MODELO DE POBLACIÓN LIMITADACuando hay una población limitada de los clientes potenciales para una instalación de servicio, se necesita considerar un modelo diferente de colas. Este modelo sería utilizado, por ejemplo, si se estuviera considerando la reparación de equipo de una fábrica que tiene cinco maquinas, y se estuviera a cargo del mantenimiento de una flota de 10 aviones para vuelos cortos, o si se administrara una sala de hospital que tiene 20 camas. El modelo de población limitada permite que se considere cualquier cantidad de gente de mantenimiento (servidores).

La razón por la que este modelo difiere de los tres anteriores modelos de colas es que ahora hay una relación dependiente, entre la longitud de la cola y la tasa de llegada. Para ilustrar la situación extrema, si la fábrica tiene cinco máquinas y todas estuvieran descompuestas y esperando a ser reparadas, la tasa de llegada descendería a cero. En general, a medida que crece la línea de espera en el modelo de población limitada, la tasa de llegada de clientes o de máquinas disminuye. Ecuaciones del modelo de población limitada

1. Factor de servicio:

2. Número promedio de espera:

3. Tasa promedio de espera:

4. Número promedio corriendo:

5. Número promedio que está siendo atendido:

6. Numero dela población:

NOTACIÓND= Probabilidad de que una unidad tendrá que esperar en la colaF= Factor de eficienciaH= Número promedio de unidades que están siendo atendidas J= Número promedio de unidades que no están en la cola o en la estación de servicioL= Número promedio de unidades que están esperando servicioM= Número de canales de servicioN= Número de clientes potencialesT= Tiempo promedio de servicioU= Tiempo promedio entre requerimientos de servicio de las unidadesW= Tiempo promedio que una unidad espera en la líneaX= Factor de servicio

EjercicioCada una de las cinco impresoras láser para computadora en el U.S. Department of Energy, en Washington, D.C., necesita reparación después de aproximadamente 20 horas de uso. Se ha determinado que las descomposturas corresponden a una distribución de Poisson. El único técnico en turno puede dar servicio a una impresora en un tiempo promedio de dos horas, siguiendo una distribución exponencial. El tiempo de descompostura cuesta 120 dólares por hora. A los técnicos se les paga 25 dólares por hora. ¿Debe contratar el DOE a un segundo técnico?

Suponiendo que el segundo técnico pueda reparar una impresora en un tiempo promedio de dos horas, se puede utilizar la tabla S8.6 (en esta población limitada, se tiene n = 5 maquinas) para comparar los costos de un solo técnico con dos.

1. Primero se observa que T = 2 horas y U = 20 horas.2. Luego,

3. Para: M= 1 servidor, D = 0.350 y F = 0.960.4. Para: M= 2 servidores, D = 0.044 y F = 0.998.5. El número promedio de impresoras trabajando es J = NF (1-X).

Para M = 1, éste es J= (5) (0.960) (1-0.091) = 4.36Para M = 2, éste es J= (5) (0.998) (1-0.091) = 4.54

6. Sigue el análisis de costos:

Número de técnicos

Número promedio de impresoras

descompuestas (N-J)

Costo/hora promedio

para el tiempo de

descompostura

Costo/hora de los técnicos (a 25 dólares/hora)

Costo total/hora

1 0.64 $76.80 $25.00 $101.80

2 0.46 $55.20 $50.00 $105.20

Este análisis sugiere que teniendo solamente un técnico en servicio ahorrara unos cuantos dólares por hora ($105.20 – $101.80 = $3.40 dólares).