Universidad Nacional de Mar del Plata Departamento de Ingeniera Elctrica rea Electrotecnia Autor:Ingeniero Electricista Gustavo L.Ferro Prof. Adjunto Electrotecnia EDICION 2010 El mtodo de las Componentes Simtricas Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 1 ndice 1Introduccin 2Orden de fases y simetra

3Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas 4El vector operador"a" 5Teorema de Fortescue 6Determinacin de las componentes simtricas 7Tensiones trifsicas desequilibradas en componentes simtricas 8Corrientes trifsicas desequilibradas en componentes simtricas 9Potencia en funcin de componentes simtricas 10Impedancias de secuencia o secuenciales 11Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero 12Casos elementales tpicos de resolver con componentes simtricas 13F.e.m.s. generadas por los alternadores trifsicos 14La corriente de neutro 15Ejemplos numricos de aplicacin del Mtodo de las Componentes Simtricas Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 2 1.Introduccin Elanlisisdeuncircuitotrifsicodetensionesycorrientesperfectas(igualmagnitud enlastresfasesydesplazadasentresi120)yenelcualtodosloselementosdel circuito,encadaunadelasfases,sonsimtricosybalanceadosesrelativamente simple,yaqueestecircuitotrifsicopuedeserestudiadomedianteeldenominado "equivalente monofsico", que nos lleva a la misma solucin directamente. ElanlisisdelasleyesdeKirchhoffesmuchomsdifcilcuandoelcircuitonoes simtrico,talelcasodetratarsedecargasdesbalanceadas,cortocircuitosasimtricos,etc. Sedicequeuncircuitotrifsicoesasimtricooestdesequilibrado,cuandolas f.e.m.delosgeneradoresdealimentacinnoestnequilibradasocuandolos receptoresnoestnsimtricamenteconectadosalared.Setratedeunauotra causa, resulta que las tensiones e intensidades dejan de ser equilibradas. Esta situacin seda,confrecuencia,enlossistemasdetransporteydistribucindeenergaelctrica cuando se producen cortocircuitos o fallas Enelao1918,C.L.Fortescuepresentenunareunindel"AmericanInstituteof Electrical Engineers", un trabajo que constituye una de las herramientas ms poderosas para el estudio de los circuitos polifsicos desequilibrados. Paraelanlisisdeestoscircuitos,Fortescue,ideelllamado"mtododelas componentessimtricas", que consiste en descomponer un sistema asimtrico en los llamados"sistemassimtricos",tambindenominados"componentessimtricas" del sistema original. Laideadelmtodoconsisteensuponerquetodocircuitotrifsicoasimtricoy desequilibrado puede ser expresado por medio de la suma o composicin de tres sistemas simtricos, los que a su vez son fcilmente solubles. Aunqueelmtododelascomponentessimtricasseaplicaalanlisisdecualquier sistemapolifsico,deaquenadelantenosreferiremosparticularmenteasistemas trifsicos, dado que son los que ms frecuentemente encontramos. Estemtododeanlisishaceposiblelaprediccin,fcilmenteyexactamente,del comportamientodelossistemasdepotenciadurantelascondicionesde cortocircuito asimtricos o cargas desbalanceadas. Las componentes simtricas suministran un instrumento para determinar analticamente elrendimientodeciertostiposdecircuitoselctricosnobalanceadosquecontienen mquinas elctricas rotatorias. Este instrumento es particularmente til en el anlisis del rendimiento de maquinaria elctrica polifsica, cuando se hace funcionar desde sistemas de tensiones desbalanceados. Aunque puede ser usado para resolver redes estticas no balanceadas, esta aplicacin seraengeneralmsmolestaylaboriosaquelosquelosmtodosyaestudiados.En cambio, para redes no balanceadas que contienen mquinas rotativas, el mtodo de lascomponentessimtricassuministraelnicoprocedimientoprcticopara computar los efectos no balanceados de estas mquinas y es ampliamente usado. Resumiendo con este mtodo analtico- grficose pueden resolverlos siguientes tipos de problemas: Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 3 -Cortocircuitos monofsicos. -Cortocircuitos bifsicos con/ sin contacto a tierra. -Cortocircuitos trifsicos. -Sistemas trifsicos perfectos con cargas desequilibradas. -Sistemas trifsicos asimtricos con cargas equilibradas. -Sistemas trifsicos asimtricos con cargas desequilibradas. Como el cortocircuito tripolar equivale a un sistema equilibrado, su resolucin se obtendr por los mtodos clsicos llegando a la conclusin de que cadafase es recorrida por igual corriente eficaz de cortocircuito. 2.Orden de fases y simetra Altratarconcorrientesytensionesdecorrientealternaencircuitostrifsicos,sedebe establecer la idea de orden de fases o secuencia de fases Si se consideran tensiones senoidales de una frecuencia dada, la tensin de una fase del generadoralcanzaunciertopuntodesucicloporejemplomximopositivoenun instantedado.Unciertoinstantemstarde,latensindeotrafasealcanzaelmismo punto de su ciclo, y lo mismo sucede con la tercera fase. Si el mximo de la tensin de la fase A, es seguido por el mximo de la fase B, y a su vez por el mximo de la fase C, se dice que el orden de fases es ABC Por el contrario, si el mximo de la tensin de la fase A es seguido por el mximo de la fase C y luego por la fase B, se dice que el orden de fases es ACB El sentido de rotacin de los fasores giratorios en funcin del tiempo es en todo caso el contrarioalasagujasdeunreloj.Estesentidosehadefinidocomonormal internacionalmente. Figura 1. Tensiones trifsicas de orden de fases ABC y ACB Elordende