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Mecánica de Máquinas y Estructuras

TEMA 6. CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

Objetivo

Ser capaces de calcular los esfuerzos necesarios para conseguir el movimiento deseado en los elementos de una máquina. q

Ser capaces de calcular las solicitaciones en los componentes en movimiento de máquinas.

Tema 6. Cinética de Cuerpos Rígidos 3/XXMecánica de Máquinas y Estructuras

q

Tema 6 Cinética de cuerpos rígidosTema 6. Cinética de cuerpos rígidos

6.1 Movimiento plano de cuerpos rígidos6. Movimiento plano de cuerpos rígidos• Cantidad de movimiento angular• Principio de d’Alembert

M i i t l t i id• Movimiento plano restringido6.2 Movimiento 3D de cuerpos rígidos

• Cantidad de movimiento angular 3DCantidad de movimiento angular 3D• Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler.

Principio de d’AlembertM i i t 3D t i id• Movimiento 3D restringido



6.1 Movimiento plano de cuerpos rígidos6.1 Movimiento plano de cuerpos rígidos6. Movimiento plano de cuerpos rígidos• Cantidad de movimiento angular• Principio de d’Alembert


• Cantidad de movimiento angular 3DCantidad de movimiento angular 3D• Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler.



6.1 Movimiento plano de cuerpos rígidos

El cuerpo rígido: caso particular de Sistema de Partículas

· GF m a

M H

G GM H

Estas ecuaciones seguirán siendo válidas, si bien la segunda ecuación se puede escribir de forma más sencilla, viendo cuánto vale la cantidad de

i i t l d ólid í id i i t l


movimiento angular de un sólido rígido con movimiento plano.


Cantidad de movimiento angular HG

ri miZ

z

1

· ·n

G i i ii Gi V

H r m v H r v dm

i

x

yG

Y

2 2

X

2 2· · · · · ·GV V V V

H r v dm r r dm r dm r dm

·G GH I




·G GH I

G G

Diferenciando llegamos a la ecuación de equilibrio dinámico de momentos:Diferenciando llegamos a la ecuación de equilibrio dinámico de momentos:

· ·G G G GH I H I

·G GH I



El cuerpo rígido: ecuaciones de equilibrio dinámico

· GF m a

M I

Relación entre esfuerzos y movimiento del SR

·G GM I



Principio de d’Alembert

· GF m a Problema dinámico

· 0GF m a

G · 0G GM I

·G GM I

Fi

GSi introducimos sobre el SR unos esfuerzos exteriores ficticios de inercia (fuerza y par de inercia):

Problema estático

·i GF m a

·i GM I

Mi


equivalentei G


Ejemplo

Se quiere hacer girar a velocidad angular constante (antihorario) la barra homogénea, de longitud L y peso P de la figura. Para el instante mostrado en la figura determinar el par M que tendría que aportar el motor eléctrico cuyo eje defigura, determinar el par M que tendría que aportar el motor eléctrico cuyo eje de salida viene acoplado a la barra en A.

G40oM G

40oM· GF m a

M I

PA PAx·G GM I

Ay



Ejemplo

Se quiere hacer girar a velocidad angular constante (antihorario) la barra homogénea, de longitud L y peso P de la figura. Para el instante mostrado en la figura, determinar el par M que tendría que aportar el motor eléctrico cuyo eje de salida viene acoplado a la barra en A.

·· x GxA m a

F m a

G40oM

··G

y Gy

F m aA P m a

·G GM I

PAx · ·sin40 · ·cos40 ·2 2

G G

o ox y G

L LA A M I

Ay 2 2

0

· · · cos40 sin40o oG

cteLa AG AG i j

Cinemática


cos40 sin402Ga AG AG i j


Ejemplo

Se quiere hacer girar a velocidad angular constante (antihorario) la barra homogénea, de longitud L y peso P de la figura. Para el instante mostrado en la figura, determinar el par M que tendría que aportar el motor eléctrico cuyo eje de salida viene acoplado a la barra en A.

