MIM 2002 II - 08 - Uniandes

MIM – 2002 – II - 08

ANALISIS Y DISEÑO DE LA CÁMARA DE COMBUSTIÓN DE UN PEQUEÑO MOTOR COHETE

DIEGO ALEXANDER GARZÓN ALVARADO, ME Requisito parcial para optar por el título de Maestría en Ingeniería Mecánica

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C. 2002

TABLA DE CONTENIDO

1 ANÁLISIS Y CONCEPTUALIZACIÓN DE LA CÁMARA DE COMBUSTIÓN PARA UN MOTOR COHETE ......................................................................................................................................1

1.1 Introducción .................................................................................................................................1 1.2 Los Cohetes.................................................................................................................................1

1.2.1 Tipos de cohetes ..................................................................................................................1 1.3 Algunas definiciones conceptuales básicas ................................................................................4 1.4 Propelentes sólidos......................................................................................................................5

1.4.1 Clasificación..........................................................................................................................5 1.5 Configuración del Cohete de Propelente Sólido..........................................................................8

1.5.1 El motor cohete.....................................................................................................................8 1.5.2 Formas de combustión del grano. ........................................................................................9 1.5.3 Combustión del grano. .......................................................................................................11 1.5.4 Impulso específico ..............................................................................................................12

1.6 Cálculos Termodinámicos de la Combustión ............................................................................12 1.6.1 Introducción ........................................................................................................................12 1.6.2 Definiciones ........................................................................................................................12 1.6.3 Mezcla de gases.................................................................................................................13 1.6.4 Equilibrio Químico...............................................................................................................13 1.6.5 Balance de masa................................................................................................................14 1.6.6 Balance de presión .............................................................................................................14 1.6.7 Conservación de energía ...................................................................................................14

1.7 Consideraciones ........................................................................................................................15 1.8 Solución Del Problema De La Cámara De Combustión............................................................15 1.9 Cálculos Físico-Químicos Para Hallar Las Características del Propulsor Necesarias Para Desarrollar un Motor Cohete........................................................................................................16

1.9.1 Cálculo de la Temperatura de Combustión. .......................................................................18 1.9.2 Parámetros Básicos Del Funcionamiento del propelente ..................................................21 1.9.3 Rata de quemado del propelente .......................................................................................21

2 SELECCION Y CARACTERIZACIÓN DEL PROPELENTE PARA EL MOTOR COHETE EXPERIMENTAL......................................................................................................................................22

2.1 Introducción ...............................................................................................................................22 2.2 Selección del Propelente Adecuado..........................................................................................22 2.3 Simulación de las Mezclas.........................................................................................................23

2.3.1 Gráficos de temperatura en la cámara de combustión: .....................................................24 2.3.2 Gráficos de la densidad del propelente: .............................................................................28 2.3.3 Gráficas del peso molecular de los productos de combustión: ..........................................32 2.3.4 Relación de calores específicos para los gases de combustión:.......................................35 2.3.5 Gráficas del impulso específico..........................................................................................39

2.4 Análisis para la Selección ..........................................................................................................43 2.5 Resultados para la mezcla seleccionada obtenidos mediante CPROP....................................46 2.6 Velocidad de reacción................................................................................................................48

2.6.1 Caracterización de la velocidad del propelente..................................................................48 2.7 Conclusiones .............................................................................................................................49

3 DISEÑO DE CAMARA DE COMBUSTIÓN Y CONFIGURACIÓN DEL PROPELENTE..................51 3.1 Introducción ...............................................................................................................................51 3.2 Requerimientos de la cámara de combustión ...........................................................................51

3.2.1 Cámara de combustión ......................................................................................................52 3.2.2 Tapa posterior de la cámara de combustión ......................................................................52

3.3 Materiales Metálicos usados en la cámara de combustión .......................................................54 3.3.1 Aceros.................................................................................................................................54 3.3.2 Aceros de aleación .............................................................................................................54 3.3.3 Materiales no férreos ..........................................................................................................54 3.3.4 Materiales Enfibrados .........................................................................................................55

3.4 Configuración del propulsor .......................................................................................................55 3.4.1 Deflagración paralela al eje axial Frontal o de cigarrillo (Tabaco) ....................................56 3.4.2 Deflagración normal a la dirección de salida del flujo ........................................................57

3.5 Ignición.......................................................................................................................................57 3.5.1 Igniciones pirotécnicas .......................................................................................................58

3.6 Cálculos de diseño.....................................................................................................................58 3.7 Diseño Preliminar de la Cámara de Combustión del Motor Cohete Experimental....................60 3.8 Conclusiones .............................................................................................................................62

4 CARACETERIZACIÓN EXPERIMENTAL DE LA CÁMARA DE COMBUSTION.............................63 4.1 Objetivos ....................................................................................................................................63 4.2 Introducción ...............................................................................................................................63 4.3 La cámara de combustión..........................................................................................................63 4.4 Variables del propelente ............................................................................................................67

4.4.1 Formulación ........................................................................................................................67 4.4.2 Datos de los componentes .................................................................................................67 4.4.3 Mezcla y preparación..........................................................................................................67

4.5 Pruebas de la Mezcla ................................................................................................................68 4.6 Pruebas estáticas ......................................................................................................................69

4.6.1 Caracterización de Propiedades. .......................................................................................69 4.6.1.1 Identificación del problema y determinación del modelo ................................................69

4.6.2 Elección del tamaño de la muestra ....................................................................................70 4.6.2.1 Esquema de montaje ......................................................................................................72

4.7 Realización de los experimentos ...............................................................................................73 4.7.1 Combustión frontal sin tabique: ..........................................................................................73 4.7.2 Combustión frontal con tabique:.........................................................................................73 4.7.3 Combustión de propelente con geometría interna sin tabique:..........................................74 4.7.4 Combustión de propelente con geometría interna con tabique: ........................................77

4.8 Análisis estadístico ....................................................................................................................82 4.8.1 Prueba de idoneidad del modelo........................................................................................82 4.8.2 Análisis matemático............................................................................................................82 4.8.3 Reducción del problema bifactorial a unifactorial con dos niveles.....................................84

4.8.3.1 Análisis estadístico para el tiempo de ignición (Start-up) ...............................................85 4.8.3.2 Análisis estadístico para el tiempo de estado estable ....................................................85 4.8.3.3 Análisis estadístico para el tiempo de corte (Tail-off) .....................................................86 4.8.3.4 Análisis estadístico para el empuje.................................................................................87

4.8.4 Idoneidad del Modelo Unifactorial ......................................................................................88 4.9 Conclusiones .............................................................................................................................90 5. SIMULACION NUMÉRICA DE LOS GASES DE COMBUSTIÓN AL INTERIOR DE LA CÁMARA...............................................................................................................................................90 5.1 OBJETIVOS....................................................................................................................................90 5.2 INTRODUCCIÓN............................................................................................................................90 5.3 Clasificación de las ecuaciones......................................................................................................90 5.4 SISTEMAS HIPERBOLICOS..........................................................................................................92

5.4.1 Descripción ..............................................................................................................................93 5.4.2 Solución de las ecuaciones hiperbólicas .................................................................................95 5.4.3 Caso general del sistema de conservación .............................................................................95 5.4.3.1 Choques y Rarefacciones.....................................................................................................97

5.5 Métodos de Solución ....................................................................................................................101 5.5.1 Método de las características ................................................................................................101

5.5.2 Principales Métodos de Diferencias Finitas...............................................................................102 5.5.2.1 Lax – Wendroff....................................................................................................................102 5.5.2.1.1 Condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) .................................................................103 5.5.2.2 Método de Lax ....................................................................................................................103 5.5.2.3 Método Upwind ...................................................................................................................103

5.6 Solución de las ecuaciones de Euler de Dinámica de Gases ......................................................104 5.6.1 Problema a resolver utilizando las ecuaciones de Euler unidimensionales en diferencias finitas ............................................................................................................................104 5.6.2 Análisis de la cámara de combustión ....................................................................................105 5.6.2.1 Resultados de la simulación mediante Diferencias Finitas por MATLAB...........................109 5.6.3 Conclusiones del Modelamiento mediante diferencias finitas ...............................................123 5.7.1 Simulación Mediante Elementos Finitos ................................................................................124 5.7.1.1 Introducción.........................................................................................................................124 5.7.1.2 Elementos para la simulación .............................................................................................124 5.7.1.3 Consideraciones y generalidades.......................................................................................125 5.7.2 Construcción del modelo .......................................................................................................125

5.7.2.1 Geometría ...........................................................................................................................125 5.7.2.2 Enmallado ...........................................................................................................................126 5.7.2.3 Condiciones de carga .........................................................................................................127 5.7.2.4 Condiciones de solución del modelo ..................................................................................129 5.7.3 Solución por elementos finitos del conjunto cámara – Tobera – zona de descarga .............130 5.7.3.1 Estado transitorio para la configuración de cámara de combustión (propelente) con geometría interna ............................................................................................................................135 Modelo de cámara de combustión con superficie de emisión frontal .............................................139 5.7.3.3 Estado transitorio para la configuración de cámara de combustión (propelente) con superficie de emisión frontal ...........................................................................................................143 5.7.3.4 Conclusiones del Modelamiento por elementos finitos.......................................................147

5.8 Conclusiones ................................................................................................................................148 6. CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………150

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Configuración del motor cohete (Ref Pérez) ...........................................................................8 Figura 1.2. Motor cohete con combustión frontal (de cigarrillo) (Ref Pérez) .............................................9 Figura 1.3. Algunas Superficies de combustión (Ref Pérez) ...................................................................10 Figura 1.4. Motor cohete con varios propulsores cilíndricos (Ref Pérez) ................................................10 Figura 1.5. Superficies de combustión (Ref Pérez) .................................................................................10 Figura 1.6. Otras propiedades son: a) una perforación sin ángulos convexos es linealmente progresiva. B) un ángulo vivo permanece si su convexidad es hacia el exterior del grano mientras que uno cóncavo se trasforma en un arco como se aprecia en la figura. (Ref Pérez) .............11 Figura 1.7. Condiciones de estancamiento..............................................................................................11 Figura 2.1. Esquema de la Bomba de Crawford. .....................................................................................48 Figura 3.1 Elementos utilizados en el diseño del motor cohete experimental. a) Conjunto motor – cohete. b) Parte cilíndrica de la cámara. c) Tobera. d) Tapa plana de la cámara................................51 Figura 3.2 Tipos de tapas abovedadas. (Ref. Pérez Crusells) ................................................................52 Figura 3.3 Configuración del propelente para la combustión frontal (Ref. Pérez)...................................56 Figura 3.4. Configuración de propelente con geometría interna (Ref. Pérez) .........................................57 Figura 4.1. Esquema de montaje .............................................................................................................72 Figura 4.2. Esquema de la combustión frontal sin tabique ......................................................................73 Figura 4.3. Esquema de la combustión frontal con tabique.....................................................................73 Figura 4.4. Esquema de la combustión con geometría interna cilíndrica sin tabique..............................74 Figura 4.5. Esquema de la combustión con geometría interna cilíndrica con tabique ............................76 Figura 5.1. Esquema de las condiciones de borde e iniciales para un motor cohete con disposición de propelente en forma de Tabaco .....................................................................................104 Figura 5.2. Problema a resolver por diferencias finitas..........................................................................106 Figura 5.3. Modelo geométrico del problema del motor cohete.............................................................126 Figura 5.4. Detalle del enmallado...........................................................................................................127 Figura 5.5. Condiciones de frontera para la simulación tipo core..........................................................128 Figura 5.6. Condiciones de contorno para la simulación de superficie de emisión frontal ....................129 Figura 5.7 Interfaz de opciones de solución de modelos de fluidos en FLOTRAN ...............................129 Figura 5.8a. Resultado de la velocidad en el cohete mediante ANSYS................................................131 Figura 5.8b. Resultado de la velocidad en el cohete mediante ANSYS................................................132 Figura 5.9. Solución para la presión.......................................................................................................132 Figura 5.10. Solución para la densidad..................................................................................................133 Figura 5.11. Solución para la energía turbulenta ...................................................................................134 Figura 5.12. Solución para el número de Mach .....................................................................................135 Figura 5.13. Secuencia de estabilización de la velocidad .....................................................................136 Figura 5.14. Secuencia de estabilización para la densidad...................................................................137 Figura 5.15. Secuencia de estabilización para la densidad...................................................................139 Figura 5.16a. Solución de velocidades para superficie de emisión frontal. ..........................................140 Figura 5.16b. Solución de velocidad es de emisión frontal (detalle)......................................................140 Figura 5.17. Solución de presión para la superficie de emisión frontal .................................................141 Figura 5.18. Solución de densidad para la superficie de emisión frontal...............................................142 Figura 5.19. Energía turbulenta para superficie de emisión frontal .......... ¡Error! Marcador no definido. Figura 5.20. Número de Mach para la superficie de emisión frontal. ....................................................143 Figura 5.21 Secuencia de estabilización para la velocidad para una superficie de emisión frontal......................................................................................................................................................145 Figura 5.22. Secuencia de estabilización para la presión para superficie de emisión frontal ...............146 Figura 5.23. Secuencia de estabilización para la densidad en la superficie de emisión frontal. ...........147

LISTA DE FOTOS

Foto 4.1. Propelente sólido. Mezcla nitrato de potasio (65%) y sacarosa (35%). ................................................... 68 Foto 4.2. Quemado de propelente sin geometría interna y sin tabique.................................................................... 80 Foto 4.3. Quemado de propelente. Gases de combustión. ....................................................................................... 80

LISTA DE GRÁFICAS

Gráfica 2.1 Temperatura de la cámara de combustión para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y sacarosa. ..................................................................................................................................................24 Gráfica 2.2. Temperatura para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol..........................25 Gráfica 2.3 Temperatura para la mezcla nitrato de amonio, azúcar y polietilenglicol. ............................25 Gráfica 2.4. Temperatura para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio......................................26 Gráfica 2.5. Temperatura para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol.............................27 Gráfica 2.6. Temperatura para la mezcla nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol. .........................27 Gráfica 2.7. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol. ..........................................................................................................................................28 Gráfica 2.8. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y Aluminio...29 Gráfica 2.9. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar. ......................................................................................................................................................29 Gráfica 2.10. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de potasio, polietilenglicol y aluminio. ...................................................................................................................................................30 Gráfica 2.11. Densidad del propelente para la mezcla nitrato de amonio, azúcar y aluminio. ................30 Gráfica 2.12. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y Aluminio....................................................................................................................................................30 Gráfica 2.13. Peso molecular para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol. .....................32 Gráfica 2.14. Peso molecular para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio. ..............................32 Gráfica 2.15. Peso molecular para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar. .....................33 Gráfica 2.16. Peso molecular para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y azúcar. ..............................33 Gráfica 2.17. Peso molecular para la mezcla nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol....................34 Gráfica 2.18. Peso molecular de los productos de combustión para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol. .........................................................................................................................34 Gráfica 2.19. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol. ..........................................................................................................................................35 Gráfica 2.20. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar. ......................................................................................................................................................35 Gráfica 2.21. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de amonio, azúcar y aluminio. ....36 Gráfica 2.22. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol. ..........................................................................................................................................36 Gráfica 2.23 Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio ......37 Gráfica 2.24. Relación de calores específicos para la mezcla Nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol ...........................................................................................................................................38 Gráfica 2.25. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de amonio, azúcar y aluminio. ....................................................................................................................................38 Gráfica 2.26. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de amonio, azúcar y polietilen glicol. ..........................................................................................................................39 Gráfica 2.27. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol. .........................................................................................................................40 Gráfica 2.28. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol. .........................................................................................................................40 Gráfica 2.29. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol. ...........................................................................................................................41 Gráfica 2.30. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de potasio, azúcar y aluminio. ....................................................................................................................................42 Gráfica 2.31. Costo relativo para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol. ........................43 Gráfica 2.32. Costo relativo para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y aluminio. .....................43 Gráfica 2.33. Costo relativo para la mezcla nitrato de potasio, polietilenglicol y aluminio.......................44 Gráfica 2.34. Costo relativo de la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio .....................................44 Gráfica 2.35. Costo relativo de la mezcla nitrato de amonio, azúcar y aluminio .....................................45 Gráfica 2.36. Costo relativo para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar. ........................46 Gráfica 3.1 Tiempo para ignición en función del flujo de la masa de ignición (Ref. Sutton)……………………………………………………………………………………………………..………58 Gráfica 4.2. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión frontal (tabaco o cigarrillo) graficado en osciloscopio. ........................................................................................................................73 Gráfica 4.3a. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique graficado en osciloscopio. ...........................................................................................................74

Gráfica 4.3b. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique graficado en osciloscopio. ...........................................................................................................75 Gráfica 4.3c. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique graficado en osciloscopio. ...........................................................................................................76 Gráfica 4.4a. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna con tabique graficado en osciloscopio. ...........................................................................................................77 Gráfica 4.4b. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna con tabique graficado en osciloscopio. ...........................................................................................................78 Gráfica 4.3a. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique graficado en osciloscopio. ...........................................................................................................79 Gráfica 4.4. Gráfica d probabilidad normal acumulada para los residuos ...............................................87 Gráfica 4.5 Residuos versus valores ajustados .......................................................................................88 Gráfica 5.1. Líneas características. Sobre estas líneas se propaga la solución del sistema. .................96 Gráfica 5.2. Líneas características para el c aso de la rarefacción. Obsérvese la zona de rarefacción.97 Gráfica 5.3. Comportamiento de la ecuación (5.27) ................................................................................98 Gráfica 5.4. Región de Rarefacciones de la ecuación (líneas características) (5.27) .............................99 Gráfica 5.5. Líneas características con choque. Obsérvese la región de choque y su punto inicial (x*, t*) ..............................................................................................................................................................99 Gráfica 5.6. Comportamiento de la ecuación (5.28). .............................................................................100 Gráfica 5.7. Región de choques de la ecuación (líneas características del choque) (5.28)..................101 Gráfica 5.8 a. Momentum en vista tridimensional ..................................................................................110 Gráfica 5.8 b. Contornos del momentum y líneas características .........................................................110 Gráfica 5.8 c. Líneas características de momentum..............................................................................112 Gráfica 5.8 d. Contornos de momentum en función del tiempo para diferentes posiciones .................112 Gráfica 5.9 a. Velocidad para la cámara de combustión .......................................................................113 Gráfica 5.9 b. Contornos y líneas características de la velocidad .........................................................114 Gráfica 5.9 c. Líneas características de velocidad.................................................................................115 Gráfica 5.9 d. Contornos de velocidad en función del tiempo para diferentes posiciones. ...................116 Gráfica 5.10 a. Densidad para la cámara de combustión......................................................................118 Gráfica 5.10 b. Contornos y líneas características de la densidad........................................................118 Gráfica 5.10 c. Líneas características de densidad ...............................................................................120 Gráfica 5.10 d. Contornos de densidad en función del tiempo para diferentes posiciones...................120 Gráfica 5.11 a. Presión al interior de la cámara de combustión ............................................................121 Gráfica 5.11 b. Contornos y líneas características de la presión...........................................................122 Gráfica 5.11 c. Líneas características de la presión. .............................................................................122 Gráfica 5.11 d. Comportamiento de la presión en función del tiempo para diferentes posiciones........123

LISTA DE TABLAS

Tabla 1.1. Oxidantes más utilizados en cohetes de propelente sólido (Perez). ........................................2 Tabla 1.2. Combustibles más utilizados en propelentes sólidos (Perez)...................................................2 Tabla 1.3. Oxidantes más utilizados en cohetes de propelente líquido (Sutton). ......................................3 Tabla 1.4. Combustibles más utilizados en cohetes de propelente sólido (Sutton). .................................3 Tabla 1.5. Algunos tipos de oxidantes y sus características químicas. Tomado de Estudio de propulsores sólidos para cohetes. Perez Crusells. 1970. ..........................................................................7 Tabla 1.6. Combustibles más utilizados en propelentes sólidos. (Ref Pérez) ...........................................7 Tabla 1.7. Algunos propelentes típicos (Ref Pérez)...................................................................................8 Tabla 3.1. Contenido de los aceros aleados............................................................................................54 Tabla 3.2. Contenido de aleaciones hechas de titanio ............................................................................54 Tabla 3.3. Contenido de aleaciones hechas de aluminio ........................................................................55 Tabla 4.2. Diseño del experimento...........................................................................................................69 Tabla 4.3. Parámetros de experimentación .............................................................................................71 Tabla 4.4. Determinación del tamaño de la muestra. ..............................................................................72 Tabla 4.5 Tabla de análisis de varianza para el modelo bifactorial de efectos fijos (Ref Montgomery). ...........................................................................................................................................82 Tabla 4.6 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de ignición (Start-up) en segundos. ..............................................................................................................82 Tabla 4.7 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de estado estable (s). ....................................................................................................................................82 Tabla 4.8 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de corte (s) .............................................................................................................................................................83 Tabla 4.9 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al empuje (kgf). ..............83 Tabla 4.10a. Resumen estadístico del tiempo de subida. .......................................................................84 Tabla 4.10b. Tabla de ANOVA para el tiempo de subida con α=0.05.....................................................84 Tabla 4.11a. Resumen estadístico del tiempo de estado estable. ..........................................................85 Tabla 4.11b. Tabla de ANOVA para el tiempo de estado estable con α=0.05........................................85 Tabla 4.12a. Resumen estadístico del tiempo de corte. ..........................................................................85 Tabla 4.12b. Tabla de ANOVA para el tiempo de corte con α=0.05. ......................................................85 Tabla 4.13a. Resumen estadístico del empuje. .......................................................................................86 Tabla 4.13b. Tabla de ANOVA para el empuje con α=0.05. ...................................................................86 Tabla 4.14. Tabla de residuos normalizados ...........................................................................................87 Tabla 5.1. Tiempo de estabilización de momentum...............................................................................112 Tabla 5.2 Iteraciones y viscosidad artificial para la solución del modelo...............................................130

1

1. ANÁLISIS Y CONCEPTUALIZACIÓN DE LA CÁMARA DE COMBUSTIÓN PARA UN MOTOR COHETE INTRODUCCIÓN El presente proyecto hace parte de un conjunto de tesis encaminadas a apropiar el conocimiento y la tecnología en el campo aerospacial para iniciar un camino en la proyección que esta área tiene en Latinoamérica. Con tal fin, esta tesis estará dirigida a modelar los fenómenos de combustión al interior de un cohete y hallar las relaciones entre temperatura, presión y composición de los gases de escape para poder diseñar dicha cámara. En esta primera etapa, se ha determinado la composición óptima del combustible y oxidante a utilizar en un motor - cohete de propelente sólido. Para ello, se han analizado 6 composiciones que son asequibles al medio colombiano, para escoger el propelente que cumpla con: un alto impulso específico y bajos costos. Por cohete se entiende habitualmente como un dispositivo que contiene en su interior un motor a reacción, los depósitos para los propulsores y la llamada «carga útil» para transportar, y que es capaz de elevarse verticalmente o con una determinada inclinación desde el suelo o desde el aire. El corazón de un vehículo de este tipo es el motor a reacción o cohete, que está en condiciones de proporcionar el empuje necesario a su movimiento aprovechando el principio físico de acción y reacción. En este motor la acción está representada por un flujo de partículas (gases) producidas por medio de procesos químicos y/o físicos de diverso tipo, que son expulsadas a altísimas velocidades en una determinada dirección; la reacción, en cambio, está representada por el movimiento del vehículo en la dirección opuesta a aquella en que son expulsadas las partículas. Muy esquemáticamente, un motor cohete, está constituido por una cámara donde se lleva a cabo la producción de las partículas a expulsar, por los aparatos necesarios para alimentar tal producción y por una tobera de descarga, a través de la cual las partículas producidas son expulsadas a alta velocidad. 1.1. LOS COHETES 1.1.1 Tipos de cohetes El aparato propulsor de un cohete, según el mecanismo empleado para la producción de las partículas que proporcionan el empuje, puede estar comprendido en una de las siguientes categorías: cohete químico, cohete nuclear, cohete a iones. 1.1.1.1 Motor de propulsión química Es el tipo más extendido y en el cual se centrará el presente proyecto. El proceso químico que lo alimenta es la combustión de determinados propulsores que desarrollan las partículas gaseosas a alta temperatura y velocidades responsables del empuje. Mientras el propulsor que alimenta el motor de un avión a reacción está compuesto de un solo componente químico, el llamado combustible que se quema por el oxígeno que el motor extrae del aire, el propulsor que alimenta a un motor cohete debe tener, además del combustible, también un oxidante (o comburente), es decir, un compuesto químico necesario para hacer quemar el combustible, debido a que el cohete debe volar sobre todo en el vacío del espacio, donde no hay oxígeno. Los cohetes de propulsión química, a su vez, pueden ser de dos tipos: de propulsor sólido y de propulsor líquido. 1.1.1.1.1 Propulsor sólido En los cohetes de propulsor sólido, el combustible y el oxidante se mezclan conjuntamente bajo la forma de un polvo compacto y solidificado, llamado grano. Este se acumula en la cámara de

2

combustión adhiriéndose perfectamente a las paredes y dejando un agujero cilíndrico central. La ignición se lleva a cabo por medio de un impulso eléctrico. Algunas de las mezclas que más se emplean se enseñan a continuación (Tabla 1.1 y Tabla 1.2): COMPUESTO FÓRMULA CONTENIDO

DE O2 (%) DENSIDAD (Kg/m3)

Nitrato de amonio NH4NO3 60 1730 Nitrato de Sodio NaNO3 56.4 2170 Perclorato de Potasio KClO4 46.2 2520 Nitrato de Potasio KNO3 47.5 2110 Perclorato de nitro NO2ClO4 66 2200 Perclorato de amonio NH4ClO4 59.5 1950

Tabla 1.1. Oxidantes más utilizados en cohetes de propelente sólido (Perez). COMPUESTO FÓRMULA PESO MOLECULAR

(Kg/Kmol) DENSIDAD (Kg/m3)

Zirconio Zr 91.22 6400 Titanio Ti 47.90 4500 Aluminio Al 26.98 2700 Hidruro de Aluminio AlH3 30 1420 Berilio Be 9.01 2300 Magnesio Mg 24.32 1750

Tabla 1.2. Combustibles más utilizados en propelentes sólidos (Perez). 1.1.1.1.2 Cohetes de propelente líquido Los cohetes de propulsor líquido, por lo general, llevan el combustible y el oxidante en dos depósitos separados. Los dos líquidos son enviados por medio de una bomba a la cámara de combustión donde, al entrar en contacto, desarrollan el proceso químico que da lugar a un potente flujo de partículas gaseosas (llamadas gases de combustión o productos de combustión). Una de las combinaciones más empleadas para los cohetes de propulsor líquido es la de hidrógeno líquido (combustible) con oxígeno líquido (oxidante). Esta ha sido la adoptada, por ejemplo, para alimentar algunos de los numerosos motores del Saturno V, que llevó a los estadounidenses a la Luna. Naturalmente, gases como el hidrógeno y el oxígeno existen en estado líquido a temperaturas criogénicas (algunas decenas de grados por encima del cero absoluto): por lo que las operaciones para cargar los depósitos son sumamente complejas, tal como se contempla cuando se cargan los depósitos de un cohete de propulsor líquido que se halla en la rampa de lanzamiento. Otra combinación de propulsores líquidos es la de hidrazina (combustible) y peróxido de nitrógeno (oxidante), utilizados en los motores principales del transbordador espacial. También existen cohetes de propulsión líquida que recurren al llamado monopropulsor, es decir, a un único compuesto químico en estado líquido que se hace pasar a través de un catalizador, presente en el interior de la cámara de combustión, que tiene el poder de descomponerlo en una mezcla gaseosa que se quema. Es el caso del peróxido de hidrógeno que, en contacto con un catalizador de platino, se descompone en oxígeno y vapor de agua sobrecalentado. Una característica que diferencia a los cohetes de propulsión sólida de los de propulsión líquida es que, en los primeros, la combustión y, por lo tanto, el empuje, dura hasta la extenuación del propulsor; en cambio en los segundos es posible bloquearla, interrumpiendo el flujo de alimentación del propulsor líquido contenido en los depósitos por medio de una válvula. El cohete de propulsión líquida es el más utilizado para la exploración espacial debido a que el empuje que se logra con él es alto en relación con los cohetes de propulsión sólida, se sabe que su utilización alcanza entre el 70 y 80% de los cohetes fabricados actualmente. A continuación se enseñan los principales combustibles y oxidantes utilizados en cohetes líquidos (ver Tabla 1.3 y Tabla 1.4):

3

COMPUESTO PTO DE FUSION Y PTO DE EBULLICIÓN (°C)

DENSIDAD (Kg/m3)

OBSERVACIONES

Oxígeno líquido

-218 -183 1140 Utilizado en el V2, R7, Saturno V, transbordador espacial

Tetróxido de Nitrógeno

-11 21 - Almacenable a temperatura ambiente. Lo han utilizado los cohetes ARIAN IV, V, cohetes chinos y el transbordador espacial.

Acido nítrico -0.5 150 1560 Almacenable a temperatura ambiente. Usado por los Soviéticos (Rusos)

Flúor líquido -223 -188 1110 Agente muy corrosivo.

Tabla 1.3. Oxidantes más utilizados en cohetes de propelente líquido (Sutton). COMPUESTO PTO DE FUSION Y

PTO DE EBULLICIÓN (°C)

DENSIDAD (Kg/m3)

OBSERVACIONES

Hidrógeno líquido

-259 -252 70 Es inflamable. Muy utilizado.

RP-1 -44 182 - No tóxico. Hidrazina 1.6 113 1010 Muy tóxico. Puede funcionar como

monopropelente. Tabla 1.4. Combustibles más utilizados en cohetes de propelente sólido (Sutton).

