Programacin Lineal

Programacin LinealMtodo SimplexSolucin con SolverForma EstndarEs una forma particular de un problema de programacinlineal en la cual la funcin objetivo debe ser Maximizada,solamente existen restricciones de igualdad y todos loslados derechos de las restricciones y las variables son nonegativas.Variables de igualacinVariable Floja o de holgura: variable no negativa que se agregaal lado izquierdo de una restriccin menor o igual para convertirla en igualdad.Variable supervit o de excedente: variable no negativa quese resta del lado izquierdo de una restriccin mayor o igualpara convertirla en igualdad.Normalmente se representan por la letra SEnunciado:Cualquier restriccin puede ser convertida en igualdad sumando una variable de holgura no negativa del lado izquierdo.

Cualquier restriccin se puede convertir en igualdad restando una variable de excedente no negativa del lado izquierdoForma EstndarEjemplo:Colocar en forma estndar el siguiente sistema lineal:

Max x1 + x2

8x1 + 7x2 + S1 = 566x1 + 10x2 + S2 = 60 x1 + S3 = 6 -x1 + x2 - S4 = 6Forma Estndar4 restricciones con 2 variables4 restricciones con 6 variablesEjemplo:Una fbrica de TV`s produce 2 tipos de televisiones, el Astroy el Cosmo. Hay dos lneas de produccin, una para cada tipode televisor y dos departamentos; ambos intervienen en laproduccin de cada aparato. La capacidad de la lnea deproduccin Astro es de 70 TV/da y la de Cosmo es de 50.En el departamento A se fabrican los cinescopios, en esedepartamento los TV Astro requieren 1 hr./hombre de trabajo y los Cosmo 2 hrs./hombre, y pueden asignarse un mximo de 120 hrs./da. En el departamento B se construye el chasis, este es igual para ambos y consume 1 hrs./hombre c/u y se pueden asignar 90 hrs./da. La utilidad por aparato es de $20.00 para Astro y $10.00 para Cosmo.Ejemplo:Hrs./ aparatoAstroACosmoCDisponibilidadDepartamento A12120Departamento B1190Capacidad 7050Utilidad2010Ejemplo:

Planteamiento:Forma estndar:Max 20A + 10C

A + 2C + S1 = 120A + C + S2 = 90A + S3 = 70 C + S4 = 509080706050403020100102030405060708090100110120CADepto. ADepto. BA = 70C = 50Representacin grfica9080706050403020100102030405060708090100110120CAIIIIIIIVVVIPunto ptimoA=70, C=20A = 0S4 = 0S1 = 0S2 = 0S3 = 0C = 0DefinicinVariables Bsicas: son aquellas variables que en un vrticeson diferentes de 0.Variables no bsicas: son aquellas que en un vrtice tienenvalor igual a 0.Para cualquier problema de PL escrito en forma estndar con restricciones de igualdad, el nmero de variables positivas en cualquier vrtice es igual o menor que el nmero de restricciones.Representacin grfica98765432101234567891011X2X1

4213Regin factibleX2X1IIIIIIIVVP1S1 , S2 , S3 , S4 0Conteo de positivas en vrtices

Vrtice degeneradoDefinicin:El algoritmo Simplex es un mtodo algebraico sistemtico queexamina los vrtices de un conjunto factible de programacin lineal en busca de una solucin optima.En particular el mtodo comienza con la determinacin de un vrtice inicial y luego recorre la regin factible hasta encontrarla solucin optima basado en los costos de oportunidad.Definicin:Cada vrtice se representa algebraicamente como una clasede solucin particular de un conjunto de ecuaciones linealesCada movimiento en la secuencia se llama ITERACIN oPIVOTEO. El modelo utiliza la forma estndar.Mtodo SimplexIIIIIIIVVVIPunto ptimoA=70, C=20A = 0S4 = 0S1 = 0S2 = 0S3 = 0C = 0Herramienta SolverEs una de las herramientas que proporciona Excel. Consisteen identificar en una hoja de clculo normal, las celdas querepresentaran las variables de decisin e introducir la funcinobjetivo y las restricciones en funcin de estas celdas. Unavez identificados se ejecuta la herramienta Solver, indicando si el sistema se desea maximizar o minimizar y se obtienen lasrespuestas al sistema.Herramienta Solver