2P L2

2 2

· · · ·cos402

· · · ·sin40 · · ·sin40

ox Gx

o o

P LA m ag

P L P LA P m a A P

sin40 sin402 2

· ·sin40 · ·cos40 · 02 2

y Gy y

o ox y G

A P m a A Pg g

L LA A M I

2 2

2 2

· · ·cos40 · ·sin40 · · ·sin40 · ·cos40 · ·cos402 2 2 2 2

o o o o oP L L P L L LM P Pg g



Ejemplo


Resolución alternativa D’Alembert

G40oM 2· . · · cos40 sin40

2o o

i GLF m a m i j

Resolución alternativa. D’Alembert

PA

2i G j

· 0i GM I



Ejemplo


Fi

G40oM G

40oM0F

0M

P PAAx

0AM

Ay · ·cos402

oLM P



Sistemas de cuerpos rígidos

· GF m a

·G GM I

· GF m a

G G

· GF m a

·G GM I

·G GM I

Todo lo visto es aplicable a sistemas compuestos por varios SR en movimiento (máquinas). Para ello es necesario trabajar con el DSL de cada SR li d d ll l i d ilib i di á i


SR, y aplicar para cada uno de ellos las ecuaciones de equilibrio dinámico.


Movimiento plano restringido. Rotación centroidal

Ejemplo:Es el movimiento que se da cuando 0F

G

y Fq

Entonces:

0 · 0G Gm a a

El SR realiza un movimiento de rotación pura alrededor de su cdg, con aceleración angular:

xF

· GG G

MM I

I

alrededor de su cdg, con aceleración angular:

GI



Movimiento plano restringido. Traslación pura

Ejemplo:Es el movimiento que se da cuando 0GM

G

y F2q

Entonces:

G

0 · 0GI a

El SR realiza un movimiento de traslación pura alrededor de su cdg, con aceleración

xF1

·F

F m a a a

pura alrededor de su cdg, con aceleración lineal igual para todos sus puntos:

· G GF m a a am



Movimiento plano restringido. Traslación pura

Ejemplo:Es el movimiento que se da cuando 0GM

G

y F2q

Entonces:

G

0 · 0GI a

El SR realiza un movimiento de traslación pura alrededor de su cdg, con aceleración

xF1

·F

F m a a a

pura alrededor de su cdg, con aceleración lineal igual para todos sus puntos:

· G GF m a a am

El pistón en el motor de combustión realiza movimiento de traslación pura


movimiento de traslación pura.


Movimiento plano restringido. Rotación no centroidal

Es el movimiento que se da cuando el SR gira en torno a un punto O diferente a su cdg. y

F2Ejemplo:

Entonces: 2· · ·j GF m a m OG OG

G

y

O El momento de los esfuerzos externos sobre O:

xF1

El momento de los esfuerzos externos sobre O:

O j j j jM OP F OG GP F j j j j GOG F GP F OG F M

·O OM I

2

2 2

· · ·

· · · · ·

O G

G G

M OG m OG OG I

mOG I I mOG


O OM I G GmOG I I mOG



Se pueden usar de forma alternativa las ecuaciones:y

F2Ejemplo:

· GF m a

G

y

O· GF m a

·G GM I

xF1

·O OM I

Cuidado, esto sólo se puede realizar cuando O t fij d l SR!!es un punto fijo del SR!!




Se pueden usar de forma alternativa las ecuaciones:y

F2Ejemplo:

· GF m a

G

y

O· GF m a

·G GM I

xF1

·O OM I

Cuidado, esto sólo se puede realizar cuando O t fij d l SR!!es un punto fijo del SR!!

El cigüeñal en el motor de combustión realiza movimiento de rotación no centroidal


movimiento de rotación no centroidal.


