Metodo de Las Componentes Simetricas - Teoria

Universidad Tecnolgica Nacional FRRo Ctedra: Electrotcnia II - Mtodo de las Componentes Simtricas

1

Universidad Tecnolgica Nacional

Facultad Regional Rosario

CATEDRA: ELECTROTECNIA II

CUADERNILLO: METODO DE LAS COMPONENTES SIMETRICAS

VERSIN: 1 - AO: 2014

Alberto G. Martnez - JTP


2

Contenido

1- Mtodo de las componentes simtricas: .................................................................................. 3

2- Descomposicin de un sistema asimtrico en tres sistemas simtricos. ................................. 4

3- Propiedades: ............................................................................................................................. 6

4- Impedancias: ............................................................................................................................. 9

5-Potencia Elctrica con el mtodo de las componentes simtricas: ......................................... 15

6-Aplicaciones del mtodo - Casos de estudio: .......................................................................... 16

7-Medicin de las diferentes secuencias de tensin y corriente ................................................ 28

8-Trabajo matricial con el mtodo. ............................................................................................. 32

9-ANEXOS .................................................................................................................................... 35


3

1- Mtodo de las componentes simtricas:

Este mtodo, est basado en el teorema de Fortescue que permite analizar fallas en sistemas

trifsicos de tipo asimtricas, pero puede ser usado para resolver cualquier sistema cuyas

condiciones sean asimtricas en un momento dado.

Las fallas asimtricas a las que nos referiremos son:

Falla monofsica a tierra

Falla Bifsica a tierra

Falla bifsica

Prdida de un conductor

Pero tambin se podr utilizar este mtodo, cuando sea necesario resolver sistemas con cargas

asimtricas.

El mtodo establece que " Cualquier sistema asimtrico de n vectores, puede ser

descompuesto en n sistemas simtricos con n vectores, cada uno"

Como cada vector, puede ser correspondido en el plano complejo de Gauss por un nmero

complejo, el mtodo puede servir para representar tensiones, corrientes, flujos magnticos,

impedancias y reactancias.

Los sistemas simtricos se designan con nmeros de orden, esos nmeros estarn dentro del

conjunto de los naturales, incluido el cero.

0, 1, 2, 3, 4, .....

Para el orden 0, el desfasaje entre cada vector del sistema es de cero grados 0.

Para el orden 1, el desfasaje es n2 , para el orden 2, ser nx

22

En los sistemas trifsicos, habr 3 ordenes, el 0, 1 y 2.

Orden 0.

En este caso, el desfasaje es 0, obtenidos de la operacin

020 =nx

Los vectores sern colineales, con el mismo modulo, sentido y argumento. Es conocido como

sistema homopolar por las condiciones de fase de los vectores (o fasores)

Orden 1


4

En los sistemas de orden 1, los vectores estarn desfasados en 120322 == n .

Este orden tambin conocido como secuencia directa o positiva, ordena a los vectores

(fasores) de las fases a 120 entre si y en orden R-S-T, por ejemplo. Posee el sentido de giro

principal del sistema elctrico.

Orden 2

En los sistemas de orden 2, los vectores estn desfasados 24032222 == xnx , esto

implica que el orden las fases estar invertido respecto de un sistema de orden 1.

El sistema de orden 2, es conocido tambin como secuencia negativa o secuencia inversa. El

sistema de vectores gira en sentido contrario al de secuencia positiva.

La ventaja presentada es que el tratamiento de los circuitos asimtricos trifsicos se facilita al

descomponerse en 3 circuitos trifsicos simtricos, permitiendo resolver circuitos

monofsicos.

2- Descomposicin de un sistema asimtrico en tres sistemas simtricos.

Para aplicar el mtodo, referiremos cada una de las fases a una de ellas tomndola como "fase

de referencia", en lo siguiente, se referirn los sistemas de ecuaciones a la fase R o A, pero

puede llegarse a idnticas conclusiones si se refirieran a cualquier otra de las dos fases.

Ahora debemos definir el factor de fase, que es un operador que al multiplicarlo por otro

vector, origina un cambio en la fase del mismo, sin alterar el mdulo.

Este factor es llamado con 1201=a


5

Este operador, es entonces un fasor con argumento de 120 y mdulo igual a 1 o sea un versor

con fase de 120.

Cualquiera sea el ngulo de la fase tomada como referencia, podemos referir las otras fases de

un sistema simtrico trifsico, separando una fase de otra en 120 y 240 tomados desde la

fase de referencia.

Recordando la operacin de producto de vectores, podemos escribir:

1503012030.1.

+== RRRa

Este factor de fase a, posee algunas propiedades

1201=a

01 2 =++ aa Ec (2.1)

31 33 =++ aa Ec (2.2)

De esta forma, un conjunto de corrientes podr ser descompuesta inicialmente en las tres

secuencias como se muestra en la siguiente figura

Notar que la secuencia negativa tiene un sentido de giro diferente, esto se ha establecido al

invertir dos de las fases.

Las ecuaciones de las corrientes de fase sern:

210

210

210

CCCC

BBBB

AAAA

IIII

IIII

IIII

++=++=++=

Ec (2.3)

Luego, las corrientes de fase podrn ser escritas por las sumas de las corrientes de secuencia

pero referidas a la fase A.

22

10

212

0

210

AAAC

AAAB

AAAA

IaaIII

aIIaII

IIII

++=

++=

++=

Ec (2.4)


6

De esta forma podemos obtener el valor de cada corriente de secuencia sumando el juego de

ecuaciones y operando adecuadamente.

03 ACBA IIII =++ Ec (2.5)

12

22

102

212

0

210

3.

.

ACBA

AAAC

AAAB

AAAA

IIaIaI

IaaIIIa

aIIaIIa

IIII

=++++=

++=

=++=

Ec (2.6)

22

22

102

212

0

210

3.

.

