Introducción: Esta actividad consta de 4 ejercicios que te llevarán a la aplicación del procedimiento de resolución de problemas de Programación lineal. Existen dos procedimientos básicos para la solución que son el Método gráfico y el Método simplex Propósito: Esta actividad tiene la finalidad de que apliques tus conocimientos con respecto al uso de procedimientos de resolución de problemas de Programación lineal por los dos métodos aprendidos hasta el momento: el Método gráfico y el Método simplex. Lo anterior, será resolviendo los siguientes ejercicios, donde a partir de un modelo de programación lineal podrás aplicar ambos métodos y presentar una solución. Instrucciones: I) Lee cada ejercicio escrito al final de la actividad y resuelva según el método indicado. Para los ejercicios a resolver por el Método gráfico: 1.- Grafica la región factible y marca con un círculo las soluciones factibles en los vértices (FEV). 2.- En cada solución FEV identifica el par de ecuaciones de fronteras de restricción que satisface. 3.- En cada solución FEV, utiliza este par de ecuaciones de fronteras de restricción para obtener la solución algebraica de los valores de X1 y X2 en vértice. 4.- En cada solución FEV, identifica sus soluciones FEV adyacentes. 5.- En cada par de soluciones FEV adyacentes, identifica, en su ecuación, la frontera de restricción común. 6.- Escribe la solución del ejercicio. Para los ejercicios a resolver por el Método simplex: 1.- Convierte el modelo de la forma original a la forma estándar. 2.- Crea la tabla simplex y complétala con la forma estándar. 3.- Define la columna pivote o columna de entrada. 4.- Determina la variable de salida. 5.- Completa la tabla simplex con la iteración uno.

Ejercicio 1: 1.-Supón que X1 representa la cantidad de muebles de madera que se van a producir, y X2 representa la cantidad de muebles de metal que se van a producir.

Maximizar Z = 5X1 + 4X2

Sujeto a: 3X1 + 4X2 ≤ 10 -4X1 + 3X2 ≤ 6 3X1 + 1X2 ≤ 7

X1, X2 ≥ 0

Restricciones empleadas Zona gráfica generada de acuerdo a las restricciones indicadas

X1, X2 ≥ 0 Condiciones de no negatividad

3X1 + 4X2 ≤ 10 X1, X2 ≥ 0

3X1 + 4X2 ≤ 10 -4X1 + 3X2 ≤ 6 X1, X2 ≥ 0

3X1 + 4X2 ≤ 10 -4X1 + 3X2 ≤ 6 3X1 + 1X2 ≤ 7 X1, X2 ≥ 0

Región factible

Especificación de vértices de la región factible

Vértice Justificación (intersecciones de frontera)

A= (0,0) Es el origen del plano cartesiano

B=(7/3, 0) B es el punto de intersección de X2=0 y 3X1 + 1X2 = 7 Sustituyendo X2=0 en la ecuación obtenemos: 3X1 = 7 Resolviendo encontramos X1=7/3

C= (2,1) C es el punto de intersección de la recta 3X1 + 1X2 = 7 y 3X1 + 4X2 = 10 Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de eliminación (X1) obtenemos: 3X2 =3 Despejando obtenemos X2=1 Sustituyendo el valor encontrado en la ecuación: 3X1 + 1X2 = 7 Obtenemos: 3X1 + 1(1) = 7 Resolviendo la ecuación 3X1 =6 X1 =2

D=(0.24, 2.32) D es la intersección de las rectas 3X1 + 4X2 = 10 -4X1 + 3X2 = 6 Aplicando el método de eliminación, obtenemos el siguiente sistema equivalente 12X1 + 16X2 = 40 -12X1 + 9X2 = 18 Eliminando X1, obtenemos: 25X2 = 58 X2 = 58/25 =2.32 Sustituyendo el valor encontrado en 3X1 + 4X2 = 10 3X1 + 4(2.32) = 10 3X1 = 10 – 9.28 X1 = 0.24

E=(0,2) E es la intersección de -4X1 + 3X2 = 6 y X1=0 Sustituyendo y resolviendo: -4(0) + 3X2 = 6 3X2 = 6 X2 = 2

Búsqueda de óptimo en los vértices de la región factible: Maximizar Z = 5X1 + 4X2

Iteración Vértice iteración

Vértices adyacentes

Valor de Z ¿Se alcanza óptimo en el vértice de la iteración?

Dirección a tomar

1 A=(0,0) B=(7/3,0) y E=(0,2)

Z=0 cuando se evalúa en A. Z=35/3 cuando se evalúa en B. Z=8 cuando se evalúa en E

NO

Se direcciona la próxima iteración al punto B porque 35/3 es mayor que 8.

