Misiones Lunares Orbitas de intercepci´on´ …aero.us.es/move/files/t4_print.pdfMisiones de...

Misiones LunaresMisiones Interplanetarias

Mecanica Orbital y Vehıculos EspacialesTema 4:

Analisis y Diseno de Misiones Lunares e Interplanetarias

Rafael Vazquez Valenzuela

Departamento de Ingenierıa AeroespacialEscuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla [email protected]

9 de diciembre de 2014


Orbitas de intercepcionEsfera de influenciaAjuste de conicas

Misiones Lunares: Introduccion e hipotesis de partida

Vehículos Espaciales y Misiles 1Apr-10-07

Misiones No Geocéntricas

1. Misiones Lunares

2. Misiones InterplanetariasUna mision lunar tiene uno de lossiguientes objetivos:

“Sobrevolar” la Luna.Orbitar de forma “permanente” entorno a la Luna.Impactar o alunizar en la Luna.

Las misiones lunares se puedenclasificar en tripuladas (las unicas hansido las Apollo) y no tripuladas.

Calculo preliminar, hipotesis:La orbita de la Luna es kepleriana y circular, de radioa$ = 384400 km.La sonda lunar parte de una orbita de aparcamiento circular deradio r0, ya en el plano orbital de la Luna.No se considera ningun tipo de perturbacion adicional a lapresencia de los cuerpos Tierra y Luna.

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Orbitas de intercepcion I

En un primer analisis se desprecia laatraccion gravitatoria de la Luna y se estudiala transferencia desde la orbita deaparcamiento a la posicion de la Luna.

Posibles trayectorias:Orbita de mınima energıa: su apogeocorresponde con la posicion de la Luna.Otras orbitas elıpticas mas excentricas.Orbita de escape parabolica.Orbita de escape hiperbolica.

El angulo en la figura es el llamado angulo de fase, que esel que forma la Luna con la posicion de partida de la sondalunar; este angulo se determina para que la Luna se encuentreen la posicion de la sonda cuando esta llegue a su orbita.El valor de determina las ventanas de lanzamiento (cuandola posicion relativa de la sonda y la Luna forma dicho angulo). 3 / 43



Orbitas de intercepcion II

Sea a el semieje mayor de la orbita detransferencia. Se tendra que

�V =q

2µ�r0

� µ�a �

qµ�r0.

Para la transferencia de mınima energıa,

amin

=r0+a$

2 . Se llega con ✓F = 180o,

luego el tiempo de vuelo Ttrans

= ⇡q

a3minµ�

.

En otras trayectorias elıpticas se tiene a 2 (amin

,1): crece�V y baja ✓f y por tanto el tiempo de transferencia T

trans

(acalcular con la ecuacion de Kepler).

Para la parabolica, �VP =q

µ�r0

�p2� 1

�, las transferencias

hiperbolicas seran con �V > �VP , bajando aun mas Ttrans

.

Para calcular el angulo de fase , se obtiene n$ =qµ�/a3$

y se aplica + Ttrans

n$ = ✓F .4 / 43



Orbitas de intercepcion III

En la figura se han representado lostiempos de transferencia y velocidadesde inyeccion, para r0 = 180 km, luegoVpark

= 7,796 km/s

La velocidad de inyeccion esViny

= Vpark

+�Vtrans

, el impulsototal que habra que darle a la sondadesde Tierra.

Se observa que con un pequeno incremento de velocidad deinyeccion respecto a la transferencia de mınima energıa, seconsigue una gran disminucion en T

trans

.

Por otro lado, los tiempos de transferencia parabolicos ohiperbolicos no suponen una gran mejora; por eso se usantransferencias elıpticas mas rapidas que la de mınima energıa.

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Esfera de Influencia I

Para estudiar en mas detalle una mision lunar necesitamosincluir la gravedad lunar; un primer paso consiste en estudiarlas “esferas de influencia”.Este concepto fue originalmente inventado por Laplace.Consideremos un vehıculo espacial sometido a la influencia dedos cuerpos masivos 1 y 2, separados por una distancia r12.