1.1.1.2 Cohete nuclear Se trata de un tipo de motor aún en estado de proyecto, en el cual no se llevan a cabo procesos de combustión, sino que los gases son llevados a las altas temperaturas necesarias para obtener el empuje del calor generado por un reactor a fisión nuclear (del mismo tipo de las centrales para la producción de energía eléctrica). Los propulsores tomados en consideración para alimentar un motor de cohete a fisión nuclear son el hidrógeno líquido o, incluso, el agua; se hacen pasar a través de un radiador de calor, alimentado por la pequeña central nuclear en miniatura para ser transformados en gases y entonces expulsarlos, como en un motor de cohete químico, a través de la tobera de descarga. Una concepción distinta de cohete nuclear apunta sobre un mecanismo de empuje que se basa en las acciones dinámicas y térmicas desencadenadas por una pequeña sucesión de explosiones nucleares, precisamente como las producidas por un artefacto bélico. Esta línea de investigación fue iniciada en los años sesenta por un grupo de físicos estadounidenses en el ámbito del proyecto Orión, pero no fue continuada. Aún hay que señalar el proyecto desarrollado por la British Interplanetary Society para cuando se alcance el objetivo de la fusión nuclear controlada: un cohete movido por un chorro de plasma generado a través de este tipo de proceso nuclear. La propia British Interplanetary Society ha presentado el esquema de una misión de exploración de algunas estrellas cercanas por medio de una astronave a fisión nuclear bautizada Dédalo, que debería alcanzar una velocidad de 40.000 km/s, es decir, casi el 14 por 100 de la velocidad de la luz. Los cohetes nucleares todavía no han encontrado aplicación práctica, pese a que los estudios y experimentos en el sector comenzaron a principios de los sesenta; esto se debe tanto a su elevado costo como a los problemas de carácter ambiental provocados por la diseminación de sustancias radioactivas en la atmósfera terrestre. 1.1.1.3 Cohete a iones El fenómeno físico sobre el que se basa es precisamente la ionización, es decir, la posibilidad de que los átomos queden cargados eléctricamente después de haberles quitado los electrones. El propulsor

4

utilizado para este tipo de cohete es un metal alcalino, por ejemplo el cesio, cuyos átomos pueden ionizarse con facilidad haciéndolos pasar a través de una rejilla sobrecalentada. Inmediatamente después, los iones así formados son acelerados a alta velocidad por intensos campos eléctricos. Entonces, las partículas de cesio ionizadas y aceleradas son expulsadas por la tobera de descarga. Pequeños motores de iones montados a bordo de satélites ya han sido experimentados con éxito, hasta el punto de que la NASA, a finales de los años setenta, proyectaba el envío de una sonda accionada por un motor de iones en un largo viaje hacia dos cometas: el Halley y el Tempel 2 1.2 Algunas definiciones conceptuales básicas Para determinar el funcionamiento de un cohete, con relación al empleo que se le pretende dar, se debe tomar en consideración dos parámetros fundamentales: su peso total y su impulso específico. El primer término no necesita ninguna explicación; aun bastará con decir sólo que cuanto mayor es el peso, mayor es el empuje que debe ejercer el motor para levantarlo de tierra. Por lo tanto, un requisito importante para un cohete consiste en recurrir a estructuras, motores y propulsores que sean lo más livianos posibles. El impulso específico es la fuerza de empuje en kg (N) que un kg (N) de propulsor está en condiciones de proporcionar por segundo. Tratándose de una relación kg/kg/s, se deduce fácilmente que el impulso se mide en segundos. Dicho lo anterior se puede comparar el empuje de varios tipos de cohetes. El cohete químico es entonces el que proporciona (con la tecnología actualmente utilizada) el mejor impulso específico, aunque sea aún un impulso mediocre en términos de las necesidades económicas y científicas. Los propulsores líquidos proporcionan en promedio un impulso específico mayor que los sólidos y, por lo tanto, son más utilizados para las secciones principales de los misiles que deben elevarse de tierra. Los mejores propulsores líquidos alcanzan hoy un impulso específico de aproximadamente trescientos ochenta segundos; en cambio, los mejores propulsores sólidos alcanzan de doscientos cincuenta segundos. Si bien en el futuro podrán experimentarse propulsores químicos aún más eficientes, no parece en el actual estado de los conocimientos que pueda superarse el umbral de los cuatrocientos segundos de impulso específico (Sutton). La limitación más grave del motor químico, en general, es su escasa autonomía. Un cohete, tanto de propulsión líquida como sólida, consume sus propulsores en el plazo de pocos minutos. Es adecuado por lo tanto para escapar de la gravedad terrestre, pero después debe realizar su viaje por inercia con los motores apagados, aprovechando la velocidad ya adquirida y, eventualmente, los campos gravitacionales de otros cuerpos celestes. Este es el motivo por el cual, aún hoy, los viajes espaciales tienen una duración de meses o de años. En cambio, si se pudiera disponer de un motor cohete que estuviera encendido durante largos periodos, los tiempos de vuelo entre un planeta y otro se reducirían drásticamente. Si se quisiera mantener encendido un cohete químico durante períodos muy largos, sería necesario dotarlo de una reserva de propulsores tan pesada que el vehículo no lograría jamás despegar de Tierra. El cohete de propulsión nuclear garantiza en cambio una larga autonomía de la principal fuente de calor (debe pensarse que, con un pequeño cartucho de material fisionable como el uranio, un reactor puede funcionar durante años) y también una transferencia de calor al propulsor, tan eficiente como para hacerle alcanzar altas velocidades de expulsión de material gaseoso. El cohete de propulsión iónica, por último, es el que puede proporcionar el máximo de impulso específico --miles de segundos—con un empuje pequeño. Las partículas alcanzan altísimas velocidades, pero son muy livianas. Esto significa que un motor de iones no tendrá nunca la fuerza de levantar un cohete desde la Tierra y deberá emplearse a partir del espacio. Sin embargo, garantizando el funcionamiento del motor sin interrupción durante años, podrá ir acelerando poco a poco hasta alcanzar las elevadas velocidades necesarias para los largos viajes interplanetarios.

5

1.3 Propelentes sólidos 1.3.1 Clasificación Algunas clasificaciones de los cohetes de propulsión sólida

En los motores cohete de propelente sólido, el propelente es contenido directamente en la cámara de combustión. Estos cohetes son de varias formas y medidas variando en el empuje de 1 lb a 2.5 millones de libras (Sutton). Estos cohetes en general no tienen partes móviles, sin embargo, actualmente se hacen con actuadores en las toberas para direccionarlos. Ref Sutton: Bases De Clasificación Ejemplos

Aplicación Boosters de satélites, misiles balísticos, misiles en general, primera, segunda etapas de cohetes espaciales

Diámetros 2.75 120 156 260 in Propelente Composita Doble base Composita doble base Diseño Acero Fibra de vidrio Segmentado Configuración Del Grano Cilíndrico Esférico Cigarrillo Instalación Del Grano Fundido en la cámara Cargado con cartucho Peligrosidad A: (clase 7) Falla catastrófica, detonación B: (clase 2) catastrófico, quemado y explosión,

ausencia de detonación Acción del empuje Grano neutral: quemado constante

Grano progresivo: el empuje incremento con el tiempo Grano regresivo: el empuje se decrementa con el tiempo

Químicamente, también se pueden clasificar los cohetes de propelente sólido gracias a su composición macroscópica. Los propulsores pueden ser clasificados en homogéneos y heterogéneos. Los propulsores homogéneos poseen un sistema químico en el cual las cantidades del oxígeno preciso para que se efectúe la reacción aparece en forma de grupos nitro. En este grupo de propelentes se puede establecer los propulsores de simple y doble base. En estos, la nitrocelulosa (compuesto de venta restringida en Colombia) es el principal compuesto. Para los

6

propulsores de base simple se realiza la gelatinización con éter- alcohol y los de base doble se realiza con nitroglicerina. Hay que notar que los propulsores homogéneos requieren especial cuidado en su manipulación y para las condiciones del país existen restricciones especiales en cuanto a su uso. De los compuestos de doble y simple base es usado en cohetería los de doble base por su alta confiabilidad y estabilidad química siendo muy usados en misiles tácticos. Por otra parte los propulsores heterogéneos (o también conocido como propulsores compuestos o compositas) contienen una mezcla íntimamente hecha, donde esta el oxidante, el combustible y otros agentes que colaboran en las propiedades mecánicas y térmicas antes mencionadas. 1.5 Propelentes Compuestos (Compositas) Como se mencionaba, los propelentes sólidos están compuestos principalmente por un agente oxidante y un combustible, a éstos se les añade por lo general plastificantes, agentes de curado, estabilizantes, catalizadores (para aumentar la velocidad de la reacción), agentes tensoactivos (aumenta la temperatura de reacción y por ende el impulso específico. Para la construcción de estos propulsores (propelentes) se polimeriza un agente orgánico que tiene como función realizar la reducción de las sales inorgánicas combustibles y aquellos metales que entran como catalizadores o también como combustibles y que en conjunto proporcionan una masa mezclada íntimamente y de carácter sólido. Entre las sales inorgánicas más utilizadas se encuentran los percloratos y los nitratos que son de una relativa amplia difusión (En Colombia por ejemplo, se restringe la utilización de percloratos de potasio y amonio y se permite la venta bajo restricción del nitrato de amonio y nitrato de potasio) y por ende de bajo precio. Como combustibles se utilizan polímeros de alto peso molecular como son los polibutadienos, polisulfuros, cloruros de vinilo, poliesteres, poliuretanos entre otros. También se utilizan agentes comunes como el azúcar, el aluminio, etc. A los anteriores elementos se les agrega agentes plastificantes, agentes de curado, estabilizantes, catalizadores (como bicromatos u óxido férrico), destinados a acelerar la velocidad de reacción de la mezcla e incrementar la temperatura. 1.5.1 Los oxidantes Existen muchas sustancias que se pueden usar para este fin; pero es preciso mencionar que en un buen oxidante la reacción con un agente reductor debe ser fuertemente exotérmica además debe tener un calor de formación grande. El carácter económico puede ser también de vital importancia, por esto mismo entre los mas usados se encuentran los nitratos y percloratos, siendo el nitrato de amonio (NO3NH4) el más económico pero a su vez uno de los que más desventajas conlleva, algunas de ellas son: Su bajo contenido de oxigeno limita la cantidad de combustible con la que puede mezclarse y su velocidad de descomposición es relativamente lenta (por medio de catalizadores se puede acelerar la reacción). La desventaja más marcada es que esta sustancia cambia sus propiedades según la temperatura a la que este sometida. Por ejemplo a 32.1 ºC (Ref Pérez) disminuye su densidad, aumentando de tamaño; los propulsores que utilizan este oxidante tienen tendencia a agrietarse y producir reacciones inadecuadas. Para aminorar ligeramente este problema puede agregarse NO3K para variar la temperatura de transición. Para aumentar la velocidad de reacción pueden usarse catalizadores de base de cromo. Las ventajas propias de este oxidante en el contexto del país es importante. Aunque se sabe que existen oxidantes

7

con un calor de formación más alto (por ejemplo los percloratos y otros oxidantes) y con reacciones altamente exotérmicas, su venta no es prohibida. A modo de ejemplo se considerará el perclorato de amonio (de uso restringido de las fuerzas armadas). - Perclorato de amonio (ClO4NH4) un oxidante que proporciona un buen impulso específico, pese a que hay otros compuestos con mayores cantidades de oxígenos en su molécula; éste posee buenas propiedades mecánicas al añadirle pequeños porcentajes de polímeros. Tiene la inconveniente de generar humos blancos desventaja para cohetes de corto alcance y para misiles tácticos. Los catalizadores más eficientes para acelerar la reacción que contenga como oxidante el perclorato de amonio son el dióxido de manganeso, cromito de cobre y óxido férrico. Formula Química

Peso Molecular

Contenido de O2 %

Densidad g/cm3

Calor de Formación ∆∆∆∆hf Kcal/mol

Temperatura de Descomposición ºC

ClO4NH4 117 54´5 1´95 -70´73 270 ClO4Li 106´4 60´1 2´43 91´0 430 ClO4Na 122´5 55´2 2´53 -91´48 482 ClO4K 138´55 46´1 2´53 -102´8 530 NO3NH4 80´04 50´49 1´72 -87´27 NO3Li 68´95 69´62 2´38 -115´27 474 NO3Na 85´00 56´47 2´26 -111´54 330 NO3K 101´10 47´47 2´11 -117´76 400

Tabla 1.5. Algunos tipos de oxidantes y sus características químicas. Tomado de Estudio de propulsores sólidos para cohetes. Perez Crusells. 1970.

1.5.2 Los Combustibles Son agentes reductores y se pueden clasificar en dos grupos: colables polimerizables y no colables vulcanizables. En los primeros se encuentran los monómeros que por medio de una reacción se sintetizan en polímeros y adquieren propiedades convenientes. Los segundos son aquellos que pueden obtener gran plasticidad que permite la adicción de un oxidante, para luego ser vulcanizado y adquirir propiedades adecuadas. Los polímeros tienen la ventaja en su facilidad de mezclado con el oxidante, sus reacciones son principalmente de dos tipos: adición y condensación. Las reacciones de adición (exotérmicas) parten de un monómero o cadenas con doble enlace, la cadena es abierta por medio de peróxidos que actúan como catalizadores pero debido a la alta velocidad de la reacción se complica controlar el peso molecular y la temperatura de los productos. COMPUESTO FÓRMULA PESO

MOLECULAR (Kg/Kmol)

DENSIDAD (Kg/m3)

Zirconio Zr 91.22 6400 Titanio Ti 47.90 4500 Aluminio Al 26.98 2700 Hidruro de Aluminio AlH3 30 1420 Berilio Be 9.01 2300 Magnesio Mg 24.32 1750

Tabla 1.6. Combustibles más utilizados en propelentes sólidos. (Ref Pérez)

8

1.5.2.1 Polvos metálicos Los polvos metálicos son adicionados para aumentar el impulso específico mediante la catalización de la reacción, a su vez, también aumentará la densidad del propelente. Los metales más utilizados son el aluminio, magnesio, boro, zirconio y berilio. Estos polvos son adicionados de manera aleatoria a la mezcla propelente con partículas finas que oscilan entre los 50 a 200µ. En la siguiente tabla (tabla 1.7) se encuentran algunas combinaciones típicas de oxidantes y combustibles.

Características Proceso

de Obtención

Densidad

Gr./cm3

Impulso Específic

o N. s/Kg.

Presión de Funcionamien

to Kg/cm2

Tº de la Cámara

ºK

Características

Mecánicas

60% ClO4NH4 Poliuretano

Aluminio Colada 1´72 2450 140 Excelentes

85% ClO4NH4 Poliuretano Colada 1´70 2403 2912 Excelentes

ClO4NH4 Polibutadieno Colada 1´74 2450 140 Excelentes

ClO4NH4 Poliéster Colada 1´88 1979 140 1753 Excelentes

Tabla 7. Algunos propelentes típicos (Ref Pérez) 1.6 CONFIGURACIÓN DEL COHETE DE PROPELENTE SÓLIDO 1.6.1 El motor cohete. En la figura 1.1 se observan las siguientes partes principales de un motor cohete:

! Tubo cilindrico metálico. ! Tapa roscada o soldada . Cierra el tubo en un extremo con el fin de separarlo de la carga

util. ! Tobera. Situada en el otro extremo para la salida de los gases.

9

Figura 1.1. Configuración del motor cohete (Ref Pérez)

Este motor se vuelve carga inútil al finalizar la combustión y por ende deberá cumplir la mayor cantidad de las siguientes propiedades:

! Alta resistencia a la corrosión. ! Alta relación resistencia- peso. ! Resistencia al calor y la vibración ! Absorción de choques. ! Buen dieléctrico. ! Sin deformación plástica.

En algunos casos el propulsor va unido al motor, el cual tiene un recubrimiento denominado inhibidor el cual es un aislante térmico adecuado para soportar la temperatura de combustión. Cabe recordar la existencia del encendido, el cual es accionado desde una fuente de energía en el exterior. 1.6.2 Formas de combustión del grano. Los propulsores son composiciones químicas capaces de provocar reacciones de carácter exotérmico a presión relativamente alta. Las reacciones son explosiones de baja velocidad, conocidas como deflagraciones, estas poseen un movimiento paralelo a la geometría en que se fabricó y llevan una velocidad que depende de la temperatura dentro de la cámara (el motor- cohete). Existe una superficie denominada superficie de emisión y es la zona en la que comienza y progresa la reacción, esta puede permanecer constante (de emisión constante) o variar (si aumenta o disminuye se le denomina progresiva y degresiva respectivamente). 1.6.2.1 Combustión frontal (de cigarrillo). Este tipo de combustión presenta una superficie de emisión constante, presentando reducción de la aceleración axial y mayor duración del combustible, cabe aclarar que este tipo de combustión tiene inconvenientes como la variación del centro de gravedad y la pequeña superficie de emisión. En la figura 1.2 se ve la organización del motor con combustión frontal; se observa también que su grado de llenado (relación entre la sección transversal del propulsor y la del motor) es próximo a uno.

Figura 1.2. Motor cohete con combustión frontal (de cigarrillo) (Ref Pérez)

1.6.2.2 Superficie de combustión del propulsor lateral. Como se ve en la figura 1.3 existen diversas variantes en la sección del grano. Se mencionarán algunas de ellas:

! Sección cruciforme: utilizada en cohetes de aviación, al inhibirse las regiones curvas se obtiene un aumento notorio en la superficie de emisión.

! Sección trilobular: presenta superficie de emisión constante y mayor robustez pero tiene dificultad para la fabricación de las ranuras a los lados.

10

Figura 1.3. Algunas Superficies de combustión (Ref Pérez) !

Figura 1.4. Motor cohete con varios propulsores cilíndricos (Ref Pérez)

! Granos tubulares o cilíndricos: es la forma más usual, la palabra múltiple se debe a que el motor puede llevar varios de ellos como se ven en la figura 1.4. tienen una gran superficie de emisión.

1.6.2.3 Superficie de combustión en el interior del grano. Sentido radial y longitudinal. Puede presentarse de dos maneras:

! cargas unidas. El propulsor se une al motor mediante el inhibidor. ! Cargas libres: el propulsor se recubre de material plástico con fibra de vidrio y sobre esta

va el inhibidor. La figura 1.5 muestra las diferentes formas de perforación interior del grano, la elección dependerá del diseñador, el cual debe guiarse por lo que desee (dimensiones, empuje, grado de llenado, costos, etc.). es recomendable usar una configuración compacta y sencilla que se aproxime a la mitad del radio lo que permite proteger las paredes del motor con el propulsor.

Figura 1.5. Superficies de combustión (Ref Pérez)

11

Figura 1.6. Otras propiedades son: a) una perforación sin ángulos convexos es linealmente progresiva. B) un ángulo vivo permanece si su convexidad es hacia el exterior del grano mientras que uno cóncavo se trasforma en un arco

como se aprecia en la figura. (Ref Pérez)

1.6.3 Combustión del grano. Se considerará la fig. 1.7, en ella se observa un recipiente grande, terminado en una tobera, en el cual existe un flujo compresible unidimensional e isentrópico. También es bueno definir un punto de partida con velocidad igual a cero, entalpía h0, temperatura T0 presión P0, etc. Como se ha mencionado, el propelente sólido consiste de una combinación premezclada de combustible y oxidante que quema cuando encuentra la suficiente energía para hacerlo (ignición). El bloque entero de propelente sólido (llamado grano) es almacenado directamente en la cámara de combustión.

Figura 1.7. Condiciones de estancamiento

En este sistema la combustión procede de la superficie del propelente a una rata de quemado que dependerá de la temperatura y presión en la cámara que lo almacena y de la geometría de la superficie de quemado. 1.6.4 Impulso específico Este aparatado simplemente corresponde a una pequeña conceptualización en torno al impulso específico, para ver más obsérvese la tesis alterna de Carlos Duque. Una de las principales características del propelente de un cohete es el impulso específico, el cual, es la relación de empuje a la rata de flujo del propelente. Este valor del impulso específico es limitado por la energía química del combustible. Como se mencionaba el impulso específico de propelente Isp es dado por:

gv

w

II eqsp == • 1.1

Donde - I es el impulso total impartido al vehículo durante la aceleración y es dado por:

∫ == eqpvmFdtI 1.2

donde mp es la masa total de propelente exhaustada y veq es la velocidad equivalente de exhaustación de los gases de combustión (por definición la velocidad equivalente es el empuje por unidad de masa exhaustada) dada po:

eae

eeq Am

ppvv

−+= • 1.3

- •w es peso por unidad de tiempo de propelente exhaustado del cohete.

12

Las unidades de impulso específico es expresado en segundos y permite tener una idea de la característica de funcionamiento del cohete; es deseable para este indicador tener valores altos del impulso específico que es función de la química del cohete. 1.7. CALCULOS TERMODINAMICOS DE LA COMBUSTION

1.7.1 Introducción El cohete químico obtiene la energía para su propulsión a partir de la combustión de un oxidante y un combustible que en conjunto se denomina propelente. Dicha combustión es evaluada mediante consideraciones de méritos tales como impulso específico, velocidad de exhaustación y otros parámetros. 1.7.2 Definiciones

Antes de definir las cantidades básicas importantes y la forma de calcular los parámetros de funcionamiento del cohete se realizara una breve definición de estos conceptos. Calor de formación: Es definido como el cambio en la entalpía resultante cuando un compuesto es formado a condiciones estándar de sus elementos exotérmicamente y a presión constante. Calor de reacción Es definido como el cambio en la entalpía ocurrido cuando los productos son formados de los reactantes a condiciones estándar esto es, temperatura y presión de referencia. Este cambio de entalpía puede ser positiva o negativa dependiente si es exotérmico o endotérmico. Las reacciones de combustión son exotérmicas. 1.7.3 Mezcla de gases En la combustión de los cohetes el fluido de trabajo es una mezcla de gases que en primera instancia se pueden considerar ideales. Del análisis de las mezclas de gases se puede extraer información útil del peso molecular, calor específico y relación de calores específicos. Donde: El peso molecular es dado por:

jj

jMnM ∑= 1.4

Donde M es el peso molecular de la mezcla de gases, nj es la fracción molar del componente j en la mezcla y Mj es el peso molecular de este componente. La constante del gas es dada por

MRR u= 1.5

Donde Ru es la constante universal de los gases. El calor especifico (Cp ó Cv ) es determinado del análisis molar de donde se extraen los calores específicos molares así:

( )∑= jjCnC 1.6

13

Para gases perfectos la relación es calores específicos es dado por:

v

p

CC=γ 1.7

La entalpía de la mezcla de los gases esta definida por:

( )∑= jjhnh 1.8

Donde hj es la entalpía por mol del constituyente j; la entalpía incluye el calor de cambio de fase y energía química latente. 1.7.4 Equilibrio Químico Se dice que una mezcla esta en equilibrio cuando los reactantes están siendo transformados en productos a la misma rata en que los productos son revertidos a reactantes. La mayoría de sustancias, cuando son mezcladas en proporciones definidas, son combinadas perfectamente para formar productos que no pueden ser transformados nuevamente en reactantes por la aplicación de presión, calor o cambios de concentración. Considérese la reacción ...... ++⇔+++ yYzZcCbBaA de la cual, para medir el equilibrio se define la constante Kp, parámetro que depende únicamente de la temperatura. A cualquier temperatura, la composición de los productos y reactantes esta fija por el equilibrio. La constante esta dada por:

........

yY

zZ

cC

bB

aA

pPP

PPPK•

••= 1.9

Donde: Kp es la constante de equilibrio, las concentraciones son expresadas en términos de unidades de presión, usualmente atmósferas; a b, c,... son el numero de moles de las sustancias reactantes A, B, C,...; PA, PB,..., son las presiones parciales de A, B, C,... . la fracción molar de los productos es designada por x, y, z. 1.7.5 Balance de masa

El principio de conservación de masa anuncia que la cantidad de cualquier especie (en términos de átomos) es igual antes y después de la reacción química. Esto puede ser expresado así:

productosjjij

spropelentemmim naNa

=

∑∑==

βϑ

11 1.10

Donde aij es el numero de átomos del i-ésimo elemento en el j-ésimo constituyente químico, nj es el número de moles del m-ésimo reactante, nj es el número de constituyentes químicos de j-ésimo producto, β es el total de constituyentes químicos de los productos, y ϑ es el numero total de constituyentes en los reactantes.

14

1.7.6 Balance de presión

La presión total en la cámara de combustión Pc debe ser igual a la sumatoria de las presiones parciales, las cuales a su vez, son proporcionales a la concentración molar.

∑=j

jc PP 1.11

1.7.7 Conservación de energía La entalpía de todos los propelentes (incluyendo su energía química parcial) debe ser igual a la entalpía de los productos después de la combustión, todo en relación a la temperatura de referencia T0 , entonces:

( ) ( )∑ ∑= =

==ϑ β

1 1m jjTjmTmc hnhnh 1.12

La primera sumatoria es la entalpía de los ϑ constituyentes de los reactantes, llamados propelentes, aquí (hT)m es la entalpía total a una temperatura dada T con relación a la temperatura de referencia, que incluye calor de cambio de fase y energía química disponible en la reacción. Aquí nm es el número de moles de los reactantes. La segunda sumatoria se refiere a los productos, de donde nj es el numero de moles se la j- ésima especie; (hT)j se refiere a la suma de la entalpía sensible y energía química para el j-ésimo constituyente. Se debe notar que las entalpías hT son todas funciones de la temperatura. Esta ecuación permite el cálculo de la temperatura de combustión si todas las fracciones molares son conocidas. 1.8 Consideraciones Las condiciones de los propelentes (composición, temperatura inicial, fase, formula) y la presión a la cual la reacción toma lugar deben ser concebidos como parámetros de diseño. Con estos datos se hallará temperatura, composición, propiedades de los gases de los productos. Se considerará entonces que, el propelente combuste a presión constante y se transforma isoentálpicamente a los productos en equilibrio. Hay que notar que la combustión es un proceso no isentrópico y es termodinámicamente no reversible. Lo que se buscara entonces es realizar 2 tipos de cálculos:

1. Evaluación de las condiciones de la cámara 2. Evaluación de las condiciones en la tobera

Las condiciones en la cámara a determinar son entonces:

• Temperatura de combustión • Composición de los productos de reacción • Peso molecular medio. • Calor especifico de los gases

1.9 Solución Del Problema De La Cámara De Combustión

Las condiciones de la cámara de combustión (temperatura de la cámara y composición de gases) son calculadas usando:

• Balance de masa • Balance de presión • Equilibrio químico

15

• Balance de energía La solución simultánea de las anteriores ecuaciones junto con las siguientes consideraciones entregara las condiciones de la cámara de combustión:

1. La sustancia de trabajo (productos del propelente) es homogénea e invariante en su composición de la cámara y la tobera

2. Es un gas perfecto 3. No hay fricción 4. No hay transferencia de calor 5. El flujo de los gases es estable y constante 6. El equilibrio químico es establecido en la cámara de combustión

El propelente es transformado adiabática e irreversiblemente a una cantidad (presumida) de productos constituidos en cantidades fijas por los coeficientes de equilibrio, presión total y el balance de masa a una temperatura fija por la energía disponible de la reacción. Las incógnitas en estas ecuaciones son temperatura de la cámara de combustión Tc y las fracciones molares nj de cada uno de los β constituyentes en el gas producto de la reacción. Entonces el número de ecuaciones independientes debe ser β + 1. La combustión entonces entregará un número elevado de productos (especies) y una ecuación de energía que en general son β + 1 ecuaciones no lineales cuya solución solo es posible por tiempo y costos de manera computacional. Es factible la solución manual para algunos propelentes líquidos. Programas especializados en química y características de cohetes como CPROP, CHEMEX, PROPEP y el mismo STANJAN1 hacen parte de aquellas que requieren la manipulación de las relaciones matemáticas con una rápida convergencia y un mínimo error. Estos programas entonces facilitan los cálculos y trabajan mediante la minimización de la energía libre de Gibbs. A continuación se observa el análisis preliminar para obtener los resultados necesarios en la cámara de combustión. 1.10 CALCULOS FÍSICO-QUÍMICOS PARA HALLAR LAS CARACTERÍSTICAS DEL PROPULSOR NECESARIAS PARA DESARROLLAR UN MOTOR COHETE.

Se ha observado que existen diferentes definiciones y cálculos teóricos del desempeño del cohete que requieren el conocimiento de: • Peso molecular medio de los gases de combustión. • Relación de calores específicos a presión y volumen constante. • Temperatura de los gases de combustión Para determinar adecuadamente los valores antes enunciados es preciso conocer en primer lugar la composición del propulsor (en este caso sólido) y posteriormente seguir la secuencia dada por: • Calculo de la forma empírica del propulsor • Relaciones del contenido de oxigeno de la composición con relación a la formula estequiométrica. • Cálculo de los gases de combustión. • Cálculo del peso molecular medio de los productos de la deflagración. • Relación de los calores específicos a presión y volumen constante. • Determinación de la temperatura de llama adiabática. 1 Este software es de libre uso y adquisición. El CPROP es el software que es usado en el presente proyecto el cual se puede conseguir en la dirección http://rocketworkbench.sourceforge.net/cgi-bin/cpropep-web.cgi/equil

16

Fórmula empírica:

a) Calculo de la formula de cada uno de los compuestos por átomo de carbono

Compuestos Orgánicos

Misión del componente

Formula Formula por átomo de carbono

Peso molecular por átomo de

carbono

Porcentaje en le composición

Combustible iniciador(1) y

binder

C12H22O11 CH1.833O0.9166 28.4986 y

Compuestos inorgánicos

Misión del

componente Formula Peso molecular

por átomo de carbono

Porcentaje en le composición

Oxidante NH4NO3 80 X Combustible Al 27 Z

Continuando el cálculo se dividen los porcentajes de cada uno de los componentes por el peso molecular que figura en las anteriores tablas, de tal forma que se tiene:

Se multiplica después el coeficiente de cada uno de los paréntesis por cada uno de los subíndices de los diferentes átomos que integran cada componente y a continuación se efectúa la suma de los resultados de esta forma. La formula reducida es: b) Relación de oxígeno de la mezcla al oxígeno estequiométrico Este tipo de índice se define como el índice de oxígeno a la relación existente entre el oxígeno de la composición en estudio, al oxígeno que existiría en una composición que tuviere iguales constituyentes, con carácter estequiométrico. Es decir, se supondrá una combustión completa.

Por conservación de elementos: a) Realizando el balance del hidrógeno:

b) Realizando el balance del oxígeno:

(1) Se ha observado que la temperatura para iniciar la combustión es muy alta cuando sólo se utiliza Al y NH4NO3, por ello se adiciona un combustible iniciador para bajar esta temperatura (Ref el presente trabajo).

zAlOHyCNOxNH ++ 11221234

( ) ( ) ( )AlzOCHyNONHx274986.2880 9166.0833.134 ++

270375.003216.0

40200643.0

4936.28zxyxxyy AlONHC ++

23222348166.0833.1 γβα NOAlOHCOzALNOaNHOCH +++→++

α24833.1 =+ a

β3α239166.0 ++=+ a

17

c) Realizando el balance de nitrógeno:

d) Balance del aluminio:

Luego:

Luego la ecuación estequiométrica está dada por:

La relación entre la cantidad de oxigeno existente entre la composición en estudio frente a la composición estequiométrica esta dada por:

Luego:

Si λ < 1 existe defecto de oxígeno; λ > 1 existe exceso de oxígeno; λ = 1 la relación es estequiométrica. 1.10.1 CÁLCULO DE LA TEMPERATURA DE COMBUSTIÓN. El cálculo de la temperatura de combustión se realiza a partir de la temperatura de llama adiabática. En ausencia de cualquier interacción de trabajo y cualquier cambio en la energía potencial y cinética, la energía química liberada durante un proceso de combustión se pierde como calor hacia los alrededores y se usa internamente para elevar la temperatura de los productos de combustión. Cuanta más pequeña es la perdida de calor, tanto mayor resulta el aumento de temperatura. En el caso de no perdida de calor hacia los alrededores (Q=0), la temperatura de los productos alcanzará un máximo, conocido como temperatura de llama adiabática y que en un cohete corresponderá a la temperatura de combustión del propelente de forma teórica. En la realidad la temperatura de combustión es un poco inferior debido a: • Pérdidas de calor en los gases de combustión

γ22 =a

β2=z

a

za

z

=+=

+=

=

γ3z4.9166α

234

2β

( ) 23222349166.0833.1 234

239166.4

234 NzOAlzOHzCOzAlNONHzOCH

++

+++→+

++

tricoestequiomé

problema

OxígenoOxígeno

=λ

++

+=

23439166.0

0375.003216.0λz

xy

18

• Pérdidas por la pared de la cámara de combustión. Mediante la primera ley de la termodinámica con Q=0 y W=0 (observar ecuación 12):

Hproductos = Hreactivos 1.13

Los reactivos estarán a una temperatura inicial de combustión de 25°C así: a) Para la sacarosa (azúcar o sorbitol): (C12H22O11; CH1.833O0.9166) (2)

b) Para el aluminio (Al):

c) Para el nitrato de amonio (NH4NO3)(3)

Para los productos se requiere conocer la composición de los gases de combustión. Se reconoce que los gases de combustión son: H2, H, OH, H2O, O2, O, CO, CO2, N2, NO, Al, AlO, Al2O3 Para lo cual se tiene:

Realizando el balance de masa: a) Carbono:

b) Hidrógeno:

c) Nitrógeno:

d) Oxígeno:

e) Aluminio:

Sin embargo son 13 incógnitas y se tiene 5 ecuaciones. Las ecuaciones restantes se obtendrán del equilibrio químico así: 1) Equilibrio:

(2) Chemfinder.com (3) Pérez, Sebastián. Estudio de propulsores sólidos para cohetes. 1970

molcal 530499mol

kJ 2.2221 −=−=ofh

0=ofh

molcal 87270−=o

fh

5.122

22227

0375.003216.04020

0643.04936.28

5.122

222

AlOnAlOnAlnNOnNnCOnCOn

OnOnOHnOHnHnHnAlONHC

AlOAlOAlNONCOCO

OOOHOHHHzxyxxyy

+++++++

+++++→++

24986.28 COCO nny +=

OHOHHH nnnnxy22

2220

0643.0 +++=+

NON nnx +=2

220

5.12225.1220037503216.0 AlOAlONOCOCOOOOHOH nnnnnnnnnxy ++++++++=+

5.127 AlOAlAlO nnnz ++=

19

2) Equilibrio:

3) Equilibrio:

4) Equilibrio:

5) Equilibrio:

6) Equilibrio:

741818333.10017875788.0²106929091.710505455.1101151515.1 73104141

222

2

22 +−+−==

+↔+

−−− TTxTxTxnnnn

K

HCOOHCO

OHCO

HCO

4000T2500 8405935.1108069734.2

²1016518399³104838966.4104.7745537x2500T2000 1078.01006168.1106208.2

3

610414-

4282

12

1

2

221

22

2

22

≤≤+−

+−≤≤+−

=

=

+↔

−

−−

−−

∑ TxTxTxT

TxTx

nP

nnn

K

OHOH

OH

OH

≤≤+−+−8

≤≤+−=

=

+↔

−−−

−−

∑ 4000T2500 770395.52073962212.0²109369285.3³104972643.9108348871.

