UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA

FACULTAD DE EDUCACIÓN, CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES

ESCUELA DE PEDAGOGÍA

Análisis de Contenido:

LENGUAJE ALGEBRAICO

http://matefacilalgebra.blogspot.com/

Profesora : Sra. Elizabeth Henríquez Morán.

Alumnas : Paloma Arévalo Mendoza.

I. Pregunta Inicial

¿Se puede a través de la relación entre letras y operaciones aritméticas representar

matemáticamente problemáticas o situaciones de la vida cotidiana?

II. Abstracción Inicial

La principal herramienta que existe para representar diferentes situaciones o

problemáticas de una forma matemática es el Lenguaje Algebraico, ya que este se basa en el

uso de letras (o símbolos) y relaciones matemáticas para generalizar o representar dichas

situaciones.

La historia de la matemática nace con las primeras civilizaciones, y es precisamente allí

donde encontramos los primeros esfuerzos relacionados con la resolución de problemas

cotidianos y algún tipo de lenguaje que sea capaz de llegar a la generalización de éstos.

En este sentido, encontramos registros de la civilización egipcia en papiros y diferentes

encriptaciones. Uno de estos papiros, llamado el Papiro Rhind, contiene problemas equivalentes

a la resolución de ecuaciones lineales. El problema 24 del papiro, traducido literalmente dice:

“una cantidad, su séptima parte, su totalidad asciende a 19”. Por otro lado, de la civilización

babilónica se conservan tablillas de arcilla en donde se escribían los problemas, los cuales

también aparecen formulados y resueltos de una manera completamente verbal, sin embargo,

aquí aparecen tablas de cubos y raíces cúbicas, las cuales eran consultadas ante problemas de

este tipo. Si se revisan más de estos problemas, se llega a la conclusión de que no se utiliza

prácticamente ningún simbolismo, y estamos en presencia del álgebra retórica. Es en la

civilización griega donde se comienza con el álgebra sincopada, esto es: manteniendo aún los

enunciados, se sustituyen con abreviaturas una serie de magnitudes, conceptos y operadores.

Diofanto es quien inicia esta etapa. La civilización hindú, contemporánea a la egipcia, utiliza

abreviaciones de palabras para operaciones y colores para las incógnitas. Este simbolismo

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aunque no es exhaustivo, es suficiente para ser clasificado como cuasisimbólico. El álgebra

simbólica que utilizamos hoy, es obra de muchos siglos después, introducidos por los

matemáticos franceses Viète y Descartes.

No podemos desconocer entonces la importancia que ha tenido el desarrollo de esta

rama de la matemática, la cual se considera el lenguaje matemático, capaz de generalizar

operaciones aritméticas.

Entonces, el lenguaje algebraico permite estructurar un idioma que ayuda a generalizar

las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética y, además, mantener

relaciones generales para razonamiento de problemas. En esta estructura se utilizan letras para

generalizar números y los símbolos que ya conocemos en aritmética para señalar la operación

que se realizará.

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III. Red Conceptual

Para comprender mejor necesitamos comenzar por comprnder que es el algebra, lo cual consiste

en ……….., el cual se trabaja en las matrices, funciones y el los conjuntos de los números reales y

números complejos.

El álgebra se puede operacionalizar, no solo con las operaciones aritméticas básicas,

como lo son la suma, la resta, la multiplicación y la división, sino también con logaritmos,

potencias y raíces.

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En el lenguaje algebraico encontraremos una estructura básica, que son los términos

algebraicos. Estos están compuestos por un coeficiente numérico que es el coeficiente

numérico que se coloca delante de una cantidad para multiplicarla, una variable o parte literal y

el grado, éste se calcula considerando la parte literal del término, y se opera de la siguiente

manera: se suman los exponentes de las potencias a las cuales están elevadas las letras y de

esta manera se obtiene el grado del término. Con respecto al grado de una expresión, el

procedimiento es similar, a saber: se calcula el grado de cada término de la expresión y el grado

mayor corresponde al grado de la expresión. Por ejemplo, el grado del término 2x3y es cuatro y

el grado de la expresión a + b2 es 2.