1 Si se encuentra en las proximidades de 1, entonces la influenciade 2 se puede considerar como una perturbacion: ~g = ~g1 + ~g 0

2,

donde g1 =µ1

r21y g 0

2 = µ2

��~r2r32 � ~r12r312

��.2 Si se encuentra en las proximidades de 2, entonces la influencia

de 1 se puede considerar como una perturbacion: ~g = ~g2 + ~g 01,

donde g2 =µ2

r22y g 0

1 = µ1

��~r1r31 � ~r12r312

��.

Cuandog 02

g1=

g 01

g2, entonces los dos puntos de vista son

igualmente validos; esa condicion determina un lugargeometrico que separa la “zona de influencia 1” de la “zonade influencia 2”. 6 / 43



Esfera de Influencia II

En el caso (usual) de que uno de los cuerpos (por ejemplo, el1) sea mucho mas masivo que el otro, el lugar geometrico deseparacion de zonas de influencia es aproximadamente unaesfera, que rodea al cuerpo menos masivo (en este caso, el 2).Por tanto el espacio se divide en dos: una “burbuja” en tornoal cuerpo 2 (donde predomina la atraccion del cuerpo 2) y elexterior de la “burbuja” donde predomina la atraccion de 1.El radio de la esfera se obtiene de

Re = L⇣µ2µ1

⌘2/5= L

⇣m2m1

⌘2/5, L es la distancia entre los

cuerpos 1 y 2.Caso Tierra-Luna: L$ = 384400 km, luego la esfera deinfluencia lunar tiene de radio Re$ = 66183 km.Por tanto, en una esfera de este radio centrada en la Luna (yque se mueve con ella), la influencia gravitatoria lunar es masimportante que la terrestre, mientras que en el resto delespacio domina la atraccion terrestre. 7 / 43



Ajuste de conicas I

©park

V¢

¸

¯

eR

Ã =0)t(

L

L

Gr

El concepto de esfera de influencia nospermite predisenar una mision lunar usandoel modelo de los dos cuerpos.

Se divide la mision en partes. La primeraparte es una orbita geocentrica(sub/superındice G) desde la orbita deaparcamiento hasta la esfera de influencialunar; la unica fuerza es la atraccionterrestre.

Una vez se entra en la esfera de influencia lunar, se estudiauna orbita selenocentrica (sub/superındice S) solo sometida ala atraccion lunar.Ambas orbitas estaran conectadas de forma que, porcontinuidad, la posicion y velocidad finales en la orbitageocentrica seran las iniciales en la selenocentrica. Esteproceso se llama “ajuste de conicas”. 8 / 43



La orbita geocentrica I

©park

V¢

¸

¯

eR

Ã =0)t(

L

L

Gr

Datos de entradar0: radio de la orbita deaparcamientoVelocidad de inyeccion Vi

(Vi = V0 +�V )�: angulo de interseccion con laesfera de influencia lunar(supuesto conocido a priori).

Tenemos aG = 1

2r0�

V 2i

µ�

,eG = 1� r0aG.

Ademas: rGL =qL2$ + R2

e$ � 2L$Re$ cos�. Tambien

V GL =

q2µ�rGL

� µ�aG

,cos ✓GL =aG (1�e2G )�rGL

eG rGL

,tan �GL =eG sen ✓GL

1+eG cos ✓GL,

tanEGL /2 =

q1�eG1+eG

tan ✓L/2, tv =EGL �e senEG

Ln , n =

qµ�/a3G .

Para la luna, = ✓L � � � n$tv , donde n$ =qµ�/L3$, y

donde � se obtiene de rGL sen� = Re$ sen�. 9 / 43



La orbita geocentrica II

Por tanto, a partir de (r0,Vi ,�)obtenemos los datos de latrayectoria (rGL , vGL , �Gl ) en elpunto de contacto con la esferade influencia lunar y el angulode fase .

En realidad el angulo es eldato de entrada natural, peroentonces el problema tiene queser resuelto numericamente.

En el grafico se representa, para r0 = 180 km, la solucion paraposibles pares (Vi , ): la zona oscura responde a condicionesque no dan lugar a intercepcion lunar; la zona clara acondiciones que sı producen intercepcion; y la zona negra acondiciones que dan lugar a impacto lunar.

