Algebra Tm Cr3cfb- Algebra

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Secuencia de AprendizajeHoja 1 I N S T I T U T O P O L I T E C N I C O N AC I O N ALC E N T R O D E E S T U D I O S C I E N T I F I C O S Y T E C N O L O G I C O S N O . 1 1 WI L F R I D O M AS S I E U A C A D E M I AD E M AT E M T I C ASUNIDAD DE APRENDIZAJE DE LGEBRA UNIDAD I. NMEROS REALES. Competencia Particular de la unidad: Emplea las operaciones aritmticas y sus propiedades, en los diferentes conjuntos de nmeros, para la solucin de problemas relacionados con su entorno acadmico, personal y social. RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1.Relaciona los diferentes conjuntos de nmeros que den origen a los nmeros reales y su implicacin con la evolucin humana. 2.Realiza operaciones fundamentales con nmeros reales que se relacionan con situaciones de su entorno. 3.Emplealosalgoritmosdelasoperacionesaritmticasensolucindeproblemasdesumbitopersonal, social y global. PGINAS WEB DE CONSULTA. Aritmtica y lgebra http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Reales_index01.htm Representacin grfica de los nmeros. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Representacion_numeros_en_recta/index.htm Representacin grfica de los nmeros: Nmeros enteros. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/Numeros1.htm Potencias y races. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Potencias_y_raices/index.htm LA FRACCIN Y SUS DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTACIN http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fracciones_representacion/fracciones_intro.htm EJERCICIOS 1.Obtn el valor de cada una de las siguientes expresiones, escribe tus procedimientos: a.( ) ( ) =

23 6 3 4226 4 2b.= |.|

\| |.|

\| +253523 2c.= + |.|

\|4382164d.= |.|

\|+548332 e.( ) ( ) = + 3 7 4 4 8 32 Secuencia de AprendizajeHoja 2 f.= +236165 g.= + |.|

\|81455321 h.= +161112765 i.( ) = + + 3 5 2 8 42 j.= |.|

\| +107322032017 k.( ) ( ) = + + 11 8 6 5 3 13l.= + |.|

\|65954332 m.= + 1698132 n.= |.|

\|+ 7111411117117 o.= |.|

\|+11238372 p.( ) = + 3 10 4 322 q.( ) | | = 5 2 4 12r.= +23 432 s.( ) = 2 2 22 4 2 5t.( )= + +22 . 9 1 . 2 56 . 7 5 . 2u.= + |.|

\|65954332 v.( ) = + 3 10 4 322 w.( ) ( ) = + + 11 8 - 6 5 3 - 13x.( ) = 2 2 22 4 2 5y.( )= + +22 . 9 1 . 2 56 . 7 5 . 2z. ( )( )( ) = |.|

