo, 0,60 m de ancho por 30cm de altura. Cuntosbaldes de 12 litros contiene si est lleno hasta 10cm del borde?

baldes5,71290

;litros90dm90m0,09

m0,09m0,20m0,60m0,75

borde)delcm10hastalleno(est20cmalturadedepsitodelVolumen

33

3

=

==

==

=




39/82

xi) Josefina, que es repostera, dispone de dos moldes: uno cuadrado de 0,80 m depermetro y otro rectangular cuyas dimensiones difieren en 9 cm y cuyo permetromide 82 cm. Cul de los dos moldes debe usar para su torta si quiere que lamisma tenga mayor superficie?

( )

[ ][ ]

igualesSon.cm400m04,0

.cm400cm16cm25gulartanrecmoldedelSuperficie

cm169-25anchoycm25oargl

50941L.2419L.2

41282)9L(L

822)9L(L

.m04,00,20m:cuadradomoldedelSuperficie

0,20m40,80m:cuadradomoldedelLado

22

2

22

=

==

==

=+==

==+

=+

=

=




40/82

xii) Para resolver sin calculadora. El rea del cuadrado ABCD es 100 cm2.Cunto mide el rea del otro cuadrado?

CB

A D

rea del cuadrado ABCD mide 100 cm2.En el cuadrado ABCD el segmento AB es el lado (L) y el segmento BD es sudiagonal, y sta es el lado del otro cuadrado. Por lo tanto se debe hallar sumedida.Por teorema de Pitgoras: L2 + L2 = d2

2L2 = d2

rea del cuadrado ABCD: L2 = d2 : 2 = 100 cm2.

Entonces el rea del otro cuadrado es:d2 = 100 cm2 . 2 = 200 cm2




41/82


42/82

vi)

0x

xx

x)x(x2

2

1

3

2152

>

( ) 373

7

0

3

7

11

3

252

1

3

252

2

2

1

3

2152

x1

x

x

x

x

x

xx

xxx

x.x

xxx

+

=====

vii)

0by0a;ab

ba.ab 32>>

aa.bb.ab.ab.a

b.ab.a.b.a

abba.ab 23

343232

====




43/82

i ) 0x05xIRx5

S= [ )+:0

i i )

IRx

IR2-x3

S = IR

i i i )

x1

x1x 1- == ;

x>0S= ( )+;0

iv) 22

x-1IRx1

1

>0

1>x2

x< 1 -1


44/82

vi i )( )

( ]1;S1x

1x0x1

x-1

33

3

=

vi i i )

[ )==

;0S

IRS

0x

0xIRx

0

33

ix)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

IRS

IRx

x-1x-1.x-1

x-1.x-1

x-1

2

22

4

=

=

=

=

x



44


45/82

i) La suma de dos nmeros pares es impar.

2 es par y 4 es par. Su suma, 6 tambin es par

2 + 4 = 6

ii) La suma de dos nmeros irracionales es un irracional.

( ) I0y022 =+

iii) El producto de dos irracionales es irracional.

4168.28.2 ===

c. Muestre mediante ejemplos que las siguientes afirmaciones son falsas.



45


46/82

i) El producto de dos nmeros impares es impar

n1 = 2k + 1 y n2 = 2q+ 1 ; (k Z y q Z) n1 . n2 = (2k + 1) (2q+1)=

= 4.k.q + 2k+ 2q +1== 2. (2.k.q+k+q) + 1

n1 . n2 es el siguiente de un nmero par; luego es impar.

ii) La suma de un nmero mltiplo de 6 con otro nmero mltiplo de 10 es par.

Si un nmero a es par entonces a es igual a 2. t ; t ZSi n es mltiplo de 6 entonces n es igual a 6. k ; k ZSi p es mltiplo de 10 entonces p es igual a 10. s ; s Z

n = 6k y p =10sn + p = 6k + 10p

n + p = 2 . (3k+ 5p) ,n + p = 2 . s y s = (3k+ 5p)

Es decir n + p tiene como factor a 2 luego es par.

d. Demuestre que las siguientes afirmaciones son verdaderas.




47/82

i) El cociente de dos nmeros irracionales negativos es un irracional.

FALSA

I333

33

3

27=

=

ii) Si el nmero natural p divide al natural q entonces p divide a q2+2q.

VERDADERA

Si p divide a q , entonces

q = p.k ; k Z

q2 = p2k2

2.q = 2.p.q

q2 + 2.q = p2 k2 + 2.p.q

= p ( pk2 +2q) entonces p divide a q2+2q

e. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.




48/82

3.2.1= 6 nmeros distintos.