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Ajuste de conicas II

L

Gr

© ¯L

L

G°

VL

Gv

L

Sv

¯

¸

eR V

± ¸

Para el proceso de ajuste, partimosde (V G

L , �GL , rGL ,�,�) y queremos

obtener (V SL , �

SL ). Ya sabemos que

rSL = Re$.

Hay que considerar que estamos enotro sistema de referencia, ahoracentrado en la Luna y por tantomovil.

Por tanto, hay que considerar la velocidad V$ =pµ�/L$ de

este nuevo sistema de referencia y se tiene: ~V SL = ~V G

L � ~V$.(Este es un punto clave del ajuste de conicas).Aplicando el teorema del coseno:

V SL =

q(V G

L )2 + V 2$ � 2V GL V$ cos(�GL � �).

De la figura �SL = � � 90o .Para hallar �: V S

L sen � = V$ cos�� V GL cos(�GL � �� ). 11 / 43



Orbita selenocentrica I

Egorov demostro que, debido a la velocidad de la lunarespecto a la Tierra, la orbita selenocentrica es siemprehiperbolica.

De la ecuacion de las fuerzas vivas (V SL )

2 =2µ$rSL

�µ$aS

se

obtiene aS , mientras que la excentricidad eS se deduce a

partir de hS =qµ$aS(1� e2S) = rSL V

SL cos �SL .

Del valor del radio de periapsis rSp = aS(1� eS) podemosdeducir:

Si rSp < R$ = 1738 km entonces se produce impacto.Una mision de orbitacion lunar requerira convertir la hiperbolaselenocentrica en una elipse alrededor de la Luna (requiere otramaniobra).Una mision de sobrevuelo permitira que la hiperbola escapeuna vez mas de la esfera lunar, con lo que se debe volver arealizar el ajuste de conicas a la salida.

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Orbita selenocentrica II

Ejemplo de mision de sobrevuelo (disenada por Egorov):

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Esferas de influencia y orbitas de intercepcionAjuste de conicasManiobra asistida por gravedad

Misiones interplanetarias: Introduccion, hipotesis de partida

Como en el caso lunar, una misioninterplanetaria puede tener comoobjetivo:

Un sobrevuelo de un planeta.Orbitar de forma “permanente” entorno al planeta.Misiones de impacto o “aterrizaje”.

Ademas, una mision interplanetaria puede visitar variosplanetas en su trayectoria para realizar la “maniobra asistidapor gravedad” (y de camino obtener datos cientıficos).Hipotesis basicas de calculo:

Las orbitas de los planetas son circulares y coplanarias.La sonda interplanetaria parte de una orbita de aparcamientode radio r0 circular en el plano de la eclıptica.No se considera ningun tipo de perturbacion adicional a lapresencia de los tres cuerpos (Tierra, Sol, planeta de destino).

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Esferas de Influencia I

La esfera de influencia respecto al Sol de un planeta P se

calcula como ReP = LP

✓µPµ�

◆2/5

, donde LP es la distancia

entre el Sol y el planeta.

En la siguiente tabla se representan datos para los diferentesplanetas del sistema solar:

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Esferas de Influencia II

En todos los casos RP ⌧ ReP ⌧ LP . Esto nos permiteintroducir las siguientes hipotesis simplificativas:

Desde el punto de vista de las trayectorias heliocentricas, lasesferas de influencia se pueden considerar puntos (despreciandoReP).Desde el punto de vista de las trayectorias planetocentricas, lasesferas de influencia se pueden considerar con radio infinito.

Estas dos hipotesis permiten simplificar el proceso de ajustede conicas, ya que eliminan ReP del calculo:

Las orbitas planetocentricas seran hiperbolicas y entraran osaldran de la esfera de influencia, ya que es supuesta infinita,por las asıntotas.La orbita heliocentrica sera una elipse de transferencia entredos puntos (sin necesidad de introducir los angulos del casolunar).

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Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos I

La orbita geocentrica inicial es la de aparcamiento, de radio r0y velocidad V0 =

pµ�/r0.