\|+ 49 -616 5 - -4422342 2.Obtn el valor de cada una de las siguientes expresiones, escribe tus procedimientos: a.= 22a 1) a(ab.= + + y) y)(x (x y) (x2 c. ( )=326 6 5 10y x 6y 3x y 15x Secuencia de AprendizajeHoja 3 d.= xyx) y(y y) x(x e.( ) | | ( ) | | = + n 2m n 1 m n 3m m2 2 3.Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones para x y compruebe sus respuestas: a.( ) ) 5 ( 2 2 3 2 7 + = x x xb.) 3 ( 5 1 ) 1 3 ( 2 5 = + x x xc. 233) 1 ( 223 x x x =+d. 5233 2x51 4x= e.( ) | | { } 17 36 2 2 3 2 4 = + x x xf. 439897=x g. 1258 8m6 m6 6m2 m3 3m2m++=+++ h. 1253 3r21 r1 =+ i. 4 x122 x22 x32=++ j. 3616 3a28 4a3= PROBLEMAS TIPO 4.Para instalar un telfono se necesitan 14 metros de cable. Cuntos telfonos se podrn instalar con 182 metros de cable? 5.Uncolegiotienecupopara1450alumnos.Siyaseinscribieron647hombresy586mujeres,culesel cupo disponible? 6.Si sabemos que la suma de un protn es de 16x10-23 gr. Calcula la masa de 9 millones de protones. 7.Un electricista compr 75 metros de alambre de calibre 14.Us las dos quintas partes en una instalacin; del resto, guard el 20% y la cantidad restante la dividi en trozos de 80 cm de longitud. Cuntos trozos son? Para qu otras longitudes del alambre se obtienen trozos completos? 8.Calcula el nmero de alumnos de una clase sabiendo que la octava parte de ellos no asisti a la clase, que lastresquintaspartesdeellosestnpresentandounexamenylosoncerestantesestnestudiando. Cuntos no asistieron? 9.JuanganadosterciosdeloquepercibePedro,quingana4/5deloquepercibeTadeo.SiTadeogana $1,150.00, cunto perciben Juan y Pedro? 10.Yolanda est a cargo de una tortillera y ha decidido establecer el precio de $4.50 el kilogramo. Algunos de sus clientes compran por pesos (es decir, compran $1, $1.50, $2, ..., $29.5 $30) y otros por kilos (1, 1.5, Secuencia de AprendizajeHoja 4 2,...,15Kg).Necesitadostablasparasabercuntolesdebedardetortillasalosprimerosycuntoles debe cobrar a los segundos. Puedes ayudarle a Yolanda en la elaboracin de estas dos tablas? 11.Una anciana decrpita y desdentada fue a vender una canasta de huevos almercado. Alprimerclientelevendilamitaddeloshuevosquellevaba,msmediohuevo;alsegundoclientele vende la tercera parte de los huevos que le quedaban ms un tercio de huevo; el tercer cliente le compra la cuarta parte de los huevos restantes, ms un cuarto de huevo.Despusdesusventas,laancianaantenaenlacanasta,8huevos.Sinoserompiningnhuevo, cuntos huevos tena inicialmente en la canasta? 12.La razn entrelos gastosylas entradas en el negociodelos Romanos es de5 a8. Cules fueron sus gastos en un mes en el que la ganancia fuede $3,675? 13.Unnanosegundoes10-9segundos.Cuntosnanosegundosrequierelaluzparadarlelavueltaala Tierra? 14.Supongamos que una mquina copiadora amplifica una copia de papel alrededor de 1.1 veces el original. Si ustedsacaracopiasdecopiasyunahojaoriginalfuesede10cmpor16cm,Culesseranlas dimensiones de la segunda, tercera y octava copia? Cuntas amplificaciones se requieren para lograr una amplificacin del triple del original? 15.Una hoja de papel se dobla a la mitad, y luego nuevamente a la mitad.Si este procedimiento de doblar a la mitadcontinayelpapelsedesdobla,cuntosespacioshabrdespusdeundoblez?dosdobleces? tres dobleces? cinco dobleces? diez? cien? 16.Hayquetenderuncabledesdeunacentralelctricaaunladodeunrode900metrosdeanchoauna fbricaenelotrolado3kilmetrosabajo.Elcostodetenderelcablebajoelaguaesde$400porcada metro, mientrasqueelcostoportierraesde$320porcadametro.Culeslarutamseconmicapara tender el cable? 17.Un viajero recorre de la distancia entre dos ciudades a pie, 1/5 a caballo, 1/8 del resto en autoy los 55 km restantes en tren.Cul es la distancia entre las dos ciudades? 18.Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 das cierta obra.Al cabo de 9 das slo han hecho los 8/17 de la obra. Con cuntos hombres tendrn que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? 19.Carlos consigue un prstamode $100,000 para comprarse un automvil. Conviene en pagar su deuda de lasiguienteforma:cadaaopagar$10,000msel12%deintersdesudeudaalprincipiodeao. Cunto pagar al final por el prstamo? 20.Al inicio de un viaje el odmetro de un automvil (con tanque lleno) registra 43,219,5 km. Despus del viaje, quetardseishoras,elodmetroregistra43,480,2kmyelconductorutiliz39.5litrosdegasolinapara volver a llenar el tanque.a.Cuntos kilmetros por litro rindi el automvil? b.Cul fue la velocidad promedio en el viaje? 21.A la edad de dos aos, un nio promedio mide unos 86 cmy pesa 13 kg. Emplea la frmula de DuBoisy DuBois. 725 . 0 425 . 0) 007184 . 0 ( h w S =(donde w es el peso y h la estatura) para hallar la superficie S del cuerpo del nio (en metros cuadrados). 22.De un nmero N, de dos dgitos, se sustrae un nmero que tiene los mismos dgitos de N pero invertidos. El resultado es el cubo de otro nmero positivo. Cules son los valores posibles de N? PROBLEMAS EXTRAS Secuencia de AprendizajeHoja 5 1.Las caritas de don Cubo Un cubo de madera que mide 20 cm de lado se pinta de amarillo. Una vez seca la pintura, se corta en cubos de 2 cm de lado. Cuntos de estos cubos chicos no estn pintados en ninguna de sus caritas? 2.La tribu y los tribunos En mi tribu, cuando se colocan de dos en fondo sobra uno, cuando se colocan de tres en fondo sobra uno, cuando se colocan de cuatro en fondo sobra uno, cuando se colocan de cinco en fondo sobra uno, cuando se colocan de seis den fondo sobra uno, y, por fin, cuando se colocan de siete en fondo quedan distribuidos exactamente. (a) Cuntos tribunos hay en mi tribu? (b) Escribe una explicacin detallada de todo lo que hiciste para obtener tu respuesta. 3.El vendedor de enciclopedias Un vendedor de enciclopedias tiene un salario base de 700 pesos mensuales ms una comisin del 8% de las ventas que realiza por encima de 4000 pesos. En cada uno de los meses pasados vendi las cantidades anotadas en la tabla. MESabrilmayojuniojulioagosto VENTAS34764142527639626199 (a) Calcula los ingresos que le corresponden al vendedor de enciclopedias cada mes. (b) Disea un mtodo grfico para pagarle a un vendedor que trabaje con el mismo contrato. (c)Hazundiagramadeflujoconelalgoritmoqueseusaparapagarleaunvendedorquetrabajeconel mismo contrato. (d)Conbaseenelpuntoanteriorhazunprogramadecomputadoraodecalculadorayprubaloconlos datos de la tabla. (e) Inventa un problema inspirado en el problema anterior. 4.La zorra y el perro Una zorra da 2 y 1/3 saltos por cada segundo. Cuando ha avanzado 30 y 1/4 saltos, se suelta un perro para que la persiga. El perro da 4 y 1/2 saltos por cada segundo. Cunto tardar el perro en alcanzar a la zorra? Cuestionario (1) Expresa en forma de fraccin comn impropia el nmero de saltos que lleva de ventaja la zorra. (2)Despusdeunsegundodelasalidadelperro,imaginaquetomasunafotoinstantneaydescrbela cuantitativamente. (3) Haz una tabla que describa las posiciones de los animales en cada segundo. (4) Qu significa que las posiciones de los animales sean la misma? (5) Haz otra tabla en la que aparezcan los mismos renglones y columnas que en la anterior, pero escribe las cantidades indicando las operaciones que realizaste, sin efectuarlas. (6)Identificalaestructuradecadaunadelascantidadesquerelacionatutablayexpresalarelacin mediante una ecuacin. (7) Cmo verificas que tu solucin es correcta? Explica. (8) Qu aprendizajes utilizaste para resolver el problema?(9) En caso de no haberlo resuelto, escribe tus conclusiones, con una reflexin sobre las causas de que no lo hayas podido resolver. (10) Qu caminos o estrategias seguiste para tratar de resolver el problema? (11) Aplica el modelo PER (Propsito, Estrategia, Resultado). 