Para hallar todos los nmeros puede usarse un diagrama de rbol.

Los nmeros que se pueden formar son: 567; 576; 657; 675; 756 y 765.

Para ingenirselas

Cuntos nmeros de 3 cifras distintas se pueden formar con el 5, el 6 yel 7?

5

6

7

7

6

7

5

6

6

5

6

5

7

7

5




49/82

Para ingenirselas

De cuntas formas se pueden ubicar 5 personas en cinco asientosconsecutivos en el cine?

Puede usar un diagrama de rbol.

5.4.3.2.1= 120 formas distintas

Para ingenirselas

Se extraen, sin reponer, 5 cartas, de un mazo de 40 naipes. De cuntas formaspuede hacerse?

40. 39. 38. 37. 36 maneras




50/82

Para Profundizar

i) Calcule el valor de las siguientes expresiones.

( ) 22 ba3 + ; ( )2ba3 + ;b

1a + ;

b

1a +;

a

ba +, si 5by2-a == ,

( ) ( )( ) ( ) 6125365652-3.ba3 222222 =+=+=+=+

( ) ( )( ) ( ) ( ) 115652.3ba3 222 ==+=+=+

5

9

5

110

5

12

b

1a =

+=+=+

5

1

5

12

b

1a=

+=

+

23

23

252

aba =

=

+=+

ii) Se introducen en un recipiente 30 dl, 10 cl y litro de agua y se ha llenado hasta sus2/3 partes. Cul es su capacidad?

litros3,6l0,5l0,1l3

litros0,5litro

2

1

litros0,1cl10

litros3dl30

=++

=

=

=

litros4,5

32

13,6llenorecipiente

litros3,6recipientedel3

2

=




51/82

iii) Una placa de moldes de silicona de 17,5 cm x 30 cm tiene 6 moldes con forma demedia esfera de 3,5 cm de radio. Cul es la capacidad de cada molde?

( )

3

3

33

3

3

cm538,5moldesSeis

3,14cm752,89moldecadadeVolumen

cm875,423

2

cm5,3.3

4

.2

1

r.3

4.

2

1moldecadadeVolumen

r.3

4esferaladeVolumen

=

=

=

=

=

iv) El peso especfico de la leche es 1,025 g/cm3. Se recibieron 2,5 litros de leche quepesan 2,380 kg. Se pregunta si la leche tiene agua y en caso afirmativo cul es ladiferencia de los pesos especficos.

agua.tienelecheEsta.cm

g0,073

cm

g0,952-

cm

g1,025:esdiferenciaLa

cm

g952,0

2500cm

g2380Pe2500cmml2500l2,5yg2380kg380,2

333

333

=

====




52/82

Para Profundizar

i) En la pirmide alimentara se seala un intervalo de raciones diarias para cadagrupo de alimentos. Una racin en el grupo hortalizas incluye: 50 g de verduraspara ensaladas; 60 g de hortalizas picadas y cocidas o crudas; 175 g de zumo dehortalizas. Establezca, para una racin de hortalizas, el porcentaje de cada unode sus componentes.

100%61,5%21%17,5%

%;5,61x;100

x

285

175

;%21x;100

x

285

60

;%5,17x;100

x

285

50hortalizasdegrupodeldiariaracinunapesag285g175g60g50

=++

=

=

=

=++

ii) Cunto mide el volumen del recipiente representado en el dibujo? Cuntos litrosllenaran este recipiente?

litros3125,0cm312,5

litro1cm1000

cm5,312cm5,2.cm5.cm25)prisma(V

altura.baseladereaprisma)(rectopedoparalelepundeVolumen

3

3

3

=

=

===

25 cm

2,5 cm

5 cm




53/82

iii) Para resolver sin calculadora. ABCD cuadrado; E punto medio de AD ; F punto

medio de BA y cm22

5EF = . Cunto mide el permetro de ABCD?

( )

22

22

222

22

cm252

cm50LABCDcuadradodelrea

cm502.25L2

2.5L2;BDLL

PitgorasdeTeoremaPor

.cm2.5cm22

5.2EF.2BD

ABDtringulodelmediabaseesEF

2

===

==

==+

===

D

AE

F B

C




54/82

Para Profundizar

i) El producto de un racional distinto de cero por un irracional, es irracional.

Si a Q y b I , suponemos a. b = c Q , entonces b = ; luego b Q.

Absurdo que provino de suponer que el producto de un racional distinto de ceropor un irracional es racional.

ii) Entre dos irracionales siempre hay un irracional.

iii) 2 no se puede escribir como fraccin.

Si 2 fuese racional, se escribiraq

p2 = con p y q coprimos.