Movimiento plano restringido. Rodadura

Se produce rodadura pura cuando la velocidad relativa entre la rueda y el suelo en el punto de contacto es nula en cada instante:

· · · · · ·O O Or R i v R i a R i

O O O

Py

O Ox

P





· · · · · ·O O Or R i v R i a R i

y · · · · · · · · 0I Ov v OI R i k R j R i R i

2 2a a OI OI R i k R j R j

O x 2 2

2 2

· · · · · · ·

· · · · · · · ·

I Oa a OI OI R i k R j R j

R i R i R j R j

I





··

G

G

v ra r

La fuerza de rozamiento es desconocida en principio; es usual suponer que no hay deslizamiento y entonces:

· · ·

· 0x Gx

y Gy

F m a m r NF m a

F

·RF N

G · RG G

FM I

Si se cumple que , entonces la suposición es

N

R

FRSi se cumple que , entonces la suposición es correcta y el problema acaba.

En caso contrario, se produce deslizamiento.


N En caso contrario, se produce deslizamiento.



En caso de haber concluido que existe rodadura con deslizamiento:

·v r La fuerza de rozamiento es conocida en dicho caso:·

G

G

v ra r

·

·0

x Gx

R k

NF m aF N

F

La fuerza de rozamiento es conocida en dicho caso:

· 0

·

R ky Gy

Gx

G G

F m aa

M I

F

G

NFR


N


6.1 Movimiento plano de cuerpos rígidos6. Movimiento plano de cuerpos rígidos• Cantidad de movimiento angular• Principio de d’Alembert


• Cantidad de movimiento angular 3D6.2 Movimiento 3D de cuerpos rígidos

Cantidad de movimiento angular 3D• Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler.



6.2 Movimiento 3D de cuerpos rígidos

El cuerpo rígido: caso particular de Sistema de Partículas

· GF m a

G GM H

Estas ecuaciones seguirán siendo válidas. Veremos cómo calcular para un SR el momento angular necesario para la segunda ecuación.




· ·n

G i i ii GH r m v H r v dm

ri miZ

z

1i Vi

x

yG

· · ·r x i y j z k

Y

· · ·x y zi j k

X

· · · · · ·y z z x x yv r z y i x z j y x k y y

2 2 2 2

2 2

· · · · · · · · · · ·

· · · · ·

x y z x y zr v y z x y x z i x y x z y z j

x z y z x y k


x y zx z y z x y k



2 2· · · · · · · · · ·G x y zV V V V

H r v dm y z dm x y dm x z dm i

2 2· · · · · · · · ·x y zV V V

x y dm x z dm y z dm j

2 2· · · · · · · · ·x y zV V V

x z dm y z dm x y dm k

· · · ·

· · · ·

x Gx y Gxy z Gxz

x Gxy y Gy z Gyz

I I I i

I I I j

· · · ·y y y y

x Gxz y Gyz z GzI I I k




Matricialmente, podemos expresar el momento angular como:

· · · ·

· · · ·G x Gx y Gxy z Gxz

G G G

H I I I i

I I I j

· · · ·x Gxy y Gy z Gyz

x Gxz y Gyz z Gz

I I I j

I I I k

· ·Gx Gxy Gxz xI I I

H I I I I

· ·G Gxy Gy Gyz y G

Gxz Gyz Gz z

H I I I II I I

Matriz o Tensor de Inercia


Matriz o Tensor de Inercia


Movimiento general 3D

Ecuaciones de equilibrio dinámico: Sistema de 6 ecuaciones diferenciales

·i GF m a

M H

El cálculo de la derivada temporal del momento angular es compleja, ya que al moverse el SR con respecto a los ejes

iG GM H

compleja, ya que al moverse el SR con respecto a los ejes cambia la matriz [IG]

Z Z

XY Y

X


X X



Para solucionar este problema, se suele expresar el momento angular en un sistema de referencia móvil, donde no cambia [IG]:no cambia [IG]:

z

yz

Z Zyx

x

XY Y

X




En ese caso, si es la velocidad angular del SR y se consideran ejes solidarios con el SR:

x y zG G G G GH H i H j H k H



Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler

Si además utilizamos ejes principales de inercia:

