Métodos de demostración matematica

7/31/2019 Mtodos de demostracin matematica

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Mtodos de demostracin

Designamos en esta forma los modelos o esquemas ms generales que

encontramos en los procesos deductivos. Estos modelos, como veremos en el

transcurso de su desarrollo, estn fundamentados lgicamente en teoremas o

reglas de inferencia ya establecidos.

1Mtodo directo o Mtodo de la hiptesis auxiliar o demostracin

condicional:

"Dado un conjunto de premisas en una teora, si bajo el supuesto de que una

proposicin P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer

una demostracin de que una proposicin Q es verdadera, entonces en esa

teora puede concluirse que es verdadero.

Esquema operativo general:

Para demostrar que una proposicin especfica de la forma es teorema

se procede as:

1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta la denominamoshiptesis auxiliar.

2. A partir de la hiptesis construimos una argumentacin lgica en la cualpodemos utilizar los axiomas y teoremas demostrados para obtener

mediante la aplicacin de las reglas de validez y de inferencia, la validez

de Q.

3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de.

A modo de sntesis, una demostracin de la proposicin por el mtodo

directo, tendra este desarrollo esquemtico:


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Observaciones:

1. De una manera intuitiva podemos fundamentar la validez de estemtodo en el hecho de que la implicacin es falsa nicamente en el caso

en el cual partiendo de un antecedente verdadero llegramos a una

conclusin falsa; ste es precisamente el caso que queda descartado

cuando asumiendo la verdad del antecedente concluimos la verdad del

consecuente. Como con antecedente falso la implicacin es siempre

verdadera no se requiere ninguna otra consideracin.

2. Es fundamental tener presente que al aplicar este mtodo no estamosdeterminando la validez absoluta del consecuente Q, sino su validez

relativa al supuesto de que el antecedente P es verdadero. En

consecuencia, lo que se valida absolutamente es que es

verdadero.

3. Una buena estrategia a seguir es esta: Si la conclusin deseada de unrazonamiento es una proposicin condicional, agregamos el antecedente

como nueva premisa, trasladamos la demostracin varios lugares hacia la

derecha y finalmente trataremos de deducir el consecuente del conjunto


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original de premisas ms la premisa agregada (Hiptesis auxiliar); si esto

es posible queda validada la proposicin condicional.

4. El mtodo directo es aplicable a la demostracin de teoremascorrespondientes a una implicacin. Esto no significa sin embargo que

siempre pueda lograrse la conclusin por este mtodo. Esto nos llevar a

recurrir a otros mtodos como lo veremos posteriormente.

Ilustracin

Bajo el supuesto de que los siguientes esquemas fueran teoremas, indicar

esquemticamente como se desarrollaran sus demostraciones por el mtodo

directo.


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Nota:

Cuando se trata de una cadena de implicaciones es de gran utilidad la

aplicacin reiterada de este mtodo, como podemos observarlo en la ilustracin

anterior. Siempre asumiendo como hiptesis auxiliar el antecedente de la

implicacin principal, podemos lograr as, tres premisas auxiliares, centrndose

finalmente la prueba en la validacin del ltimo consecuente.

Ilustracin

Demostrar utilizando el mtodo directo que la siguiente proposicin es un

teorema.


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Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el

consecuente en la implicacin principal; designmoslos por A1 y C1

respectivamente.

A su vez, como el consecuente C1 es otra implicacin, identifiquemos en esta

antecedente y consecuente, designndolos por A2 y C2 respectivamente. De

nuevo el consecuente C2 es otra implicacin, identificando y designando por A3

y C3 su antecedente y consecuente. Puede observarse que en este proceso

iterativo de identificacin C3 es el ltimo consecuente.

Procedamos ahora a la demostracin del teorema.

Observaciones:

1) Puede observarse en una demostracin con diferentes niveles de

subordinacin como al obtenerse la conclusin buscada en dicho nivel, el

respectivo nivel se "cierra" estableciendo una implicacin entre la hiptesis


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supuesta para este y la conclusin lograda. Dicha implicacin pasa a ser la

ltima proposicin en el nivel inmediatamente anterior.

2) Debe tenerse en cuenta adems que las proposiciones intermedias que se

obtienen en un nivel determinado no pueden utilizarse posteriormente a la

clausura del respectivo nivel.

Ilustracin

Demostrar utilizando el mtodo directo que la siguiente proposicin es un teorema.

