Método simplex

UNIRESIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINSITRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA

EJERCICIOS EN CLASE

METODO SIMPLEX

QUINTO SEMESTRE “A”

NOMBRE: JESSICA PÈREZ

DOCENTE: MARLON VILLA VILLA

2014- 2015

MÉTODO SIMPLEX

OBJETIVO Resolver mediante la regla de Gauss.

REQUISITO Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan.

Forma de Pivote.- Es el número que se interseca entre la fila y la columna.

• EJERCICIO N°1

2 3 4 3 (-3) 4/5 1 2/5 2/5

4/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4

-1/2 0 2/5 2/5 -1/5 0 2/5 2/5

• EJERCICIO N° 2

5 2 2 2 3 25/7 0 10/7 -4/7 17/7 2 3 3 4 2 - 1/7 0 15/7 1/7 8/7 4 3 2 2 5 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 5 7 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7

• EJERCICIO N° 3

7 2 4 6 5 3 3/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2 4 3 3 5 2 3 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4

5 4/5 1 2/5 2/3)-( 5/9 5/14 0 5/2-

X1 X2 X3

5/5 0 14/5 9/2 4 9 4 7

2 3 3 4 2 2 5 4

5 6 7 8 4 2 5/8 3/4 7/8 1 1/2 1/4 8 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 4 3 5 2 7 4 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2

EJERCICIO N° 4

3 2 9 7 2 5 3

8 3 3 7

4 6 5

5

4 3 5 6 7

EJERCICIO N°5

3 4 2 5 3 2 4 2 3 6 2 3 2 8 4

7 9 4 3 5 9 8 3 2

8 3 2 5 3 2

CONCEPTOS:

-15/2 -4 0 -1/2 -11/2

-13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3

7/6 2/3 1 5/6 5/6

-11/6 -1/3 0 11/6 17/6

-5 1 0 0 0 0 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0 -14 2 0 -3 3 0 -33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7 4 3/2 1 5/2 3/2 1

Pivote.- El Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente.

Vector Entrante.- Es la columna que contiene el número más pequeño. Vector Saliente.- Es aquel número positivo más pequeño que resulta de la

división de los términos independientes para el vector entrante.

Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización requieren otro tratamiento. Z = 20A + 30B

2A +2B ≤ 5

S.a.

A + B ≤ 3

3 1 0 1 1 H2 5 0 1 2 2 H1

0 0 0 30- 20- Z ORLAV H2 H1 B A Z

Vector Entrante: B Vector Saliente: H1 Pivote: 2

EJERCICIO N°6

El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z sean ≥ 0

Z = 3X1 + 4X2 + 9X3

S.a.

2X1 + 2X2 ≤ 10 2X2 + 5 X3 ≤ 16 3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9 C.T. X1, X2, X3 ≥ 0

Convertir en igualdades Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2X1+2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1– 2X2 - 7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3

Variables Holgura 1. Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2. 2X1+2X2 +H1 = 10 3. 2X2 + 5X3 +H2 = 16 4. 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3 ≥ 0

Vector Entrante: X3 Vector Saliente: H3 Pivote: -7

EJERCICIO N°7 MAX: Z= 3X1 + 2X2 S.a. 2X1 + X2 ≤ 18

2X1 + 3X2 ≤ 42

3X1 + X2 ≤ 24

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR:

Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3

2X1 + X2 + H1 ≤ 18

2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42

3X1 + X2 + H3 ≤ 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0

2X1 + X2 + H1 = 18

2X1 + 3X2 + H2 = 42

3X1 + X2 + H3 = 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 33

VALORES ÓPTIMOS

X1=3

X2=12

H1=0

H2=0

H3=3

EJERCICIO N°8 MAX: Z= 3000X1 + 4000X2 S.a.

X1 + X2 ≤ 5 X1 - 3X2 ≤ 0

10X1 + 15X2 ≤ 150 20X1 + 10X2 ≤ 160 30X1 + 10X2 ≤ 150 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR

Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5

X1 + X2 + H1 ≤ 5

X1 - 3X2 + H2 ≤ 0 10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150

DEISY SHAMBI QUINTO SEMESTRE “A”

20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160 30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0


Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0

X1 + X2 + H1 = 5 X1 - 3X2 + H2 = 0 10X1 + 15X2 + H3 = 150 20X1 + 10X2 + H4 = 160 30X1 + 10X2 + H5 = 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES VALOR

Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 Z 1 0 0 0 0 0 0

H1 0 1 0 0 0 0 5

H2 0 1 -3 0 1 0 0

0

1

0

0

1

0

1

0

H3 0

0

10

20

15 0 0 1

0 1 0

150

H4 10 160

H5 0 30 10 0 0 0

150

VE= X2 VS= H1 PIVOTE= 1

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES VALOR

Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5

Z 1 1000

1

4

-5

10

20

0

1

0

0

0

0

4000 0 0

1 0 0

3 1 0

-15 0 1

-10 1 0

-10 0 0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

20000

X2 0

0

5

H2 15

H3 0

0

75

H4 110

H5 0 100

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 20000

DEISY SHAMBI

VALORES ÓPTIMOS

X1=0 X2=5

H1=0 H2=15 H3=75 H4=110 H5=100

EJERCICIO N°9 MAX: Z= X1 + X2 S.a.