Las operaciones suma y resta entre términos algebraicos dan origen a las expresiones

algebraicas, las cuales se pueden clasificar según el número de términos y grado de la

expresión. Es así como de acuerdo al número de términos encontramos la siguiente

clasificación:

Número de Términos Clasificación

Un término Monomio

Dos términos Binomio

Tres términos Trinomio

Cuatro o más términos Polinomio

Las operaciones relacionadas con las potencias, raíces y logaritmos, mantienen sus

propiedades al trabajar con ellas en el álgebra solo que se relacionan de la siguiente manera:

1.- La búsqueda del valor de X, nos lleva al concepto de potencia. Ejemplo:

53 = X

2.- La búsqueda de la base X, nos lleva al concepto raíz. Ejemplo:

X3 = 125

5

3.- La búsqueda del exponente, nos lleva al concepto de logaritmo. Ejemplo:

5X = 125

Dentro de la operatoria de expresiones algebraicas encontramos no sólo la suma y resta,

sino también la multiplicación de expresiones. En este sentido, las multiplicaciones dan origen a

nuevas expresiones algebraicas, siendo algunas de estas expresiones importantes por su

aplicación. Es así como las multiplicaciones de expresiones más destacadas reciben el nombre

de Productos Notables o Productos Especiales. Estos productos cumplen con ciertas reglas fijas

y su resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Además se utilizan en el proceso de Factorización, el cual puede considerarse como un proceso

inverso a la multiplicación, pues identifica los factores comunes en un polinomio y los agrupa.

Los productos notables más destacados son:

Cuadrado de Binomio:

El producto de un binomio por sí mismo se conoce como cuadrado de binomio. Como

tenemos dos tipos de binomio, esto es: binomio generado por suma de términos y binomio

generado por resta de términos; el desarrollo de sus cuadrados marca esta diferencia en el

desarrollo de la multiplicación, a saber:

(a±b)2=a2±2ab+b2

Cubo de Binomio:

El producto de un binomio por si mismo tres veces se conoce como cubo de un binomio.

Al igual que en el caso anterior, en el desarrollo de la multiplicación se hace notar la

diferencia entre un binomio generado por suma y un binomio generado por resta, a saber:

(a±b)3=a3±3a2b+3 ab2±b3

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Suma por su Diferencia:

Corresponde al producto de dos binomios cuyos términos son iguales, pero la operación

de uno es la suma y la del otro es la resta. Su desarrollo queda como sigue:

(a+b ) (a−b )=a2−b2

Producto de dos Binomios con un término en común

( x+a ) ( x+b )=x2+(a+b ) x+ab

Polinomio al Cuadrado:

En general, para elevar un polinomio al cuadrado, se suman los cuadrados de cada

término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible

par de términos. Consideremos un polinomio de 4 términos:

(a+b+c+d )2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd )

Dado que no existe una lista determinante que indique que productos son notables y cuales

no, podemos incluir también productos o identidades que son importantes en ciertos contextos:

Suma de Cubos

a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 )

Diferencia de Cubos

a3−b3=(a−b )(a2+ab+b2)

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En la operatoria con lenguaje algebraico también se hace presente el orden, es decir, se

establece una prioridad en las operaciones que se llevarán a cabo. Esta prioridad considera que

lo primero que se trabajará son los paréntesis, luego se realizará el desarrollo de potencias (si

las hay), después trabajaremos multiplicación y división, siempre dando prioridad de izquierda a

derecha y, finalmente, se trabajarán las operaciones suma y resta, con la salvedad anterior, es

decir, trabajar de izquierda a derecha. Como se puede desprender de lo anterior esta prioridad

es la misma que la utilizada en el trabajo aritmético en el conjunto de los Números Enteros.

