Anlisis de Contenido

Eje: lgebraUnidad: Ecuacin y Funcin cuadrtica Nivel: 3ro medioProfesor colaborador: Wilson RoaProfesor practicante: lvaro Quiones

1.- Pregunta Inicial:

Arqumedes de Siracusa (287-212 a.C.), es considerado el primer gran ingeniero de la historia. A l se deben grandes inventos de la antigedad, muchos de los cuales siguen vigentes.Gracias a su ingenio, fue posible elevar y transportar grandes cantidades de agua entre ciudades y sacar barcos del mar con un sistema de palancas, por ejemplo. Se le atribuye tambin uno de los ms fascinantes descubrimientos de la antigedad: El mecanismo de Anticitera, un sistema de engranajes capaz de predecir los movimientos de los astros y fijar fechas importantes del calendario.Se cuenta que, durante la primera guerra pnica, Arqumedes se encarg de la defensa de su ciudad, Siracusa. Para ello, dise sofisticados inventos para arrojar proyectiles, hundir barcos e incluso incendiarlos a distancia disponiendo espejos estratgicamente, de manera que concentraran los rayos solares sobre un punto del barco hasta provocar fuego.

En relacin a esta concentracin de rayos, Arqumedes pudo modelar de tal manera los espejos que concentr los rayos del sol en un punto tal que aument significativamente la intensidad de los rayos del sol, hasta el extremo de generar fuego. Frente a esta modelacin surgen las siguientes interrogantes: Cmo podemos interpretar aquellas situaciones que son modeladas mediante una expresin matemtica y descubrir a que funcin pertenece? bien, Qu ecuacin nos permite modelar este fenmeno? Comment by Silvia Baldivieso: Bien. Sin embargo la pregunta es muy abierta.Respecto a la pauta se tiene:Formula una pregunta que eventualmente puede dar origen a un trabajo de indagacin respecto al concepto bajo estudio.7 de 9.

2.- Abstraccin Inicial.

Ahora, para dar respuesta a lo indicado en el punto anterior y entender cmo Arqumedes pudo lograr este efecto, y de como l pudo descubrir que si ubicaba todos los espejos formando una parbola (la curva dibujada en rojo), los rayos del sol se reflejaran concentrndose en un solo punto. Ser necesario argumentar mediante la siguiente situacin.

Un zologo experto en anfibios model el salto de una rana mediante una expresin matemtica y obtuvo la siguiente funcin: , donde es el tiempo medido en segundos y la altura en metros.

La siguiente tabla muestra la altura de la rana en cinco instantes distintos.

Analicemos: Cunto demora la rana en volver al suelo?, De qu modo podras determinarlo? Cmo determinaras la mayor altura que alcanza la rana?

Segn la tabla, la rana est en el piso tanto cuando y , ya que la altura a la que est la rana es 0 en ambos instantes . El instante corresponde al momento de iniciar el salto, y el instante , a los dos segundos de haber saltado, corresponder al instante en que, luego del salto, la rana vuelve al piso.

Para determinar la mayor altura que alcanza la rana necesitamos conocer bien el comportamiento de la funcin que nos muestra el salto de la rana. Si vemos los valores de la tabla, la mayor altura mostrada es de un metro cuando ha pasado un segundo.

Muchas situaciones son modeladas mediante una funcin que involucra el cuadrado de una variable, como el caso del salto de la rana. Este tipo de funciones son de la forma: , con distinto de cero; se denominan funciones cuadrticas y su grfica correspondiente es una curva llamada parbola, como la de la figura. Observa.

En esta unidad de estudio aparte de introducirnos en las funciones cuadrticas, tambin se estudiar un tipo de ecuacin, la denominada ecuacin cuadrtica. La cul al igual que la funcin cuadrtica nos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas.

El estudio de las ecuaciones ha sido una parte fundamental en el desarrollo de la matemtica y de todas las disciplinas que dependan de ella. El encontrar una frmula general que resolviera ecuaciones de grado superior a uno se convirti en un objetivo clave para muchos matemticos en la historia. Entre todas las ecuaciones, las cuadrticas juegan un papel importantsimo en la resolucin de muchos problemas de la vida diaria y, unida a ellas, la funcin cuadrtica nos ayuda a modelar situaciones cotidianas en variados campos.

Definiremos funcin cuadrtica como aquella funcin en la que al menos una de las incgnitas involucradas est elevada al cuadrado, siendo la mayor potencia de ella.Comment by Silvia Baldivieso: Bien.Reconoce el significado cultural bsico del concepto y explica cmo el rasgo esencial del concepto bajo estudio est contenido en l.9 de 9.