2 B=(7/3, 0) A=(0,0) C=(2,1)

Z=0 cuando se evalúa en A. Z=35/3 cuando se evalúa en B. Z=14 cuando se evalúa en C

No

Se direcciona la próxima iteración al punto C

3 C=(2,1) B=(7/3,0) D=(0.24,2.32)

Z=35/3 cuando se evalúa en B. Z=14 cuando se evalúa en C. Z=10.48 cuando se evalúa en D

SI Fin del proceso

El máximo de Z = 5X1 + 4X2 es Z= 14 y se alcanza cuando X1= 2 y X2=1

Ejercicio 2: Resuelve por el Método gráfico. Sea el modelo lineal:

Maximizar Z = X1 + 2X2

Sujeto a: X1 ≤ 2 X2 ≤ 2

X1 + X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0

Restricciones empleadas Zona gráfica generada de acuerdo a las restricciones indicadas

X1, X2 ≥ 0 Condiciones de no negatividad

X1 ≤ 2 X2 ≤ 2 X1, X2 ≥ 0

X1 ≤ 2 X2 ≤ 2 X1 + X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0

Región factible

Especificación de vértices de la región factible

Vértice Justificación (intersecciones de frontera)

A=(0,0) Es el origen del plano cartesiano

B=(2,0) B es la intersección de las rectas X1=2 y X2=0

C=(2,1) C es la intersección de la recta X1=2 y X1 + X2 = 3 Sustituyendo y resolviendo, obtenemos: X1 + X2 = 3; 2 + X2 = 3; X2 = 1

D=(1,2) D es la intersección de X2=2 y X1 + X2 = 3 Sustituyendo y resolviendo, obtenemos: X1 + X2 = 3 ; X1 + 2 = 3 ; X1 = 1

E=(0,2) E es la intersección de las rectas X1=0 y X2=2

Búsqueda de óptimo en los vértices de la región factible: Maximizar Z = X1 + 2X2

Iteración Vértice iteración

Vértices adyacentes

Valor de Z ¿Se alcanza óptimo en el vértice de la iteración?

Dirección a tomar

1 A=(0,0) B=(2,0) E=(0,2)

Z=0 cuando se evalúa en A. Z=2 cuando se evalúa en B. Z=4 cuando se evalúa en E

NO

Hacia el punto E

2 E=(0,2) A=(0,0) D=(1,2)

Z=0 cuando se evalúa en A. Z=5 cuando se evalúa en D. Z=4 cuando se evalúa en E

NO

Hacia el punto D

3 D=(1,2) C=(2,1) E=(0,2)

Z=4 cuando se evalúa en C. Z=5 cuando se evalúa en D. Z=4 cuando se evalúa en E

SI

Fin del proceso

El máximo de Z = X1 + 2X2 es Z=5 y se alcanza cuando X1= 1 y X2=2.

Ejercicio 3: Resolver por el método simplex el siguiente modelo lineal:

Maximizar Z = -X1 + X2 + X3

Sujeto a: X1 + 2X2 - X3 ≤ 20

-2X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 60 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 50 X1, X2, X3 ≥ 0

Paso 1. Transformación al sistema aumentado Variables de holgura X4, X5 y X6. Definidas de la siguiente manera: X4= 20 - X1 - 2X2 + X3 X5 =60 + 2X1 - 4X2 - 2X3 X6 =50 - 2X1 - 3X2 - X3

Por lo tanto obtenemos el problema de programación lineal aumentado equivalente:

Maximizar Z = -X1 + X2 + X3

Sujeto a: X1 + 2X2 - X3 + X4 = 20

-2X1 + 4X2 + 2X3 + X5= 60

2X1 + 3X2 + X3 + X6=50 X1, X2, X3 ,X4, X5, X6≥ 0

Paso 2. Tabla del método simplex

Paso 1. Sistema de acuerdo a iteración Paso 2. Paso 3 Paso 4

Iteración Ec.

Variable Z X1 X2 X3 X4 X5 X6

Lado Obtención del vértice Valor de Z en vértice Cociente

básica Derecho (X1, X2,X3, X4, X5, X6) ¿Óptimo?