Ilustracin

Demostrar utilizando el mtodo directo que la siguiente proposicin es

teorema: La suma de dos nmeros pares es un nmero par.

Observacin

En el lenguaje ordinario encontramos los textos de los enunciados tal como

est presentado el ejemplo. Es necesario, en consecuencia, que podamos

identificar en l la implicacin implcita con sus correspondientes antecedente y


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consecuente; de lo contrario no sera posible abordar su demostracin. El

enunciado anterior lo podemos presentar as:

"Si a, b son nmeros pares, entonces a + b es un nmero par".

Ilustracin

Demostrar utilizando el mtodo directo que la siguiente proposicin es

teorema: La suma de tres enteros consecutivos es un mltiplo de tres.

Este enunciado lo podemos presentar as: Si a, b, c son enteros consecutivos,

entonces a+b+c es mltiplo de tres.

Supongamos que a, b, c son enteros consecutivos. Hip. aux.


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2Mtodo del contra recproco:

El teorema del contra recproco da lugar a una

variante del mtodo directo, que se utiliza mucho en matemticas y es

conocido como mtodo del contra recproco. Este mtodo puede resumirse as:

Supongamos que se quiere demostrar que una proposicin especfica es

teorema y al intentar su demostracin por el mtodo directo no logramos

obtener la conclusin deseada. Se procede entonces a demostrar por el

mtodo directo su contra recproca , si se consigue este objetivo

entonces queda establecida la validez de al hacer sustitucin por

equivalencia.

Esquema operativo general

Para demostrar que una proposicin especfica de la forma es un

teorema se procede as:

1. Suponemos como hiptesis auxiliar no Q.2. Utilizando el mtodo directo construimos una argumentacin lgica

hasta concluir no P.

3. Concluimos por el mtodo directo que es teorema.4. La regla de validez 3 nos permite concluir que es vlida mediante

la equivalencia del contra recproco.

A modo de sntesis una demostracin de la proposicin por este

mtodo tendra este desarrollo esquemtico:


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Nota: El hecho de demostrar una implicacin utilizando su contra recproco

hace que este mtodo se designe como un mtodo indirecto de demostracin,

sin embargo debemos ser cuidadosos en esta clasificacin, puesto que la

demostracin en s utiliza el mtodo directo. El sentido de indirecto se aplica

ms bien a la estrategia general, pero no al mtodo en s.

Ilustracin

Demostrar el siguiente teorema: Si el cuadrado de un nmero es impar

entonces el nmero es impar.

Enunciado explcito: Si a 2 es impar entonces a es impar.

Empleando el mtodo directo se tiene:

Pero, qu podemos decir de ? No podemos decir que este nmero es

par ni tampoco que es impar. Esta imposibilidad de obtener la conclusin

buscada nos lleva a cambiar la estrategia.


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Procedamos ahora a demostrar su contra recproco por el mtodo directo. El

enunciado del contra recproco corresponde a:

Si a es par entonces es par.

Ilustracin

Demostrar utilizando el mtodo del contra recproco el siguiente teorema: Si el

producto de dos enteros es par, al menos uno de ellos es par.

Enunciado explcito: Para a y b nmeros enteros. Si a.b es par entonces a es par

o b es par.

Enunciado contra recproco: Si no es cierto que a es par o b es par entonces

a.b es impar.

Este enunciado es equivalente a: Si a es impar y b es impar entonces a.b es

impar.

Supongamos que a es impar y b es impar (Hip. aux.)


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3Mtodo de demostracin por contradiccin o reduccin al absurdo

Antes de introducirnos en este mtodo necesitamos precisar los siguientes

conceptos que hacen parte de su estructura.

Contradiccin: Designamos en esta forma, toda proposicin correspondiente a

la conjuncin entre una proposicin y su negacin.

Teora contradictoria o inconsistente: Se dice que una teora es contradictoria

o inconsistente, cuando en dicha teora es posible demostrar una contradiccin.

En una teora contradictoria podemos concluir que una proposicin es

verdadera y falsa a la vez.

El mtodo de demostracin por reduccin al absurdo se fundamenta en la

condicin de no contradiccin para una teora, bsicamente la estrategia

consiste en suponer explcitamente la negacin de la proposicin a demostrar,

a partir de esta hiptesis se trata de generar una contradiccin, esto es: que la

teora con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hiptesis es


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falsa, o lo que es equivalente, que su negacin es verdadera, quedando

validada la proposicin inicial.