5.Las ballenas de Alaska EnunestudiorecienteseafirmaquelapoblacinactualdeballenasenAlaskaestentre5700y10600y queladiferenciaentrelosnacimientosylasmuertesnaturalesdalugarauncrecimientode aproximadamente3%anual.LosesquimalesdeAlaskatienenpermisoparacazar50ballenascadaao para su supervivencia. Cuestionario (1)Supongamos que en 2000 la poblacin de ballenas era de 5700. a)Cul es el cambio en un ao en esta poblacindebido a la diferencia entre los nacimientosy las muertes naturales? b)Cul es el cambio en un ao debido a la cacera de los esquimales? c)Cul sera la poblacin de ballenas en 2001? Secuencia de AprendizajeHoja 6 (2)Escribe las instrucciones para calcular a partir de la poblacin de un ao dado la poblacin del ao siguiente. De ser posible hazlo en tu calculadora. d)Haz una tabla con tus estimaciones hasta el ao 2010. Traza una grfica. e)Haz otra tabla pero supn ahora que la poblacin en 2000 era de 10600. Traza una grfica. (3)AplicalaestrategiaQupasarasi...?conrespectoalvolumendecazapermitido.Escribetus conclusiones. (4)Enesteestudiohicisteestimacionesparavariosaosfuturos,basndoteenlastendenciasde crecimiento del pasado. f)Quclculostuvistequehacerparaestimarelcambioenelnmerodeballenasdeunaoal siguiente?Aplicalaestrategiadeindicarsinefectuarparaidentificarlaexpresinalgebraicaque relaciona el tiempo y la poblacin.g)Cmo puedes predecir la poblacin de ballenas dentro de muchos aos? h)Qusemejanzasyqudiferenciasadviertesentreelpatrndecambiodelapoblacindelas ballenas y el de los seres humanos? 6.Sucesiones Escaleras Con ocho palillos puedes hacer una escalera de dos peldaos. Con once palillos puedes hacer una escalera de tres peldaos. Cuntos palillos necesitas para hacer una escalera de 20 peldaos? Y para hacer una escalera de 1000 peldaos? Una sucesin numrica Llena los espacios de la sucesin numrica que contina con el mismo patrn: 4, 10, 16, 22, 28,,,,,,,, Cul es el 10 trmino de la sucesin? Y el 100? Y el n-simo? Los pininos Puedesdibujarpinosdediferentestamaosperosiempre conelmismodiseo.Aqutienestresejemplos. Por sus brochazos distintivos de pintura fosforescente se llaman pininos. tamao 13 brochazostamao 27 brochazostamao 311 brochazos Cuntos brochazos hay en un pinino de tamao 20? Explica cmo llegaste a la respuesta. Cuntos brochazos hay en un pinino de tamao 100? Cuntos brochazos hay en un pinino de tamao n? AplicaelmodeloPER(Propsito,Estrategia,Resultado)conrespectoalaprendizajequelograsteenesta actividad. Secuencia de AprendizajeHoja 7 UNIDAD II. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Competencia Particular de la unidad: Utiliza conceptos, propiedades y relaciones algebraicas en la solucin de ejercicios de su entorno acadmico. RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1.Reconoceexpresionesalgebraicas,suselementosypropiedadesenoperacionesconpolinomiosensu mbito acadmico. 2.Identifica productos notables y la factorizacin de expresiones algebraicas en un ambiente matemtico. 3.Utilizalosproductosnotablesylafactorizacinenoperacionesconfraccionesalgebraicaensumbito acadmico. PGINAS WEB DE CONSULTA. Aritmtica y lgebra http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Reales_index01.htm POLINOMIOS: APLICACIONES http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Aplicacion_de_polinomios/index.htm lgebra http://www.vitutor.net/1/5.html EJERCICIOS: I. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Resuelve las siguientes operaciones con fracciones algebraicas, simplificando cuando corresponda: Suma: 1) 42 - x + 42 3 + x=2)= +ab a 31522 3)= +ba bab a20-152 - 4)= +++axa xxxaa5-102 332 - 2 5)= ++ 1 -111a a 6)=+++2233mmmm Resta: 7)=3 -1-4 -1x x Secuencia de AprendizajeHoja 8 8)=++ n mn mn mn m--- 9)=+aaaa82 -43 2 Multiplicacin: 10)= 42322158654abbaba 11)=+++50 107 71425 5xx x 12)= +2 222- - n mnn mnn m 13)= +++axx xa aax222- 11 Divisin: 14)= 3 2223 yxyx 15)= 3 22253b axb a 16)= 62 - 231 - x x 17)=++ 6 25 - 56 2-223xx xx xx x 18)=+x111 19)=+x11111 20)=++yy xxy x II. OPERACIONES CON POLINOMIOS Reduce los siguientes trminos semejantes: Secuencia de AprendizajeHoja 9 1)4m3 7m2 + 6m3 m + 1 m4 + m3 5m2 + 6m 9 = 2)3x +2y z + 5x 4y + z + 4x + 8y = 3)2a2b + 3ab3 8a2b +6ab3 +10 a2b + 16 5 = Resuelve las siguientes operaciones con monomios y polinomios: 4)(x2 + 18xy + 2y2 - 6) + (10x2 xy 8y2 + 5) =5)(4x + 5x2 3) + (8x + 2 -3x2) + (8x2 6x + 3) = 6)(2a2 3a4 -2a) (a4 10a2 +16) =7) (7x2 -8 + 10x3 3x) (2x3 7 +4x 5x2 ) = 8)(x2 3xy + y2)(2x 3y + 2) =9)3x(4x 8 ) =10) (x + 5a)(x 4a)= 11)=+aa a a a8 -32 - 64 16 - 80 -2 4 6 12)= ++ + + + +1 23 4 3 22 32 3 4 5x xx x x x x 13)=+ +3 -12 25 - 42 3xx x x 14)=+1 32 - 10 - 10 - 62 3aa a a 15)=++5 317 20 - 25 - 122 3pp p p En cada caso, determina el permetro y rea de las siguientes figuras: 16) 17) 18) 3x - 2 x2 + 5x +12 3x2 5x + 4 3x2 5x + 4 4x2+ 8x -7 h = 3x2 5x h dd = 2x2 8x + 6 Secuencia de AprendizajeHoja 10 19) III. PRODUCTOS NOTABLES Resuelve los siguientes productos notables: 1)(c + d)2 =2)(3x + 4y)(3x 4y) = 3)(a2 + 2b)3 = 4)(x + 3)(x + 4) = 5)(2m n )3 =6)(9 + 2x) (9 2x) = 7)(4a2 3b3 )2 =8)(x + 8)(x 5 ) = 9)(2x2 + 8 )2 = 10) (x2 + 3y )3 = 11)( )22 23b 2a + = 12)( )( ) = + 3 x 3 x13)( ) = +32y x14)( )( ) = + + 4 x 2 x En cada caso, halle una expresin para la longitud del lado del cuadrado: 1) 2) Dadas las expresiones para el rea de un rectngulo y la longitud de uno de sus lados, halle una expresin para el otro lado: 1) 4x 5 rea y2 + 7y + 12 y + 3 rea y2 + 6y + 9 rea 36x2 60x + 25 Secuencia de AprendizajeHoja 11 2) Determina el lado desconocido de un tringulo sabiendo que su permetro sta dado por: 4x2 + 3x 1. IV. FACTORIZACIN. FACTOR COMUN MONOMIO Halla el factor comn de los siguientes ejercicios: 1.6x 12 =2.24a 12ab = 3.14m2n + 7mn= 4.8a3 6a2 = 5.ax + bx + cx =6.b4 b3 = 7.14a -21b + 35 = 8.20x 12xy + 4 xz = 9.10x2y 15xy2 + 25xy= 10.2x2 + 6x + 8x3 12x4 = 11.15x4 - 12x3 + 35x2 -27x = FACTOR COMUN POLINOMIO Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin: Ejemplo 1: Factorizar la expresin: x(a + b) + y(a + b) = Observe que tiene un factor comn que es (a + b): x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b) Ejemplo 2: Factoriza: 2a(m 2n) b(m 2n) = 2a(m 2n) b(m 2n) = (2a b) (m 2n) = rea x2 + 3x 10X 22x2 1 x2 +x Secuencia de AprendizajeHoja 12 Ejercicios: 12.a(x + 1) + b(x + 1) = 13.x2(p + q) + y2 (p + q) = 14.(1 - x)+ 5c(1 - x) = 15.(x + y)(n+1) 3(n+1)= 16.a(a + b) b(a+b)= 17.m(2a+b)+p(2a+b)= 18.(a2 +1) b(a2 +1)= 19.(a+1)(a 1) 2 (a 1)= 20.a(2 +x) (2+x)= 21.(2x + 3)(3 r) (2x + 5)(3 r) = FACTORIZACIN DE UNTRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c Ejercicios: Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios; 22.x2 + 4x +3 = 23.b2 + 8b + 15 = 24.r2 12r + 27 = 25.h2 27x + 50 = 26.x2 + 14xy + 24y2= 27.x2 + 5x +4 = 28.a2 + 7a +10 = 29.x2 x 2 = 30.s2 14s + 33 = 31.y2 3y 4 = 32.m2 + 19m +48 = 33.x2 12x +35 = 34.x2- 12x +36 = FACTORIZACIN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, se realizamos el siguiente procedimiento: 1.-Se buscan dos nmeros cuya suma sea el coeficiente de b:m + n = b 2.-Esos mismo numero, su producto debe de ser igual a (a)(c): (m)(n) = ac 3.-Descomponemos el termino bx, en los numero anteriormente encontrados, de la siguiente forma: ax2 + mx + nx + c 4.-Encontramos un factor comn, para factorizar la ecuacin. Ejemplo: Factorizar 2x2 11 x + 5 m + n = - 11 m n = (2)(5)mn = 10 Secuencia de AprendizajeHoja 13 estos dos nmeros son m = -10 y n = -1 Entonces la factorizacin es:2x2 11 x + 5 = 2x2 10x x + 5 = 2x(x 5) - (x - 5) == (x 5 )(2x 1) Ejercicios:35.5x2 + 11x + 2 = 36.4x2 + 7x +3 = 37.5 + 7b + 2b2 = 38.5c2 + 11cd + 2d2 =39.6x2 + 7x 5 = 40.3m2 7m 20 = 41.5x2 + 3xy 2y2 = 42.6a2 5a 21 = 43.3a2 + 10ab + 7b2 = 44.4h2 + 5h + 1 = 45.7x2 15x +2 = 46.2x2 + 5x 12 =47.6a2 + 23ab 4b2 = 48.8x2 14 x + 3 = 49.7p2 + 13p 2 =50.2x2 17xy + 15y2 = 51.4x2 + 4xy+ y2= FACTORIZACIN DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS Ejercicios: 52.9a2 25b2 =53.4x2 1 = 54.36m2n2 25 =55.169m2 196n2 = 56. 2a259 - 2b3649 = 57.3x2 -12 = 58.8y2 18 = 59.16x2 100 = 60.9p2 40q2 = 61.49x2 64t2 = 62.121x2 144k2 = 63.36x2 25y2 = 64.5 180f2 =65.4a2 162a3 = 66.25x2- 16y4 = FACTORIZACIN DE LA DIFERENCIAS DE CUBOS a3 b3. Para realizar una factorizacin de diferencias de cubos, se hace de la siguiente manera: Secuencia de AprendizajeHoja 14 1.Calculamos la raz cbica de ambos trminos. 