INSTITUTO PEDAGGICO DON BOSCO ESMERALDAS

INSTITUTO PEDAGGICO DON BOSCO ESMERALDAS

ELEMENTOS DE LGICA MATEMTICA

Cmo sabes que t ests loco?- pregunt Alicia.

Para empezar repuso el gato - , los perros no estn locos. De acuerdo?

Supongo que no dijo Alicia.

Bueno, pues entonces continu el gato - , observars que los perros gruen cuando algo no les gusta, y mueven la cola cuando estn contentos. En cambio, yo gruo cuando estoy contento y muevo la cola cuando me enojo; luego estoy loco.

Lewis Carrol, en Alicia en el pas de las maravillas.

LGICA DE LAS PROPOSICIONES - I

Primera Unidad: SIMBOLIZACIN

Segunda Unidad: INFERENCIA LGICA

Pedro Moschetto

Esmeraldas, 2007PRESENTACIN

La Lgica es la ciencia que se ocupa de las estructuras formales del razonamiento.

Objeto de la Lgica es el lenguaje, y la base del lenguaje son las proposiciones.

El filsofo y matemtico Bertrand Russel, en la Introduccin a la filosofa matemtica, afirma que la matemtica y la lgica desde el punto de vista histrico, fueron dos materias completamente distintas. Sin embargo, las dos se han desarrollado en la edad moderna: la lgica llegando a ser cada vez ms matemtica y la matemtica cada vez ms lgica. La consecuencia es que hoy es del todo imposible separar la una de la otra; sustancialmente las dos son una sola materia. La diferencia entre ellas es parecida a la que hay entre un adulto y un muchacho: la lgica es la juventud de la matemtica y la matemtica es la madurez de la lgica.

La lgica es a la vez ciencia y arte. Coincide con otras ciencias, como la psicologa o la matemtica, en la investigacin de las leyes del pensamiento. Y con otras artes, como la gramtica y la arquitectura, comparte la aplicacin estratgica de reglas, tiles en su caso para el ejercicio de la discusin y el razonamiento en campos tan diversos como la ciencia, el derecho, la poltica, la propaganda o la vida cotidiana (Garca Trevijano, 9).

Actualmente la lgica formal tiene una importancia fundamental tanto en el campo de las matemticas como en el campo filosfico. La nueva lgica manifiesta su origen matemtico especialmente en el uso del simbolismo. Por esto se habla de lgica moderna o lgica matemtica o lgica simblica o lgica formal (formal, porque se refiere a la forma exterior del razonamiento, a su estructura).

En este ltimo perodo, el campo de las aplicaciones de la lgica se ha extendido, y hoy es puente de comunicacin entre matemticos, fsicos, informticos, lingistas, filsofos, en la perspectiva de la unidad del saber a la cual debe mirar una seria y moderna actividad didctica. La lgica puede constituir el enlace entre la cultura humanstica y la cultura cientfica, de tal manera que las dos culturas puedan caminar juntas, y no ms separadas, en la investigacin y en la didctica.

Tambin la nueva ciencia de la informacin (la Informtica) tiene sus bases en los principios y las propiedades de la lgica. En efecto, la elaboracin automtica de los datos es la consecuencia tecnolgica de los estudios de Aristteles, Leibniz, Pascal, Boole, Russel, y de todos los que en estos ltimos cien aos se han ocupado de lgica y de sus leyes. Todas las leyes de la lgica formal son la base de las operaciones que desarrolla la calculadora electrnica, la cual obedece a la lgica de las proposiciones.

Como ttulo de estas pginas hemos puesto: Elementos de Lgica Matemtica, para que quede claro que no vamos a tratar todos los temas de la Lgica, sino slo los ms sencillos y tiles para favorecer el razonamiento y la intuicin.

Vamos a desarrollar dos partes fundamentales:

- la Lgica de las Proposiciones (o Proposicional);

- la Lgica del Predicado (o Predicativa).

Todo el curso est contenido en tres pequeos volmenes:

El primero y el segundo tratan la Lgica de las Proposiciones, y presentan las siguientes unidades didcticas:

I :Simbolizacin de las Proposiciones e Inferencia Lgica.

II: Certeza y Validez, Tablas de Certeza (y, como aplicacin prctica, desarrollamos el Clculo de los circuitos elctricos).

III: Lgica del Predicado.

Hasta hoy hemos publicado slo los primeros dos volmenes.

En esta sexta edicin del primer volumen se han corregido algunos errores presentes en la quinta edicin del 2005.

Estos apuntes constituyen el contenido de las clases que se han dado durante estos ltimos aos a los estudiantes del Instituto Pedaggico Don Bosco de Esmeraldas y de la Pucese, y son fundamentalmente una adaptacin de la obra de P. Suppes Introduccin a la Lgica Matemtica, integrada por algunas partes de la Teora y prctica de la Lgica Proposicional de P. Montaner y de El arte de la Lgica de C. Garca Trevijano. He utilizado tambin algunos captulos de las obras de G. Zwirner (et alii): Algebra con elementi di Informtica II y Linguaggi e modelli per la matemtica I; de M. Pellerey: Costruiamo la matemtica III vol.; y de Paolo Siviglia e Nicoletta Sala Il testo di matemtica. Tambin la Lgica Matemtica de P. Jasso, la Iniciacin a la Lgica Simblica de J. A. Arnaz y la Iniciacin a la Lgica de Eli de Gortari me han sido de ayuda.

Los temas y el desarrollo de los contenidos han sido tratados de manera analtica (las principales estructuras del razonamiento lgico se han introducido de modo gradual y con dificultad progresiva) e inductiva (cada regla o instruccin lgica va acompaada de ejemplos y ejercicios que tienen el objeto de reforzar el aprendizaje y facilitar el conocimiento de la materia (cf. Montaner 7).

El estudio de la lgica es un disciplina intelectual que exige esfuerzo de voluntad, constancia y atencin. Pero sus frutos son ciertamente...dulces, porque ayudan al desarrollo de la inteligencia y del pensamiento, a ser reflexivos y crticos frente a las diferentes propuestas culturales que caracterizan el mundo moderno, y a ser hombres cada vez ms autnomos y libres.

Esmeraldas, Instituto Pedaggico Don Bosco, Abril del 2007.

p. Pedro Moschetto

BIBLIOGRAFA

consultada

Nota: Las obras precedidas por dos asteriscos son las que utilic de una manera especial.

* Arnaz, Jos Antonio - Iniciacin a la Lgica Simblica - Trillas, Mxico, 1994, pp. 106.

* Barreiro de Nudler, Telma; Nudler, Oscar Elementos de Lgica Simblica - Kapelusz, Buenos Aires, Argentina, 1973, pp. 133.

* Barreiro de Nudler, Telma; Nudler, Oscar Elementos de Lgica Simblica. Ejercicios Kapelusz, Buenos Aires, Argentina, 1973, pp. 72.

* Barreiro de Nudler, Telma Lgica Dinmica (Nociones tericas y ejercicios de Lgica Tradicional y Simblica) Kapelusz, Buenos Aires, Argentina, 1980, pp. 184.

* Bovio, E.; Manzone Bertone, L. Aritmetica Moderna Lattes, Torino, Italia, 1991, pp. 665.

* * Carrol, Lewis El juego de la lgica Alianza Editorial, Madrid, Espa, 1996 pp. 173.

* * Garca Trevijano, Carmen El arte de la lgica Tecnos, Madrid, Espaa, 1999 pp. 206

* Gortari (de), Eli Iniciacin a la Lgica Editorial Grijalbo, Mxico, 1969, pp. 289.

* Jasso Gutirrez, Pedro Lgica Matmatica Mxico, 1988, pp. 68.

* * Montaner, Pedro Arnau, Hilari Teora y prctica de la Lgica Proposicional Biblioteca Didctica de Filosofa Vicens Vives, Barcelona, Espaa, 1997 pp. 171.

* National Council of Teachers of Mathematics U.S.A. Trillas, Mxico, 1970, pp. 64.

* * Pellerey, Michele Costruiamo la Matemtica 3 SEI, Torino, Italia, 1994, pp. 703. * Prior, Arthur N. Historia de la Lgica Editorial Tecnos, Madrid, Espaa, 1976, pp. 252.

* * Siviglia, Paolo; Sala, Nicoletta Il testo di Matemtica 1 Morano Editore, Napoli, Italia, 1993, pp. 953.

* Suppes, Patrick Introduccin a la Lgica Simblica C.E.C.S.A., Mxico, 1981, pp. 378.

* * Suppes, Patrick; Hill, Shirley Introduccin a la Lgica Matemtica Editorial Revert, Barcelona, Espaa, 1982, pp. 283.

* Tarski, Alfred Introduccin a la Lgica y a la Metodologa de las ciencias deductivas Espasa-Calpe, Madrid, Espaa, 1977, pp. 285.

* * Zwirner, Paolo; Scaglianti, L.; Brusamolin Mantovani, A. Linguaggi e Modelli per la Matematica, 1 Cedam Padova, Italia, 1989, pp. 781. * * Zwirner, Paolo; Scaglianti, L.; Brusamolin Mantovani, A. Algebra con elementi di Informtica, II Cedam, Padova, Italia, 1990, pp. 521.

Quin gan el pleito?

Una de las paradojas ms conocidas es la relativa al litigio que sostuvo el famoso sofista Protgoras con uno de sus discpulos. Protgoras haba aceptado a un estudiante pobre pero de talento, conviniendo con l, en no cobrarle por su enseanza hasta que el estudiante no hubiera terminado sus estudios y ganara su primer caso ante los tribunales. Pero tras completar sus estudios el estudiante no se encarg de ningn caso legal. Transcurrido cierto tiempo, Protgoras demand al estudiante exigindole la suma estipulada. He aqu los argumentos de ambos para acudir al tribunal:

Estudiante:Si yo gano el caso, entonces, por definicin, no tengo que pagar. Si lo pierdo, entonces no habr ganado mi primer caso, y yo no he contrado la obligacin de pagar a Protgoras mientras no haya ganado mi primer caso. As, pues, sea que yo gane o que pierda el caso, no tengo que pagar.

Protgoras:Si l pierde el caso, entonces, por definicin, tiene que pagarme (pues eso es lo que se ventila en este juicio). Si lo gana, entonces habr ganado su primer caso, y por tanto tiene que pagarme.

LGICA DE LAS PROPOSICIONES - I

Primera Unidad Didctica: Simbolizacin de ProposicionesSegunda Unidad Didctica:Inferencia Lgica

1 SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES1.1 Proposiciones o Enunciados

a) El estudio de la Lgica nos permite llegar a ser precisos y cuidadosos, y a utilizar un lenguaje exacto, mientras que el lenguaje ordinario de nuestras conversaciones a veces es un poco confuso.

La finalidad de esta asignatura es la de aprender una forma de razonar que sea precisa y a la vez muy til.

b) Objeto de la Lgica es el lenguaje, y la base del lenguaje son las proposiciones u oraciones.

Una oracin es una expresin lingstica gramaticalmente correcta y que tiene sentido completo. Por ejemplo: La vida es bella, Qu hora es?, Est lloviendo; Apaga la luz, son oraciones.

Por el contrario, La vida es, La base del, Yo la cocina no son oraciones, porque no tienen sentido.

Desde el punto de vista del significado, las oraciones se clasifican en: enunciativas, optativas, de posibilidad, dubitativas, exhortativas, interrogativas o exclamativas.