Supongamos que aplicamos un impulso tangencial �V ,suficiente para obtener una trayectoria hiperbolica:�V > (

p2� 1)V0.

La velocidad a la salida de la esfera de influencia seraaproximadamente la velocidad de exceso hiperbolica V1.De la ecuacion de las fuerzas vivas: V 2

1 = (V0 +�V )2 � 2µ�r0

.

Se define C3 = V 21, parametro caracterıstico de la mision.

Por tanto, si conocemos la V1 deseada, el impulso inicial

requerido sera �V =qV 21 + 2V 2

0 � V0 =qC3 + 2V 2

0 � V0.

Una vez fuera de la esfera de influencia terrestre, es necesariosituarse en el sistema de referencia heliocentrico; en estesistema de referencia, ri = L�, ~vi = ~V1 + ~V�, dondeV� =

pµ�/L� ⇡ 29,74 km/s.

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Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos II

Observese que V1 actua como un �V en una maniobra;altera la orbita heliocentrica de la sonda apartandola de laTierra.Analicemos los V1 mınimos para ir a un planeta; se considerauna transferencia tipo Hohmann, en torno a una conjuncionde referencia.Segun el planeta objetivo sea superior o inferior (ver figura),~V1 debe tener la misma direccion o direccion opuesta a ~V�. 18 / 43



Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos III

Por tanto la hiperbola de salida se debe disenar para que suasıntota este alineada con la velocidad de la Tierra.En la figura se puede observar como es necesario disenar lahiperbola de salida en relacion a la posicion del Sol, segun loscasos.El angulo ⌧ de la figura (del perigeo respecto al vectorvelocidad de la Tierra) es igual a 180� ✓1. 19 / 43



Orbitas de intercepcion e impulsos mınimos IV

En la figura se ha calculado, para cadaorbita en torno al Sol y para latransferencia tipo Hohmann, el costeenergetico (�V en la orbita deaparcamiento) y el tiempo detransferencia (despreciando los tiemposde salida de la esfera de influencia).

Observaciones:Las misiones a planetas exterioresrequieren de un tiempo muy largo.El interior del Sistema Solar esenergeticamente muy costoso.

Por tanto, para hacer viables las misiones interplanetarias esnecesario un metodo adicional que reduzca tiempo y coste,como veremos mas adelante. 20 / 43



Ajuste de conicas I

Si bien una mision interplanetariarealmente requiere resolver un problemade 4 (o mas) cuerpos, el ajuste de conicasproduce unos resultados excelentes atodos los efectos excepto los de muy granprecision (astronavegacion).

Se descompone el problema en trespartes: hiperbola de salida, elipseheliocentrica e hiperbola de llegada.

Es posible emplear estas tecnicas incluyendo unaconfiguracion mas realista: las inclinaciones de los planos deotros planetas (se resuelve usando trigonometrıa esferica paracalcular los cambios de plano), teniendo en cuenta la posicionreal de los planetas (usando las efemerides).

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Ajuste de conicas II

Complicaciones en el diseno: usode la orbita real de los planetas,teniendo en cuenta lasdiferentes inclinaciones de losplanos orbitales.

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Trayectoria heliocentrica I

Se calcula la trayectoria heliocentricaalrededor de una conjuncion dereferencia. Hay dos tipos de trayectoria:tipo I (�✓ < 180o) y tipo II(�✓ > 180o). En la practica nunca se usauna transferencia de Hohmann exacta.

Estas conjunciones de referenciadeterminan las “ventanas deoportunidad” para el lanzamiento, y serepiten con el periodo sinodico delplaneta, T sin

p que se define como eltiempo que tarda en repetirse unaconfiguracion angular (angulo de fase)determinada:T sin

p = 2⇡|n��nP | =

1|1/TH

��1/THP | . 23 / 43



Trayectoria heliocentrica II

Si se tiene en cuenta la orbita real de los planetas (diferenciasde inclinacion, excentricidad), la mınima energıa necesariadepende tambien del ano; y segun el ano, sera mas favorableuna trayectoria tipo I o tipo II.