La estructura lgica de lo que acabamos de expresar, se puede resumir en la

siguiente ilustracin.

Ilustracin

El teorema que acabamos de probar es el soporte lgico de uno de los

mtodos de mayor utilizacin en las matemticas, designado como mtodo dedemostracin por contradiccin o reduccin al absurdo.


Supongamos que se quiere demostrar que una proposicin especfica P es

teorema. Por este mtodo procedemos as:

1. Suponemos la negacin de la tesis (no P) como hiptesis auxiliar.


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2. A partir de las premisas de la teora y de la hiptesis auxiliar se razonapor el mtodo directo, hasta obtener como conclusin una contradiccin

por ejemplo, Q y no Q.

3. Por el mtodo directo concluimos4. El teorema anterior nos permite concluir del paso 3) la validez de P.

Nota:En la prctica, cuando se usa este mtodo, al obtener una contradiccin,

inmediatamente se valida la negacin de la hiptesis supuesta dando por

terminada la prueba.

A modo de sntesis una demostracin de una proposicin P por este mtodo

tendra este desarrollo esquemtico.

Observaciones

Cuando se emplea este mtodo para la demostracin de una implicacinsupongamos el caso ; podemos proceder en cualquiera de las dos

formas esquemticas siguientes:

Primera forma:

1) Supongamos no ( ) Hiptesis auxiliar. Reduccin al absurdo.


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2) P y no Q Equivalencia en (1). Ley de Morgan.

3) P Simplificacin en (2).

4) no Q Simplificacin en (2).

Con estas dos premisas se inicia la construccin de la contradiccin.

Segunda forma:

Integramos los mtodos directo y reduccin al absurdo, as:

1) Supongamos: P Hiptesis auxiliar 1.

2) Supongamos: no Q Hiptesis auxiliar 2. Reduccin al absurdo.

Con estas dos premisas se inicia la construccin de la contradiccin.

Como puede observarse los procedimientos son equivalentes.

Al emplear este mtodo y una vez supuesta la negacin de la tesis comohiptesis auxiliar, el objetivo es construir una contradiccin cualquiera,

esta puede aparecer directamente como la conclusin de la afirmacin

de la tesis; pero no es la nica forma, la contradiccin tambin puede

construirse con proposiciones derivadas dentro del proceso de la

demostracin. A continuacin ilustramos la situacin descrita.

Ilustracin

Demostrar utilizando el mtodo de reduccin al absurdo el siguiente teorema:

Si es par entonces a es par.


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4Mtodo de casos. (Silogismo disyuntivo).

La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este mtodo de demostracin,

casi de forzosa utilizacin cuando la hiptesis o una de las hiptesis es una

disyuncin de dos o ms proposiciones, en cuyo caso procedemos as:

1. Suponemos la hiptesis dada correspondiente a una disyuncin.2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyuncin se

obtiene una conclusin parcial por el mtodo directo.

3. Se concluye finalmente la disyuncin de las conclusiones parciales.


Supongamos que se fuera a demostrar que un esquema de la forma

es teorema. Bajo este mtodo procedemos esquemticamente

as:


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Ilustracin

Demostrar el siguiente teorema:

El producto de tres nmeros enteros consecutivos es un nmero par.

Supongamos: a, b, c son nmeros enteros consecutivos. Hip. 1


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Ley uniforme del producto.

Observemos que en este punto de la demostracin, cualquiera que sea la

operatoria desarrollada no es posible concluir que este producto sea un

nmero par.

Recurrimos a una propiedad (Teorema) de los nmeros enteros que establece

que: Todo nmero entero es par o impar. Esto es:

Teorema. Definicin de nmero par y nmero

impar. (2)

Supongamos: Hip. auxiliar 1

a.b.c = 2.k.(2.k + 1).(2.k + 2) Sust. la hip. 2 en la ec. (1)

a.b.c = 2.[k.(2.k + 1).(2.k + 2)] Ley asociativa en el pdcto.

Ley clausurativa del producto en los enteros.

a.b.c es nmero par. Definicin de nmero par.

Mtodo directo


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Supongamos:

Hip. auxiliar 2

Leyes distributiva, conmutativa y asociativa.

. Ley clausurativa del pdcto.

a.b.c es un nmero par. Definicin de nmero entero par.

a.b.c es un nmero par. Mtodo de casos de 2), 3) y 4).