Para poder dar una definicin correcta de proposicin en Lgica, vamos a considerar algunas frases:

1. La Tierra es un planeta.

2. 4 es menor de 7.

3. Juan Len Mera escribi la novela Cumand.

4. 6 es un mltiplo de 4.

5. Quito es la capital de Colombia.

6. El ro Esmeraldas pasa por la provincia de Bolvar.

7. Esta telenovela es aburrida.

8. Maana Luis ganar la competencia.

9. Qu hora es?

10. Est atento!

Las primeras tres frases son ciertas, las tres sucesivas son falsas. La 7 expresa una opinin personal. La 8 representa una previsin y no se puede saber con seguridad si es verdadera o falsa. La 9 es una pregunta. La 10 es una orden.

En Lgica definimos proposicin o enunciado toda frase de la cual podemos decir que es cierta o falsa; o sea, toda frase a la cual se puede asignar un valor de certeza.

Recuerda:

- Toda oracin es una expresin, pero no toda expresin es una oracin.

- Todo enunciado es una oracin, pero no toda oracin es un enunciado.

- En Lgica utilizamos indistintamente la palabra enunciado y la palabra proposicin.

Analizando los ejemplos anteriores, podemos decir que las primeras seis son proposiciones(o enunciados), mientras que las ltimas cuatro no lo son (son simples oraciones) y no pertenecen a la Lgica.c) Existen en Lgica dos clases de proposiciones: unas se denominan atmicas y otras moleculares:

* atmicas (o simples): son las proposiciones ms sencillas;

* moleculares (o compuestas): son las que se forman juntando una o varias proposiciones atmicas por medio de un conector o trmino de enlace.

- Veamos dos proposiciones atmicas:Estoy enfermo.

Me quedo en casa.

Mediante un trmino de enlace podemos unirlas y formar una proposicin molecular:

Estoy enfermo y me quedo en casa.

Esta proposicin molecular se ha construido con dos proposiciones atmicas y el trmino de enlace y (que no forma parte de ninguna de las proposiciones atmicas; se ha aadido para formar una proposicin molecular).

1.2 Trminos de enlace o Conectores

a)Las palabras de enlace son muy importantes, y las denominamos trminos de enlace de proposiciones.

Los trminos que vamos a utilizar en este captulo son los siguientes:

yonosi...entonces

En la gramtica castellana se les da a veces otros nombres, pero en Lgica los denominaremos simplemente trminos de enlace (o tambin conectores).

Los tres trminos de enlace y, o, si...entonces, se usan para unir dos proposiciones atmicas y as formar una proposicin molecular.

El trmino no, acta sobre una sola proposicin atmica para formar una proposicin molecular.

b)Damos algunos ejemplos de proposiciones moleculares que utilizan los trminos de enlace considerados.

* La proposicin:

La luna no es una estrellaes una proposicin molecular que utiliza el trmino de enlace no, el cual acta sobre una sola proposicin atmica:

La luna es una estrella.

* La proposicin:

Me quedo en casa o voy a la playa

utiliza el trmino de enlace o, el cual acta sobre dos proposiciones atmicas:

Me quedo en casa.

Voy a la playa.

* La proposicin:

Si soy esmeraldeo, entonces soy ecuatoriano

es una proposicin molecular que utiliza el conector si...entonces, que acta sobre dos proposiciones atmicas:

Soy esmeraldeo.

Soy ecuatoriano.

* La proposicin

Estoy bien y voy a casautiliza el trmino de enlace y . Cules son las proposiciones atmicas?Ejercicio 1

A) Seala las frases que son proposiciones lgicas y las que no pertenecen a la Lgica. Explica el por qu.

1. Adnde vas?

2. Cierra la puerta!

3. Cristbal Coln vino a Amrica.

4. Qu bonito!

5. 99 es un nmero primo.

6. El 25 de diciembre es Navidad.

7. Va a comprar la leche!

8. Colombia se encuentra en Centroamrica.

9. Has ido a clase?

10. La pelcula es aburrida.

B) Seala cada proposicin atmica con una A y cada proposicin molecular con una M (escribiendo a lado el trmino de enlace utilizado).

1. Hoy vamos a comer a las dos.

2. El tigrillo andaba por el sendero.

3. La msica es muy suave o la puerta est cerrada.

4. A este perro le gusta cazar gatos.

5. l pregunta por su cachimba y pide tabaco.

6. Si Luis es un buen jugador, entonces participar en el partido del Barcelona.

7. Se puede encontrar a Charito en casa de Cristina.

8. A las focas no les crece el pelo.

9. x = 2 y z = 10.

10. y + z ( 2.

11. Luisa lloraba con la cara oculta entre las manos.

12. All, entre las sombras, he visto brillar un rayo de luz.

13. Hoy no se fa, maana tampoco.

14. Cuando lloro no me salen las lgrimas.

15. No puedo dormir pensando en los exmenes.

C) Formar cuatro proposiciones moleculares utilizando una o dos de las proposiciones escritas a continuacin (utilizar cada uno de los trminos de enlace una sola vez).

1. Las playas esmeraldeas son muy hermosas.

2. Juan puede ganar la carrera.

3. El hermano de Pedro tiene la solucin .

4. Tendremos que buscar otro remedio.

5. La lluvia podra ser la causa de que Luis se quede en casa.

6. El cielo est nublado.

7. El invierno este ao es terrible.

8. Esmeraldas se encuentra en el Ecuador.

D) Diga cules son los trminos de enlace en las proposiciones siguientes y cuntas proposiciones atmicas se encuentran en cada proposicin molecular.

1. No estoy de acuerdo con tu actuacin.

2. Ha llegado el invierno y comienza a llover.

3. Muchas enfermedades no se deben a parsitos..

4. Si hay fallas en las grandes masas rocosas, entonces es posible que ocurran terremotos.

5. Estoy cansado o tengo mala suerte.

6. Si usted sale de madrugada, entonces llegar en tiempo.

7. Si x + y = 2, entonces z ( 0.

8. Si x = 1 o z = 2, entonces y ( 1.

9. x = 1 y z = 3

10. Si z ( 10, entonces x + y ( 10 y z + y ( 10.

1.3 La forma de las proposiciones moleculares

a) La forma de las proposiciones moleculares depende del trmino de enlace, no del contenido de las proposiciones atmicas.

Se puede representar la forma de una proposicin molecular con y de esta manera:

(

)y(

)

Se pueden sustituir los espacios por cualquier proposicin (sea atmica sea molecular) y la forma es la misma.

Ejemplo: Juan no est aqu y Pedro no ha ido a casa (el trmino de enlace y enlaza dos proposiciones moleculares).

b) Podemos aplicar lo que hemos dicho a los dems trminos de enlace:

* (Sigo durmiendo) o (voy a caminar).

* Si (quieres ir a la playa), entonces (te acompao).

* No (tengo suerte).

Se pueden llenar los espacios contenidos entre parntesis con cualquier proposicin:

Luis va al estadio o Elena va de paseo.

Si 1 + 2 = x, entonces x = 3.

Si Mara no est enferma, entonces Juanita est contenta.

No voy al mercado.

c) Algunas veces en castellano se usan dos o ms palabras para un trmino de enlace.

- Se puede usar la nica palabra o:

Es muy bueno o es sencillo.- Se puede aadir tambin la palabra o al principio:

O es muy bueno o es sencillo.

Las dos palabras o son parte del mismo trmino de enlace. Algunas veces se usan dos, algunas veces una sola.

Ejemplos: O Mara est aqu o el fro no es intenso .

Patricia no va a la playa o Vernica no est aqu.

- A veces, al utilizar el trmino de enlace y, pueden aadirse las palabras a la vez.

A la vez llueve y sale el sol

Las palabras a la vez e y son partes de un mismo trmino de enlace.

- Por lo general se utiliza el trmino de enlace si...entonces; pero a veces se suprime la palabra entonces.

Si es Antonio, es lento.

Expresiones del tipo te llevars una grata sorpresa, si vienes a la reunin (donde el enunciado precedido por si, llamado antecedente, se lo coloca despus de la expresin que normalmente sigue y que se denomina consecuente), o del tipo en caso de que lo vea, le dar tu recado, cuando lo vea, le dar tu recado (que prescinden total o parcialmente de la forma si...entonces) ocurren con gran frecuencia.

- El trmino no se encuentra frecuentemente dentro de la proposicin atmica. Por este motivo es fcil olvidarla.

La proposicin

La Lgica no es difcil

es una proposicin molecular.

Es posible escribir este trmino de enlace utilizando la frase

No ocurre que (la Lgica es difcil).

O tambin:

No es cierto que (la Lgica es difcil).

No es verdad que (la Lgica es difcil).

En las proposiciones matemticas en las que se utiliza el signo =, se indica con frecuencia la negacin con un trazo inclinado sobre el signo igual: (.

As,

x ( 1

se lee:

x no es igual a uno.

Ejercicio 2

A) Utilizar los parntesis para evidenciar la forma de las proposiciones moleculares siguientes:

1. Pablo se encuentra en Quito y Mercedes ha ido de paseo a Ibarra.

2. Si Pedro est en casa o Juan est en el patio, entonces Jos es inocente.

3. Si x = 1 o y = 2, entonces z = 3.

4. O y = 0 y x ( 0, o z = 2.

B) Escribir en lenguaje castellano proposiciones cuyas formas son las siguientes.

1) O ( ) o ( ).

2) No ( ).

3) ( ) o ( ).

4) Si ( ), entonces ( ).

5) A la vez ( ) y ( ).

6) No es cierto que ( ).

7) Si no ( ), entonces no ( ).

8) Si ( ), ( ).

C) Son equivalentes algunas de las siguientes proposiciones?

1) Luis se ir, si Pablo se queda.

2) Si Pablo se queda, entonces Luis se va.

3) Supuesto que Pablo se quede, Luis se ir.

4) Luis se ir en caso de que Pablo se quede.

D) Formalizar (= dar la forma normal a) los enunciados condicionales que siguen:

1) Dos es un nmero primo porque slo es divisible por s mismo y por la unidad.

2) Proporcinenos los medios y nosotros solucionaremos el asunto (Carta de Churchill al presidente Roosvelt al comienzo de la II guerra mundial).

(Nota: La presencia del trmino y podra inducir a interpretar esta frase como una conjuncin, mientras que su verdadero sentido es el de una condicional).

3) Obtendrs la licenciatura a condicin de que superes el ltimo curso.

4) A menos que me detenga a comer en la carretera, llegar a primera hora de la tarde.

5) Nos veremos en el parque, supuesto que no llueva.

1.4 Simbolizacin de proposiciones

A veces las proposiciones atmicas del lenguaje corriente son largas y de difcil manejo. En Lgica se soluciona el problema utilizando smbolos en lugar de las proposiciones en lenguaje corriente.

+ Todo aquello que representa o evoca otra cosa lo definimos signos. Las seales de trfico, las palabras, el humo, las representaciones de figuras geomtricas, las notas musicales, las banderas, etc., son signos. Para que algo pueda ser considerado signo es necesario que tenga significado para un intrprete (=receptor). Cuando la relacin entre signo y su significado es puramente arbitraria, se habla de smbolos. Las palabras, los nmeros, las banderas son smbolos.