2.Descomponemos la expresin algebraica, considerando sus races cbicas, en dos productos, como se observa a continuacin: a3 b3 = (a -b)(a2 + ab + b2) Ejemplo: Factorizar 8 x3 =La raz cbica de x3 x x =3 3 La raz cbica de 8 2 83=La factorizacin queda: 8 x3 = (2 - x) (22 +2x + x2) = (2 - x) (4 +2x + x2) FACTORIZACIN DE LA SUMA DE CUBOS a3 + b3. Para realizar una factorizacin de la suma de cubos, se hace de la siguiente manera: 1.Calculamos la raz cbica de ambos trminos. 2.Descomponemos la expresin algebraica, considerando sus races cbicas, en dos productos, como se observa a continuacin: a3 b3 = (a + b)(a2 ab + b2) Ejemplo: Factorizar 27a3 + 1=La raz cbica de 27a3 a 3 =3 3a 27La raz cbica de 1 1 =31 La factorizacin queda: 27a3 + 1= (3a + 1) ((3a)2 + (3a)(1) + 12) = (3a + 1) (9a2 3a + 1) Ejercicios: 67.64 x3 = 68.27m3 + 8n6 =69. 3x81 + 278 =70.8 a3b3 + 27 =71.x6 y6 = 72.x3 - 641 = 73.x6 + 125 =74.343x3 8 = 75.x3y9 + 216 = 76.216a12 8b9 = V. Lenguaje matemtica. Traducir cada una de las siguientes frases en una expresin matemtica: 1.Un nmero aumentado en seis. 2.Un nmero disminuido en tres. Secuencia de AprendizajeHoja 15 3.Cinco veces un nmero. 4.El doble de un nmero aumentado en 8. 5.El triple de un nmero disminuido en 6. 6.La edad de un nio hace 5 aos. 7.Un nmero aumentado por el doble de s mismo. 8.Un nmero multiplicado por tres veces el numero menos dos. 9.Un terci de un nmero. 10.El doble de un nmero aumentado en la mitad del mismo nmero. VI. PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 1)Un nmero excede a otro en 5 y su suma es de 29, Cules son? 2)La diferencia entre dos nmero es de 8. Si se le suma 2 al mayor y el resultado ser tres veces el menor. Encontrar los nmeros. 3)Cules son los nmeros cuya suma es 58 y su diferencia 28? 4)Sia288selesumaunciertonmeroelresultadoesigualatresveceselexcesodelnmerosobre12. Encontrar el nmero. 5)En una escuela, la mitad de los alumnos menos seis poseen automviles. El total de automviles propiedad de los alumnos es de 198. Cuntos alumnos hay en la escuela? 6)El peso mximo permitido en un elevador es de 1500 libras. a.Cuntos adultosy niospueden soportar si el peso promedio por adulto es 150 librasypor nio es de 40 libras? b.Si se suben 10 nios, Cuntos adultos pueden subir? c.Si ningn adulto se sube, Cuntos nios pueden subir? 7)LacompaamanufactureraMiradafabricasacapuntas.Alacompaalecuesta$105.00hacercada sacapuntas elctrico y los vende a $270.00. a.Cul es la ganancia total en funcin de los sacapuntas? b.Cuntos sacapuntas deben ser vendidos para tener una ganancia de $2,000,000.00 de pesos? c.Cul es la ganancia sobre 50,000 sacapuntas? Secuencia de AprendizajeHoja 16 8)Unallavepuedellenarundepsitoen4minutos,otrallaveen8minutosyundesagepuedevaciarlos, estandolleno,en20minutos.Encuntotiemposellenaraeldepsito,siestandovacoyabiertoel desage se abren las dos llaves? 9)Un parque de diversiones cobra $60.00 por personas, pero tiene boletas de promocin a mitad de precio. Si en un da se obtuvieron ingresos de $29,220.00 al vende 549 boletos. Cuntos boletos de cada tipo fueron vendidos? 10) Siunrectngulotieneunalongitudqueestrescentmetrosmenorquecuatrovecessuanchoysu permetro es 19 cm. Cules son las dimensiones del rectngulo? 11) En un tringulo rectngulo, uno de sus ngulos mide 15ms que dos veces el otro ngulo agudo. Cul es el valor de cada ngulo? 12) Lasumadelasedadesde mistreshijosesde22aos.Sielmayortienetres amosqueelsegundoyel doble de la edad del tercero. Cul es la edad de cada una de ellos? 13) Kara viajo 75 millas y su velocidad promedio fue de 55 millas por hora. Cuntos horas ms debe conducir Kara para recorrer un total de 350 millas? 14) Cuando Luis venda 2 cubetas ms, habr vendido 3 veces la cantidad de cubetas que vendi Jos. Si Luis ha vendido 19 cubetas, Cuntas vendi Jos? 15) Lalongitudtotaldeun camino nuevo ser de 18 millas Las tres primeras millas de este nuevo caminoya estnpavimentadas.Sicadadaseterminanelmismonmerodemillas,Cuntasmillassenecesitan pavimentar por da para terminar el camino en 5 das? 16) Elnmerodevaronesenelclubdetenises10masquelamitaddelnmerodemujeres.Sihay30 varones, Cuntas personas, entre hombres y mujeres, hay en el club? 17) Uncajerotrabajaaunritmode3minutosporcliente,yotrocajerotrabajaaunritmode2clientespor minuto. A cuntos clientes atienden en una hora? 18) Separar 53 en dos partes en tal forma que la mayor tenga 3 unidades ms que la menor. 19) Un maestro carpintero y su ayudante trabajaron en una obra por seis das y ganaron $ 192.00. El maestro carpintero tiene un salario de $ 8.00 ms por da que el de su ayudante. Cunto gana cada una por da? Secuencia de AprendizajeHoja 17 20) Un equipo de beisbolhizo17 carrerasentres juegos. En elprimer juegohizo 5carrerasyenel segundo hizo el doble de las que logr en el tercero. Cuntas carreras hizo en cada juego? 21) Suponer que una agenciade alquiler de automviles cobra $20 por day22 centavos por milla Qu tan lejos podemos viajar en un da por $ 130? 22) Susprimerasdoscalificacionesenmatemticasfueron77y65.Quecalificacinnecesitaeneltercer examen para tener un promedio de 75? 23) Un cajero cont 248 billetes de $ 200 y $ 50 y en total hay $ 22, 150. Cuantos billetes de$ 200 y de $ 50 hay? 24) Dos monedas raras tienen un valor de $ 90, si el valor de una de ellas es una y media veces el valor de la otra Cunto vale cada moneda? PROBLEMAS EXTRAS 1)Departamento Incgnita. Enelplanodeundepartamento,lacocinaescuadradaymidex+6delado,larecmaratieneelmismo anchoquela cocinay sulargo excede en 2x unidades su ancho. El otroladodelbao mide unterciodel largo de la recmaray suancho es igual al de los cuartos anteriores como se puedeadvertir en el plano. Finalmente, el rea de la sala es x2+14x+48 y su ancho es tambin x+6. Determina: a)La expresin que da el rea de la cocina. b)El rea del comedor. c)Si el valor de x es de 2 metros, calcula las dimensiones del departamento y comprueba las expresiones que obtuviste. Secuencia de AprendizajeHoja 18 2)Los peluqueros atribulados Unpeluqueroatiendeunpromediode72clientesporsemanaycobra$18porcadacorte.Quiere aumentarsusingresosypiensaquepuedelograrlosubiendolosprecios,peroestimaqueporcada incremento de $2 en el precio por corte perder 5 clientes. Cuestionario (1)Hazunatablaquecontengalascolumnasdenmerodeincrementosde$2,depreciopor corte, de nmero de clientes, de ingresos, deprimeras diferencias de ingresos yde segundas diferenciasdeingreso.Explicaelsignificadodelosvaloresqueobtuvisteenlasdosltimas columnas. (2)Traza la grfica de nmero de clientes versus ingresos. (3)Traza la grfica de precio por corte versus ingresos. (4)Traza la grfica de nmero de incrementos de $2 versus ingresos. (5)Cules son los precios que puede cobrar para tener ingresos mayores a los actuales? (6)En qu condiciones tiene ingresos nulos? (7)En qu conjuntos de valores las grficas son crecientes? Explica lo que significa cada caso. (8)En qu conjunto de valores las grficas son decrecientes? Explica lo que significa cada caso. (9)Interpretalapendientedelsegmentoentredosvaloresconsecutivosencadaunadelas grficas. (10)Qu precios debe cobrar si quiere tener ingresos superiores a $1000 semanales? (11)Cunto debe cobrar por corte de pelo para obtener los mayores ingresos semanales? (12)Escribe tres preguntas sobre el caso del peluquero, y respndelas. (13)Inventa un problema inspirado en las tribulaciones del peluquero, incorporando otros factores que lo hagan ms real. De ser posible consulta con un peluquero. (14)Otro peluquero? Otropeluqueroatiendeunpromediode72clientesporsemanaycobra$18porcadacorte. Quiereaumentarsusingresosypiensaquepuedelograrlosubiendolosprecios,peroestima que por cada incremento de $1 en el precio por corte perder 6 clientes. Elaborauncuestionariosimilaraldelproblemadelotropeluqueroydeterminaelprecioque debe cobrar para obtener los mayores ingresos semanales. 3)Identidades algebraicas Observacuidadosamentelassiguientesfigurasyestablecelarelacinquehayentrecadafigurayla identidad algebraica correspondiente. Redacta un prrafo para cada figuray destaca en tu descripcin los elementos que te ayudaron a establecer la relacin.xa b cax bx cx1