Recordando que la idea más amplia del lenguaje algebraico es ser utilizado como tal con

respecto al lenguaje cotidiano, es decir, que podamos traducir una idea o una situación del

lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.

IV. Aplicaciones

La aplicación más destacada del lenguaje algebraico es la de poder “traducir” o escribir

situaciones del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático, sin embargo, daremos a conocer

algunas aplicaciones importantes.

Productos Notables y Factorización

En general, el uso de los productos notables está ligado a la geometría, esto es, respecto

del cálculo de áreas. Por ejemplo, si nos piden calcular el área de una superficie cuadrada,

sabemos que debemos elevar al cuadrado la medida del lado, sin embargo, si estamos frente a

una situación en donde sabemos que la superficie es cuadrada, sin embargo el lado esta

parcializado, por ejemplo como (a+3), entonces el área de la superficie es: a2 + 6a + 9, para

cualquier valor de a.

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A = a2 + 6a + 9

La factorización también puede ser trabajada en geometría, por ejemplo: supongamos

que tenemos un rectángulo cuyo ancho es c y cuyo largo es a + b, entonces:

A = c(a + b)

Consideremos el siguiente ejemplo: Don Carlos posee un terreno cuadrado de 40.000 m2, pero

esta parcela queda justo en medio de la parcela de Don Tomás, un agrónomo muy poderoso.

Don Tomas quiere realizar una gran cosecha de tomates, pero para ello le molesta la forma del

terreno de Don Carlos. Para solucionar su problema Don Tomás le ofrece a Don Carlos que

modifique su terreno de la siguiente

forma:

El cuadrado ABCD representa la parcela

de Don Carlos. El rectángulo ADFE,

representado de color verde,

corresponde a la franja de parcela que

3

a

3

3

a

3

a

a

9 3a

3a a2

ca cbc

a b

9

Don Tomás necesita cambiar. Y por último, el rectángulo DHGC, representado de color lila, que

corresponde a la franja a cambio que le dará Don Tomas a Don Carlos después del cambio.

La idea es que con los datos entregados, y utilizando productos notables, seamos capaces de

responder las siguientes preguntas:

1.- ¿Qué medidas posee la parcela de Don Carlos antes y después de los cambios?

2.- Analice para x=10 y x= 40, con la expresión general del cambio del terreno, si le conviene a

Don Carlos realizar el cambio. Justifique utilizando productos notables.

Respuesta 1: Antes del cambio

El área será representada por A, la cual se calcula multiplicando los lados, a los cuales

denotaremos por Y, es decir, para conocer la medida de uno de los lados calcularemos la raíz

cuadrada del dato de área que se entrega, considerando la solución positiva, pues la otra no

tiene sentido en este contexto:

A = Y2 = 40.000 m2

Y= 200 m.

Después del Cambio

Ahora nos interesa saber la medida del área después de la modificación del terreno. Para esto

restaremos a la medida de uno de los lados las unidades que se modificarán en dicho lado y,

realizaremos algo similar con el otro lado pero en vez de restarlo lo sumaremos. Estas unidades

las representaremos con X. lo que se expresa:

A= (200-X)(200+X) => 40000 – 200X +200x – x2 => 40.000 - x2

Respuesta 2

Si consideramos x = 10, el área será:

40000 - x2= 40.000 – (10)2 = 40.000 – 100 = 39.900 m2.

Para x = 40

40.000 - x2 = 40.000 – (40)2 = 40.000 – 1.600 =38.400 m2.

Ahora bien, para cualquier valor de x tenemos que A = 40.000 – x2

10

Luego, a Don Carlos no le conviene realizar ningún cambio en su parcela, debido a que

no importa el valor que modifique; esta área siempre será restada del área del terreno que ya

posee.