2500T2000 1078.0100674.7²10732.159413

472

12

1

3

221

2

2

2

TTxTxTx

TxTx

nP

nnnK

OCOCO

CO

OCO

≤≤+−+−

≤≤+−=

=

+↔

−−−

−

∑ 4000T2500 672886.18026169123.0²103889939.1³103286360.3100618021.3

2500T2000 21311.0000208404.0²101024.52

1

58413

82

1

4

22

21

2

2

TTxTxTx

TTx

nP

nnn

K

HOHOH

OH

HOH

≤≤−+

≤≤−+−+−

==

↔+

−

−

−−−

4000T3500 34.01022.1²8x103500T2000 29134437.0101895556.5

²105521818.3³100791111.1100763636.12

12

1

49-

4

710414

5

22

22 TxTTx

TxTxTx

nnnK

NONO

NO

NO

≤≤+−+−

≤≤+−=

=

↔

−−

−−

∑ 4000T2500 599461.10014966910.0²100624468.8³10988294.1101.9256271x

2500T2000 4341.010306.4²10072.12

1

69413-

47

6

2

21

21

2 TTxTxT

TxTx

nP

nnK

HH

H

H

20

7) Equilibrio:

8) Equilibrio:

Donde P es dado y

Al resolver estas 13 ecuaciones no lineales se obtiene: temperatura de llama adiabática y la composición de los productos de la combustión de cualquier mezcla realizando la variación en términos de x, y y z para las mezclas que contengan nitrato de amonio, azúcar y aluminio. El ejemplo de analisis antes presentado se vuelve tedioso cuando se requieren analizar varias mezclas y cada una de ellas en diferentes puntos de composición, por ello, es conveniente utilizar métodos computacionales.

Para realizar estos cálculos se utilizará CPROP y se compararán con los resultados obtenidos mediante MATHCAD2. 1.10.2 Parámetros Básicos Del Funcionamiento del propelente Las relaciones básicas para el empuje, coeficiente de empuje, impulso específico, velocidad de exhaustación, velocidad característica de propelente son necesarias para el diseño del cohete. 1.10.3 Rata de quemado del propelente Al interior del cohete se supone que la presión en la cámara de combustión es constante, es decir, es un proceso isobárico. 2 Mathcad es un software comercial especializado en solución de ecuaciones y gráficas matemáticas.

≤≤+−

≤≤+−≤≤+−

=

=

↔−−

∑ 4000T3500 76.17011036.0²1.744x103500T2500 0026.2001629.0²3.336x102500T2000 272.0106716.2²10576.6

21

6-

7-

48

7

2

21

21

2 TTTT

TxTx

nP

nnK

OO

O

O

≤≤+≤≤+≤≤+−≤≤+−≤≤+−≤≤+−≤≤+−

=

+↔

4000T3750 0.6310.000136T-3750T3500 0.9760.000228T-3500T3250 634.1000416.03250T3000 895.2000804.03000T2750 259.5001592.02750T2500 958.11004028.02500T2250 358.29010988.0

21

8

2

TTTTT

K

OAlAlO

5.122

222

5.122

222

AlOnAlOnAlnNOnNnCOnCOnOnOnOHnOHnHnHnn

AlOAlOAlNONCOCO

OOOHOHHH

+++++++

+++++=∑

21

El flujo másico generado en la combustión debe ser igual al flujo de gases que sale por la tobera, esto es

Flujo másico generado por la deflagración = flujo de la tobera

tttbc AvAvm ρρ ==•

1.14

donde •m = flujo másico Kg./s

ρ = densidad del propulsor Kg/m3

Tρ = densidad de los gases en la sección critica (garganta)

cv = velocidad de combustión del propulsor (m/s)

Tv = velocidad de los gases en la sección critica (garganta)

bA = área de quemado

TA = área de garganta de la tobera

Consideraciones

- La densidad ρ depende del propulsor elegido

- La densidad ∗tρ depende de las condiciones de temperatura y presión.

- La velocidad de combustión depende de la presión de trabajo P, es decir ( )Pfvc = La velocidad de combustión puede ser incrementada por

1. adición de catalizadores 2. decremento de tamaño del oxidante 3. incrementando el tamaño del oxidante

Esta velocidad de combustión es aún estudiada científicamente para propelentes sólidos y se ha llegado a la siguiente ecuación empírica (Vieille y St Robert):

ncc apv = 1.15

Donde a es una constante que depende de la naturaleza del propulsor y de la temperatura a la cual se realiza el ensayo, n es el exponente de presión denominado índice de combustión. Para determinar a, n y vc se debe utilizar datos experimentales referentes a la velocidad de quemado. Por lo tanto, se puede concluir que la velocidad de combustión es característica de cada propelente y es función de la presión.

22

2. SELECCION Y CARACTERIZACIÓN DEL PROPELENTE PARA EL MOTOR COHETE EXPERIMENTAL

INTRODUCCION

La principal intención del presente capítulo es crear un proceso lógico y deductivo para obtener la mezcla adecuada para un propelente económico, seguro y adecuado para los requerimientos de empuje deseados en la experimentación y la misión a definir. Es entonces necesario hallar los parámetros de caracterización del grano tales como la temperatura de llama adiabática, relación de calores específicos, impulso específico, pesos moleculares y composición de los gases de combustión con el ánimo de realizar el diseño del cohete experimental. Para ello, es necesario evaluar las mezclas con parámetros de mérito, en este caso económico y de impulso, para obtener el máximo empuje a menor costo. Bajo estas premisas se crea un índice relativo de costo a impulso específico utilizando los precios del mercado colombiano para Agosto de 2002. Estos datos serán utilizados en capítulos posteriores de diseño y para las simulaciones de la cámara y la tobera mediante diferencias finitas y elementos finitos. Como se mencionó en el capítulo anterior el proceso de iteración fue realizado en el programa CPROP (de simulación química) y verificado matemáticamente en MATHCAD mediante la solución simultánea de ecuaciones no lineales para hallar composición de gases de combustión y temperatura de llama adiabática. 2.1 SELECCIÓN DEL PROPELENTE ADECUADO

En los cohetes de propulsor sólido, el combustible y el oxidante se mezclan conjuntamente bajo la forma de un polvo compacto y solidificado, llamado grano. Este se acumula en la cámara de combustión adhiriéndose perfectamente a las paredes y dejando un agujero cilíndrico central. La ignición se lleva a cabo por medio de un impulso eléctrico. Algunas de las mezclas que más se emplean se mencionaron en las tablas 1.5 y 1.6. Los propulsores sólidos deben tener como características:

! Alta confiabilidad ante esfuerzos térmicos y mecánicos. ! Facilidad de consecución. ! Bajo precio. ! Buenas características de conservación química.

Para el presente proyecto se utilizan mezclas que cumplen con las características del propelente sólido y que además son de fácil consecución en el mercado colombiano. La nitroglicerina, nitrocelulosa y los percloratos tienen venta restringida en nuestro país y por tanto se descarta su utilización. Los oxidantes que son de fácil consecución en Colombia son: - Nitrato de potasio - Nitrato de amonio Los combustibles utilizables son: - Sacarosa (Azúcar o sorbitol) - Polietilenglicol (también utilizado como aglutinante) - Aluminio (también utilizado como catalizador). Antes de proceder a escoger el propelente adecuado, es necesario realizar un estudio minucioso de las mezclas que se pueden obtener con los anteriores combustibles y oxidantes. Dichas gráficas son realizadas mediante la solución simultánea de las ecuaciones de energía y conservación de masa. Los propelentes a analizar están dados por la combinación de los oxidantes y combustibles que son factibles para el presente proyecto, esto es: • Nitrato de potasio + Polietilenglicol + Azúcar

23

112212423 OHzCOHyCxKNO ++

• Nitrato de potasio + Azúcar + Aluminio zAlOHyCxKNO ++ 1122123

• Nitrato de potasio + Polietilenglicol + Aluminio

zAlOHyCxKNO ++ 423

• Nitrato de amonio + Polietilenglicol + Azúcar

1122124234 OHzCOHyCNOxNH ++ • Nitrato de amonio + Azúcar + Aluminio

zAlOHyCNOxNH ++ 11221234 • Nitrato de amonio + Polietilenglicol + Aluminio

zAlOHyCNOxNH ++ 4234

Donde los coeficientes literales x,y y z son las cantidades molares presentes en las mezclas de cada uno de los componentes. Para solucionar el problema de la cámara de combustión con estos propelentes se lleva a cabo un analisis similar al presentado en el capítulo 1, solucionando un sistema de ecuaciones no lineales para hallar la temperatura de llama adiabática y los componentes de los gases de combustión. Los parámetros de relación de calores específicos y pesos moleculares son solucionados utilizando las relaciones vistas en el capítulo 1. Debido a lo dispendioso del procedimiento se soluciona utilizando la herramienta computacional para análisis de combustión: CPROP y un procedimiento de verificación en un programa de solución matemática, por ejemplo MATHCAD. 2.2 SIMULACION DE LAS MEZCLAS En las gráficas 2.1 a2.36 se observan las curvas de temperatura de la cámara de combustión, densidad del propulsor, peso molecular de los gases de combustión, calor específico de los gases de combustión, relación de calores específicos de los gases, impulso específico y costo relativo a impulso específico para las siguientes mezclas: • Nitrato de potasio + Polietilenglicol + Azúcar • Nitrato de potasio + Azúcar + Aluminio • Nitrato de potasio + Polietilenglicol + Aluminio • Nitrato de amonio + Polietilenglicol + Azúcar • Nitrato de amonio + Azúcar + Aluminio • Nitrato de amonio + Polietilenglicol + Aluminio La simulación se llevó a cabo en el programa CPROP de libre adquisición, cuya rutina establece la minimización de la energía de Gibbs para hallar las características de equilibrio, y entrega a su vez los parámetros importantes del propelente referentes a su desempeño:

2.1.1 Gráficos de temperatura en la cámara de combustión: Al interior de la cámara de combustión se presenta la reacción química exotérmica elevando los productos de la combustión a una temperatura cercana a la de llama adiabática en forma ideal, esto es, los gases de la combustión no presentan intercambio de energía con sus alrededores.

24

Teniendo en mente la definición, se observa que la temperatura de llama adiabática en todas las mezclas analizadas oscila entre 844 K (571º C), para la mezcla 0% nitrato de amonio, 0% de aluminio y 100% de azúcar, y 4100 K (3827 ºC).

Para las anteriores mezclas, se observa que la temperatura (en Kelvin) oscila entre 844 K y 4100 K. Para todas las mezclas existe un aumento de temperatura en la cámara de combustión a medida que crece el porcentaje másico de oxidante en la mezcla; llega a un valor máximo y luego decrece. Este pico se observa entre el 63 y 87% para las mezclas analizadas. El aumento de temperatura al incrementarse el porcentaje másico de oxidante se puede explicar como aquella mezcla que en condiciones óptimas entrega toda su energía de la combustión convirtiéndola en temperatura; estos puntos serán entonces aquellos donde la mezcla es estequiométrica (de combustión completa).

Se puede observar también que el aluminio eleva considerablemente la temperatura de la combustión, esto es, la adición de este elemento cataliza la reacción, acelerándola. A diferencia del aluminio, el polietilenglicol disminuye la temperatura en todas las mezclas que poseen este compuesto.

Cabe anotar que aquellas gráficas que no son completas indican que no existe equilibrio químico el cual se refleja en una matriz mal acondicionada o en ecuaciones de especies y de energía con múltiples soluciones.

- Mezcla de nitrato de amonio, azúcar y aluminio: Para esta mezcla se observa que la máxima temperatura en la cámara se alcanza en la proporción 50% de aluminio y 50% de nitrato de amonio (en peso), sin embargo, esta mezcla presenta problemas debido a que sus productos de combustión no se encuentran en equilibrio. Para 0, 10, 20% de aluminio existe equilibrio y por ello la temperatura es totalmente determinada. La máxima temperatura (valor dado en una mezcla cuyos productos no están en equilibrio) es 3417°K (mezcla 50% aluminio y 50% nitrato de amonio) vs el mínimo valor que se encuentra que es 844 °K (para la mezcla 0% nitrato de amonio, 0% de aluminio y 100% de azúcar). Observar gráfica 2.1.

Gráfica 2.1 Temperatura de la cámara de combustión para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y sacarosa.

- Mezcla de nitrato de amonio, aluminio y Polietilenglicol: En este caso existen tres mezclas cuyas proporciones entregan productos de combustión que no se encuentran en equilibrio (es decir, que no se encuentra una única solución al problema de la minimización de la energía de Gibbs), estas mezclas son para el 30, 40 y 50% de aluminio.

T em p e ra tura d e la cá m ara d e c o m b ustió n en func ió n d e l % o x id a nte N H 4N O 3 + Al+ C 12 H 2 2 O 11

0

5 00

10 00

15 00

20 00

25 00

30 00

35 00

40 00

0 1 0 2 0 30 4 0 5 0 6 0 70 8 0 9 0 10 0

% m á s ic o d e o xid ante (N itra to d e a m o nio )

Tem

pera

tura

(K)

0 % de A l1 0% d e A l2 0% d e A l3 0% d e A l4 0% d e A l5 0% d e A l

25

En esta mezcla se encuentra que la máxima temperatura de combustión es para el 40% de aluminio, 50% de nitrato de amonio y 10% de Polietilenglicol (en masa) siendo 3809°K; y la mínima temperatura es para la mezcla 0% de nitrato de amonio y de aluminio y 100% de Polietilenglicol siendo su temperatura 927°K. Observar gráfica 2.2

Gráfica 2.2. Temperatura para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol.

- Mezcla de nitrato de amonio, azúcar y Polietilenglicol: Se observa que no existen puntos de no-equilibrio, por tanto las temperaturas están completamente determinadas y su comportamiento es predecible.

Gráfica 2.3 Temperatura para la mezcla nitrato de amonio, azúcar y polietilenglicol.

En la zona inicial (hasta 50% de nitrato de amonio) no es distinguible la temperatura gracias a la adición de polietilenglicol. En la siguiente zona se encuentran el máximo de temperatura para el 90% de nitrato de amonio y 10% de polietilenglicol siendo 2291°K. La mínima temperatura se da para la mezcla 0% polietilenglicol, 0% de nitrato de amonio y 100% de azúcar siendo 844°K. Observar gráfica 2.3.

Temperatura en la cámara de combustión para la mezcla NH4NO3+Al+C2H4O

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

% másico de oxidante (nitrato de amonio)

tem

pera

tura

(K) 0% de Al

10% de Al20% de Al30% de Al40% de Al50% de Al

Temperatura de la cámara de combustión de la mezcla NH4NO3+C2H4O+C12H22O11

0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Tem

pera

tura

(K) 0% de C2H4O

10% de C2H4O20% de C2H4O30% de C2H4O40% de C2H4O50% de C2H4O

26

- Mezcla de nitrato de potasio, azúcar y aluminio: Para esta mezcla existen tres puntos donde no existe equilibrio y por tanto el comportamiento no es predecible. Las mezclas que no están en equilibrio están dadas por los valores de 30, 40 y 50% de aluminio. Se encuentra que la máxima temperatura para este tipo de mezcla se halla cuando se tiene 60% de nitrato de potasio y 40% de aluminio, siendo esta de 4140°K, pero es un valor no determinado, por ser una mezcla cuyos productos de combustión no están en equilibrio. Observar gráfica 2.4.

Gráfica 2.4. Temperatura para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio.

- Mezcla de nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol: Para estos componentes todas las mezclas están bien determinadas y no existen singularidades. Hasta el 50% de nitrato de potasio las mezclas que cuentan con la adición de polietilenglicol no son distinguibles. Se encuentra que la máxima temperatura es 2291°K para una mezcla de 90% de nitrato de amonio, 10% de polietilenglicol y 0% de azúcar. La mínima temperatura es 844°K para 0% de nitrato de potasio, 0% polietilenglicol y 100% de azúcar. Observar gráfica 2.5.

- Mezcla de nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol: Las curvas se distinguen gracias a la adición de aluminio, aumentando la temperatura de llama adiabática. Existe singularidad para los valores de 30,40 y 50% de aluminio. La máxima temperatura (T = 4140°K) se alcanza la proporción de 60% de nitrato de potasio y 40% de aluminio. La mínima temperatura es T = 927 °K para 0% de aluminio y nitrato de potasio y 100% de polietilenglicol. Observar gráfica 2.6.

Temperatura de la cámara de combustión para la mezcla KNO3+C12H22O11+Al

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

% másico de oxidante (nitrato de potasio)

Tem

pera

tura

(K) 0% de aluminio

10% de aluminio20% de aluminio30% de aluminio40% de aluminio50% de aluminio

27

Gráfica 2.5. Temperatura para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol.

Gráfica 2.6. Temperatura para la mezcla nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol.

2.2.1.1 Conclusiones de las gráficas Se puede concluir de las gráficas que las mayores temperaturas se obtienen gracias a aquellas mezclas que tienen como oxidante nitrato de potasio. El aluminio eleva la temperatura a medida que se agrega a la mezcla gracias a su efecto catalítico. El polietilenglicol reduce (aunque no sensiblemente) la temperatura de la cámara de combustión. Se reconoce debido a los datos que arroja el programa que existen puntos singulares donde la mezcla de los productos de los gases de combustión no se

T e m p e ra tu r a d e la c á m a r a d e c o m b u s tió n d e la m e z c la K N O 3 + C 1 2 H 2 2 O 1 1 + C 2 H 4 O

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0

% m á s ic o d e o x id a n te (n itr a to d e p o ta s io )

Tem

pera

tura

(K) 0 % d e C 2 H 4 O

1 0 % d e C 2 H 4 O2 0 % d e C 2 H 4 O3 0 % d e C 2 H 4 O4 0 % d e C 2 H 4 O5 0 % d e C 2 H 4 O

Temperatura en la cámara de combustión de la mezcla KNO3+Al+C2H4O

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 10 20 30 40 50 60 70 80


Tem

pera

tura

(K) 0% de Al

10% de Al20% de Al30% de Al40% de Al50% de Al

28

encuentran en su equilibrio, entregando datos no útiles e imposibles de lograr en experimentación. Estos puntos de singularidad se dan gracias a que las ecuaciones de especies y de energía tienen múltiples soluciones.

Aunque se tienen los datos teóricos gracias a la simulación en CPROP de la mezcla, es indispensable realizar experimentación para observar aquellas mezclas que pueden ser fácilmente ignitadas y cuyo comportamiento físico-químico (por ejemplo escoria creada, carbones y lodos) sea el óptimo. Hay que notar que la temperatura antes hallada corresponde a la temperatura de la cámara de combustión y es obtenida teóricamente, como aquella temperatura en la cual la entalpía de los reactivos es igual a la temperatura de los productos.

productosreactivos HH = 2.1

( ) ( )P

of

PPRR

of

RR hhnhhn ∆+=∆+ ∑∑ 2.2

Donde el subíndice R significa reactivos y el subíndice P significa productos:

Por ser una temperatura teórica no es obtenible experimentalmente debido a las pérdidas de calor a través de la pared de la cámara de combustión, en los gases de combustión, etc.

A su vez, las mezclas que contienen azúcar elevan la temperatura ostensiblemente en comparación con el polietilenglicol cuando son utilizados como oxidantes.

2.1.2 Gráficos de la densidad del propelente: La función de densidad (ideal) de un propelente depende de las fracciones másicas existentes en la mezcla. Por ejemplo, para un propelente cuya composición es 30% de nitrato de potasio, 10% de aluminio y 60% de sacarosa, se tendrá una densidad dada por:

C12H22O11

112212

AlKNO3

3

propelente ρρρρ1 OHmCmAlmKNO fff ++= 2.3

Donde fm representa la fracción másica del componente en la mezcla y ρ representa la densidad del componente. Para este ejemplo:

³/799.1ρρ

6.02.70g/cm³

1.02.11g/cm³

3.0ρ

1

propelente

C12H22O11propelente

cmg=

++=

Este valor teórico es reducido gracias a la eficiencia del proceso de compactación de las mezclas. Se debe escoger el valor de la densidad del propelente para el mayor valor posible debido a que se tiene un índice de transporte de masa tal que existe una gran masa en el menor volumen. Para las mezclas aquí estudiadas se encuentra que la mayor densidad es para la mezcla de 50% de nitrato de potasio y 50% de nitrato de amonio siendo su valor 2378 g/cm. El menor valor es 1204 g/cm³ para la mezcla 0% de aluminio y nitrato de amonio y 100% de polietilenglicol. Se observan entonces las siguientes mezclas: • Nitrato de potasio + polietilenglicol + Azúcar (gráfica 2.7). • Nitrato de potasio + Azúcar + Aluminio (gráfica 2.8). • Nitrato de amonio + polietilenglicol + Azúcar (gráfica 2.9). • Nitrato de potasio + polietilenglicol + Aluminio (gráfica 2.10). • Nitrato de amonio + Azúcar + Aluminio (gráfica 2.11). • Nitrato de amonio + polietilenglicol + Aluminio (gráfica 2.12).

29

Gráfica 2.7. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol.

Gráfica 2.8. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y Aluminio.

Densidad del propulsor para la mezcla KNO3+C12H22O11+C2H4O

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 20 40 60 80 100 120


Den

sida

d (g

r/cm

3) 0% de C2H4O10% de C2H4O20% de C2H4O30% de C2H4O40% de C2H4O50% de C2H4O

Densidad del propelente para la mezcla KNO3+C12H22O11+Al

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Den

sida

d de

l pro

pele

nte

(gr/c

m3)

0% de aluminio10% de aluminio20% de aluminio30% de aluminio40% de aluminio50% de aluminio

30

Gráfica 2.9. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar.

Gráfica 2.10. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de potasio, polietilenglicol y aluminio.

D ens id a d d e l p ro p e lente p a ra la m e zc la N H 4 N O 3 + C 2H 4 O + C 1 2H 22 O 11

1

1 ,1

1 ,2

1 ,3

1 ,4

1 ,5

1 ,6

1 ,7

1 ,8

0 1 0 20 3 0 40 50 60 7 0 80 9 0 10 0

% m ás ic o d e o xid ante (n itra to d e am o nio )

Den

sida

d de

l pro

pele

nte

(gr/c

m3)

0 % d e C 2 H 4O1 0% de C 2H 4 O2 0% de C 2H 4 O3 0% de C 2H 4 O4 0% de C 2H 4 O5 0% de C 2H 4 O

Densidad de propelente para la mezcla KNO3+Al+C2H4O

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

0 20 40 60 80 100 120


Den

sida

d de

l pro

pele

nte

(gr/c

m3)

0% de Al10% de Al20% de Al30% de Al40% de Al50% de Al

31

Gráfica 2.11. Densidad del propelente para la mezcla nitrato de amonio, azúcar y aluminio.

Gráfica 2.12. Densidad del propelente propulsor para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y Aluminio.

2.2.2.1 Conclusiones de las gráficas Es importante notar que los valores obtenidos en la simulación de las densidades de los granos difieren de los valores experimentales debido a la manufactura (Compactación) de la mezcla, obteniéndose valores un poco menores en la práctica. Aquellas mezclas que contienen aluminio (ρ=2.70 g/cm³) y nitrato de potasio (ρ=2.123 g/cm³) son más densas que aquellas que contienen polietilenglicol (ρ=1.204 g/cm³) y nitrato de amonio (ρ=1.724 g/cm³). Por tanto, es conveniente utilizar aquellas mezclas que pueden transportar mayor cantidad de masa en un menor volumen aumentando la eficiencia de transporte.

Densidad del propelente para la mezcla NH4NO3+Al+C2H4O

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Den

sida

d de

l pro

pele

nte

(gr/c

m3)


Densidad del propulsor NH4NO3+Al+C12H22O11

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

2,1

2,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

% másico de oxidante (nitrtao de amonio)

Den

sida

d (g

r/cm

3) 0% de Al10% de Al20% de Al30% de Al40% de Al50% de Al

32

2.1.3 Gráficas del peso molecular de los productos de combustión: El peso molecular es función del tipo de oxidante utilizado. Para aquellas mezclas con nitrato de potasio, con el aumento de oxidante en fracción másica aumenta el peso molecular. A diferencia del anterior, el nitrato de amonio genera curvas con pendiente negativa hasta del 60% de este oxidante, generando un mínimo y luego crece hasta un valor máximo para luego decrecer nuevamente, es decir, tiene dos inflexiones en la gráfica. Por tanto se puede decir que para mezclas con nitrato de amonio, el peso molecular tiene un máximo y un mínimo, a diferencia de las mezclas de nitrato de potasio que tienen una pendiente positiva definida. Se puede observar que los mayores pesos moleculares se obtienen por la adición de nitrato de potasio y aluminio. Al igual que en la densidad del propelente, el polietilenglicol disminuye el peso de estos productos de combustión. El mayor peso molecular (81,596 kg/kmol) es alcanzado para la mezcla 40% de aluminio y 60% de nitrato de potasio y el mínimo peso molecular de los productos de la combustión esta dada por la mezcla 10% de aluminio, 50 % de nitrato de amonio y 40% de polietilenglicol y su valor es 19,33 kg/kmol. El peso molecular es importante debido a su utilización para el cálculo del coeficiente de descarga y la velocidad de escape de los gases. Al observar la ecuación 2.4:

−=

−γ

1γ

U 11)-M(γT2γγ

o

eoe P

PV 2.4

Se reconoce la influencia del peso molecular de los gases de combustión, a mayor peso molecular menor velocidad de escape (y por ende menor empuje). Por tal razón, es conveniente utilizar mezclas de bajo peso molecular en sus gases de combustión. Sin embargo, es necesario analizar otros parámetros al respecto de la combustión tales como la relación de calores específicos, γ, relación de presiones, Pe/Po entre otros. Se enseñan a continuación las gráficas del peso molecular:

Gráfica 2.13. Peso molecular para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol.

Peso molecular de los gases de combustión para la mezcla KNO3+C12H22O11+C2H4O

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Peso

mol

ecul

ar (k

g/km

ol)

0% de C2H4O10% de C2H4O20% de C2H4O30% de C2H4O40% de C2H4O50% de C2H4O

33

Gráfica 2.14. Peso molecular para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio.

Gráfica 2.15. Peso molecular para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar.

Peso molecular de los productos de combustión KNO3+C12H22O11+Al

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Peso

mol

ecul

ar (k

g/km

ol)


Peso molecular de los gases de combustión para la mezcla NH4NO3+C2H4O+C12H22O11

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120% másico de oxidante (nitrato de amonio)

Peso

mol

ecul

ar (k

g/km

ol)


34

Gráfica 2.16. Peso molecular para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y azúcar.

Gráfica 2.17. Peso molecular para la mezcla nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol.

Peso molecular de la mezcla KNO3+Al+C2H4O

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

% de oxidante (nitrato de potasio)

Peso

mol

ecul

ar (k

g/km

ol)


Peso molecular mezcla NH4NO3+Al+C12H22O11

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Peso

mol

ecul

ar (k

g/km

ol)


35

Gráfica 2.18. Peso molecular de los productos de combustión para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol.

2.1.4 Relación de calores específicos para los gases de combustión:

Las gráficas de calores específicos en función del porcentaje másico de oxidante se presentan a continuación. Se observa que los valores de gamma tienen 2 máximos y 2 mínimos en su mayoría. Este valor debe ser lo más bajo posible para que se tenga la mayor velocidad de escape de los gases de combustión, obsérvese la ecuación 2.4. Aquellas mezclas que contienen aluminio, tienen características oscilantes del valor de gamma en función del oxidante. La mezcla polietilenglicol – azúcar estabiliza esta función y la hace constante hasta aproximadamente el 50% de oxidante (nitrato de potasio y amonio). Los mayores valores de gamma se observan para aquellas mezclas con aluminio y polietilenglicol. No se distingue entre los valores de la relación de calores específicos para el nitrato de amonio o de potasio. El máximo valor encontrado es 1.32475 para la mezcla 90% de nitrato de potasio y 10% de polietilenglicol, el mínimo valor es 1.00009 para la mezcla 90% nitrato de potasio y 10% de azúcar. • En las siguientes gráficas se presenta la relación de calores específicos en función del porcentaje

másico de oxidante:

Peso molecular de los productos de combustión para la mezcla NH4NO3+Al+C2H4O

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Peso

mol

ecul

ar (

Kg/

Km

ol)


36

Gráfica 2.19. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol.

Gráfica 2.20. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar.

Valor de la relación de calores específicos (gamma) para la mezcla KNO3+Al+C2H4O

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

0 20 40 60 80 100 120


Valo

r de

gam

ma Serie1

Serie2Serie3Serie4Serie5Serie6

Relación de calores específicos gamma para la mezcla NH4NO3+C2H4O+C12H22O11

1,1

1,12

1,14

1,16

1,18

1,2

1,22

1,24

1,26

1,28

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Gam

ma


37

Gráfica 2.21. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de amonio, azúcar y aluminio.

Gráfica 2.22. Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol.

Relación de calores específicos (gamma) NH4NO3+Al+C12H22O11

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100% másico de oxidante (nitrato de amonio)

Gam

ma


relación de calor

Relación de calores específicos gamma para la mezcla NH4NO3+Al+C2H4O

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

0 20 40 60 80 100 120% másico de oxidante (nitrato de amonio)

Gam

ma


38

Gráfica 2.23 Relación de calores específicos para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio

Gráfica 2.24. Relación de calores específicos para la mezcla Nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol

Relación de calores espeíficos (gamma) de la mezcla KNO3+C12H22O11+Al

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

1,35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Valo

r de

gam

ma 0% de aluminio

10% de aluminio20% de aluminio30% de aluminio40% de aluminio50% de aluminio

Relación de calores específicos gamma para la mezcla KNO3+C12H22O11+C2H4O

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

1,35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100% másico de oxidante (nitrato de potasio)

Gam

ma


39

2.1.5 Gráficas del impulso específico El impulso específico es la razón entre la fuerza de empuje y el flujo en peso de los gases de combustión. Este valor está dado en segundos e indica la fuerza que entrega una determinada mezcla por unidad de flujo en peso expulsado. También se puede interpretar como la velocidad de escape de los gases sobre la gravedad. El valor del impulso específico debe ser alto para obtener un buen empuje en relación con el peso del flujo expulsado. Se observa entonces que las mezclas que entregan el mayor empuje son aquellas que tienen nitrato de amonio y aluminio. El azúcar mejora este índice y el polietilenglicol lo disminuye. Las gráficas demuestran que a mayor porcentaje de oxidante se eleva el impulso específico. Entre el 65 y 85% de oxidante se encuentran los mayores impulsos específicos. Estas gráficas presentan una pendiente positiva hasta un máximo y luego decrecen. • Mezcla de nitrato de amonio, azúcar y aluminio Para esta gráfica se observa que el máximo valor está dado para 60% de nitrato de amonio, 30% de aluminio y 10% de azúcar, siendo este valor de 215 segundos; sin embargo para esta mezcla no existe equilibrio. Se observa que el valor del impulso específico aumenta hasta el 30% de aluminio. En estas gráficas se observa también la pendiente positiva, el máximo en el impulso específico y luego su declive al aumentar el oxidante. El aluminio hace distinguir entre las diferentes curvas de impulso elevando este índice. (Gráfica 2.25). Gráfica 2.25. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de amonio, azúcar y aluminio.

Impulso específico NH4NO3+Al+C12H22O11

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120


Impu

lso

espe

cífic

o (s

)


40

• Mezcla de nitrato de amonio, azúcar y polietilenglicol: Para esta mezcla no existe distinción entre la parte ascendente de la gráfica hasta el 80 % de nitrato de amonio. El máximo valor es obtenido para el 10% de polietilenglicol, 80% de nitrato de amonio y 10% de azúcar y su valor es de 200s. Se observa que el polietilenglicol no afecta las condiciones y por ello su adición no aumenta el impulso específico. (Gráfica 2.26). Gráfica 2.26. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de amonio, azúcar y polietilen

glicol.