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Trayectoria heliocentrica III

Estos diagramas se pueden afinar en torno a una fecha dellegada, para determinar con precision una ventana deoportunidad de salida; si se pospone el lanzamiento, habra queesperar un periodo sinodico para repetirlo.

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Trayectoria heliocentrica IV

En la practica no se utiliza una maniobra de tipo Hohmann;en torno a la conjuncion de referencia se resuelve el problemade Lambert, para una variedad de tiempos de vuelo yposiciones relativas de los planetas; con la solucion se haceuna grafica y se escoge la solucion mas favorable.

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Trayectoria heliocentrica V

27 / 43



Trayectoria heliocentrica VI

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Orbita de llegada

V¢

¯

1v±

La llegada, de la misma forma que la salida,sera por las asıntotas de una orbitahiperbolica.

Por el cambio de sistema de referencia, dadala velocidad heliocentrica a la llegada ~VH

2

hay que calcular ~V1 = ~VH2 � ~VP .

El radio de periapsis de la orbita de llegada no estadeterminado y es prefijado por el disenador (se realizanpequenas correcciones a lo largo de la orbita heliocentricapara asegurar la situacion deseada al final)Si se quiere obtener una orbita en torno al planeta, seranecesario realizar una maniobra para frenar el vehıculo.Esta maniobra se puede realizar empleando la atmosfera delplaneta (aerobraking) caso de que dicha atmosfera exista ysea lo suficientemente densa. 29 / 43



Maniobra asistida por gravedad I

El elevado coste energetico de una misioninterplanetaria puede ser mitigado usandola maniobra asistida por gravedad.

Tras 20 anos de debate e incredulidad, en1974 la Mariner 10 realizo esta maniobrapara alcanzar Mercurio vıa Venus.

Esta maniobra cambia la velocidad de unvehıculo relativa al Sol (la velocidadrelativa al planeta permanece constante).

La maniobra se realiza acercandose a un planeta dado, lo quetambien se puede aprovechar desde el punto de vista cientıfico(ningun planeta ha sido visitado “demasiadas veces”).Ya en el siglo XIX se habıa observado que los cometas, alacercarse a Jupiter, modificaban considerablemente su orbita.

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Maniobra asistida por gravedad II

® 2°1°

2Hv

1Hv

V¢

±

2Pv

1Pv

PV

pr

PV

¯1Pv

2Pv

±

Llamemos ~vH1 y ~vH2 a las velocidadesantes y despues de la maniobra, en elsistema de referencia heliocentrico.

Igualmente, llamemos ~vP1 y ~vP2 a lasvelocidades antes y despues, en el sistemade referencia planetocentrico.

La velocidad del planeta respecto al Solse denomina ~Vp.

Recordemos que � es el angulo entre las asıntotas de lahiperbola.Se tiene que ~vP1 = ~vH1 � ~Vp y que ~vH2 = ~vP2 + ~Vp.

Por otro lado vP1 = vP2 = v1 =q�µp

a , a = rp1�e , sen �/2 = 1

e .

De la figura: �V = 2v1 sen �/2. Operando, llegamos a:�V = 2v1

11+rpv2

1/µp31 / 43



Maniobra asistida por gravedad III

® 2°1°

2Hv

1Hv

V¢

±

2Pv

1Pv

PV

pr

PV

¯1Pv

2Pv

±

En la expresion �V = 2v11

1+rpv21/µp

tenemos como datos de entradav1 = |~vH1 � ~VP | y el radio deacercamiento maximo rp.

Se observa que �V es decreciente conrp. El maximo pues se dara para el menorvalor (teorico) posible de rp, que esrp = Rp, el radio del planeta.

Maximizando �V con respecto a V1, se llega a que elmaximo �V se obtiene cuando V1 =

pµp/Rp, e = 2,

� = 60o . Entonces �VMAX

=pµp/Rp.

Es decir el maximo �V teorico es la velocidad circular enperiapsis, cuando la periapsis es la mınima posible (Rp).Variante: para aumentar la velocidad de salida se puedeaumentar V1 con un impulso en periapsis de la maniobra. 32 / 43



Maniobra asistida por gravedad IV

En la tabla se puede ver el valor de �Vmax paralos diferentes planetas.