ACBA

AAAC

AAAB

AAAA

IIaIaI

IaaIIIa

aIIaIIa

IIII

=++++=

++=

=++=

Ec (2.7)

En cada uno de los casos anteriores se obtuvieron las corrientes de secuencia positiva,

negativa y homopolar.

3- Propiedades:

3.1- Propiedad de la descomposicin Cualquier sistema de vectores simples asimtrico contenido en un mismo sistema de vectores

compuesto, (esto es: cualquier sistema de vectores simples, cuyos extremos de coincidan),

tendr las mismas componentes de secuencia positiva y negativa.

Demostracin:

Figura 3.1 - Sistema de tensiones simples y compuestas asimtricas

Ntese que hay ms de una posible distribucin de fasores de tensiones simples que poseen

las mismas tensiones compuestas.


7

Las ecuaciones de las tensiones simples se expresan como sigue:

Ec (3.1)

22

10210

212

0210

210

RRRTtTTT

RRRSSSS

RRRR

UaaUUUUUU

aUUaUUUUU

UUUU

++=++=

++=++=

++=

De las ecuaciones anteriores, podemos escribir las ecuaciones de las tensiones compuestas

que quedarn como sigue:

RTTR

TSST

SRRS

UUU

UUU

UUU

===

Ec (3.2)

Reemplazando en este juego de ecuaciones las obtenidas en (3.1)

( ))1.()1.( 2

21

212

0210

aUaUU

aUUaUUUUUUU

RRRS

RRRRRRSRRS

+=

++++== Ec (3.3)

( )).().( 22

21

22

10212

0

aaUaaUU

UaaUUaUUaUUUU

RRST

RRRRRRTSST

+=

++++== Ec (3.4)

( ))1.()1.( 221

21022

10

+=

++++==

aUaUU

UUUUaaUUUUU

RRTR

RRRRRRRTTR Ec (3.5)

De las ecuaciones (3.3), (3.4) y (3.5), se desprende que las tensiones compuestas en cada caso,

son obtenidas por las tensiones de secuencia positiva y negativa simples afectadas en cada

caso por el operador a y por lo tanto, cada conjunto de tensiones simples encerradas en un

tringulo de tensiones compuestas quedar definido por un nico valor de tensiones de

secuencia positiva y negativa.

Dicho de otro modo, cualquier conjuntos de tensiones simples, cuyos extremos de vectores

coincidan entre s, sin importar si los centros de los sistemas coinciden, poseern las mismas

componentes de secuencia positiva y las mismas componentes de secuencia negativa.

3.2- Propiedad de la secuencia homopolar

En el sistema de la figura 3.2, la distancia entre las medianas del tringulo envolvente y el

extremo comn o central de los vectores simples constituye el valor de la componente

homopolar.


8

Figura 3.2 - Sistema de tensiones simples y compuestas asimtricas y componente homopolar

3.3- Componente homopolar de los vectores compuestos Los vectores compuestos no poseen componente homopolar debido a que la suma es siempre

nula.

Esto, queda de manifiesto en las ecuaciones que se reescriben a continuacin.

RTTR

TSST

SRRS

UUU

UUU

UUU

===

Ec(3.2)

La suma de las tensiones compuesta es:

0=++=++ RTTSSRTRSTRS UUUUUUUUU

An con cualquier tipo de asimetra, no habr componente homopolar para los vectores

compuestos.

3.4-Existencia de las corrientes de secuencia homopolar En todos los casos, para que existan las corrientes de secuencia homopolar, debe existir un

camino cableado que permita la circulacin de corrientes que por su naturaleza se encuentran

en fase.

En concordancia con la ley de Kirchoff para un nudo, la suma de corrientes entrantes a un

nudo, debe ser igual a la suma de las salientes. Por lo que para un sistema o Y con neutro aislado, la =0Z .

3.5-Cociente de simetra Se aprovecha lo expuesto en la propiedad 3.3 para definir el cociente de asimetra como el

cociente entre la componente de secuencia negativa y la secuencia positiva, aprovechando la

inexistencia de componente homopolar.

1

2

L

L

U

UC =


9

Siendo C < 0,05 se asumir que el sistema es un sistema simtrico, en este caso, la solucin del

sistema podr reducirse a un sistema simtrico, si la relacin es superior, se considera que la

asimetra es grande como para despreciarla.

4- Impedancias:

Los distintos elementos de un circuito pueden comportarse de forma diferente para cada una

de las secuencias por lo que hay que usar la impedancia adecuada para conformar cada

circuito.

La norma IEC 60909, da algunas expresiones para calcular la impedancia de algunos elementos

comunes como lneas areas y cables. Por otro lado, permite estimar la impedancia para cada

secuencia para mquinas elctricas tales como Transformadores y generadores.

4.1-Impedancias de lneas elctricas para cada secuencia La impedancia de una lnea elctrica depender de la configuracin, de la cantidad de

conductores por fase que posea, de la geometra de la lnea, de la cantidad de hilos de guardia

que posea y de la altura de los conductores.

De acuerdo a la IEC 60909 parte 2 Electrical equipment - Data for short-circuit current calculations in accordance with IEC 909 (1988), puede plantearse la inductancia, la reactancia y la impedancia de una lnea area tripolar, coplanar de acuerdo a la ec (4.1) estas expresiones

son fciles de deducir partiendo de di

dL

= .

1000ln25,02

]/[

ln25,02

]/[

0

0

xrmg

dkmx

rmg

dmHyl

+=

+=

Ec (4.1)

3231312 .. dddd = Ec (4.2)

La expresin (4.1) brinda el valor de inductancia y reactancia para la secuencia directa e

inversa, la resistencia puede ser obtenida del catlogo de conductores con el que se proyecta

la lnea pasando el valor de resistencia dado para corriente continua a corriente alterna.

La ecuacin (4.2) presenta la distancia media geomtrica entre conductores donde son usadas

las distancias entre los conductores de fases.