+ La lgica formal y la matemtica son lenguajes artificiales. Su aplicacin al terreno cientfico ha permitido el desarrollo extraordinario de las ciencias.

+ Un lenguaje artificial se denomina lenguaje formal cuando utiliza una tabla de smbolos formales (formas que carecen de significado fijo) y cuyas reglas sintcticas facilitan las operaciones y el clculo. La lgica y la matemtica son lenguajes formales.

+ Los smbolos pueden ser variables y constantes.

* Son variables los smbolos que carecen de significado fijo, y pueden recibir una gran cantidad de contenidos. En matemtica, los nmeros pueden utilizarse para contabilizar caballos, conjuntos, ngulos, conceptos, etc., pero nunca decimos que el nmero 3 se refiere slo a caballos, conjuntos, etc. En lgica, el smbolo A puede traducir cualquier enunciado afirmativo, como Pablo es un joven de Esmeraldas o El mercado general se encuentra muy lejos. Los smbolos variables constituyen el vocabulario primitivo del lenguaje formal.

+ Los smbolos constantes son smbolos con un sentido fijo, que sirven para enlazar entre s los smbolos del vocabulario primitivo. En los lenguajes formales los smbolos constantes se llaman tambin operadores. En matemtica, los signos de sumar, restar o dividir son smbolos constantes u operadores. En lgica, los smbolos de los trminos de enlace (ver el prrafo siguiente) son signos operadores que enlazan unas variables con otras.

+ El conjunto de frmulas de un lenguaje formal (en nuestro caso, del clculo proposicional) son construcciones (= esquemas o frmulas) sin sentido fijo o determinado, y cobran su significado mediante la interpretacin.

+ La interpretacin es una categora semntica que consiste en dotar de una significacin a un smbolo o tambin atribuir un conjunto de significaciones a un conjunto de smbolos.

La expresin simblica P o Q adquiere significado cuando a P le damos el valor de Juan estudia, y a Q el valor de Juan trabaja.

Los smbolos que se usan para representar proposiciones son letras o maysculas o minsculas. Nosotros utilizaremos letras maysculas: A, B, C, D...,K, X, Q, etc.

Por ejemplo: P = La nieve es profunda.

Q = El tiempo es fro.

Con estas dos proposiciones atmicas formamos una proposicin molecular, encerrando entre parntesis las proposiciones atmicas:

(La nieve es profunda) y (el tiempo es fro).

Sustituimos ahora el lenguaje castellano con los smbolos correspondientes

(P) y (Q).

- Veamos una proposicin molecular con el trmino de enlace o:

Se puede elegir caldo de gallina o seco de gallina

Sea:

R = Se puede elegir caldo de gallina.

S = Se puede elegir seco de gallina.

La proposicin queda simbolizada as:

(R) o (S).

- Si una proposicin tiene el trmino de enlace no, la palabra se coloca delante del smbolo que sustituye la proposicin atmica (por lo general en castellano la negacin se encuentra dentro de la proposicin).

Ejemplo: Los pjaros no son animales de cuatro patas.

Sea:

Q = Los pjaros son animales de cuatro patas.

La proposicin queda simbolizada as:No (Q).

- Utilizando smbolos para las proposiciones atmicas es ms fcil trabajar con las proposiciones moleculares, que son a veces complicadas. Los ejercicios siguientes sirven para adquirir prctica en la simbolizacin de las proposiciones.

Ejercicio 3

A) Simbolizar las proposiciones moleculares sustituyendo las atmicas por letras maysculas.

1. Necesito ponerme los lentes o esta luz es dbil.

2. Los patos no se transforman en cisnes.

3. Si suena el timbre, entonces es hora de empezar la clase.

4. O Antonio ir al teatro o ir al cine.

5. Estos problemas no son fciles para m.

6. Si la clase de Lgica ha empezado, entonces llego tarde.

B) Traducir en lenguaje castellano las siguientes proposiciones simbolizadas. Especificar cul es la proposicin atmica representada por cada una de las letras.

1. Si (P), entonces (Q).

4. (No (E).

2. (R) o (S).

5. Si (R), entonces (S).

3. (P) y (Q).

6. No (L).

C) Cada una de las proposiciones siguientes es molecular. Primero indicar cules son los trminos de enlace de cada proposicin, despus escribir separadamente las proposiciones atmicas que se encuentran en cada una de las proposiciones moleculares.

1. Juan es el segundo y Toms es el cuarto.

2. O Jos es el ganador o Luis es el ganador.

3. Pedro no es el ganador.

4. Si Toms es el ganador, entonces l tendr la medalla.

5. Las araas no son insectos.

6. Si las araas son insectos, entonces deben tener seis patas.

D) Simbolizar las proposiciones matemticas siguientes sustituyendo las proposiciones atmicas por letras maysculas. Recurdese que ( es la negacin de =.

1. Si x = y, entonces x = 2

2. Si x ( 2, entonces y ( 1

3. Si x ( 2 o x ( 3, entonces x = 1.

4. Si x + y = 3, entonces y + x = 3

5. x + y + z = 2 o x + y = 10

1.5 Los trminos de enlace y sus smbolos

Utilizamos smbolos distintos para los trminos de enlace distintos. Vamos a considerar cada trmino de enlace por separado.

La unin de dos proposiciones con la palabra y se denomina conjuncin de las dos proposiciones.

yLa palabra y la simbolizamos con un smbolo que se encuentra por lo general en las mquinas de escribir:

&

Nota: Se usa tambin, y muy frecuentemente, el smbolo

(Ejemplo:

Los ojos de tu hermano son azules y los ojos de tu primo son verdes.

Simbolizando:P = Los ojos de tu hermano son azules.

Q = Los ojos de tu primo son verdes.

Tendremos::

(P) & (Q)

(P) ( (Q)

Importante!

Las expresiones del lenguaje natural tales como ni, pero, que, e, mas, aunque, etc., muchas veces significan y, y se sustituyen por el smbolo &. A veces tambin la coma puede indicar una y.

Ejemplos:

Estos problemas no son muy difciles para m, aunque he tardado en resolverlos (el trmino aunque puede ser sustituido por y).

Me van bien los estudios, pero no los apruebo (el trmino pero se sustituye por y).

Ejercicio 4

A) Simbolizar completamente las proposiciones siguientes. Indicar la proposicin atmica que corresponde a cada letra.

1. Juan vive en nuestra calle y Pedro en la manzana contigua.

2. Sali del pueblo y se fue a Quito.

3. Solanda tiene 17 aos y Mara Helena 18 aos.

4. El juego ha empezado y llegaremos tarde.

5. Maana es el primero de abril y empiezan las clases.

B) Terminar la simbolizacin de las proposiciones que siguen:

1. (P) y (Q).

3. (H) y (K).

2. A la vez (A) y (B).

4. A la vez (M) y (N).

C) Traducir en lenguaje corriente las proposiciones siguientes:

1. (P) & (Q).

3. (T) & (S).

2. (M) & (N)

4. (B) & (H).

D) En las proposiciones matemticas siguientes, simbolizar slo el trmino de enlace y.

1) x = 0 y z = 4.

2) x ( 0 y x + y = 2.

3) z + x = x + z y x + z = z + x.

E) Simbolizar las siguientes proposiciones del lenguaje natural.

1) Me van bien los estudios, pero los apruebo con dificultad.

2) Llegu, vi y venc (Julio Csar).

3) La riqueza ayuda a ser feliz, pero la cultura todava ms.

La unin de dos proposiciones por medio de la palabra o se denomina o

disyuncin.El smbolo que vamos a utilizar es:

((Recuerda: en castellano, se puede utilizar tambin una o al comienzo, pero las dos o constituyen un solo trmino de enlace.).

Ejemplo: Esta es el aula del Primero o es el aula de Qumica.

O sta es el aula del Primero o es el aula de Qumica.

Sea:F = Esta es el aula del Primero.

E = Esta es el aula de Qumica.

La disyuncin queda simbolizada as:

(F) ( (E).

Importante!

Las expresiones del lenguaje natural tales como bien...bien, ya...ya, etc., tienen significado de disyuncin y se sustituyen por el smbolo v.

Advertencia: Para simbolizar una proposicin del tipo: Deseo estudiar en la Politcnica Salesiana o en la Pontificia Universidad Catlica, hay que tener presente que la expresin en la Pontificia Universidad Catlica no es una proposicin si no se la completa repitiendo deseo estudiar:

A = Deseo estudiar en la Politcnica Salesiana.

B = Deseo estudiar en la Pontificia Universidad Catlica.

A ( B.Ejercicio 5

A) Simbolizar completamente las proposiciones siguientes. Indicar la proposicin atmica sustituida por cada letra.

1. Tomar parte en el salto de altura o correr un kilmetro.

2. Hemos de llegar all antes, u otro recibir el empleo.

3. O la aguja est gastada o la grabacin es mala.

4. Se puede comer el pan o el verde.

5. O t vas a casa o te quedas aqu.

B) Acabar de simbolizar las proposiciones siguientes:

1. (P) o (Q).

2. (R) o (S).3. O (P) o (Q).

4. O (M) o (N).

C) Traducir en lenguaje corriente las proposiciones siguientes:

1. (P) ( (Q).

2. (M) ( (N).

3. (R) ( (S).

D) Simbolizar las proposiciones matemticas utilizando los smbolos & y (, pero conservando los smbolos matemticos.

1. x = 0 o x ( 0.

3. O x = 3 o x ( 2.

2. x ( 2 y z ( 1.

4. A la vez z = 0 y x = 0.

E) Simbolizar las siguientes proposiciones.

1) O te callas o me voy.

2) Me entero de la situacin poltica leyendo El Universo o El Comercio.

3) O se acepta que hay ideas innatas o el idealismo es imposible.

4) O me eligen presidente o abandono la poltica.

no

La proposicin a la que se aade no se denomina negacin. Es una proposicin molecular formada por una sola proposicin atmica. La palabra no en el lenguaje corriente se encuentra dentro de la proposicin. En Lgica hay que separarla de la proposicin sobre la cual acta.

La proposicin El invierno en Esmeraldas no siempre es fuerte

es la negacin de la proposicin atmica: El invierno en Esmeraldas siempre es fuerte.

Simbolizando con P la proposicin atmica, la negacin sera : No (P).

El smbolo de la negacin puede ser variado. Nosotros utilizamos el signo

(

La proposicin del ejemplo anterior totalmente simbolizada es: ( (P).

A veces es ms fcil, en castellano, empezar con la frase: No ocurre que, No es verdad que, No es cierto que.

(Ejemplo anterior: No es verdad que el invierno en Esmeraldas es siempre fuerte).

Advertencia importante: Hay tambin otras expresiones en el lenguaje natural que significan negacin como son: no es el caso que, es falso, no es posible, es imposible, etc.; se sustituyen por el smbolo de negacin (.

Las negaciones se combinan frecuentemente con otras proposiciones para formar una proposicin molecular ms larga.

Ejemplo: O el juego no ha empezado o el pblico no es numeroso.Aqu tenemos la disyuncin de dos proposiciones negativas.

Para simbolizarla se acta de esta manera:

a) ponemos parntesis en la proposicin escrita: (O el juego no ha empezado) o ( el pblico no es numeroso);

b) elegimos la letra mayscula para cada proposicin atmica (respectivamente: S, C);

c) se expresa su negacin poniendo el smbolo delante de la letra;

d) se enlazan las dos proposiciones negativas con el trmino de enlace dominante que en este caso es o.