• Mezcla de nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol Se observa que estas gráficas poseen un impulso específico constante lo cual se debe aa que polietilenglicol no afecta este valor. Las gráficas se diferencian debido a la adición de aluminio aumentando el impulso específico hasta el 20% y luego disminuyendo. El máximo impulso específico se tiene para la mezcla 60% de nitrato de potasio, 20% de aluminio y 20% de polietilenglicol, siendo este valor de 180 segundos. (Gráfica 2.27)

Gráfica 2.27. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de potasio, aluminio y polietilenglicol.

Impulso específico de la mezcla KNO3+Al+C2H4O

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80


Impu

lso

espe

cífic

o (s

)


Impulso específico para la mezcla NH4NO3+C2H4O+C12H22O11

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Impu

lso

espe

cífic

o (s

)


41

• Mezcla de nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol Como en las otras mezclas que contienen aluminio, se encuentran bien diferenciadas las gráficas por la adición de este elemento. Gracias a este componente el valor crece hasta el 30% de aluminio y luego decrece. El mayor valor esta dado para la mezcla de 60% de nitrato de amonio, 30% de aluminio y 10% de polietilenglicol, para esta mezcla el impulso específico es de 225 segundos. (Gráfica 2.28) • Mezcla de nitrato de potasio, azúcar y polietilen glicol El polietilenglicol no permite la distinción entre las gráficas en la parte ascendente de estas hasta el 70% de nitrato de potasio, en donde se encuentra un máximo de 130 segundos para la mezcla que contiene 30% de polietilenglicol. En la parte ascendente se observa que el impulso específico aumenta con el incremento en la mezcla de polietilenglicol. (Gráfica 2.29) • Mezcla de nitrato de potasio, azúcar y aluminio Se observa que con el aumento del aluminio hasta el 20% crece el impulso específico para luego decrecer. El mayor impulso se obtiene para el 50% de nitrato de potasio, 20% de aluminio y 30% de azúcar teniendo un valor de 170 segundos. (Gráfica 2.30)

Gráfica 2.28. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de amonio, aluminio y polietilenglicol.

Impulso específico para la mezcla NH4NO3+Al+C2H4O

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120


Impu

lso

espe

cífic

o (s

)


42

Gráfica 2.29. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol.

Gráfica 2.30. Gráfica de impulso específico en función de oxidante para la mezcla Nitrato de potasio, azúcar y aluminio.

2.1.5.1 Conclusiones de las gráficas Se observa que los mayores impulsos específicos se logran con aquellas mezclas con nitrato de amonio, aluminio y azúcar. El mayor valor de impulso se tiene para la mezcla de 60% de nitrato de amonio, 30% de aluminio y 10% de azúcar siendo este valor 221.9 segundos. Hay que notar sin

Impulso específico para la mezcla KNO3+C12H22O11+C2H4O

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


Impu

lso

espe

cífic

o (s

)


Impulso específico para la mezcla KNO3+C12H22O11+Al

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100% másico de oxidante (nitrato de potasio)

Impu

lso

espe

cífic

o (s

)


43

embargo que las mezclas con nitrato de amonio tienen problemas experimentales como su alta energía de ignición y sus altos costos en comparación con el nitrato de potasio. Se debe entonces seleccionar aquel propelente que tiene el mayor impulso específico. Sin embargo, se requiere considerar otros factores externos tales como: costos, facilidad de adquisición, prohibiciones gubernamentales etc. 2.3 ANALISIS PARA LA SELECCIÓN

Los principales factores para la selección son entonces el mayor impulso específico y los más bajos precios. Para ello se creo un índice de costo relativo al impulso específico. Este índice, es calculado a partir de los precios en el mercado colombiano para componentes de pureza superior al 98% (año 2002). Por su parte el impulso específico es calculado mediante el programa CPROP que indica además de este parámetro, el equilibrio de los gases de combustión, la temperatura de llama adiabática, peso molecular de los gases de combustión y relación de calores específicos de los mismos. A continuación se observan los resultados para las siguientes mezclas en cuanto a su costo relativo (costo a impulso específico).

Gráfica 2.31. Costo relativo para la mezcla nitrato de potasio, azúcar y polietilenglicol.

Costo de propelente para la mezcla KNO3+C12H22O11+C2H4O

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


$/((I

sp/g

)*gr

) (pe

sos/

(100

gr d

e pr

opel

ente

*seg

))


44

Gráfica 2.32. Costo relativo para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y aluminio.

Gráfica 2.33. Costo relativo para la mezcla nitrato de potasio, polietilenglicol y aluminio.

Costo relativo para la mezcla KNO3+Al+C2H4O

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90% másico de oxidante (nitrato de potasio)

$/((I

sp/g

)*gr)

(pes

os/(1

00 g

r de

prop

elen

te*s

eg))


Costo relativo del propulsor de la mezcla NH4NO3+Al+C2H4O

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100% másico de oxidante (nitrato de amonio)

$/((I

sp/g

)*gr

) (pe

sos/

(100

gr d

e pr

opel

ente

*seg

))


45

Gráfica 2.34. Costo relativo de la mezcla nitrato de potasio, azúcar y aluminio

Gráfica 2.35. Costo relativo de la mezcla nitrato de amonio, azúcar y aluminio

Costo relativo de la mezcla KNO3+C12H22O11+Al

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

% de oxidante (nitrato de potasio)

$/((I

sp/g

)*gr

) (pe

sos/

(100

gr d

e pr

opel

ente

*seg

))


Costo relativo al impulso específico NH4NO3+Al+C12H22O11

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


$/((I

sp/g

)*gr

) (pe

sos/

(100

gr d

e pr

opel

ente

*seg

))


46

Gráfica 2.36. Costo relativo para la mezcla nitrato de amonio, polietilenglicol y azúcar.

Una vez analizados todos los costos y teniendo en cuenta que se escogerá aquella mezcla cuyo índice sea menor (debido a que son costos sobre impulso específico) se halla que la mezcla que cumple con este parámetro relativo, es decir, menor costo en relación al impulso específico es la mezcla nitrato de potasio y sacarosa. Como conclusión, se puede comentar, que aunque los mayores impulsos específicos estén dados por aquellas mezclas que contienen nitrato de amonio y aluminio, sus costos relativos al impulso específico son del orden de 100 veces mayor que una mezcla de nitrato de potasio y sacarosa. Observando también las gráficas de impulso específico se concluye que la mezcla con el menor índice de costo relativo es la de nitrato de potasio y sacarosa y el mayor empuje que proporciona esta mezcla está dado para el 65% de nitrato de potasio y 35% de sacarosa (porcentaje en masa.). Entonces el combustible seleccionado es 65% nitrato de potasio y 35% de sacarosa. 2.4 RESULTADOS PARA LA MEZCLA SELECCIONADA OBTENIDOS MEDIANTE CPROP Las características del propelente como resultados del programa CPROP se observan continuación. También se observa la composición de los gases de combustión en la cámara y en la tobera. Results Propellant composition Code Name mol Mass (g) Composition 765 POTASSIUM NITRATE 0.6429 65.0000 1N 3O 1K 840 SUCROSE (TABLE SUGAR) 0.1023 35.0000 22H 12C 11O Density : 1.900 g/cm^3 5 different elements N O K H C Total mass: 100.000000 g Enthalpy : -5447.24 kJ/kg 156 possible gazeous species 16 possible condensed species

C o sto d e p ro p ele n te p a ra la m e zc la N H 4 N O 3 + C 2 H 4 O + C 1 2 H 2 2 O 1 1

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

0 1 0 20 30 40 5 0 6 0 7 0 80 90 1 00

% m á s ic o d e o xid a nte (nitra to de a m o nio )

$/((I

sp/g

)*gr

) (pe

sos/

(100

gr d

e pr

opel

ente

*seg

))

0 % d e C 2 H 4O1 0 % d e C 2H 4 O2 0 % d e C 2H 4 O3 0 % d e C 2H 4 O4 0 % d e C 2H 4 O5 0 % d e C 2H 4 O

47

CHAMBER THROAT EXIT Pressure (atm) : 20.000 11.530 1.000 Temperature (K) : 1660.562 1552.727 1143.895 H (kJ/kg) : -5447.236 -5625.883 -6287.140 U (kJ/kg) : -5782.563 -5939.434 -6518.133 G (kJ/kg) : -17381.418 -16785.068 -14508.121 S (kJ/(kg)(K) : 7.187 7.187 7.187 M (g/mol) : 41.174 41.174 41.174 (dLnV/dLnP)t : -1.00000 -1.00000 -1.00000 (dLnV/dLnT)p : 1.00000 1.00000 1.00000 Cp (kJ/(kg)(K)) : 1.66369 1.64940 1.58165 Cv (kJ/(kg)(K)) : 1.46176 1.44747 1.37971 Cp/Cv : 1.13815 1.13951 1.14636 Gamma : 1.13815 1.13951 1.14636 Vson (m/s) : 612.31382 597.74070 512.74141 Ae/At : 1.00000 3.91732 A/dotm (m/s/atm) : 45.49676 178.22521 C* (m/s) : 909.93529 909.93529 Cf : 0.65690 1.42436 Ivac (m/s) : 1122.30036 1474.29914 Isp (m/s) : 597.74070 1296.07393 Isp/g (s) : 60.95259 132.16276 Molar fractions CH4 4.1221e-07 4.1221e-07 4.1221e-07 CO 1.9690e-01 1.9690e-01 1.9690e-01 CO2 1.5151e-01 1.5151e-01 1.5151e-01 COOH 1.2096e-08 1.2096e-08 1.2096e-08 H 7.1866e-06 7.1866e-06 7.1866e-06 HCN 3.6989e-07 3.6989e-07 3.6989e-07 HCO 2.8441e-08 2.8441e-08 2.8441e-08 HNC 9.9564e-09 9.9564e-09 9.9564e-09 HNCO 3.0780e-07 3.0780e-07 3.0780e-07 H2 1.1455e-01 1.1455e-01 1.1455e-01 HCHO,formaldehy 2.2030e-07 2.2030e-07 2.2030e-07 HCOOH 5.7949e-07 5.7949e-07 5.7949e-07 H2O 2.8673e-01 2.8673e-01 2.8673e-01 K 1.6751e-03 1.6751e-03 1.6751e-03 KCN 2.7228e-06 2.7228e-06 2.7228e-06 KH 7.3296e-06 7.3296e-06 7.3296e-06 KO 1.0718e-08 1.0718e-08 1.0718e-08 KOH 2.4632e-02 2.4632e-02 2.4632e-02 K2 4.2252e-07 4.2252e-07 4.2252e-07 K2O2H2 1.2402e-03 1.2402e-03 1.2402e-03 NH3 1.2158e-05 1.2158e-05 1.2158e-05 NO 1.4591e-08 1.4591e-08 1.4591e-08 N2 1.1856e-01 1.1856e-01 1.1856e-01 OH 8.3516e-07 8.3516e-07 8.3516e-07 Condensed species K2CO3(L) 1.0417e-01 1.0417e-01 1.0417e-01

48

2.5 Velocidad de reacción Como se mencionó en el capítulo 1, la velocidad de reacción es un parámetro importante para el diseño del propelente y de la cámara de combustión. Según el tiempo deseado de funcionamiento y de empuje requerido, se dan las dimensiones del propelente. La caracterización del grano es importante para la determinación exacta de su velocidad de combustión para diferentes condiciones de presión. En la mayoría de los propelentes de doble base y compositas se tiene una ecuación empírica que relaciona la velocidad de quemado con la presión de funcionamiento (2.4):

ncaPr = (2.4)

Esta relación es llamada ecuación empírica de Vieille y Saint Robert. Donde a es una constante que depende de la naturaleza del propulsor y de la temperatura a la que se realiza el ensayo y n es el exponente designado como “índice de combustión”. El valor de n en el caso de propelentes sólidos debe ser inferior a la unidad para facilitar la deflagración y es independiente de la temperatura inicial a la cual se realiza el ensayo. La determinación de la velocidad de combustión en función de la presión se realiza en una Bomba de Crawford, la cual se expone en la figura 3.5.

Figura 2.1. Esquema de la Bomba de Crawford.

La bomba de Crawford es un dispositivo en el cual se introduce barras de propulsores (granos) para la medición de la velocidad de quemado lineal. Para ello, los propulsores tienen sensores fusibles que miden el tiempo entre cada uno de ellos mediante la fusión cuando se expone a la alta temperatura. Estas pruebas se realizan variando la presión y midiendo la velocidad de quemado lineal a partir del tiempo transcurrido entre fusión y fusión de los sensores. 2.5.1 Caracterización de la velocidad del propelente Para obtener los valores empíricos a y n de la ecuación de Saint Robert para el diseño del coehte, se sugiere la realización de la bomba de Crawford. Richard Nakka (Ref. Nakka) sugiere los siguientes coeficientes: a = 0.85 n = 0.407 Valores que son aplicados para:

ncaPr =

49

Donde: r es la velocidad de quemado lineal en cm/s. Pc Es la presión de funcionamiento en MPa 2.6 CONCLUSIONES Se puede concluir de las gráficas que las mayores temperaturas se obtienen gracias a aquellas mezclas que tienen como oxidante nitrato de potasio. El aluminio eleva la temperatura a medida que se agrega a la mezcla gracias a su efecto catalítico. El polietilenglicol reduce (aunque no sensiblemente) la temperatura de la cámara de combustión. Se observa gracias a los datos que arroja el programa que existen puntos singulares donde la mezcla de los productos de los gases de combustión no se encuentran en equilibrio, entregando datos no útiles e imposibles de lograr en experimentación. Estos puntos de singularidad se originan por ecuaciones de especies y de energía que tienen múltiples soluciones.

Aunque se tienen los datos teóricos gracias a la simulación en CPROP de la mezcla, es indispensable realizar experimentación para observar aquellas mezclas que pueden ser fácilmente ignitadas y cuyo comportamiento físico-químico (por ejemplo escoria creada, carbones y lodos) sea el óptimo. Hay que notar que la temperatura antes hallada corresponde a la temperatura de la cámara de combustión y es obtenida teóricamente, como aquella temperatura en la cual la entalpía de los reactivos es igual a la temperatura de los productos. Por ser una temperatura teórica no se obtiene experimentalmente debido a las pérdidas de calor a través de la pared de la cámara de combustión, en los gases de combustión, etc. A su vez, las mezclas que contienen azúcar elevan la temperatura ostensiblemente en comparación con el polietilenglicol cuando son utilizados como oxidantes.

Es importante notar que los valores obtenidos en la simulación de las densidades de los granos difieren de los valores experimentales debido a la manufactura (Compactación) de la mezcla, obteniéndose valores un poco menores en la práctica. Aquellas mezclas que contienen aluminio (ρ=2.70 g/cm³) y nitrato de potasio (ρ=2.123 g/cm³) son más densas que aquellas que contienen polietilenglicol (ρ=1.204 g/cm³) y nitrato de amonio (ρ=1.724 g/cm³). Por tanto, es conveniente utilizar aquellas mezclas que pueden transportar mayor cantidad de masa en un menor volumen aumentando la eficiencia de transporte. Se observa que los mayores impulsos específicos se logran con aquellas mezclas con nitrato de amonio, aluminio y azúcar. El mayor valor de impulso se tiene para la mezcla de 60% de nitrato de amonio, 30% de aluminio y 10% de azúcar siendo este valor 221.9 segundos. Hay que notar sin embargo que las mezclas con nitrato de amonio tienen problemas experimentales como su alta energía de ignición y sus altos costos en comparación con el nitrato de potasio. Se debe entonces seleccionar aquel propelente que tiene el mayor impulso específico, pero también se debe considerar sus costos.

Los principales factores para la selección son entonces el mayor impulso específico y los más bajos precios. Para ello se creo un índice de costo relativo al impulso específico. Este índice, es calculado a partir de los precios en el mercado colombiano para componentes de pureza superior al 98% (año 2002). Por su parte el impulso específico es calculado mediante el programa CPROP que indica además de este parámetro, el equilibrio de los gases de combustión, la temperatura de llama adiabática, peso molecular de los gases de combustión y relación de calores específicos de los mismos. Una vez analizados todos los costos y teniendo en cuenta que se escogerá aquella mezcla cuyo índice sea menor (debido a que son costos sobre impulso específico) se halla que la mezcla que cumple con este parámetro relativo, es decir, menor costo en relación al impulso específico es la mezcla nitrato de potasio y sacarosa. Como conclusión, se puede comentar, que aunque los mayores impulsos específicos estén dados por aquellas mezclas que contienen nitrato de amonio y aluminio, sus costos relativos al impulso específico son del orden de 100 veces mayor que una mezcla de nitrato de potasio y sacarosa.

50

Observando también las gráficas de impulso específico se concluye que la mezcla con el menor índice de costo relativo es la de nitrato de potasio y sacarosa y el mayor empuje que proporciona esta mezcla está dado para el 65% de nitrato de potasio y 35% de sacarosa (porcentaje en masa.). Entonces el combustible seleccionado es 65% nitrato de potasio y 35% de sacarosa.

51

3. DISEÑO DE CAMARA DE COMBUSTIÓN Y CONFIGURACIÓN DEL PROPELENTE 3. Introducción El presente capitulo está enmarcado en la conceptualización de la cámara de combustión en el entorno del funcionamiento del cohete. Es necesario, entonces llevar a cabo el diseño geométrico y mecánico de la cámara donde se aloja el propelente, en este caso sólido, que cumpla los requerimientos para el empuje deseado y las solicitaciones de esfuerzo.

Inicialmente se presenta una descripción de las consideraciones previas de la cámara de combustión en torno a la geometría y resistencia. Se considera el problema del área de combustión en el propelente (también llamado grano) y se propone un procedimiento de solución al diseño.

3.1 Requerimientos de la cámara de combustión Con el ánimo de exponer gráficamente el motor cohete y su disposición, se presenta en la figura 3.1 un dibujo cercano del modelo a utilizar en experimentación y simulación.

a) b)

c) d) Figura 3.1 Elementos utilizados en el diseño del motor cohete experimental. a) Conjunto motor – cohete. b) Parte

cilíndrica de la cámara. c) Tobera. d) Tapa plana de la cámara.

El funcionamiento de un motor cohete se lleva a cabo gracias a la generación de gases de combustión por parte del propelente. Estos gases, originan presiones y temperaturas elevadas al interior de la cámara de combustión ejerciendo esfuerzos térmicos y mecánicos que modifican el comportamiento del material que constituye la cámara y la tobera, sobre todo cuando el tiempo de combustión es prolongado.

En estos casos se suele recubrir las partes interiores del motor expuestas al calor y la llama utilizando materiales aislantes de naturaleza plástica y cerámica.

Se presenta entonces una descripción del comportamiento de la cámara de combustión, dejando a la tesis alterna el análisis de la tobera.

52

3.1.1 Cámara de combustión La cámara de combustión es la parte del cohete que aloja el propelente. Esta parte, es en general cilíndrica y (para reducir peso y volumen) de pared delgada.

Es fácil demostrar que el cálculo de elementos cilíndricos de pared delgada vienen dados por (Beer):

tpr=σ (3.1)

Donde

t: espesor de la pared tubular en [m]

r: radio del tubo de la cámara en su parte interna, [m]

p: presión debida a los gases de combustión, [N/m2 = Pa] y que es la máxima presión durante el funcionamiento del cohete.

σ: Esfuerzo generado en el material. Este esfuerzo, se puede reemplazar por el esfuerzo de cedencia del material a utilizar si el factor de seguridad es igual a la unidad.

Si se utiliza un factor de seguridad la ecuación 3.1 se convierte en:

tnprS y = (3.2)

Donde

n: factor de seguridad

Sy: Valor del límite de cedencia, [N/m2 = Pa]

3.1.2 Tapa posterior de la cámara de combustión

Como se aprecia en la figura 3.1 esta tapa puede tener forma plana; o forma abovedada como en la figura 3.2.

Figura 3.2 Tipos de tapas abovedadas. (Ref. Pérez Crusells)

Las tapas planas son hechas en general con rosca para ser ensambladas con la cámara de combustión. Las formas abovedadas son unidas mediante soldadura o por rosca. Estas tapas son mecanizadas en forma convencional o mediante embutido (para el caso de las tapas abovedadas).

3.1.2.1 Tapas planas Las tapas planas se calculan mediante la expresión (teoría de paredes gruesas) (Shigley):

53

ySprh

2

125.1= (3.3)

Donde

h: espesor de la placa, [m]

p: Presión de la cámara de combustión, [N/m2 = Pa]

Sy: Esfuerzo de cadencia, [N/m2 = Pa]

r: Radio de la placa, que es igual al de la cámara de combustión en [m]

Se mencionaba que la placa se sujeta mediante rosca a la cámara de combustión por tanto esta debe soportar los esfuerzos originados por la presión; para ello la altura de la rosca es dada por:

sydSFH

π3= (3.4)

Donde

H: Altura de la rosca, [m]

d: Diámetro de la rosca, [m]

F: Fuerza actuante sobre la placa = 4

2dpπ, [N]

p: Presión en la cámara de combustión, [N/m2 = Pa]

Ssy: esfuerzo cortante del material que constituye la placa [N/m2 =Pa]

3.1.2.2 Tapas abovedadas La tapa puede ser a su vez (observar figura 3.2):

• De forma de casquete esférico, cuyo radio es R = 0.8D donde D es el diámetro de la cámara y sus rebordes son dados por r = D/6

• Forma elipsoidal, con radio máximo igual a Rmáx = D y radio mínimo rmín = D/8

El cálculo de estas formas viene dado por:

31022

−×+=yS

Dpyt (3.5)

Donde

t: Espesor del fondo abovedado, [m]

D: Diámetro mencionado, [m]

p: Presión de la cámara [N/m2 = Pa]

Sy: Límite elástico [N/m2 = Pa]

y: Es un valor que oscila entre 0.55 y 2.8 (Ref. Pérez).

:

54

3.2 Materiales Metálicos usados en la cámara de combustión 3.2.1 Aceros Como es bien conocido, el acero es quizá el material más utilizado en elementos de maquinaria debido a sus propiedades de alta resistencia, extrema rigidez, durabilidad y relativa facilidad para manufacturar.

En el mercado, por ejemplo el colombiano, se dispone de muchos tipos de aceros y su clasificación depende de la composición y uso específico.

Es factible la utilización de aceros de bajo contenido de carbón (menos de 0.30%) que tienen, relativa poca resistencia pero son fácilmente manufactúrables. Aceros al carbono medio (0.30 a 0.50 %) tienen buenas propiedades y son relativamente dúctiles. Aceros al alto carbono (0.50 a 0.95 %) tienen propiedades al desgaste y son muy utilizados en herramientas.

Para el caso de los motores cohetes es recomendable, por economía, utilizar aceros de bajo carbono debido a que se requiere utilizar en un intervalo muy corto de tiempo (quizá algunos minutos) y se debe manufacturar fácilmente.

En el mercado colombiano se dispone de aceros 1020, 1040, 1045, 4340, serie P, W etc., pero por economía es recomendable la utilización de aquellos de bajo contenido de carbono y elementos de aleación.

3.2.2 Aceros de aleación Los aceros aleados recomendados para estas aplicaciones no están disponibles en el mercado colombiano. Sin embargo, se puede mencionar que estos aceros tienen contenidos como:

Tabla 3.1. Contenido de los aceros aleados

Elemento Porcentaje (%)

Si 0.10 –0.35

C 0.30 – 0.40

Mn 0.55 – 0.85

Ni 0.80 – 1.20

Cr 0.80 – 1.20

Mo 0.20 – 0.40

Son utilizados por ejemplo el acero VASCOJET de origen francés, y el acero MAROGING, alemán.

3.2.3 Materiales no férreos Aleaciones hechas de titanio, como elemento fundamental, pueden tener elementos aleados como:

Tabla 3.2. Contenido de aleaciones hechas de titanio


C 0.08

V 3.50 – 4.50

Fe 0.30

Al 5.50 – 6.75

Ti Resto

Aleaciones hechas de aluminio, contienen elementos como:

55

Tabla 3.3. Contenido de aleaciones hechas de aluminio


Zn 4.70

Mg 1.20

Cr 0.25

Si 0.30

Fe 0.40

Zr 0.45

Ni 0.05

Al Resto

Se debe hacer notar que la manufactura de la cámara de combustión en acero genera un gran peso en el motor cohete, pero en experimentación es recomendable. Las aleaciones de titanio tienen densidad igual a la mitad de la del acero y las de aluminio a la tercera parte.

En conclusión es recomendable para el caso experimental utilizar aceros de bajo carbono, por ejemplo 1020, debido a sus características de resistencia y a su utilización estática.

3.2.4 Materiales enfibrados Los materiales enfibrados son aquellos obtenidos mediante la incorporación de una matriz metálica o plástica a un devanado, constituido por fibras de vidrio, carbono, grafito o boro previamente tejidas. En este caso, se aplica resina líquida y se polimeriza. Entre las posibles fibras se encuentran:

• Fibra de vidrio • Fibra de carbono

No se amplía este tema por cuestión de espacio. Cabe anotar que se puede escoger de estos grupos de materiales la configuración de la cámara, previa experimentación.

3.3 Configuración del propulsor Como se mencionó, las cámaras de combustión alojan los propulsores, los cuales en su parte más extrema adoptan la forma cilíndrica de la cámara. Estos granos pueden estar en contacto directamente con la cámara o aislados por algún plástico o cerámico. Como regla práctica (Ref. Pérez) se establece que la relación entre la longitud y el diámetro del propelente está dada por:

10 a 2=DL

(3.6)

Se ha establecido también una “longitud característica” que acota la dimensión con el ánimo de mantener estable el proceso de deflagración.

La longitud característica (Ref. Pérez) se define como aquella dimensión de una cámara cilíndrica que, teniendo el mismo volumen de la cámara objeto de consideración, tuviese una longitud igual al volumen de la misma dividido por el área de la sección crítica.

*AVL c

c = (3.7)

Donde:

Lc: Longitud característica.

Vc: Volumen de la cámara

56

A*: Área de la sección crítica

Se debe notar que la longitud de la cámara de combustión es cercana a la longitud del propulsor.

El propulsor define dos tipos de procesos de combustión, que dependen de la dirección relativa del flujo de salida de los gases con respecto a la dirección de emisión de los mismos, estos son:

A) La deflagración se produce de forma paralela a la dirección axial del de salida de los gases, como por ejemplo tipo cigarro.

B) La deflagración es normal a la dirección del flujo de salida de los gases.

Para ello se debe tener en cuenta:

a) Cumplir máxima densidad de carga b) Bajos esfuerzos térmicos c) Óptima eficiencia de combustión

3.3.1 Deflagración paralela al eje axial Frontal o de cigarrillo (Tabaco) Se aprecia en la figura 3.3 la constitución de la deflagración frontal o de tipo cigarrillo o tabaco. Obsérvese que la superficie de combustión es constante y se mueve en el sentido axial hacia adentro del cohete, aumentando el volumen de la cámara y cambiando bruscamente el centro de gravedad en el proceso.

Figura 3.3 Configuración del propelente para la combustión frontal (Ref. Pérez)

La superficie de combustión resulta ser:

4

2dSeπ= (3.8)

esta configuración genera la máxima duración para una composición determinada, su relación de llenado es alto, pero su baja superficie de emisión produce empujes pequeños, debido a esto los granos propulsores con esta configuración se utilizan para lagunas aplicaciones como compensación de vuelo y direccionamiento.

Ventajas:

• Empuje aproximadamente constante • No existe erosión, porque el gas no entra en contacto con el resto del grano

57

Desventajas:

• Larga duración de combustión produciendo altos esfuerzos térmicos

3.3.2 Deflagración normal a la dirección de salida del flujo Se pueden observar dos clasificaciones:

a. Granos múltiples: los cuales son introducidos en la cámara de combustión sujetado mediante rejillas

b. Propelentes con diferentes geometrías centrales: Estos propelentes se pueden fundir al interior de la cámara de combustión o situarse previa fabricación.

En la figura 3.4 se pueden observar una configuración con su geometría interna.

Figura 3.4. Configuración de propelente con geometría interna (Ref. Pérez)

3.4 Ignición

Los ignitores para propelentes sólidos generan una alta tasa de generación de calor en un intervalo corto de tiempo. Se pueden considerar tres tipos principales de iniciadores:

A) Ignitores eléctrico B) Ignitores pirotécnico C) Ignitores pirógenos

Estos tipos de iniciadores deben cumplir:

a) Calentar la superficie de emisión hasta alcanzar la energía de activación para su iniciación.

b) Incrementar la presión de la cámara de combustión (sin producir alteraciones en la geometría del grano) hasta un límite de estabilidad.

Se debe tener en cuenta que las cargas de iniciación son altamente energéticas por ejemplo pólvora negra, que iniciará a propulsores compuestos que tienen una alta energía de activación.

58

3.4.1 Igniciones pirotécnicas Composiciones iniciadoras:

El encendido es un proceso de inducción térmica originado por el calor de reacción de los materiales que constituyen el encendido. Esta reacción exotérmica “activa” las superficies de emisión propagando la reacción elevando la presión para establecer una deflagración constante.

Se consideran como elementos iniciadores:

• Pólvora negra: Nitrato Potasio 75%, Azufre 10%, Carbón vegetal 15% • Boro / KNO3 : Boro 23%, Nitrato Potasio 70.7%, aglomerante • Mg / Teflon : Mg 54%, Teflon 46% • NH4ClO4 : Perclorato de amonio (de venta restringida a las fuerzas armadas en

Colombia) A su vez estas mezclas iniciadas mediante mecha de pólvora o ignición eléctrica.

La masa de ignición es un parámetro importante porque a mayor masa menor es el tiempo de iniciación. Ver gráfica 3.1 . Para ello se tiene como regla usar:

7.05.0 Fi VW =

Donde

Wi: Masa de iniciación, [lb]

VF: Volumen libre del motor, [in3]

Gráfica 3.1 Tiempo para ignición en función del flujo de la masa de ignición (Ref. Sutton)

3.5 Cálculos de diseño Sin ser regla general se presenta a continuación el método desarrollado por Sutton (Sutton) para el diseño de cohete y especialmente la cámara de combustión.

Los datos entregados previo análisis de la combustión mediante conservación de especies y energía son:

• Rata o velocidad de quemado : r • Impulso específico : Is • Peso específico : ρb

59

Los valores deseados en el diseño son:

• Presión cámara de combustión : Pc • Empuje deseado : F • Diámetro máximo del vehículo : D • Tiempo de combustión : tb

Solución

1. Se calcula la masa de propelente:

Se sabe que bsb WIFt =

De donde se obtiene s

bb I

FtW =

El cuál es el peso del propelente requerido

2. Se calcula el volumen del propelente requerido:

Mediante la relación de densidad b

bb

WV

ρ=

3. Se calcula el espesor de la cámara de combustión:

y

c

SDP

t2

=

4. Se configura el grano (en este caso geometría interna cilíndrica):

Diámetro exterior del grano: tDDgranoexterior 2−=

4.1. Para el diámetro interior del grano se reconoce que:

sbb rIAF ρ=

Donde

Ab: Área de quemado efectiva

Luego:

sbb rI

FAρ

=

El área de quemado será igual a la superficie interna del propelente, esto es:

sbrIFD

ρπ

=4

2int

Luego:

πρ serIFD 4

int =

En el caso de configuración frontal o tipo tabaco:

6. Longitud del propulsor:

De la ecuación de volumen:

60

)(4

2int

2 DDLV extb −= π

Despejando la longitud:

2

4DVL b

π=

Se aplica entonces el anterior procedimiento para el cálculo de la cámara de combustión experimental del presente proyecto. 3.6 DISEÑO PRELIMINAR DE LA CÁMARA DE COMBUSTION DEL MOTOR COHETE

EXPERIMENTAL La aplicación de los anteriores resultados son directos en una misión cuyas características de diseño son: - Presión al interior de la cámara de combustión: Pc=20 atm - Empuje promedio deseado para el cohete: F=21 kgf=207.5N - Diámetro de la cámara de combustión (deseada): D = 2.0 in (50.8 mm). Mediante el anterior análisis computacional de la mezcla se halla que: - Densidad del propelente: ρ=1.90gr/cm3. - Relación de calores específicos: γ=1.13 - Impulso específico: Is = 132.16 s - Tiempo estimado de duración de combustión: tb = 2 s A partir de los datos publicados por Richard Nakka (Ref Nakka), la velocidad de combustión del propelente para una presión de 20 atm está dado por (Nakka experimentó con varios puntos sobre la curva velocidad de quemado vs presión para obtener: a=0.85 y n=0.407):

scmMPaaPr nc /13161.1)02.2(*85.0 407.0 ===

a) Análisis preliminar de diseño de la cámara de combustión:

El impulso, empuje y el flujo másico (en peso) de los gases de combustión se encuentran relacionados mediante (1), de donde, despejando para el flujo másico se tiene:

skgNs

Nwb / 16.0 57.116.132

5.207 ===&

De la anterior ecuación, y relacionando el flujo másico con el tiempo estimado de duración de combustión y la masa total del propelente, se obtiene esta última:

kg 32.081.9

257.1

0

=⋅=⋅=g

twm bb&

Se utilizará entonces 0.32 kg de propelente. El volumen requerido para este propelente (Vb) esta dado por:

33343 104.1681068.1

/190032.0 mmxmx

mkgkgW

V bb ==== −

ρ

Luego el espesor disponible para quemado será:

mmcmtvb bc 22 2.22*13161.1* ====

61

Donde vc es la velocidad de combustión (estimada). De tal forma que el espesor requerido al interior del propelente es 22 mm.

b) Análisis preliminar de la resistencia de la cámara: El diámetro externo de la cámara de combustión se ha fijado en 2.0 in=5.08 cm. Por ser un material de baja densidad se utilizará el aluminio. Además, el aluminio provee seguridad en cuanto a una posible explosión generando grietas y no fragmentos que eventualmente pueden salir a alta velocidad y lesionar a alguien. Para el esfuerzo circunferencial simple:

mmmMpa

mMpaDPt c 6.00006.0

100*206.0*02.2

2====

σ

Donde-

- σ es la resistencia a la fluencia del aluminio. - D diámetro de la cámara - Pc es la presión al interior de la cámara de combustión - t es el espesor de la pared de la cámara de combustión.