Este valor esta limitado en la practica por elacercamiento maximo posible (p.ej. por atmosferao por peligro de radiacion).

La Voyager II pudo alcanzar la velocidad de escape delSistema Solar realizando varias maniobras consecutivas (el“grand tour”), aprovechando una configuracion planetaria quesolo se repite cada 176 anos.

Vehículos Espaciales y Misiles 24Apr-10-07

2. Misiones InterplanetariasManiobra asistida por gravedad por El máximo anteriormente conseguidoes teórico, ya que muchas consideraciones diferentes impiden alcanzarlo;p.ej. atmósferas planetarias. Asimismo, no es recomendable acercarse aJúpiter más de 10 radios planetarios debido a su fuerte campo magnético.

En la figura, las maniobras consecutivas que permitieron a la Voyager IIalcanzar la velocidad de escape del Sistema Solar (la configuraciónplanetaria que permite el llamado “Grand Tour” se repite sólo una vezcada 176 años).

Misiones No Geocéntricas

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Maniobra asistida por gravedad V

® 2°1°

2Hv

1Hv

V¢

±

2Pv

1Pv

PV

pr

PV

¯1Pv

2Pv

±

Es importante obtener la velocidad y elangulo de trayectoria tras la maniobra.

Aplicando el teorema del coseno en eltriangulo superior,

vH2 =qV 2P + v21 � 2VPv1 cos↵. Del

teorema del seno, sen �2 =v1 sen↵

vH2

.

Por tanto hay que calcular ↵. Del triangulo inferior,

sen(� + ↵) =vH1 sen �1v1

.

Teniendo vH2 , �2 y la distancia del planeta al Sol, LP , se tienela orbita heliocentrica a la salida de la maniobra.Observese que no solo es importante el aumento de vH2 , sinotambien el cambio en �, que desvıa la trayectoria heliocentricay puede permitir acercarse a un planeta.

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Maniobra asistida por gravedad VI

Existen dos posibles configuraciones para realizar la maniobraasistida por gravedad. El disenador de la maniobra deberadecidir cual es la que conviene.La primera configuracion transcurre por la “cara iluminada”(por el Sol) del planeta. La segunda, por la “cara oscura”.Observese que el triangulo de velocidades cambia en lasegunda configuracion; para este triangulo,

sen(2⇡ � (� + ↵)) =vH1 sen �1v1

.

® 2°1°

2Hv

1Hv

V¢

±

2Pv

1Pv

PV

pr

PV

¯1Pv

2Pv

±

®2°

1°

2Hv

1Hv

V¢

±

2Pv

1Pv

PV¯

PV

2Pv

±

pr

1Pv

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Maniobra asistida por gravedad VII

Un concepto avanzado basado en lamaniobra asistida por gravedad es el de lasorbitas cıclicas o “cycler orbits”.

La idea es tener una serie de vehıculosespaciales en orbitas en torno a dos cuerposque se repiten periodicamente; cadasobrevuelo a un cuerpo arroja al vehıculo auna orbita en torno al otro.

Un ejemplo clasico de orbitas cıclicas sedebe al astronauta Buzz Aldrin.

Aldrin diseno dos orbitas acopladas entreMarte y la Tierra; en cada orbita haysiempre un vehıculo, uno de ellos se usarıapara viajar a Marte desde la Tierra (147dıas) y el otro para volver (170 dıas).

short transit times (~5 months) and regular transitopportunities. However, the planetary encounters occurat high relative velocities and typically, impose harsherrequirements on the Taxi craft than other cyclers. Also,the Aldrin Cycler requires a modest mid-coursecorrection on 3 out of 7 orbits to maintain the proper orbitorientation. These delta-Vs will be carried out using low-thrust, solar powered ion propulsion systems (IPS).

Figure 2 Aldrin Cycler Orbits

Stopover Cyclers are direct transfers from Earth to Marswith high-thrust propulsive maneuvers at both ends ofthe trajectory and a stop at each planet. StopoverCyclers require two Astrotels operating. Flight timevaries between 4-7 months depending on opportunityand propellant loading. Stay time at Mars is identical tothe Semi-cyclers or about 1.5 years. Advantages ofStopover Cyclers are low departure and arrival velocitiesfor a given flight time, flexible launch and arrival dates,elimination of the hyperbolic rendezvous, close vicinity ofthe station to the planet for replenishment andrefurbishment, and alternate mission uses for thestations while in orbit about each planet, waiting for thenext opportunity to return.