x abaxbxx x2ab2 x(a+b+c) xa + xb + xc (x+a)(x+b) x2 + ax + bx + ab a ba(a+b) ab b(a+b)3 aba2abb2abab4 (a+b)2 a(a+b) + (a+b)b (a+b)2 a2 + 2ab +b2 Secuencia de AprendizajeHoja 19 a(a-b)2abbb ababa5 ababb2a-bba-b6 (a-b)2 a2 -2ab + b2a2 - b2 (a+b)(a-b) ab ab ab(a-b)2babababbaa7 (a+b)2 - (a-b)2 4ab (8) Establece las identidades algebraicas que son ilustradas por las siguientes figuras. ka bka kba x xxx2x2xb x1x11c

akb a-bd adbc -de Secuencia de AprendizajeHoja 20 (9) Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas: a) (x+3)(x-2) x2 + x - 6 b) (a-b)(2a-b) 2a2 - 3ab + b2 c) (a+b+c)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac d) (a+b)(x+y+z) ax + ay + az + bx + by + bz (10) AB es un segmento de recta con punto medio en C, que se prolonga por B hasta D. Dado que AD = 2AB, representa por medio de una figura la relacinAD*BD = 8AC2. Establece la identidad algebraica correspondiente, con AC=x. (11) A, B, C, D son cuatro puntos colocados en orden sobre una lnea recta. Representa por medio de unafiguralarelacinAC*BD=AB*CD+AD*BC.TeayudarrebautizaralossegmentosAB,BC,CD como x, y, z, respectivamente. Establece la identidad algebraica correspondiente. (12)ElsegmentoAB,conpuntomedioenC,seprolongaporBhastaunpuntocualquieraD. RepresentapormediodeunafiguraAC*AD=CB*BD+2AC2.Establecelaidentidadalgebraica correspondiente. Secuencia de AprendizajeHoja 21 UNIDAD III. FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES. Competencia Particular de la unidad: Emplealasfuncionesyecuacioneslinealesenlasolucindeproblemasquesepresentanensuentorno acadmico, personal y social. RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1.Identifica elementos de las funciones lineales a partir de representaciones tabulares, grficas y algebraicas en su mbito personal y social. 2.Elaboramodelosquedenlugaraecuacionesy/osistemaslinealesapartirdesituacionesdelavida cotidiana y las ciencias. 3.Utiliza modelos en la solucin de problemas que den lugar a ecuaciones y sistemas lineales en situaciones de la vida cotidiana y las ciencias. PGINAS WEB DE CONSULTA. Ecuaciones http://www.vitutor.net/1/10.html Sistema de ecuaciones http://www.vitutor.net/1/36.html Ecuaciones y Sistemas http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Reales_index01.htm Ecuaciones de primer grado. Resolucin de problemas. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_primer_grado_resolucion_problemas/index.htm Funciones. La funcin de proporcionalidad http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funciones_funcion_de_proporcionalidad/index.htm Interpretacin de expresiones algebraicas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Interpretacion_expresiones_algebraicas_d3/indice.htm EJERCICIOS 1.Resuelve las siguientes ecuaciones. a)-3x + 7 = 5x + 13 b)101x +102 = 103x + 104 c)0.3x 0.24 = 0.2x + 0.09 d)0.02 x + 3.75 = 0.8x 0.15 e)3(x 4) = - 4f)-2(x+5) =30 x g)ax b = cx + d h)ax + bx + c = dx + ex - f i)8(3x 5 ) 4(2x + 3 ) = 12 j)5 (x + 4) = - 2(x - 3) k)A = h(B + x) Secuencia de AprendizajeHoja 22 l)s = 4nx + 8x m)3x 9 = x + 3 n)2x 5 = 5x + 4 o)-2 (x 1) 5 = 3(x 1 ) 10 p)-2( ) ( ) 10 1 3 5 1 = X X q)3 ( ) | | 4 1 2 X- 6 = 2 ( ) 10 1 + X 2.Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias: a)53 2= + x x b)365213= + x x c) xxx x x 67 - 31314938-27= +d) 91 2412194 -43 +++=+ x x x x e) 301) 3 ( 341073) 5(x12+= + x f) 67) 1 - 2 ( 343) 1 - 2 ( 33-1) - 2(2x5+ = +x x g)21331=++xxxx h)baxx = -i)2- -= +ab xba x j)2y - 4 = 23 5 y y k) 28 4310 8 Y Y +=+