Luego el espesor mínimo a utilizar es 1 mm.

c) Configuración del grano: Para la caracterización geométrica del propelente se utilizarán los datos obtenidos en los anteriores cálculos. c-1) Diámetro exterior del grano: El diámetro exterior del propelente está dado por:

mmDext 8.50=

c-2) El diámetro interior del grano es:

mmD 722*28.50int ≈−=

c-3) Para determinar la longitud de la cámara de combustión se deben relacionar el volumen, los diámetros externo e interno del grano y su longitud, de donde se obtiene la longitud mínima de la cámara de combustión:

mmL

DDLV extb

102)228.50(*

4*168400

)(4

22

2int

2

=−

=

−=

π

π

En conclusión: Se utilizará como propelente una barra de grano cuya composición es dada por la mezcla de 65% de nitrato de potasio y 35% de sorbitol, la cual será colocada en una cámara de combustión cuyas medidas mínimas son: 52 mm de diámetro exterior y longitud de 10 cm, la cual se manufacturará en aluminio; así mismo, la barra de propelente tiene un diámetro.

62

3.7 Conclusiones Se reconoce que los cohetes pueden ser fabricados en diversidad de materiales. Los más usados son aquellos cuya resistencia a las altas temperaturas sea la característica fundamental. El acero y aleaciones no ferrosas son bastante utilizados por su resistencia a solicitaciones mecánicas y térmicas. Las aleaciones de titanio y aluminio tienen características de resistencia notables con un valor de la densidad del orden de la mitad del acero, pero su costo es elevado. Para un cohete experimental es conveniente entonces manufacturar el dispositivo a bajos costos, siendo el acero un material “barato”, de fácil maquinado y con resistencia y punto de fusión altos para el tiempo de funcionamiento (esto es 1660K de llama adiabática). A partir de los datos de presión y temperatura se lleva a cabo el diseño de la cámara de combustión teniendo en cuenta que su uso es netamente experimental y que no esta condicionado a una misión específica, por lo cual no es importante las condiciones aerodinámicas. Utilizando la teoría de pared delgada se dimensiona la cámara utilizando como dato de carga la presión. La manufactura del conjunto motor – cohete es llevada a cabo en tornos convencionales, lo que permite su fácil repetición a bajos costos. Hay que notar en el procedimiento de diseño del propelente, que la rata de combustión es función de la presión, para lo cual altos valores generan ratas altas de quemado. Sin embargo, una relación inversa no es cierta, esto es, dependiendo de las condiciones de la tobera se puede conseguir una presión determinada para una tasa de quemado específica. Por ejemplo, a menor área crítica mayor presión y mayor tasa de quemado. En conclusión la presión, área crítica y tasa de generación de gases están íntimamente ligadas en las condiciones de operación del motor cohete, luego el conocimiento de cada uno de estos valores se hace imprescindible para un correcto diseño. Un punto importante a resaltar es la importancia de la superficie de emisión. A mayor superficie de emisión se genera una mayor cantidad de gases de combustión lo que resulta en masa exhaustada y empuje. Un diseño adecuado debe balancear el área de emisión y el tiempo de operación. Las superficies de emisión cilíndricas son las que ofrecen las mejores características de funcionamiento por su nivel de empuje y su condición de estabilidad en la curva empuje – tiempo. A diferencia de esta configuración, la superficie de emisión frontal tiene menor área, mayor tiempo de funcionamiento pero menor empuje. De las ecuaciones de diseño se observa que para las configuraciones cilíndricas internas la longitud del propulsor es proporcional al empuje (lo que se debe a la mayor cantidad de área de exposición) y el radio del propulsor es proporcional al tiempo de funcionamiento (debido a que el frente de combustión se mueve perpendicular al eje axial del cohete). Sin embargo, se debe balancear la longitud al diámetro del propulsor para determinar la estabilización y el nivel de funcionamiento de diseño, esto es valores de L/D mayores de 15 logra altas presiones con peligro de explosión y valores de L/D menores a 2 genera presiones bajas sin efecto de empuje. Se recomienda entonces tener en cuenta L/D entre 2 y 10, o en su defecto usar el concepto de longitud característica.

63

4. CARACETERIZACIÓN EXPERIMENTAL DE LA CÁMARA DE COMBUSTION 4.1 Objetivos El objeto del presente capítulo es llevar a cabo la experimentación del motor cohete diseñado en el capítulo 3 utilizando diferentes configuraciones del grano propulsor. Este análisis supone conclusiones determinantes de la tesis, en cuanto al funcionamiento del cohete, la dinámica de la cámara de combustión y las modificaciones esenciales a realizar para futuras experiencias. Se determina entonces, el efecto sobre el empuje real del cohete de las configuraciones analizadas. 4.2 Introducción Es importante conocer la naturaleza del empuje desde el punto de vista de la cámara de combustión. Para ello, es necesario preguntarse: como es la presión al interior de la cámara de combustión?, como es la forma de la curva empuje – tiempo? Es el empuje constante a través del tiempo? Que diferencias existe entre el empuje teórico y el real ?. Estas preguntas han sido formuladas en éste capítulo y desarrollan la comparación con la teoría introducida en los capítulos 1,2 y 3 al respecto de este ítem. Se debe recordar que en toda experimentación existen errores de apreciación que llevan a la teoría a diferir (lo cual se debe minimizar) de la práctica. Para ello, el presente proyecto desarrolla un diseño experimental de forma factorial para minimizar estos errores y concluir estadísticamente los efectos reales de las diferentes configuraciones. Inicialmente, se contextualiza las pruebas a realizar analizando las curvas y el comportamiento de la cámara de combustión en un motor cohete. Y al final del capítulo se desarrollan las pruebas finales.

4.3 La cámara de combustión

La cámara de combustión de un motor cohete es de vital importancia en el desarrollo del empuje. Su funcionamiento es influenciado por la rata de quemado del propelente, eficiencia termodinámica y las consideraciones de carga (esfuerzos y temperatura) enunciadas en el capítulo 3. Entender la operación de la cámara de combustión permite construir conocimiento al respecto del funcionamiento para aplicaciones de diseño, predicción y desarrollo.

La alta presión de la cámara se obtiene como resultado de la combustión del grano propelente, la cual genera gases que deben escapar a través de la tobera; sin embargo, la parte convergente de esta no deja escapar fácilmente los gases, por lo cual se produce una acumulación de estos, lo que genera la presurización.

La anterior explicación es correcta en términos generales, sin embargo, existe un factor importante que influye en la magnitud de la presión y no posee una explicación sencilla, esto es, el concepto de flujo chocado. Este concepto provee un importante significado para el cálculo de la cámara de presión y es válido para la operación transiente y estable del funcionamiento de un motor cohete. En la gráfica 4.1 se observa tres fases de la operación de un motor cohete cuando se correlaciona la presión de la cámara de combustión y el tiempo. Como se observa, la curva de presión del motor cohete exhibe un comportamiento transiente y estable. La fase transiente se da cuando la presión varia sustancialmente con el tiempo, esto es, durante la ignición (fase star-up) la cual es seguida por un comportamiento aproximadamente estable, donde el grano se consume establemente para luego caer hasta presión ambiente en la fase de corte (tail off). La variación de la presión en la cámara se debe fundamentalmente a los cambios de la geometría del grano (superficie de emisión) con fluctuaciones asociadas a la rata de quemado. Otros factores pueden jugar un papel importante en la medición de la presión como son la erosión de la garganta de la tobera y quemado erosivo del propelente.

64

Gráfica 4.1. Presión en función del tiempo de la cámara de combustión

Inicialmente, se considera la fase de ignición (Start-up) y de estado estable. La fase de ignición es hipotéticamente breve, sin embargo, el tiempo de encendido no ocurre instantáneamente. Esta fase (Stara-up) es función de la efectividad del sistema de ignición empleado. Por su parte, la fase de estado estable es dominada claramente por las características de funcionamiento del motor lo cual es constituido por las condiciones de diseño.

La determinación de la fase de ignición y de estado estable esta dado por el análisis de la rata de combustión:

rAmbb ρ=

• (4.1)

Donde:

ρb: es la densidad del propelente.

Ab: Área de emisión

r: Velocidad de combustión

Es importante anotar que los productos de los gases de combustión consisten en general de especies condensadas y gaseosas. La fase condensada se manifiesta en forma de humo y vapores los cuales poseen partículas líquidas o sólidas. Sin embargo, únicamente los productos gaseosos contribuyen al desarrollo de la presión del motor cohete, lo cual se debe a su masa y velocidad.

La rata a la cual los productos de la combustión se incrementan al interior de la cámara de combustión esta dada por:

(4.2) Donde:

o es la densidad instantánea del gas en la cámara υ0: Es el volumen instantáneo del gas (el cual es igual al volumen libre al interior de la cámara)

El cambio en el volumen del gas con respecto al tiempo es igual al cambio en el volumen debido al consumo del propelente, esto es:

65

(4.3) La rata a la cual los productos de la combustión fluyen a través de la garganta de la tobera esta limitado por la condicion del flujo de choque. Como se menciona en la tesis alterna (Ref Duque) la velocidad del flujo en la garganta no puede exceder la velocidad local del sonido. Esto determina entonces la rata a la cual los productos de combustión fluyen a través de la tobera, lo cual esta dado por:

(4.4) Donde: k : Relación de calores específicos. R: Constante del gas P0: Presión de diseño al interior de la cámara de combustión A*: Area crítica. T0: Temperatura de llama adiabática (o de diseño). Entonces, se observa que el flujo a través de la tobera es función de la presión en la cámara (la cual determina la densidad de flujo), área de garganta y las propiedades del gas (lo cual establece la velocidad sónica).

El principio de conservación de masa requiere que el balance entre la rata de generación de gases de combustión y la suma de la masa almacenada y la que fluye a través de la tobera, esto es

(4.5) Sustituyendo 4.1 y 4.3 en 4.5 se obtiene:

(4.6)

Como se mencionó en el capítulo 1 y 3, la rata de quemado del propelente puede ser expresada en términos de la presión de la cámara de combustión mediante la Ley de Saint Robert:

r = a Po n (4.7)

Donde a y n son coeficientes de la rata de quemado y el exponente de la presión, respectivamente. Sustituyendo 4.7 y 4.4 en 4.6 se obtiene:

(4.8)

De la ley de gases ideales, la derivada de la velocidad puede ser expresada como:

(4.9)

66

Considerando que la temperatura de la cámara de combustión es esencialmente independiente de la presión, la ecuación 4.8 puede ser re-escrita como:

(4.10)

Esta ecuación es usada para determinar la rata de cambio de la presión en la cámara de combustión (dPo/ dt ) durante la fase transiente de ignición (start up) de la operación del motor, de allí, la presión se incrementa rápidamente hasta la condicion estable. Una vez la fase estable es alcanzada, la producción de gases y la masa exhaustada se equilibran, por lo cual, dPo/ dt = 0, y entonces, el miembro izquierdo de la ecuación 4.10 se convierte en cero. Para lo cual, la presión en la cámara puede ser expresada como:

(4.11)

Nótese que la densidad de los productos de la combustión es pequeña comparada con la densidad del propelente. La ecuación 4.11 puede ser simplificada usando 4.7, haciendo Kn = Ab /A* e introduciendo el término de velocidad característica:

(4.11a)

Luego la presión de estado estable esta dada por:

(4.12) Donde r es la rata de quemado a la presión de la cámara, Po La fase final de la curva de presión (fase de corte) ocurre idealmente después de que el grano ha sido completamente consumido. En la experimentación se observa que la presión disminuye gradualmente. Una vez se ha consumido el grano, el área de emisión llega a cero, Ab = 0, y la ecuación 4.10 se convierte en:

(4.13) Esta ecuación diferencial es solucionada para la presión de corte en términos del flujo de choque lo que permite calcular la presión en función del tiempo:

e tcART

boc PP *0

*0

ϑ−= (4.14)

Donde Pbo es la presión de la cámara al final de la combustión, y t es el tiempo para el corte.

67

4.4 Variables del propelente

Por conveniencia económica y de impulso, en el capítulo 2 se seleccionó un propelente cuya mezcla es 65% de nitrato de potasio y 35% de sacarosa.

Esta mezcla tiene la ventaja de su fácil consecución en el mercado colombiano, por lo cual hace sencilla su manipulación y experimentación, además, no posee elevadas condiciones de seguridad (como si lo tiene por ejemplo, la nitroglicerina y la pólvora negra). La mezcla tiene también unas propiedades mecánicas “relativamente” buenas con respecto a su consistencia una vez es fundido el grano. 4.4.1 Formulación

Como se ha mencionado, la formulación requerida es 65% de nitrato de potasio y 35% de sacarosa. Para esta mezcla se tiene una temperatura de llama adiabática de 1660 K (1387 °C) la cual va a funcionar en una cámara de combustión y con una tobera de acero (con punto de fusión de 1500 °C), lo cual no genera erosión sobre esta última.

La sacarosa (se encuentra en estado líquido: sorbitol) contiene a su vez ciertas impurezas no determinadas en el presente proyecto, por lo cual, son despreciadas, considerando una calidad del producto cercano al 100%.

El nitrato de potasio es de fácil consecución ya que tiene un uso extensivo en cultivos hidropónicos y en jardinería como fertilizante. La pureza de venta esta entre el 95 y 99%. El precio varia dependiendo del grado de pureza.

4.4.2 Datos de los componentes

El primer paso de la preparación del propelente es homogenizar cada uno de los compuestos. En el caso del nitrato de potasio se lleva a un estado pulverizado y homogéneo Esto se puede hacer mediante un molino o por manipulación manual. Con esta pulverización, se reduce el tamaño de partícula a un promedio de 50 a 100 micras. El nitrato de potasio es vendido típicamente entre 150 y 250 micras.

Por su parte el sorbitol es sacarosa hidratada. Para llevarla a su estado de mezcla, se calienta hasta reducir la cantidad de agua presente en un 5 a 10% (aproximadamente). Cuando se eleva la temperatura, su aspecto toma un color “amarillento”, su densidad y viscosidad aumentan notablemente. Cuando se utiliza azúcar en gránulos, es conveniente aumentar el área para mezcla mediante pulverización o utilizando azúcar en polvo. 4.4.3 Mezcla y preparación

El proceso de fundición seguido para preparar el propelente con nitrato de potasio y sorbitol se rige en una continua adición de calor manteniendo la mezcla en una temperatura constante entre 125 y 135 °C. Como elemento solvente se utiliza el sorbitol líquido. Y como soluto el nitrato de potasio.

Para realizar coladas de cuatro granos de propelente, cada uno de 400 gr, se utiliza:

Componente

Uso Porcentaje másico presente en la

mezcla

Peso Utilizado

(gr)

Pureza Peso corregido por pureza (gr)

Nitrato de potasio

Oxidante 65% 1040 95% 1094

Sacarosa (sorbitol)

Combustible 35% 560 100% (teórica) 560

68

Tabla 4.1. Composición de la mezcla para la fabricación real.

El secado del sorbitol dura en promedio una hora hasta llegar al estado amarillento descrito. Una vez se llega a este momento se agrega el nitrato de potasio cada 10 minutos en un peso de 100 gramos hasta completar el 65% de la mezcla. En este proceso se debe agitar vigorosamente la composición para evitar su compactación, lo cual puede generar zonas sólidas, que con la alta temperatura ignitan, lo cual es peligroso.

Una vez se ha adicionado todo el nitrato de potasio, se sigue agitando para mantener la mezcla en estado fluido para llevar a cabo la colada. Se recomienda vaciar el producto en moldes con dimensiones próximas a las de la cámara de combustión a utilizar.

Una vez fundido se debe esperar en promedio dos a tres días para que la mezcla adquiera la consistencia y las propiedades deseadas de propelente. El aspecto sólido es de color “blancuzco” con una alta dureza y gran fragilidad. Gracias a la solidificación, la contracción es del orden del 5 al 10%.

4.5 PRUEBAS DE LA MEZCLA Se han realizado pruebas de la mezcla con los siguientes objetivos: - Generar un proceso convencional de fabricación del propelente. - Obtener datos al respecto de la velocidad de quemado, cantidad no quemada, color de los gases

entre otras variables (el color de los gases de combustión tienen un aspecto blancuzco). - Probar estáticamente el motor cohete experimental. El encendido se realiza mediante cortocircuito (a fin de obtener seguridad y mando a distancia de la ignición) de un filamento de ferroníquel. En las últimas mezclas se realiza la ignición utilizando como iniciadores pólvora negra con mecha lenta.

Foto 1. Propelente sólido. Mezcla nitrato de potasio (65%) y sacarosa (35%).

4.6 Pruebas estáticas

Como se mencionó la presión cambia con el tiempo y por tanto lo hace el empuje, el cual es susceptible a ser medido en una prueba de carga. Se realiza la prueba de forma vertical para

69

determinar la curva de empuje – tiempo en función de la geometría del propelente y de la forma de presurización de la cámara de combustión, utilizando una sola tobera.

4.6.1. Caracterización de Propiedades. 4.6.1.1 Identificación del problema y determinación del modelo Durante el proyecto en desarrollo se ha analizado propelentes realizados a partir de nitrato de potasio, nitrato de amonio, aluminio y glucosa. De este estudio, se ha concluido que existe un punto óptimo en donde se encuentra el máximo empuje con el mínimo costo, esto es, la utilización de mezclas de Sorbitol (una especie de glucosa (azúcar) reducida) con Nitrato de Potasio (un fertilizante de fácil consecución), en una proporción teórica de 35/65, la que se constituye en la mezcla de experimentación. Así mismo, utilizando los valores suministrados por los cálculos para presión y temperatura alcanzados durante la combustión teórica de esta mezcla, se diseñó el conjunto de cámara de combustión y tobera de escape, de manera que utilizando la energía suministrada por el propelente, y mediante los anteriores dispositivos, se alcanza la altura calculada para el cohete prototipo del proyecto. Antes de pasar a la fase de construcción, se procedió a establecer un procedimiento de experimentación, mediante el cual se determina la influencia de ciertos parámetros sobre el valor de empuje del cohete, así como sobre el desempeño general del mismo. De esta forma, para la caracterización conjunta del propelente y del dispositivo utilizado en esta fase del trabajo, se escogió un experimento bifactorial. Esto es, se utiliza como factores de experimentación la geometría del propelente y la utilización de un elemento presurizador de los gases de combustión: tabique. Entonces, el experimento queda diseñado como se presenta a continuación:

FACTORES DE EXPERIMENTACIÓN NIVELES DEL FACTOR 1. Con geometría interna cilíndrica (core cilíndrico)

GEOMETRÍA DE LA BARRA DE PROPELENTE (Factor τ)

2. Sin geometría interna (tipo de quemado en forma de cigarrillo o tabaco) 1. Sin tabique PRESURIZADOR DE LOS GASES DE

COMBUSTIÓN (Factor β) 2. Con tabique de bajo espesor (espesor del presurizador: 0.2 mm)

Tabla 4.2. Diseño del experimento Se decide que el experimento se conforma con la siguiente jerarquía: el primer factor, variaciones en la geometría interna de la barra de propelente, consta de dos niveles (barra con y sin núcleo), en tanto que el segundo, el espesor de la membrana de presurización, lo estaría por dos niveles (Sin membrana o espesor cero, y un espesor determinado, el cual es aproximadamente 0.2 mm). El modelo estadístico que describe los datos de este experimento puede indicarse así:

ijkijjiijky ετββτµ ++++= )( (4.15) Donde los subíndices varían de acuerdo al número de niveles y elementos del submuestreo, esto es:

-i es el número de niveles del factor τ (es decir, puede tomar el valor de 1 ó 2)

-j es el número de niveles del factor β (es decir, puede tomar el valor de 1 ó 2)

70

-k es el número de elementos utlizados en cada experimento (valor a determinar, que es igual al número de elementos del submuestreo).

Con el presente experimento se determinará la influencia de los factores sobre el empuje del motor manteniendo las propiedades del propelente fijas. Esto es, se desean probar las siguientes hipótesis:

iúnamenosalparaH

H

i

o

lg,0:

0:

1

21

≠

==

τ

ττ

(4.16)

La hipótesis nula enuncia que el factor τ (geometría interna) no ejerce influencia sobre el comportamiento global del modelo, contra la hipótesis alterna que indica que para al menos algún nivel i del factor τ existe influencia sobre la magnitud del empuje del cohete La otra hipótesis a probar esta dada por el siguiente conjunto estadístico:

0:0:

1

21

≠==

i

o

HH

βββ

(4.17)

La hipótesis nula enuncia que el factor β (presurizador de la cámara de presión: tabique) no ejerce influencia sobre el comportamiento global del modelo, contra la hipótesis alterna que indica que para al menos algún nivel j del factor β existe influencia sobre la magnitud del empuje del cohete. El último conjunto de hipótesis que se desea probar es referente a la interacción entre los factores:

jiparejaunaamenosalparaH

H

ij

ijo

,lg,0)(:

0)(:

1 ≠

=

τβ

τβ

(4.18) La hipótesis nula enuncia que la interacción entre los factores τ y β no ejerce influencia sobre el

comportamiento global del modelo (es decir, no interactúan), contra la hipótesis alterna que indica que para al menos alguna pareja de niveles de los dos factores influirán en la magnitud del empuje del cohete. 8.1.1 Elección del tamaño de la muestra Para la elección del tamaño de las muestras se utiliza el procedimiento y las curvas características de operación para el modelo de efectos fijosi, en los que se debe determinar al valor de 2Φ , que corresponde a una diferencia especificada, así:

2

22

2 σanbD=Φ

(4.19) Donde: n: es el número de muestras en cada nivel a: número de factores del nivel A b: número de factores del nivel B σ: Desviación estándar presupuesta para el experimento En donde b representa el número de muestras del factor B sobre el cual se está basando la determinación del número de muestras, y a el número de muestras del factor A. Para mayor facilidad de comparación, a continuación se presenta una tabla con los parámetros indicados anteriormente:

71

Tabla 4.3. Parámetros de experimentación Dado que en el caso del proyecto se trata de un experimento de dos factores desbalanceado, ya que cada factor contaba con diferente número de niveles (y por tanto con diferentes grados de libertad), se efectuó el análisis para cada uno de los factores por separado. Dado que el valor del empuje esperado es de 21 Kgf, y se estima una desviación estándar de 1 Kg-f, entonces la diferencia detectable, entre dos medias de cada nivel, debería ser 2 Kg-f (predeterminado por la experiencia de los experimentadores). Para el análisis se utilizó un nivel de confianza del 5% (= 0.05) y un poder de la prueba mayor al 80% (= 0.10), con lo cual se obtuvo que la cantidad mínima de muestras a efectuar para validar el experimento es 3. La tabla a continuación resume los cálculos:

Número de Niveles Numero de Grados de Libertad

Factor A (Geometría) 2 1 Factor B (Espesor Membrana) 2 2 Análisis para hallar el número de muestras requeridas Montgomery (Montgomery) utiliza el siguiente procedimiento para hallar el número de muestras requerido: 1. Se calcula inicialmente el valor de Φ:

nn 2)1)(2(2)2)(2(

2

22 ==Φ

2. Recordando que los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son: Efecto Grados

de Libertad

A a-1 B b-1

Interacción AB

(a-1)(b-1)

Error ab(n-1) Total abn-1

Se puede construir una tabla para la determinación del tamaño de muestra (utilizando la gráfica de la curva característica de operación para el análisis de varianza del modelo de efectos fijos, con α=0.05 (ver apéndice V Montgomery)):

n ΦΦΦΦ2 ΦΦΦΦ ωωωω1: Grados de libertad

del numerador

ωωωω2: Grados de libertad del

error

ββββ

72

2 4 2 1 4 0.4 3 6 2.44 1 8 0.14

Tabla 4.4. Determinación del tamaño de la muestra. Montgomery (Montgomery) recomienda que la potencia de la prueba (1-β) sea por lo menos 70%, por lo tanto se utilizan tres muestras por cada experimento, obteniendo con ello, una potencia de prueba del 84%. 4.6.1.2 Esquema de montaje El esquema de montaje adoptado para llevar a cabo la experimentación se presenta a continuación:

Figura 4.1. Esquema de montaje

En el esquema se observa que el cohete se encuentra sobre el sensor, el cual, es una celda de carga que mide hasta 500 lb de fuerza. El sensor se encuentra alimentado por una fuente de 10 V. La salida de la celda de carga es del orden de fracciones de milivoltios (lo cual hace imprescindible el uso de un amplificador de voltaje). Este elemento registra el empuje del motor cohete mediante deformaciones de las resistencias internas en puente, la cual es convertida en señal eléctrica, que es conducida al amplificador. Por su parte el amplificador de voltaje toma la señal proveniente de la celda de carga, la amplifica y la envía al osciloscopio para la medición del empuje. Este amplificador se encuentra alimentado directamente de la red eléctrica con voltajes de 110 V. Una vez la señal ha sido recibida en el osciloscopio, se gráfica (imprime) utilizando una escala adecuada previa calibración del experimento. La calibración se lleva a cabo utilizando pesas normalizadas de 500, 1000, 1500, 2000 gr.

73

4.6 Realización de los experimentos 4.6.1. Combustión frontal sin tabique: El esquema de este experimento se muestra a continuación:

Figura 4.2. Esquema de la combustión frontal sin tabique

De los datos obtenidos en el osciloscopio se determina que el empuje obtenido en esta configuración no esta en la escala del mismo y por tanto no es medible. Se considera empuje nulo. 4.6.2 Combustión frontal con tabique: El esquema de este experimento se muestra a continuación:

Figura 4.3. Esquema de la combustión frontal con tabique

Al igual que en el caso de combustión frontal sin tabique, se observa que los datos no aparecen en la escala de lectura del osciloscopio, por lo tanto, no se registra empuje. Los resultados de estas primeras pruebas se muestran a continuación:

Gráfica 4.2. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión frontal (tabaco o cigarrillo) graficado en

osciloscopio.

74

Debido a que las gráficas de estos ensayos tienen un comportamiento similar al de la gráfica 4.2, no se presentan porque no muestran tendencias o valores prácticos.

Tiempo de ignición (Stara-up) 0 s Tiempo de estado estable 0 s Tiempo de corte (tail off) 0 s Empuje medido No

medible

4.6.3 Combustión de propelente con geometría interna sin tabique: La configuración de esta prueba esta dada en la siguiente figura:

Figura 4.4. Esquema de la combustión con geometría interna cilíndrica sin tabique

Los resultados se muestran a continuación: 1. Primer experimento

Gráfica 4.3a. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique

graficado en osciloscopio.

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 17 kgf, el cual dura 1.6 segundos. El tiempo de subida (Start up) es 0.3 s y el tiempo de corte (tail – off) es 0.7segundos. Se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (observar gráfica 4.1) donde se nota explícitamente los valores de estado estable e inestable. Los valores obtenidos se acercan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf.

75

Los errores con los valores experimentales son:

%2010021.6-2

tiempo%elen

%1910021

21-17empuje% elen rror

==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Start-up) 0.3 s Tiempo de estado estable 1.6 s Tiempo de corte (tail off) 0.7 s Empuje medido 17 kgf

2. Segundo Experimento

Gráfica 4.3b. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique graficado en

osciloscopio.

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 14 kgf, el cual dura 1 segundo. El tiempo de subida (Start up) es 1.5 s y el tiempo de corte (tail – off) es 0.7segundos. Se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (observar gráfica 4.1) donde se nota explícitamente los valores de estado estable e inestable. Los valores obtenidos se acercan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:

%501002

1-2 tiempo%elen

%3.3310021


==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Start-up) 1.5 s Tiempo de estado estable 1.0 s Tiempo de corte (tail off) 0.7 s Empuje medido 14 kgf

76

3. Tercer Experimento

Gráfica 4.3c. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique graficado en

osciloscopio.

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 13.5 kgf, el cual dura 1.0 segundos. El tiempo de subida (Stara up) es 1.2 s y el tiempo de corte (tail – off) es 1.3 segundos. Se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (observar gráfica 4.1) donde se nota explícitamente los valores de estado estable e inestable. Los valores obtenidos se acercan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:

%5010021.0-2

tiempo%elen

%7.3510021

21-13.5empuje% elen rror

==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Start-up) 1.2 s Tiempo de estado estable 1.0 s Tiempo de corte (tail off) 1.3 s Empuje medido 13.5 kgf

4.6.4 Combustión de propelente con geometría interna con tabique: La configuración del cohete se muestra a continuación:

Figura 4.5. Esquema de la combustión con geometría interna cilíndrica con tabique

77

Los resultados se muestran a continuación: 1. Primer experimento

Gráfica 4.4a. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna con tabique

graficado en osciloscopio. El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 6.2 kgf, el cual dura 1 segundo. El tiempo de subida (Stara up) es 0.5 s y el tiempo de corte (tail – off) es 1.5 segundos. Se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (observar gráfica 4.1) donde se nota explícitamente los valores de estado estable e inestable, sin embargo, el tiempo de corte es extremadamente largo en comparación con el de subida, lo que hace pensar que quedaron residuos internos que tenian diferentes velocidades de combustión. Los valores obtenidos distan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:

%501002

1-2 tiempo%elen

%7010021


==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Start-up) 0.5 s Tiempo de estado estable 1.0 s Tiempo de corte (tail off) 1.5 s Empuje medido 6.2 kgf

78

2. Segundo experimento

Gráfica 4.4b. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna con tabique graficado en

osciloscopio.

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 13.8 kgf, el cual dura 1 segundo. El tiempo de subida (Stara up) es 0.5 s y el tiempo de corte (tail – off) es 1.5 segundos. Se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (observar gráfica 4.1) donde se nota explícitamente los valores de estado estable e inestable, sin embargo, el tiempo de corte es extremadamente largo en comparación con el de subida, lo que hace pensar que quedaron residuos internos que tenian diferentes velocidades de combustión. Los valores obtenidos distan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:

%501002

1-2 tiempo%elen

%3410021


==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Start-up) 0.5 s Tiempo de estado estable 1.0 s Tiempo de corte (tail off) 1.5 s Empuje medido 13.8

kgf

79

3. Tercer experimento

Gráfica 4.3a. Resultados obtenidos de las pruebas con superficie de emisión cilíndrica interna sin tabique graficado en

osciloscopio.

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 10 kgf, el cual dura 0.2 segundos. El tiempo de subida (Stara up) es 0.4 s y el tiempo de corte (tail – off) es 3.5 segundos. Se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (observar gráfica 4.1) donde se nota explícitamente los valores de estado estable e inestable. Los valores obtenidos se acercan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:

%9010020.2-2

tiempo%elen

%5210021


==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Stara-up) 0.4 s Tiempo de estado estable 0.2 s Tiempo de corte (tail off) 3.5 s Empuje medido 10 kgf

Se muestran a continuación dos fotos tomadas de esta experimentación:

80

Foto 4.2. Quemado de propelente sin geometría interna y sin tabique.