Entonces q.2p = , que elevado al cuadrado

= 22 q.2p y 2p resulta ser

un nmero par.

Si 2p es par , p es par entonces puede escribir t.2p = con t entero

Entonces 22 t.4p = y reemplazando en

22 t.42.q =

2

t.4q

22 = 22 t.2q = . Luego 2q es par y tambin q es par.

Esto es una contradiccin, ya que supusimos que p y q eran coprimos y resulta

que p y q son pares.

Luego 2 no puede escribirse como fraccin.

f . Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.

a

c




55/82

ANEXO TERICO: LOS NMEROS REALES

Los nmeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de unacoleccin u ordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nmerosnaturales, simbolizado porIN.

IN = {1, 2, 3, 4, ...}

IN es un conjunto infinito.

El primer elemento de IN es el 1.

Cada nmero natural tiene un sucesor o siguiente.

Un nmero natural y su siguiente se denominan consecutivos.

Entre dos nmeros naturales consecutivos no existe otro nmero natural.

IN0denota el conjunto de los nmeros naturales al que se le agrega el cero.

IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = IN U {0}

IN0 es un conjunto infinito.

El primer elemento de IN 0 es el 0.




56/82

Al asignar a cada nmero natural un opuesto, respecto del cero, se obtienen los nmerosnegativos. Los nmeros negativos, junto con IN0 forman el conjunto de los nmeros enteros,que simbolizamos con la letra Z .

Los naturales, los negativos y el cero forman el conjunto de los nmeros enteros quesimbolizamos con .

= IN U {0} U {..., -3, -2, -1} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , ....}

Z es un conjunto infinito.

Cada nmero entero es elsiguiente de otro.

Entre un nmero entero y elsiguiente no hay otro nmero entero.Por poseer esta propiedad se diceque el conjunto de los enteros es unconjunto discreto.

IN es un conjunto discreto.

El conjunto de los nmerosnaturales es un subconjunto de losenteros: INZ.

A los nmeros naturalestambin se les conoce comoenteros positivos: IN = Z+.

Observemos que:

El opuesto de un nmero a losimbolizamosa.

Si a es un nmero entero, suopuestoa es un nmero entero.

El opuesto de 0 es 0.

Si a es el opuesto de b, b es elopuesto de a.

Si a = 2 el opuesto de a esa = -2.

Si a = -2 el opuesto de aes a = -(-2) = 2.

(La expresin a no significaque el nmero sea negativo.Slo indica el opuesto de a).

-2 es un nmero entero.

Su opuesto -(-2) = 2 estambin un nmero entero.




57/82

Un sistema ms amplio de nmeros lo constituye el de los nmeros racionales, simbolizado conla letra Q.

Los nmeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos

nmeros enteros, donde el divisor es distinto de cero (es decir,q

pcon p y q

enteros, q0).

Entre dos nmeros racionalessiempre hay otro nmero racional.

Por ello se dice que losnmeros racionales forman unconjunto denso.

Cada nmero entero a puederepresentarse como un nmero

racional en la forma1

a (por ejemplo,

1

22 = ).

Todo nmero entero es racional:ZQ

Adems INZQ

Todo nmero racional puede ser representado por un nmero decimal finito o por unnmero decimal peridico y viceversa: todo nmero decimal finito o decimal peridicopuede representarse como una fraccin.

1,35 puede representarse como unafraccin decimal.

100

13535,1 =

Los decimales peridicos se representanpor fracciones no decimales.

955,0 =

)

y902923,0 =

5

2 admite una representacin decimal

finita:

4,05

2=

9

2admite una representacin decimal

infinita.

2,0...22222,092 == .


http://goback/


58/82

Los nmeros que tienen desarrollo decimal infinito no peridico son nmerosirracionales.

Los irracionales (I), junto con los racionales (Q) forman el conjunto de losnmeros reales IR.

IR= I Q = I Q

Estos nmeros no puedenexpresarse como cociente dedos nmeros enteros.

Son nmeros irracionales:

0, 01001000100001...

0,123456789101112...

...718281,2

...1415926535,3

...4142135623,12

=

==

e




59/82

Operaciones en los reales. Propiedades

Propiedades de la adicin

Cualesquiera sean los nmeros realesa, b y c se verifica:

La adicin es conmutativa:

a + b = b + a

La adicin es asociativa:( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a(0 es el elemento neutro parala adicin)

a + (-a) = (-a) + a = 0(-a es el inverso aditivo de a)

Propiedades de la multiplicacin

Cualesquiera sean los nmeros realesa, b y c se verifica:

La multiplicacin esconmutativa:

a b = b a

La multiplicacin es asociativa:( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 . a = a(1 es el elemento neutro para elproducto)

a a-1 = 1 (si a 1)(a

-1

es el inverso multiplicativo de a)

En el conjunto de los nmeros reales estn definidas dos operaciones:Adicin y multiplicacin.

