Modelos de Programación Lineal

Mg. Ing. HELIEN PARRA RIVEROS

Modelos Base de Programacion Lineal


CONCEPTOS BSICOS

PROBLEMA

Situacin a resolver (contexto real o conceptual)

MODELO

Expresin en lenguaje matemtico de un problema

ALGORITMO

Secuencia de pasos (operaciones, actividades, decisiones) que se aplican al modelo para lograr un propsito

APLICACIN

Programa computacional que ejecuta repetitivamente un algoritmo con alto nivel de precisin y exactitud


Notacion Canonica

Es la notacin abreviada de una sucesin de operaciones usando smbolos matemticos

Permite generalizar un problema para su modelamiento y aplicacin

Se basan en problemas tpicos de la ingeniera (en este caso)


Por ejemplo

1. 1 + 2 + 3 + 4 + = =1

2. 11 + 22 + 33+. . =1

3. 11 + 22 + 33+. . =1 =1

4.

11 12 13 121 22 23 2 1 2 3

aij

5. :


Notacin Cannica de un problema lineal acotado. Requerimientos

1. Establecer objetivo (Maximizar o Minimizar)

2. Definir las dimensiones del problema

3. Definir la variable de decisin

4. Establecer las condiciones del problema

1. Restricciones

2. Parmetros


Notacin Cannica de un problema lineal acotado

Objetivo: Z: Funcion Objetivo que se busca maximizar o minimizar

Dimensiones del problema: i: Numero de variables i j: Numero de restricciones del problema a

Variable de Decision: Xi: nivel de la actividad i (para i = 1, 2, . . . , n).

Parametros: ci : incremento en Z que se obtiene al aumentar una unidad

en el nivel de la actividad i.

Restricciones: aij : cantidad del recurso j consumido por cada unidad de la

actividad i. (para i = 1, 2, . . . , n). bj: cantidad de recurso j disponible para asignarse a las

actividades i (para j = 1, 2, . . . , m).


Notacin Cannica de un problema lineal acotado

= =1

s.a. = 1,2, , ,

0


Problemas tpicos en programacin lineal acotada con las dimensiones expuestas

1. Problema de Mezcla dieta

2. Problema de Produccion

3. Problema de distribucin

4. Problema de Asignacin

5. Problema de cartera


1. Problema de Mezcla dieta

El problema de la mezcla consiste en combinar n recursos (ingredientes) para producir p artculos (mezclas). Cada recurso (ingrediente) tiene una composicin particular de m elementos y deben combinarse para que el conjunto de mezclas p cumplan unas cuotas mnimas requeridas


Graficamente

Pro

du

cto

s (i

)

Elementos (j)

Requerimientos ( de j en i)

Costos de

producto (i)

Cantidad de elemento j en el producto i


Notacin Cannica

Objetivo: Z: Funcion Objetivo que se busca. En este caso es minimizar el costo

Dimensiones del problema: i: Numero de productos i j: Requerimientos

Variable de Decision: Xi: numero de productos i a elaborar con la mezcla solicitada (para i = 1, 2, . . . , n).

Parametros: ci : Costo de cada unidad i elaborada o mezclada

Restricciones: aij : cantidad del recurso j mezclado para producir una

unidad de la actividad i. (para i = 1, 2, . . . , n). bj: requerimiento minimo del recurso j disponible (para j = 1,

2, . . . , m).


Notacion Cannica

= =1

s.a. = 1, 2

0


Ejemplo

Se tienen dos tipos de actividades de ventas; una es la venta en centros comerciales y la otra es la asistencia a eventos familiares. Para cada actividad hay tres tipos de recursos que deben proveerse; vendedores, vehculos e impulsadoras. En el caso de centros comerciales se requiere de 3 vendedores, 1 vehculo y 1 impulsadora. En el caso de eventos masivos, se requiere de 1 vehculo, 1 vendedor y 2 impulsadoras. El evento en centros comerciales cuesta el fin de semana $40.000.000 la hora y en eventos masivos cuesta $20.000.000. Se requiere siempre de contar con 27 vendedores, 21 vehculos y 30 impulsadoras programadas

Cual debe ser la asignacin de la prxima semana que permita asegurar el costo mnimo?


Notacin Cannica

Objetivo: Z: Funcin Objetivo que se busca. En este caso es minimizar el costo

Dimensiones del problema: i: Numero de productos i i = 1, 2

X1= Numero de actividades que se programarn en centros comerciales X2=Numero de actividades que se programarn en eventos familiares

j: Requerimientos : j= 1, 2, 3

Variable de Decisin: Xi: numero de actividades i a realizar con la mezcla solicitada (para i = 1, 2).

Parmetros: ci : Costo de cada actividad i

Restricciones: (tabla) aij : cantidad del recurso j mezclado para producir una unidad de la

actividad i. (para i = 1, 2). bj: requerimiento mnimo del recurso j disponible (para j = 1, 2, 3).


Modelo

Min: 40,000,000 X1 +20,000,000 X2S.A.

3x1+x227 (Vendedores)

x1+x221 (Vehculos)

x1+2x230 (Impulsadoras)


2. Problema de Produccion

El problema de produccin consiste en producir la mayor cantidad de bienes posible que se ofertan a precios fijos limitado por las restricciones del proceso productivo que son:

Mximas capacidades de mquina o proceso

Cuotas minimas o mximas de produccin

Tiempos limites

Tiempos estndar

Horarios de planta


Graficamente


Notacin Cannica

Objetivo: Z: Funcion Objetivo que se busca. En este caso es Maximizar la Utilidad

Dimensiones del problema: i: Tipo de producto j: Proceso productivo, actividad fase productiva

Variable de Decision: Xi: unidades del producto i a elaborar (para i = 1, 2, . . . , n).