X1 + 3X2 ≤ 26

4X1 + 3X2 ≤ 44

2X1 + 3X2 ≤ 28 X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3

X1 + 3X2 + H1 ≤ 26 4X1 + 3X2 + H2 ≤ 44 2X1 + 3X2 +H3 ≤ 28 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0 X1 + 3X2 + H1 = 26 4X1 + 3X2 + H2 = 44 2X1 + 3X2 +H3 = 28 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

DEISY SHAMBI QUINTO SEMESTRE “A”

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR

Z 1 -1

1

-1 0 0

1 0

0

0

0 H1 0 3

26

H2 0 4 3 0 1 0 44

H3 0 2 3 0 0 1 28

VE= X1 VS= H2 PIVOTE= 4

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR

Z 1 0

0

1

- 1/4 0 1/4

-1/4

1/4

0

0

0

11

H1 0

0

13/4 1

0

15

X1 3/4 11

H3 0 0 11/2 0 -1/2 1 6

VE= X2 VS= H3 PIVOTE=3/2

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR

Z 1 0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1/6

1/3

1/2

-1/3

1/6

-11/6

-0,083333

2/3

12

H1 0 8

X1 0 8

X2 0 4

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 12

VALORES ÓPTIMOS

X1=8 X2=4

H1=08 H2=0 H3=0

EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICA DE PENALIZACIÓN, TÉCNICA DE VARIABLES ARTIFICIALES O TÉCNICA DE M

≤ + H1 (Si) Max -M = + A1 (Ri) Min +M ≥ - H1+A1


-2X1 + 3X2 = 3 X1 + 2X2 ≤ 5

6X1 + 7X2 ≤ 3

X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR

Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2

-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 ≤ 5

6X1 + 7X2 + H2≤ 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z - 5X1 - 6X2 + MA1 - 0H1- 0H2 = 0

2MX1 - 3MX2 - MA1 = -3M

Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M S.a.

-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 = 5

6X1 + 7X2 + H2= 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR

Z 1 2M- 5

-2

1

0 0 0

1

0

(-)3M

A1 0 0 0 3

H1 0 2 1 0 5 H2 0 6 7 0 1 0 3

VE= X2 VS= H2 PIVOTE=7

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR

Z 1 32/7M+ 1/7

-44/7

- 5/7

6/7

0

0

0

1

0 3/7M+ 6/7

0 - 3/7

1 - 2/7

0 1/7

0

1

0

0

(-)12/7M+18/7

A1 0 15/7

H1 0 41/7

X2 0 3/7 SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 18/7

VALORES ÓPTIMOS

X1=0 X2=3/7

H1=41/7 H2=0


2X1 + 6X2 = 2 5X1 + 4X2 = 3

4X1 + X2 ≤ 5 X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1

2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M)

5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M)

4X1 + X2 +H1 ≤ 5

X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0


Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1 = 0

-2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M

-5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M

Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1 = -5M S.a.

2X1 + 6X2 +A1 = 2 5X1 + 4X2 +A2 = 3 4X1 + X2 +H1= 5

X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z 1 (-3-7M)

0 0 0 (-)5M

A1 0 2 1 0 0 2

A2 0 5 4 0 1 0 3

H1 0 4 1 0 0 1 5 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=6 VARIABLES

BÁSICAS VARIABLES

Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z 1 (-

)11/3M 0

1 3/2+5/3M 0

1/6 0

0

0

3-5/3M

X2 0 1/3 1/3 A2 0 32/3 0 - 2/3 1 0 12/3 H1 0 32/3 0 - 1/6 0 1 42/3

VE= X1 VS= A2 PIVOTE=32/3

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z 1 0 0 0 3/2+2M M 0 3

1

0

1

0

0

5/6

- 1/5

1/2

X2 0 0 0

1/4 0

1/5

X1 0 4/9

H1 0 -1 1 21/6

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 3

VALORES ÓPTIMOS

X1=4/9

X2=1/5

H1=21/6

H2=0

EJERCICIOS DE MINIMIZACIÓN

EJERCICIO N°12 MIN: Z= 3/2X1+2X2 S.a.

2X1 + 2X2 ≤ 8 2X1 + 6X2 ≥ 12 X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M)

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z – 3/2X1 - 2X2 - MA1 -0H1 - 0H2 = 0

2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M

Z+ (2M-3/2) X1 + (6M-2) X2 -0H1 –MH2 = 12M (-1)

-Z-(3/2-2M) X1-(2-6M) X2 +0H1+MH2 = -12M

S.a.