Poradicin entendemos que a todo par de nmeros reales a, b se le asignaun nmero real llamado la suma de a con b que indicamos a + b.

Pormultiplicacin entendemos que a todo par de nmeros reales a, b se leasigna un nmero real llamado producto de a con b que indicamos a b.




60/82

La propiedad distributiva de lamultiplicacin con respecto a la adicin,vincula ambas operaciones:

Cualesquiera sean los nmerosreales a, b y c vale que:

a . (b + c) = a . c + b . c

Interpretacin geomtrica de la

propiedad distributiva.

a

c

b

b + c

Observacin

En el conjunto de los nmeros naturales no se verifican las propiedades deneutro e inverso aditivo para la adicin, ni la de inverso multiplicativo.

En el conjunto de los nmeros enteros, no se verifica la propiedad de inversomultiplicativo.

Otras propiedades importantes

El opuesto de la suma es la suma de los opuestos:

( a + b) = - a + (- b )

El producto de cualquier nmero real por (-1) es igual al opuesto aditivo del

nmero real:

a (-1) = (-1) a = (-a)

El producto de un nmero real por cero es cero:

a 0 = 0 a = 0

Si a b = 0 entonces a = 0 b = 0 Ley cancelativa:

o de la suma: Si a + c = b + c entonces a = bo del producto: Si a c = b c y c 0 entonces a = b




61/82

Orden en IR

En IR consideramos la relacin menor que, que denotamos b

2. Transitividad: a < b y b < c a < c

3. Monotona de la suma: a < b a + c < b + c

4. Monotona del producto: a < b ; c > 0 a c < b c

IR es un conjunto ordenado.

Recordamos que:

Restardos nmeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b.

a b = a + (-b )

Dividirdos nmeros reales a y b (con b 0) significa multiplicar a por elinverso de b

a : b = a . b-1




62/82

Otras propiedades de orden.

Sean a, b y c elementos cualesquiera de IR. Entonces:

1. Si a < 0 entonces a > 0

2. a < b -b < -a

3. Si a < b y c < 0 entonces a c > b c

4. a b > 0 a < 0 y b < 0 a > 0 y b > 0

5. a b < 0 a < 0 y b > 0 a > 0 y b < 0

6. a > b a b > 0

a b s y solo s a > b a = b

a b s y solo s a < b a = b

Tambin escribiremos:

a > b para indicar que a es mayorque b.

a < b < c para indicar a < b y b < c. a b para indicar que a es mayor o

igual que b. a b para indicar que a es menor o




63/82

Intervalos reales

Dados dos nmeros reales a y b (que llamamos extremos), tales que a < b, definimos los siguientessubconjuntos de IR:

Ejemplos:

(-3; 2) = {x IR: -3 < x < 2}

[-3; 2] = {x IR: -3 x 2}

[-3; 2) = {x IR: -3 x < 2}

[-3; 2) = {x IR: -3 < x 2}

(-3, + ) = {x IR: x >-3}

(- ; 2) = {x IR: x < 2}

[-3, + ) = {x IR: x -3}

(- ; 2] = {x IR: x 2}

Intervalo abierto: conjunto de nmeros realesque verifican simultneamente ser mayores que ay menores que b. Abierto significa que losextremos a y b no pertenecen al conjunto.

(a; b) = {x IR: a < x < b}

Intervalo cerrado: conjunto de nmeros realesque verifican simultneamente ser mayores oiguales que a y menores o iguales que b. Losextremos pertenecen al conjunto.

[a; b] = {x IR: a x b} Intervalos semiabiertos (o semicerrados) son

combinaciones de los anteriores.(a; b] ={x IR: a < x b}[a; b) = {x IR: a x < b}

Los conjuntos:(a, + ) = {x IR: x >a}(- ; a) = {x IR: x


64/82

Valor absoluto de un nmero real

Si representamos los nmeros reales mediante puntos en una recta, el valor absoluto de a seinterpreta como la distancia que hay entre ay el origen 0.

Por ejemplo:

|a| = 3 se interpreta como los nmeros cuyadistancia al origen es igual a 3.

Propiedades del valor absoluto.