0

(0) Z 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 20 60 50 Z=0

(1) X4 0 1 2 -1 1 0 0 20 No. Z aumenta cuando: 20/2=10 mínimo

(2) X5 0 -2 4 2 0 1 0 60 X2 aumenta y X1=X3=0 60/4=15

(3) X6 0 2 3 1 0 0 1 50 X3 aumenta y X1=X2=0 50/3=16.6

1

(0) Z 1 1.5 0 -1.5 0.5 0 0 10 0 10 0 0 20 20 Z=10

(1) X4 0 0.5 1 -0.5 0.5 0 0 10 No. Z aumenta cuando: 10/-0.5= -20 Fuera de la región factible

(2) X5 0 -4 0 4 -2 1 0 20 X3 aumenta y X1=X4=0 20/4=5 mínimo

(3) X6 0 0.5 0 2.5 -1.5 0 1 20 20/2.5=8

2

(0) Z 1 0 0 0 -0.25 0.375 0 17.5 0 12.5 5 0 0 7.5 Z=17.5

(1) X4 0 0 1 0 0.25 0.125 0 12.5 No. Z aumenta cuando: 12.5/0.25=50 mínimo

(2) X5 0 -1 0 1 -0.5 0.25 0 5 X4 aumenta y X5=0 5/-0.5= -10 Fuera de la región factible

(3) X6 0 3 0 0 -0.25

-0.625 1 7.5

7.5/-0.25= -30 Fuera de la región factible

3

(0) Z 1 0 1 0 0 1 0 30 a 0 b 50 0 c Z=30

(1) X4 0 0 4 0 1 0.5 0 50

¡Muchos Vértices! SI. Z ya no aumenta

Proceso terminado

(2) X5 0 -1 2 1 0 0.5 0 30

(3) X6 0 3 1 0 0 -0.5 1 12.5

El modelo aumentado tiene solución Z=30 en muchos puntos de la forma (a, 0, b, 50 , 0, c) donde a,b,c son números positivos. Por lo tanto el modelo lineal también tiene solución Z=30, cuando se evalúa en el plano de la forma (a,0, b) Por ejemplo un punto de este plano es (0,0,30) Ejercicio 5: Resolver por el método simplex el modelo lineal:

Maximizar Z = 2X1 - X2 + X3

Sujeto a: 3X1 + X2 + X3 ≤ 6 X1 - X2 + 2X3 ≤ 1 X1 + X2 - X3 ≤ 2 X1, X2, X3 ≥ 0

Solución Paso 1. Transformación al sistema aumentado Variables de holgura X4, X5 y X6. Definidas de la siguiente manera: X4= 6 - 3X1 - X2 - X3 X5 =1 - X1 + X2 - 2X3 X6 = 2 - X1 - X2 + X3

Por lo tanto obtenemos el problema de programación lineal equivalente en su forma aumentada es:

Maximizar Z = 2X1 - X2 + X3

Sujeto a: 3X1 + X2 + X3 + X4 = 6 X1 - X2 + 2X3 +X5 = 1 X1 + X2 - X3+ X6 = 2

X1, X2, X3 ,X4, X5, X6 ≥ 0 Paso 2. Tabla del método simplex

Paso 1. Sistema de acuerdo a iteración Paso 2. Paso 3 Paso 4

Iteración Ec. Variable

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Lado Obtención del vértice Valor de Z en el vértice

Cociente

básica Derecho (X1, X2, X3, X4, X5, X6) ¿Óptimo?

0

(0) Z 1 -2 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 6 1 2 Z= 0

(1) X4 0 3 1 1 1 0 0 6 NO. Aumenta cuando: 6/3=2

(2) X5 0 1 -1 2 0 1 0 1 X1 aumenta y X2=X3=0 1/1=1 mínimo

(3) X6 0 1 1 -1 0 0 1 2 2/1= 2

1

(0) Z 1 0 -1 3 0 2 0 2 1 0 0 3 0 1 Z=2

(1) X4 0 0 4 -5 1 -3 0 3 NO. Aumenta cuando: 3/4=0.75

(2) X5 0 1 -1 2 0 1 1 1 X2 aumenta y X3=X5=0 1/-1= -1 Fuera de la región

(3) X6 0 0 2 -3 0 -1 1 1 1/2=0.5 Mínimo

2

(0) Z 1 0 0 3 0 3 1 5 1.5 0.5 0 1 0 0 Z=2.5

(1) X4 0 0 0 1 1 -1 -2 1 SI. Fin del proceso

(2) X5 0 2 0 1 0 1 3 3 Z ya no aumenta

(3) X6 0 0 1 -1.5 0 -0.5 0.5 0.5

Por lo tanto el sistema aumentado tiene solución Z= 2.5 cuando se evalúa en (1.5, 0.5, 0, 1, 0, 0)

De esta manera, el modelo lineal original tiene solución Z=2.5 cuando se evalúa (1.5, 0.5, 0)

Referencia

Hillier y Lieberman. Introducción a la Investigación de Operaciones (9ª. Ed). Mc. Graw Hill