0 00 0 · · · · · · ·0 0

Gx x

G Gy y Gx x Gy y Gz z

IH I I i I j I k

I

0 0 Gz zI

· · · · · ·G Gx x Gy y Gz z GH I i I j I k H

· · · · · · · · ·G x y z Gx x Gy y Gz zH i j k I i I j I k

· · · · · · · · ·Gy Gz y z Gz Gx x z Gx Gy x yI I i I I j I I k



Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler

Con todo ello, las ecuaciones de movimiento quedan en dicho caso:

M I I IF

Ecuaciones de Euler

· · ··

· , · · ·xx

y y

G Gx x Gy Gz y zx G

y G G Gy y Gz Gx x z

M I I IF m a

F m a M I I I

F

· · · ·

z zz G G Gz z Gx Gy x yF m a M I I I

Sólo válidas si se utilizan ejes móviles solidarios con el SR, y que sean principales de inercia



Movimiento general 3D. Principio de d’Alembert

Si introducimos sobre el SR unos esfuerzos exteriores ficticios de inercia (fuerza y par de inercia):

Problema estático equivalente·i GF m a

i GM H

0F Fi

0PM

G

Mi



Movimiento 3D restringido. Punto fijo

En el caso en que el SR tiene movimiento alrededor de un punto fijo O:

·i G

O O

F m a

M H

Cuidado!! si O no es fijo, no es aplicable. Debemos considerar en ese caso la ecuación de momentos con respecto a su cdg

O OM H

·O OH I



Movimiento 3D restringido. Eje fijo

Consideramos un SR con movimiento alrededor de un eje fijo. Tomamos ejes móviles solidarios con el SR, con eje Z coincidente con dicho eje fijo. Y consideramos un punto O sobre dicho eje:

0 ·Ox Oxy Oxz Oxz zI I I I

·i GF m a

· · 0 ··

y

O O Oxy Oy Oyz Oyz z

Oxz Oyz Oz z Oz z

H I I I I II I I I

i G

O OM H

2 2

· · · · · · ·O Oxz z Oyz z Oz z z OH I i I j I k k H

2 2· · · · · · · · · ·Oxz z Oyz z Oz z Oxz z Oyz zI i I j I k I j I i




Consideramos un SR con movimiento alrededor de un eje fijo. Tomamos ejes móviles solidarios con el SR, con eje Z coincidente con dicho eje fijo. Y consideramos

·i GF m a

· · · · · · ·O Oxz z Oyz z Oz z z OH I i I j I k k H

un punto O sobre dicho eje:

i G

O OM H

2 2· · · · · · · · · ·

O Oxz z Oyz z Oz z z O

Oxz z Oyz z Oz z Oxz z Oyz zI i I j I k I j I i

2

2

· ··

· , · ·xx

y y

G Oxz z Oyz zx G

y G G Oyz z Oxz z

M I IF m a

F m a M I I

· ·z zz G G Oz zF m a M I

Si el SR es simétrico con respecto del plano XY, entonces los productos de inercia


son nulos, y obtenemos las ecuaciones de movimiento plano



Si el SR es simétrico con respecto del plano XY, entonces los productos de inercia son nulos, y obtenemos las ecuaciones de movimiento plano

0F M

son nulos, y obtenemos las ecuaciones de movimiento plano

· 0

· , 0x x

y y

x G G

y G G

F m a M

F m a M

0 ·

zz G Oz zF M I



Ejemplo

Para la posición indicada en la figura, calcular los pares que tendrían que aportar los motores eléctricos que hacen mover el brazo del robot con velocidades y aceleraciones angulares determinadasaceleraciones angulares determinadas.