Si a es un nmero real el valor absoluto o mdulo de a se denota |a| y se define:

0: |a| b s y slo s -b a b,6. Si b > 0: |a| b s y slo s a b a -b




65/82

Ejemplo. Hallar los nmeros reales que verif ican |x| 2.Los nmeros que buscamos estn a distancia menor o igual que 2 con respecto alcero, ya que |x| mide la distancia de x al cero. Representado en la recta numricaobtenemos:

Los nmeros buscados cumplen la condicin -2 x 2.

Los nmeros reales que pertenecen al intervalo [-2; 2] verifican |x| 2.|x| 2 s y slo s -2 x 2

-2 20

Ejemplo. Hallar los nmeros reales que verif ican |x| >2

3 .

Los nmeros que buscamos estn a distancia mayor que2

3 con respecto al cero.

Representado en la recta numrica obtenemos:

Luego los nmeros reales x cumplen:2

3x

2

3-x >< .

As, los nmeros reales que verifican |x| >2

3 pertenecen a

+

;

2

3

2

3;

|x| >2

3 s y slo s2

3x

2

3-x ><

0 3

2

-3

2




66/82

Definicin:Dados dos nmeros reales cualesquiera a y b, la distancia entre a y b, queescribimos d(a; b) es el nmero real |a - b|.

Si a y b nmero reales, entonces d(a; b) = |a b|

(La distancia entre dos nmeros reales es el valor absoluto de su diferencia.)

Ejemplo. Para qu valores de x se cumple que |x-2| = 3

La expresin |x- 2| = 3 significa los nmeros cuya distancia a 2 es igual a 3 .Interpretemos primero, sobre la recta real esta condicin.

Veamos que esto es verdad:Queremos hallar los nmeros reales que verifican |x-2| = 3.La expresin x - 2 puede ser mayor que cero o menor que cero. Esto depende se quex sea mayor o menor que 2.Entonces puede ocurrir:

x - 2 > 0 x - 2 < 0

O lo que es lo mismo x > 2 x < 2. Si x > 2 es |x-2| = x 2 (por definicin de valor absoluto)

As resulta:|x-2| = 3 x 2 = 3 de donde x = 5

Si x < 2 es |x-2| = -(x 2) (por definicin de valor absoluto)|x-2| = - x + 2 (opuesto de un nmero)

Entonces|x-2| = 3 - x + 2 = 3 de donde x = -1

Hemos encontrado analticamente la solucin: S = {-1; 5}

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

d(-1; 2) = |-1-2|= 3 d(2; 5) = |2-5|= 3

Al desplazarnos 3 unidades hacia laderecha encontramos que x = 5 est adistancia 3 de 2. Y si nos desplazamos 3unidades hacia la izquierda, encontramosque x = -1 est a distancia 3 de 2.Luego podemos conjeturarque x = -1 y x= 5 son los nmeros que estn a distancia3 de 2.




67/82

Los nmeros reales y la recta real

Consideremos una recta, donde se fija un origen y launidad de longitud.

Cada nmero positivo est representado por un puntosituado a la derecha del origen, y cada nmeronegativo a la izquierda del mismo.

Para ubicar los nmeros enteros dibujamosconsecutivamente sobre la recta el segmento unidad.

Para ubicar los nmeros racionales de la forma 0q;1

q

dividimos el segmento de extremos 0 y 1

en q partes iguales.

Por ejemplo, para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta queforme un ngulo agudo con el segmentounidad y sobre ella marcamos 5 segmentosde igual longitud. El ltimo extremo (E) seune con 1 y se trazan paralelas por A, B, Cy D, dividiendo al segmento unidad en 5partes iguales. Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidadrepresenta

5

1 del mismo.

Los nmeros reales se pueden ubicar sobre la recta: a cada punto de la recta lecorresponde un nico nmero real y a cada nmero real un nico punto en la recta.

-3 -2 -1 0 1 2 3




68/82

En forma anloga procedemos para los nmeros

racionales de la formaq

pcon q 0 y menores que

la unidad (p < q).

Es suficiente tomar a partir del origen p segmentos de

longitudq

1.

Algunos nmeros irracionales, pueden ubicarse en la recta numrica mediante construccionesgeomtricas.

La posibilidad de hacerlo permite ver que los puntos que han ocupado estaban vacos de nmerosracionales. Algunos de los infinitos huecos que dejan entre s los nmeros racionales son ocupadospor ellos.

Otros nmeros irracionales no pueden ubicarse en la recta mediante construcciones geomtricas.

Por ejemplo: ; e; 3 2 .

Representacin geomtrica de algunos irracionales de la forma n (siendo n un enteropositivo).