La proposicin completamente simbolizada se presenta as:

(( S) ( (( C).

Otra advertencia importante: A veces hay proposiciones con dos negaciones seguidas.

Por ejemplo: No es cierto que no voy a clase.

No es cierto niega no voy a clase. Al simbolizar esta proposicin, hay que escribir dos veces el smbolo de negacin (:

A = Voy a clase.

( A = No voy a clase.

(( A = No es cierto que no voy a clase.

Ejercicio 6

A) Simbolizar completamente las proposiciones siguientes. Indicar las proposiciones atmicas sustituidas por cada letra mayscula.

1. En el hemisferio Sur, Julio no es un mes de verano.

2. Marte no es tan cercano al Sol como la Tierra.

3. No todos los grmenes son bacterias.

4. Esmeraldas no es la mayor provincia del Ecuador.

5. No es verdad que los corales son plantas.

6. No es cierto que la lgica sea difcil.

7. Todo lo que t dices es falso.

8. No es verdad que todo lo que t digas sea falso.

9. Es imposible que no sea cierto lo que dices.

10. No es verdad que el sol no sea una estrella.

B) Simbolizar las proposiciones utilizando el smbolo propio de cada trmino de enlace.

1. (P) y no (Q).

2. No (R).

3. No ocurre que (T).

4. No es cierto que no (S).

C) Simbolizar completamente las proposiciones siguientes:

1. (P) y no (Q).

2. No (R) y no (S).

3. O (A) o no (B).

D) Primero sealar cada trmino de enlace en las proposiciones que siguen. Despus, simbolizar la proposicin entera sustituyendo:

P = Jos es puntual.

Q = Mara llega tarde.

1. O Jos es puntual o Mara llega tarde.

2. O Jos es puntual o Mara no llega tarde.

3. Mara llega tarde y Jos no es puntual.

4. Mara no llega tarde y Jos no es puntual.

5. Jos no es puntual y Mara llega tarde.

E) Identificar cada una de las proposiciones moleculares escribiendo la palabra que denota su forma (por ejemplo: negacin, conjuncin, disyuncin).

1. ( (Q).

3. (R) ( (S).

5. ( (P).

2. (P) & (Q).

4. (T) & (S).

6. (L) ( (M).

F) Examinar las proposiciones siguientes y sealar cada trmino de enlace.

1. No es medioda y el almuerzo no est listo.

2. Si no estamos all, entonces perderemos nuestro cupo.

3. Mara se ha ido o no est en su sitio.

4. Si es negro, entonces no refleja la luz.

5. Si x + z = 0 y x = 0, entonces z = 0.

Si...entonces...Cuando se unen dos proposiciones por medio de estas palabras (si...entonces...), la proposicin molecular se denomina condicional.

Ejemplo:

Si hoy llueve, entonces se suspende el paseo.

La primera proposicin atmica es: Hoy llueve.

La otra es:

Se suspende el paseo.Las letras maysculas que elegimos son respectivamente: P, Q.

Recuerda!

Hay otras expresiones del lenguaje comn que pueden tener valor condicional: ...luego..., ...por tanto..., ...en consecuencia..., ...cuando, ...con tal que..., ...se infiere..., ...se deduce..., ...se demuestra, etc.

El smbolo de la proposicin condicional es

(La proposicin anterior queda as simbolizada:P ( Q

Y se lee: Si P, entonces QNota importante: En Lgica, la proposicin situada entre la palabra si y la palabra entonces se denomina antecedente; la proposicin que sigue a la palabra entonces es el consecuente. Recordar, sin embargo, que a veces en el lenguaje ordinario el trmino entonces se omite.

Ejercicio 7

A) Simbolizar las proposiciones, utilizando los smbolos correspondientes para los trminos de enlace. Indicar las proposiciones atmicas sustituidas por cada letra mayscula.

1. Si las luces estn encendidas, entonces la familia est en casa.

2. Si t estudias, tendrs xito.

3. Si dos y tres son cinco, entonces tres y dos son cinco.

4. Si hoy es siete, entonces el viernes es nueve.

5. Si usted pierde el autobs, entonces tendr que caminar.

B) Indique el antecedente de cada proposicin condicional.

1. Si Mara es ms joven, entonces Olga es ms vieja.

2. Si Tatiana es ms vieja, entonces tiene 20 aos.

3. Pasars de ao, si estudias.

4. Maana te comprar los mangos, si los encuentro en el mercado.

C) Indicar el consecuente de cada proposicin condicional.

1. Si Pedro es el segundo, entonces Juan es el primero.

2. Carlos es el ltimo, si Luis es el cuarto.

3. No voy a la playa, si no sale el sol.

4. Si no trabajo, no tengo derecho de comer.

D) Simbolizar completamente las proposiciones siguientes.

1. Si (P) entonces (Q). 2. Si (S) entonces (T).

3. Si (P) entonces no (Q).

4. Si no (R) entonces no (S).

E) Identificar las proposiciones condicionales de entre las proposiciones que siguen.

1. (P) ( ( (Q).

5. (T) & ( (S).

2. (P) ( ( (Q).

6. (Q) ( (S).

3. (R) ( (S).

7. (R) ( ( (S).

4. (T) & (S).

8. (M) & (N).

F) Transformar las siguientes proposiciones en condicionales normales, y despus simbolizarlas.

1) Para poder vivir, basta con tener un trabajo fijo.

2) Se convertir en amigo del gobierno con tal de que pueda ocupar un cargo.

3) Hace fro, luego no es verano.

4) El hombre es un animal poltico, por tanto no es un salvaje.

5) Si no crees en Dios, pero blasfemas, te ests contradiciendo.

6) T dedcate a la computacin, y vers cmo encuentras trabajo.

7) Siempre que empiezo a jugar, no s cuando acabar.

1. 6Agrupamientos y parntesis

Es frecuente encontrar proposiciones con ms de un trmino de enlace. En estos casos uno de los trminos de enlace es el mayor y se denomina dominante.

Uno de los tipos de proposicin molecular tiene la forma:

( ) & ( ).

Es una conjuncin, y los espacios entre parntesis se pueden llenar tanto con proposiciones atmicas como con proposiciones moleculares. Si se utilizan proposiciones moleculares, stas a su vez contienen otros trminos de enlace; sin embargo, la & se mantiene como trmino de enlace dominante o mayor.

Ejemplo: Luis no estudia en el colegio y Carlos no estudia en la escuela.

Es la conjuncin de dos negaciones.

Sea:T: Luis estudia en el colegio.

A: Carlos estudia en la escuela.

La simbolizacin completa ser: (( T) & (( A).

Vamos a considerar ahora una conjuncin cuyo primer miembro sea a su vez una disyuncin:

A la vez x = 1 o x = 2, y z = 3.

Sea: P: x = 1

Q: x = 2

R: z = 3

La disyuncin es:

(P) ( (Q),

y la conjuncin simbolizada ser:

( (P) ( (Q) ) & (R).

Una proposicin con tantos parntesis es difcil de leer e interpretar. Para mayor facilidad se sigue esta

Regla: Una proposicin que no contenga &, (, (, no necesita colocarse entre parntesis.En consecuencia, la proposicin anterior tiene las siguientes formas simblicas:

(P ( Q) & R.

Los parntesis son los smbolos de puntuacin de la lgica . Muestran cmo est agrupada una proposicin. Un parntesis que encierra P ( Q muestra que las partes estn ligadas constituyendo una proposicin nica.

En las proposiciones en lengua castellana se logra el mismo objetivo por medio de la coma. Si la proposicin escrita anteriormente se leyera as:

x = 1, o x = 2 y z = 3

el trmino de enlace dominante sera o: la disyuncin une una proposicin atmica y una conjuncin:

P ( (Q & R).

Recordamos todava una vez que los parntesis encierran la proposicin molecular que no tiene el trmino de enlace dominante. El trmino de enlace dominante queda fuera del parntesis.

Hay casos en los que se niega una proposicin molecular entera.

Por ejemplo: No es verdad que el libro o es rojo o es verde.

Simbolizamos dos proposiciones atmicas:

Q = El libro es rojo.

R = El libro es verde.

Simbolizamos la disyuncin:

Q ( R

Simbolizamos la negacin de la disyuncin: ( (Q ( R).

El agrupamiento entre parntesis indica

1) que la negacin se refiere a toda la proposicin, que en este caso es una disyuncin;

2) que la negacin es el trmino de enlace que domina.

Otro ejemplo:

No es cierto que si usted ve un gato negro, entonces tendr mala suerte.Simbolizada, se escribir: ( (P ( Q).

Ejercicio 8

A) Cada una de las proposiciones siguientes es una conjuncin. Poner los parntesis para indicar que y es dominante.

1) P ( Q & R

2) Q & R ( P

3) M ( N & S

B) Cada una de las proposiciones siguientes es una disyuncin. Poner los parntesis para indicar que la o es dominante.

1) P ( Q & S

2) Q & S ( R

3) M & N ( P

C) De cada una de las proposiciones siguientes se dice que es una conjuncin o una disyuncin. Indicar el agrupamiento adecuado poniendo los parntesis oportunos.1) disyuncin: S ( T & R

2) conjuncin: T & S ( R

3) conjuncin: T ( S & Q

4) disyuncin: P ( Q & T

D) En cada una de las proposiciones siguientes uno de los smbolos ((, (, &) domina. Por tanto, las proposiciones son disyunciones, conjunciones, condicionales. Sin ningn cambio ms que la adicin de parntesis, convertir cada proposicin en una negacin.

1) ( P ( R

2) ( P ( Q

3) ( R & S

4) ( ( Q & S

E) Dar la negacin de cada una de las proposiciones siguientes aadiendo smbolos de negacin, y parntesis si es necesario.

1) S

2) Q & R

3) ( M

4) A ( B

5) ( A ( B

6) ( (A & B)

F) Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando el agrupamiento por medio de parntesis cuando es necesario.

1) O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Mario es tesorero.

2) Pedro es presidente y, o Juan es tesorero o Mario es tesorero.

3) O Ramn es su hermano y Rosa es su hermana, o Javier es su hermano.

4) Ramn es su hermano y, o Rosa es su hermana o Javier es su hermano.

G) Simbolizar las proposiciones matemticas siguientes, eligiendo letras atmicas para sustituir las proposiciones matemticas atmicas.

1) Si x es menor que dos, entonces x es igual a uno o x es igual a cero.

2) Si a la vez x es menor que tres y x es mayor que uno, entonces x es igual a dos.

3) O x es mayor que cinco y x es menor que siete, o x no es igual a seis.

H) Junto a cada una de las proposiciones que siguen, se da el nombre del tipo de proposicin molecular a la que pertenece. Aadir los parntesis, si son necesarios.

1) negacin: ( P ( R

5) disyuncin: ( Q ( ( R

2) condicional: ( P ( R

6) negacin: ( T ( S

3) conjuncin: ( P & ( R

7) condicional: ( P ( ( R

4) negacin: ( R & T

8) negacin: ( P ( ( Q

I) Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando el agrupamiento por medio de parntesis.

Sea: P = Es jueves.

Q = Sucedi en lunes.

1) O no es jueves o no sucedi en lunes.

2) Si no es verdad que sucedi en lunes, entonces es jueves.

3) No sucedi en lunes y es jueves.

4) Si no sucedi en lunes, entonces no es jueves.