+++=

3 2

000

.ln3

4

1

283

drmgnj

nqz

n

Ec (4.3)

La Ecuacin (4.3) da la impedancia homopolar para una lnea que no tiene hilo de guardia o

proteccin.

Donde:

es la resistividad del terreno


10

rmg es el radio medio geomtrico en el caso que se use ms de un conductor por fase

es la resistencia especfica del cable conductor

0 es la permeabilidad del vaco

La reactancia para la secuencia homopolar es distinta a las de secuencia directa e inversa

debido a que para las corrientes homopolares la suma de corrientes en la lnea no es cero,

circulando corrientes por el o los hilos de guardia y tierra o slo por tierra en el caso que la

lnea no posea hilo de guardia. Del mismo modo, la parte real de la impedancia se modifica

para tener en cuenta esta va de retorno.

En la tabla siguiente se muestran un conjunto de valores para una lnea de 132 kV coplanar

horizontal, de un conductor por fase, con dos hilos de guardia.

Lnea E.T.

Origen E.T.

Destino Terna Tensin Long

nominal total R (1) X B R0 (1) X0 B0

N kV km ohm/km ohm/km s/km ohm/km ohm/km s/km

PICHANAL TARTAGAL 1 132 105,00 0,1095 0,3926 2,9149 0,1752 1,1385 1,8102

Tabla 4.1.1 - Valores de reactancias directa y homopolar para una lnea Al/Ac 240 mm2 (fuente:

Guia de Referencia de Transnoa Ao 2011)

4.2-Impedancias de secuencia de motores asincrnicos En rgimen normal, el rotor gira a una velocidad menor que el campo rotante (de 1,5 a 4%

menor). Si mantenemos la velocidad de giro en el mismo rango y sentido, pero ahora,

alimentamos al motor con una secuencia invertida de tensiones, o sea, hacemos girar al rotor

en un sentido mediante otro motor, y alimentamos las bobinas con una secuencia R-T-S en

lugar de R-S-T (simulamos una secuencia negativa), podemos deducir rpidamente que el rotor

girar al con velocidad aproximadamente igual pero opuesta al flujo magntico producido por

la armadura del mismo. Esto hace que el rotor corte lneas de flujo al doble de la velocidad del

flujo magntico.

En este escenario, se inducirn fems ms grandes en el rotor, lo que dar origen a corrientes

mayores, en contraste con la secuencia directa donde la diferencias de velocidades alcanza a

una pequea porcin de la velocidad del flujo.

Las mayores corrientes que se presentan en esta condicin, dan origen a campos

desmagnetizantes mayores, el debilitamiento del flujo, reduce las fems inducidas en el rotor

por este campo.

Dado que las tensiones aplicadas al estator se equilibran por esas fems, su disminucin har

que aumenten las corrientes del estator. Por lo tanto, para igual magnitud de alimentacin en

secuencia directa e inversa, las corrientes en secuencia inversa sern mayores.

Esto lleva a concluir que la Z2


11

Figura 4.2.1 - Circuito equivalente monofsico de un motor de induccin

No ahondaremos en la determinacin de los parmetros, dejando esto para el curso de

Mquinas Elctricas, pero diremos que la mquina de induccin puede ser comparada con un

transformador con su secundario cargado con una resistencia variable.

Podemos entonces modelar el comportamiento de una de las fases como un transformador

monofsico.

Vemos que Ra' y Rb' son las resistencias del primario y secundario y stas estn vinculadas a

las prdidas de la mquina.

La componente S

SRb )1( representa la potencia mecnica del motor, en funcin del

deslizamiento S. (el deslizamiento es la diferencia de velocidad entre el campo y el rotor

referida a la velocidad del campo)

Esta resistencia permite modelar la potencia mecnica haciendo P = I2.R. Claro est que hay

que multiplicar a este valor por 3 para obtener la potencia total del motor trifsico.

Entonces, durante el funcionamiento del motor en condiciones de asimetra, para la secuencia

negativa, este valor resistivo ser proporcional al trabajo de frenado que hace esta corriente

en el rotor. Esto motiva una diferencia de la resistencia entre secuencia positiva y negativa ya

que si el rotor sigue girando, el trabajo de frenado es menor al trabajo hecho por la

componente de secuencia positiva.

4.3-Impedancias de secuencia de generadores

Para el estudio de las impedancias en generadores, usaremos slo la componente reactiva ya

que en la mayor parte de los casos (excluidos los generadores de baja potencia) la parte

resistiva es despreciable en comparacin.

De acuerdo al tipo de estudio que queremos llevar a cabo, podemos tomar como reactancia de

secuencia directa o positiva a las reactancias

Reactancias de secuencia positiva:

XS"= reactancia sincrnica subtransitoria (para estudios durante los 5 primeros ciclos de la

falla)

XS'= reactancia sincrnica transitoria (para estudios que van entre los 5 y los 200 ciclos

posteriores a la falla)


12

XS = reactancia sincrnica (para el rgimen permanente)

Reactancias de secuencia negativa:

Para la secuencia negativa del generador, la reactancia depender de

2

""

2qd XXX

+=

donde:

Xd: reactancia de eje directo

Xq: reactancia de eje en cuadratura

En caso de mquinas de rotor de polos salientes, ambas reactancias son diferentes, pero para

mquinas de rotor liso o cilndrico, estas reactancias son iguales, de donde surge que la

reactancia de secuencia positiva y negativa sern iguales para el perodo subtransitorio, para el

resto de los perodos, la reactancia de secuencia negativa ser menor.

A fin de poder ilustrar lo expuesto, en los anexos de este cuadernillo se encuentra la hoja de

datos de un generador de 6 MVA, 6.3 kV. Ver anexo n1.

4.3-Impedancias de secuencia de transformadores En los transformadores, las impedancias de secuencia positiva y negativa son iguales debido a

que los flujos para ambas secuencias circulan por los mismos circuitos magnticos, en cambio,

la impedancia homopolar puede presentar diferencias. Principalmente esta impedancia

depender del grupo de conexin de los transformadores, de la cantidad de "piernas" que

posea el circuito magntico del transformador y los caminos de dispersin que contengan

estos.