En cada caso se aplica el teorema de Pitgoras a un tringulo rectngulo de catetos 1 y raz

cuadrada del nmero natural anterior. Por ejemplo:( ) 21213 2 +=+=

2 3 5 6

2

Ejemplo: representacin de5

3

5

3




69/82

En general para representar los nmeros irracionales en la recta numrica usamos unaaproximacin decimal de los mismos. Por ejemplo:

3,14 representa una aproximacin del nmero irracional .

3 2 1, 25 representa una aproximacin del nmero irracional 3 2 . 4,41 representa una aproximacin del nmero irracional 3 + 2 .

1 - 3 5 -0,71 representa una aproximacin del nmero irracional 1 - 3 5

Su representacin aproximada es:

Cualquier segmento sobre la recta por pequeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos, tambin infinitos: los nmerosirracionales (I).

Ambos conjuntos: los irracionales (I) junto con los racionales (Q), forman el conjunto de losnmeros reales IR (es decir, tanto los racionales como los irracionales son nmeros reales).

Los nmeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real).

Esta propiedad de los nmeros reales se conoce como propiedad de completitud de losnmeros reales.

01 - 3 5 3 2 3 + 2




70/82

Otras operaciones en IR

Recordamos que:

a0 = 1 para a 0

a1

= a

Si n es un entero positivo y a 0, entonces

n

n

aa

1=

En particular:a

b

b

ab

a==

11

Ejemplos:

5

15 1 =

91

313 2

2- ==

3

5

5

3

1

5

31

=

=

9

16

3

4

3

4

4

32

222

==

=

Potenciacin y radicacin de nmeros reales.

Definicin

Si a es un nmero real cualquiera, y nes un entero positivo entonces la potenciaensima de a es:

44 344 21

K

factoresn

n aaaaa =

an es lapotencia ensima de a a se denomina base n es el exponente

an exponente

base




71/82

PropiedadesSi a y b son nmeros reales y adems n y m enteros valen las siguientes:

Propiedades (en algunos casos a 0 yb 0)

0asia

b

b

a6.

b

a

b

a.5

bab)(a.4

a)(a3.

a

a

a.2

aaa.1

n

nn

n

nn

mmm

nmnm

n-mn

m

nmnm

=

=

=

=

=

=

+

Ejemplos:

( )( )

25

16

5

4

5

4

4

5

27

8

3

2

3

2

51264)8(4(-2)4(-2)

15.6255)(-(-5)

9333

3

243-(-3)(-3)(-3)(-3)

2

222

3

33

333

632

22-52

5

53232

==

=

==

===

==

===

===

+Producto de potencias deigual base

Cociente de potencias de igualbase

Potencia de potencia

Potencia de un producto

Potencia del cociente

Exponente fraccionario.

La expresin na1

, con nentero mayor que 1, recibe el nombre de raz n-sima de a.

As:

2

1

a es la raz cuadrada de a y 31

a es la raz cbica de a.

La expresin na1

se representa tambin mediante n a .

Recordamos que:

Si n es par, a debe ser mayor o igual que cero. Si n es impar, a puede tomar cualquier valor real, positivo, nulo o negativo.

n andice de la

raz Radicando




72/82

Definicin:

Si a 0 es un nmero real llamamos raz cuadrada de a y lo simbolizamos a al nico nmero real b0 tal que b2 = a.Es decir que:

a = b si y slo si b0 y b2 = a

Proposicin: Si a es un nmero real cualquiera ||2

aa =

Definicin. Si m y n son nmeros naturales

n mn

1mn

1.m

n

m

a)(aaa ===

Si a es un nmero real y a > 0 valen las siguientes propiedades:

n

m

n

m

n

m

qn

pm

q

p

nm

q

p

nm

q

p

nm

ba)b(a.3

aa2

aaa.1

. )(

=

=

+

=

Potencia del producto

Producto de potencias de igual base

Potencia de potencia




73/82

Ejemplo: Calcular aplicando propiedades

1.

Usando la notacin de exponentefraccionario y propiedades de lapotenciacin escribimos:

416

16

16

16161616

21

61

31

6

1

3

1

63

==

=

=

=+

63 1616

Por propiedad 3 escribimos:

Usando la definicin de exponentefraccionario y operando:

2. 4625

216

5

4

625

216

625

2164

44 ==

3.

355

315

31

53 666)6( ==

=

53 )6(

a. Aplicando la propiedad ||2 aa = ,es:

16|-16|)16( 2 ==

b. Tambin podemos resolverlo as:

16256)16( 2 ==

4. 2)16(

Atencin!

Cuando el ndice es parno es correctosimplificarlo con el exponente de labase.




74/82

2.

