Bibliografía:Métodos Numéricos – G. Pacce – Editorial EUDENE

-1997.Problemas resueltos de Métodos Numéricos. Cordero Barbero, A. y otros. Thomson Editores Spain. 2006.-

Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Análisis Numérico. Raíces de ecuaciones – Teoría General de la iteración

INTRODUCCIÓN

• Se presenta con frecuencia la necesidad de resolver:

• f( x) = 0 • f(x) es una función de variable real x con

coeficientes reales• Problema general es hallar valores numéricos de

la variable independiente x, llamadas raíces. • Razón fundamental para resolver ec. no lineales

es que carecen de solución exacta en la mayoríade las veces.

Introducción• Objetivo: Resolución numérica de ecuaciones

mediante la aplicación de métodos iterativos, y además, haciendo uso de los resultados a los cuales ha llegado la TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN.

• Esta teoría permite categorizar los métodos recursivos o iterativos.

• Permite elaborar métodos que pueden clasificarse como muy rápidamente convergentes.

• Se obtienen valores altamente precisos luego de ejecutar un número relativamente bajo de pasos en el procesamiento.

MÉTODO DE ITERACIÓN

• Para calcular r de la ecuación f(x) = 0 por el MÉTODO DE ITERACIÓN, es necesario re-escribir la expresión analítica de la ecuación dada, en la forma:

• f1 (x) = f2 (x)• Esto requiere la mayoría de las veces un sencillo

tratamiento algebraico de la ecuación dada.• Si en un entorno del punto común o de

intersección de ambas curvas, en la figura siguiente: y1=f1 (x); y2 = f2 (x)

•

MÉTODO DE ITERACIÓN

• en un entorno del punto x = r, la pendiente de la curva |f’1’(x) | < la pendiente de la curva |f’2 (x) |

• Fig. 1

Método de Iteración.

• El proceso que es necesario realizar se sintetiza así :

• lo cual permite obtener, si el proceso resultase convergente, al valor aproximado r, de la raíz buscada.

x f x f x xx f x f x xx f x f x x

x f x f x xn n n n

0 1 0 2 1 1

1 1 1 2 2 2

2 1 2 2 3 3

1 2 1 1

⇒ = ⇒⇒ = ⇒⇒ = ⇒

⇒ = ⇒+ +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

...........................................( ) ( )

Método de Iteración. • Si se parte de un x0 y se procede sistemáticamente se

obtendrán valores x1 ; x2 ; x3 que convergen hacia la raíz r buscada.

• Fig. 2

Método de Iteración.

• Si las derivadas f1’(x) y f2’(x), en un entorno del punto • x = r, tienen igual signo, como se indica en la Figura 1, y

recibe el nombre de ESCALERA.

• Si los signos de las pendientes de las curvas involucradas son diferentes, la aproximación se llama en ESPIRAL,como se muestra en la Figura 2.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN • Condición de convergencia: demostrar que

xn+1 es una mejor aproximación a la raíz r que xn .Para ello, por ser f1 (r) = f2 (r), entonces:

f1 (r) - f1 (xn) = f2 (r) - f2 (xn+1)• Aplicando el teorema del valor medio a a.m. y

tomando módulos, resulta:( ) ( )r x f r x fn n− = − +. ' . '1 1 1 2 2ξ ξ

• donde, r x r xn n< < < < +ξ ξ1 2 1;

• Como x xn n≅ +1 • entonces ξ ξ1 2≅

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN ( II ) • cuando el proceso se encuentra en estado

relativamente avanzado; cuando el valor de xnesta próximo al de la raíz r.

• En todo punto de un entorno de x = r, por hipótesis se cumple que:

r x r xn n− < −+1

• es decir que, la aproximación de orden n+1 de la raíz r es mejor que la aproximación anterior, de orden n.

• Debe ser:

• |f ’ 1(x) | < | f ’2 (x) |

UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN• Uso más frecuente: cuando la expresión f(x) se

puede escribir como x = g(x). Una de las derivadas es constantemente igual a uno. Si x0 es una aproximación al valor de r; entonces, si es:

• resulta la siguiente sucesión de iteraciones:| g'(x) | < 1

x1 = g(x0 )x2 = g(x1 ). . . . . .xn = g(xn-1 )xn+1 = g(xn )

UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN

UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN• Bajo estas condiciones el algoritmo es mas

sencillo.• Es importante, que se cumpla:

( )g x' <1

• Caso contrario, el proceso resultaría divergente, o bien, podría reducirse al caso gral estudiado, ya que, debería ser interceptada primero la curva y = x; con lo cual se pierde la posibilidad de lograr el objetivo deseado.