Partiendo del circuito equivalente del transformador (por fase) podemos ver que:

Figura 4.3.1 - Circuito equivalente monofsico de un transformador

Las resistencias representan las prdidas en cada arrollamiento. La rama paralelo central,

representa el circuito de magnetizacin.

Para obtener los parmetros del circuito de magnetizacin se realiza un ensayo de vaco,

midiendo tensiones y corrientes se puede conocer la impedancia de esta rama.

Por otro lado, en un ensayo de cortocircuito, se pueden conocer los parmetros agrupados de

las resistencias e inductancias de los arrollamientos primario y secundario.


13

En el transformador se define la tensin de cortocircuito, pudiendo hallarse por ensayo, y es el

valor de la tensin (del lado primario por ejemplo) que se debe alcanzar para que estando el

secundario cerrado en un cortocircuito circule la corriente nominal.

Viendo el circuito de la figura 4.3.2 donde se han agrupado los parmetros R y X de los

arrollamientos primario y secundario y se han referido al primario, podemos ver rpidamente

que la tensin que alcanza la fuente para que circule la corriente nominal ser igual a la cada

de tensin interna del transformador cuando circula la corriente nominal por l.

Figura 4.3.2 - Circuito de ensayo de tensin de cortocircuito

Dividiendo esta tensin por la corriente se obtiene la impedancia de ambos arrollamientos

(primario + secundarios) referida a uno de los lados de transformador que depender del lado

del que se realiza el ensayo.

Puede verse en la figura 4.3.2 que se ha despreciado la rama magnetizante ya que la corriente

que circula por ella es despreciable frente a la nominal del transformador.

Inom

VccZCC = Ec(4.4)

Para evitar tener que referir esta impedancia en todos los casos a uno u otro arrollamiento, se

da el valor porcentual de la cada de tensin del ensayo.

100% xVnom

VccCC = Ec (4.5)

Esto permite encontrar la impedancia ya sea referida al primario como al secundario.

Mediante la siguiente expresin podr hallarse la impedancia referida a cualquiera de los lados

del transformador. Esta impedancia ser la impedancia de secuencia positiva o negativa y es la

impedancia que existe entre el primario y secundario de un transformador.

[ ]100

2CC

nom

nom xS

VZ

= Ec(4.6)

Donde:

Sn= potencia aparente nominal

Vn=tensin de lnea nominal

CC=tensin de cortocircuito en %

Si dividimos a CC en [%] por 100 obtendremos la tensin de cortocircuito en por unidad.


14

Para demostrar lo dicho, operamos con la (4.6)

[ ]

ccnom

cccc

nomnom

nom

cc

nom

nom

nom

CC

nom

nomCC

nom

nom

ZI

VV

IV

V

V

S

V

xV

xVx

S

Vx

S

VZ

===

====

..

1.

100

100

100

22

Ec (4.7)

La (4.7) llega al valor de la impedancia en ohm para la secuencia directa e inversa.

La norma IEC 60909, establece una forma de estimacin de la reactancia homopolar del

transformador cuando no se cuenta con mejor informacin o posibilidad de hacer un ensayo, y

es tomar el X0=0,8.X1.

La tabla 4.3.1 muestra simplificadamente como quedan compuestos los circuitos de cada

secuencia cuando se tienen diferentes conexiones de transformadores.

tabla 4.3.1 - Circuitos de secuencia para la solucin de conexiones de transformadores


15

5-Potencia Elctrica con el mtodo de las componentes simtricas:

La potencia aparente en un sistema con asimetra debe calcularse siguiente los lineamientos

expuestos en esta seccin.

UIS .*_

= Ec.(5.1)

Si recordamos que las tensiones pueden escribirse en funcin de una fase y su descomposicin

en secuencias:

22

10

212

0

210

UaaUUU

aUUaUU

UUUU

T

S

R

++=

++=

++=

Ec (5.2)

Y las corrientes pueden escribirse como sigue:

212

0

*

22

10

*

210

*

aIiaII

IaaIII

IIII

T

S

R

++=

++=

++=

Ec (5.3)

Reemplazando la (5.2) y la (5.3) en la expresin (5.1) se obtendr la potencia aparente para el

circuito con asimetra, quedando:

=++== TTSSRR UIUIUIUIS****_

.

=+++++

++++++++++=

))((

))(())((

22

10212

0

212

022

10210210

_

UaaUUaIIaI

aUUaUIaaIIUUUIIIS

Aplicando distributiva a cada parntesis, quedar:

23

212

20224

113

102

122

01000

23

214

202

222

113

1012012

000

221202211101201000

_

UaIUaIaUIUaIUaIUaIUaIaUIUI

UaIUaIUaIUaIUaIaUIaUIUaIUI

UIUIUIUIUIUIUIUIUIS

+++++++++

++++++++++

+++++++++=

Agrupando de acuerdo a los productos, cancelando y replanteando las expresiones se obtiene:

221100

_

333 UIUIUIS ++= Ec(5.4)

La expresin (5.4) es entonces la suma de las potencias aparentes por fase de cada secuencia.

El factor 3, es una consecuencia de la separacin de la asimetra en componentes simtricas,

donde cada sistema simtrico (homopolar, directo e inverso) posee tres circuitos monofsicos

iguales, uno por cada fase.


16

6-Aplicaciones del mtodo - Casos de estudio:

Abordaremos la aplicacin ms importante del mtodo de las Componentes Simtricas que es

la evaluacin de fallas en los sistemas elctricos trifsicos.

Estudiaremos los diversos casos de falla comenzando por los cortocircuitos. Naturalmente, el

estudio del cortocircuito trifsico o trifsico a tierra queda fuera de este estudio por ser una

falla simtrica.