2X1 + 2X2 + H1 = 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z -1 3/2-2M 2-6M 0 0 M (-)12M

H1 0 2 2 0 1 0 8

A1 0 2 6 1 0 -1 12 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=6

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z -1 5/6

11/3

1/3

0

0

1

(-1/3+M) 0

- 1/3 1

1/6 0

1/3

1/3

-4

H1 0 4

X2 0 - 1/6 2

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 4

VALORES ÓPTIMOS

X1=0 X2=2

H1=4

EJERCICIO N°13 MIN: Z= 4X1 + 5X2

S.a.

2X1 + 2X2 ≤ 10 2X1 + 6X2 ≥ 18 X1 + X2 = 7

Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10

2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M)

X1 + X2 +A2 = 7 (M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0


Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0

2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M

MX1 + MX2 +MA2 = 7M

Z +(3M-4) X1+(7M-5) X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)

-Z- (4-3M) X1-(5-7M )X2 +0H1+MH2 = -25M

S.a.

2X1 + 2X2 + H1 = 10 2X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18 X1 + X2 +A2 = 7

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABL

ES

Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z -1 4-3M

2

5- 7M

2

0 0

0

0

1

M

0

(-)25M

H1 0 0 10

H2 0 2 6 1 0 0 -1 18

A2 0 1 1 0 1 0 0 7 VE= X2 VS= H2 PIVOTE=6

VARIABLES

BÁSICAS VARIABLE S


Z -1 7/3-

2/3M 0 (-

0 5/6+7/6M)

0 5/6-1/6M -4

H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3

X2 0 1/3 1 1/6 0

- 1/6 1

0

0

- 1/6

1/6

4

A2 0 2/3 0 2 VE= X1 VS= H1 PIVOTE=4/3 VARIABLES

BÁSICAS VARIABLES


Z -1 0

1

0

0

0

0

1

0

(-1/4+M)

- 1/4

1/4

0

(-0

7/4+1/2M) 0 3/4

0 - 1/4

1 - 1/2

1/4

1/4

- 1/4

0

(-22-2M) X1 0 3 X2 0 2 A2 0 2

El ejercicio no tiene solución.


X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12

3X1 + 2X2 = 18 Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1

X1 + H1 ≤ 4

2X2 + H2 ≤ 12

3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M)

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z - 3X1 - 5X2 -0H1 -0H2 +MA1= 0

-3MX1 -2MX2 - MA1= -18M

Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M S.a.

X1 + H1 = 4 2X2 + H2 = 12 3X1 + 2X2 + A1 = 18 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS


Z 1 0 0 0 (-18M) H1 0 1 0 1 0 0 4

H2 0

0

0 2 0 1

0 0

0

1

12

A1 3 2 18 VE= X1

VS= H1 PIVOTE=1

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES


Z 1

0

0

0

1

0

3M+3 0 0

0

(-6M)+12

X1 0

2

1 0 4

H2 0 1 0 12

A1 0 0 2 -3 0 1 6 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=2

VARIABLES BÁSICAS


Z 1

0

0

1

0 -4 1/2 0 M+5/2 27

X1 0 1 0 0 4 H2 0 0 0 3 1 -1 6

X2 0 0 1 -1 1/2 0 1/2 3 VE= H1 VS= H2 PIVOTE=3

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES


Z 1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0 1 1/2

0 - 1/3

1 1/3

0 1/2

M+1 36

X1 1/3 2

H1 - 1/3 2

X2 0 6

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 36

VALORES ÓPTIMOS

X1=2

X2=6

H1=2

H2=0

EJERCICIO N°15 MIN: Z= 3X1 + 5X2 S.a.

X1 ≤ 4 2X2 = 12

3X1 + 2X2 ≥ 18 Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1)

-Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 – 0H2 -MA1 - MA2 S.a.

X1 + H1 ≤ 4

2X2 + A1 ≤ 12(-M)

3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0


-Z + 3X1 + 5X2 +0H1 +0H2 +MA1 + MA2 = 0

-2MX2 -MA1 = -12M

- 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M

Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1 +MH2 = -30M S.a.

X1 + H1 = 4

2X2 + A1 = 12

3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIAB LES Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z -1

1

0 M 0

0 0

0

0

(-30M)

H1 0 0 1 4 A1 0 0 2 0 0 1 0 12

A2 0 3 2 0 -1 0 1 18 VE= X2 VS= A1 PIVOTE=2

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z -1 0 0

1

M 2M- 5/2

0 0

0 1/2

0 (-6M-30)

H1 0 1

0

0 0

0

4

X2 0 1 6

A2 0 3 2 0 -1 -1 1 6 VE= X1 VS= A2 PIVOTE=3

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES

Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z -1 0

0

0 1

0

0

1

0

0

1

0

0

1 M- 3/2

1/3 1/3

0 1/2

- 1/3 - 1/3

M-1 36

H1 0 - 1/3 2

X2 0 0

1/3

6

X1 0 2

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 36

VALORES ÓPTIMOS

X1=2

X2=6

H1=2

H2=0

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