A = 40.000 – x2 (Producto Notable)

Resolución de Ecuaciones

Consideremos la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando

como método de resolución el método de la balanza. La idea de trabajar con resolución de

ecuaciones es que el estudiante entienda el concepto de incógnita o variable, y que además

pueda entender que una ecuación es una igualdad, por tanto, lo que trabajamos sumando,

restando, etc., se trabaja en ambos lados de la ecuación. Este trabajo nos ayuda en lo que

trabajamos posteriormente, a saber: modelación o planteamiento de problemas, lo cual sin la

adecuada base de resolución de ecuaciones no tiene sentido.

Método de la Balanza

Consideremos la siguiente idea ecuación: 2x + 5 = 17, lo que llevado gráficamente a una

balanza sería:

11

Si quito las 5 unidades del lado izquierdo y no del lado derecho la balanza se desequilibra, por

tanto, debo quitar las cinco unidades de ambos lados:

Luego:

Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

28 + x = 13 / -28 (se suma a ambos lados el inverso aditivo)

28 + x + -28 = 13 + -28

0 + x = -15

x = -15

Ejemplo 2

3x - 8 = x + 10 / - x (inverso aditivo de x)

3x + - x - 8 = x + - x + 10

2x – 8 = 0 + 10 / +8 (inverso aditivo de -8)

2x – 8 +8 = 10 +8

2x = 18 / * ½ (inverso multiplicativo de 2)

2x * ½ = 18 * ½

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x = 9

Planteamiento de Problemas: Ecuaciones y Funciones

En general, hemos planteado que un enunciado literal puede convertirse en un

polinomio, producto notable, ecuación o función. Sin pérdida de generalidad, trabajaremos con

enunciados literales que podemos modelar como una función o una ecuación, con más de una

variable.

Consideremos el caso del cálculo de Índice de Masa Corporal, el cual reviste importancia

médica en la actualidad, ya que es un indicador de problemas asociados tanto a la desnutrición

como a la obesidad. Para calcular este índice se consideran factores tales como la estatura de

una persona (en centímetros) y la masa de la persona (en kilogramos). La relación existente a

partir del cociente entre la masa de la persona y el cuadrado de su estatura es el índice de masa

corporal, cuya sigla es IMC, luego, generalizando esta idea obtenemos:

IMC = masa

(altura)2

Luego, para obtener el IMC de una persona, basta con conocer estos datos. Supongamos

que un niño mide 1.50 m y su masa es de 65 kilogramos. Al reemplazar estos datos en la

fórmula que tenemos para el cálculo de IMC, este arroja como resultado 28,8. Este resultado se

contrasta con las tablas existentes, y nos entrega información de cuál es la condición del niño,

en términos de evaluar el riesgo asociado a obesidad o desnutrición. En este caso, el niño esta

sobre lo normal, considerándose cercano a una obesidad. Con otros datos aportados por el

paciente el equipo médico puede tomar diferentes acciones para controlar a tiempo esta

situación.

Supongamos que queremos determinar la intensidad de corriente I para un circuito. Las

variables que aquí intervienen son la diferencia de potencial V (más conocida como voltaje) y la

resistencia R que tiene el circuito. La relación entre ellos es:

I = VR

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Luego, a medida que la resistencia aumenta la intensidad disminuye y viceversa.

Un caso común que podemos modelar como una función es cuando queremos

fotocopiar un libro. Si el valor de una fotocopia es 15 pesos, entonces el valor total que se

pagará depende de la cantidad de fotocopias, así si y es la cantidad de dinero que se pagará y x

es la cantidad de fotocopias, entonces la relación entre ellas es:

y = 15x

Dentro de las ecuaciones, podemos citar las más sencillas trabajadas en el nivel de

enseñanza básica, a saber: las ecuaciones de primer grado con una incógnita, las cuales pueden

representar una situación de la vida real. Pensemos en el siguiente ejemplo: Un vendedor de

libros debe confeccionar su registro de ventas de la semana, sin embargo, ha perdido sus

registros diarios. Sólo recuerda que el día lunes vendió 4 libros más que el día martes, el

miércoles vendió el doble de libros del martes y el jueves vendió 2 libros más que el día lunes.