5) No es cierto que a la vez sucedi en lunes y es jueves.

L) Simbolizar las proposiciones siguientes:

1) Si una sustancia orgnica se descompone, entonces sus componentes se transforman en abono y fertilizan el suelo.

2) O yo estoy equivocado, o la pregunta nmero uno es cierta y la pregunta nmero dos es falsa.

3) No es cierto que a la vez Juana es su hermana y Rosa es su hermana.

4) O sus deberes estn terminados, o si no estn terminados, tendr que hacerlos por la noche.

5) Juana no es su hermana y Rosa es su hermana.

6) Si este mineral no es duro, entonces no est compuesto por cristales de cuarzo.

1.7 Eliminacin de algunos parntesis

Adoptando algunas reglas simples acerca de la potencia de los trminos de enlace, se pueden eliminar algunos de los parntesis en las proposiciones simbolizadas:

Regla 1: El ( es ms potente que los otros trminos de enlace.

(P & Q) ( R

se puede escribirP & Q ( R

P ( (Q ( R)

se puede escribirP ( Q ( R

Por otra parte, si se tiene(P ( Q) ( R

no se puede eliminar el parntesis: es necesario para indicar que ( es el trmino de enlace principal (dominante).

Tambin, si una proposicin tiene dos condicionales, se tiene que utilizar el parntesis para indicar cul es la condicional dominante.

As, la proposicin

A ( (B ( C)

tiene significado distinto de

(A ( B) ( C

Regla 2: El signo de negacin ( es ms dbil que cualquiera de los otros tres trminos de enlace.

En vez de (( P) & Q

se escribe ( P & Q

En vez de P ( (( Q)

se escribeP ( ( Q

En vez de (( P) ( (( Q)

se escribe( P ( ( Q

Pero el parntesis es necesario en ( (P & Q) cuando se quiere negar toda una proposicin molecular.

Finalmente, puesto que & y ( son igualmente fuertes, cuando se presentan ambos en una proposicin, se tiene que poner siempre los parntesis para indicar cul es el trmino de enlace dominante.

As, el significado de

P ( Q & R no es claro.

Pues,

(P ( Q) & R

es una conjuncin;

P ( (Q & R)

es una disyuncin.

Ejercicio 9

A) Junto a cada una de las proposiciones siguientes se indica el tipo de proposicin molecular al que pertenece. Utilizando las reglas de prioridad sobre las potencias de los smbolos, aadir los parntesis slo donde son necesarios.

1. condicional P ( Q ( R

6. Negacin ( P ( Q

2. disyuncin P ( Q & R

7. Conjuncin A & B ( C

3. conjuncin R ( S & T

8. Disyuncin M ( N ( P

4. negacin ( R & S

9. Negacin ( P ( ( Q

5. condicional P ( Q ( ( R

10. Conjuncin ( A ( ( B & ( C

B) Junto a cada una de las proposiciones matemticas siguientes se indica el tipo de proposicin molecular al que pertenece. Actuar como en el ejercicio precedente.

1. Conjuncinx ( 0 ( x ( y & y = z

2. Disyuncinx = y ( x ( 0 ( y = 0

3. Condicional x = 0 ( x ( y & y ( z

4. Conjuncin x = y ( x = z & y ( z

5. Disyuncin x = 0 ( x ( 0 & y = z

6. Condicional x = y & y = z ( x = z

7. Condicional x ( y & y ( z ( x ( z

8. Conjuncin x = y ( x = z & y ( z

Ejercicio 10

Ejercicios de repaso

A) Poner una A despus de cada proposicin atmica y una M despus de cada proposicin molecular (escribir el trmino de enlace utilizado en la proposicin molecular).

1. Las bacterias en el agua o se destruyen hirviendo el agua o se destruyen por clorizacin.

2. Este libro tiene ms pginas que el otro.

3. La guerra no puede explicarse totalmente por una sola causa.

4. Un mineral tiene propiedades fsicas y tiene propiedades qumicas.

5. Si voy a Muisne, entonces tomar el sol en la playa.

6. No se puede terminar el trabajo hoy.

7. Somos capaces de hacer todos los ejercicios de esta pgina.

8. Rosa es mayor de edad y su hermano es menor de edad.

9. Las proposiciones moleculares tienen trminos de enlace.

10. Voy a clase o voy al estadio.

B) Escribir cuatro proposiciones atmicas y cuatro proposiciones moleculares (con trminos de enlace distintos).

C) Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando por cada proposicin atmica la letra correspondiente.

1) Si son ms de las seis, entonces la asamblea ha empezado.

2) O mi reloj va mal o llegaremos tarde.

3) Si las clulas de las plantas no tienen clorofila, entonces no pueden sintetizar los alimentos.

4) Ayer llovi todo el da y hoy el sol nos quema.

5) No puedo ir de paseo y tengo que quedarme en casa.

D) Simbolizar las proposiciones siguientes, utilizando los smbolos indicados:

P: Luis ha venido demasiado tarde.

Q: Juan ha venido demasiado pronto.

R: Marcos est enfadado.

1) Si Luis ha venido demasiado tarde y Juan demasiado pronto, entonces Marcos est enfadado.

2) Si Luis ha venido demasiado tarde o Juan no ha venido demasiado pronto, entonces Marcos no est enfadado.

3) Si Marcos no est enfadado, entonces Luis no ha venido demasiado tarde.

4) O Luis no ha venido demasiado tarde o Juan ha venido demasiado pronto.

5) Juan ha venido demasiado pronto, y, si Luis ha venido demasiado tarde, entonces Marcos est enfadado.

6) No ocurre que Luis ha venido demasiado tarde y Juan ha venido demasiado pronto.

E) Completar la simbolizacin de las siguientes proposiciones moleculares.

1) Si P, entonces Q.

6. No Q, y, si P, entonces R.

2) O P o Q.

7. P y, si Q, entonces no R.

3) O no P o no Q.

8) O P y Q, o R y S.

4) No ocurre que o P o Q.

9) No ocurre que, si P, entonces Q.

5) Si no P, entonces no Q y R.

10) Si o P o Q, entonces no R.

F) Aparear cada una de las palabras de la izquierda con los ejemplos o definiciones en la lista de la derecha.

1. Disyuncin

a) P ( Q

2. Negacin

b) ( (P & Q)

3. Proposicin condicional

c) P ( Q

4. Proposicin molecular

d) Q en la proposicin P ( Q

5. Antecedente

e) ( P

6. Consecuente

f) P en la proposicin P ( Q

7. Conjuncin

g) ( P & ( Q

8. Proposicin atmica.

h) Cualquier proposicin con trmino

de enlace.

j) Cualquier proposicin sin trmino de enlace.

G) Simbolizar las siguientes proposiciones matemticas eligiendo letras maysculas para sustituir las proposiciones matemticas atmicas.

1. x es mayor que cinco.

2. Cuatro no es un nmero impar.

3. x es igual a tres o x es mayor que seis.

4. Si x ms cuatro es igual a siete y z ms x es igual a ocho, entonces z es igual a cinco.

5. Si x es menor de cinco o mayor que siete, entonces no es igual a seis.

H) Traducir las siguientes proposiciones lgicas (frmulas) en lengua castellana. Primero elegir una proposicin atmica en castellano para cada letra atmica, luego escribir la proposicin completa en castellano.

1) ( S

2) A ( ( B3) P ( ( Q

4) M & ( N ( R5) ( (R ( S)

6) P & ( Q ( R.

I) Simbolizar las siguientes proposiciones:

1) O bien no es cierto que llueve y nieva, o sopla viento.

2) O est lloviendo o nevando, o ninguna de las dos cosas.

3) No es el caso que ni llueva ni nieve.

4) No es cierto que llueva y nieve.

5) No es cierto que llueve, pero no nieva.

6) Llueve o nieva.

7) O bien no est lloviendo o est nevando.

8) O bien Lucas y Marcos son ambos culpables, o Marcos es inocente (=no es culpable).

9) O Marcos es culpable, o l y Lucas lo son conjuntamente.

10) O bien Lucas es culpable, o Marcos es inocente, o ambos son culpables.

J) Simbolizar totalmente las siguientes expresiones y colocar los parntesis necesarios (un poco ms difcil)1) Es falso X y Y. 2) X y Y son falsos. 3) Ni X ni Y son verdaderos. 4) No es cierto X y no Z. 5) O X o Y, pero no ambas. 6) O X o no es el caso que no A y no B. 7) O es cierto A y B, o no es posible A y no B. 8) O es cierto A y B, o X y Y son verdaderos. 9) No es cierto que si X entonces no Y. 10) Si A o B, y B o C, entonces A y B. 11) De A y B se deduce C. 12) C se sigue de A y no B. 13) Si de A se infiere B, y de B se infiere C, de A seguir tambin C. 14) Para que se d B ha de darse A. 15) Si es cierto que A y B se dan conjuntamente, tambin lo ser que se den alternativamente. 16) Se dar B si se da A y C, pero no se dar D.

L)Simbolizar los siguientes enunciados (un poco ms difci anl):

1) Todo nmero decimal peridico infinito, se puede escribir como una fraccin.

2) Todo nmero racional se puede escribir como un decimal finito, o como un decimal peridico infinito.

3) El orden de los sumandos no altera la suma.

4) El orden de los factores no altera el producto.

5) Si A y B son dos elementos distintos, no puede suceder que a la vez A se relacione con B y que B se relacione con A.

6) Si un elemento A se relaciona con otro elemento B y ste con C, tambin el primero deber relacionarse con el tercero.

7) Todo nmero mayor que 1, o es primo o puede expresarse como producto de factores primos.

8) Todo lo que es, es.

9) Es imposible que una misma cosa sea y no sea.

10) Preguntar si una ciencia es posible supone que se ha dudado de su realidad (Kant, Prolegmenos, Prefacio).

11) El entendimiento no puede intuir nada y los sentidos no pueden pensar nada (Kant, Crtica de la Razn Pura, Introduccin).

12) Si una sustancia pudiese ser producida por otra, su conocimiento debera depender del conocimiento de su causa (Spinoza, Etica).

13) Todo es perfecto al salir de las manos del hacedor; todo degenera entre las manos del hombre (Rousseau, El Emilio).

14) Los grados de velocidad adquiridos por el mismo mvil sobre planos de diversa inclinacin son iguales si son iguales las alturas de los diversos planos (Galileo, Discursos).

15) Se dice que un cuerpo est uniformemente acelerado cuando partiendo del reposo adquiere, durante intervalos iguales, incrementos iguales de velocidad (Galileo, Discursos).

16) Si se enuncia el ser como el predicado de lo Absoluto, se obtiene la primera definicin de ste: lo Absoluto es el ser (Hegel, El Ser y la Nada, Enc., 86).

17) Toda la objecin se reduce a esta verdad innecesaria: no hay trabajo asalariado donde no hay capital (Marx, Manifiesto Comunista).

M)Leer las siguientes proposiciones simbolizadas, indicando primeramente cul es la dominante.