At this time, the Aldrin Cycler orbits have been selectedas the reference because of several key advantages.One advantage is that Astrotels do not require high-thrust chemical propulsion systems, whereas, in theStopover Cycler concept, high-thrust propulsion must beused to keep the flight time short. Another importantadvantage of Aldrin Cyclers is that the Astrotels neverstop. The implication of this advantage, combined withthe use of low-thrust systems, is that one canincrementally increase the Astrotel capability over timewith very little propulsion cost. Example increasedcapabilities include more radiation shielding,incorporation of artificial gravity if desired, redundancy inthe form of additional Taxi and/or escape vehicles, and a

growing cache of repair hardware, propellants andconsumables at the Astrotel. Finally, by using the low-thrust Aldrin Cyclers, only two Astrotel vehicles need tobe constructed and maintained.

GETTING ON AND OFF THE TRAIN

Cycler orbits with Earth and Mars hyperbolic flybysnecessitate transfers between a planetary Spaceportand an Astrotel via a Taxi vehicle. The Astrotel flyby iscompletely constrained in periapsis date, distance, andinclination, since it must continue to travel on its desiredcycler path between the planets. One of the majorconcerns in the use of cyclers for human transportationhas been the hyperbolic rendezvous where the Taxideparts the Earth with a near instantaneous launchperiod without any margin for error or hardware delay.The primary restriction here is that the rendezvous musttake place within about 7 days from the time of departurefrom the Spaceport because Taxi vehicles have limitedconsumables and life support and are lightly shieldedagainst radiation. Figure 3 (adapted from Penzo andNock 2002a) shows the Spaceport orbit, the Astrotelflyby and three Taxi hyperbolic rendezvous options. Wehave selected the 3-burn option for the referencebecause it requires a low total delta-V and a short flighttime. The 4-burn option has a lower delta-V however aprohibitively long transit time for a Taxi. The 3-burnoption consists of a Taxi departure maneuver, ∆V1, tolower periapsis altitude for the injection delta-V, ∆V2,followed several days later by the rendezvousmaneuver, ∆V3.

Figure 3 Hyperbolic Rendezvous Options

Having to solve the hyperbolic rendezvous problemprovides insight into the desired location of the EarthSpaceport. Plane changes are best made far from theplanet where the orbital velocities are low. Velocitychanges are best made close to the planet, i.e. withinthe gravity well. In LEO, the orbital velocity is almost 8km/s, whereas at lunar distance, the velocity is about 1km/s, which is a better place to make a required planechange.

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Anexo: resolucion de triangulos

Existen varios metodos para resolver los triangulos que surgenen las maniobras asistidas por gravedad:

Trigonometrıa planaVectoresFasores

A continuacion se explicaran el primer y ultimo metodos. Elmetodo basado en vectores es analogo al basado en fasores.

La base de la resolucion son las ecuaciones ~V P1 = ~VH

1 � ~VP ,~VH2 = ~V P

2 + ~VP , y recordar que ~V P2 es ~V P

1 girado un angulo �.

Tıpicamente los datos de entrada son VH1 , VP , �H1 y el radio

al que se efectua la maniobra asistida por gravedad.

Normalmente sera necesario encontrar VH2 y �H2 , que

permitiran determinar la conica a la salida de la maniobra,aunque se pueden pedir otros datos.

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Anexo: resolucion de triangulos por trigonometrıa

¯ 1

H°

1

HV1

PV

PV PV

1

PV

1

HV

1

H°

¯

¯1

H°

1

HV

1

PV

PVPV

1

PV

1

HV

1

H°¯

A) B)

C) D)

En primer lugar, partiendo de VH1 , �H1 y VP dibujamos el

primer triangulo y calculamos V P1 y �.