zMzL1 L2

Zy

Rz

RMy

m2∙g

x12

y Ry

Rx

My

Mmotor2

XY Rx



Ejemplo

Para la posición indicada en la figura, calcular los pares que tendrían que aportar los motores eléctricos que hacen mover el brazo del robot con velocidades y aceleraciones angulares determinadasaceleraciones angulares determinadas.

zL1 L2

z 2

Zy

Zy

2

2

x12

y

x12

XY

cos sink j

XY


1 1 2 1 2·cos · ·sin ·k j


Ejemplo

1 1 1 2 1 2·cos · ·sin ·SR k j

11

·cos · ·sin · ·sin · ·cos ·

SRSR

ddt

k j

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1

1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1

·cos · ·sin · ·sin · ·cos ·

· · · · · · · · · · · ·

ejes SRk j

k j k i k k j j k

(l di ió d l l l bi )

2 2 1 2 1 2· ·cos · ·sin ·SR i k j

(la dirección de la vel. angular no cambia)

2 2 1 2 1 2

2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2

2 1 1 2

· · · · · · ·cos · · ·sin ·

· · · ·

SR

SR ejes

j

i k i i k j k

i k j


2 1 1 2 j


Ejemplo

1 1 1 1 1 1 1 1

2

· · · · ·A O SR SR SRa a OA OA k L j k k L j

L i L j

2

1 1 1 1· · · ·L i L j

a a AG AG

2 2 2

2 2 21 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1· · · · · · · · · · · · · ·

2 2

G A SR SR SRa a AG AGL LL i L j i k j j i k i k j

2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 2 1 2 1· · · · · · · · · · · · · ·

2 2 2 2L L L LL i L j k i i k k i

2 2 22 2 2 2L L L LL i L j k i j j

2 2 22 2 2 21 1 1 1 2 1 2 1

2 22 2 2 21 1 1 1 2 2

· · · · · · · · · · · ·2 2 2 2

· · · · · · ·2 2 2 2

L i L j k i j j

L L L LL i L j k


2 2 2 2


Ejemplo

20 00 0 sin sin cosGxI

H I I i I j I k

1 2 2 1 2 1 2

1 2

0 0 · ·sin · · · ·sin · · ·cos ·0 0 ·cos

G Gy Gx Gy Gz

Gz

H I I i I j I kI

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

2 1 2 1

· · · ·sin · ·cos · · ·cos · ·sin ·

· · · · · · ·G Gx Gy Gz ejes G

Gx Gy Gz ejes G

H I i I j I k H

I i I j I k H

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

2

· · · · · · · · · · · · ·

·

Gx Gy Gz ejes G

Gx Gy Gz Gx Gz

Gx

j

I i I j I k i k I i I k

I

1 2 1 1 2 1 2· · · · · · · · · · · ·Gy Gz Gz Gxi I j I k I j I j

2Gx

1 2 1 1 2 1 2

2 1 2 1· · · · · · ·Gy Gz Gz Gx

Gx Gx Gy Gz GzI i I I I j I k



Ejemplo

Mz 2 1 2 1· · · · · · ·G Gx Gx Gy Gz GzH I i I I I j I k

Rz

RMy2

22· ·

2xG motor z GxLM M R I

m2∙g

Ry

Rx

My

Mmotor2

1 2

2

· ·

· ·

yG y Gx Gy GzM M I I I

LM M R I

Rx 12zG z x GzM M R I



Ejemplo

2 22 2 2 21 1 1 1 2 2· · · · · · ·

2 2 2 2GL L L La L i L j k

Mz

Rz

RMy

22 1 1· ·

2x xLF R m L

L L

m2∙g

Ry

Rx

My

Mmotor2

2 22 22 1 1 2

2

· · ·2 2y yL LF R m L

LF R

Rx 22 2 2· · ·

2z zLF R m g m



Ejemplo

22 2· ·

2zLR m g

Mz2

2 22 2 2· · · ·

2 2motor GxL LM m g I

Rz

RMy

m2∙g

Ry

Rx

My

Mmotor2Rx


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