Multiplicando numerador y denominadorpor 5 22 (ya que 23 22 = 25) yaplicando propiedades de lapotenciacin es:

2.

Multiplicando numerador y denominador

por 2 y aplicando propiedades de lapotenciacin es:

1.2

1

( ) 22

2

2

22

21

2

12

==

=

5 32

2

52

5 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2

=

=

=

=

Supresin de races en el denominador.Para algunas expresiones como:

que contienen races en el denominador, es posible hallar otra expresin equivalenteque no contenga races en el denominador.

36

4;

5-3

1;

16

1;

2

13 +

En ambos ejemplos en el denominador

se tiene una expresin del tipo n ma . Sebusca multiplicar numerador ydenominador por otra expresin con el

mismo ndice, n pa , y tal que elproducto de sus bases am y ap sea unapotencia de an.

El denominador es en este caso unadiferencia entre dos nmeros.Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos, y operando es:

3.51

4

)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(451

4

22

+=

+=

+=

++=

Cuando el denominador es la suma odiferencia de dos nmeros, en dondeuno de ellos o ambos es un irracionalcuadrtico, se multiplica el numerador yel denominador por la diferencia de lostrminos del denominador, en el caso deuna suma, o por la suma en el caso de

una diferencia.

As el denominador queda expresadoen la forma:

(a + b)(a b) = a2 b2




75/82

Para recordarDe los nmeros enteros

Mltiplos y divisores - Divisibilidad en el conjunto de los nmeros enteros

Si al hacer la divisin entera entre dos nmeros enteros a y b, ( b 0), el restode la divisin es 0, podemos escribir a = b c.

Se dice entonces que:o a es divisible por b,o b es un divisor de a,o b es un factor de a,o a es mltiplo de b.

Propiedades

1 y 1 son divisores de todos los nmeros enteros. 0 es mltiplo de todos los nmeros enteros. Si a es divisor de b y b es divisor de c entonces a es divisor de c. Si un nmero es divisor de otro, su opuesto tambin lo es. Si un nmero es divisor de otro, tambin divide a su opuesto. Si a es divisor de b y a es divisor de c entonces a es divisor de b + c Si a es divisor de b entonces a es divisor de b c, cualquiera que sea el entero c

DefinicinEfectuar la divisin de un nmero entero a por otro nmero entero b, b >0, esencontrar dos nmeros enteros c y r, con 0 r < b que cumplen la relacin

a = b c + r.

Los nmeros b y c son nicos. Adems:

o a es el dividendo; b el divisor; c el cociente y r el resto de la divisin.

35 = 5 . 7

5 y 7 son divisores de 3535 es mltiplo de 535 es mltiplo de 7

35 es divisible por5




76/82

Nmeros pares e impares

Se puede ver que: Todo nmero par es mltiplo de 2. Todo nmero impar es el siguiente de un nmero par.

Un nmero entero a es par si y slo si se puede expresar comoa = 2 k, donde k es un nmero entero.

Un nmero entero b es impar si y slo si se puede expresar comob = 2 k + 1, donde k es un nmero entero.

Propiedades

1. Si a es par y b es par entonces a + b es par y a b es par.2. Si a y b son impares entonces a + b es par y a b es impar.3. Si a es par y b es impar entonces a + b es impar y a b es par.

Nmeros primos y compuestos

Un nmero natural p es primo si tieneexactamente dos divisores: 1 yp.

Un nmero natural s mayor que 1 escompuesto si no es primo (s poseefactores distintos de s y 1).

7 es un nmero primo. Sus nicosdivisores positivos son 1 y 7.

10 no es un nmero primo, puesadems de 1 y 10 tiene otrosdivisores positivos: 2 y 5. 10 es unnmero compuesto.

2 es primo. Es el nico primo par.

El nico divisor positivo de 1 es 1.El nmero 1 no es primo nicompuesto.

Propiedades

1. Todo nmero tiene un factor primo.

2. Si a es compuesto, a tiene algn

factor k tal que 1 < k < a

3. Todo nmero compuesto se puedefactorizar como un producto denmeros primos y esa factorizacin esnica. (Teorema fundamental de laAritmtica)

27 = 3 9 y 3 es primo

127 es un nmero primo?

La raz cuadrada de 127 est entre11 y 12; ya que 112 = 121 y 122 = 144Vemos si 127 es divisible por los

primos menores que 127 : 2, 3, 5,7 11. Como no lo es por ninguno deellos, resulta que 127 es un nmeroprimo.

100 = 22 52160 = 2232 5




77/82


78/82

De los Nmeros racionales

Cualquiera que sea el nmero entero m 0 las expresionesbm

amy

b

a

son

equivalentes y representan el mismo nmero racional.