Foto 4.3. Quemado de propelente. Gases de combustión.

81

4.7 Análisis estadístico Como se mencionó, el análisis estadístico es importante para la determinación del efecto de la configuración interna de la cámara de combustión. El experimento desarrollado es bifactorial con dos niveles de donde se desea conocer si el tabique de sobrepresión y la configuración interna del grano afecta el empuje y el tiempo de operación. 4.7.1 Prueba de idoneidad del modelo El modelo a utilizar es idóneo si cumple estadísticamente con los siguientes supuestos:

1.Homogeneidad de varianzas. 2.Independencia (del tiempo de realización de la prueba, del experimentador, del clima y de otros

factores no tenidos en cuenta en el desarrollo del experimento) 3.Normalidad.

4.7.2 Análisis matemático Sea ••iy el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del factor A (geometría) y •• jy el total de las

observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B (espesor de membrana: tabique), •ijy el total de las

observaciones de la ij-ésima celda, e •••y el total general de todas las observaciones. Se definen ••iy ,

•• jy , •ijy y •••y como los promedios de fila, columna, celda (experimental) y general. Por lo cual matemáticamente:

aibny

yyy ii

b

j

n

kijki ,...,2,1;

1 1

=∴== ••••

= =•• ∑∑

bjany

yyy jj

a

i

n

kijkj ,...,2,1;

1 1

=∴== ••••

= =•• ∑∑ (4.20)

bjain

yyyy ij

ij

n

kijkij ,...,2,1;,...,2,1;

1

==∴== ••

=• ∑

abnyyyy

a

i

b

j

n

kijk

••••••

= = =••• ==∑∑∑ ;

1 1 1

Por otro lado, la suma de cuadrados está dada por: a. Suma total de cuadrados:

abnSS

yya

i

b

j

n

kijkT

2

1 1 1

2 •••

= = =∑∑∑ −= (4.21)

b. Suma de cuadrados para los efectos principales:

abnbnSS

yya

i

iA

2

1

2

•••

=

••∑ −=

abnbnSS

yya

i

iA

2

1

2

•••

=

••∑ −= (4.22)

c. Suma de cuadrados de los subtotales:

abnnSS

yyb

j

a

i

ijSubtotales

2

1 1

2

•••

= =

•∑∑ −= (4.23)

82

d. Suma de cuadrados del error:

subtotalesTE SSSSSS −= Con las ecuaciones 4.20 a 4.23 se construye la tabla de análisis de varianza para el modelo bifactorial de efectos fijos:

Tabla 4.5 Tabla de análisis de varianza para el modelo bifactorial de efectos fijos (Ref Montgomery).

Los resultados demuestran que la utilización de un diseño bifactorial no conduce a resultados importantes, lo que se debe a:

1.Los resultados de empujes (y por ende todos los datos que de allí deriven) de la experimentación con superficie de emisión frontal (tipo tabaco o cigarro), sin y con tabique, resultaron nulos por la sensibilidad de los instrumentos (los cuales no detectaban el empuje).

2.La comparación de la utilización de superficie de emisión frontal y de geometría interna resulta obvia, siendo la configuración con core medible en términos prácticos.

3.Por tal razón es conveniente utilizar un modelo estadístico unifactorial con dos niveles. A continuación se resumen los resultados obtenidos:

1.Tiempo de ignición (Start-up)

Tabique Sin Con

0,3 0,5 1,5 0,5

Core 1,2 0,4 0 0 0 0 G

eom

etría

Tabaco 0 0 Tabla 4.6 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de ignición (Start-up) en

segundos.

2. Tiempo de estado estable: Tabique Sin Con

1,6 1 1 1

Core 1 0,2 0 0 0 0 G

eom

etría

Tabaco 0 0 Tabla 4.7 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de estado estable (s).

83

4.Tiempo de corte (Tail-off)

Tabique Sin Con

0,7 1,5 0,7 1,5

Core 1,3 3,5 0 0 0 0 G

eom

etría

Tabaco 0 0

Tabla 4.8 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de corte (s)

4, Empuje Tabique Sin Con

17 6,2 14 13,8

Core 13,5 10 0 0 0 0 G

eom

etría

Tabaco 0 0 Tabla 4.9 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al empuje (kgf).

4.7.3 Reducción del problema bifactorial a unifactorial con dos niveles Gracias a que el empuje del cohete en los experimentos con quemado frontal resultaron nulos se reduce el problema a un diseño unifactorial con dos niveles, esto es, un factor: geometría interna cilíndrica; con dos niveles: con y sin tabique. El modelo estadístico que describe los datos de este experimento puede indicarse así:

==

++=)(3,2,1

)(2,1nesobservacioj

factoresiy ijiij ετµ (4.24)

Donde los subíndices varían de acuerdo al número de niveles y elementos del submuestreo, esto es:

-i es el número de niveles del factor τ (es decir, puede tomar el valor de 1 ó 2)

-j es el número de elementos utlizados en cada experimento. Con el presente experimento se determina la influencia de los niveles sobre el empuje, tiempo de subida, de estabilización y de corte del motor manteniendo las propiedades del propelente fijas. Esto es, se desean probar las siguientes hipótesis:

iúnamenosalparaH

H

i

o

lg,0:

0:

1

21

≠

==

τ

ττ

(4.16)

La hipótesis nula enuncia que el factor τ (tabique) no ejerce influencia sobre el comportamiento global del modelo, contra la hipótesis alterna que indica que para al menos algún nivel i del factor τ existe influencia sobre la magnitud del empuje del cohete Utilizando un análisis de varianza con α=0.05, se obtiene el siguiente resultado:

84

4.7.3.1 Análisis estadístico para el tiempo de ignición (Start-up) Los datos experimentales son:

Tabique Sin Con 0,3 0,5 1,5 0,5 1,2 0,4

Donde el tiempo está en segundos. Se debe tener en mente que no existe variación de la geometría interna. Hallando los valores promedio y la desviación estándar se obtiene: Resumen entre estadístico:

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza Sin Tabique 3 3 1 0,39 Con Tabique 3 1,4 0,46666667 0,00333333

Tabla 4.10a. Resumen estadístico del tiempo de subida. De esta tabla se observa que el promedio del tiempo de ignición, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando no se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la utilización de tabique disminuye el tiempo de subida, es decir, la no utilización de membrana de presurización estabiliza el funcionamiento del motor cohete rápidamente. Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA:

Origen de las variaciones Suma de cuadrados Grados de libertad

Promedio de los cuadrados F Probabilidad Valor crítico para F

Entre grupos 0,426666667 1 0,426666667 2,16949 0,21476446 7,708649719Dentro de los grupos 0,786666667 4 0,196666667 Total 1,213333333 5

Tabla 4.10b. Tabla de ANOVA para el tiempo de subida con αααα=0.05. De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el tiempo de subida en la operación del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro de tiempo no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización. 4.7.3.2 Análisis estadístico para el tiempo de estado estable Los datos experimentales son:

Tabique Sin Sin 1,6 1,6 1 1 1 1


Grupos Cuenta Suma Promedio σ2σ2σ2σ2 Sin Tabique 3 3,6 1,2 0,12

85

Con Tabique 3 2,2 0,733333333 0,21 Tabla 4.11a. Resumen estadístico del tiempo de estado estable. De esta tabla se observa que el promedio del tiempo de estado estable, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando no se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la utilización de tabique disminuye el tiempo de estado estable Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA:




Tabla 4.11b. Tabla de ANOVA para el tiempo de estado estable con αααα=0.05. De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el tiempo de estado estable en la operación del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro de tiempo no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización. 4.7.3.3 Análisis estadístico para el tiempo de corte (Tail-off) Los datos experimentales son:

Tabique Sin Con 0,7 1,5 0,7 1,5 1,3 3,5


Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza Sin Tabique 3 2,7 0,9 0,12 Con Tabique 3 6,5 2,16666667 1,33333333

Tabla 4.12a. Resumen estadístico del tiempo de corte. De esta tabla se observa que el promedio del tiempo de corte, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la utilización de tabique aumenta el tiempo de corte (tail off) Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA:




Tabla 4.12b. Tabla de ANOVA para el tiempo de corte con αααα=0.05.

86

De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el tiempo de corte en la operación del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro de tiempo no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización. 4.7.3.4 Análisis estadístico para el empuje Los datos experimentales son:

Tabique Sin Sin 17 6,2 14 13,8

13,5 10 Donde el empuje está en kilogramos fuerza. Se debe tener en mente que no existe variación de la geometría interna. Hallando los valores promedio y la desviación estándar se obtiene: Resumen entre estadístico:

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza Sin Tabique 3 44,5 14,8333333 3,58333333 Con Tabique 3 30 10 14,44

Tabla 4.13a. Resumen estadístico del empuje. De esta tabla se observa que el promedio del empuje, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando no se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la utilización de tabique disminuye el empuje. Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA:




Tabla 4.13b. Tabla de ANOVA para el empuje con αααα=0.05. De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el empuje en la operación del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización. 4.7.4 Idoneidad del Modelo unifactorial Suposición de normalidad Una forma de comprobar la suposición de normalidad consiste en hacer histogramas de los residuos. Si la suposición de que los errores están normalmente distribuidos con medio cero y varianza conocida se satisface, esta gráfica debe ser semejante a la de una muestra extraída de una distribución normal centrada en cero. El procedimiento seguido en este trabajo consiste en construir una gráfica de probabilidad normal de los residuos. Una gráfica de este tipo es la representación de la distribución acumulada de los residuos sobre papel de probabilidad normal, en donde, las ordenadas se concentrarán en una línea recta. Para ello se dispone los residuos en orden ascendente y se gráfica el k-ésimo de estos residuos ordenados contra su punto de probabilidad acumulada PK=(k-1/2)/N. Si la distribución de los errores es

87

normal, está gráfica “parecerá” una línea recta. Al visualizar dicha línea hay que poner más énfasis en los valores centrales de la gráfica que en los extremos: Se analiza únicamente para los datos de empuje:

k Residuo Pk=(k-1/2)/6

1 -

6,21666667 0,08333333

2 -

2,41666667 0,25 3 1,08333333 0,41666667 4 1,38333333 0,58333333 5 1,58333333 0,75 6 4,58333333 0,91666667

Tabla 4.14. Tabla de residuos normalizados

Título del gráfico

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

-10 -5 0 5 10

Residuos (del empuje en Kgf)

Prob

abili

dad

acum

ulad

a

Pk=(k-1/2)/6

Lineal (Pk=(k-1/2)/6)

Gráfica 4.4. Gráfica d probabilidad normal acumulada para los residuos

De la gráfica se puede concluir que los datos se aproximan a una distribución normal, debido a que se ajustan “más o menos” a una recta. Suposición de independencia y homogeneidad. Si la suposición de homogeneidad no se cumple, la prueba F es afectada sólo ligeramente en los modelos balanceados de efectos fijos. Si el modelo es correcto y las suposiciones se satisfacen, los residuos no deben tener algún patrón, ni bien estar relacionados con alguna otra variable. Para comprobar en forma sencilla se grafican los residuos contra los valores ajustados de la respuesta. En esta gráfica no debe verse ningún patrón obvio. Se presenta la gráfica de residuos versus valores ajustados de los grupos, es decir, el valor promedio de los datos del empuje entre cada uno de los grupos a saber: con y sin tabique.

88

Gráfica de residuos vs valores ajustados

-8

-6

-4

-20

2

4

6

0 10 20

Valores ajustados en cada grupo

Res

iduo

sGráfica deresiduos vsvalores ajustados

Gráfica 4.5 Residuos versus valores ajustados

En esta gráfica no se observa patrón alguno, por lo cual se comprueba el supuesto de homogeneidad. En la siguiente gráfica se observa los valores de residuos en función del tiempo para comprobar el supuesto de independencia temporal:

Gráfica de residuos en función del tiempo

-8-6-4-20246

0 2 4 6 8

secuencia de realización del experimento

Res

iduo

s

En la anterior gráfica se observa que no existe tendencia en función del tiempo de los residuos, por lo tanto las pruebas son independientes de la secuencia de realización. Una vez comprobado el modelo se puede concluir al respecto de las pruebas. 4.8 Conclusiones


La anterior explicación es correcta en términos generales, sin embargo, existe un factor importante que influye en la magnitud de la presión y no posee una explicación sencilla, esto es, el concepto de flujo chocado. Este concepto provee un importante significado para el cálculo de la cámara de presión y es válido para la operación transiente y estable del funcionamiento de un motor cohete.

89

Como se observa, la curva de presión del motor cohete exhibe un comportamiento transiente y estable. La fase transiente se da cuando la presión varia sustancialmente con el tiempo, esto es, durante la ignición (fase star-up) la cual es seguida por un comportamiento aproximadamente estable, donde el grano se consume establemente para luego caer hasta presión ambiente en la fase de corte (tail off). La variación de la presión en la cámara se debe fundamentalmente a los cambios de la geometría del grano (superficie de emisión) con fluctuaciones asociadas a la rata de quemado. Otros factores pueden jugar un papel importante en la medición de la presión como son la erosión de la garganta de la tobera y quemado erosivo del propelente. Es importante anotar que los productos de los gases de combustión consisten en general de especies condensadas y gaseosas. La fase condensada se manifiesta en forma de humo y vapores los cuales poseen partículas líquidas o sólidas. Sin embargo, únicamente los productos gaseosos contribuyen al desarrollo de la presión del motor cohete, lo cual se debe a su masa y velocidad A partir de los experimentos, se concluye que el área de quemado es un parámetro importante que influye en el empuje del motor cohete. En el caso del propelente con superficie de emisión frontal no existe un empuje medible por los instrumentos utilizados, por lo cual, se afirma que un empuje para aplicaciones prácticas es logrado únicamente en aquellos propelentes donde existe un área de emisión apreciable, por ejemplo, la geometría interna cilíndrica. La utilización de membrana presurizadora no afecta los valores de tiempo y empuje medidos en el cohete. Esto es, estadísticamente no se halló evidencia para este efecto (utilizando ANOVA con prueba F), sin embargo, un análisis estadístico simple basado en los promedios de los datos “sugiere” que la membrana reduce el tiempo de ignición (subida), aumenta el tiempo de estado estable y genera menores empujes. Aunque se ha concluido que no existen efectos significativos (con α=0.05) de la utilización de membrana, la sugerencia de los promedios encontrados indica que se debe realizar nuevos experimentos para corroborar que el efecto del tabique es nulo. Un punto importante a resaltar es el tamaño del cohete experimental, con el cual eventualmente el tabique no ejerce efecto por el volumen de presurización, es decir, el tabique no alcanza a actuar porque el volumen libre se presuriza rápidamente con los gases de combustión y no se alcanza a medir el efecto de este. Se recomienda realizar pruebas con cohetes de mayor tamaño y mayor volumen libre. Los datos de empuje obtenidos difieren de las condiciones de diseño y de los datos teóricos principalmente por la pureza de los químicos utilizados, la sensibilidad de los instrumentos, los errores de fabricación y compactación, las condiciones de la cámara y la tobera entre otros factores, generándose errores del 30% en el empuje y hasta 50% en el tiempo de estabilización.

90

5. SIMULACION NUMÉRICA DE LOS GASES DE COMBUSTIÓN AL INTERIOR DE LA CÁMARA

5.1 OBJETIVOS El objetivo del presente capítulo es abordar de manera descriptiva el comportamiento del sistema de ecuaciones de la dinámica de gases que gobierna el proceso de funcionamiento del flujo en el conjunto motor-cohete. Una vez descrito el sistema de ecuaciones se procede a resolver el fenómeno del flujo con el objeto de hallar el mapa de velocidad, densidad y presión que gobierna la dinámica del gas tanto en la cámara de combustión como en la tobera, utilizando un apropiado método numérico. 5.2 INTRODUCCIÓN Aquellos fenómenos que varían con más de una dimensión espacial o lo hacen con el tiempo y el espacio simultáneamente son en general modelados como ecuaciones diferenciales parciales, que contienen derivadas parciales de una o más variable dependientes. Los principales problemas físicos se pueden clasificar como problemas de equilibrio, de eigenvalores o de propagación. En los problemas de equilibrio, la variable a determinar responde inmediatamente a las condiciones de frontera impuestas. Algunos ejemplos de equilibrio son los flujos de fluido estables y los esfuerzos en materiales. Los problemas de propagación en general se denominan problemas con valores iniciales en la frontera (o simplemente problemas con valores iniciales). La ecuación diferencial que gobierna este tipo de fenómenos físicos es en general una ecuación parabólica o hiperbólica, y contienen condiciones iniciales y (algunas veces) condiciones en la frontera. Entonces, se puede pensar que un problema de propagación es uno en el que la solución sale de un estado inicial y es modificada por condiciones en la frontera en instantes posteriores. A diferencia de los problemas parabólicos (en los cuales las respuestas son amortiguadas), los problemas hiperbólicos permiten oscilaciones. Entre estos tipos de problemas se encuentra el presente proyecto que determina mediante simulación las condiciones de flujo compresible al interior de la cámara de combustión y la tobera de un pequeño motor cohete. 5.3 Clasificación de las ecuaciones. Los términos antes enunciados (parabólico, elíptico e hiperbólico) se definen y clasifican gracias a los conceptos de características. Sean entonces iiiii fdcba ,,,, con i=1,2; funciones de vuyx y ,, y considérese el sistema simultáneo de primer orden cuasi lineal (5.1):

22222

11111

fvdvcubuafvdvcubua

yxyx

yxyx

=+++

=+++ (5.1)

Estas ecuaciones son la representación de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que pueden describir un problema físico. Obsérvese que las derivadas totales de vu y se pueden expresar a su vez mediante (5.2):

dyvdxvdvdyudxudu

yx

yx

+=

+= (5.2)

Entonces, se puede introducir una matriz que contenga las derivadas totales (para satisfacer las condiciones de continuidad de las variables u y v ) y el sistema de ecuaciones diferenciales, esto es (5.3):

91

=

dvduff

vvuu

dydxdydx

dcbadcba

y

x

y

x

2

1

2222

1111

0000

(5.3)

Este sistema de ecuaciones esta bien definido si el determinante de la matriz anterior es diferente de cero (por lo cual obtiene una solución única). En el caso en que el determinante de dicha matriz sea igual a cero, el sistema tendría múltiples soluciones. Igualando el determinante de la matriz a cero se hallará la ecuación característica del sistema de ecuaciones, esto es (5.4):

0))(()())(( 2122112211221

21221 =−+−+−−− dxdbdbdxdycbcbdadadycaca (5.4)

La cual es una ecuación cuadrática para dy/dx. Las soluciones de esta ecuación cuadrática son denominadas direcciones características y pueden ser:

- Reales y distintas. - Reales e idénticas. - No reales.

Esta clasificación se originará gracias al discriminante de la solución de la ecuación característica el cual esta dado por (5.5):

))((4)( 122112212

12211221 dbdbcacacbcbdada −−−−+− (5.5) Este discriminante puede ser entonces negativo (caso en el cual genera soluciones no reales para la ecuación característica), igual a cero (caso en el cual genera soluciones reales e idénticas) o positivo (generando soluciones reales y diferentes para la ecuación característica). Este discriminante clasificará entonces a los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales en sistemas de ecuaciones parabólicos, elípticos e hiperbólicos, esto es:

- Si el discriminante es positivo se denominará ecuación hiperbólica. - Si el discriminante es cero se denominará ecuación parabólica. - Si el discriminante es negativo se denominará ecuación elíptica

De forma semejante, se puede clasificar una ecuación diferencial parcial de segundo orden, por ejemplo (5.6):

1fcuubua yyxyxx =++ (5.6)

Donde a, b, c y f son funciones de x, y, u, ux y uy . Esta ecuación se puede clasificar reduciéndola a una ecuación de primer orden y llevando a cabo un tratamiento similar al efectuado arriba (5.7):

=

)()(

00

y

x

yy

xy

xx

ududf

uuu

dydxdydx

cba (5.7)

La ecuación característica de la anterior matriz esta dada entonces por (5.8):

0)()( 22 =+− dxcbdxdydya (5.8)

De igual forma, el discriminante es dado por:

92

acb 42 −

Donde:

- Si el discriminante es positivo se denominará ecuación hiperbólica. - Si el discriminante es cero se denominará ecuación parabólica. - Si el discriminante es negativo se denominará ecuación elíptica

5.4 SISTEMAS HIPERBOLICOS El conjunto de ecuaciones con las cuales se puede describir el fenómeno del flujo de gases al interior de una cámara de combustión y su respectiva tobera (conjunto motor- cohete) esta dado por:

(5.9)Euler de ecuaciones

)( 0))(()(

)( 0)()(

)( )(

2

1

2

1

2

1

=+∂∂+

∂∂

=+∂∂+

∂∂

=∂∂+

∂∂

∑

∑

∑

=

=

=

cvpext

e

bpvvx

vt

agvxt

jj

j

jijji

ji

jj

j

ρρ

δρρ

ρρ

Donde:

• ρ representa la densidad másica de la corriente de gases. • vi representa la velocidad del flujo de gases en la dirección i. • g es la tasa de generación de gases producto de la combustión. • p es la presión del flujo. • e es la energía total específica.

Por lo tanto se tiene un sistema de ecuaciones de Euler para la dinámica de gases en dos dimensiones. La ecuación (a) de (5.9) es la ecuación de continuidad. La ecuación (b) es la ecuación de momentum y la ecuación (c) es la conservación de energía. Por lo tanto, para hallar un mapa del comportamiento del flujo de gases en cuanto a sus propiedades (densidad, velocidad, presión y energía) se deben resolver simultáneamente estas ecuaciones. El anterior sistema contiene cuatro incógnitas a determinar, pero se cuenta solamente con tres ecuaciones, lo que obliga a obtener una cuarta ecuación, que resulta ser la ecuación de estado, que para un gas politrópico esta dado por:

(5.10) 1)-( ρεγ=p Donde:

• γ es una constante. • ε es la energía interna específica del gas.

93

5.4.1 Descripción Inicialmente se considera el caso unidimensional de las ecuaciones de Euler, por lo cual el sistema se reduce a:

(5.11)Euler de ecuaciones

)( 0))(()(

)( 0)()(

)( 0)(

2

=+∂∂+

∂∂

=+∂∂+

∂∂

=∂∂+

∂∂

cvpext

e

bpvx

vt

avxt

x

xx

x

ρρ

ρρ

ρρ

Donde:

• ρ representa la densidad másica de la corriente de gases. • v representa la velocidad del flujo de gases en la dirección x. • g es la tasa de generación de gases producto de la combustión. • p es la presión del flujo. • e es la energía total específica.

Se debe notar que el sistema de ecuaciones de Euler permite solución de problemas de dinámica de gases bajo apropiadas condiciones de frontera y condiciones iniciales. Una propiedad importante del sistema de ecuaciones de la dinámica de gases es su posibilidad de describirse en términos de una ecuación conservativa, esto es (5.12):

0)(u =∂∂+

∂∂ uf

xt (5.12)

En donde los vectores u y f(u) están dados por (5.13):

)(

)( 21

++=

=

vpevp

vuf

evu

ρρ

ρ

ρρρ

(5.13)

Hasta este momento se han descrito las ecuaciones de Euler sin considerar su naturaleza, y por ende su clasificación, que permitirá hallar un método específico de solución. Para clasificar las ecuaciones de Euler se lleva a cabo un procedimiento similar al enunciado anteriormente donde (5.14):

))(()()(

0)(u

ufddxxu

uuf

dttu

uuf

xuf

t

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

(5.14)

A su vez, xuf

∂∂ )(

se puede escribir como (5.15):

xu

uuf

xuf

∂∂

∂∂

=∂

∂ )()( (5.15)

Con lo cual se obtiene el sistema de ecuaciones (5.16):

94

[ ] ( )

( )( )

=

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

)(

0

)(

)(

)()(

)(

ufdxutu

dxuuf

dtuuf

uuf

I (5.17)

De la anterior ecuación se puede observar que

∂∂

tu)(

y

∂∂

xu)(

son vectores y

∂

∂uuf )(

es una

matriz. Por lo cual, siguiendo el procedimiento ya enunciado para conocer la naturaleza de las ecuaciones de Euler (para dinámica de gases) se llega a que (5.18):

∂

∂==

uuf

dtdxutxa

)(),,( (5.18)

Los autovalores de la anterior ecuación permiten clasificar el sistema de acuerdo a los parámetros descriptivos de las ecuaciones diferenciales parciales. De manera explícita, la ecuación anterior toma la forma (introduciendo la ecuación de estado) (5.19):

( ) ( ) ( )

++−

+−−

−−−=

∂

∂==

vPevpevv

vvuuf

dtdxutxa

γρρ

γρρ

γ

γγγ

112

1

1)3(2

3010

)(),,(

23

2 (5.19)

De donde se puede demostrar que los autovalores están dados por (5.20):

ργλλλ Pccvvcv =∴+==−= , , 321 (5.20)

De donde c es la velocidad del sonido en el fluido de análisis. De la naturaleza de los autovalores hallados se concluye que son reales y diferentes entre sí, por lo cual, se clasifica el sistema de ecuaciones de Euler de dinámica de gases como un Sistema Hiperbólico. El problema de la dinámica de gases unidimensional esta dado entonces por (5.21):

( ) ( ) ( )

=

∂∂

++−

+−−

−−−+

∂∂

000

112

1

1)3(2

3010

23

2

ev

x

vPevpevv

vvev

tρρρ

γρρ

γρρ

γ

γγγ

ρρρ

(5.20a)

La anterior ecuación se puede reemplazar, por comodidad de manejo matemático en cuanto a las operaciones de las derivadas, por:

95

( ) ( )

( ) ( )

=

∂∂

−+

+

∂∂

−+−

−−−

000

213

010

12

21

3

3112

1

1132

21

23

Em

x

E

Em

t

mmmEm

mm ρ

γρ

γ

ρ

ργρρ

γρ

γ

γρ

γρ

γ (b)

Donde:

- m es el momentum del flujo en la dirección x. - E es la energía total del flujo.

De donde se ha eliminado la presión mediante la ecuación de estado (5.21):

−−

ργ

2

2)1(= mEp (5.21)

5.4.2 Solución de las ecuaciones hiperbólicas Se especifica a continuación los métodos numéricos que solucionan las ecuaciones hiperbólicas. Para ello, se describe brevemente el comportamiento y las características de los sistemas de ecuaciones diferenciales que se encuentran en esta categoría. 5.4.3 Caso general del sistema de conservación Considérese el problema de valor inicial para una ecuación conservativa, de primer orden, dado por (5.22):

∞<<∞−Φ=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂

xxoxu

txxuutxa

tu

),(),(

0,,0),,( (5.22)

Del sistema de ecuaciones y de la definición de sistema hiperbólico se concluye que (5.23):

∂

∂==

uuf

utxadtdx )(

),,( (5.23)

Las soluciones a la anterior ecuación son denominadas curvas características, o simplemente características de la ecuación hiperbólica. A lo largo de estas curvas se propaga la solución del sistema (ver gráfica 5.1).

96

Gráfica 5.1. Líneas características. Sobre estas líneas se propaga la solución del sistema.

La ecuación (5.22) se puede escribir a su vez como (5.24):

∞<<∞−−Φ=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂=

xatxoxu

txxu

dtdx

tu

dtdu

),(),(

0,,0 (5.24)

De la anterior ecuación se observa que 0=dtdu

, lo que demuestra que la solución es constante, con

)(),(),( atxoxutxu −Φ== , y se propaga a través de las curvas características. Si ),( txu esta totalmente determinada por la condición inicial, el punto (xo,0) es denominado dominio de la dependencia de ),( txu . A su vez todos los puntos sobre C, la cual es curva característica, se denominan dominio de influencia. Para solucionar la anterior ecuación se requiere que ),( txu sea diferenciable simultáneamente en el dominio de la dependencia y de la influencia. Sin embargo, las condiciones iniciales y de frontera de un problema hiperbólico generalizado pueden fallar en cuanto a su diferenciabilidad en el dominio. Para debilitar la solución, se debe integrar la ecuación de conservación con respecto a x entre dos puntos arbitrarios (dados por las necesidades de solución) con lo cual se obtiene (5.25):

)),(()),((

:obtiene se sidentidade mediante ,0)(

21

2

1

2

1

2

1

txuftxufudxdtd

dxxufdx

tu

x

x

x

x

x

x

−=

=∂

∂+∂∂

∫

∫∫ (5.25)

De igual forma integrando con respecto al tiempo la anterior ecuación, entre dos puntos arbitrarios del tiempo se obtiene (5.26):

∫∫∫∫ −=−2

1

2

1

2

1

2

1

)),(()),((),(),( 2112

t

t

t

t

x

x

x

x

dttxufdttxufdxtxudxtxu (5.26)

Cada solución de la ecuación diferencial parcial es también solución de (5.25) y (5.26) y cada solución de (5.26) es también solución de (5.25), por lo cual se concluye que:

- Si ),( txu es diferenciable y satisface la ecuación diferencial parcial, se denomina solución fuerte

97

- Si ),( txu es no diferenciable y satisface las ecuaciones integrales, se denomina solución débil - Una solución fuerte es también solución débil.

5.4.3.1 Choques y Rarefacciones Los sistemas hiperbólicos pueden presentar a su vez dos características importantes conocidas como: choques y rarefacciones. Una Rarefacción es un lugar geométrico donde no existen características, por lo cual no existe evaluación de la función en dicha región (ver líneas características de rarefacción gráfica 5.2)

Gráfica 5.2. Líneas características para el c aso de la rarefacción. Obsérvese la zona de rarefacción.

Considérese el ejemplo (5.27):

<≥

=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂

0,10,0

),(

0,,0

xx

oxu

txxuu

tu

(5.27)

En las gráficas 5.3 y 5.4 se puede observar el comportamiento de la anterior ecuación:

98

Gráfica 5.3. Comportamiento de la ecuación (5.27)

Graficando la región donde se encuentra la rarefacción (en el plano x-t) mediante líneas de color se obtiene:

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

Eje x (espacial)

Eje

t (te

mpo

ral) Región de rarefacción

Gráfica 5.4. Región de Rarefacciones de la ecuación (líneas características) (5.27)

99

Un choque es una región de intersección de las características de la ecuación, lo que origina problemas de puntos multievaluados en el dominio de la influencia (ver gráfica 5.5 de líneas características con choque)

Gráfica 5.5. Líneas características con choque. Obsérvese la región de choque y su punto inicial (x*, t*)

Considérese por ejemplo (5.28):

<≥

=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂

0,00,1

),(

0,,0

xx

oxu

txxuu

tu

(5.28)

En la gráfica 5.6 y 5.7 se puede observar el comportamiento de la anterior ecuación:

Gráfica 5.6. Comportamiento de la ecuación (5.28).

100

Definiendo ),( txuA como la solución al problema (5.28) basado en las características izquierdas, esto es, utilizando la condición inicial impuesta en 0≤x , y, ),( txuB como la solución al problema () basado en las características derechas, esto es, utilizando la condición inicial impuesta en 0>x , se puede reconocer que existe una región multivaluada sobre la cual se presenta el choque. Para evitar este problema numérico, se halla una función S que permita evaluar unívocamente la función en dicha región Esta línea S tiene como condición:

- u = uA a la izquierda de S y u = uB a la derecha de S. Por tanto, la curva S satisface las condiciones por la izquierda y por la derecha de la solución u(x,t), la cual se denomina Condición de salto de Rankine – Hugoniot.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

Eje x (espacial)

Eje

t (te

mpo

ral)

Gráfica 5.7. Región de choques de la ecuación (líneas características del choque) (5.28).

5.5 Métodos de Solución 5.5.1 Método de las características El método de las características soluciona numéricamente el problema de valor inicial dado por la ecuación (5.22) mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales:

101

),,(

0

utxadtdxdtdu

=

= (5.29)

Donde las funciones desconocidas son x(t) y u(x(t),t). Se aproxima entonces ),,( nnn txu mediante

),,( nnn txu∧∧

sobre la característica C utilizando una secuencia de valores ),,( nnn txu∧∧

con n=0,1,2,3,…

iniciando el procedimiento con )(y 0 , 000 xutxx on Φ===∧∧

.