fasesdependedelsentidoderotacin,delaconstruccinyconexionesde los devanados del generador y de la denominacin de los terminales. Silastrestensionesocorrientestrifsicasdeunafrecuenciadadasondeigual magnitudydifierenunodelotroenelmismongulodefase,sedicequelas tensiones y corrientes forman un sistema simtrico. Evidentemente, slo haytres sistemas trifsicos simtricos posibles. Estos se muestran enlaFigura2comosimtricodesecuenciapositiva,cuyoordendefasesesABC; simtricodesecuenciacero,llamadaasporquelastensionesdelastresfasesestn representadasporfasoressinordendefases,ysimtricodesecuencianegativacuyo orden de fases es ACB. E BN E AN E CN E CN E AN E BN Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 4 Sistema trifsico de tensiones de Secuencia positiva Sistema trifsico de tensiones de Secuencia negativa Sistema trifsico de tensiones de Secuencia cero Figura2. Sistemas simtricos de fasores de tensiones trifsicos Conectandounacargaequilibradaaunafuentedetensionestrifsicasequilibradase obtienen corrientes equilibradas. La suma de los fasores de un sistema simtrico positivo o negativo es cero. 3.Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas Sedicequeunsistemapolifsicoesperfecto,cuandotratndosedealternadores trifsicossegenerantensionesidnticasenamplitudyconigualesdesfasajes entre ellas Para los sistemas trifsicos podemos citar algunas definiciones interesantes: SISTEMA EQUILIBRADOUAN + UBN + UCN = 0 SISTEMA PROPIOo = | = = 120 SISTEMA REGULAR UAN= UBN=UCN

En base a estas tres definiciones podemos establecer lo siguiente: SISTEMA TRIFSICO PERFECTO es todo sistema trifsico que cumple simultneamente las condiciones de propio y regular. En base a estas definiciones. Podemos afirmar que: Un sistema trifsico perfecto es equilibrado 4.El vector operador de giro "a" Porconvenienciaenlanotacinymanipulacinseintroduceunvectoroperador,selo denomina "a" y se lo define como: a = 1/2 + j \3/2[1] Estosignificaqueelvector"a"tienemagnitudunidadyestaorientadoa120en direccin positiva desde el eje de referencia.Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 5 V '= a VVV = a2 VwUn vector al que se lo multiplica por "a" no cambia de magnitud pero si de ngulo, es rotado 120 hacia adelante. Por ejemplo, V = a V es un vector que tiene la misma magnitud pero rotado 120 delante del vector V.Elcuadradodelvector"a"esotrovectorunitarioorientado120 endireccinnegativadesdeelejedereferenciao240deVen direccin positiva.Como se ve en la figura el resultado de la operacin de a2 sobre elvectorV,esV"quetienelamismamagnitudqueVpero ubicado 120 en la direccin horaria de V. Los tres vectores 1, a2 y a (tomados en este orden) forman un conjuntobalanceadoysimtricoquerotaconsecuenciade fasepositiva,dadoquelosvectoressondeigualmagnitud, desplazadosunodelotroenigualnguloycruzanlalneade referencia en el orden 1, a2 y a (siguiendo la usual convencin anti horaria) Los vectores 1, a y a2 (tomados en este orden)forman un conjunto balanceado y simtricodesecuenciadefasenegativa,dadoquelosvectorescruzanlalneade referenciaenelordennombrado,conservandolamismaconvencinderotacinanti horaria, pero ahora a2 es seguido por 1 y a. Algunas propiedades del vectora son: a3 = 1 a4 = a a5 = a2

1 + a + a2 = 0 1 a2 = \3 Z 30 1 a = \3 Z - 30a a2 = j \3 5.Teorema de Fortescue Este teorema, aplicado a un conjunto de tres vectores, establece la descomposicin del mismo en tres sistemas: Uno, denominado sistema directo, de la misma secuencia de fases que el original. Otro,denominadosistemainverso,desecuenciacontrariaaladel sistema original. Unconjuntodetresvectoresdelamismamagnitudyfase,denominado sistema homopolar Sea un vector de tres componentes complejas V = (V1, V2, V3). Este vector puede tener distintasinterpretacionesenuncircuitotrifsico,dondesetienesiempretres componentes: -Tensin en un punto del circuito respecto a un punto de referencia (que suele ser el neutro del sistema). -Tensin entre dos puntos del circuito (tenemos tres parejas de puntos geomtricos). -Corrientes en las lneas. -Impedancias de carga. -Potenciaelctricaconsumidaporunacarga(encadafasesetieneunapotencia aparente, activa y reactiva). Podemos enunciar el Teorema de la siguiente manera: Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 6 "Cualquier sistema trifsico de fasores asimtrico puede ser descompuesto en tres sistemas de fasores a saber: a)Unsistemasimtricodefasorestrifsicosqueposeenlasecuenciadefases delsistemaprimitivo,formandolaternadesecuenciapositiva,secuencia1o secuencia directa; b)Unsistemasimtricodefasorestrifsicosqueposeensecuenciadefases antagnica a la del sistema primitivo, formando la terna de secuencia negativa, secuencia 2 o secuencia inversa; c)Unsistemasimtricodetresfasoresmonofsicosdeigualmduloygirando sincrnicamenteenfasellamadoternadesecuencianula,secuenciaceroo secuencia homopolar". Este teorema para sistemas polifsicos es el anlogo al Teorema de Fourier aplicado a ondasnosenoidalesydadoquelaternaasimtricasepuededescomponerentres(3) ternassimtricaselprocedimientoaaplicarser,comosevermsadelante,elde resolucindesistemasequilibradosysimtricososeaempleandoelcircuito equivalente monofsico del sistema. Es decir que la solucin de un sistema cualquiera asimtrico y desequilibrado, se puede encararresolviendolostressistemassimtricosyaplicandoelprincipiode