1) ( ( ( A ( ((B) ( A ( ( B

2) ( A ( B ( ( ( ( A ( B & C)

3) ((( B & C) ( ( (B ( D ( E)

4) (( P & ( ( Q ( R) ( (( B) ( C

5) (A ( ( B) ( ( (C ( D & E)

6) ( (( A ( ( B) & ( (( C ( D ( ((( E)

7) ( ( ( A & ( B) ( D ( (C & E ( F)

8) ( (B ( (( C ( (( E ( F ( ( G))

2 INFERENCIA LGICA

4.1 INTRODUCCIN

1) Hasta ahora hemos aprendido a dividir las proposiciones en sus partes lgicas y hemos llegado a conocer algo sobre la forma lgica de las proposiciones. Podemos dirigirnos ya hacia una parte importante de la lgica formal: inferencia y deduccin.

Podemos definir la Lgica como la teora de las condiciones del razonamiento formalmente vlido.

(Razonamiento, inferencia, argumento son sinnimos).

Un razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en l se produce un paso de uno o ms enunciados (las premisas) a otro posterior (la conclusin) que se deduce necesariamente de las premisas.

Las reglas de inferencia que rigen el uso de los trminos de enlace son muy simples.

Damos el nombre de frmulas lgicas a las proposiciones simbolizadas.

Se empieza con conjuntos de frmulas que se denominan premisas.

Utilizando las reglas de inferencia, las premisas nos conducen a otras frmulas que se denominan conclusiones.

El paso lgico de las premisas a la conclusin es una deduccin.

La conclusin que se obtiene se dice que es una consecuencia lgica de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusin est permitido por una regla.

La idea de inferencia se puede expresar de la siguiente manera:

De premisas verdaderas se obtienen slo conclusiones que son verdaderas.

Un razonamiento es formalmente vlido cuando existe una conexin adecuada entre las premisas y la conclusin.

Hagamos un ejemplo: supongamos tener dos premisas:

- la frmula

P ( Q

- y la frmula

P

Es decir: se empieza diciendo que se da

P ( Q

y que se da

P

Se puede sacar una conclusin de estas dos premisas?

O sea, se puede idear otra proposicin que sea cierta si las dos premisas son ciertas?

La primera proposicin expresa que, si se da P, entonces se da Q.

La segunda dice que se da P.

La conclusin es que se da Q.

La proposicin Q es consecuencia lgica de las premisas.

En el lenguaje natural, la conclusin de los razonamientos viene introducida por expresiones como por tanto, luego, en consecuencia, se deduce que, etc.

Veamos ahora una inferencia de la misma forma, pero con lenguaje castellano.

Primera premisa:- Si llueve, entonces el cielo ha de ser cubierto.

Segunda premisa:- Llueve.Conclusin:

- Por tanto, el cielo ha de ser cubierto.

Esta conclusin se puede inferir lgicamente de las premisas dadas.

2) Todos los sistemas deductivos comportan una dimensin ldica. En efecto, los

clculos y los juegos se parecen, porque:

los smbolos de clculo (vocabulario y conectores) desempean el papel que, en los juegos, corresponde a las fichas, los tableros, los dados, las cartas y cualquier otro elemento indispensable para poder jugar;

las reglas de formacin de frmulas equivalen a las instrucciones iniciales del juego (lugar que las piezas deben ocupar, nmero de cartas o fichas a repartir, orden de las jugadas, combinaciones vlidas entre los elementos del juego, etc.);

las reglas de transformacin corresponden a las normas que legalizan establecen la validez de las distintas jugadas del juego al que nos dediquemos.

+ Adems, los juegos y los clculos se caracterizan por ser sistemas cerrados en los que, no respetar las reglas supone salir del juego.

+ Por otra parte, clculos y juegos carecen de finalidades externas a s mismos, esto es, finalidades distintas a los de jugar o calcular. Slo si se consideran clculos interpretados, la matemtica puede aplicarse a la construccin de puentes, la lgica a determinar la correccin de los razonamientos expresados en lenguaje natural o el pker a ganar o perder la hacienda.

+ Consideramos el juego como una herramienta indispensable para el aprendizaje de cualquier actividad, bien sea manual o intelectual. Jugar es ejercitarse, entrenarse para la realidad sin exponerse a los riesgos que la realidad comporta. Los ejercicios de inferencia lgica hay que considerarlos como si se tratara de un juego. Junto a los ejercicios de estricta derivacin formal, colocamos tambin enigmas, pasatiempos lgicos y matemticos, porque sirven al mismo objetivo: conseguir que el estudiante se ejercite en el razonamiento, ordene sus ideas y se acostumbre al rigor intelectual.

+ Presentamos tambin problemas que pueden resolverse sin una preparacin lgica especial: slo es necesario atender al planteamiento y razonar ordenadamente. A veces, la solucin de un problema exige tambin capacidad creativa o imaginativa.

(cf. Montaner 40)

4.2 REGLAS DE INFERENCIA LGICA

La Lgica Proposicional (o de enunciados) es la parte ms elemental (porque la ms sencilla) y bsica (porque sirve de fundamento al resto del edificio de la Lgica) de la Lgica.

Hay que recordar que la Lgica Proposicional trata de la validez formal de los razonamientos donde las premisas y la conclusin son proposiciones tomadas en bloque, es decir, prescindiendo de los elementos que la integran, (esto ser objeto de la Lgica del Predicado, donde la simbolizacin atiende a la estructura interna del enunciado o proposicin).

Modus ponendo ponens

Es la regla de inferencia aplicada en el ejemplo precedente. La regla tiene un nombre latn.

Primero damos algunos ejemplos, y despus explicamos la regla.

I Ejemplo:

Premisa 1:Si Luis ha ido a ver el partido, entonces est en el estadio.

Premisa 2: Luis ha ido a ver el partido.

Conclusin: Luis est en el estadio.

II Ejemplo:

Premisa 1:Si hoy no sale el avin, entonces no me voy a Quito.

Premisa 2:Hoy no sale el avin.

Conclusin: No me voy a Quito.

Vamos a simbolizar los dos ejemplos:

I Ejemplo:

P = Luis ha ido a ver el partido.

Q = Luis est en el estadio.

Primera premisa:P ( Q

Segunda premisa:P

Conclusin:

Q

II Ejemplo:

A = Hoy sale el avin.

B = Me voy a Quito.

Primera premisa:( A ( ( B

Segunda premisa: ( A

Conclusin:

( B

La regla Modus ponendo ponens permite pasar de dos premisas a la conclusin si se tienen dos proposiciones de la forma indicada: o sea

Si se da una proposicin condicional

y se da el antecedente de la misma condicional,

se da el consecuente de la condicional (o sea, se deduce el consecuente de la condicional).

Se puede expresar tambin de esta manera:

Si se afirma el antecedente, se afirma el consecuente.

La misma regla se aplica tanto si el antecedente y el consecuente son proposiciones atmicas como si son proposiciones moleculares.

Ejemplos:

R ( S

P

P & Q ( R

( P ( Q

P ( Q & R

R

P ( ( QP & Q

( P

P

-------

------------------------

-----------

--------------

S

( Q

R

Q

Q & R

En el segundo ejemplo, la condicional figura en segundo lugar, y P, que es el antecedente, est situado primero. Esto indica que el orden de las proposiciones es indiferente.

Si es una ayuda, se pueden usar parntesis (aunque no necesarios), cuando el antecedente o el consecuente son proposiciones moleculares:

( P ( R ( S & ( Q

( ( P ( R) ( (S & ( Q)

( P ( R

( ( P ( R)

-------------------------

------------------------------

S & ( Q

(S & ( Q)

El nombre modus ponendo ponens se puede explicar de la siguiente manera: Esta regla de inferencia es el mtodo (modus) que afirma (ponens) el consecuente, cuando se afirma (ponendo) el antecedente.

La abreviatura para indicar la regla del modus ponendo ponens es PP.

Otra manera de representar las operaciones de deduccin es colocar en fila horizontal, una tras otra, las premisas separadas por comas, a continuacin el smbolo (( , al que llamamos deductor, y que puede leerse como por tanto o por consiguiente, y finalmente la conclusin.

A ( B, A, (( B(modus ponendo ponens)

Ejercicio 1

A. Qu conclusin se puede sacar de los siguientes conjuntos de premisas? Es decir: qu proposicin lgica se puede deducir de las premisas?

1. Si usted est en Quito, su reloj seala la misma hora que en Loja. Usted est en Quito.

2. Si no salimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No salimos ahora.

3. Si esta planta no crece, entonces o necesita ms agua o necesita mejor abono. Esta planta no crece.

4. Son las cinco. Si son las cinco, entonces la oficina est cerrada.

5. Si Pablo vive en Riobamba, entonces no vive en la Costa. Pablo vive en Riobamba.

B. Utilizando el modus ponendo ponens, sacar una conclusin de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes. Escribir las conclusiones en la lnea (3).

1. (1) P ( Q ( R

3. (1) ( P

5. (1) P ( Q ( R

(2) P ( Q

(2) ( P ( Q

(2) P

(3)

(3)

(3)

C.Poner una C junto a cada ejemplo en el que la conclusin es correcta. Poner una I junto a cada conclusin incorrecta.

1. Premisas: S , S ( T; conclusin: T

2. Premisas: T ( V , T; conclusin: V

3. Premisas: P ( Q , Q; conclusin: P

4. S , R ( S; conclusin: R

D.Utilizar el modus ponendo ponens para deducir una conclusin de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes:

1. Si x ( 0, entonces x + y ( 1. x ( 0

2. Si x + y = z, entonces y + x = z. x + y = z

3. Si x ( z y z ( y , entonces x ( y. A la vez x ( z y z ( y.

4. A la vez x = z y z = y. Si x = z y z = y, entonces x = y.

E. Las hermanas gemelas

1. Las hermanas Dobler son tan parecidas que no es posible distinguirlas. Angelita dice siempre la verdad; su hermana Mara miente siempre. Para saber con cul de las dos se est tratando, no sirve preguntarle su nombre. Por qu?

F. Don Marceln, aficionado a la lgica, ide un mtodo para descubrir con rapidez la identidad de las gemelas. Se diriga a cualquiera de ellas y le preguntaba: Si a tu hermana le preguntase cmo se llama, qu me respondera?. Sabras demostrar la efectividad de la pregunta? (cf. Montaner 41).

Demostraciones

Empezamos con presentar algunos ejercicios complejos y veamos si somos capaces de desarrollar un razonamiento aplicando ms de una vez siempre la nica regla lgica que por ahora conocemos (modus ponendo ponens): se trata, como diremos ms adelante, de cadenas deductivas.

Estos seis ejercicios en este momento pueden parecer a la mayora muy difciles; y, efectivamente, para los que empiezan el razonamiento deductivo a travs de la lgica, presentan un grado notable de dificultad. Si alguien puede llegar a la conclusin sin que nadie le haya dado indicaciones, significa que su mente ya est preparada para el razonamiento deductivo y el camino de la lgica le parecer una...autopista. Si los alumnos no pueden resolverlos por su cuenta, no hay que desalentarse. Aprendern, poco a poco, cmo desarrollar la capacidad deductiva; y dentro de pocas semanas, retomando estos mismos ejercicios, se darn cuenta de que han caminado en su capacidad lgica porque los encontrarn...fciles.