3.Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por los 5 mtodos.(Suma y resta, igualacin, sustitucin, determinantes y grafico). a)9x +16y = 74y 3x = 0 b)6( ) ( ) 12 6 3 4 = + y x-5( ) ( ) 9 6 2 2 6 = + + + y x Secuencia de AprendizajeHoja 23 c)34 2= Y X 323 5 = Y X d)7x + 9y = 4212x + 10y = - 4 e) y x yy x x2 1 34 3 1+ = + = + f) p t pt p t3 144 3 2+ = + = + g) 22 624332 = += +y xy x h) 1 312 3 2= = +q pq p Resuelva los siguientes sistemas lineales de 3x3 por cualquier mtodo. Secuencia de AprendizajeHoja 24 f)8 41 3 21 = += = + +z y xy xz y x Problemas sobre ecuaciones y funciones lineales 1.Lasumadelasedadesdemistreshijosesde22.Sielmayortienetresaosmsqueelsegundoyel doble de la edad del tercero cul es la edad de cada uno de ellos? 2.Uncajerocont248billetes.Slotienebilletesde$200.00y$50.00yentotalhay$22,150.00cuntos billetes de $200.00 y de $50.00 hay? 3.Dos monedas raras tienen un valor de $90.00 Si el valor de una de ellas es una y media veces el valor de la otra cunto vale cada moneda? 4.Un parque de diversiones cobra $60.00 por persona, pero tiene boletos de promocin a mitad de precio. Si enundaseobtuvieroningresosde$29,220.00alvender549boletos,cuntosboletosdecadatipo fueron vendidos? 5.LafrmulaparaconvertirgradosCelsiusaFahrenheitesdeF=9/5C+32dondeCsonlosgrados CelsiusyFlosgradosFahrenheitAcuntosgradosCelsiuscorresponden32,70y212grados Fahrenheit? 6.En una ciudad el costo de la electricidad est expresado por la frmula C = 0.07 n + 6.5, siendo C el costo y n la cantidad de kilowatt-horas consumidos. Calcula la cantidad de kilowatt-horas que corresponde a costos de $50.00, $76.50 y $125.00 respectivamente. 7.Un seor invirti $14,000.00, parteal7%yparte al 12% de intersanual. Elingreso anual debido aesas inversiones fue de $1,430.00. Cunto invirti en cada una de las tasas? 8.Cunta agua se debe evaporar por ebullicin para aumentar la concentracin de 300 litros de sal, del 2 al 3%? 9.Variaspersonasavanzanporlacarreteraaraznde5km/hyformanunafilade3kmdelargo.Unade ellas,Antonio,vahastaelfinaldelamisma.Derepenteseacuerdaquetienequedarleunrecadoasu compadreRicardo,queseencuentraalprincipiodelamarcha.Sesubeaunabicicletayavanzaauna velocidad de 25 km/h. Cunto tiempo le llevar a Antonio llegar hasta donde se encuentra su compadre, entregarle el recado y regresar hasta el final de la marcha? 10.Untelevisortieneuncostode$3,250.00,incluyendoelIVAdel15%.Culeselpreciodeltelevisorsin IVA? 11.El dueo de un negocio paga diariamente a sus tres empleados $135.00. Determina lo que gana cada uno, sabiendo que el primero gana $10.00 ms que el segundo, y ste el doble que el tercero. 12.Una caja sin tapa se puede hacer a partir de un pedazo rectangular de cartulina, recortando un cuadrado de ladoxencadavrticedelrectnguloydoblandolaspestaasqueresultandetalmaneraquequeden perpendiculares a la base. Si partimos de una cartulina de tamao carta de 216 por 279 mm: a.Escribe una frmula que te permita calcular el volumen de la caja especificando lo que representa cada variable y sus unidades. b.Trazala grficade la funcin con x como variable independiente en el intervalo que representa el volumen de la caja. c.Calcula las dimensiones de la caja que tiene el volumen mximo. Problemas sobre sistemas de ecuaciones Secuencia de AprendizajeHoja 25 1.Entre 1993 y 1997 el nmero de reproductores de discos compactos vendidos cada ao en cierto pas fue creciendo,yelnmerodetornamesasfuedecreciendo.Dosmodelosparacalcularlasventassonlos siguientes: a.Reproductores de discos compactos: b.Tornamesas: Sd = -1700 + 496t St=1972 8t endondeSdyStrepresentanlasventasanuales,enmilesdeunidades,dereproductoresdediscos compactos y tornamesas, respectivamente, y t representa el ao calendario, con t = 3 correspondiente a 1993.Segnestosmodelos,cundoseesperaraquelasventasdereproductoresdediscos compactos rebasaran a las de tornamesas? 2.En10kgdeunaaleacinhay3kgdezinc,2kgdecobrey5kgdeplomo.En20kgdeunasegunda aleacin hay 12 kg de zinc, 5kg de cobre y 3 kg de plomo, mientras que en 10 kg de una tercera aleacin hay8kgdezinc,6kgdecobrey6kgdeplomo.Cuntoskilogramosdecadaaleacintendrnque combinarseparaobtenerunaaleacinqueporcada34kgdezinc,contenga17kgdecobrey19kgde plomo? 3.Supongamosqueteofrecendostrabajosdiferentesparavendermaterialadentistas.Unacompaate ofrece una comisin simple del 6% sobre ventas; la otra compaa te ofrece un salario de $250 por semana ms3%sobreventas.Cuntotendrasquvenderenunasemanaparaquelacomisinsimplesea mejor? 4.Unavinquevuelaconvientodefrenterecorrelos1,800kilmetrosentredosciudades,en3horas36 minutos;enelvueloderegreso,recorrelamismadistanciaen3horas.Hallalavelocidaddelavinyla velocidad del viento, suponiendo que ambas permanecen constantes. 5.Seobtienen10litrosdeunasolucincidaal30%,almezclarunasolucinal20%conotraal50%. Cunto se us de cada una? 6.Un rectngulo tiene 92 cm de permetro y su diagonal mide 34 cm. Halla sus lados. 7.Lahipotenusadeuntringulorectngulomide19.5m.Silalongituddecadacatetoaumentara4.5m,la hipotenusa aumentara 6 m. Halla los catetos del tringulo primitivo. 8.Unjardndefloresrectangulartiene504cm2dereayestrodeadoporuncaminode3 mdeancho.El rea del camino es 312 m2. Halla las dimensiones (longitud y anchura) del jardn. 9.Una pieza rectangular de cartn tiene 120 cm2 de rea. Al cortar un cuadrado de 2 cm de lado en cada una de las esquinas y doblar los lados hacia arriba, se forma una caja abierta de 96 cm3 de volumen. Halla las dimensiones (largo y ancho) del cartn inicial. 10.Unalambrede120cmdelargosedoblaenformadetringulorectngulocuyahipotenusamide51cm. Encuentra la longitud de cada cateto del tringulo. 11.Doshombrespartendeunpuntoycaminanformandounngulorecto.Lavelocidaddeunoes1kmpor horamayorqueladelotro.Despusdeunahora,ladistanciaentreellosesde5km.Encuentrala velocidad de cada hombre. 12.En la terminal de autobuses, los pasajeros pueden contratar una de dos compaas de taxis. La compaa Acobra$5porcadakilmetrorecorrido,sincostoporelbanderazo.LacompaaBcobra$82porel banderazo y $2 por cada kilmetro recorrido. a)Escribe, para cada compaa, la ecuacin que da el costo de un viaje en funcin de los kilmetros recorridos. b)Traza, sobre los mismos ejes, las grficas de las ecuaciones anteriores, identifcalas claramente. c)Calcula el costo de un viaje con los recorridos siguientes: Recorrido en KilmetrosCompaa A Costo en pesos Compaa B Costo en pesos Secuencia de AprendizajeHoja 26 7 13 22 29 35 d)En general, en qu compaa conviene contratar un taxi? 13.Dostinacosdelmismovolumensevacanuniformemente,mediantellavesdediferentetamao,detal manera que uno de ellos queda vaco en 5 horas en tanto que el otro requiere de 8 horas. a)Culeslagrficaylaecuacinquecorrespondeacadatinaco?Explicaconpalabrasloque representa cada una de ellas. b)Culeslapendientedecadauna?Explicaelsignificadodelapendienteentrminosdela situacin. c) En qu instante tiene uno de los tinacos el doble de agua que el otro? 14.Escribe en el parntesis el trmino que hace que cada proposicin sea verdadera. Secuencia de AprendizajeHoja 27 PROBLEM AS EXTRAS 1.Rectas y sus ecuaciones (1) Cul es de cul? Relaciona las siguientes ecuaciones con su grfica correspondiente y traza la grfica de las restantes. a)y = x b)y = -x c)y = x + 2 d)y = -2x + 2 e)y = 2x 2 f)y = 2x g)y = -x 2 h)y = 2x + 2 i)221+ = x yj)y = -2x k)x y21=l)x y21 =m)y = -x + 2 n)y = -2x 2 [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 28 (2) Encuentra la ecuacin de las siguientes rectas: -15-10-505101520-4 -2 2 4x404550556065-4 -2 0 2 4x-3000-2000-100001000200020 40 60 80 100x8001000120014001600180020000 10 20 30 40 50x-2-1012-10 -5 5 10 15 20xUni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 29 (3) Al revs Representa grficamente las siguientes rectas: 4x 3y + 10 = 0 4x 6y 3 = 0 2x 3y 10 = 0 3x 2y + 5 = 0 2x 3y 3 = 0 5y 7 = 0 2x + 4 = 0 Hay grficas paralelas o perpendiculares? Cules son? (4) En medio de las paralelas Encuentra la ecuacin de la recta que es paralela a las rectas: 2x + 3y 9 = 0 4x + 6y + 36 = 0 y que pasa por en medio de ellas. Es recomendable que grafiques las ecuaciones. (5) La interseccin La recta L es perpendicular a la recta: 2x + 3y 6 = 0 ypasaporelpunto(-3,1), dnde corta la recta L al eje y? (6) La otra incgnita Encuentra el valor de k de la ecuacin kx y 3k = - 6 sabiendo que su ordenada al origen es 5. (7) Existe la distancia a una recta? Cul es la distancia que separa a las dos rectas paralelas: 2x 5y + 10 = 0 15y 6x + 45 = 0 entre s? (8) Un sencillo baile Losalumnosdelltimosemestreestnorganizandounbailedebienvenidaalosalumnosdenuevo ingreso. Decidieron contratar a dos grupos de rock y las condiciones de pago que imponen los grupos son: Elprimergrupocobra3000pesosmsel40%delorecaudadoporlasentradasmientrasqueel segundo grupo cobra 6 450 pesos ms el 10% de lo recaudado por las entradas. Peronohayacuerdoentrelosorganizadores:seestableceunaarduadiscusinentreellosporque algunos piensan que el segundo grupo cobrar ms que el primero, otros (partidarios del primer grupo) le piden que argumenten irrefutablemente su posicin (es decir, usando matemticas). Los partidarios del primer grupo piensan que lo que deben hacer es manipular el precio de las entradas de tal forma que el primer grupo gane ms que el segundo. Cunto es lo menos que tienen que cobrar por persona para que eso se cumpla si estiman que habr 500 personas que paguen su entrada? Por otro lado, independientemente de quin gane ms que quin, tambin se enfrentan a otra cuestin: debenpoderpagarlealosdosgruposconeldineroqueserecaudedelasentradasCuntoeslo menos que deben cobrar por persona para que con las entradas alcancen a pagarle a los dos grupos? Cul es el grupo que cobrara ms, finalmente? Viajes y viajeros Los cuatro trenes Lagrficarepresentalosviajesdecuatrotrenes,tresdeellosvandeAaB,separadosporuna distancia de 120 kilmetros y el otro va de B a A. Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 30 2 pm 3 pm 4 pmt iempo, t , en hor as100204060801201401 pm 5 pm(1)(2)(3)(4) a) Qu trenes viajan a la misma velocidad? Cul es esta velocidad? b) Cul es el tren que viaja ms lentamente? Con qu velocidad viaja? c) El tren (2) debera viajar a 50 km/h, con cuantos minutos de retraso lleg a A? Telmex y AT&T En un internado de estudiantes, cada estudiante puede contratar una de dos compaas. Telmex cobra $87.5 por mes, ms 80 centavos por llamada. AT&T cobra $82 por mes, ms 90 centavos por llamada. (1) Cuntas llamadas hace aproximadamente por mes? (2)Escribe,paracadacompaa,laecuacinquerepresentaelcostodeunmesdadoenfuncindel nmero de llamadas. (3)Graficacadaunadelasecuacionesqueescribisteenelinciso(b).Asegratedeidentificarlas(ya sea con colores distintos o con un letrero). (4) Discute cmo se relacionan tus dos graficas con la solucin del problema. Cundo cobran lo mismo ambas compaas? Cundo conviene ms Telmex? Cundo AT&T? (5) Cuntas llamadas piensas que hace el estudiante promedio de tu clase? (6) Cmo puedes averiguar la respuesta al inciso (e)? (7) Lleva a cabo el plan que hiciste en el inciso (f). (8) Decide cules estudiantes de tu grupo contrataran cada compaa y explica por qu. (9) Aplica el modelo PER (Propsito, Estrategia, Resultado). Las velas Dosvelasdelmismolargoestnhechasdematerialesdistintos,talesqueunadeellasseconsume uniformemente hasta terminarse en cuatro horas en tanto que la otra se consume en seis horas. 2 46t iempo, t , en hor as10020406080120140vela vela Cuestionario (1) Cul es la ecuacin de la recta correspondiente a cada vela? Da una explicacin con palabras de lo que representa cada una de ellas. Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 31 (2)Culeslapendientedecadauna?Explicaelsignificadodecadapendienteentrminosdela situacin. (3) A qu hora se deben encender ambas velas simultneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida el doble que el otro? (4) Considera ahora la longitud de la vela consumida en lugar de su altura. Traza las grficas, haz una comparacin con las anteriores y explica cmo pueden ambos pares de grficas representar la misma situacin. (5) A qu hora se deben encender ambas velas simultneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida el triple que el otro?(6) A qu hora se deben encender ambas velas simultneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida n veces el otro? Puede n tomar cualquier valor? (7)Inventa,redactayresuelveunproblemaquesepuedarepresentarconelmismomodelo matemtico. (8)AplicaelmodeloPER(Propsito,Estrategia,Resultado)conrespectoalaprendizajequelograste en esta actividad. Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 32 UNIDAD IV. FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRTICAS. Competencia Particular de la unidad: Emplea las funciones y ecuaciones cuadrticas en la solucin de problemas que se presentan en situaciones de su entorno acadmico, personal y social. RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1.Identificaelementosdelasfuncionescuadrticasapartirderepresentacionestabulares,graficasy algebraicas en su mbito acadmica, personal y social. 