Confeccionar el registro de ventas diario, si el total de libros vendidos es 65.

En esta situación lo importante es la modelación, es decir, poder escribir correctamente

la ecuación, pues de otra manera tendremos resultados erróneos. Al leer la situación podemos

darnos cuenta que toda la información de las ventas esta “en función” de la venta del día

martes, la cual es una cantidad desconocida, y por tanto, podemos considerarla como nuestra

incógnita. De esta manera, comenzamos el desarrollo:

Ventas por Día

Lunes: x + 4

Martes: x

Miércoles: 2x

Jueves: x + 6

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Con lo anterior, tenemos las ventas diarias todas en función de una única incógnita. Luego,

tomamos el dato del total de libros y planteamos la ecuación, a saber:

x + 4 + x+ 2x + x + 6 = 65

Sumando términos semejantes tenemos:

5x + 10 = 65

Resolviendo la ecuación obtenemos que el valor de x es 11, y con este valor podemos

confeccionar el registro semanal de ventas.

Registro de Semanales

Día Cantidad de Libros Vendidos

Lunes 15

Martes 11

Miércoles 22

Jueves 17

Total 65

V. Evaluación Crítica

El análisis del desarrollo histórico del álgebra muestra claramente que la construcción

del lenguaje algebraico, entendido como un lenguaje de símbolos, ha sido muy lenta y

dificultosa, pues encontramos períodos de mejoramientos progresivos como así también

períodos de regresión y parálisis. En este sentido sabemos que el desarrollo de este lenguaje

pasó por diferentes etapas y que el uso de los símbolos que utilizamos hoy se remonta al 1500

aproximadamente. La imposibilidad de poder trabajar con símbolos o con un lenguaje

algebraico estancó el trabajo matemático en ciertas civilizaciones, luego, la importancia que

tiene éste está precisamente relacionada con el poder lograr superar las barreras históricas y de

esta forma generalizar conceptos, ideas, situaciones de la vida en un contexto matemático.

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La importancia del lenguaje algebraico no radica sólo en este aspecto, también está

relacionado con el desarrollo del pensamiento, puesto que la transición de la aritmética al

álgebra es un paso crucial para llegar a ideas más complejas y abstractas dentro de la

matemática. Es así, como una inadecuada enseñanza del lenguaje algebraico tendrá efectos

negativos en el estudiante. Algunos estudios señalan que las dificultades y los errores que

cometen los estudiantes están relacionados con la poca comprensión y manejo de conceptos

propios del álgebra. En este sentido, algunos autores afirman que, para el desarrollo del

pensamiento algebraico es imprescindible que los alumnos puedan pensar y percibir la

simbología y las operaciones aritméticas de manera distinta a la que se cultiva tradicionalmente,

para que sobre ese nuevo modo de pensamiento, puedan construir las nociones básicas del

álgebra.

Es así como, por un lado tenemos las ventajas del trabajo con lenguaje algebraico y por

otra, las dificultades, siendo quizás la mayor dificultad la de poder abstraer las ideas. Por todo lo

anteriormente mencionado es que el aprendizaje del álgebra es un aprendizaje jerarquizado a

través de los años de estudio, y debiese ser evaluado en términos de si se logra la abstracción o

es simplemente una mecanización lo que está ocurriendo, con lo cual nos alejamos del

aprendizaje significativo. Es así como la falta de entendimiento de piezas claves en el comienzo,

llevará sin lugar a dudas a problemáticas más serias en el futuro.

Sin lugar a dudas una de las dificultades que aparecen aquí son el trabajo exclusivo con

operatoria algebraica y el poco trabajo con modelación de situaciones mediante el lenguaje

algebraico. A lo anterior podemos sumar, que la integración de estos contenidos debiese ser a

edades tempranas, ya que las capacidades del alumno están como para trabajar con las

nociones básicas, y con esto se tendrían menores dificultades en edades no tan tempranas.