1. Demostrar: P

2. Demostrar: ( P ( ( Q

1) ( M ( ( N

1) ( (R & S) ( M

2) T ( ( M

2) M ( ( P ( ( Q

3) ( N ( P

3) ( (R & S)

4) T

4)

5)

5)

6)

7)

3. Demostrar: ( T

4. Demostrar: ( (R ( ( S)

1) P ( ( Q

1) (P & Q) ( ( N

2) ( Q ( N

2) ( T ( (P & Q)

3) N ( M

3) ( N ( ( (R ( ( S)

4) M ( ( R

4) ( T

5) ( R ( ( T

6) P

5. Demostrar: ( (( M & ( N)

6. Demostrar: P ( (( T ( ( U)

1) (( S ( ( T) ( (( P ( ( Q)

1) ( Q ( (P ( (( T ( ( U))

2) (( P ( ( Q) ( W

2) (( M ( ( N) ( R ( S

3) W ( ( (( M & ( N)

3) (R ( S) ( ( Q

4) ( S ( ( T

4) ( M ( ( N

Cuando se usa una regla de inferencia lgica para pasar de un conjunto de proposiciones a otra proposicin, se demuestra que la ltima proposicin es consecuencia lgica de las otras. Esto se puede expresar de muchas maneras. Se puede decir que se ha derivado la conclusin de las premisas, que la conclusin se infiere o se deduce de las premisas, etc.

Ejercicio 2

A. Deducir una conclusin de cada conjunto de premisas, indicando cmo se obtienen cada una de las terceras lneas por medio de las abreviaturas P en la regla de premisas, o PP en el modus ponendo ponens.Ejemplo:

(1) ( P ( S

P

(2) ( P

P

(3) S

PP

1. (1) ( A ( ( B

2. (1) M

(2) ( A

(2) M ( N

3. (1) R

4. (1) ( B ( ( D & A

(2) R ( ( T ( Q

(2) ( B

B. Simbolizar cada uno de los conjuntos de premisas del literal A en el ejercicio 1. Despus indicar una demostracin como en la seccin A de este ejercicio.

Cadena deductiva: demostraciones de dos o ms pasos

Una cadena deductiva es una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusin, sigue necesariamente de los anteriores. Cada enunciado que forma parte de una determinada cadena deductiva constituye una lnea de derivacin.

Algunas veces no se puede ir directamente a la conclusin con un solo paso. Pero, cada vez que se deduce una proposicin por medio de una regla, esta proposicin se puede utilizar junto con las premisas para deducir otra proposicin.

Veamos un ejemplo con tres premisas:

(1) A ( B

P

(2) B ( C

P

(3) A

P

Se quiere demostrar C. Para llegar a C se necesitan dos pasos, cada uno permitido por el modus ponendo ponens (PP). Estos dos pasos son las lneas (4) y (5).

(1) A ( B

P

(2) B ( C

P

(3) A

P

(4) B

PP 1,3

(5) C

PP 2,4

Cada lnea est numerada y justificada, sea por ser premisa (indicada por P), sea por ser deducida por una regla de inferencia (indicada por la abreviatura PP). Adems, despus de las abreviaturas correspondientes a las reglas empleadas para obtener las lneas deducidas, se ha indicado el nmero de las lneas a partir de las cuales se ha deducido esta lnea.

En este caso, en la lnea (4) la sigla PP 1,3 significa que B se ha deducido por el modus ponendo ponens de las lneas (1) y (3). En la lnea (5), C se ha deducido por medio de la misma regla PP de las lneas (2) y (4).Otro ejemplo: se dan tres premisas y se quiere deducir (o demostrar) R.

(1) S ( ( T

P

(2) S

P

(3) ( T( R

P

(4) ( T

PP 1,2

(5) R

PP 3,4

Se utiliza PP para deducir la lnea (4); despus se aplica el PP a aquella lnea y a la (3) para deducir la conclusin (5).

Ejercicio 3

A. Aplicando las indicaciones dadas, deducir las conclusiones que sean consecuencia lgica de los siguientes conjuntos de premisas.

1. Demostrar: ( T

2. Demostrar: G

3. Demostrar: C

(1) R ( ( TP (1) ( H ( ( JP (1) A ( B & D P

(2) S ( R

P (2) ( H

P (2) B & D ( C P

(3) S

P(3) ( J ( G

P (3) A

P

(4)

(4)

(4)

(5)

(5)

(5)

4. Demostrar: M ( N

5. Demostrar: ( S

(1) ( J ( M ( N

P

(1) T

P

(2) F ( G ( ( J

P

(2) T ( ( Q P

(3) F ( G

P

(3) ( Q ( ( S P

(4)

(4)

(5)

(5)

C) Simbolizar cada una de las proposiciones de los conjuntos siguientes y demostrar que la conclusin (la proposicin que empieza con Por tanto...) es consecuencia lgica. Seguir el mtodo que hemos dado ms arriba.

Nota: Cuando se usan smbolos matemticos, no es necesario utilizar letras maysculas para simbolizar las proposiciones atmicas.

1. Si 2 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 1.

Si 3 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 0.

2 es mayor que 1.

Por tanto, 3 es mayor que 0.

2. Si x = z y z = y, entonces x = y

Si x = y, entonces y = x

x = z y z = y

Por tanto, y = x

3. x + 1 = 2

Si x + 1 = 2, entonces y + 1 = 2

Si y + 1 = 2, entonces x = y

Por tanto, x = y

4. Si x + 0 = y, entonces x = y

x + 0 = y

Si x = y, entonces x + 2 = y + 2

Por tanto, x + 2 = y + 2

D) La regla PP se puede aplicar muchas veces en una demostracin. En los ejercicios que siguen, deducir la conclusin que se desea demostrar, expresando la regla aplicada para deducir cada lnea e indicando las lneas que se han utilizado para aplicar la regla.

1. Demostrar: ( N

2. Demostrar: B

(1) R ( ( SP (1) ( G ( E

P

(2) R

P

(2) E ( K

P

(3) ( S ( QP

(3) ( G

P

(4) Q ( ( NP

(4) K ( ( L

P

(5) ( L ( M

P

(6) M ( B

P

3. Demostrar: R ( S

(1) C ( D

P

(2) C ( D ( ( F

P

(3) ( F ( A & ( BP

(4) A & ( B ( R ( SP

E) Corazn locoAngelita est agobiada por problemas amorosos. No se aclara. Si ama a Pedro, no ama a Don Marceln, pero si no ama a Don Marceln, ama a Roberto. Si ama a Roberto, deja de amar a Vicente, pero si no ama a Vicente, entonces ama a Francisco, el lechero de la esquina.

- Angelita, por favor, - la increpamos - es que no ests segura de tus sentimientos?

- Una cosa es cierta nos responde -. Estoy segura de que amo a Pedro.

Podras ayudarla aclarando sus ideas? (Montaner 52)

(Hay que formalizar las premisas del razonamiento y deducir a quines ama Angelita).

Doble negacinLa regla de la doble negacin permite pasar de una premisa nica a la conclusin.

Ejemplo:No es cierto que Sandra no es una estudiante.Si sta es una premisa, la conclusin ser: Sandra es una estudiante.

La negacin de una negacin corresponde a una afirmacin.

La regla acta tambin en sentido contrario.

Ejemplo:Tamara toma el colectivo para ir a la escuela.

Si sta es una premisa, se puede concluir:

No es verdad que Tamara no toma el colectivo para ir a la escuela.

La regla de la doble negacin tiene, pues, dos formas simblicas:

P

( ( P

---------------------

--------------------

( ( P

P

La abreviatura para indicar esta regla es DN.

- Ejemplos:(1) R

P

(1) ( ( (P & Q)P

(2) ( ( RDN 1

(2) P & Q

DN 1

- Dice que llueve o dice que no llueve la siguiente proposicin?

No es cierto que sea falso que no llueve.

El lenguaje diario usa indistintamente la doble negacin o para anular una negacin ya formulada (como en no es verdad que no estuvo presente, y en esto vienen a coincidir el lenguaje ordinario y el uso lgico de la negacin), o en un sentido puramente retrico o reduplicativo como en no dijo ni una palabra. La simbolizacin de la segunda frase sera ( D (representando D: decir una palabra); mientras que la primera se representara como (( P (siendo P: estar presente). En lgica consideramos la doble negacin en su sentido estricto.

Ya conocemos dos reglas de inferencia (PP y DN), y podemos hacer demostraciones que requieran el uso de ambas.

Ejemplo:(1) P ( Q

P

(2) P

P

(3) Q

PP 1,2

(4) ( ( Q

DN 3

Ejercicio 4

A. Qu conclusiones se pueden sacar de cada una de las proposiciones siguientes por la doble negacin?

1. Todos los mamferos son animales de sangre caliente.

2. No es cierto que el ncleo de un tomo no est cargado positivamente.

3. El granito es una roca gnea.

4. En el Ecuador las elecciones del presidente tienen lugar cada cuatro aos.

B.Deducir una conclusin de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, utilizando el modus ponendo ponens, cuando sea posible. Si la regla no se puede aplicar a las premisas, indicarlo escribiendo no PP.

1. (1) P & Q ( R

2. (1) ( ( R

3. (1) S ( T & U

(2) R

(2) Q ( ( ( R

(2) T & U

4. (1) Q ( R ( S

5. (1) S

6. (1) ( ( P ( Q

(2) Q

(2) S ( ( P

(2) ( ( P

C.Poner la letra C junto a cada afirmacin cierta.. Poner la letra F junto a cada afirmacin falsa.

1. De ( ( R se puede deducir R

2. De Q se puede deducir ( ( Q

3. De S se puede deducir ( S

4. De R ( Q y P se puede deducir R

5. De P ( Q y P se puede deducir Q

6. De R se puede deducir ( R

D.Demostrar que las conclusiones son consecuencia lgica de las premisas. Dar la demostracin completa.

1. Demostrar: ( ( T

3. Demostrar: G

(1) S ( TP (1) H ( ( ( G P

(2) SP (2) H

P

(3)

(3)

(4)

(4)

2. Demostrar: B

4. Demostrar: P ( Q

(1) ( A

P (1) R ( ( ( (P ( Q) P

(2) ( A ( ( ( B

P (2) R

P

(3)

(3)

(4)

(4)

E.En lgica cualquier nmero par de negaciones equivale a una afirmacin (as (((( P = P), y un nmero impar de negaciones corresponde a una negacin (((( P = ( P). Te invito ahora a descifrar los siguientes titulares de prensa:

1) No es cierto que el Congreso Nacional se haya opuesto a la negativa del Presidente respecto a la ley que prohibe la instalacin de misiles nucleares.

2) El criminal neg que estuviese mintiendo cuando afirm que no deca la verdad al negar que tena un cmplice.

Modus Tollendo Tollens

Tambin esta regla se aplica a las proposiciones condicionales.

Se puede expresar de esta manera: Si se niega (tollendo) el consecuente (de una condicional), se puede negar (tollens) el antecedente (de la misma condicional).

Ejemplo: Premisa 1: Si la luna tiene luz propia, entonces es una estrella.

Premisa 2: La luna no es una estrella.

Conclusin: Por tanto, la luna no tiene luz propia.

Simbolizando:

P = La luna tiene luz propia.

Q = La luna es una estrella.

(1) P ( Q

(2) ( Q

(3) ( P

La abreviatura del modus tollendo tollens es TT.

La regla permite pasar de dos premisas (una proposicin condicional y una proposicin que niega el consecuente de esta condicional) a una conclusin que niega el antecedente.

Hay que recordar que tanto el antecedente como el consecuente pueden ser proposiciones atmicas o moleculares.