Parametros: PVi:Precio de venta del producto i

Restricciones: TEij:Tiempo estndar del producto i en la actividad j (para i =

1, 2, . . . , n). TTj: Tiempo total disponible a programar en la actividad j

(para j = 1, 2, . . . , m).


Notacion Cannica

= =1

s.a. = 1, 2

0


Ejemplo

Una empresa produce tres tipos de muebles (A, B y C), cada uno de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la produccin de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas disponibles en un taller de lijado y 50 horas en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y 1 hora en el taller de pintado (estos mismos valores para los muebles B y C son 7,5:3:1 y 5:2:1, respectivamente). Se requiere formular y resolver un modelo de Programacin Lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio


Notacin Cannica

Objetivo: Z: Funcion Objetivo que se busca. En este caso es Maximizar la Utilidad

Dimensiones del problema: i: Tipo de producto (muebles A, B, C)

X1 = Unidades a elaborar y vender del mueble A. X2 = Unidades a elaborar y vender del mueble B. X3 = Unidades a elaborar y vender del mueble C.

j: Proceso productivo, actividad fase productiva (Corte, Lijado y Pintura)

Variable de Decision: Xi: unidades del producto i a elaborar (para i = 1, 2, 3).

Parametros: PVi:Precio de venta: $200, $150 y $120

Restricciones: TEij:Tiempo estndar del producto i en la actividad j TTj: Tiempo total disponible a programar en la actividad j (para j =

1, 2, . . . , m).


Modelo

Max: 200x1 + 150x2 +120x3S.A.

15 x1 + 7.5x2 + 5x3


3. Problema de distribucin

El problema de distribucin consiste en cumplir unos requerimientos de distribucin en centros u puntos a travs de orgenes con costos dependientes

Es un problema que busca el equilibrio

Su generalizacin con un estudio a profundidad se denomina en IO Problema de Transporte


Notacin Cannica

Objetivo: Z: Funcin Objetivo que se busca. En este caso es minimizar costos

Dimensiones del problema: i: orgenes (i = 1, 2, . . . , m). j: destinos (i = 1, 2, . . . , n).

Variable de Decisin: Xij: unidades a trasportar del origen i al destino j

Parametros: Cij:Costo de trasladar una unidad del origen i al destino j

Restricciones: bi: Unidades totales disponibles en cada origen i dj: Unidades totales requeridas en cada destino j La suma todos los m debe ser igual a todos los n (equilibrio)


Notacin Cannica


Ejemplo

Una compaa cuenta con tres proveedores de instalacin de

gasodomsticos A, B, y C para atender los requerimientos de los puntos de

venta D, E, F y G.

Las capacidades mensuales de los proveedores son 20, 30 y 45 unidades,

respectivamente; los requerimientos mensuales de los distribuidores son 10,

15, 40 y 30 unidades, para los distribuidores D, E, F y G respectivamente

los costos unitarios y la informacin anterior se muestra resumida asi:

Determinar el plan ptimo de distribucin que minimice el costo total

D E F G Ofertas

A $5 $10 $5 $0 20

B $5 $9 $5 $10 30

C $10 $10 $15 $5 45

Demandas 10 15 40 30 95


Notacin Cannica

Objetivo: Z: Funcin Objetivo que se busca. En este caso es minimizar costos

Dimensiones del problema: i: orgenes (i = 1, 2, 3). j: destinos (i = 1, 2, 3, 4).

Variable de Decisin: Xij: unidades a trasportar del origen i al destino j

Parametros: Cij:Costo de trasladar una unidad del origen i al destino j

(Tabla)

Restricciones: bi: Unidades totales disponibles en cada origen i dj: Unidades totales requeridas en cada destino j La suma todos los m debe ser igual a todos los n (equilibrio)(Tabla)


Modelo

Min z = 5X11+10X12+5X13+0X14+5X21+9X22+5X23+10X24+10X31+10X32+10X33+5X34

s.a.

X11+X12+X13+X14 20

X21+X22+X23+X2430

X31+X32+X33+X3445

X11+X21+X3110

X12+X22+X3210

X13+X23+X3310

X14+X24+X3410

X11,X12,X13,X14,X21,X22,X23,X24,X31,X32,X33,340


4. Problema de Asignacin

Es un problema en el que busco asignar a m trabajos n recursos de forma que se minimice el costo total

Igual que el anterior, requiere de condicin de equilibrio inicial


Graficamente

Recursos Trabajos


Notacion Canonica

= =1 =1

s.a.

=1

= 1

=1

= 1

= 1 0


Ejemplo

Un proceso productivo cuenta con 4 maquinas y cuatro tareas por completar. Cada maquina se debe asignar para completar una tarea. El tiempo requerido para preparar cada maquina para completar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Se desea reducir el tiempo de preparacin total necesario para completar las cuatro tareas.


Modelo


Actividad

Identifica dos ejemplos de cada uno de los modelos expuestos y resuelve usando MS Solver

Entrega en plataforma BlackBoard antes de iniciar la prxima clase

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