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VI. Evaluación en Contextos Auténticos

Como se señala anteriormente, la idea es ir trabajando de forma jerarquizada con el

lenguaje algebraico, por lo tanto las formas de evaluar que proponemos tienen relación con

esta idea. Las formas propuestas de evaluar son las siguientes:

a) Traducción de frases y expresiones.

En este sentido la idea principal es que el estudiante perciba el lenguaje algebraico como

un nuevo lenguaje, y por lo tanto, sea capaz de traducir del lenguaje usual al lenguaje

algebraico y del lenguaje algebraico al lenguaje usual, tal como si estuviese trabajando con

otro idioma.

Entonces, se sugiere trabajar con frases y con expresiones, de tal manera que pueda

realizar ambas traducciones, por ejemplo:

Actividad

I Traduce las siguientes expresiones, del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.

Lenguaje Cotidiano Lenguaje Algebraico

Un número cualquiera.

Un número aumentado en 5 unidades.

Un número disminuido en 3 unidades.

El doble de un número.

La tercera parte de un número.

Un número aumentado en su quinta parte.

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La suma de dos números distintos.

II. Traduce del lenguaje algebraico al lenguaje cotidiano

Lenguaje Algebraico Lenguaje Cotidiano

5a

a -b

m - m4

x - 8

(a + b)2

b) Traducción de situaciones

Una vez que el estudiante es capaz de traducir frases, incorporar la traducción o

modelamiento de situaciones de la vida cotidiana, sin trabajar todavía en la resolución de

estos modelamientos.

Actividad

Escribe las siguientes situaciones utilizando lenguaje algebraico.

- Tres números consecutivos suman 33.

- Dos números consecutivos suman 101.

- Las edades de tres hermanos suman 30. La edad del hermano mayor es tres veces la

edad del hermano menor, y la edad del hermano menor es la mitad de la edad del

hermano del medio.

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c) Resolución de Ecuaciones

Consideraremos la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. La idea

principal es que el estudiante destierre la idea de “cambio de lado= cambio de signo”, y

que entienda que en una ecuación tenemos una igualdad, la cual está formada por letras y

números; siendo en este caso particular sólo una letra la que interviene. Resulta entonces

interesante saber si el estudiante entendió este concepto y, para ello, utilizamos el

Método de la Balanza, que no es otra cosa que entender que cuando se realiza una

operación en un lado de la igualdad, también debe efectuarse en el otro, de manera tal de

conservar la igualdad.

Actividad

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado.

2x + 7 = x – 9

d) Resolución de Problemas de Planteamiento

En este ítem el estudiante integrará tanto lo aprendido en resolución de ecuaciones como

en su planteamiento, recordando que este deriva de la traducción del lenguaje usual al

lenguaje algebraico.

Actividad

Resuelve los siguientes problemas de planteamiento.

1. Encontrar seis números consecutivos, cuya suma es 597.

2. Un padre reparte semanalmente 98 euros entre sus cuatro hijos. Juan recibe 7 euros

más que Pedro; éste 8 euros más que Agustín, y éste 5 euros más que Luis. ¿Cuánto

recibe cada uno?

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Bibliografía

1. Butto Cristianne; Mojano Teresa. (2010) “Pensamiento Algebraico Temprano”. Centro de

Investigación IPN, México. Educación Matemática, Volumen 22, N°3.

2. Morris Kline. (2012) “El Pensamiento Matemático de la antigüedad hasta nuestros días”.

Versión Española. Editorial Alianza. Edición digital.

3. Lorente Ana Cecilia. “Historia del Álgebra y de sus Textos”. Edición Digital.

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20del%20algebra

%20y%20de%20sus%20textos.pdf.

4. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraBasica.html

5. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html

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