El paso ),,(),,( 111 +

∧

+

∧

+

∧∧→ nnnnnn txutxu esta dado por el siguiente algoritmo.

INICIO: 1. Se escoge el tamaño del paso tn+1.

2. Se soluciona: nnnnnnn xtttxuax∧

+

∧∧

+

∧+−= ))(,,( 1

0

1

3. Se hace nn uu∧

+

∧=

0

1 ITERACIÓN: Para s=0,1,2,…

4. Se soluciona: nnnns

ns

nnnn

s

n xtttxuatxuax∧

++

∧

+

∧

+

∧∧+

+

∧+−

+= )(),,(),,(

21

1111

1

1 .

5. Se hace n

s

n uu∧+

+

∧=

1

1

Las iteraciones terminan cuando las diferencia 11

1s

ns

n xx ++

+ − sea “suficientemente pequeña” (tal

que la función converja). Este método es flexible debido a que representa “fácilmente” las condiciones de borde y las condiciones iniciales, sin embargo, tiene algunas limitaciones entre las que se cuentan:

- Genera grilla irregular. - No es generalizable a sistemas de ecuaciones hiperbólicas de más de dos ecuaciones. - Es inaplicable a problemas que involucren choques o rarefacciones.

5.5.2 Principales Métodos de Diferencias Finitas 5.5.2.1 Lax – Wendroff El método de Lax – Wendroff aplicado a la ecuación (5.22) se fundamenta en el desarrollo en series de Taylor de ui,n+1 alrededor del punto (i,n), que se usa para indicar los valores en (xi,tn). El desarrollo esta dado por:

[ ]{ } nitttnini udtudtuu ,2

,1, ...)!2/)()( +++=+ (5.30a)

102

Una vez obtenido este desarrollo, se sustituyen las derivadas con respecto al tiempo en el desarrollo en series de Taylor para derivadas espaciales y la serie se trunca después del término de la segunda derivada, con lo cual se obtiene:

[ ]{ } nixxxnini uutxadtutxuadtuu ,22

,1, ...)),,((()!2/)()),,()(( ++−+=+ (5.30b) Finalmente se utilizan las aproximaciones de diferencia central para las derivadas espaciales con las que se obtiene el método de Lax-Wendroff:

dxdtutxapuppuppupu nininini

),,(,)2/)(()2/)(()1( ,12

,12

,2

1, =∴−+++−= +−+ (5.30c)

Donde dt es el paso de tiempo y dx es el paso en el espacio. El esquema de Lax- Wendroff es por tanto de segundo orden tanto en el espacio como en el tiempo, y su condición de estabilidad está dada por:

10 ≤≤ p (5.31) La recta característica de la ecuación a solucionar está dada por:

tutxaxx ),,(0 += (5.32) 5.5.2.1.1 Condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) Se puede argumentar que el dominio de dependencia del método numérico debe contener al dominio de dependencia para la ecuación diferencial parcial. El dominio del método numérico se forma por las rectas de pendientes )/( dxdt± que se cortan en ui,n+1. La pendiente de la recta en la ecuación de la línea característica es (1/a(x,t,u)),. Para que el dominio numérico contenga al dominio analítico, la pendiente (1/a(x,t,u)) debe ser por lo menos tan pronunciada como la pendiente )/( dxdt± ; por lo cual se obtiene la Condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL):

métododxdt

txua≥

),,(1

(5.33)

En el caso de las ecuaciones hiperbólicas de primer orden la condición de estabilidad coincide con la condición CFL. 5.5.2.2 Método de Lax Otros esquemas explícitos para la aproximación de (5.22), usan una diferencia directa. Para ux la aproximación común es:

( ))(2

)( ,1,1, dx

uuu nini

nix−+ −

≈ (5.34)

Lo anterior se combina con cualquiera de las fórmulas para ui . Si por ejemplo se usan las diferencias hacia delante:

( ))(

)( ,1,, dx

uuu nini

nit

−≈ + (5.35)

El esquema resultante es inestable. No obstante, si ui,n se sustituye en la ecuación (5.35) se obtiene: ( )

)(2)( ,1,1

1,, dxuu

uu ninininit

−++

−−≈ (5.36)

Método que es conocido como Método de Lax. Las condiciones de estabilidad y CFL son iguales al método de Lax-Wendroff. 5.5.2.3 Método Upwind El método Upwind que aproxima el problema (5.22), impone una grilla regular con los puntos:

103

,...2,1,0 ,...2,1,0 )),(),((),( =±±=∀= njdtndxjtx nj (5.37) Donde (dt) y (dx) determinan los pasos de tiempo y espacio respectivamente. El método Upwind es unilateral y está definido por (5.38):

( )njnjnjnj ffdxdtuu ,1,,1, −+ −−= (5.38)

Esta ecuación se puede escribir a su vez en términos de la matriz jacobiana como (5.39):

dxdtauuu njnjnjnjnjnjnj ,,,1,,,1, )1( =∴+−= −+ ρρρ (5.39)

El método Upwind debe a su vez cumplir la condición CFL (5.33) al igual que los anteriores métodos de diferencias finitas. La ventaja de ese método frente a los métodos explícitos antes enunciados es su facilidad de manejo y su estabilidad. A continuación, se expone la solución de las ecuaciones de la dinámica de gases (ecuaciones de Euler) utilizando el método Upwind de diferencias finitas. 5.6 Solución de las ecuaciones de Euler de Dinámica de Gases El sistema hiperbólico que gobierna la dinámica del gas al interior del motor cohete dado por la ecuación (5.20b) que llevado a diferencias finitas se convierte en (5.40):

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

−

+−

−++−

−+−

−=

−−+−

−+−

−−=

−−=

−

−−

+

−−−+

−+

njnjnj

nj

njnjnj

nj

nj

njnjnj

nj

nj

nj

njnj

njnj

njnjnjnjnj

njnjnj

nj

njnjnj

njnjnjnj

EEm

mmmEmEm

dxdtEE

EEmmmm

dxdtmm

mmdxdt

,1,,

,

,1,

2

,

,

,

,,1,

3

,

,2

,

,,

,1,

,1,,1,,

,,1,

2

,

,,1,

,1,,1,

2131

)(

132

3

ργ

ργ

ργρρ

ργ

ργ

γρ

γρρρ

γ

ρρ

(5.40)

Donde dt y dx son los pasos de la diferencia finita. Se debe notar que las diferencias finitas requieren condiciones de borde e iniciales adecuadas para la iteración. Se observa que la anterior ecuación esta escrita para el caso unidimensional. 5.6.1 Problema a resolver utilizando las ecuaciones de Euler unidimensionales en diferencias finitas El motor cohete que inicialmente se analiza está dado por la configuración de propelente en forma de tabaco (figura 1), es decir, la superficie de emisión permanece constante. Se debe notar que la configuración inicial al interior de la cámara de combustión y la tobera son las condiciones ambientales. Se aplica el método de Diferencias Finitas y específicamente Diferencias Upwind para elaborar los mapas de comportamiento del flujo de gases tanto en la cámara de combustión como en la tobera.

104

Figura 5.1. Esquema de las condiciones de borde e iniciales para un motor cohete con disposición de propelente en

forma de Tabaco

Inicialmente se analiza la cámara de combustión. 5.6.2 Análisis de la cámara de combustión La cámara de combustión con la disposición del propelente en forma de tabaco tiene como características (observar el diseño preliminar, capítulo 3): - Presión al interior de la cámara de combustión (inicial) Pc = 1 atm - Presión en la superficie de emisión (borde) Pc = 20 atm - Diámetro de la cámara de combustión: D = 2.0 in (50.8 mm). - Longitud de la cámara de combustión (inicialmente fija): L = 4.0 in (100 mm). - Densidad del aire en la condiciones iniciales (1 atm): ρ=1.1117 kg/m3. - Densidad del gas en la condicion de borde (20 atm) ρ=6.04365 kg/m3. - Relación de calores específicos para el gas: γ=1.13815 - Tiempo estimado de duración de combustión: tb = 2 s Se presenta a continuación los datos obtenidos de la simulación del propelente en CPROP: Results Propellant composition Code Name mol Mass (g) Composition 765 POTASSIUM NITRATE 0.6429 65.0000 1N 3O 1K 840 SUCROSE (TABLE SUGAR) 0.1023 35.0000 22H 12C 11O Density : 1.900 g/cm^3 5 different elements N O K H C Total mass: 100.000000 g Enthalpy : -5447.24 kJ/kg 156 possible gazeous species 16 possible condensed species CHAMBER THROAT EXIT Pressure (atm) : 20.000 11.530 1.000 Temperature (K) : 1660.562 1552.727 1143.895 H (kJ/kg) : -5447.236 -5625.883 -6287.140 U (kJ/kg) : -5782.563 -5939.434 -6518.133 G (kJ/kg) : -17381.418 -16785.068 -14508.121 S (kJ/(kg)(K) : 7.187 7.187 7.187 M (g/mol) : 41.174 41.174 41.174 (dLnV/dLnP)t : -1.00000 -1.00000 -1.00000 (dLnV/dLnT)p : 1.00000 1.00000 1.00000 Cp (kJ/(kg)(K)) : 1.66369 1.64940 1.58165

105

Cv (kJ/(kg)(K)) : 1.46176 1.44747 1.37971 Cp/Cv : 1.13815 1.13951 1.14636 Gamma : 1.13815 1.13951 1.14636 Vson (m/s) : 612.31382 597.74070 512.74141 Ae/At : 1.00000 3.91732 A/dotm (m/s/atm) : 45.49676 178.22521 C* (m/s) : 909.93529 909.93529 Cf : 0.65690 1.42436 Ivac (m/s) : 1122.30036 1474.29914 Isp (m/s) : 597.74070 1296.07393 Isp/g (s) : 60.95259 132.16276 Molar fractions CH4 4.1221e-07 4.1221e-07 4.1221e-07 CO 1.9690e-01 1.9690e-01 1.9690e-01 CO2 1.5151e-01 1.5151e-01 1.5151e-01 COOH 1.2096e-08 1.2096e-08 1.2096e-08 H 7.1866e-06 7.1866e-06 7.1866e-06 HCN 3.6989e-07 3.6989e-07 3.6989e-07 HCO 2.8441e-08 2.8441e-08 2.8441e-08 HNC 9.9564e-09 9.9564e-09 9.9564e-09 HNCO 3.0780e-07 3.0780e-07 3.0780e-07 H2 1.1455e-01 1.1455e-01 1.1455e-01 HCHO,formaldehy 2.2030e-07 2.2030e-07 2.2030e-07 HCOOH 5.7949e-07 5.7949e-07 5.7949e-07 H2O 2.8673e-01 2.8673e-01 2.8673e-01 K 1.6751e-03 1.6751e-03 1.6751e-03 KCN 2.7228e-06 2.7228e-06 2.7228e-06 KH 7.3296e-06 7.3296e-06 7.3296e-06 KO 1.0718e-08 1.0718e-08 1.0718e-08 KOH 2.4632e-02 2.4632e-02 2.4632e-02 K2 4.2252e-07 4.2252e-07 4.2252e-07 K2O2H2 1.2402e-03 1.2402e-03 1.2402e-03 NH3 1.2158e-05 1.2158e-05 1.2158e-05 NO 1.4591e-08 1.4591e-08 1.4591e-08 N2 1.1856e-01 1.1856e-01 1.1856e-01 OH 8.3516e-07 8.3516e-07 8.3516e-07 Condensed species K2CO3(L) 1.0417e-01 1.0417e-01 1.0417e-01 Luego, el sistema a simular con las condiciones establecidas en el anterior párrafo es:

Figura 5.2. Problema a resolver por diferencias finitas

106

Las ecuaciones a resolver son entonces:

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

.0265.220

,/

0678.0*

0678.0

,04365.6

:borde de sCondicione a.:a Sujeto

2131

)(

132

3

32,1

3,1

,1,,

,

,1,

2

,

,

,

,,1,

3

,

,2

,

,,

,1,

,1,,1,,

,,1,

2

,

,,1,

,1,,1,

nMPaatmp

nsm

Nsm

kgm

nmkg

EEm

mmmEmEm

dxdtEE

EEmmmm

dxdtmm

mmdxdt

n

n

njnjnj

nj

njnjnj

nj

nj

njnjnj

nj

nj

nj

njnj

njnj

njnjnjnjnj

njnjnj

nj

njnjnj

njnjnjnj

∀==

∀==

∀=

−

+−

−++−

−+−

−=

−−+−

−+−

−−=

−−=

−

−−

+

−−−+

−+

ρ

ργ

ργ

ργρρ

ργ

ργ

γρ

γρρρ

γ

ρρ

b. Condiciones iniciales:

.101325.01

,*

0

,1117.1

21,

31,

jMPaatmp

jsm

kgm

jmkg

j

j

∀==

∀=

∀=ρ

El tiempo de simulación total es de 2 segundos. El número de divisiones en el tiempo son 2000 y 10 en el espacio (cada cm), con lo que se cumple la condición CFL. Se utiliza longitud infinita de cámara de combustión, por lo tanto, no se imponen condiciones de frontera a la descarga. El programa en MATLAB (programa comercial de matemáticas) es entonces: % **************************************************************************** % % ******************************************************** Código creado por: % % ***************************************** Carlos Duque y Diego Garzón********* % **************************************************************************** % clear all; % **************************************************************************** % % Comenzamos la definición de variables a utilizar en la simulación ********** % % **************************************************************************** %

107

L=0.10; T=2; J=10; I=2000; dt=T/I; dx=L/J; g=1.13815; % Valor de la relacion de cal. esp. gamma % condiciones iniciales. Se inicializa la condicion de densidad rho=zeros(I,J); rho(:,:)=1.1117; rho(:,1)=6.04365; % condiciones iniciales. Se inicializa la condicion en el eje X. m = momentum eje X. m=zeros(I,J); m(:,1)=0.6; % condiciones iniciales. Se inicializa la condicion de energía. e = energía flujo. E=zeros(I,J); E(:,1)=2; p=zeros(I,J); p(:,:)=101325; p(:,1)=20*101325; % Se inicia iteraciones. Se efectúa con el método upwind for i=2:I for j=2:J %Iteración para rho rho(i+1,j)=rho(i,j)-(dt/dx)*(m(i,j)-m(i,j-1)); %iteración para el momentum en la dirección x m(i+1,j)=m(i,j)-(dt/dx)*(((g-3)/2)*(m(i,j)/rho(i,j))^2)*(rho(i,j)-rho(i,j-1))-(dt/dx)*(-(g-3)*(m(i,j)/rho(i,j)))*... (m(i,j)-m(i,j-1))-(dt/dx)*(g-1)*(E(i,j)-E(i,j-1)); %Iteración para la energía E(i+1,j)=E(i,j)-(dt/dx)*((-g*(m(i,j)*E(i,j))/((rho(i,j))^2))+(g-1)*(m(i,j)/rho(i,j))^3)*(rho(i,j)-rho(i,j-1))-... (dt/dx)*((g*E(i,j)/rho(i,j))+(3*(1-g)/2)*(m(i,j)/rho(i,j))^2)*(m(i,j)-m(i,j-1))-(dt/dx)*(g*m(i,j)/rho(i,j))*(E(i,j)-E(i,j-1)); v(i,j)=m(i,j)/rho(i,j); p(i,j)=266065*(rho(i,j))^1.13; end end surf(m(:,:)) xlabel('Espacio en (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Momentum kg m/s'); shading interp

108

colormap hsv view(-20,30) colorbar grid on rotate3d on 5.6.2.1 Resultados de la simulación mediante Diferencias Finitas por MATLAB Momentum En las gráficas 5.8 a, b, c y d se observa los resultados del momentum (kg/(m2 s)) en función del tiempo (µs) y el espacio (cm) en la cámara de combustión. A excepción de la frontera (en donde permanece constante e igual a 0.6 kg/(m2 s)), el momentum presenta un aumento de su magnitud en el tiempo desde cero hasta un valor pico, para luego disminuir y estabilizarse. Nótese que el valor de estabilización es igual al valor de la condición de contorno. El tiempo total de estabilización del momentum a lo largo de la cámara de combustión es aproximadamente 0.75 s. Por su parte, el valor pico aumenta a mayor distancia de la condición de frontera, el cual presenta su máxima magnitud en 0.48 s, en el extremo de la cámara, con un valor de 1.3 kg/(m2 s). En la gráfica 5.8 b se observa los gradientes de momentum. En esta gráfica se nota que esta cantidad aumenta hacia la salida de la cámara y se estabiliza en el tiempo.

Gráfica 5.8 a. Momentum en vista tridimensional

109

Gráfica 5.8 b. Contornos del momentum y líneas características

Gráfica 5.8 c. Líneas características de momentum

110

Gráfica 5.8 d. Contornos de momentum en función del tiempo para diferentes posiciones

Distancia a la condición de borde (cm)

Tiempo de estabilización

(s) 0 0 1 0.20 2 0.35 3 0.40 4 0.45 5 0.50 6 0.55 7 0.60 8 0.65 9 0.70 10 0.75

Tabla 5.1. Tiempo de estabilización de momentum En la figura 5.8 b se observa, gracias a la escala de colores, las zonas “isomomentum” que constituyen las líneas características del problema.

111

Velocidad En las gráficas 5.9 a, b, c y d se observan los resultados de la simulación para la velocidad en la cámara de combustión.

Gráfica 5.9 a. Velocidad para la cámara de combustión

En las gráficas se observa que la velocidad al interior de la cámara de combustión aumenta desde cero en el tiempo t=0 hasta su estabilización en t=0.8 s. Nótese además, que las curvas de velocidad en función del tiempo aumentan hasta un valor máximo y se estabilizan en el tiempo. A diferencia de las gráficas de momentum no se presentan picos pronunciados. El valor de estabilización de la velocidad es 0.25 m/s en el extremo de la cámara.

112

Gráfica 5.9 b. Contornos y líneas características de la velocidad

Gráfica 5.9 c. Líneas características de velocidad

113

Gráfica 5.9 d. Contornos de velocidad en función del tiempo para diferentes posiciones.

Densidad En las gráficas 5.10 a, b, c y d se observa el comportamiento de la densidad al interior de la cámara de combustión. La densidad tiene un comportamiento similar al del momentum, presentando valores pico que aumentan a mayor distancia de la condición de contorno, luego disminuye para estabilizarse en un valor de 3 kg/m3 en promedio. Debido a que el contorno de la cámara no esta acotado en la descarga, es decir, es infinito, la densidad al interior de esta no adquiere un valor igual al de la frontera.

114

Gráfica 5.10 a. Densidad para la cámara de combustión

Gráfica 5.10 b. Contornos y líneas características de la densidad

115

Gráfica 5.10 c. Líneas características de densidad

Gráfica 5.10 d. Contornos de densidad en función del tiempo para diferentes posiciones

116

Presión En las gráficas 5.11 a, b, c y d se observa el comportamiento de la presión en el espacio y el tiempo al interior de la cámara de combustión.

Gráfica 5.11 a. Presión al interior de la cámara de combustión

117

Gráfica 5.11 b. Contornos y líneas características de la presión

Gráfica 5.11 c. Líneas características de la presión.

118

Gráfica 5.11 d. Comportamiento de la presión en función del tiempo para diferentes posiciones.

Al igual que la densidad, la presión no alcanza el valor de su condición de borde. Para una presión como condición de contorno de 2.02 MPa en x=0, se observa que la presión disminuye en el espacio y se estabiliza en el tiempo en un valor de 1.0 MPa en 0.8 segundos. Se presentan también un valor pico pronunciado en la descarga de la cámara (el valor máximo es 2.5 MPa). 5.6.3 Conclusiones del Modelamiento mediante diferencias finitas Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del gas compresible al interior de la cámara de combustión son las ecuaciones de flujo de Euler. A diferencia de las ecuaciones de Navier – Stokes, las de Euler no presentan términos viscosos. Para resolver el problema del presente proyecto (la cámara de combustión) se discretiza el continuo espacio tiempo en diferencias finitas. La solución de ecuaciones diferenciales parciales, y más exactamente sistemas, puede ser hallada utilizando diferentes métodos numéricos siendo el método enunciado de fácil interpretación numérica. Como se expuso, existen diferentes métodos de diferencias finitas, entre los que se cuentan el método de las características, el método Upwind, de Lax, Lax – Wendroff, entre otros, que ofrecen diferentes grados de complejidad de interpretación y programación siendo uno de los principales problemas la condición de frontera y condiciones iniciales. Gracias a las ecuaciones de Euler, se puede obtener datos útiles del comportamiento de la velocidad, momentum, densidad y presión en la cámara de combustión, idealizándola como una cámara de longitud infinita (aunque solo se analice un tramo de ella) con condiciones de contorno solo en el extremo inicial (extremo cerrado). Allí, se idealiza el proceso que sigue el flujo en el tiempo y el espacio, teniendo en cuenta que la combustión se da de manera frontal (llamada también tabaco o cigarro) solucionando unidimensionalmente (problema que también es llamado tubo de choque).

119

Se puede concluir que las propiedades (presión, velocidad, momentum y densidad) aumentan su valor en el tiempo hasta llegar a un punto de estabilización. Se nota que estas, muestran en sus curvas en función del tiempo un aumento progresivo, un valor pico, una disminución del valor y su estabilización, valor que es igual al de la condición de borde en el caso del momentum. A diferencia de estas propiedades, la velocidad muestra una estabilización suave en el eje temporal. Todas las líneas características de las propiedades del flujo, abren en forma de abanico en el plano x-t aumentando su pendiente hasta quedar a un ángulo de 90° (partiendo de 0°) y con su origen en t=0, x=0. Hasta este momento no se ha tenido en cuenta fenómenos de turbulencia y más aún, se ha caracterizado la solución en forma unidimensional, lo que hace necesario formular un nuevo proyecto en torno a este problema para su solución mediante diferencias finitas. También, el análisis realizado ha sido para una cámara de longitud infinita, lo que sesga su solución y no acota los valores de las propiedades. Por ello, se ha buscado un método que permita simular el flujo utilizando las condiciones de contorno adecuadas siendo el método de elementos finitos el que se ajusta a este requerimiento. 5.7.1 Simulación Mediante Elementos Finitos 5.7.1.1 Introducción Una alternativa para llevar a cabo la simulación que le compete al presente proyecto es la utilización de programas comerciales de Modelamiento por Elementos Finitos. En la actualidad, comercialmente, se encuentra un sinnúmero de programas que se pueden clasificar en Software de Alto, Medio y Bajo nivel que dependiendo de su versatilidad, rapidez y seguridad son más o menos utilizados en investigaciones de este tipo. Programas comerciales como COSMOS, ANSYS, ABAQUS, PATRAN, NASTRAN, ALGOR entre otros poseen módulos específicos para el análisis computacional de fluidos (CFD) que solucionan problemas “relativamente sencillos”. La herramienta que se utiliza en el presente proyecto es ANSYS 5.7 cuyo modulo para CFD es denominado FLOTRAN, el cual tiene la posibilidad de resolver problemas de dinámica de fluidos compresibles e incompresibles en regimenes turbulento o laminares para condiciones estables o transientes. Se resuelve el sistema Motor – Cohete utilizando esta técnica numérica, para lo cual se explica el procedimiento y sus resultados. 5.7.1.2 Elementos para la simulación Brevemente, el método de elementos finitos es una herramienta numérica para la solución de problemas de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de borde adecuadas. Se utiliza este método en la solución de problemas de elasticidad, transferencia de calor, mecánica de fluidos, vibraciones etc. El método consiste en la discretización del medio continuo en elementos finitos para lineal izar las ecuaciones diferenciales a un sistema matricial. Como se ha mencionado, la solución numérica por elementos finitos es una herramienta “sencilla” en su utilización, solución y visualización de resultados. Para llevar a cabo la simulación se dibuja inicialmente la geometría que contiene físicamente el fluido de trabajo, se enmalla con el elemento apropiado (es decir, se crean los elementos finitos), se aplican las cargas y se soluciona numéricamente, proceso que lleva a cabo el programa. Se explica entonces el proceso para modelar bajo este método. 5.7.1.3 Consideraciones y generalidades

120

Inicialmente se construye la geometría utilizando el PREPROCESADOR. Este preprocesador esta constituido por una interfaz gráfica mediante la cual se introduce la geometría de forma similar a un programa CAD (por ejemplo, AUTOCAD o SOLID EDGE). Para simplificar el modelo se deben realizar consideraciones por economía computacional, lo cual se ve reflejado en disminución de tiempo de solución y en memoria disponible. Utilizando el concepto de economía computacional se llega a las siguientes consideraciones:

1. El problema se puede modelar en forma bidimensional gracias a la simetría con respecto al eje del motor – cohete.

2. Se modela como estado estable, esto es, considerando que el tiempo de estabilización y de agotamiento de combustible es “pequeño” en comparación con el tiempo de estado de funcionamiento estable.

3. Se utiliza zona de descarga del fluido para asegurar que las condiciones ambientales no están afectadas a una distancia convenientemente lejana de la ubicación de la salida del flujo de gases del cohete. Esta consideración asegura que el modelo no es forzado numéricamente con cargas irreales.

Una vez se obtiene el modelo geométrico se debe llevar a cabo el proceso de enmallado (en el Preprocesador) el cual crea los elementos a utilizar en el análisis previa escogencia del tipo de elemento. Una vez se enmalla, se selecciona el tipo de fluido a analizar. Enmallado el modelo, se procede a colocar las cargas de velocidades, temperatura, energía cinética, presión etc., como condiciones de borde. Se soluciona utilizando un “solver” específico en este caso FLOTRAN (que es un módulo de ANSYS), el cual soluciona las ecuaciones de Navier Stokes para el caso incompresible y Euler para el caso compresible. Respecto al modelo de turbulencia el FLOTRAN utiliza el modelo κ-ε. Una vez solucionado el modelo bajo las condiciones de carga impuestas, se requiere observar los resultados del Modelamiento utilizando el POSTPROCESADOR, el cual es una herramienta incluida en este software y que permite listar y plotear los resultados de velocidades, temperaturas, presiones etc. A continuación se describe brevemente el procedimiento que se sigue para la solución del modelo. 5.7.2 Construcción del modelo 5.7.2.1 Geometría Bajo las consideraciones antes listadas, se llega a obtener el siguiente modelo geométrico en ANSYS:

121

Figura 5.3. Modelo geométrico del problema del motor cohete.

Como se puede observar, el modelo geométrico tiene una zona de descarga que asegura que las condiciones en su borde mantienen las condiciones ambientales. Nótese además, que el modelo es bidimensional gracias a la primera consideración. La geometría corresponde al fluido de trabajo y se encuentra limitado en el cohete físicamente por las paredes metálicas de la cámara de combustión y de la tobera, y por las condiciones ambientales, en la zona de descarga. 5.7.2.2 Enmallado Una vez realizada la geometría se selecciona el tipo de elemento finito a utilizar. En el caso de dinámica de fluidos se tiene la opción de escoger los elementos FLUID 141 (para problemas bidimensionales) y FLUID 142 (para problemas tridimensionales) que solucionan las ecuaciones de Navier Stokes, para problemas incompresibles, y Euler, para problemas compresibles. A continuación se observa el enmallado utilizando FLUID 141:

Figura 5.4. Detalle del enmallado

122

El detalle del enmallado antes expuesto permite observar que el elemento utilizado tiene cuatro nodos. Gracias al enmallado se obtienen 150500 elementos, 151561 nodos y 89311 restricciones o cargas impuestas al modelo. 5.7.2.3 Condiciones de carga Se imponen entonces las condiciones de carga al modelo, es decir, se adicionan las restricciones de borde que reflejen el entorno real de trabajo. Es necesario anotar que se realizarán dos modelos a saber:

1. Modelo de cámara de combustión con core (o geometría interna) 2. Modelo de cámara de combustión con superficie de emisión frontal (llamada también de

cigarro o tabaco). 1. Modelo de cámara de combustión con core:

Para el primer modelo se tienen las siguientes restricciones: - Sobre las líneas horizontales de la cámara de combustión del cohete se imponen condiciones de

presión de diseño (en este caso 20 atm = 2.02 MPa) y temperatura de llama adiabática (1660 K). Estas condiciones se aplican teniendo en cuenta que sobre estas líneas se encuentra la superficie de emisión que gracias a la combustión eleva la presión y temperatura de los gases a analizar (en este caso los gases de combustión).

- Sobre las líneas de contorno del cohete se aplica velocidad cero en todas las direcciones, esto se debe a que estas fronteras físicas del fluido se encuentran en contacto directo con elementos que se encuentran a velocidad cero por lo cual y admitiendo el principio de viscosidad de Newton obtendrán la misma velocidad, es decir, v=0.

- Sobre las líneas de contorno de la zona de descarga se aplican las condiciones ambientales, es decir, presión atmosférica relativa (en éste caso 0 atm) y temperatura ambiente atmosférica (293 K).

Con los anteriores datos se obtiene el siguiente modelo:

Figura 5.5. Condiciones de frontera para la simulación tipo core. 2. Modelo de cámara de combustión con superficie de emisión frontal:

Para el segundo modelo se tienen las siguientes restricciones:

123

- Sobre las línea vertical del fondo de la cámara de combustión se imponen condiciones de presión de diseño (en este caso 20 atm = 2.02 MPa) y temperatura de llama adiabática (1660 K). Estas condiciones se aplican teniendo en cuenta que sobre esta línea se encuentra la superficie de emisión (frontal o tabaco) que gracias a la combustión eleva la presión y temperatura de los gases a analizar (en este caso los gases de combustión).

- Sobre las líneas de contorno del cohete se aplica velocidad cero en todas las direcciones, esto se debe a que estas fronteras físicas del fluido se encuentran en contacto directo con elementos que se encuentran a velocidad cero por lo cual y admitiendo el principio de viscosidad de Newton obtendrán la misma velocidad, es decir, v=0.

- Sobre las líneas de contorno de la zona de descarga se aplican las condiciones ambientales, es decir, presión atmosférica relativa (en éste caso 0 atm) y temperatura ambiente atmosférica (293 K).

Con los anteriores datos se obtiene el siguiente modelo:

Figura 5.6. Condiciones de contorno para la simulación de superficie de emisión frontal

5.7.2.4 Condiciones de solución del modelo Como se mencionó en párrafos anteriores, una vez obtenidas las condiciones de contorno se procede a determinar el tipo de modelo a resolver. En este caso, el flujo es compresible (por ser gases de combustión acelerados a través de la tobera) y turbulento. Cabe anotar, de nuevo, que las ecuaciones a resolver son las de Euler, ecuaciones de turbulencia, ecuaciones de estado para el gas a utilizar y la ecuación de transferencia de calor. Se utiliza entonces como fluido de trabajo aire en sistema internacional (AIR SI) permitiendo variaciones de densidad, viscosidad, conductividad y calor específico en el modelo.

124

Figura 5.7 Interfaz de opciones de solución de modelos de fluidos en FLOTRAN

La solución a las ecuaciones de Euler presenta serios problemas de convergencia porque la respuesta física real a cualquier flujo contiene términos de amortiguación (o disipación) que son función de la viscosidad. Como se observa en la ecuación 5.20 las ecuaciones de Euler no contienen estos términos, por lo cual se debe “ayudar” al programa para que converja, esto es, se debe introducir el término de viscosidad artificial que debe ser reducido entre cada iteración del modelo como un término de relajación del problema numérico. Más aún, para que el problema se estabilice se debe aumentar el número de iteraciones (por defecto el programa coloca 10 iteraciones) para que entre cada una de los análisis se pueda llegar a un punto de estabilidad.