3.- Establecimiento de una red conceptual

La Funcin Cuadrtica: Llamaremos funcin cuadrtica a toda funcin del tipo:

,

Donde y son nmeros reales y . Al grfico de esta funcin se le llama Parbola, donde se distingue el vrtice y el eje se simetra. A y se les llama coeficientes numricos de y respectivamente, y a se le llama trmino libre.

Es decir:

El vrtice de una parbola es el punto ms bajo (cuando la parbola es cncava hacia arriba) o el punto ms alto (cuando la parbola es cncava hacia abajo). En el primer caso, decimos que la parbola tiene un mnimo y en el segundo caso, que la parbola tiene un mximo.

Obs: El dominio de toda funcin cuadrtica es el conjunto de los nmeros reales, ya que para todo en cambio, el recorrido no es el mismo en todas las funciones cuadrticas. Para determinar este es necesario tener un mayor conocimiento de las funciones cuadrticas y su respectiva grfica.

i) Forma cannica de funciones cuadrticas

Si observamos la funcin , corresponde a una parbola en su forma general, es decir, de la forma , donde

Para estudiar mejor el comportamiento de la parbola, se prefiere escribir la funcin cuadrtica de la forma , llamada forma cannica.

Es decir: Toda funcin cuadrtica de la forma se puede escribir en su forma cannica, es decir, de la forma donde son los puntos vrtice de la parbola.

Dem:

Donde; y con , existen tales que:

ii) Concavidad, dilatacin y contraccin de la parbola.

De qu depende que la parbola se abra hacia arriba o hacia abajo?

En una funcin de la forma:

Si la parbola se abre hacia arriba, mientras que si , se abre hacia abajo Si la grfica de la funcin se abre con respecto a la de la funcin (hay dilatacin). Si , la grfica de la funcin se cierra con respecto a la de la funcin (hay contraccin). Si la grfica de la funcin es una reflexin de la funcin en torno al eje x.

iii) Desplazamientos de la parbola.

Para cualquier valor de c, positivo o negativo, la funcin cuadrtica tiene por grfica una parbola que corresponde desplazar verticalmente la parbola en unidades, hacia arriba si , y hacia abajo si

Para desplazar una funcin horizontalmente en unidades, debemos considerar la funcin ; el sentido de desplazamiento depender del signo de .Si , se desplazar unidades hacia la izquierda.Si , se desplazar unidades hacia la derecha.

iv) La parbola como lugar geomtrico.

Hemos estudiado la funcin cuadrtica desde varios puntos y hemos llamado parbola al tipo de curva que se obtiene. Sin embargo, esta misma curva se puede obtener a partir del siguiente problema geomtrico.

Dibujar todos los puntos que se encuentren a igual distancia de un punto fijo llamado foco y una recta llamada directriz.

Al resolver este problema, aparece una parbola como dibujo.

Si ahora utilizamos un sistema de ejes coordenados y definimos las coordenadas del vrtice y una distancia desde el vrtice al foco , y desde este a la directriz , obtenemos la siguiente figura:

As, podemos plantear y desarrollar lo siguiente:

Con esto concluimos que: La ecuacin representa la parbola con vrtice y directriz y foco donde es la distancia entre el vrtice y el foco, y entre el vrtice y la directriz.

Cmo determinar los puntos de corte o interseccin de la parbola con los ejes coordenados?

Sea una funcin cuadrtica cuyo discriminante es , entonces:

Si , la grfica de la funcin corta en dos puntos al eje . Si , la grfica de la funcin no corta al eje . Si , la grfica de la funcin corta en un solo punto al eje , siendo tangente a este.

A los puntos de corte de la parbola con el eje x se les llama tambin ceros de la funcin.

Mximos y Mnimos: Por otra parte: Sea una funcin cuadrtica, entonces:

Si , entonces tiene un valor mximo para . Para calcular este valor mximo hay que obtener . Si , entonces tiene un valor mnimo para . Para calcular este valor mnimo hay que obtener .

Como se observa, en la funcin cuadrtica el discriminante , determina los puntos de corte y ceros de la funcin. Adems de lo anterior el discriminante entrega valores que permiten determinar la naturaleza de las raices de una ecuacin cuadrtica.

La ecuacin cuadrtica:

Definiremos ecuacin cuadrtica a aquella ecuacin en la que al menos una de las incgnitas involucradas esta elevada al cuadrado, siendo la mayor potencia de ella.As una ecuacin cuadrtica ser toda ecuacin de la forma:

, con

Resolucin de ecuaciones cuadrticas incompletas.

Ecuaciones cuadrticas incompletas de la forma , con Ejemplo: y Por tanto y son las soluciones o races de la ecuacin.