Si a, b, c son nmeros enteros consecutivos entonces a.b.c es un nmero par.

Mtodo directo.

Otras consideraciones metodolgicas en torno a las demostraciones en

Matemticas.

Por ser la demostracin un tema crucial en la comprensin y el desarrollo de la

matemtica y en el mismo sentido causante del desnimo y en muchos casos la

frustracin de las nacientes inquietudes que muchos estudiantes interesados en

reas de las matemticas confrontan a diario, consideramos importante exponer

otro aporte respecto a este tema.


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Con este propsito recogemos aqu algunas orientaciones expuestas por el

profesor Daniel Solow quien al respecto manifiesta: La incapacidad para

comunicar demostraciones de una manera comprensible ha sido perjudicial

para estudiantes y profesores en todas las ramas de las matemticas. A su vez

el profesor Peter Hilton, en el prlogo de la obra de Solow expresa:

Todos aquellos que han tenido la experiencia de ensear matemticas y la

mayora de aquellos que han tratado de aprenderlas, deben coincidir

seguramente en que entender una demostracin matemtica es una traba para

la mayorade los estudiantes. Muchos de ellos tratan de salvar este obstculo

evadindolo, confiando en la indulgencia del profesor para que no incluya

demostraciones en los exmenes. Esta confabulacin entre estudiante yprofesor evita algunas de las consecuencias desagradables, tanto para el

alumno como para el profesor, producidas por la falta de dominio del tema por

parte del estudiante, pero esto no modifica el hecho de que un elemento clave

de las matemticas, probablemente su caracterstica ms notable, no ha

entrado en el repertorio del estudiante.

El doctor Solow cree que es posible ensear al estudiante a entender la

naturaleza de las demostraciones sistematizndolas. Una de sus metas

principales es ensear al estudiante a leer demostraciones como las que se

encuentran en los libros de texto. Seguramente, estas demostraciones, no se

presentan en forma sistemtica, pero se puede ensear al lector cmo

reconocer los elementos tpicos de un argumento matemtico en una

presentacin informal de una demostracin.

Una revisin a la demostracin por el mtodo directo.

Vamos a considerar ahora la demostracin por el mtodo directo, cuya

estructura ya tuvimos la oportunidad de analizar en el numeral 3.3.4.1, pero

dirigiendo nuestra atencin a una estrategia sistemtica que nos permita esa

conexin argumentada lgicamente entre la hiptesis y la tesis.


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Esta estrategia la denomina el profesor Solow, mtodo progresivo - regresivo

y consiste bsicamente en progresar argumentativamente desde la hiptesis

hacia la tesis y viceversa, regresar argumentativamente desde la tesis hacia la

hiptesis hasta concatenar ambos tipos de argumentacin y consolidar as un

texto coherente, es decir una demostracin.

Esquema operativo general.

Veamos inicialmente, mediante un esquema simple, los elementos bsicos que

soporta este mtodo y que a continuacin se analizarn detalladamente.

Objetivo: Demostrar por el mtodo directo que una proposicin especfica de

la forma es teorema.

Nos ubicamos a continuacin en la proposicin Q, cuya verdad tenemos como

objetivo probar, e iniciamos el proceso regresivo preguntndonos: Cmo o

cundo podemos concluir que la proposicin Q es verdadera? La manera en la

cual se formula esta pregunta es decisiva puesto que debemos estar en

capacidad de responderla. Esta pregunta se denominar en adelante pregunta

de abstraccin, y no deber contener ni los smbolos, ni la notacin del

problema especfico bajo consideracin.

El paso siguiente en el proceso regresivo es contestarla. Observemos que la

respuesta a la pregunta de abstraccin es un proceso de dos fases: Primero

damos una respuesta abstracta (general) a una pregunta abstracta; luego

aplicamos esta respuesta a la situacin especfica (particular) que tenemos bajo

estudio.

El proceso que incluye la formulacin de la pregunta de abstraccin, contestarla

abstractamente y aplicarla a la situacin especfica se denominar proceso de

abstraccin. El proceso de abstraccin produce como resultado una

proposicin nueva con la propiedad de que si es verdadera entonces Q es

verdadera. ( Teorema).