superposicin. Enlafigura3hemosalimentadounacargaenestrellaatravsdelostressistemas sealados por el teorema de Fortescue y conectados de manera de aplicar el principio de superposicin. Figura 3. Representacin del Teorema de Fortescue -TERNA DE SECUENCIA POSITIVA (se indicar con subndice 1) Si el sistema original posee secuencia a-b-c, esta terna poseerla mismasecuencia.Comoestaesunaternaperfectasoloser necesariodeterminarelmduloyfasedeunodelosfasores,en funcindelosfasoresoriginales,paraellorecurrimosaloperador a, antes definido. La terna de secuencia directa queda identificada con: Va1 = | Va1 | Z 0 Vb1 =a2Va1=| Va1 | Z - 120 [2]Vc1 =aVa1=| Va1 | Z 120 Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 7 -TERNA DE SECUENCIA NEGATIVA (se indicar con subndice 2) Sielsistemaoriginalposeesecuenciaa-b-c,estaternaposeeruna secuencia de fases a-c-b y quedar expresada por: Va2 = | Va2 | Z 0 Vb2 = aVa2=| Va2 | Z 120 [3] Vc2 =a2Va2=| Va2 | Z - 120 -TERNA DE SECUENCIA NULA (se indicar con subndice0). En este caso los tres fasores forman un sistema monofsico de manera tal que: Va0 = Vb0 = Vc0 = V0[4] Para que se cumpla el teorema de Fortescue, debe satisfacerse que: Va = Va0+ Va1 + Va2

Vb=Vb0 + Vb1 + Vb2 = Va0 + a2 Va1 + aVa2 [5] Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 = Va0 + a

Va1 + a2 Va2

En forma matricial:Va 111Va0 Vb =1a2aVa1 [6]Vc 1a a2 Va2 A la matriz cuadrada se la llama "matriz de transferencia directa" [F], al miembro de la izquierda de la igualdad se lo llama " matriz columna de valores normales" y al factor deladerechadelaigualdadselosuelellamar"matrizcolumnadelosvaloresen componentes simtricas Los tres sistemas definidos pueden expresarse grficamente de la siguiente forma: -Sistemadesecuenciadirecta-Sistemadesecuencia inversa -Sistemadesecuenciahomopolar-Sistema de secuencia 1-Sistema de secuencia 2-Sistema de secuencia 0 -Sistemadesecuencia positiva -Sistemadesecuencia negativa -Sistemadesecuencia nula Va0 Vb0 Vc0 w ww Vb2 Vc2 Va2 Vc1 Vb1 Va1 Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 8 6.Determinacin de las componentes simtricas La determinacin de las componentes simtricas de una terna desequilibrada de fasores puede hacerse de dos formas: analtica o grficamente, ambas formas se basan en los fasoresoriginalesysolamenteseapuntaelclculohacialadeterminacindelas componentes de unsolo fasor original, porcostumbrela fase a, ya quemediante el operadoraylaspropiedadesdelmismo,quedarndeterminadoslosfasoresque compondrn las distintas ternas. El mtodo algebraico evoluciona con operaciones que propenden a obtener la expresin 1+ a2 + a, que es igual a cero. S por ejemplo el trmino: Vb =Va0 + a2 Va1 +a Va2lo multiplicamos por a resultar: a Vb= a Va0+ a3 Va1 + a2 Va2dado quea3 = 1 Z 0 ser: a Vb =a Va0 + Va1 +a2Va2 [7] Lo expresado por la expresin [7] es una operacin de rotacin en 120 del fasor original perteneciente a la fase "b".Si ahora se efecta la rotacin de la fase "c" en 240 o sea hacemos: a2 Vc =a2 Va0 + a3Va1 + a4 Va2

a2 Vc = a2 Va0 +Va1 + a Va2[8] Efectuando la suma de la primera ecuacin del sistema [5] ms las ecuaciones,[7] y [8] resultar: Va = Va0 + Va1+Va2 aVb =a Va0 + Va1+a2 Va2 [9] a2Vc =a2 Va0+ Va1+a Va2

Va + a Vb + a2Vc = 3 Va1[10] El fasor bsico de la secuencia "2" [Va2] puede ser hallado mediante un proceso anlogo alanterior,setratarenestecasodeeliminarlostrminosVa1yVa0yretenerlos trminos Va2del sistema [5]. Esto se logra multiplicando por a2 ambos miembros de la segunda ecuacin del sistema [5] y por a ambos miembros de la tercera ecuacin del sistema anterior: Va= Va0 +Va1 +Va2 a2Vb= a2Va0 + a4Va1 +a3Va2[11] a Vc=a Va0 + a2Va1 +a3 Va2

Va + a2 Vb + a Vc = (1+2a3) Va2

Va + a2 Vb + a Vc = 3 Va2 [12] Elfasorbsicodelasecuencianula[Va0],seobtendrporlasumadirectadelas ecuaciones del sistema [5], ser: Va = Va0 +Va1+ Va2 Vb = Va0 + a2 Va1 + a Va2[13] Vc = Va0 + a Va1 + a2 Va2 Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 9 Luego resulta: Va + Vb + Vc= 3 Va0[14] Si resumimos las expresiones que determinan las componentes simtricas sern: Va0 =1/3(Va +Vb + Vc) Va1 =1/3(Va + aVb +a2Vc)[15] Va2 =1/3(Va + a2 Vb + a Vc) En forma matricial ser: Va0111Va Va1 = 1/31aa2 Vb [16]Va21a2 aVc Analizandolamatrizanteriorpodemosestablecerlarelacinqueexisteconladefinida anteriormente como matriz de transferencia directa [F] ser: [VS]=[F] -1 [VN] [17] Esdecirlascomponentessimtricas[VS]puedenobtenerseapartirdelosvalores normales [VN] utilizando la inversa de la matriz de transferencia directa [F], siendo [F]y [F] -1 igual a: 111111 F=1a2a[18]F-1 = 1/31aa2 [19]1aa21a2 a 7.Tensiones trifsicas desequilibradas en componentes simtricas. 7.1. Tensiones simples o tensiones defase. Un conjunto de vectores detensionestrifsicassimples o de fasedesequilibradascualquiera,puedendescomponerseen tresconjuntosdevectoresbalanceadososimtricosutilizando las siguientes ecuaciones: Va0111Va Va1= 1/31aa2Vb[20] Va21a2aVc Donde: -Va, Vb y Vc = tensiones simples o de fase expresadas en valores normales. -Va0 = componente de secuencia cero de Vay es igual a lacomponentedesecuenciacerodeVbyVcdemodo queV0 = Va0 = Vb0 = Vc0 -Va1 =componentedesecuenciapositivadeVa;se simbolizaVa1(pordefinicin:Vb1 =a2Va1yVc1 =aVa1), luego:Va1,Vb1 yVc1 esunconjuntodevectorestrifsicos balanceados y simtricos. Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 10 -Va2 =componentedesecuencianegativadeVa;sesimbolizaVa2 (por definicin: Vb2 = a Va2 y Vc2= a2 Va2), luego: Va2, Vb2 y Vc2 es un conjunto de vectores trifsicos balanceados y simtricos. 7.2. Tensiones compuestas en sistemas trifilares. Las tensiones de lnea o compuestas en funcin de las de fase resultan: Vab = Vao Vbo Vbc = Vbo Vco Vca = Vco Vao EstasexpresionessonvlidastambinparasistemasentringuloA,yaqueeneste caso las tensiones simples o de fase, se refieren a una estrella equivalente. Independientemente de la magnitud de la asimetra de las tensiones compuestas, estas tensiones resultarn equilibradas (E Vlnea= 0), como es sabido, para los sistemas trifilares, resultar entonces: Vab + Vbc + Vca = (Va Vb) + (Vb Vc) + (Vc Va) = 0 [21] Dadoquelastensionesdesecuenciacerouhomopolar,poseenigualamplitud instantneaencadaunadelasfases,lastensionescompuestashomopolaresvalen cero. Lacomponentedesecuenciacerodeunaternadetensionescompuestas,tomandola tensin Vab como referencia, resulta: V0 A = 1/3 [Vab + Vbc + Vca]=0[22] ElsubndiceAseusaparaidentificarcomponentesdetensionesentringuloo corrientes que circulan en los arrollamientos del tringulo. Enmuchoscasosesconvenienteconocerlarelacinentrelascomponentesde secuencianegativaypositiva,estaraznescomnmentellamadafactorde desbalanceo. Envirtuddeloexpresado,quieredecirqueestamosenpresenciadeunaternade tensiones compuestas equilibrada pero asimtrica, representable entonces por una terna de secuencia directa y otra inversa. Estehechointeresaenelanlisisdelasmquinastrifsicasrotativas.Enelcasode imprimir tensiones trifsicas asimtricas, a un motor de induccin, su comportamiento se puede analizar con una terna directa y otra inversa. En cualquier caso las tensiones a las distintas secuencias surgen de aplicar la segunda y tercera ecuacin del sistema [16], en este caso: Vab1 =1/3(Vab + aVbc +a2Vca) [23] Vab2 =1/3(Vab + a2 Vbc + a Vca) Losvaloresdelastensionesdefasequefiguranenlaexpresin[21]puedenser cualesquiera, a pesar de que la EVlinea = 0, se cumple que: Va + Vb + Vc = 0. Estosignificaquelastensionessimplessitienenenestecasocomponente homopolar, como consecuencia del desequilibrio de las tensiones compuestas. Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 11 7.3.Relacinentrecomponentessimtricasdelastensionesdefaseylas tensiones compuestas. Suponiendo una secuencia a-b-c: Ub1 = Ua1 Z - 120 La tensin compuesta Uab ser: Uab1 = Ua1 Ub1 ; reemplazando: Uab1 = Ua1 Ua1 Z-120 = Ua1 [1 ( - 0,5 + j 0,866)] = \3 Ua1 Z 30 O sea: Ua1=(Uab1/ \3) Z - 30 Anlogamente para la secuencia inversa: Uab2 = Ua2 Ub2 , reemplazando: Uab2 = Ua2 Ua2 Z 120 = Ua2 [1 (0,5 + j 0,866)] = \3 Ua1 Z - 30 Luego: Ua2=(Uab2 /\3) Z 30 8.Corrientestrifsicasdesequilibradasencomponentessimtricasensistemas trifilares ytetrafilares 8.1. Corrientes de lnea Lastrescorrientesdelneapuedendescomponerseentres grupos de vectores en componentes simtricas de una manera anloga a la recin dada para la resolucin de tensiones: I a0111Ia Ia1= 1/31aa2Ib[24] Ia21a2aIc Donde: Ia0 = componente de secuencia cero de Ia corriente Ia (por definicinIa0 = Ib0 = Ic0) Ia1= componente de secuencia positiva de Ia corriente Ia Ia2= componente de secuencia negativa de Ia corriente Ia Las corrientes de lnea en funcin de las respectivas C.S., valdrn: Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 = I0 + I1 + I2 Ib = Ib0 + Ib1 + Ib2 = I0 + a2 I1 + a I2 [25] Ic = Ic0 + Ic1 + Ic2 = I0 + a I1 + a2 I2 Enunsistematrifsicotetrafilar,lasumadelascorrientesenlaslneas,esigualala corriente IN en el retorno por el neutro. Por tanto: Ia + Ib + Ic= IN[26] Comparando la ecuacin para la componente simtrica Ia0 y la expresin [26], resulta que: IN=3 I0[27] Si no hay retorno por el neutro de un sistema trifsico IN es cero y las corrientes en las lneas no contienen componentes de secuencia cero. Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 12 Unacargaconectadaentringulonotieneretornoporelneutroy,porlotanto,las corrientes que van a una carga conectada en tringulo no contienen componentes de secuencia cero. Del mismo modo, las corrientes que fluyen en una carga conectada en estrella no puede tenerunacomponentedesecuenciaceroamenosqueelneutroderetornoest conectado (sistema tetrafilar) o que el centro de estrella (punto neutro) est conectado a tierra. 8.2. Las corrientes de fase o de rama en cargas conectadas en tringulo. Lastrescorrientesderamadeltringulopuedenser expresadas entrminos de sus componentes simtricas, de acuerdo a las siguientes expresiones: I0D111Ix I1D = 1/31aa2 Iy [28]I2D1a2 aIz Donde la corriente Ix ha sido elegida como la corriente de referencia (corresponde a la tensin Vbc como referencia) 8.3. Relacin entre las corrientes de lnea y las corrientes de fase. Si consideramos ahoralas corrientes delneade un sistematrifsicotrifilar, estas no poseen componentes homopolares ya que: Para un sistema en estrella Yse cumple que: Ia + Ib + Ic = 0 Luego la componente de secuencia cero Ia0 de Ia resulta: Ia0 = 1/3 (Ia+ Ib+ Ic) = 0 Para un sistema en tringulo Aresulta: Ia = Iab Ica, Ib = Ibc Iab, Ic = Ica Ibc Sumando estas corrientes de lnea: Ia+ Ib + Ic=(Iab Ica) +(Ibc Iab) + (Ica Ibc) = 0 La expresin anterior nos indica que cualquiera sea el desequilibrio de las corrientes de faselascorrientesdelneacumplenqueEIlnea=0,luegonohabrcomponente homopolarenlascorrientesdelnea,oseaquenosepodrevaluarlacomponente