2. La F.I.U. es la inversa de la Funcin de Gasto:

La cadena inversa ( ) tambin es cierta.

Cuadro resumen del problema del consumo

El problema de la integrabilidad y la dualidad entre las funciones de utilidad (directa e indirecta)se estudian en el tema siguiente.

Cuestiones y problemas

Obtenga para la funcin de utilidad:

la funcin de gasto y las funciones de demanda compensada.

Solucin

En el Problema 2.1 se obtuvo, para este caso, la siguiente funcin indirecta de utilidad:

v m mpi

i

ii

n

( , ) ln lnP = +=

1[ ]1

u x xi ii

n

i i ii

n

( ) ln , , ,x = > > == =

1 1

0 0donde: 11

3.1.

e e u m e u u v

e mu u

e

* * *( , ) ( , ) ( ,*

*

= = =

P P P0

01

{ { mm)

42 Microeconoma avanzada

A partir de la expresin [1] resulta sencillo obtener la funcin de gasto aplicndole las equivalen-cias:

As pues:

De donde:

Por ltimo, podemos obtener las demandas hicksianas aplicando en [2] el Lema de Shephard:

Obtenga para la funcin de utilidad:

la funcin de gasto y las funciones de demanda compensada.

Solucin

En el Problema 2.2 obtuvimos la siguiente funcin indirecta de utilidad:

La funcin de gasto puede obtenerse aplicando a la anterior expresin las equivalencias:

obteniendo:

Mediante el Lema de Shephard obtendremos, finalmente, las demandas hicksianas:

= = =

e u

ph u u k n

kk

( , ) ( , ) ; , ,...,P P0

0 0 1 2

e u u pii

n

( , ) [ ]P 0 01

4==

m e u

v m u

( , )( , )

PP

0

0

v mm

pii

n( , ) [ ]P =

=

1

3

u x x xn

( ) min , ,...,x = { }1 2

3.2.

= =

=

e u

ph u u

pkk i

i

ii

n( , ) ( , ) exp lnP P0

0 0

1

=

k

kpk n; , ,...,1 2

e u upi

i

ii

n

( , ) exp lnP 0 01

=

=

[ ]2

u e upi

i

ii

n0 0

1= +

=

ln ( , ) lnP

m e u

v m u

( , )( , )

PP

0

0

Dualidad en la teora del consumo 43