2. La F.I.U. es la inversa de la Funcin de Gasto:
La cadena inversa ( ) tambin es cierta.
Cuadro resumen del problema del consumo
El problema de la integrabilidad y la dualidad entre las funciones de utilidad (directa e indirecta)se estudian en el tema siguiente.
Cuestiones y problemas
Obtenga para la funcin de utilidad:
la funcin de gasto y las funciones de demanda compensada.
Solucin
En el Problema 2.1 se obtuvo, para este caso, la siguiente funcin indirecta de utilidad:
v m mpi
i
ii
n
( , ) ln lnP = +=
1[ ]1
u x xi ii
n
i i ii
n
( ) ln , , ,x = > > == =
1 1
0 0donde: 11
3.1.
e e u m e u u v
e mu u
e
* * *( , ) ( , ) ( ,*
*
= = =
P P P0
01
{ { mm)
42 Microeconoma avanzada
A partir de la expresin [1] resulta sencillo obtener la funcin de gasto aplicndole las equivalen-cias:
As pues:
De donde:
Por ltimo, podemos obtener las demandas hicksianas aplicando en [2] el Lema de Shephard:
Obtenga para la funcin de utilidad:
la funcin de gasto y las funciones de demanda compensada.
Solucin
En el Problema 2.2 obtuvimos la siguiente funcin indirecta de utilidad:
La funcin de gasto puede obtenerse aplicando a la anterior expresin las equivalencias:
obteniendo:
Mediante el Lema de Shephard obtendremos, finalmente, las demandas hicksianas:
= = =
e u
ph u u k n
kk
( , ) ( , ) ; , ,...,P P0
0 0 1 2
e u u pii
n
( , ) [ ]P 0 01
4==
m e u
v m u
( , )( , )
PP
0
0
v mm
pii
n( , ) [ ]P =
=
1
3
u x x xn
( ) min , ,...,x = { }1 2
3.2.
= =
=
e u
ph u u
pkk i
i
ii
n( , ) ( , ) exp lnP P0
0 0
1
=
k
kpk n; , ,...,1 2
e u upi
i
ii
n
( , ) exp lnP 0 01
=
=
[ ]2
u e upi
i
ii
n0 0
1= +
=
ln ( , ) lnP
m e u
v m u
( , )( , )
PP
0
0
Dualidad en la teora del consumo 43