Ecuaciones cuadrticas incompletas de la forma , con

En este caso, solo se distinguen trminos de grado dos y grado 0 (o trminos libres).Para resolver este tipo de ecuaciones debemos despejar la incgnita. Por ejemplo:

Observemos que hay que encontrar un nmero que al elevarlo al cuadrado de por resultado 4. Entonces las soluciones de estas ecuaciones son o . Por lo tanto, al extraer raz, tendremos dos soluciones:

En este caso, si la ecuacin tiene solucin, los resultados de las ecuaciones son uno el inverso del otro, es decir, si uno es a, entonces el otro ser a

Ecuaciones cuadrticas de la forma , con a y b nmeros reales y

En este tipo de ecuaciones solo se distinguen termino de grado dos y grado uno; no hay termino libre. Por lo tanto, ya no se puede despejar la incgnita para igualarla a un nmero y luego extraer la raz cuadrada. Por ejemplo:

Si factorizamos por x, tenemos que:

/

; son las soluciones. En este caso, siempre hay dos soluciones reales, donde una de ellas es siempre 0 y la otra es un nmero real cualquiera.

Resolucin de ecuaciones cuadrticas completas.

Ecuaciones cuadrticas de la forma , con y nmeros reales y , donde el trinomio es fcilmente factorizable.

En este caso, hay trminos de grado dos, uno y cero (o termino libre) y, adems, el trinomio se puede factorizar. Por ejemplo:

; estas son las solucionesEn este caso se pueden tener dos soluciones reales y distintas o dos soluciones reales e iguales.

Mtodo de completacin de cuadrado:

Podemos estudiar otro mtodo para resolver ecuaciones cuadrticas, llamado mtodo de completacin de cuadrado. Esto es, transformar el trinomio dado en una expresin que contenga un cuadrado de binomio. Con esto conseguiremos una ecuacin que se puede reducir a dos ecuaciones lineales. Por ejemplo:

Analizar los trminos Si estos fueran los dos primeros trminos del desarrollo de un cuadrado de binomio del tipo ( x-)2 , entonces se tendra que:

Por una parte, ( x-)2 = + 2 y, por ahora, debera ser igual a , con lo que =1, necesariamente.

Entonces, Para que esta expresin sea igual a la inicial, se debe escribir que:

Luego volviendo a la ecuacin,

De aqu,

Ecuaciones cuadrticas de la forma , con , donde el trinomio no es fcilmente factorizable y a, b, c pertenecen a los reales.

Se analiza la ecuacin , con de manera general, y luego deduciremos una frmula para encontrar sus soluciones.Esta frmula puede ser usada en todos los casos, anteriormente se mostraron todas las maneras en las que se pueden solucionar problemas de manera fcil, sin necesidad de conocimientos nuevos y solo con las herramientas matemticas que ya se tiene.

Si miramos , slo podramos transformar esto en dos ecuaciones lineales (como en el caso donde se factorizaba) siempre y cuando pudiramos transformar en un cuadrado de binomio para luego extraer raz cuadrada.

Ahora analizaremos los siguientes pasos:

/.a

/-ac

Si abx es el termino central del desarrollo del binomio, entonces debera ser el resultado de con lo que el trmino que nos falta para completar nuestro cuadrado de binomio es el cuadrado de . Sumemos, entonces, a ambos lados,

Si con es una ecuacin cuadrtica, entonces su solucin est dada por la frmula:

Esta frmula es conocida como la formula general para resolver cualquier ecuacin cuadrtica.

Discriminante:

Se llama discriminante de una ecuacin cuadrtica a la expresin , que se denota mediante la letra griega delta .

Dado esto la frmula de resolucin de una ecuacin cuadrtica puede escribirse como:

Y debido a que el es una cantidad sub-radical, esta entrega valores que permiten determinar la naturaleza de las races de una ecuacin cuadrtica; es decir, las races pueden ser reales y distintas, reales e iguales o complejas.

Caso 1: La ecuacin tiene races reales y distintas ( y ) y su discriminante es 25.Luego,

En general, si , las races de la ecuacin son nmeros reales y distintos.

Caso 2: La ecuacin tiene races reales e iguales ( y ) y su discriminante es 0.Luego,

En general, si , las races de la ecuacin son nmeros reales e iguales.

Caso 3: La ecuacin tiene races complejas ( y ) y su discriminante es .Luego,

En general, si , las races de la ecuacin son nmeros complejos conjugados.Las races y de una ecuacin cuadrtica tienen las siguientes propiedades de suma y producto.a) Suma de las races b) Producto de las races

Comment by Silvia Baldivieso: Muy bien!9 de 9.