Herramienta Solver

Herramienta Solver

Herramienta SolverHerramienta Solver

Herramienta SolverSe coloca la celdaen donde esta el objetivoSe escoge el objetivo del problemaSe colocan las variables de decisinSe colocan las restricciones

Herramienta SolverEjemplo:

Respuesta de una aplicacin solverEjemplo:La confederacin agrcola sur esta formada por tres pequeas comunidades, la planeacin global del grupo se hace en una oficina de coordinacin tcnica. En la actualidad planean la produccin agrcola para el prximo ao.La produccin esta limitada tanto por la extensin de terreno disponible para irrigacin como por la cantidad de agua que la Comisin de Aguas asigne.ComunidadTerreno disponible (acres)Asignacin de agua (pies-acre)140060026008003300375Ejemplo 1:Los tipos de cultivo adecuados para la regin incluyen remolacha, algodn y sorgo, que son precisamente los que estn es estudio para la estacin venidera. Los cultivos difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de agua. Adems el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad mxima de acres que la Confederacin puede dedicas a estos cultivosCultivoCantidad mxima en acresConsumo de agua (acre-pie/acre)Rendimiento neto ($/acre)Remolacha60031000Algodn5002750Sorgo3251250Ejemplo 1:Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigacin, la confederacin no podr utilizar todo el terreno irrigable para los cultivos de la prxima temporada, para asegurarse la equidad entre las tres comunidades han acordado que cada uno sembrar la misma proporcin de sus tierras irrigables disponibles. Por ejemplo la comunidad 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces la comunidad 2 deber sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que la comunidad 3 sembrar 150 de sus 300 acres.Cualquier combinacin de estos cultivos se pude sembrar en cualquiera de las granjas. El trabajo al que se enfrenta la oficina es asignar cuantos acres debern sembrarse en cada comunidad cumpliendo con las restricciones.PlanteamientoEjemplo 2:Un gerente de personal debe elaborar un programa de vigilancia de modo que se satisfagan los requerimientos de personal que se muestran en las siguientes tablas.Los guardias trabajan turnos de 8 hrs. Todos los das hay seis turnos, el gerente de personal quiere determinar cuntos guardias debern trabajar en cada turno con el objetivo de minimizar el nmero total de guardias que satisfaga los requerimientos de personal.Ejemplo 2:TiempoNumero mnimo de oficiales requeridosMedianoche 4 am54 am. 8 am.78 am. Medioda15Medioda 4 pm.74 pm. 8 pm.128 pm. Medianoche9Ejemplo 2:TURNOHORA DE ENTRADAHORA DE SALIDA1Medianoche8:00 am.24:00 am.Medioda38:00 am.4:00 pm.4Medioda8:00 pm.54:00 pm.Medianoche68:00 pm.4:00 am.Planteamiento y solucinTAREAMQUINADEMANDA MXIMAPRODUCTO1234A51063400B3648100C4533150D4212500PROBLEMA 1Un problema de produccin. Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier combinacin de cuatro productos diferentes (A, B, C, D). Para cada producto siempre se requiere invertir tiempo en cuatro mquinas distintas, el cual est expresado en minutos / kilogramo de producto, como se puede apreciar en la siguiente tabla. Cada mquina tiene una disponibilidad de 60 hrs. /semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $9, $7, $6 y $5 por kilo respectivamente. Los costos variables de mano de obra son de $2 por hora para las mquinas 1 y 2 y de $3 por hora para las mquinas 3 y 4. Los costos de material para cada kilo del producto A son de $4. Los costos de material para cada kilo de los productos B, C y D son de $1. Formule el modelo de PL que maximice las ganancias, dada la demanda mxima del producto que se muestra a continuacin y resulvalo.TAREAPROBLEMA 2Un problema de produccin. Un fabricante tendr que atender cuatro pedidos de produccin A, B, C, y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo utilizado para completar cada trabajo en uno de estos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendr cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. Tambin existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporcin que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo de A puede hacerse en 8 horas en el taller 1 y una tercera parte del trabajo de C puede hacerse en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo que debern realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminacin de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisin, formule el PL para este problema y resulvalo.TIEMPO REQUERIDO (hrs.)COSTO POR HORA DEL TALLER ($)TIEMPO DE TALLER DISPONIBLE (hrs.)TALLERABCD132151721188916023914761126811603461555712184160TAREAPROBLEMA 3Un problema de programacin. Mientras permanece en las afueras de Estocolmo, el portaviones Mighty efecta maniobras de lunes a viernes y fondea el fin de semana. La prxima semana, el capitn desea dejar en tierra, desde el lunes hasta el viernes a la mayora de los 2,500 marineros de la tripulacin. No obstante, debe efectuar las maniobras de la semana y cumplir con los reglamentos navales. Dichos reglamentos son:Los marineros debern trabajar ya sea en el turno a.m. (de medianoche a medioda) o en el p.m. (de medioda a medianoche) cada uno de los das que estn en servicio y, durante toda la semana, tendrn que estar adscritos al mismo turno todos los das de servicio.Cada marinero que trabaje debe de estar en activo durante cuatro das, incluso cuando no haya suficiente trabajo real en alguno de esos das.La cantidad de marineros requeridos para cada uno de esos turnos, segn los diferentes das, se muestra en la siguiente tabla. Formule y resuelva este ejercicio como un problema de PL, de manera que podamos saber cuntos marineros trabajarn cada da.LMMJVA.M.9001000450800700P.M.8005001000300750TAREAPROBLEMA 4:Un problema de integracin. Alimentos Consolidados produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la mas suave). Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las frmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, as como la informacin de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. Alimentos Consolidados puede vender toda la salsa que elabore. Formule el modelo PL para maximizar las ganancias netas obtenidas por las ventas de estas salsas.SalsaIngredientePrecio de venta por litro ($)ABSpicy DiabloCuando menos 25%Cuando menos 50%$3.35Red BaronCuando mucho 75%No hay lmite$2.85Costo por litro$1.60$2.59TAREAPROBLEMA 5Administracin Agrcola. Una empresa opera 4 granjas de productividad comparable. Cada granja tiene una cierta cantidad de acres tiles y un nmero de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos para la siguiente temporada se muestran en la siguiente tabla 1. La organizacin est pensando en sembrar 3 cultivos, que difieren, segn se muestra en la tabla 2.GRANJAAREA UTILIZABLEHORAS DE TRABAJO DISPONIBLES x MES1500170029003000330090047002200CULTIVOAREA MXIMAHORAS DE LABOR AL MES x ACREUTILIDAD ESPERADA x ACREA7002$500.00B8004$200.00C3003$300.00Tabla 1Tabla 2TAREAPor otra parte, el rea total que puede ser destinada a cualquier cultivo particular est limitada por los requerimientos de equipo de cultivo, con el objeto de mantener, a grandes rasgos, cargas de trabajo uniformes entre las granjas, la poltica de la administracin es que el porcentaje del rea aprovechada debe ser el mismo en cada granja. Sin embargo, se puede cultivar cualquier combinacin de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las restricciones (incluyendo el requerimiento de carga de trabajo uniforme). La administracin desea saber cuntos acres de cada cultivo deben sembrarse en las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades. Formule esto como un modelo de programacin lineal.Hoja1VerticeVariables NulasVariables positivasNo. De positivasIX1 , X2S1, S2, S3, S44IIX1 , S2 , S4X2, S1, S33IIIS1, S2X1, X2, S3, S44IVS1, S3X1, X2, S2, S44VX2, S3X1, S1, S2, S44

Hoja2

Hoja3

Hoja1A=70C=20Max1600Depto A110120Depto B9090Cap.linea Astro7070Cap. Linea Cosmo2050