CORRIDA VISCOSIDAD ARTIFICIAL

NUMERO DE ITERACIONES

1 1000 200 2 100 500 3 10 500 4 5 500 5 3 500 6 2 500 7 1 500 8 0.8 200 9 0.6 200 10 0.4 200 11 0.2 200 12 0.1 100 13 0.08 200 14 0.07 200 15 0.06 200 16 0.055 200

TOTAL ---- 4900 Tabla 5.2 Iteraciones y viscosidad artificial para la solución del modelo

125

Cabe anotar que la viscosidad no se redujo hasta cero debido a los problemas de convergencia del programa, específicamente con respecto a la temperatura, la cual, para un valor menor de 0.055 de viscosidad artificial, produce valores negativos de temperatura absoluta. Hecho esto, se visualizan los resultados en el postprocesador, en donde se observan los valores para estado estable:

1. Velocidad del flujo en la dirección x. 2. Velocidad absoluta del flujo 3. Presión 4. Densidad 5. Energía disipativa turbulenta 6. Número de Mach

Se analiza estos valores en cada uno de los casos simulados: 5.7.3 Solución por elementos finitos del conjunto cámara – Tobera – zona de descarga

1. Modelo de cámara de combustión con core: Como se ha mencionado, el modelo de la cámara de combustión con core difiere de la cámara con superficie de emisión frontal básicamente en las condiciones de frontera que se establecen en la misma. A continuación se enseñan los resultados para el caso de cámara (propelente) con core. - Velocidad Las figuras 5.8 a y b muestran la velocidad absoluta del flujo de gases del cohete en unidades de m/s. La velocidad se incrementa en la tobera desde cero (en la descarga de la cámara de combustión) a valores que oscilan entre 575 y 740 m/s. En la cámara de combustión, en estado estable, se mantiene una velocidad aproximadamente igual a cero, lo cual se considera una propiedad del estancamiento. .

126

Figura 5.8a. Resultado de la velocidad en el cohete mediante ANSYS

Figura 5.8b. Resultado de la velocidad en el cohete mediante ANSYS

127

- Presión En la figura 5.9 se presenta la distribución de presión al interior del cohete en unidades de Pascales (Pa). Nótese que la presión disminuye a lo largo del recorrido del flujo cayendo bruscamente en la zona crítica de la tobera. La presión al interior de la cámara de combustión se mantiene constante e igual a la presión de diseño del cohete, es decir, 2.0265 MPa. Este resultado demuestra que con la configuración del propelente con geometría interna (core) se llega a la condición de estado constante y de diseño, que asegura el empuje para el cual ha sido configurado, en este caso 21 Kgf. En la parte superior del modelo de la cámara de combustión se presenta un máximo que no es simétrico y que muestra una posible inestabilidad numérica en este punto de la geometría.

Figura 5.9. Solución para la presión

- Densidad La densidad en la cámara de combustión es constante, disminuyendo en la tobera gracias a la expansión. Se presenta también un punto de inestabilidad numérica en la parte superior y derecha de la cámara de combustión. - Otras gráficas Se muestra la gráfica de energía turbulenta, la cual deja ver, en la zona de descarga, aquellas regiones donde existe un elevado flujo cortante y vorticidad. En la cámara de combustión no se presenta turbulencia debido a que la velocidad es la de estancamiento. También se presenta la gráfica de distribución del número de Mach. En la cámara de combustión el número de Mach tiene valor cero debido a su velocidad.

128

Figura 5.10. Solución para la densidad

Figura 5.11. Solución para la energía turbulenta

129

Figura 5.12. Solución para el número de Mach

5.7.3.1 Estado transitorio para la configuración de cámara de combustión (propelente) con geometría interna - Velocidad A continuación se muestra la secuencia fotográfica del estado transitorio del comportamiento de la velocidad al interior de la cámara de combustión, esto es, se observa la variación de velocidad en el tiempo (cada t=0.05 segundos) durante el “encendido” y estabilización del funcionamiento del cohete. El tiempo total de simulación es 0.5 s. Obsérvese que la mayor variación de velocidad se da en la tobera. Por su parte, la cámara de combustión presenta una velocidad constante e igual a cero.

130

Figura 5.13. Secuencia de estabilización de la velocidad

- Presión Se muestra a continuación la secuencia de fotos para el estado transiente de presiones:

132

Figura 5.14. Secuencia de estabilización para la densidad

La magnitud de la presión aumenta en el tiempo pero no se presentan gradientes de presión en el espacio al interior de la cámara de combustión. En la tobera se presenta una caída de presión que expande el fluido. - Densidades La siguiente secuencia fotográfica muestra el régimen transiente para la densidad.

133

Figura 5.15. Secuencia de estabilización para la densidad

Nótese que el aumento de la densidad se da en los puntos de mayor presión, iniciando su variación en la zona de cambio de sección en el motor cohete. En los dos últimos cuadros de la secuencia se observa la estabilización abrupta (en 0.05 segundos) de la densidad en la cámara de combustión. 5.7.3.2 Modelo de cámara de combustión con superficie de emisión frontal Las siguientes gráficas muestran la solución al modelo con combustión frontal (de cigarrillo o tabaco). -Velocidades Se nota que las velocidades de descarga para este modelo de superficie de emisión frontal son menores que las velocidades para el modelo de geometría interna, lo que incurrirá en un menor empuje (ver figuras 5.16a y b). A diferencia del modelo con core, el modelo de quemado frontal presenta un gradiente de velocidades en la cámara de combustión. Además, la velocidad del flujo en el interior de la cámara es comparable con la velocidad que se presenta en la tobera.

134

La máxima velocidad se presenta en el interior de la cámara (745 m/s) y no en la descarga (500 m/s), lo que indica que no se puede suponer condiciones de estancamiento (velocidad cero). La dirección del gradiente de velocidad en la cámara esta dirigida hacia el fondo de la misma y no hacia la descarga.

Figura 5.16a. Solución de velocidades para superficie de emisión frontal.

Figura 5.16b. Solución de velocidad es de emisión frontal (detalle)

135

Presión

Figura 5.17. Solución de presión para la superficie de emisión frontal

La cámara de combustión presenta un gradiente de presión dirigido hacia la tobera. La zona de máxima presión (cuyo valor es igual a la presión de diseño 2.02 Mpa) utilizará energía para descargar el fluido y para moverlo adentro de la cámara, por ello, se observan altas velocidades al interior de la misma. Densidad Como se muestra en la figura 5.18, la densidad presenta una variación considerable al interior de la cámara de combustión, mostrando un gradiente dirigido hacia la descarga, para luego disminuir a lo largo de la tobera. Además, se presenta una variación considerable en sentido radial, siendo más denso el fluido hacia las paredes de la cámara de combustión. Este gradiente de densidad se explica como la existencia de puntos de estancamiento donde se da un acumulamiento de masa.

136

Figura 5.18. Solución de densidad para la superficie de emisión frontal.

- Otras gráficas Se muestra la gráfica de energía turbulenta, la cual deja ver, en la zona de descarga, aquellas regiones donde se presenta una tasa de flujo cortante considerable y vorticidad. En la cámara de combustión no se presenta turbulencia debido a que la velocidad es la de estancamiento. También se presenta la gráfica de distribución del número de Mach. En la cámara de combustión el número de Mach tiene valor cero debido a su velocidad. Este valor, en la descarga, es menor, que en el caso de superficie de emisión con geometría interna.

Figura 5.19. Energía turbulenta para superficie de emisión frontal

137

Figura 5.20. Número de Mach para la superficie de emisión frontal.

5.7.3.3 Estado transitorio para la configuración de cámara de combustión (propelente) con superficie de emisión frontal A continuación se muestra la secuencia fotográfica del estado transitorio del comportamiento de la velocidad al interior de la cámara de combustión, esto es, se observa la variación de velocidad en el tiempo (cada t=0.05 segundos) durante el “encendido” y estabilización del funcionamiento del cohete. El tiempo total de simulación es 0.5 s Nótese que la variación de velocidad es máxima en el fondo de la cámara de combustión, aumentado temporalmente hacia el resto del conjunto motor cohete.

138

Figura 5.21 Secuencia de estabilización para la velocidad para una superficie de emisión frontal.

Secuencia de estabilización para la Presión La máxima presión se da inicialmente en la zona de descarga de la cámara y va aumentando hacia el interior de la misma.

140

Figura 5.22. Secuencia de estabilización para la presión para superficie de emisión frontal

Secuencia de estabilización para la Densidad

141

Figura 5.23. Secuencia de estabilización para la densidad en la superficie de emisión frontal.

Como se anotó en párrafos anteriores, la densidad aumenta inicialmente en la pared de la cámara de combustión en su zona de descarga, variando en dirección radial hacia el interior y hacia el fondo de la misma. 5.7.3.4 Conclusiones del Modelamiento por elementos finitos El Modelamiento por elementos finitos es un proceso simple comparado con las diferencias finitas. Esto es, existen un número considerable de programas que solucionan problemas como el planteado en este trabajo, utilizando rutinas existentes y eficientes como por ejemplo las de ANSYS, para las cuales se debe considerar una geometría adecuada, el tipo de elemento a usar, las condiciones de borde y el modulo requerido. A diferencia de este proceso, las diferencias finitas requieren experiencia de programación y conocimiento matemático del método lo que hace dispendioso y demorado la solución del problema. Existen claras diferencias numéricas y de comportamiento, entre la solución al problema utilizando elementos finitos y mediante diferencias finitas debido a las suposiciones y condiciones de solución. Por ejemplo, el modelo solucionado con diferencias finitas supone una cámara de combustión de longitud infinita con restricciones únicamente en la superficie de emisión (en este caso frontal); además, el modelo se soluciona unidimensionalmente. Los dos métodos predicen un comportamiento similar de la presión y la densidad. Esto es, predice un gradiente hacia la descarga de la tobera que aumenta en el tiempo. Sin embargo, la solución por elementos finitos no muestra valores pico de estas cantidades, como si se observa en el otro método. A diferencia de lo anterior, la velocidad presenta un comportamiento similar, pero numéricamente el método de elementos finitos presenta valores con dos órdenes de magnitud de diferencia. Por otro lado, se puede concluir que la configuración geométrica del propelente (en este caso de la cámara de combustión) afecta sensiblemente el comportamiento del motor cohete. La velocidad de descarga que se presenta en el modelo con superficie de emisión frontal es menor en 100 m/s a la que

142

se presenta en la geometría con core. Esto explica que el empuje de los cohetes con esta configuración sea menor. El mapa de presiones y densidades muestra además, que las condiciones al interior de la cámara de combustión son diferentes. En el cohete con superficie de emisión frontal se observa gradientes que son sensibles a pequeñas variaciones de las propiedades lo que origina inestabilidad en el funcionamiento del cohete y principalmente una perdida de energía por el movimiento del flujo al interior de la cámara de combustión. A diferencia de la configuración frontal, la geometría interna (core) presenta una mayor presión con valor constante y velocidad cero en la cámara, utilizando toda la energía en forma de presión para descargar el fluido a través de la tobera; esto demuestra entonces que el funcionamiento del motor cohete con geometría interna es cualitativamente mejor que aquellos con superficie de emisión frontal. Lo anterior es comparable con lo obtenido en la experimentación, en donde se observa cuantitativamente que los cohetes con core presentan mayores empujes que los tipo cigarro. Para cerrar las comparaciones es necesario realizar simulaciones en las cuales se pueda incluir el tabique que sobrepresiona los gases. Sin embargo, por la premura del tiempo no se logró desarrollar esta simulación. Se recomienda llevar a cabo simulaciones transientes en donde las superficies de emisión se muevan emulando la combustión del grano. 5.8 Conclusiones Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del gas compresible al interior de la cámara de combustión son las ecuaciones de flujo de Euler. A diferencia de las ecuaciones de Navier – Stokes, las de Euler no presentan términos viscosos. Para resolver el problema del presente proyecto (la cámara de combustión) se discretiza el continuo espacio tiempo en diferencias finitas. La solución de ecuaciones diferenciales parciales, y más exactamente sistemas, puede ser hallada utilizando diferentes métodos numéricos siendo el método enunciado de fácil interpretación numérica. Como se expuso, existen diferentes métodos de diferencias finitas, entre los que se cuentan el método de las características, el método Upwind, de Lax, Lax – Wendroff, entre otros, que ofrecen diferentes grados de complejidad de interpretación y programación siendo uno de los principales problemas la condición de frontera y condiciones iniciales. Gracias a las ecuaciones de Euler, se puede obtener datos útiles del comportamiento de la velocidad, momentum, densidad y presión en la cámara de combustión, idealizándola como una cámara de longitud infinita (aunque solo se analice un tramo de ella) con condiciones de contorno solo en el extremo inicial (extremo cerrado). Allí, se idealiza el proceso que sigue el flujo en el tiempo y el espacio, teniendo en cuenta que la combustión se da de manera frontal (llamada también tabaco o cigarro) solucionando unidimensionalmente (problema que también es llamado tubo de choque). Se puede concluir que las propiedades (presión, velocidad, momentum y densidad) aumentan su valor en el tiempo hasta llegar a un punto de estabilización. Se nota que estas, muestran en sus curvas en función del tiempo un aumento progresivo, un valor pico, una disminución del valor y su estabilización, valor que es igual al de la condición de borde en el caso del momentum. A diferencia de estas propiedades, la velocidad muestra una estabilización suave en el eje temporal. Todas las líneas características de las propiedades del flujo, abren en forma de abanico en el plano x-t aumentando su pendiente hasta quedar a un ángulo de 90° (partiendo de 0°) y con su origen en t=0, x=0. Hasta este momento no se ha tenido en cuenta fenómenos de turbulencia y más aún, se ha caracterizado la solución en forma unidimensional, lo que hace necesario formular un nuevo proyecto en torno a este problema para su solución mediante diferencias finitas.

143

También, el análisis realizado ha sido para una cámara de longitud infinita, lo que sesga su solución y no acota los valores de las propiedades. Por ello, se ha buscado un método que permita simular el flujo utilizando las condiciones de contorno adecuadas siendo el método de elementos finitos el que se ajusta a este requerimiento. Por su parte, el Modelamiento por elementos finitos es un proceso simple comparado con las diferencias finitas. Esto es, existen un número considerable de programas que solucionan problemas como el planteado en este trabajo, utilizando rutinas existentes y eficientes como por ejemplo las de ANSYS, para las cuales se debe considerar una geometría adecuada, el tipo de elemento a usar, las condiciones de borde y el modulo requerido. A diferencia de este proceso, las diferencias finitas requieren experiencia de programación y conocimiento matemático del método lo que hace dispendioso y demorado la solución del problema. Existen claras diferencias numéricas y de comportamiento, entre la solución al problema utilizando elementos finitos y mediante diferencias finitas debido a las suposiciones y condiciones de solución. Por ejemplo, el modelo solucionado con diferencias finitas supone una cámara de combustión de longitud infinita con restricciones únicamente en la superficie de emisión (en este caso frontal); además, el modelo se soluciona unidimensionalmente. Los dos métodos predicen un comportamiento similar de la presión y la densidad. Esto es, predice un gradiente hacia la descarga de la tobera que aumenta en el tiempo. Sin embargo, la solución por elementos finitos no muestra valores pico de estas cantidades, como si se observa en el otro método. A diferencia de lo anterior, la velocidad presenta un comportamiento similar, pero numéricamente el método de elementos finitos presenta valores con dos órdenes de magnitud de diferencia. Por otro lado, se puede concluir que la configuración geométrica del propelente (en este caso de la cámara de combustión) afecta sensiblemente el comportamiento del motor cohete. La velocidad de descarga que se presenta en el modelo con superficie de emisión frontal es menor en 100 m/s a la que se presenta en la geometría con core. Esto explica que el empuje de los cohetes con esta configuración sea menor. El mapa de presiones y densidades muestra además, que las condiciones al interior de la cámara de combustión son diferentes. En el cohete con superficie de emisión frontal se observa gradientes que son sensibles a pequeñas variaciones de las propiedades lo que origina inestabilidad en el funcionamiento del cohete y principalmente una perdida de energía por el movimiento del flujo al interior de la cámara de combustión. A diferencia de la configuración frontal, la geometría interna (core) presenta una mayor presión con valor constante y velocidad cero en la cámara, utilizando toda la energía en forma de presión para descargar el fluido a través de la tobera; esto demuestra entonces que el funcionamiento del motor cohete con geometría interna es cualitativamente mejor que aquellos con superficie de emisión frontal. Lo anterior es comparable con lo obtenido en la experimentación, en donde se observa cuantitativamente que los cohetes con core en su grano presentan mayores empujes que los tipo cigarro. Para cerrar las comparaciones es necesario realizar simulaciones en las cuales se pueda incluir el tabique que sobrepresiona los gases. Sin embargo, por la premura del tiempo no se logró desarrollar esta simulación. Se recomienda llevar a cabo simulaciones transientes en donde las superficies de emisión se muevan emulando la combustión del grano.

144

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Las mayores temperaturas se obtienen gracias a aquellas mezclas que tienen como oxidante nitrato de potasio. El aluminio eleva la temperatura a medida que se agrega a la mezcla gracias a su efecto catalítico. El polietilenglicol reduce (aunque no sensiblemente) la temperatura de la cámara de combustión. Se observa gracias a los datos que arroja el programa de simulación de combustión, que existen puntos singulares donde la mezcla de los productos de los gases de combustión no se encuentran en equilibrio, entregando datos no útiles e imposibles de lograr en experimentación. Estos puntos de singularidad se originan por ecuaciones de especies y de energía que tienen múltiples soluciones.

Aunque se tienen los datos teóricos gracias a la simulación en CPROP de la mezcla, es indispensable realizar experimentación para observar aquellas mezclas que pueden ser fácilmente ignitadas y cuyo comportamiento físico-químico (por ejemplo escoria creada, carbones y lodos) sea el óptimo. Hay que notar que la temperatura antes hallada corresponde a la temperatura de la cámara de combustión y es obtenida teóricamente, como aquella temperatura en la cual la entalpía de los reactivos es igual a la temperatura de los productos. Por ser una temperatura teórica no se obtiene experimentalmente debido a las pérdidas de calor a través de la pared de la cámara de combustión, en los gases de combustión, etc. A su vez, las mezclas que contienen azúcar elevan la temperatura ostensiblemente en comparación con el polietilenglicol cuando son utilizados como oxidantes.

Es importante notar que los valores obtenidos en la simulación de las densidades de los granos difieren de los valores experimentales debido a la manufactura (Compactación) de la mezcla, obteniéndose valores un poco menores en la práctica. Aquellas mezclas que contienen aluminio (ρ=2.70 g/cm³) y nitrato de potasio (ρ=2.123 g/cm³) son más densas que aquellas que contienen polietilenglicol (ρ=1.204 g/cm³) y nitrato de amonio (ρ=1.724 g/cm³). Por tanto, es conveniente utilizar aquellas mezclas que pueden transportar mayor cantidad de masa en un menor volumen aumentando la eficiencia de transporte. Se observa que los mayores impulsos específicos se logran con aquellas mezclas con nitrato de amonio, aluminio y azúcar. El mayor valor de impulso se tiene para la mezcla de 60% de nitrato de amonio, 30% de aluminio y 10% de azúcar siendo este valor 221.9 segundos. Hay que notar sin embargo que las mezclas con nitrato de amonio tienen problemas experimentales como su alta energía de ignición y sus altos costos en comparación con el nitrato de potasio. Se debe entonces seleccionar aquel propelente que tiene el mayor impulso específico, pero también se debe considerar sus costos.

Los principales factores para la selección son entonces el mayor impulso específico y los más bajos precios. Para ello se creo un índice de costo relativo al impulso específico. Este índice, es calculado a partir de los precios en el mercado colombiano para componentes de pureza superior al 98% (año 2002). Por su parte el impulso específico es calculado mediante el programa CPROP que indica además de este parámetro, el equilibrio de los gases de combustión, la temperatura de llama adiabática, peso molecular de los gases de combustión y relación de calores específicos de los mismos. Una vez analizados todos los costos y teniendo en cuenta que se escogerá aquella mezcla cuyo índice sea menor (debido a que son costos sobre impulso específico) se halla que la mezcla que cumple con este parámetro relativo, es decir, menor costo en relación al impulso específico es la mezcla nitrato de potasio y sacarosa. Como conclusión, se puede comentar, que aunque los mayores impulsos específicos estén dados por aquellas mezclas que contienen nitrato de amonio y aluminio, sus costos relativos al impulso específico son del orden de 100 veces mayor que una mezcla de nitrato de potasio y sacarosa. Observando también las gráficas de impulso específico se concluye que la mezcla con el menor índice de costo relativo es la de nitrato de potasio y sacarosa y el mayor empuje que proporciona esta mezcla está dado para el 65% de nitrato de potasio y 35% de sacarosa (porcentaje en masa.). Entonces el combustible seleccionado es 65% nitrato de potasio y 35% de sacarosa.

145

Se reconoce que los cohetes pueden ser fabricados en diversidad de materiales. Los más usados son aquellos cuya resistencia a las altas temperaturas sea la característica fundamental. El acero y aleaciones no ferrosas son bastante utilizados por su resistencia a solicitaciones mecánicas y térmicas. Las aleaciones de titanio y aluminio tienen características de resistencia notables con un valor de la densidad del orden de la mitad del acero, pero su costo es elevado. Para un cohete experimental es conveniente entonces manufacturar el dispositivo a bajos costos, siendo el acero un material “barato”, de fácil maquinado y con resistencia y punto de fusión altos para el tiempo de funcionamiento (esto es 1660K de llama adiabática). A partir de los datos de presión y temperatura se lleva a cabo el diseño de la cámara de combustión teniendo en cuenta que su uso es netamente experimental y que no esta condicionado a una misión específica, por lo cual no es importante las condiciones aerodinámicas. Utilizando la teoría de pared delgada se dimensiona la cámara utilizando como dato de carga la presión. La manufactura del conjunto motor – cohete es llevada a cabo en tornos convencionales, lo que permite su fácil repetición a bajos costos. Hay que notar en el procedimiento de diseño del propelente, que la rata de combustión es función de la presión, para lo cual altos valores generan ratas altas de quemado. Sin embargo, una relación inversa no es cierta, esto es, dependiendo de las condiciones de la tobera se puede conseguir una presión determinada para una tasa de quemado específica. Por ejemplo, a menor área crítica mayor presión y mayor tasa de quemado. En conclusión la presión, área crítica y tasa de generación de gases están íntimamente ligadas en las condiciones de operación del motor cohete, luego el conocimiento de cada uno de estos valores se hace imprescindible para un correcto diseño. Un punto importante a resaltar es la importancia de la superficie de emisión. A mayor superficie de emisión se genera una mayor cantidad de gases de combustión lo que resulta en masa exhaustada y empuje. Un diseño adecuado debe balancear el área de emisión y el tiempo de operación. Las superficies de emisión cilíndricas son las que ofrecen las mejores características de funcionamiento por su nivel de empuje y su condición de estabilidad en la curva empuje – tiempo. A diferencia de esta configuración, la superficie de emisión frontal tiene menor área, mayor tiempo de funcionamiento pero menor empuje. De las ecuaciones de diseño se observa que para las configuraciones cilíndricas internas la longitud del propulsor es proporcional al empuje (lo que se debe a la mayor cantidad de área de exposición) y el radio del propulsor es proporcional al tiempo de funcionamiento (debido a que el frente de combustión se mueve perpendicular al eje axial del cohete). Sin embargo, se debe balancear la longitud al diámetro del propulsor para determinar la estabilización y el nivel de funcionamiento de diseño, esto es valores de L/D mayores de 15 logra altas presiones con peligro de explosión y valores de L/D menores a 2 genera presiones bajas sin efecto de empuje. Se recomienda entonces tener en cuenta L/D entre 2 y 10, o en su defecto usar el concepto de longitud característica.


La anterior explicación es correcta en términos generales, sin embargo, existe un factor importante que influye en la magnitud de la presión y no posee una explicación sencilla, esto es, el concepto de flujo chocado. Este concepto provee un importante significado para el cálculo de la cámara de presión y es válido para la operación transiente y estable del funcionamiento de un motor cohete. Como se observa, la curva de presión del motor cohete exhibe un comportamiento transiente y estable. La fase transiente se da cuando la presión varia sustancialmente con el tiempo, esto es, durante la ignición

146

(fase star-up) la cual es seguida por un comportamiento aproximadamente estable, donde el grano se consume establemente para luego caer hasta presión ambiente en la fase de corte (tail off). La variación de la presión en la cámara se debe fundamentalmente a los cambios de la geometría del grano (superficie de emisión) con fluctuaciones asociadas a la rata de quemado. Otros factores pueden jugar un papel importante en la medición de la presión como son la erosión de la garganta de la tobera y quemado erosivo del propelente. Es importante anotar que los productos de los gases de combustión consisten en general de especies condensadas y gaseosas. La fase condensada se manifiesta en forma de humo y vapores los cuales poseen partículas líquidas o sólidas. Sin embargo, únicamente los productos gaseosos contribuyen al desarrollo de la presión del motor cohete, lo cual se debe a su masa y velocidad A partir de los experimentos, se concluye que el área de quemado es un parámetro importante que influye en el empuje del motor cohete. En el caso del propelente con superficie de emisión frontal no existe un empuje medible por los instrumentos utilizados, por lo cual, se afirma que un empuje para aplicaciones prácticas es logrado únicamente en aquellos propelentes donde existe un área de emisión apreciable, por ejemplo, la geometría interna cilíndrica. La utilización de membrana presurizadora no afecta los valores de tiempo y empuje medidos en el cohete. Esto es, estadísticamente no se halló evidencia para este efecto (utilizando ANOVA con prueba F), sin embargo, un análisis estadístico simple basado en los promedios de los datos “sugiere” que la membrana reduce el tiempo de ignición (subida), aumenta el tiempo de estado estable y genera menores empujes. Aunque se ha concluido que no existen efectos significativos (con α=0.05) de la utilización de membrana, la sugerencia de los promedios encontrados indica que se debe realizar nuevos experimentos para corroborar que el efecto del tabique es nulo. Un punto importante a resaltar es el tamaño del cohete experimental, con el cual eventualmente el tabique no ejerce efecto por el volumen de presurización, es decir, el tabique no alcanza a actuar porque el volumen libre se presuriza rápidamente con los gases de combustión y no se alcanza a medir el efecto de este. Se recomienda realizar pruebas con cohetes de mayor tamaño y mayor volumen libre. Los datos de empuje obtenidos difieren de las condiciones de diseño y de los datos teóricos principalmente por la pureza de los químicos utilizados, la sensibilidad de los instrumentos, los errores de fabricación y compactación, las condiciones de la cámara y la tobera entre otros factores, generándose errores del 30% en el empuje y hasta 50% en el tiempo de estabilización. Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del gas compresible al interior de la cámara de combustión son las ecuaciones de flujo de Euler. A diferencia de las ecuaciones de Navier – Stokes, las de Euler no presentan términos viscosos. Para resolver el problema del presente proyecto (la cámara de combustión) se discretiza el continuo espacio tiempo en diferencias finitas. La solución de ecuaciones diferenciales parciales, y más exactamente sistemas, puede ser hallada utilizando diferentes métodos numéricos siendo el método enunciado de fácil interpretación numérica. Como se expuso, existen diferentes métodos de diferencias finitas, entre los que se cuentan el método de las características, el método Upwind, de Lax, Lax – Wendroff, entre otros, que ofrecen diferentes grados de complejidad de interpretación y programación siendo uno de los principales problemas la condición de frontera y condiciones iniciales. Gracias a las ecuaciones de Euler, se puede obtener datos útiles del comportamiento de la velocidad, momentum, densidad y presión en la cámara de combustión, idealizándola como una cámara de longitud infinita (aunque solo se analice un tramo de ella) con condiciones de contorno solo en el extremo inicial (extremo cerrado). Allí, se idealiza el proceso que sigue el flujo en el tiempo y el espacio, teniendo en

147

cuenta que la combustión se da de manera frontal (llamada también tabaco o cigarro) solucionando unidimensionalmente (problema que también es llamado tubo de choque). Se puede concluir que las propiedades (presión, velocidad, momentum y densidad) aumentan su valor en el tiempo hasta llegar a un punto de estabilización. Se nota que estas, muestran en sus curvas en función del tiempo un aumento progresivo, un valor pico, una disminución del valor y su estabilización, valor que es igual al de la condición de borde en el caso del momentum. A diferencia de estas propiedades, la velocidad muestra una estabilización suave en el eje temporal. Todas las líneas características de las propiedades del flujo, abren en forma de abanico en el plano x-t aumentando su pendiente hasta quedar a un ángulo de 90° (partiendo de 0°) y con su origen en t=0, x=0. Hasta este momento no se ha tenido en cuenta fenómenos de turbulencia y más aún, se ha caracterizado la solución en forma unidimensional, lo que hace necesario formular un nuevo proyecto en torno a este problema para su solución mediante diferencias finitas. También, el análisis realizado ha sido para una cámara de longitud infinita, lo que sesga su solución y no acota los valores de las propiedades. Por ello, se ha buscado un método que permita simular el flujo utilizando las condiciones de contorno adecuadas siendo el método de elementos finitos el que se ajusta a este requerimiento. Por su parte, el Modelamiento por elementos finitos es un proceso simple comparado con las diferencias finitas. Esto es, existen un número considerable de programas que solucionan problemas como el planteado en este trabajo, utilizando rutinas existentes y eficientes como por ejemplo las de ANSYS, para las cuales se debe considerar una geometría adecuada, el tipo de elemento a usar, las condiciones de borde y el modulo requerido. A diferencia de este proceso, las diferencias finitas requieren experiencia de programación y conocimiento matemático del método lo que hace dispendioso y demorado la solución del problema. Existen claras diferencias numéricas y de comportamiento, entre la solución al problema utilizando elementos finitos y mediante diferencias finitas debido a las suposiciones y condiciones de solución. Por ejemplo, el modelo solucionado con diferencias finitas supone una cámara de combustión de longitud infinita con restricciones únicamente en la superficie de emisión (en este caso frontal); además, el modelo se soluciona unidimensionalmente. Los dos métodos predicen un comportamiento similar de la presión y la densidad. Esto es, predice un gradiente hacia la descarga de la tobera que aumenta en el tiempo. Sin embargo, la solución por elementos finitos no muestra valores pico de estas cantidades, como si se observa en el otro método. A diferencia de lo anterior, la velocidad presenta un comportamiento similar, pero numéricamente el método de elementos finitos presenta valores con dos órdenes de magnitud de diferencia. Por otro lado, se puede concluir que la configuración geométrica del propelente (en este caso de la cámara de combustión) afecta sensiblemente el comportamiento del motor cohete. La velocidad de descarga que se presenta en el modelo con superficie de emisión frontal es menor en 100 m/s a la que se presenta en la geometría con core. Esto explica que el empuje de los cohetes con esta configuración sea menor. El mapa de presiones y densidades muestra además, que las condiciones al interior de la cámara de combustión son diferentes. En el cohete con superficie de emisión frontal se observa gradientes que son sensibles a pequeñas variaciones de las propiedades lo que origina inestabilidad en el funcionamiento del cohete y principalmente una perdida de energía por el movimiento del flujo al interior de la cámara de combustión. A diferencia de la configuración frontal, la geometría interna (core) presenta una mayor presión con valor constante y velocidad cero en la cámara, utilizando toda la energía en forma de presión para descargar el fluido a través de la tobera; esto demuestra entonces que el funcionamiento del motor cohete con geometría interna es cualitativamente mejor que aquellos con superficie de emisión frontal.

148

Lo anterior es comparable con lo obtenido en la experimentación, en donde se observa cuantitativamente que los cohetes con core en su grano presentan mayores empujes que los tipo cigarro. Para cerrar las comparaciones es necesario realizar simulaciones en las cuales se pueda incluir el tabique que sobrepresiona los gases. Sin embargo, por la premura del tiempo no se logró desarrollar esta simulación. Se recomienda llevar a cabo simulaciones transientes en donde las superficies de emisión se muevan emulando la combustión del grano.

BIBLIOGRAFIA - Duque,Carlos. Análisis por CFD de un pequeño motor cohete. Tesis de

pregrado. Universidad Nacional de Colombia. 1999. - Montgomery, D. Diseño y análisis de experimentos. Ed. Iberoamericana.

1991. - Pérez Crusells, S. Cálculo de motores cohete con propulsor sólido. Ed.

Ejército Español. 2000. - Sutton, G et all. Rocket Propulsión Elements, An Introduction to

engineering of rockets. Ed. John Wiley and Sons. Cuarta edición. 1976. - Nakamura, Shoichiro. Análisis Numérico y Visualización Gráfica con

Matlab. Ed. Pearson. 1997. - Mathews et all. Métodos Numércos con Matlab. Ed. Prentice Hall. 1999. - Atkin et al. Métodos Numéricos. Ed. Limusa. 2000. - Godlewski et all. Numerical Aproximation of Hyperbolic Systems. Ed.

Springer. 2000 Sitios de Internet http://www.chemfinder.com http://www.nasa.gov http://www.r-nakka.com

MIM 2002 II - 08 - Uniandes

Documents

Transcript of MIM 2002 II - 08 - Uniandes