homopolardelascorrientesdefasedeunsistemaconectadoenAmediantelas corrientes de lnea. Para conexin en A, las corrientes de fase, en general cumplirn que: Iab + Ibc +Ica = 0 Para una secuencia directa a-b-c- se cumple que: Iab1 Ica1 = Ia1, siendo: Ica1 = Iab1 Z 120 Reemplazando:Ia1 = Iab1 [1 (- 0,5 + j 0,866)] Iab1 = Ia1 /\3 Z30 Anlogamente para la secuencia inversa: Iab2 = Ia2 /\3 Z - 30 Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 13 9.Potencia en funcin de componentes simtricas Siseconocenlascomponentessimtricasdelacorrienteylatensin,puedeser calculadadirectamentelapotenciasuministradaenuncircuitotrifsicoapartirdelas componentes.Lademostracindeestaaseveracinconstituyeunbuenejemplodel manejo de las componentes simtricas por medio de matrices. La potencia total compleja transmitida en un circuito trifsico por las lneas, a, b y c, viene dada por: S =P + j Q = Va Ia* + Vb Ib* + Vc Ic*[29] En la que Va, Vb y Vc son las tensiones respecto al neutro en los terminales e Ia, Ib e Ic las corrientes que entran al circuito por las tres lneas,pudiendo o no existir neutro. Con la notacin matricial: Ia*VaTIa* S =Va Vb Vc Ib =Vb Ib [30] Ic Vc Ic En la que se sobrentiende que la conjugada de una matriz tiene sus elementos que son conjugadosdeloselementoscorrespondientesdelamatrizoriginal.Paraintroducirlas componentessimtricasdelastensionesycorrientes,haremosusodelasexpresiones [6] y [18], obteniendo: S = [F V] T [F I] *siendo: Va0Ia0 V =Va1yI =Ia1[31] Va2Ia2 La regla de la inversin del lgebra matricial establece que la traspuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices en orden inverso. De acuerdo a esta regla: [F V]T= VT FT [32], por lo tanto: S =VT FT [F I] * = VT FT F* I* [33] Observando queFT = F y que a y a2 son conjugadas, obtendremos: 111111Ia0* S = Va0 Va1Va21a2 a1aa2 Ia1[34] 1aa2 1a2 aIa2 y comoFT F*= 3U Ia0* S = 3Va0 Va1 Va2 Ia1[35] Ia2 La potencia compleja es por tanto: S = Va Ia* + Vb Ib* + Vc Ic* = 3 V0 I0* + 3 V1 I1*

+ 3 V2 I2* [36] Estaexpresinindicacmopuedecalcularselapotenciacomplejaapartirdelas componentessimtricasdelastensionesylascorrientesdeuncircuitotrifsico desequilibrado. Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 14 10.Impedancias de secuencia o secuenciales. Examinemoselejemploparticulardeuncircuitotrifsicosimtrico con conductor neutro e impedancias ZA = ZB = ZC = Z (ver figura) Sienlosbornesdeentradadelcircuitoseaplicaunsistema simtrico de tensiones de fase de secuencia directa: VA = VA1 VB = VB1VC = VC1 Elsistemadelascorrientesqueseestablecenenelcircuito tambin ser simtrico y su secuencia de fases ser directa, luego: IA= IA1 IB = IB1IC = IC1 Lasrelacionesentrelastensionesdefasesimtricascomplejas,desecuenciadirecta, aplicadasalcircuitotrifsicosimtricoylascorrespondientescorrientesdefase simtricas complejas de secuencia directa, se llaman impedancia compleja del circuito para las corrientes de secuencia directa y se determinan: Z1 = VA1 / IA1 = VB1 / IB1 = VC1/ IC1 [37] En el ejemplo examinado se cumple que Z1 = Z. Sialosbornesdeentradaseaplicaunsistemasimtricodetensionesdefasede secuencia inversa: VA = VA 2VB = VB2 VC = VC2 Entonces habr en el circuito un sistema simtrico de corrientes que tambin posee una secuencia inversa de fases:IA = IA2 IB = IB2IC = IC2 Las relaciones entre los valores complejos:Z2 = VA2/ IA2 = VB2/ IB2 = VC 2 / IC 2[38] sellamanimpedanciascomplejasdelcircuitoparalascorrientesdesecuencia inversa. En el ejemplo examinado es Z2 = Z. Finalmente,sialosbornesdeentradadelcircuitoseaplicaunsistemasimtricode tensiones de fase de secuencia nula: VA = VB = VC = V0 el sistema de corrientes en el circuito tambin ser simtrico y tendr una secuencia de fase nula IA = IB = IC = I0. La corriente en el conductor neutro ser IN = 3 I0

Larelacin:Z0=V0 /I0 [39],sellamaimpedanciacomplejadelcircuitoparalas corrientes de secuencia nula. ParacalcularlaimpedanciaZ0 establezcamoslaecuacin,segnlasegundaleyde Kirchhoff,paralamallaformadaporunadelasfases,porejemplolafaseAyporel conductor neutro:VA = Z IA +ZN IN [40] Sustituyendo VA = V0, IA = I0 e IN = 3 I0 , obtenemos: Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 15 V0 = (Z + 3 ZN)I0[41] de donde: Z0 = V0 /I0 =Z + 3 ZN[42] En caso de no existir el conductor neutro no habr corrientes de secuencia nula, por lo tanto: I0 = 0 y Z = Generalmente a Z1, Z2 y Z0 se las denominan simplemente impedancias de secuencia directa, inversa y nula Estasimpedanciassontambinllamadas:lasncronaZSeslapresentadaalas corrientesdirectas,laasncronaZalapresentadaalascorrientesinversasylade secuencia cero Z0 la presentada a las corrientes homopolares. En el clculo de los circuitos por el mtodo de las componentes simtricas se examinan por separado los esquemas para las corrientes y tensiones de distintas secuencias.Laimpedanciaenelneutronoejerceinfluenciasobrelossistemassimtricosdelas corrientes de secuencia directa e inversa, de all que no se indiquen las impedancias en el conductor neutro, para dichas secuencias.En el esquema que se da para las corrientes y tensiones simtricas de secuencia nula se introducen,enlugardelaimpedanciaZNenelneutro,valorestriplicadosdedicha impedancia en cada fase. Todos los clculos se realizan para una fase llamadafundamental. Generalmente se tomacomofasefundamentallafasea,yparasimplificarlasnotacionesseomiteel subndice a.ParaelejemploquenosocupaenlaFigura4semuestranlostresesquemas monofsicosparalascorrientesytensionesdedistintassecuencias.Dichosesquemas se denominan redes de secuencia directa, inversa y nula Figura 4.