6.1- Cortocircuito monofsico a tierra: Dentro de las fallas asimtricas, el cortocircuito monofsico (vinculacin de una de las fases

con tierra), es la falla ms frecuente.

Para la presentacin de la falla, supondremos que se pone en contacto la fase R del generador

con tierra, luego, el razonamiento seguido puede expandirse para una falla en cualquier otra

fase. El objetivo perseguido es encontrar una expresin que permita hallar el valor de la

corriente de falla.

Las ecuaciones que plantearemos, referirn todas las secuencias a la fase R.

Figura 6.1.1 - Circuito de falla monofsica a tierra

De acuerdo a la figura 6.1.1 podemos escribir las siguientes ecuaciones

0

0

===

TS

R

II

U Ec(6.1)

La tensin de la fase R ser cero ya que es la fase que entra en contacto con tierra, las

corrientes de las fases S y T pueden entonces despreciarse frente a las corrientes que

circularn por la fase R.

fallaR

R

IIIII

UUUU

=++==++=

210

210 0 Ec (6.2)

0

0

22

10

212

0

=++=

=++=

IaaIII

aIIaII

T

S Ec (6.3)

Las ecuaciones (6.2) y (6.3) fueron escritas tomando a la fase R como referencia.


17

Restando las corrientes de la ecuacin (6.3) podemos escribir:

)()(

)()(

0)()(

0)(

22

21

22

21

22

21

22

10212

0

aaIaaI

aaIaaI

aaIaaIII

IaaIIaIIaIII

TS

TS

=

=

=+=

=++++=

De esta ecuacin se concluye que 21 II =

Por otra parte planteamos que 0212

0 =++= aIIaII S

Esto puede re escribirse de acuerdo a la igualdad obtenida como

0112

0 =++= aIIaIIS Ec(6.4)

Como puede verse en la (6.4)

02

1

0112

)( IaaI

IaIIa

=+

=+ Ec(6.5)

Pero como 12 =+ aa , la (6.5) puede escribirse como sigue

01 II = o 01 II =

Podemos decir entonces que durante la falla monofsica todas las corrientes de secuencia

tendrn el mismo valor modular.

201 III == Ec(6.6)

A continuacin se dibujan los circuitos monofsicos para cada secuencia.

Figura 6.1.2 -Circuitos monofsicos de secuencias

De los circuitos de la figura 6.1.2 se obtienen estas ecuaciones

000

222

1111

UZI

UZI

UZIE f

==

=

Ec(6.7)


18

Incorporando los resultados expresados en (6.7) en la ecuacin (6.2), obtendremos la siguiente

expresin.

2211100210 ZIZIEZIUUUU fR +=++= Ec(6.8)

La (6.8) puede reescribirse considerando lo expuesto por la (6.6)

0)( 02111 =++= ZZZIEU fR y de esta expresin, podemos dar paso a la determinacin del valor de la corriente de secuencia positiva como:

)( 02111 ZZZIE f ++=

0211 ZZZ

EI f

++= Ec(6.9)

Luego, por la Ec (6.2) de corriente de la fase R y por la igualdad presentada en la (6.6) surgir

que:

0211210

.3.3

ZZZ

EIIIII

fR ++

==++= Ec (6.10)

Si el centro de estrella del generador se encontrara conectado a tierra mediante una

impedancia de neutro, la expresin (6.10) debera modificarse de acuerdo a lo que se muestra

en la (6.11)

n

fR ZZZZ

EI

3

.3

021 +++= Ec(6.11)

Esto encuentra explicacin en el circuito equivalente de la falla, ya que las corrientes

homopolares circulan en fase, todas juntas por la impedancia de puesta a tierra del generador,

esto crea una cada de tensin en esta impedancia que ser

nn ZIU .3 0= , el 3, es debido a que las corrientes homopolares de las tres fases circulan por la impedancia de puesta a tierra.

Esa cada de tensin, debe quedar plasmada en el circuito monofsico de la falla, pero como

por este circuito slo circula una corriente homopolar y no la de todas las fases (ya que se

resuelve el circuito monofsico) se subsana la diferencia multiplicando por 3 a la impedancia.

La figura 6.1.3, muestra los circuitos monofsicos equivalentes para la falla monofsica a tierra,

en las dos condiciones, con el centro de estrella del generador conectado rgido a tierra o

mediante impedancia de neutro.


19

Figura 6.1.3 -Circuitos monofsicos equivalente del cortocircuito monofsico

Como se muestra, los circuitos equivalentes son circuitos serie entre las secuencias positiva,

negativa y homopolar, esto queda justificado ya que las corrientes de las tres secuencias son

iguales.

6.2- Cortocircuito bifsico aislado de tierra: En la falla bifsica aislada de tierra, las corrientes entre las fases que hacen contacto, sern

iguales en mdulo y opuestas en sentido.

Las ecuaciones del sistema pueden escribirse como :

22

10

212

0

210

AAAC

AAAB

AAAA

IaaIII

aIIaII

IIII

++=

++=

++=

Asumimos que la corriente de la fase A es nula o despreciable frente a las corrientes de falla

resultando que:


20

Figura 6.2.1 -Circuitos de cortocircuito bifsico

CB

A

II

I

== 0

Ec(6.12)

Esto resultar en que:

22

12

0

22

10

212

0

210

3

3

00

ACBA

ACBA

ACBA

AAAC

AAAB

AAAA

IaIIaI

IIaaII

IIII

IaaIII

aIIaII

IIII

=++

=++

==++

++=

++=

++=

Ec(6.13)

De la (6.13) se concluye que esta falla no tendr componente homopolar de corrientes.

La siguiente figura muestra el diagrama fasorial para esta falla, quedando en evidencia que la corriente de secuencia positiva estar adelantada 90 de la corriente de falla (corriente de la fase B), mientras que la corriente de secuencia negativa estar en retraso de 90 de la corriente de la fase B.