Tabla Comparativa de Métodos

Aplicable a raíces complejas

Aplicable a raíces complejas .Derivada puede no existir en todos los puntos

Limitado a ec. con deriv.de orden superior simples

Error por redondeo no se incrementa

Gran sencillez y flexibilidad para elegir la forma de las funciones

Aproximación extremadamente cercana a r con un mínimo de pasos

Evalua en cada paso la función y su derivada

Convergencia lenta

Converge más rápido aún

Necesita un buen valor inicial

Iteración2do orden de Newton

Newton-Raphson

Conclusiones:• No existe ningún método que sea la panacea universal, la selección del

mismo depende de la función particular f(x).• Un programa eficiente debe producir una aproximación a una o más

soluciones de f(x) = 0, teniendo cada una un error absoluto o relativo dentro de la tolerancia fijada y el resultado debe generarse en un tiempo razonable.

• Existe numeroso software que contiene desarrollos de los métodos numéricos, por ejemplo:

• Subrutinas en la biblioteca ISML( International Mathematical Software Library) ( EEUU)

• Subrutinas NAG (Numerical Algorithms Group)(Gran Bretaña)• Subrutinas NUMERICAL RECIPES en Fortran 77, Pascal y C (Cambridge

University Press) (Gran Bretaña)• MATLAB: Paquete de cálculo numérico: ROOTS : para calcular todas las

raíces reales como complejas• MATHEMATICA- Paquete de cálculo simbólico con funciones ya

programadas.

Problema a resolver: • Nos ofrecen un crédito de 6000 euros a devolver en 50

mensualidades de 150 euros. Llamando C al importe del préstamo, n al número de pagos, a al importe del plazo e ial tipo de interés por período, se cumple la ecuación siguiente:

• C r n = a r n -1

r - 1

• Obtener el interés del crédito partiendo de la estimación inicial de r = 1,1. y con una precisión < 10 -6.

• Resolver utilizando el método del punto fijo, tomando tres funciones diferentes para hacer el estudio, analiza en cada caso la convergencia del método.

TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN

• f(x)=0, de modo gral., puede ser resuelta haciendo uso de la siguiente expresión recursiva:

• Los métodos categorizados como MÉTODOS ITERATIVOS; y se resuelven tomando x0 como una 1era. aproximación de la raíz real r .

• Mediante (*) se puede generar una sucesión x0 ;x1 ; x2 ; ... ; xn que aproximan el valor r.

• Llamando Ek = xk - r , de la raíz, resulta:

( )nn Xx φ=+1 • ( * )

TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN

• Bajo condiciones expuestas, la sucesión x0 ; x1 ; ... ; xn tenderá al valor r si, para algún k en adelante:

• (5.6)

x0 = r + E0 ; x1 = r + E1 ; ... ; xn = r + En (5.5)

E E E Ek k k n> > > > →+ +1 2 0K

• Reemplazando los valores de xn+1 y xn de laexpresión (*) , por los correspondientes dados en la (5.5), se obtiene (5.7) :

( )r E r En n+ = ++1 φ

• y, aplicando el teorema de TAYLOR al segundo miembro de (5.7), es:

TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN

• Considerando las consecuencias de este resultado tan importante, es posible distinguir los siguientes casos:

( ) ( ) ( )r E r E r E rn n n+ = + ′ + ′′ ++121

2φ φ φ

!K

• pero, dado que dado que r es una raíz de la ecuación dada, finalmente es:

( ) ( ) ( )E E r E r E rn n n n+ = ′ + ′′ + ′′′ +12 31

213

φ φ φ! !

K

TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN

E E E Ek k k n> > > > →+ +1 2 0K

• Caso 1.- Despreciando desde el término de 2do. orden en adelante, resulta: (5.9) ( )rEE nn φ′≅+1

• Si |Φ’ (r )| < 1, ->, c/ término de:

( ) .0≠′ rφ

• será menor que el anterior, de tal modo que la sucesión x0 ; x1 ; x2 ;...; xn tenderá al valor de r.

• Es un caso ITERACIÓN DE 1er. ORDEN DE CONVERGENCIA). Es un proceso lineal de En.

• Dado que el valor de r es desconocido, en (5.9), se puede reemplazar su valor por el de xn .

TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN

• Caso 2.- Si se despreciara desde el 3er. orden y potencias superiores de En , : (5.13)

( )E r En n+ ≅ ′′121

2φ

• Para que la sucesión x0 ;x1 ;x2 ;... converja a la raíz r, es necesario que la derivada 2da. sea finita y E0 sea relativamente pequeño.

• Se puede deducir de (5.13) que cada error es proporcional al cuadrado del anterior -> velocidad de la convergencia, es bastante rápida.

• ITERACIÓN DE 2do. ORDEN (caso de 2do. ORDEN DE CONVERGENCIA.

• Duplican el nro. de dígitos exactos en cada iteración; si en un cierto paso mejora la aproximación de 4 a 8 decimales exactos, en el sgte. se mejorará de 8 a 16 decimales exactos.

( ) ( ) .0;0 ≠′′=′ rr φφ

TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN

• Caso 3.

• De manera similar a lo anterior y realizando toda la operatoria, resulta la siguiente relación de errores:

( ) ( ) ( ) .0;0;0 ≠′′′=′′=′ rrr φφφ

( )E r En n+ ≅ ′′′131

3!φ

• Se presenta rara vez en la práctica, permite obtener una convergencia muy rápida;

• Desventaja: tener, tanto la función como sus sucesivas derivadas, expresiones mucho más complejas que en los casos de convergencia de menor orden;

• Consecuencia: el tiempo ganado debido a la rapidez de convergencia, es perdido por la dificultad de evaluación de la función y sus derivadas.

TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN

• Se trata de una ITERACIÓN DE TERCER ORDEN o bien que, este caso es de TERCER ORDEN DE CONVERGENCIA.

• Siguiendo una metodología similar, pueden ser definidos órdenes de iteración o convergencia más altos.

• Rara vez se presentan en la práctica;• La ventaja en el aumento en la velocidad de convergencia

de los mayores órdenes, se ve neutralizada por la engorrosa evaluación de la función y sus sucesivas derivadas.

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN ( ∆2 )

• Método idóneo para acelerar la convergencia de cualquier fórmula recursiva ( proceso iterativo ) de 1er. Orden.

• Sean xn-1 ; xn ; xn+1 aproximaciones sucesivas y consecutivas de la raíz r de f(x)=0 obtenidas mediante un método de 1er. Orden DE CONVERGENCIA;

• Los errores En-1 ; En ; En+1 correspondientes, están dispuestos ≈, según una progresión geométrica:

EE

EE

n

n

n

n

+

−

≅1

1• o, lo que resulta equivalente:

x rx r

x rx r

n

n

n

n

+

−

−−

≅−−

1

1

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN

• la que, resuelta en términos de r, resulta:

• Sumando y restando al segundo miembro de esta última expresión, el término xn+1 , se obtiene:

rx x xx x x

n n n

n n n

≅−

− +− +

+ −

1 12

1 12

r xx x xx x x

x xx x x xx x xn

n n n

n n nn n

n n n n

n n n

≅ +−

− +− = −

− +− ++

− +

+ −+ +

+ +

+ −1

1 12

1 11 1

12

12

1 122

2

• y, en definitiva:

( )r x

x xx x xn

n n

n n n

≅ −−

− +++

+ −1

12

1 12• 5.20

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN

• La metodología, haciendo uso de la expresión anterior: • Inicio con x=x0 , de cualquier algoritmo iterativo de 1er.

orden, se calculan dos aproximaciones sucesivas x1 ; x2 de la raíz r que, juntamente con la primera aproximación x0constituyen la terna de base del método de AITKEN,

• 2.- Haciendo uso de la expresión (5.20) se calcula una cuarta aproximación a la raíz r que, si satisface las condiciones de precisión previamente establecidas para el cálculo, se toma como tal,

• 3.- De no resultar satisfactoria la aproximación obtenida en el paso anterior, es utilizada como primera aproximaciónpara hallar otros dos valores sucesivos de la raíz, mediante el método iterativo original.

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN

• 4.- Se reiteran los puntos 2 y 3 hasta satisfacer las condiciones de precisión previamente establecidas para la raíz.

• Ejemplo.-de iteración, conjuntamente con la aceleración de la convergencia de AITKEN, determinar la raíz comprendida en el intervalo (1;2) de la ecuación:

• ex - x2 - 3 = 0

• con una aproximación de cuatro cifras decimales exactas.