- Redes de secuencia directa, inversa y nula. Enloscircuitosestticostrifsicossimtricoscualesquiera(circuitosquenocontienen mquinasgiratorias),lainversindelordenamientodelasfasesdelastensiones simtricasnomodificalamagnituddelascorrientes;deallquelasimpedanciasylas redes de secuencia directa e inversa son iguales. En las mquinas elctricas no solo Z0 se distingue de Z1 sino que tampoco Z2 es igual a Z1. Podemos establecer algunos resultados de orden general: a)Salvo las mquinas giratorias, la impedancia presentada a corrientes equilibradas es independiente de la secuencia de fases Z1 = Z2. b)En las mquinas giratorias, el campo debido a las corrientes inversas gira en sentido contrarioalproducidoporlascorrientesdirectasyporlacorrientedeexcitacin: Z1 = Z2. c)Los valores de Z0 dependen de la forma en que los puntos neutros estn ligados a la tierraoaunconductorderetorno.Enelcasoenquelospuntosneutrosestn aislados y en que la capacidad de los conductores respecto a tierra es despreciable, lasimpedanciasdesecuenciacerosoninfinitas,pueslacorrientehomopolar evidentemente no pueden cerrarse (recordar que Ih = 1/3( Ia + Ib + Ic). Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 16 11.Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero. Demostraremosalgunas propiedadesdelossistemasde secuencia cero. Lafiguraquesiguemuestraun generadortrifsicoconectadoen estrella,conectadoaunacargaen estrelladeigualimpedanciaenlas tresfases,pormediodeunalnea detransmisintrifsicaconneutro. Laimpedanciadecadaconductor de la lnea es Z y la impedancia de neutro es Zn.Los fasores E0na, E0nb y E0nc son las fuerzas electromotrices de cada fase del generador; V0an, V0bn y V0cn las cadas de tensin en la carga y I0aa,I0bb y I0cc las corrientes de las lneas.Segn la definicin de corrientes y tensiones de secuencia cero, se cumple que: I0aa = I0bb= I0cc E0na= E0nb= E0nc V0an = V0bn = V0cn Resultaconveniente,paravisualizarmejorel problema,representareldiagramadelafigura anteriorenlaformamostradaenlafigura siguiente,enelcualcadafuerzaelectromotriz delafuentesedesignaporE0ycadatensin en la carga V0y. Seveclaroenestediagramaquesielneutro se suprime el circuito queda abierto y no puede haber corriente. El neutro de un sistema de transmisin est implicado de una manera definida cuando hay corriente de secuencia cero. La ecuacin de una fase cualquiera del sistema conectado en estrella para cantidades de secuencia cero es, segn la figura anterior E0 I0 Z I0 Z 3 I0 Zn = 0[52] O bien: E0 = I0 (Z + Z0 + 3Z n)[53],de donde: I0=E0[54] (Z + Z0 + 3 Zn) Si el generador y las cargas se conectan en tringulo, no hay posibilidad de que existan corrientesdesecuenciaceroenlaslneasdetransmisin,puestoquenopuedehaber neutro para el camino de retorno y la suma de las corrientes de la lnea es por tanto cero. Sinembargo,enlasconexionesdeltringuloshaycorrientesdesecuenciacerosila suma fasorial de las corrientes del tringulo no es cero. En la conexin en estrella,lastensiones de secuencia cero entre los conductores dela lneatantoenelgeneradorcomoenlacargasoncero,puestoquesonigualesalas diferencias entre cada dos tensiones de igual fase y magnitud E0.Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 17 Enungeneradorsimtricoconectadoentringulolatensin terminaldesecuenciaceroestambinceroaunquepuedan existir tensiones inducidas de secuencia cero en las fases.Enlafigura,E0eslafuerzaelectromotrizdesecuenciacero, generadaencadafaseylaimpedanciaalascorrientesde secuencia cero es Z0 por fase en los devanados del generador. La ecuacin de las tensiones a travs del tringulo es: E0 I0 Z0+ E0 I0 Z0 + E0 - I0 Z0 = 0 [55],o bien: 3 E0 3 I0 Z0 = 0 [56] E0 I0 Z0 = 0 [57] Elprimermiembrodelaecuacin[57]eslatensinterminaldesecuenciacerode cualquier fase del generador, que se demuestra as es cero. La impedancia Z0 a las corrientes de secuencia cero es usualmente muy pequea, y las corrientes dadas por: I0 = E0/Z0[58], circulan por el tringulo. Por esta razn ha de evitarsela conexin en tringulosiempre quesea necesario suprimir las corrientes de secuencia cero en los devanados de un generador o de un transformador. 12.Caso elemental tpico de resolver con componentes simtricas. 12.1.Circuitosconimpedanciasequilibradasconectadas enestrellaconneutro sometidas a tensiones desequilibradas. Consideremoselsistematrifsicodela figura,constituidoporungenerador trifsicoquealimentaaunacarga simtrica de valor Z. Dichogeneradorentregaunaternade tensionesdefaseasimtricaque denominaremos ER, ES y ET Sepretendeencontrarelvalordelas corrientesdelneautilizandoelmtodode las componentes simtricas. Descomponiendolasf.e.m.delgenerador en sus componentes simtricas, el sistema puede representarse de acuerdo a la figura que sigue. Lospasosaseguirparasuresolucinde este problema en particular son: 1Paso:Sedescomponenlastensionesdegeneracinensuscomponentes simtricas. 2Paso:Sedeterminanlascomponentessimtricasdelacorrientedelnea,tal como se hace para sistemas equilibrados. 3Paso:Sehallanlascorrientesdelneaenvaloresnormalesapartirdelas componentes simtricas halladas en el paso anterior. Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 18 TomandolafaseRcomoreferenciaparael clculo,seprocedeaefectuarelprimerpaso teniendoencuentalasecuenciadelsistema original,enestecasosecuenciadirectaRST, aplicando las ecuaciones [16]: ER0 = 1/3 (ERN +ESN +ETN) ER1 = 1/3 (ERN + a ESN + a2 ETN) ER2 = 1/3 (ERN + a2 ESN + a ETN) Para las f.e.m. de secuencia directa e inversa la carga es equilibrada y valen los circuitos monofsicosequivalentes(setrabajaconunafasetomadacomoreferencia)comose representan en la figura. Debeaclararse,ypuededemostrarseexperimentalmentequelasimpedanciasdelas lneas,impedanciasdecargapasivasytransformadores,nosondiferentesparaun sistema polifsico de f.e.m. cuando dos lneas se intercambian (secuencia contraria). De all que las impedancias Z de secuencia directa y secuencia inversa tengan igual valor. Esta propiedad no es extensiva a mquinas rotativas. Las componentes simtricas de la corriente de la fase R (tomada como referencia) de secuenciadirectaeinversapuedencalcularseconlassiguientesexpresiones, deducidas de los equivalentes monofsicos: Paracalcularlacomponentedesecuenciacerou homopolar, dibujamos la red de la figura que sigue. Siendo los tres generadores de secuencia cero idnticos (enmduloyfase),resultasimpleprobarquelas corrientesdesecuenciacerotambinloson,yen consecuencialacorrientedeneutroesIN=3I0yla tensin de neutro resulta U0 = 3 ZN I0. Entonces la corriente de secuencia cero valdr: Senotarquelacorrientederetornoatierraoneutro,estresvecesmayorquelas componentesindividualesdesecuenciacerodelascorrientesdelnea.Cada conductor de la lnea lleva una componente de corriente igual en magnitud y fase a las componentes similares de las otras dos lneas. Estas componentes de secuencia cero sonllamadascomponentesmonofsicasytienenunaimportantesignificacinfsica conrelacinalainterferenciainductivaentrelaslneasdepotenciatrifsicaylas lneasdecomunicacionesparalelas.Cuandolascorrientesdelneatienen componentesmonofsicas,ningunaformadetransposicindelosconductoresdela lnea del sistema de potencia evitar que estas componentes establezcan interferencia inductivaenlaslneasdecomunicacionesparalelasylaraznesquelos componentesmonofsicosdelostresconductoresdelalneaestablecern interferencias magnticas igualmente orientadas. Las componentes de secuencia cero de las corrientes de lnea de sistemas en estrella conectadosatierraotetrafilaressontambindeimportanciaenelclculodelas corrientes de cortocircuito en los sistemas de potencia. ApartirdelascomponentessimtricasdelacorrientedelalneaRtomandocomo referencia, podemos calcular las corrientes delnea en valores normales, utilizando la transformacin de Fortescue, es decir: ] [ZEI ] [ZEI 60 592211= =] [Z ZEIN61300+=Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 19 ] [Z ZEZEZEI I I INR6230 2 10 2 1++ + = + + =Las otras corrientes de lnea son: IS =I0 + a2 I1 + a I2 [63] IT =I0 + a I1 + a2 I2 La expresin [62] incluye a 3 ZN, tal que se vio en el punto 11 al tratar los sistemas de secuencia cero. 13.F.e.m.s generadas por los alternadores trifsicos. Latensinqueapareceencadaunadelasfasesdeungeneradortrifsico,encircuito abierto,ladenominaremosE.Losbobinadosestatricos(defase)puedenestar conectadosenYoenA,siendolaconexinYlamsusualporlasrazonesya expuestas en el tratamiento de redes trifsicas bsicas. En condiciones normales se cumple que: ER;ES = a2 ER ; ET = a ER La secuencia supuesta es RST y las componentes simtricas de la terna: ER0111ER ER1= 1/31aa2ES ER21a2aET ER0111ER ER1= 1/31aa2a2 ER ER21a2aa ER Para una terna perfecta: ER0 = 1/3 (ER + ES + ET) = 1/3 ER (1+a2+a) = 0 ER1 = 1/3 (ER + a ES + a2 ET )= 1/3 ER (1+1+1) = ER ER2 = 1/3 (ER+ a2 ES +a ET)= 1/3 ER (1+a+a2) = 0 Talcomoeradeesperar,todoocurrecomosigeneraranicamentelacomponente positiva de secuencia, siendo las componentes negativa y cero de valor nulo. 14.La corriente de neutro. De acuerdo a la primera ley de Kirchhoff en un sistema trifilar, la suma de corrientes de lnea debe forzadamente ser cero; en caso de disponer del cuarto conductor de neutro se puede verificar que: IR + IS + I T = IN Expresandolas corrientes de lnea en C.S. resulta: IN = (IR0 +I R1+IR2) + (IR0+a2IR1+aIR2) + (IR0+aIR1+a2 IR2) =3 IR0 + IR1 (1+a2+a) + IR2 (1+a+a2) = 3 IR0 -La corriente de neutro es tres veces la corriente homopolar que circula por cada una de las lneas.-Lacorrientedesecuencianulaslopodrexistirsiexisteelconductorneutro,en cambio para las componentes de secuencia 1 y 2 por conformar sistemas de ternas perfectas no podrn existir como componentes de corrientes de neutro. Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 20 15.Ejemplos de Aplicacin del Mtodo de las Componentes Simtricas. 