.


21

Figura 6.2.2 -Diagrama fasorial de corrientes

En este fasorial, se ve que:

11

1

12

12

33

3

32

3.23

30

3

III

III

IIaaI

IIaaII

B

BB

BB

CBA

==

==

=+

=++

Ec(6.14)

La misma metodologa puede seguirse para la determinacin de la corriente en funcin de la

corriente de secuencia negativa, en este caso llegaremos a que:

22 33

3III B == Ec(6.15)

Como las corrientes de secuencia positiva y negativa poseen el mismo mdulo, resultar que el circuito equivalente de la falla es:

Figura 6.2.3 -Circuito equivalente monofsico de la falla Bifsica


22

De este circuito se puede determinar que:

21

1

21

121

3ZZ

EII

ZZ

EII

fasefallaB +

==

+==

Ec(6.16)

6.3- Cortocircuito bifsico con contacto a tierra: Para esta falla podemos plantear las condiciones de corrientes y tensiones segn la expresin

(6.17). Se evidencia que la corriente por la fase A ser nula o podr despreciarse frente a la

corriente de falla.

Figura 6.3.1 -Circuito de falla bifsica a tierra

Adems, debido a que las dos fase en falla, hacen contacto con tierra, ambas fase tendrn potencial 0V.

Ec(6.17)

I

U U O

U U U U

U U U U U a U aU

U U U U U aU a U

R O

S T

R R R R

S S S S R R R

T T T T R R

O

R

=

= == + +

= + + = + +

= + + = + +

1 2

0 1 2 0 1 2

0 1 2 0 1 2

2

2

Sumando miembro a miembro y multiplicando por a segn corresponda se obteiene:

U a U aU U a a U a a U U

U U

R S T R R R R

R R

+ + = + + + + + + + + =

=

2 2 4 220 1 2

2

1 1 1 1 1 3

3

( ) ( ) ( )

1

1210

0

021

3

3)1()111()1(

3

3)1()1()111(

4222

220.

RR

RRRRTSR

RR

RRRTSR

UU

UaaUUaaUUaaUU

UU

UaaUaaUUUUU

=

=++++++++=++

=

=++++++++=++


23

Esto implica que se tienen las mismas tensiones de secuencia por lo que el circuito equivalente debe ser un

circuito paralelo entre las tres redes de secuencia.

Luego

021

210102102

0

1

2

1

1

1

021

0

1

0

00

2

1

2

22

1

11

)(

0

ZZZ

ZZZZZZUZEZ

Z

U

Z

U

Z

UEI

IIII

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

Z

UEI

R

R

++==

++==

==

==

=

Llamando 212102 ZZZZZZZ ++= (Notar que Z* tiene unidad de 2 ) Ec(6.18)

Como la corriente de la fase R es nula, el numerador de la fraccin que representa a esta corriente

debe ser nulo tambien.

*02

11020Z

ZEZUZUZEZIR ===

Ec(6.19)

Luego:

2

1

1

12

0

121

20

Z

Ua

Z

UEa

Z

UaIIaIIS

+=++=

*1

)(2

02

1*

022*

0

02

ZZ

ZEZa

ZZ

ZEZEa

ZZ

ZEZIS += Ec(6.20)

SIaaZ

EZa

Z

EZZ

EZa

Z

EZa

Z

EZa

Z

EZ

Z

ZaE

ZZ

ZZZZZZZZEa

Z

EZ

=++=

=++=

=+++=

).()1(

)(

2*02

*2

*0

*02

*22

*2

*0

*1

020210212*2

Ec(6.21)

6.4- Prdida de una fase de alimentacin La figura 6.4.1 da una idea de la condicin de falla, de la misma se puede rpidamente

determinar las condiciones a las de la corriente.


24

Figura 6.4.1 -Esquema trifilar de la falla de prdida de fase

En este escenario, las variables elctricas quedarn como se indica a continuacin.

Se aprecia que para las corrientes se cumplen las condiciones de una falla bifsica aislada de

tierra.

TS

R

II

I

== 0

Ec(6.22)

Suponemos para este desarrollo que la carga alimentada es un motor, el centro de estrella no

est puesto a tierra.

Refiriendo todas las ecuaciones de corriente a la fase R quedar la expresin (6.23)

02

10

212

0

2100

IaaIII

aIIaII

IIII

T

S

R

++=

++=

++==

Ec(6.23)

Sumando las expresiones segn se muestra a continuacin se obtienen las expresiones de I1 e

I2. La componente homopolar de la corriente ser nula ya que no hay camino de retorno al

generador o alimentacin.

030 IIII TSR ==++ Ec (6.24)

SSTSR IaaIIIaaII2

12 3 ==++ Ec(6.25)

Donde 3

)( 21

aaII S

= Ec(6.26)

Luego, del diagrama fasorial de la figura 6.4.2 o de la operacin con los vectores de la (6.26)

quedar:

33

31

SS IjI

jI == Ec(6.27)


25

Figura 6.4.2 -Diagrama fasorial de la ecuacin (6.25)

Trabajando, con igual procedimiento se obtendr la corriente de secuencia negativa.

SSTSR aIIaIaIIaI ==++2

22 3 Ec(6.28)

Figura 6.4.3 -Diagrama fasorial de la ecuacin (6.28)

Donde 3

)( 22

aaII S

= Ec(6.29)

Del diagrama fasorial de la figura 6.4.3 o de la operacin con los vectores de la (6.29) quedar:

33

32

SS IjI

jI == Ec(6.30)

Como los mdulos de ambas corrientes de secuencia son iguales, y al igual que en el caso de la

falla bifsica, el circuito equivalente de la falla, constar en una serie del circuito de secuencia

positiva con el circuito de secuencia negativa.


