1. INVESTIGACIN DE OPERACIONES NARVEZ RANGEL ERWIN ARTUROSALDVAR CORONA ERIC ALNTOMAS CRUZ EDGAR OCTUBRE 2011

2. Es un mtodo genrico de solucin de problemas lineales,desarrollado por George Dantzig en 1947.Este mtodo llega a la solucin ptima por medio deiteraciones o pasos sucesivos, utilizando los conceptosbsicos del lgebra matricial, para determinar la interseccinde dos o mas lneas. Comienza con alguna solucin factible, ysucesivamente obtiene soluciones en las intersecciones queofrecen mejores funciones de la funcin objetivo.Finalmente, este mtodo proporciona un indicador quedetermina el punto en el cual se logra la solucin ptima. 3. Ejemplo 1: Maximizar Z = 3x1 + 2x2 Sujeto a:1. Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso s1, s2, s3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estndar. 4. Se obtiene la siguiente forma estndar de ecuaciones:2. Igualar la funcin objetivo a cero y despus agregar la variables de holgura del sistema anterior:Z - 3 x1 - 2 x2 = 0 Para este caso en particular la funcin objetivo ocupa la ltima fila del tablero, pero de preferencia siempre se deber de colocar como la primer fila. Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de la funcin objetivo para convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (+) negativo de la funcin objetivo para convertirlo en positivo. 5. 3. Escribir el tablero inicial simplex: En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las desigualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ultima fila con los coeficientes de la funcin objetivo: TABLERO INICIAL VARIABLEVARIABLE DE BASE DE DECISIN HOLGURASOLUCIN X1 X2S1 S2S3 S1 2 11 0 018 S2 2 30 1 042 S3 3 10 0 124 Z -3 -2 0 0 00 6. 4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, se determina el mayor valor del coeficiente negativo de la funcin objetivo. Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige cualquiera de ellos. Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos negativos. 7. La columna de la variable que entra en la base se llamacolumna pivote.Para encontrar la variable de holgura que tiene que salirde la base, se divide cada trmino de la ltima columnapor el trmino correspondiente de la columna pivote,siempre que estos ltimos sean mayores que cero.Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no sehace dicho cociente. En el caso de que todos los elementosfuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos unasolucin no acotada y no se puede seguir.El trmino de la columna pivote que en la divisinanterior d lugar al menor cociente positivo, indica la filade la variable de holgura que sale de la base, S3.Esta fila se llama fila pivote. 8. ITERACIN 1 VARIABLE DEBASEDECISIN VARIABLE DE HOLGURA SOLUCIN OPERACIN X1X2 S1S2 S3 S121 10 0 1818/2=9 S223 01 0 42 42/2=21 S331 00 1 2424/3=8 Z -3-2 00 0 0X1; Variable de decisin, columna pivote.S3; Variable de holgura que sale, fila pivote. 9. Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir directamente de la base. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, este indica que la variable de decisin X1 entra y la variable de holgura S3 sale.5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex. Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional, ya que este se debe convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z. 10. RESULTADO ITERACIN 1 VARIABLE DEVARIABLE DEBASEDECISIN HOLGURA SOLUCIN OPERACINX1X2 S1 S2S3 S1 0 1/31 0-2/32 f(S1) 2 f(X1) S2 0 7/30 1-2/326f(S2) 2 f(X1) S3 1 1/30 0-1/38 (1/3) X1 Z0-10 01 24f(Z) +3 f(X1)Como en los elementos de la ltima fila hay un numeronegativo, -1, significa que no hemos llegado todava a lasolucin ptima. Hay que repetir el proceso. 11. La variable que entra en la base es x2, por ser la columnapivote que corresponde al coeficiente -1.Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimoslos trminos de la columna solucin entre los trminos dela nueva columna pivote: y como el menor cocientepositivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable deholgura que sale es S1.El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3, y seopera de forma anloga a la anterior iteracin. 12. ITERACIN 2 VARIABLE DE VARIABLE DEBASEDECISINHOLGURA SOLUCIN OPERACINX1X2S1 S2S3 S1 0 1/3 1 0-2/32 2/(1/3)=6 S2 0 7/3 0 1-2/32626/(7/3)=78/7 S3 1 1/3 0 0-1/388/(1/3)=24 Z0-1 0 01 24X2; Variable de decisin, columna pivote.S1; Variable de holgura que sale, fila pivote. 13. RESULTADO ITERACIN 2VARIABLE DEVARIABLE DEBASE DECISIN HOLGURA SOLUCIN OPERACINX1X2S1 S2S3 S1 013 0-263X2 S2 00-704 12f(S2) (7/3) f(X2) S3 10-101 6 f(X1) (1/3) f(X2) Z003 0-130 f(Z) + f(X2)Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1,significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima.Hay que repetir el proceso. 14. La variable que entra en la base es S3, por ser la variable quecorresponde al coeficiente -1.Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos dela ltima columna entre los trminos correspondientes de lanueva columna pivote: y como el menor cociente positivo es3, tenemos que la variable de holgura que sale es S2. (6/(-2)) =-3 , (12/4) =3, y (6/1) =6El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. 15. ITERACIN 3 VARIABLE DE VARIABLE DEBASEDECISINHOLGURA SOLUCIN OPERACINX1 X2 S1 S2S3 S1 0 130-26 No se toma (-) S2 0 0 -704 12(12/4)=3 S3 1 0 -101 6(6/1)=6 Z0 030-130S3; Variable de decisin, columna pivote.S2; Variable de holgura que sale, fila pivote. 16. RESULTADO ITERACIN 3 VARIABLE DE VARIABLE DEBASEDECISINHOLGURA SOLUCIN OPERACINX1X2S1 S2S3 S1 013 0-263X2 S2 00-704 12f(S2) (7/3) f(X2) S3 10-101 6 f(X1) (1/3) f(X2) Z003 0-130 f(Z) + f(X2) 17. TABLERO FINALVARIABLE DE VARIABLE DE BASEDECISINHOLGURA SOLUCIN X1X2 S1S2S3S1 01-1/200 12S2 00-7/400 3S3 10-3/401 3Z00 5/400 33Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivoson positivos, hemos llegado a la solucin ptima.Los solucin ptima viene dada por el valor de Z en lacolumna de los valores solucin, en nuestro caso: 33. 18. Ejemplo 1: Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena yde 180 refrescos de cola sin cafena. Los refrescos se vendenen paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienentres refrescos con cafena y tres sin cafena, y los de tipo Bcontienen dos con cafena y cuatro sin cafena. El vendedorgana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 eurospor cada uno que vende de tipo B. Utilizando el TORAsolucione el siguiente problema mediante el MtodoSimplex, para determinar cuntos paquetes de cada tipodebe vender para maximizar los beneficios y calcular ste.Variables: A = Cantidad de paquetes A a vender. B = Cantidad de paquetes B a vender. 19. Funcin Objetivo : Z = 6A + 5B (utilidad a maximizar)Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda lainformacin disponible para visualizar mejor lasrestricciones del problema:Sujeto a:Restriccin 1: 3A + 2B 120 (con cafena)Restriccin 2: 3A + 4B 180 (sin cafena) 20. 1. Ingrese al programa TORA, luego Lineal Programing e ingrese la siguiente informacin:2. Ingrese los valores del modelo modificado en la tabla de datos como sigue: 21. 3. Luego de guardar los datos, Hacemos clic en el botn SolveModify / Solve Problem / Algebraic / Iterations / Bounded simplex. 22. 4. Sin hacer algn cambio, hacer clic en el botn Go to Output Screen. El cual le mostrar el tablero inicial:5. Haga luego clic en Next Iteration en forma contnua hasta llegar a la solucin ptima. 23. SCHRAGE, L., Implicit Representation of GeneralizedVariable Upper Bounds in Linear Programming, MathematicalProgramming, 14 (1), pp 11-20.BAZARAA, Mokhtar S., Lineal Programming and NetworkFlows, 2 Ed., Mexico, Limusa, 2004.