2.Elabora modelos que den lugar a ecuaciones cuadrticas a partir de situaciones de lavida cotidianay las ciencias. 3.Utiliza modelos en la solucin de problemas que den lugar a ecuaciones cuadrticas o sistemas cuadrticas lineal en su mbito acadmico, personal y social. PGINAS WEB DE CONSULTA. Ecuaciones http://www.vitutor.net/1/10.html Sistema de ecuaciones http://www.vitutor.net/1/36.html Ecuaciones y Sistemas http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Reales_index01.htm Ecuacin de segundo grado y aplicaciones http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/index.htm Funciones. Expresin grfica y verbal http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Interpretacion_graficas/Indice_graficas.htm Ecuacin de segundo grado. Solucin grfica y algebraica http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuacion_segundo_grado/index.htm EJERCICIOS 1.Halle las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones cuadrticas: a.0 16 92= + xb.0 1 6 . 0 2 . 02= + x xc.8 . 0 75 . 0 25 . 02= x xd.( ) ( ) x x x x 2 5 7 2 32 2 2 + = + +e.( ) 0 49 42= + xf.8 172 = x xg.( ) ( ) 20 7 2 32 2= + x x 2.Resuelva los siguientes sistemas cuadrticos Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 33 Problemas sobre ecuaciones y funciones cuadrticas 1.Cul es la altura del rbol ms alto que puedes asegurar con un cable de 250 m? El cable debe fijarse al suelo a una distancia de la base del rbol que sea al menos 10 m. 2.Culessonlasdimensionesdeunrectngulosisureaes1500m2ysulongitudes20mmsquesu anchura? 3.Calcula la altura h del tringulo si su rea es 162 cm2 y su base es (2h+3) cm. 4.Calcula el permetro del rectngulo de base w+4, altura w y rea de 96 m2. 5.Lalongituddeunapistarectangulardepatinajesobrehieloes20mmayorqueeldobledesuancho. Calcula las dimensiones de la pista si se sabe que su rea es de 6,000 m2. 6.En la figura se muestra la seccin del terrapln de una autopista. La altura del terrapln es de x metros y su anchura en su parte alta es de 100 m. Obtn: 7.Unafrmulaparaelvolumendetierraqueserequerirparaconstruirunaseccinrectade100mdela autopista, en metros cbicos. a.Cul es la altura del terrapln si el rea de su seccin es de 525 m2? b.Qucantidaddeviajesserequerirhacerparaconstruireltramode100m,sicadacamin transporta 10 m3 de tierra? Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 34 8.Rodolfo acostumbra subir corriendo dos escaleras elctricas de 20 m de longitud cada una, desplazndose laprimera hacia arribayla segundahacia abajo,en15 segundos.Si se mantuviese quietoenuna de las escaleras,en20segundosseencontraraenelotroextremodeella.Cuandolasescalerasnofuncionan, en cunto tiempo subir por ellas? 9.ElsiguienteproblemafuedescubiertoenlosescritosdelmatemticohindMahavira(c.850):Lacuarta parte de un hato de camellos fue vista en el bosque, el doble de la raz cuadrada del total de camellos del hatosefuealasladerasdelamontaa,ytresvecescincocamellosfueronvistosenlaorilladeunro. Cul es la medida numrica del hato de camellos? 10.Unaescalerade13metrosdelongitudestrecostadacontraunapared.Labasedelaescalerase encuentraa5metrosdelmuro.Cuntohabraquedesplazarlabasedelaescaleraparaquelapunta superior de la misma se desplazase hacia abajo la misma distancia? 11.ElingeniosoHebertohadiseadosubicicletaconruedasdedistintodimetro,deformaqueladelantera mide 40 cm menos que la trasera en su circunferencia exterior. Al dar un paseo en bici se da cuenta de que por cada 12 m de recorrido, la rueda delantera da 5 vueltas ms que la trasera. Cules son los dimetros de cada rueda? 12.Un rectngulo con un rea de 12 cm2 se inscribe en un tringulo rectngulo, como se muestra en la figura. Cules son sus dimensiones? 13.El peso de un objeto vara inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Al nivel del mar(6,400kmdelcentrodelaTierra)unastronautapesa100kg.Calculaelpesodelastronautaenun vehculo espacial a 200 km de la superficie terrestre. 14.Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene una produccin promedio de 40 costales por rbol cuando planta 200 de ellos en una hectrea de terreno. Cada vez que aade diez rboles a la hectrea, la produccin por rbol desciende un costal. Cuntos rboles por hectrea debera plantar para optimizar la produccin? 15.Un consejo municipal utiliza 200 m de valla para cercar un parque destinado a los ciudadanos minusvlidos. Elparqueseradyacenteauncentrocomunitarioytendrdosreasrectangularesconectadasporun puentequeatraviesaunarroyoqueseencuentraa10mdeledificio.Elreaadyacentealcentro comunitario puede tener una longitud no mayor a la del edificio, que es de 75 m, pero el rea a lo largo del arroyo puede tener cualquier dimensin. Junto al ro no se pondr ninguna valla. Cul es el rea mxima que pueden cercar? 16.En la grfica se representan los costos e ingresos de un fabricante de pantalones en funcin del nmero de piezas producidas y vendidas. Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 35 500 1000 1500 200050000100000xynmero de piezas producidas y vendidascostos e i ngresos en pesoscostosingresos a)Cules son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 200, 800 y 2000 pantalones? b)Determina las ecuaciones de los costos y los ingresos. c)Dado que la ganancia es la diferencia de los ingresos y los costos, determina la ecuacin de la ganancia a partir de las que obtuviste en el inciso anterior. 17.Unanialanzaunapiedrahaciaarriba,laalturay,enmetros,despusdetsegundosestdadaporla frmula 29 . 4 10 t t y =a)A qu altura se encuentra despus de 2 segundos? b)En qu instante alcanza una altura de 4 metros? 18.La curva siguiente es una parbola: -5 5-10000xy a)Cul es la ecuacin que corresponde a esta grfica? b)Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema Dada la grfica de una parbola encuentra su ecuacin. c)Traza sobre los mismos ejes la grfica de y = -1500x - 4000. d)Encuentra los puntos de interseccin de ambas grficas. e)Traza sobre los mismos ejes la grfica de y = 200(x2-3x-40). f)Encuentra los puntos de interseccin de la recta y esta parbola. Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 36 PROBLEMAS EXTRAS 1.Ifigenia Cruel de Alfonso Reyes En la grfica se muestran los costos de edicin y los ingresos por la venta de una edicin facsimilar del poema dramtico de Alfonso Reyes, Ifigenia Cruel. Eje vertical: Costos e Ingresos (en pesos). Eje horizontal: Nmero de ejemplares. 100 200 300 400 500 60-10000100002000030000400005000060000700008000090000xycostosi ngresos CUESTIONARIO (1) Cules son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares? (2) Dentro de qu lmites se debe mantener la oferta para obtener ganancias? (3) Cul debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso? (4) A cunto ascienden los costos fijos de produccin? (5) Cunto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos? (6) Hay una ganancia mxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia mxima, calclala. (7) Cul es la ecuacin de los costos? (8) Cul es la ecuacin de los ingresos? (9) Cul es la ecuacin de la ganancia? (10) Traza la grfica de la ganancia en los mismos ejes. (11) Plantea tres preguntas sobre esta misma situacin y respndelas. (12)Sisereducenloscostos,tantolosdeproduccindacadalibrocomolosfijos,a$8500y$120, respectivamente, cul es la ganancia mxima? 2.La cajita perenne Se puede hacer una caja abierta de un pedazo rectangular de cartulina, recortando un cuadrado de lado x en cada esquina y doblando las pestaas que resultan hacia arriba. Si, porejemplo, la cartulinamide 30 cm por 40 cm, encuentra las dimensiones dela caja que tiene el volumen mximo. Cuestionario (1 ) Haz un esquema o dibujo que represente la situacin del problema. (2)Relaciona las caractersticas de la figura plana y las correspondientes de la caja, (3)Escribelafrmulaquetepermitecalcularelvolumendelacajaidentificandoloquerepresenta cada letra y sus unidades. Identifica las dimensiones de la base de la caja y la altura,Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 37 (4)Hazunatablaquecontengaelladodelcuadradoquecortasencadaesquinayelvolumen correspondiente. (5)Aplica la estrategia de la lupa en la regin que parece contener el volumen mximo. (6)Reptela hasta que obtengas un valor del lado y que sea del orden de milsimos. (7)Traza una grfica con x en el eje horizontal y el volumen en el eje vertical. (8)Cmo verificas que el volumen que obtuviste es el mximo? Explica. (9)Qu aprendizajes utilizaste para resolver el problemas? (10)Encasodenohaberloresuelto,escribetusconclusiones,conunareflexinsobreascausasde que no lo hayas podido resolver. (11) Qu caminos o estrategias seguiste para tratar de resolver el problema? (12) Aplica el modelo PER (Propsito, Estrategia, Resultado). 3.Qu diferencias, ay! tan finitas Cul es la regla? Para cada una de las siguientes sucesiones escribe los siguientes tres trminos y el n-simo trmino (1)3, 12, 27, 48, 75, , , , , (2) 2, 7, 16, 29, 46, , , , , Cul es la suma? Cuntassumaspuedesencontrarparalassiguientesseries?Expresaturespuestacomounaregla general. Prueba tu regla cuando n = 1, n = 2 , etc (3)3 + 4 + 5 +6+7 ++ (n + 2)= (4)1 + 5 + 9 + 13 + 17 + + (4n - 3) = Diagonales de un polgono Una diagonal de un polgono es un segmento de recta que une cualesquier dos vrtices no adyacentes. Aqu, nrepresenta el nmero de lados del polgono. (5)Encuentra la regla general para hallar el nmero de diagonales de un polgono de nlados. n =3 n = 4n = 5n = 6 Sugerencia: Haz una tabla de dos columnas, en la primera coloca el nmero de lados del polgono y en laotraelnmerodediagonalesdelpolgonodado.Completalatablahastaunpolgonodenueve lados. Cmo encontraste el patrn? Cul es la frmula? (6)Culeslafrmulaqueexpresalarelacinquehayentrepyt,talcomosemuestraenlatabla siguiente?, qu valor le corresponde a p cuando t es 6? t0 1 2 3 4p100 90 70 40 0 Regiones de un crculo Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia. Aqu, n es el nmero de cuerdas.(7) Encuentra la regla generalque da el nmero de regiones formadas por ncuerdas. Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 38 n= 0 n= 1 n= 2 n= 3 Utiliza la sugerencia del problema anterior. Cuadrados de un cuadrado Uncuadradograndepuededividirseenmuchoscuadradosmspequeos.Enesteproblema, asegrate de contar todos los cuadrados, pero no cuentes rectngulos que no sean cuadrados. Aqu, n representa el nmero de unidades en un lado del cuadrado grande.(8) Expresa como regla general el nmero de cuadrados que hay en un cuadrado de nx n. n= 1n= 2 n= 3n= 4Si n = 1,hay 1 cuadrado.Si n = 2,hay 5 cuadradosSi n = 3 , hay 14 cuadrados. ...etctera Utiliza la sugerencia dada para el problema de las diagonales. Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 39 EXAMEN FINAL DE LGEBRA 2003 1.Calcular la siguiente operacin: = + 2 4 2 3a)21b) 3 c) 21 d) -3 2.Se va a cercar un terreno rectangular que mide 25 por 40 m. Si cada metro lineal de barda cuesta $115.00, Cunto costara cercar todo el terreno? a) $7475b) $8125c) $14950d) $ 12820 3.Reducir el siguiente polinomio: b 18a b 45a b 84a b 50a b 84a b 71a3 3 2 4 3 2 4 3+ + + a)b a348 b) 2 4 348 b a b a c) 2 4 348 b a b a + d)b a348 4.Juan gana dos tercios de lo que percibe Pedro, quien gana 4/5 de lo que percibe Tadeo. Si Tadeo gana $1,150.00, cunto perciben Juan y Pedro? a) Tadeo: $ 1150.00 Pedro: $ 460.00 Juan: $ 306.66 b) Tadeo: $ 1150.00 Pedro: $ 920.00 Juan: $ 613.33 c) Tadeo: $ 1000.00 Pedro: $ 766.66 Juan: $ 613.33 d) Tadeo: $ 1150.00 Pedro: $ 613.33 Juan: $ 920.00 5.Un viajero recorre 1/4 de la distancia entre dos ciudades a pie, 1/5 a caballo, 1/8 del resto en auto y los 55 km restantes en tren. Cul es la distancia entre las dos ciudades? a) 114.28 kmb) 120.22 kmc) 112.12 kmd) 109.28 km 6.Reducir la siguiente expresin: | | { } a b 2a 3b 2a + +a) 4bb) 4a 2bc) a 2bd) 2a + 4b 7.Una ventana con un permetro de 8 m tiene la forma de un rectngulo con un semicrculo sobrepuesto. Escribe un polinomio para representar el rea de la figura en trminos solamente de la variable x. a) ( )( ) 2 4x 4 xAT+ += b) ( )( ) 4 4x 4 xAT+ = c) ( )( ) 4 4x 4 xAT+ = d) ( )( ) 4x 4 xAT + = 8.Un automvil recorre 50 km en el mismo tiempo en que un avin recorre 180 km. La velocidad del avin es de 143 km/h mayor que la del automvil. Calcula la velocidad del automvil. a) VAUTO = 45 Km/hb) VAUTO = 60 Km/hc) VAUTO = 55 Km/hd) VAUTO = 48 Km/h 9.Calcula el valor de x: 2 3x3 6x4 x1 2x+=+ a) x =2 b) 21 = x c) 21= x d) 31= x Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 40 10.Un televisor tiene un costo de $3,250.00, incluyendo el IVA del 15%. Cul es el precio del televisor sin IVA? a) $ 2826.1b) $ 3737.5c) $ 2762.5d) $ 2781.9 11.Cul es la ecuacin de la siguiente grafica: 2 1 1 2 3 4 5543211234