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN

• Solución: Primero, y según las condiciones establecidas, es necesario volver a escribir la ecuación dada bajo la forma:

( )x x ex= = −φ 3

• de donde, puede deducirse que:

( )′ =−

φ x ee

x

x2 3• En consecuencia, comenzando con x0 = 1, es negativa

la cantidad subradical del denominador, por lo tanto resulta conveniente hacer x0 = 1,1. Con ello:

( ) 27,23≅′ xφ

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN

• Dado que el valor obtenido es > 1 -> no se generará un proceso convergente.

• Resulta imprescindible escribir la ecuación en forma diferente. Sea:

• de donde:

( )3

22 +

=′xxxφ

• y finalmente, tomando x0 = 1, resulta:

( ) ( )x x x= = +φ ln 2 3

( )′ =φ 1 0 5,• valor aceptable, se requiere que ( )′ <φ r 1

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN

x0 = 1 ; x1 = 1,38629 ; x2 = 1,59367

• Entonces la relación :• xn+1 = ln (xn

2 + 3)• con x0 = 1, es idónea para iniciar el procedimiento

descripto, resultando:

• Utilizando los valores hallados con el objeto de la aplicación de la expresión (5.20), se obtiene:

x3 = 1,83405

• Aplicando nuevamente el método de iteración original, da como resultado:

x4 = 1,85062 ; x5 = 1,86016

PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN

• valores que, juntamente con el de x3 y la reiteración de la formula de recurrencia (5.20), arroja :

• Tomando x6 valor como primera aproximación del método de iteración, resultan:

x7 = 1,87311 ; x8 = 1,87311

• En los tres últimos resultados no se ha obtenido mejoría alguna, pudiéndose aceptar r=1,87311 como valor de la raíz con todas sus cifras decimales exactas.

• Resolver el mismo problema utilizando Método de Iteración y comparar el nro. de iteraciones requerido

x6 = 1,87311

MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON

• Ventajas: Muy rápida convergencia a la solución deseada, Aproximación extremadamente cercana al valor de la raíz con un bajo número de pasos y un mínimo de cálculo.

• Limitaciones: Utilización en ecuaciones que tienen derivadas de mayor orden (por lo menos de segundo), relativamente fáciles de programar y calcular.

• Considérese una ecuación de la forma: f (x) = 0

• un valor aproximado de la raíz, el que puede ser uno de los extremos de algún intervalo de separación y llamando

• x = xn a este punto.

MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON

• Desarrollando la función f(x) en serie de TAYLOR con respecto a x = xn se obtiene: ( ** )

• Si h fuera el incremento particular de x para el cual la serie dada por (** ) se redujera a cero, la cantidad xn + h sería

la raíz exacta, como se muestra en la figura 5.4.

( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x h

f x hn n n

n+ = + ′ +

′′+1

2

2!K

MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON

• Vale decir, haciendo uso de solamente los tres primeros términos de la serie dada por (5.21), resulta:

( ) ( ) ( )f x h f x

f x hn n

n+ ′ +′′

=

20

h

xnr=xn+1

Y=f(x)• y

Figura 5.4

• 5.22

MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON

• Un valor aproximado de h, a partir de la expresión (5.22) y sumado a xn no proporcionará el valor exacto de la raíz, ya que fueron utilizados para su cálculo, solo los tres primeros términos de la serie infinita (5.21).

• Pero se obtendrá una aproximación mejor de la raíz.

• Sustituyendo el valor de h encerrado dentro del corchete por la expresión dada por NEWTON-RAPHSON, que es:

( )( )h x xf xf xn n

n

n

= − = −′+1

• se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0

2=

′

′′−′+

n

nnnn xf

xfxfxfhxf

MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON

• y despejando el valor de h, resulta:

• finalmente, despejando xn+1 , se obtiene:

( )

( ) ( ) ( )( )

h x xf x

f xf x f x

f x

n nn

nn n

n

= − = −′ −

′′

′

+1

2

( )( ) ( ) ( )

( )nnn

n

nnn

xfxfxfxf

xfxx

′′′

−′−=+

2

1

• Con aplicaciones sucesivas, es posible calcular en cada paso, aproximaciones cada vez más cercanas a la raíz, con elevada velocidad de convergencia.

• Para funciones de 2do. orden de convergencia, es el equivalente a DELTA-cuadrado de AITKEN, aplicado a ec. de 1er. orden de convergencia, para acelerar la misma.