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Desarrollamos de nuevo el proceso de abstraccin teniendo ahora como

objetivo probar que es verdadera (y en consecuencia Q). Podemos continuar

realimentando este proceso regresivo pero, preguntndonos en cada ocasin

de qu manera, la informacin suministrada por la hiptesis P nos puede

permitir la seleccin en un momento dado, de la pregunta de abstraccin.

Si ello no fuera posible continuamos en la etapa regresiva; generando nuevas

proposiciones con las propiedades descritas.

El proceso progresivo se inicia con la proposicin P, que hemos asumido

verdadera, y se obtiene a partir de ella otra proposicin, P 1 tambin verdadera

como consecuencia de la anterior ( teorema)

Es necesario aclarar que las proposiciones que en esta forma se derivan de P

no se deben al azar. Por el contrario, deben estar dirigidas hacia la obtencin

de la ltima proposicin generada en el proceso regresivo. Esta ltima

proposicin debe actuar como gua en el proceso progresivo.

El proceso concluye cuando se logra encadenar la ltima proposicin generada

en el proceso regresivo con la ltima generada en el proceso progresivo.

Una fase ltima consiste en redactar la argumentacin en forma detallada o

simplificada, de acuerdo al objetivo del texto, siguiendo el sentido progresivo

desde la hiptesis hasta la tesis.


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Observaciones.

Siendo conscientes de la dificultad propia de cada demostracin en su rea

respectiva y sin un afn reduccionista en cuanto a la aplicacin del modelo

propuesto, consideramos importante destacar los siguientes aspectos.

1. La clave de muchas demostraciones es la formulacin correcta de la pregunta

de abstraccin.

2. Una de las dificultades que puede surgir en el proceso de abstraccin es la

posibilidad de que haya ms de una pregunta de abstraccin ante una

proposicin analizada; en este caso procederemos por ensayo y error. Aqu es

donde la intuicin, ingenio, creatividad, experiencia, diagramas y grficas

pueden jugar un papel importante. Por esta razn la consulta permanente a la


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informacin aportada por la hiptesis o sus proposiciones derivadas es

obligatoria para conducir por buen camino el proceso.

3. El proceso es dinmico en el sentido en que, tanto en la fase regresiva como

en la progresiva, se pueden combinar las nuevas proposiciones para producir

otras proposiciones verdaderas.

4. Uno de los problemas con el proceso progresivo es la posibilidad de generar

proposiciones intiles, en el sentido de no aportar nada a la argumentacin

necesaria en la demostracin.

5. Finalmente debemos recordar que el buen conocimiento de los contenidos

bsicos del rea de trabajo es un requisito indispensable para llevar a buen

trmino el objetivo propuesto, ya que nos provee de mejores y mayores

recursos como definiciones, proposiciones equivalentes, y en general una

intuicin ilustrada en torno al desarrollo de la argumentacin.

Ejemplos diversos:

DEMOSTRACIN POR CONTRADICCION

Problema No. 1

Sean x, y, z, wenteros que satisfacen la expresin

Demuestre que al menos dos de ellos son pares

Solucin:

Si multiplicamos la expresin en ambos miembros por xyzw, tenemos que:

Si asumimos que todos son impares.

1 1 1 11

x y z w

yzw xzw xyw xyz xyzw

imparimpar impar impar impar

par par

par



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Es una contradiccin.

Si asumimos que uno de ellos es impares (x):

Es una contradiccin.

Por lo tanto, por lo menos dos de ellos deben ser pares.

Problema No.2

El producto de 34 enteros es igual a 1. Demostrar que la suma de stos no

puede ser cero.

Solucin:

Evidentemente que estos enteros deben ser +- 1, ya que el producto es 1. Para

que la suma sea cero la cantidad de 1s debe ser igual a la cantidad de -1s.

Esto implicara que habr 17 nmeros -1s, lo que arrojara un producto -1, lo

cual es una contradiccin.

Por lo tanto la suma no puede ser cero.

Problema No.3

Demuestre que es irracional.

parimpar par par par

par

impar



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Solucin:

Asumamos que es racional, es decir: . (1)

Con ay benteros positivos y b 0.

Desarrollando (1) tenemos que:

Podemos ver que b2 y a2 tienen ambos dos factores primos (tomando en

cuenta las repeticiones). Pero 2b2 tiene tres factores primos. Esto es una

contradiccin, ya que todo nmero entero tiene descomposicin factorial nica.

Por lo tanto es un irracional.

2a

b

2 22b a

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