15.1.Resolucindesistemastrifsicoscongeneracindesequilibradaycarga dinmica simtrica (motor de induccin trifsico) Unmotordeinduccintrifsicoconectadoenestrellatieneunaimpedanciaporfasede 43,30 + j 25 O a las corrientes de secuencia positiva y una impedancia de 5,00 + j 8,66 O porfaseacorrientesdesecuencianegativacuandoestnalimentandounacarga mecnicadeterminada.Elmotorrecibeenergadeunalneatrifsicaquetieneuna impedanciade0,50+j0,866Oporconductor.Elmotornotieneneutro.Lastensiones entre fases en la fuente son: ERS = 2.000 V, EST = 2.300 V yETR = 2.300 V a)Cules sonlas corrientes de secuencia positivay negativa, tomando ERS como eje de referencia? b)Cules son las tensiones de secuencia positiva y negativa en bornes del motor? c)Cul es la potencia suministrada al motor? -Resolucin:ComoprimerpasoencontraremoslasC.S.delastensiones compuestasdesequilibradasaplicadas,tomandocomoreferencialatensinERS,es decir: ERS = 2000 Z 0 ; EST = 2300 Z-115,77 ; ETR = 2300 Z 115,77 ERS0 = 1/3 (E RS + E ST + E TR) = 0 ERS1 = 1/3 (E RS + a E ST + a2 E TR) = 2197,14 ERS2 = 1/3 (E RS + a2 E ST + a E TR) = - 195,87 Dado que los sistemas simtricos de secuencia 1 y 2 constituyen sistemas perfectos se cumplequelarelacinentreunatensincompuestayunasimplees\3enloque respectaalmduloyexisteundesfasajede30,enatrasooadelanto,segnse considere la secuencia 1 o secuencia 2, por lo tanto: ERS1 = 2197,14 Z 0ER1 = 2197,14/\3 Z - 30 = 1270,2 Z (0- 30) ERS2 = - 195,87 = 195,87 Z180 ER2 = 113,22 Z (180 +30) Luego, conociendo las tensiones simples en C.S. aplicaremos la 2 Ley de Kirchhoff para cada secuencia para encontrar las corrientes en trminos de C.S., a saber: ER1 = ZLINEA IR1 + Z1 IR1 IR1 = ER1 / (ZLINEA + Z1) = 12.46 j 21.6 = 24.92Z- 60 ER2 = ZLINEA IR2 + Z2 IR2 IR2 = ER2 / (ZLINEA + Z2) = - 8,54 + j 5.13 = 9.96Z- 211 Luego a partir de las C.S. de las corrientes encontramos las mismas en valores normales, es decir: IR = I1 + I2 = 3.02 j 16.47 = 16.93 Z - 76,61 IS = a2 I1 + a I2 = - 24.92 j 9.96 = 26.84 Z - 158,21 IT =a I1 + a2 I2 = 21.09 + j 26.56 = 33.92 Z 51.55 Las cadas de tensin en el motor en trminos de C.S. valdrn: VmotorR1 =Z1 . IR1 = 1246 Z - 30 VmotorR2 =Z2 . IR2 = 99.6 Z- 151Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 21 La potencia entregada al motor valdr: S = 3 Vmotor R1 xI*R1 + 3 Vmotor R2 x I*R2 Numricamente ser: S = 3 . 1246 Z- 30 . 24.92 Z 60 + 3 . 99.6 Z- 151 . 9.96 Z 211 =93151 Z30 +2976.05 Z 60 = 80671 + j 46575.5 + 1488.03+ j 2577.33 = 82159.03 + j 49152.83 =95739.8 Z31 S = 95739.8 Z 31 VA 15.2.Resolucindesistemastrifsicoscongeneracindesequilibradaycarga esttica equilibrada. Unafuentetrifsicaenestrellaconstituyeun sistemaimperfectodegeneracinyde impedanciasinternasdespreciables,se conecta mediante tres conductores a idnticos voltmetrostambinenconexinestrella. Cadainstrumentoposeeunaresistencia internade10KOyreactanciadespreciable. Usandoelmtododelascomponentes simtricasdeterminaralgebraicamentela lectura del voltmetro de la fase S. -Generacin trifsica imperfecta: E RN = 100 Z 0 [V]E SN = 200 Z 270 [V]E TN= 100 Z120 [V] Resolucin: De acuerdo a lo establecido en el punto 12.1. para determinar la lectura del voltmetro conectado en la fase S, seguiremos los siguientes pasos: 1Paso:Sedescomponenlastensionesdegeneracinensuscomponentes simtricas. ER0 = 1/3 (ERN + ESN + ETN) ER1 = 1/3 (ERN + a ESN + a2 ETN) ER2 = 1/3 (ERN + a2 ESN +a ETN) Donde: ERN = 100 Z 0 [V], ESN = 200 Z 270 [V], ETN= 100 Z120 [V] Efectuando los clculos correspondientes: ER0=1/3 (100Z0 + 200 Z270 + 100 Z120) = 1/3 (50 j 113,40) = 41,31 Z - 66,21ER1=1/3 (100Z0 + a 200 Z270 + a2 100 Z120) = 128,79 Z 15ER2=1/3 (100Z0 + a2 200 Z270 + a 100 Z120) =41,31 Z 173,8 2 Paso: Se determinan las componentes simtricas de la corriente de lnea, tal como se hace para sistemas equilibrados. Donde: Z = R = 10 k ZEIZEI2211= =Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 22 Las corrientes valdrn: I1 = 128,79 Z 15/ 10.000 = 12,88 Z 15mA I2 = 41,31 Z 173,8/ 10.000 = 4,13 Z 173,8mA Dado que no hay neutro IR + IS + IT= 0 ; por lo tanto: IR0 = IS0 = IT0 = 0 3Paso:Sehallanlascorrientesdelneaenvaloresnormalesapartirdelas componentes simtricas halladas en el paso anterior. IR =I0 + I1 + I2 = 9,15 Z 24,41mAIS =I0 + a2 I1 + a I2 = a2 I1 + a I2 = 16,30 Z- 95,84mAIT =I0 + a I1 + a2 I2 = a I1 + a2 I2 = 14,11 Z 118,2mA La tensin en el voltmetro en la fase S, ser: VS = IS . R = 16,30 mA . 10 k = 163 V Haremos algunas consideraciones finales sobre el problema planteado: Dado que no existen interacciones entre las corrientes de secuencia con tensiones dediferentesecuenciadefase,elproblemapuedeserencaradomedianteel principio de superposicin. Teniendoencuentalaaccinindividualdecadacomponentedesecuencia,los circuitosequivalentescorrespondientessonsimilaresalcasonormaldecarga equilibradaconlasalvedaddelarotacinantagnicadelsistemadetensiones inversas. En ambos casos la resolucin es posible usando el mtodo normal para laresolucinderedestrifsicasequilibradas,oseaconsiderandoelcircuito equivalente monofsico. Lascorrientesdelneadesecuencia1y2sernrespectivamente:IR1 =ER1/Re IR2 = ER2/R, se ha tomado como fase base la R.En este caso:Z1 = Z2= R Como es sabido en este caso no podr haber corriente homopolar, es as que enlaredmonofsicaparalasecuenciacerosedeberhacerconstaruncircuito abiertoentrelosdosnodosdeestrellapararepresentarunaimpedanciaala secuencia cero de valor infinito, ya que: IR0 = 0ZR0 = Loexpuestoesunarealidadevidenteyfsicamentelasvariablestensiny corriente se pueden manejar como magnitudes que en las diversassecuencias se pueden superponer a los efectos de conformar la respuesta total. En la figura que sigue, se puede ver la accin individual de las distintas componentes. Sistema de secuencia 1 Facultad de Ingeniera (U.N.M.D.P.) Departamento de Ing. Elctrica rea Electrotecnia El mtodo de las componentes simtricas Ingeniero Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecniapgina 23 Sistema de secuencia 2 Sistema de secuencia cero u homopolar Glf/2010