a)3 x43y + = b)3 x43y + = c)x43y = d)4 x43y + = 12.Encontrar el valor de x: a) x = 6b) x = 8c) x = 10d) x = 20 13.Calcula el permetro del rectngulo de base w+4, altura w y rea de 96 m2. a) P = 40 m b) P = 38 mc) P = 50 md) P = 42 m 14.Cul es la ecuacin de la siguiente parbola? 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 820181614121086422468 a) y = (x - 2)(x - 6)b) y = (x + 2)(x - 6)c) y = (x + 2)(x + 6)d) y = (x - 2)(x + 6) 15.Resolver las soluciones para la siguiente ecuacin cuadrtica: 0 2 3x x2= + a) x1 = 2 x2 = 1 b) x1 = -2 x2 = -1 c) x1 = -2 x2 = 1 d) x1 = 2 x2 = -1 16.Encontrar dos nmeros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 85. a) 4 y 5b) 6 y 7 c) 7 y 8d) 5 y 6 A=52 cm24 cm x 7 cm Uni dad de Apr endi zaj e de l gebr aGua de Est udi osPgi na 41 17.Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 14 5y 5x7 3y 2x= = a) 297y ;2991x = = b) 87385y ;2991x = =c)7 y ; 7 x = =d) 3175y ; 1 9 x = = 18.Un rectngulo tiene 92 cm de permetro y su diagonal mide 34 cm. Halla sus lados. a) l = 20 cm a = 26 cmb) l = 13 cm a = 33 cm c) l = 19 cm a = 27 cm d) l = 16 cm a = 30 cm 19.Cual es la solucin de la siguiente grafica del siguiente sistema. 16 y 7x0 3y 5x = = a) 4 3 2 1 187654321b) 4 3 2 1 1211234 c) 1 1 2 3 4 5543211d) 1 1 2 3 4 5211234567 20.Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 7 731= + += + = +z y xz y xz y x a) x = -2 y = 5z = 8b) x = -2 y = -5z = 2 c) x = 2 y = 5z = 4 d) x = -2 y = 5z = -6