Ejemplos:

(1) Q & R ( SP (1) P ( ( Q P (1) ( A ( B P

(2) ( S

P (2) ( ( Q P (2) ( B P

(3) ( (Q & R) TT 1,2 (3) ( P TT 1,2 (3) ( ( A TT 1,2

Ya conocemos tres reglas de inferencia lgica: PP, DN, TT.

Veamos ahora dos ejemplos en que se aplican estas reglas.

1. Demostrar: ( ( R

2. Demostrar: A

(1) P ( Q

P

(1) ( A ( ( B

P

(2) ( Q

P

(2) B

P

(3) ( P ( R

P

(3) ( ( B

DN 2

(4) ( P

TT 1,2

(4) ( ( A

TT 1,3

(5) R

PP 3,4

(5) A

DN 4

(6) ( ( R

DN 5

Para la aplicacin correcta del modus tollendo tollens, hay que haber entendido bien el uso de la doble negacin: como ( B es la negacin de B, as B es la negacin de ( B, porque B corresponde a ( ( B.

Ejercicio 5

A.De cada uno de los conjuntos de premisas se puede deducir una conclusin. Escribirla en castellano.

1. Si un ngulo de un tringulo es mayor de 90(, entonces la suma de los otros dos ngulos es menor de 90(. La suma de los otros dos ngulos no es menor de 90(.

2. Si llovi de madrugada, entonces las pistas se han limpiado. Las pistas no se han limpiado.

3. Jos no es mi hermano. Si Susana es mi hermana, entonces Jos es mi hermano.

B.Deducir una conclusin de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes.

1. (1) Q ( R P 2. (1) R ( S P

3. (1) P ( Q & R P

(2) ( R P (2) ( S P (2) ( (Q & R) P

(3)

(3)

(3)

C.Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas.

1. Demostrar: C

2. Demostrar: F

3. Demostrar: ( S

(1) ( B P (1) G ( H P (1) S ( ( RP

(2) A ( B P (2) ( G ( ( ( F P (2) R

P

(3) ( A ( C P (3) ( H P

4. Demostrar: ( (( P ( Q)

5. Demostrar: ( (( P ( ( Q)

(1) ( T

(1) R & S ( ( D ( ( W

(2) N ( S

(2) ( D ( ( W ( T

(3) S ( T

(3) (( P ( ( Q) ( M ( N

(4) ( P ( Q ( N

(4) ( T

(5) M ( N ( R & S

6. Demostrar: ( (R ( S & T)

7. Demostrar: ( (R & S)

(1) ( M & ( N ( Q

(1) ( (P ( Q)

(2) ( (( U ( ( W)

(2) R & S ( N

(3) Q ( (( U ( ( W)

(3) U ( W ( (P ( Q)

(4) (R ( S & T ) ( ( M & ( N (4) N ( U ( W

8. Demostrar: ( (( U ( ( W)

(1) ( ( ( M ( ( N)

(2) (( U ( ( W) ( (( P ( (( R ( ( S))

(3) (( P ( (( R ( ( S)) ( (( M ( ( N)

9. Demostrar: ( P

10. Demostrar: ( (( P ( ( Q)

(1) U ( W ( M

(1) W ( R & ( S

(2) S ( T

(2) ( ( U ( H)

(3) Q ( R

(3) T ( M ( ( N

(4) P ( Q

(4) (R & ( S) ( (U ( H)

(5) T ( U

(5) (M ( ( N) ( W

(6) ( ( W ( M)

(6) (( P ( ( Q) ( T

(7) R ( S

D. El detective Martnez va a la casa del cliente.

El detective Martnez en su trabajo utiliza la lgica. De momento busca un crimen como paso previo a la bsqueda de un criminal: sale de casa por la maana y llama a cualquier puerta que le parece sospechosa. En cuanto le abren, empieza a hablar: Si se hubiera cometido un crimen en esta casa, ustedes habran necesitado los servicios del detective Martnez. Y si lo hubiesen necesitado, habran querido ponerse en contacto telefnico con l. Si hubiesen querido telefonearle, habran buscado su nmero en las pginas amarillas, habran descolgado el auricular y habran marcado el nmero.. Si hubiesen hecho todo esto habran estado perdiendo el tiempo. Pero ustedes niegan haber perdido el tiempo de esa manera, as que concluyo, por modus tollendo tollens, que en esta casa no se ha cometido crimen alguno. Adios, buenos das y perdonen.

(Formalizar el enunciado y demostrar que el detective Martnez razona de forma correcta). (ver Montaner 55).

E. En el dilogo platnico Menn, Scrates expone, en conversacin con un joven esclavo, cuyo nombre da ttulo a ese dilogo, el argumento de que la virtud no es algo que se pueda ensear en una clase:

Scrates: Convenimos en admitir que una cosa no puede ser enseada si no hay profesores capaces de ensearla?

Menn: Por supuesto.

Scrates: Pero, es que hay en lugar alguno profesores capaces de ensear la virtud?

Menn: No los hay.

Scrates: Puede ser entonces enseada la virtud?

Menn: No, si nuestra opinin es correcta.

(Formalizar el texto traducindolo a un conjunto de frmulas que representan las premisas del argumento y deducir despus, a partir de ellas la conclusin aplicando las reglas lgicas oportunas. P,V pueden ser los smbolos de las proposiciones que se utilizan).

Solucin: El hilo del discurso podra ser simplificado as: Si no hay profesores capaces de ensear la virtud, entonces la virtud no puede ser enseada. Pero, no hay profesores capaces de ensear la virtud. Por tanto, la virtud no puede ser enseada. (cf. Garca Trevijano 37 y 52).

F. Formalizar el siguiente razonamiento y averiguar si la conclusin es cierta.

Si no es cierto que no bromeo, entonces llueve. Y si llueve, no hace fro. Por si te sirve de ayuda, te dir que no es verdad que no haga fro. Por tanto, no bromeo.

Profundizacin del concepto de negacin

Hay que comprender bien (ya lo hemos recordado ms arriba) la extensin del concepto de negacin. Es fcil ver que ( P es la negacin de P. Pero no todos ven claramente que P es la negacin de ( P. Dado ( P, su negacin es ( ( P. Ahora bien, segn la regla de la doble negacin, ( ( P es equivalente a P. Por lo tanto, P es la negacin de ( P.

Aqu no hemos introducido una nueva regla, sino una reflexin que nos permite simplificar el camino de una demostracin.

Ejemplos: camino normal

camino simplificado

1.(1) A ( ( B

P

(1) A ( ( B

P

(2) B

P

(2) B

P

(3) ( ( B

DN 2

(3) ( A

TT 1,2

(4) ( A

TT 1,3

2. camino normal

camino simplificado

(1) ( A ( B

P

(1) ( A ( B

P

(2) ( B

P

(2) ( B

P

(3) ( ( A

TT 1,2

(3) A

TT 1,2

(4) A

DN 3

3. camino normal

camino simplificado

(1) ( P ( ( QP

(1) ( P( ( Q

P

(2) Q

P

(2) Q

P

(3) ( ( Q

DN 2

(3) P

TT 1,2

(4) ( ( P

TT 1,3

(5) P

DN 4

Ejercicio 6

A.Recordando que P es la negacin de ( P, evitar la regla de DN en las demostraciones siguientes.

1. Demostrar: ( P 2. Demostrar: A

3. Demostrar: P

(1) P ( ( QP (1) ( A ( ( BP (1) ( P ( ( Q P

(2) Q

P (2) ( B ( ( CP (2) Q P

(3) C

4. Demostrar: ( S 5. Demostrar: ( A6. Demostrar: ( A

(1) P ( Q

P (1) A ( ( C P (1) A ( B P (2) Q ( R

P (2) B ( C P (2) B ( C P

(3) S ( ( RP (3) B

P (3) C ( D P

(4) P

P

(4) ( D P

B.Teniendo en cuenta de que x = 0 es la negacin de x ( 0, evitar la regla de la DN en las deducciones siguientes.

1. Demostrar: x = 0

2. Demostrar: x ( 0

(1) x ( 0 ( x + y ( yP (1) x = 0 ( x ( y

P

(2) x + y = y

P (2) x = z ( x = y

P

(3) x = z

P

3. Demostrar: x = y

4. Demostrar: x ( 0

(1) x ( y ( x ( z

P (1) x = y ( x = z

P

(2) x ( z ( x ( 0

P (2) x = z ( x = 1

P

(3) x = 0

P (3) x = 0 ( x ( 1

P

(4) x = y

P

Adjuncin y SimplificacinRegla de AdjuncinSe dan dos proposiciones como premisas:1. Martha es pequea.

2. Carlos es gordo.

Si ambas son verdaderas, se podran juntar en una proposicin molecular utilizando el trmino de enlace y:

Martha es pequea y Carlos es gordo.

Carlos es gordo y Martha es pequea.

(El orden de las premisas es indiferente)

Si las dos premisas son ciertas, tambin la conclusin tendra que ser cierta.

La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusin, se denomina regla de adjuncin, y se indica con la abreviatura A.

Si una o ambas premisas son proposiciones moleculares, habr que poner parntesis cuando sea necesario.

Ejemplos:

a. (1) P

P

b. (1) Q & S

P

(2) ( R P

(2) ( T

P

(3) P & ( RA 1,2

(3) ( T & (Q & S)

A 1,2

c. (1) T

P

d. (1) P ( Q

P

(2) U

P

(2) Q ( R

P

(3) U & T

A 1,2

(3) (P ( Q) & (Q ( R) A 1,2

Regla de SimplificacinEs la regla opuesta a la de Adjuncin, y permite pasar de una conjuncin a cada una de las dos proposiciones que estn unidas por y (&).

La abreviatura para indicar esta regla es S.

Ejemplo: El cumpleaos de Mayra es el viernes y el de Tatiana es el sbado.

Podemos deducir dos conclusiones:

El cumpleaos de Mayra es el viernes.

El cumpleaos de Tatiana es el sbado.

Reducida en forma simblica: de la premisa

P & Q

se puede concluir

P

o se puede concluir

Q

Advertencia: Esta regla

no se puede aplicar a P & Q ( R, cuyo significado es (P & Q) ( R;

pero se puede aplicar a P & (Q ( R).

Ejemplos:

a. (1) (P ( Q) & R Pb. (1) (P & Q) & R P c. (1) T & ( S P

(2) P ( Q

S 1 (2) P & Q

S 1 (2) ( S S 1

Ejercicio 7

A.Qu conclusiones se pueden deducir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizando la regla A o la regla S?

1. El nmero atmico del hidrgeno es 1 y el nmero atmico del helio es 2

2. Esta inferencia es vlida. Aquella no es vlida.

3. A Toms le gusta esquiar y ha nevado en la montaa.

B.Demostrar que las conclusiones siguientes son consecuencia lgica de las premisas y dar una demostracin completa.

1. Demostrar: ( S

2. Demostrar: ( ( Q

3. Demostrar: B & D

(1) ( R & TP (1) P & Q

P (1) B & C

P

(2) S ( R

P

(2) B ( D

P

4. Demostrar: A & B

5. Demostrar: ( S & Q6. Demostrar: A & C

(1) C ( A

P (1) ( S ( QP (1) A & ( BP

(2) C

P (2) ( (T & R)P (2) ( C ( BP

(3) C ( B

P (3) S ( T & RP

C.Qu conclusiones puedes sacar de estos conjuntos de premisas?

1. (1) Q & R P 2. (1) (P ( Q) & S P 3. (1) S P

(2) T P

D.Formalizar el