26

Figura 6.4.4 -Circuito equivalente monofsico de la falla

Donde Z1 y Z2 son las sumas de las impedancias de cada secuencia (en este caso, generador y

carga)

21

11

.3

33

3

ZZ

E

III

fase

S

+=

=== Ec(6.31)

En este caso, la fem a usar para calcular la corriente de falla IS es la fem de fase. Hay que

observar que la nica secuencia que tiene fem es la secuencia positiva o directa.

6.5- Falla monofsica a tierra en rgimen de carga Para desarrollar este apartado nos valdremos de lo estudiado en el apartado 6.1.

Las condiciones generales de la falla se mantienen, siendo necesario introducir el efecto de la

carga en el estudio de la falla o sea que ser necesario adaptar las expresiones matemticas

para el nuevo modelo circuital. Para esto, tomamos las ecuaciones que se plantearon como

solucin de la falla monofsica.

Figura 6.5.1 -Falla monofsica con carga

La expresin de la corriente de falla monofsica vena dada por las ecuaciones (6.10) o (6.11),

esta ltima en el caso que el generador se conectara a tierra mediante una resistencia de

puesta a tierra.

En el caso de la figura 6.5.1 se tiene un resistor de neutro por lo que la solucin del vendr

dada por la (6.11), pudiendo expandir los resultados a un sistema con el generador rgido a

tierra haciendo cero este valor.


27

n

fR ZZZZ

EI

3

.3

021 +++= Ec (6.11)

En la conformacin de los tres circuitos monofsicos para cada componente simtrica, la

impedancia de la carga queda en paralelo con la falla, de modo que la tensin aplicada a la

falla ya no ser la fem del generador y habr que hallar la tensin de Thevenin.

En tanto, la impedancia "vista" desde la posicin de la falla, resulta para este caso, el paralelo

entre la impedancia del generador y la resistencia de la carga.

Figura 6.5.2 -Circuito de secuencia positiva

1ZR

xREU fth +

= Ec(6.12)

1

11

.

ZR

RZZth +

= Ec(6.13)

Figura 6.5.3 -Circuito de secuencia con sus equivalencias

Para la secuencia negativa, puede plantearse de forma similar el circuito equivalente.

Figura 6.5.4 -Circuito de secuencia negativa

Para esta secuencia la impedancia presente en el punto de falla es el paralelo entre la

impedancia de carga y la impedancia de secuencia negativa del generador.


28

2

22

.

ZR

RZZth +

= Ec(6.14)

Para la secuencia homopolar, el circuito y las impedancias dependern de la conexin a tierra

del generador y la carga.

Para el circuito de la figura 6.5.1, se puede apreciar que el circuito monofsico para le

secuencia homopolar quedar representado como sigue.

Figura 6.5.5 -Circuito de secuencia homopolar

La impedancia para esta secuencia queda comprendida por la serie entre la impedancia

homopolar del generador y la resistencia de puesta a tierra del generador.

Nte RZZ .300 += Ec(6.15)

Notar que el circuito equivalente para esta secuencia se ha dibujado abierto en el extremo de

la carga, esto es debido a que el centro de estrella de la misma se encuentra aislado de tierra.

Queda como trabajo para el alumno determinar la impedancia de secuencia homopolar para el

caso en que el centro de estrella de la carga se encuentre conectado a tierra.

Una consideracin importante a realizar, es que si la carga no es una carga resistiva y posee

acoplamientos magnticos, es posible que tenga impedancias de secuencias distintas, esto

debe reflejarse en cada uno de los circuitos de secuencias planteados.

Por otro lado, si la carga est dada en tringulo, necesariamente hay que plantear su

equivalente a estrella. Est claro que en este caso, la estrella equivalente tendra el centro de

estrella aislado de tierra.

7-Medicin de las diferentes secuencias de tensin y corriente

En lo que sigue se tratar un aspecto interesante de las componentes simtricas que es la

medicin de las diferentes secuencias de corriente y tensin.

7.1- Medicin de la componente de secuencia positiva y negativa de corriente En el caso que se estudiar a continuacin, se propone un circuito para la medicin de

corriente de secuencia positiva y negativa de un sistema. Para que este circuito mida

adecuadamente, es necesario que el sistema no posea conexin a tierra o neutro cableado de

forma de asegurar que la componente de secuencia negativa sea nula.

La siguiente figura muestra el circuito


29

Figura 7.1.1 -Circuito de medicin de corrientes de secuencia positiva y negativa

En este circuito, se debe cumplir que Z = Rej60.

Las deducciones de las expresiones de la medicin se escriben a continuacin y se comenta el

circuito de forma detallada. Las relaciones de transformacin de los TIs (transformadores de

corriente) no son importantes, stas podrn ser 1:1. Para el anlisis que sigue se tomarn de

esta forma.

Aplicando el principio de superposicin, podemos reordenar el circuito de medicin y suponer

que la corriente en los secundarios de los TIs son iguales a las corrientes en los primarios.

Figura 7.1.2 -Circuito de medicin con separacin de corrientes

Rpidamente se puede deducir que para cada uno de los circuitos, y estando circuladas por

una corriente, IB o IC, la cada de tensin en el circuito ser:

RZ

RZIU

RZ

RZIU

C

B

+=

+=

.

.

Ec (7.1)

En el caso de que supongamos que el circuito est siendo circulado por la corriente de la fase B

podemos ver en la figura 7 que la corriente que atraviesa al ampermetro A1 es:

RZ

RIA BB +

=1


30

En el caso que el circuito sea atravesado por la corriente de la fase C, la corriente que atraviesa

al ampermetro A1 ser:

RZ

ZIA CC +

=1

Estas corrientes se obtienen dividiendo la cada de tensin producida en el paralelo de

impedancias, por la impedancia de la rama del ampermerto A1 que encuentra cada corriente

asumiendo que los ampermetros poseen impedancia interna despreciable.

Luego, aplicando superposicin, se suman las dos corrientes que atraviesan al ampermetro A1

quedando la siguiente expresin.