Si �H1 < 0 estamos en los casos C y D. Tomamos el valorabsoluto de �H1 pero pintamos el triangulo “hacia abajo”.Por el teorema del coseno:(V P

1 )2 = (VP)2 + (VH1 )2 � 2VPVH

1 cos �H1 . 38 / 43




¯ 1

H°

1

HV1

PV

PV PV

1

PV1

HV

1

H°

¯

¯1

H°

1

HV

1

PV

PVPV

1

PV1

HV

1

H°¯

A) B)

C) D)

Para calcular �, usamos el teorema del seno:

sen� =VH1

VP1sen |�H1 | o del coseno: cos� =

(VP1 )2+(VP )

2�(VH1 )2

2VPVP1

.

Si usamos el teorema del seno, es necesario ver si � > 90o;eso sucede si (VH

1 )2 > (V P1 )2 + (VP)2 (casos B y D), y

entonces habrıa que coger la segunda solucion del arcoseno.39 / 43




¯ 1

H°

1

HV

1

PV

PV PV

1

PV1

HV

1

H°

¯

¯1

H°

1

HV

1

PV

PVPV

1

PV1

HV

1

H°¯

A) B)

C) D)

Una vez hallado V P1 , identificamos v1 = V P

1 y calculamos losdatos de la maniobra asistida por gravedad (�V , �).Si se realizara la maniobra con propulsion adicional enperiapsis, entonces habrıa que recalcular tanto v1 (quecambiarıa despues de la maniobra y por tanto tambien V P

2 )como � (el � = ✓1 + ✓01 � ⇡, donde ✓1 es el de la hiperbolaantes de la maniobra y ✓01 despues).A continuacion se calcula el segundo triangulo. Nos centramosen el caso A, los otros casos generan posibilidades similares. 40 / 43




A4)A3)

A2)

2

PV 2

HV

2

H°®±

¯ 1

H°

1

HV1

PV

PV

PV

1

PV 1

HV

1

H°¯

±

®2

H°

2

HV

2

PV

PV

1

PV 1

HV

1

H°¯

±

® 2

H°2HV

2

PV

2

PV2

HV

2

H°®±

A1)

¯ 1

H°

1

HV

1

PV

PV

El segundo triangulo se monta sobre el 1o; hay que hallar ↵A1 y A2 tienen giro a la izquierda. En el caso A2�+ � > 180o. Para A1, ↵ = �+ �. Para A2, ↵ = 360o� ��.A3 y A4 tienen giro a la izquierda. En el caso A2 � � � < 0o.Para A3, ↵ = � � �. Para A4, ↵ = � � �.

41 / 43




A4)A3)

A2)

2

PV 2

HV

2

H°®±

¯ 1

H°

1

HV1

PV

PV

PV

1

PV 1

HV

1

H°¯

±

®2

H°

2

HV

2

PV

PV

1

PV 1

HV

1

H°¯

±

® 2

H°2HV

2

PV

2

PV2

HV

2

H°®±

A1)

¯ 1

H°

1

HV

1

PV

PV

Finalmente, con ↵ hallamos VH2 y �H2 .

Se tiene (VH2 )2 = (VP)2 + (V P

2 )2 � 2VPV P2 cos↵.

Para calcular �H2 , usamos el teorema del seno:

sen |�H2 | =VP2

VH2sen↵.

�H2 es negativo si VH2 esta “por debajo” (casos A2 y A4).

42 / 43



Anexo: resolucion de triangulos por fasores

Resolver el triangulo con fasores es equivalente al uso devectores planos. Su uso no exime de dibujar el triangulo, perosimplifica los calculos. En primer lugar se calculaV P1 � = VH

1 �H1 � VP 0o.

Posteriormente se obtiene v1 = V P1 y se calcula � de la

maniobra asistida por gravedad y V P2 = v1, posiblemente

modificando los valores si hubiera propulsion en periapsis.

Finalmente VH2 �H2 = V P

2 � ± � + VP 0o, donde los signos± representan los dos posibles giros.

Observese que si se usan fasores se respetan los signos de losangulos, a diferencia del caso plano.

Con una calculadora capaz de trabajar con fasores, elprocedimiento de resolucion es mucho mas rapido.

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