20

12;

15

9;

10

6;

5

3

son fracciones equivalentes y representan el mismo nmero racional.

De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nmeroracional existe solo una cuyo numerador y denominador son nmeros primosentre s. Estas fracciones se denominan irreducibles.

5

3es una fraccin irreducible

Simplificar una fraccin es hallar una fraccin irreducible equivalente a ella.

Ejemplos.

1.

2.

3. Comparamos

Para comparar fracciones:

Una fraccin positiva es siempre mayor queuna negativa.

Si las fracciones tienen el mismodenominador, es mayor la que tiene mayornumerador.

Si las fracciones tienen distintodenominador, conviene expresarlas enfracciones equivalentes a las que se quierecomparar y que tengan el mismodenominador.

5-1310 >

2

-3

2

-1;

5

1

5

3>>

7

1y

4

3

7

1

4

3entonces

28

4

7

1y

28

21

4

3

>

==




79/82

Operaciones con nmeros racionales

Adicin de fracciones

Si los denominadores son iguales se suman losnumeradores

Si los numeradores no son iguales, se sustituyenlas fracciones por otras equivalentes que tenganel mismo denominador.

donde m es el mnimo comn mltiplo entre b y d

b

ca

b

c

b

a +=+

m

cd

m

m

ab

m

d

c

b

a +

=+

Ejemplos

1.3

5

3

41

3

4

3

1=

+=+

2.

20

23

20

158

2015

208

43

52

=

+=

+=+

Multiplicacin y divisin de fracciones

Para multiplicar dos fracciones se

multiplican los numeradores entre s y losdenominadores entre s.

Para dividir una fraccin por otra distintade cero, se multiplica la primera por elinverso de la segunda.

Si c 0

db

ca

d

c

b

a

=

cb

da

c

d

b

a

d

c1

b

a

d

c:

b

a

===

Ejemplos

1.

2.

3

5 es el inverso multiplicativo de5

3

3.

6-7

.23(-1)7

2-1

37 =

=

12

5

3

5

4

1

5

3:

4

1==

10

-3

2

-1

5

3(-2):

5

3==




80/82

Expresin fraccionaria y decimal de los nmeros racionales.

Para obtener la expresin decimal de un nmero racional expresado en formafraccionaria se divide el numerador por el denominador.

Al hacerlo puede suceder:

o El cociente es un nmero decimal exacto porquedespus de varios pasos el resto de la divisines cero.Decimos que es una expresin decimal finita.

o Que luego de un nmero de pasos los restoscomienzan a repetirse y tambin las cifras delcociente se repiten.Se trata de expresiones decimales peridicas.Al nmero o bloque de nmeros que se repite se

lo llama perodo.

Si laexpresin decimal es finita, escribimos la parte decimal como suma defracciones decimales:

5,54

22;0,4

5

2==

70,2.0,277777..18

5

630,.0,636363..11

7

61,1,66666...3

5

==

==

==

Todo nmero racional puede expresarse en forma de fraccin o en forma decimal.

Los decimales exactos y peridicos pueden expresarse en forma de fraccin.

1000

3512

1000

2

100

1

10

53512,3

=

+++=




81/82

Si la expresin decimal es peridica:

1. Expresin de a = 5,0 como una fraccin

Si a = 5,0 , multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos

10a = 5,5 .

Restando ambas igualdades (la segunda a la primera), resulta 9a = 5; conlo que a =

9

5

2. Expresin de b = 23,0 como fraccin

Si 23,0b =

Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos: 100 23,0b = (1)

Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10 23,0b = (2)

Restando (1) y (2) se tiene que 100b 10 b = 29.De donde: 90b = 29As

90

29b =




82/82

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Rector: Dr. Guillermo Jaim Etcheverry

Vicerrector: Arq. Berardo Dujovne

Secretario de Asuntos Acadmicos: Lic. Norberto Corsaro

PROGRAMA UBA XXI

Directora: Silvia Fridman

Vicedirectora: Mara Isabel Bont

Coordinadora del reade Articulacin con Nivel Medio: Alicia Glas

Curso de Nociones Bsicas de Matemtica

Autores del texto: Sara Elsa ElizondoIsabel Giuggiolini

Lectura crtica: Gustavo Zorzoli

Procesamiento didctico: Sara Elsa Elizondo

Isabel GiuggioliniGustavo Zorzoli

Lectura y revisin didctica: Susana Lamboglia

Nociones de Matematica UBA XXI Modulo 1

Documents

Transcript of Nociones de Matematica UBA XXI Modulo 1