RZ

ZI

RZ

RIAAA CBCB +

++

=+= 111

Ec (7.2)

De acuerdo a la relacin entre los valores establecidos para la impedancia y resistencia, se

deduce que:

303

1

)11( 60=

+=

+ RR

RZ

R Ec (7.3)

303

1

)11( 60

60 =+

=+

R

R

RZ

Z Ec (7.4)

Podemos ver que el resultado de (7.3) puede obtenerse de la suma vectorial planteada a

continuacin.

Figura 7.1.3 -Diagrama fasorial de (1-a)

Podemos entonces reemplazar RZ

R

+ por )1(

3

1a , un razonamiento anlogo podr hacerse

con RZ

Z

+ concluyendo que )1(

3

1 2aRZ

Z =+

. Reemplazando ambos resultados en la

(7.2) quedar:

)1(3

1)1(

3

1111 2aIaIAAA CBCB +=+= =


31

)(3

1)1(

3

1)1(

3

11 22 CBCBCB IaaIIIaIaIA +=+= Ec (7.5)

Trabajando con la (7.5) se obtiene

124

102

22

102102 )(

3

1)(

3

11 IIaIIaIaIaIIIIIaaIIA CBA ===

Ec(7.6)

La ecuacin (7.6) muestra que la medicin obtenida por el ampermetro A1 es la componente

de secuencia positiva con signo invertido.

Operando anlogamente con la rama del ampermetro A2 se obtiene que la medicin en este

ampermetro ser -I2.

Habiendo demostrado de esta forma que los ampermetros A1 y A2 miden las corrientes de

secuencia positiva y negativa respectivamente.

7.2- Medicin de la componente de secuencia homopolar de corriente

En el circuito que se muestra en la siguiente figura, se puede ver un sistema para la medicin

de la secuencia homopolar de corriente. Para que este sistema mida adecuadamente la

secuencia homopolar de corriente, es necesario que el sistema al cual se conecte, posea

caminos por los cuales puedan circular la corriente de secuencia homopolar.

Figura 7.2.1 -Circuito de medicin de la corriente homopolar

Basado en la ecuacin (2.5), la suma de las corrientes de fase es el triple de la corriente

homopolar

03 ACBA IIII =++ Ec (2.5)

De esta misma expresin surge que se puede medir la corriente homopolar en una conexin

aditiva de las corrientes de fase de un sistema, claro que para esto es necesario que el sistema

tenga un camino conductivo por el cual puedan cerrarse las corrientes homopolares.

Cuando el sistema medido sea simtrico, el ampermetro conectado no tendr deflexin.


32

7.3- Medicin de la componente de secuencia homopolar de tensin

El circuito de medicin que se muestra a continuacin, se utiliza para la determinacin de la

componente homopolar de la tensin. El resultado medido, es la suma de las tensiones de fase

de las tres fases. En consecuencia, si existe asimetra en la tensin, podr medirse en el

secundario de los transformadores de medicin la tensin suma.

La conexin usada para los transformadores de tensin es primario en estrella y secundario en

tringulo abierto.

Figura 7.3.1 -Circuito de medicin de la tensin homopolar

La medicin resultar 00 33 UUUUU ACBA ==++ en el caso que la relacin de los transformadores de tensin sean 1:1.

Para otras relaciones de TVs, cada tensin de fase del secundario debe afectarse por la

relacin. Naturalmente, el voltmetro estar graduado en escala adecuada para ese caso.

8-Trabajo matricial con el mtodo.

Partimos de un conjunto de fasores y los expresamos de acuerdo al mtodo de las

componentes simtricas.

22

10

212

0

210

RaaRRT

aRRaRS

RRRR

++=

++=

++=

Ec (8.1)

En la Ec (8.2) aparece la expresin de la (8.1) en forma matricial.

2

1

0

2

2

R

R

aa1

aa1

111

T

S

R R

= Ec (8.2)

En forma abreviada podr escribirse


33

2

1

0

T

S

R

R

RR

= donde 2

2

aa1

aa1

111

=A

Para dar solucin a este juego de ecuaciones formado por tres ecuaciones y tres incgnitas, se

opera por ejemplo con la regla de Cramer.

Ta1

Sa1

R11

R

aT1

aS1

1R1

aaT

aaS

11R2

2

2

1

2

2

0 === RR

)a(a)a(aa)(a)a(a

aa1

aa1

111

donde 22224

2

2 =+== .3

Resolviendo cada una de las expresiones quedar:

3)a3.(a

)aT(aa)S(a)aR(aR

2

2224

0

TSR ++=

+= Ec(8.3)

)a3.(a

a)T(11)S(a)a-R(a

)a3.(a

S)RaT)(RaaTSaR

2

22

2

22

1 ++=

+=

Trabajando con esta expresin quedar:

aa

a

0

a1a

a-

1a

1)-a(a-

1)1)(a(a

)a(a

1)(a 22

2

2

=

++=+=+=

48476

22

aa1

aa

a)(1 ==

Resultando 3

TaaSRR

2

1

++= Ec (8.4)

Luego, la ltima ecuacin a plantear resulta:

)a3(a

1)T(aa)-S((1)a-R(a

)a3.(a

RaSaR)(TSaTaR

2

22

2

22

2 ++=

+=

Operando, resulta 3

aTaRR

S2

2

++= Ec (8.5)


34

Las expresiones (8.3) a la (8.5) pueden expresarse en forma matricial como se presentan en la

8.6.

T

S

aa1

aa1

111

3

1

R

R2

2

2

1

0 RR

= Ec (8.6)

En forma abreviada, podemos escribir la (8.6) como sigue:

T

S

R

R

R

R1-

2

1

0

= A Ec (8.7)

Siendo

aa1

aa1

111

3

1

2

21 = Ec (8.8)


35

9-ANEXOS

ANEXO 1 - TABLA DE DATOS GENERADOR 6000 kVA - 6,3 kV

Metodo de Las Componentes Simetricas - Teoria

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