4.- Anticipacin de cmo el o los conceptos podran ser aplicados para resolver problemas concretos.

Para profundizar en este punto hay que tener presente que las ecuaciones cuadrticas tambin son conocidas como ecuaciones de segundo grado, adems que al resolver una ecuacin cuadrtica se pueden obtener 0, 1 2 soluciones reales. Entonces analizando en este caso una funcin cuadrtica los estudiantes podrn evidenciar el crecimiento o decrecimiento de esta funcin, mediante el estudio de intervalos de nmeros reales, donde el eje de simetra indica el cambio de creciente a decreciente, o viceversa. Es decir: Si la grfica de la funcin cuadrtica tiene concavidad orientada hacia arriba, entonces el eje de simetra indica un cambio de decreciente a creciente. Si la grfica de la funcin cuadrtica tiene concavidad orientada hacia abajo, entonces el eje de simetra indica un cambio de creciente a decreciente.

Por ejemplo: La funcin con , vrtice en el punto V(3,12) y eje de simetra en , es: creciente en el intervalo decreciente en el intervalo

A parte de un ejercicio sencillo como el anterior, a los estudiantes se les puede situar frente a problemas cotidianos los cuales pueden ser de inters y as generar nuevos conocimientos. Siendo estos conocimientos pilares para un buen aprendizaje, existen actividades de trabajo grupal o individual las cuales deben ser desarrolladas para respetar el ritmo de aprendizaje de cada estudiante. En este sentido, se han de disear actividades de enseanza/aprendizaje de diferente grado de dificultad, de manera que pueda existir una cierta adaptacin a las diferencias individuales respecto del aprendizaje.

A manera de introduccin a la unidad, siempre es conveniente contextualizar los problemas que pueden ser resueltos con los contenidos que aprendern los estudiantes. Una forma de crear la necesidad de los contenidos es planteando varios problemas desde distintos mbitos

As, para que los estudiantes puedan aprender paulatinamente y a un ritmo que les acomode se pueden trabajar con las siguientes actividades:

Simetra y vrtice de la parbola:

Felipe est realizando un experimento que consiste en lanzar una piedra. l observa que esta describe una trayectoria parablica, como se observa en la figura. La altura que alcanza la piedra en un determinado momento est dada por la funcin cuadrtica donde es la altura en metros alcanzada por la piedra, y el tiempo en segundos desde que se lanza la piedra. En este problema se pueden hacer reflexiones mediante las siguientes preguntas

Cul es la altura mxima alcanzada por la piedra?Durante cuntos segundos la piedra estuvo en el aire?

Con estas interrogantes, en los estudiantes creamos el conflicto cognitivo, el cual ayudar a fomentar el inters por aprender.

Al observar el grfico, podemos darnos cuenta de que existe un punto en el cual la piedra llega a su mxima altura y luego comienza a descender; este punto es el vrtice de la parbola. La funcin correspondiente al lanzamiento de la piedra es: , la cual escrita en su forma cannica es . Que como vimos anteriormente corresponde a la representacin grfica de una funcin de la forma desplazada verticalmente veinticinco unidades hacia arriba y horizontalmente cinco hacia la derecha. Esto produce un desplazamiento de cada punto de la funcin; por lo tanto, el vrtice de la parbola estar veinticinco unidades hacia arriba del origen y cinco a la derecha, es decir, es el punto (5, 25).

El vrtice de una parbola se puede inferir fcilmente a partir de la funcin cuadrtica en su forma cannica y si observamos el grfico, podemos ver que la piedra est en el aire durante diez segundos, durante cinco segundos sube y luego cae durante los cinco siguientes. En el grfico se puede apreciar el sentido del desplazamiento en las ramas de la parbola.

Mximos y mnimos

Un grupo de entomlogos estudia los factores que inciden en el crecimiento poblacional de una clase de escarabajos. Inicialmente, tenan una poblacin de 1000 escarabajos. Luego, alteraron

los factores de su hbitat y pudieron modelar el crecimiento de esta poblacin mediante la siguiente expresin:

en la cual t indica la cantidad de das y P(t) la poblacin existente en ese da. Frente a este problema se puede realizar la siguiente pregunta:

Al cabo de cuntos das se alcanza la mxima poblacin?

Ac, el objetivo es que los estudiantes puedan analizar y poder entender la utilidad de las formas para determinar mximos y mnimos en una funcin cuadrtica. Por lo tanto los estudiantes debiesen deducir lo siguiente:

Es claro que al inicio del experimento, t= 0 y P(0) = 1000.Si estudiamos la funcin cuadrtica, podemos deducir que: Hay dos puntos t1 y t2 para los cuales P(t1) = 0 y P(t2) = 0. Tiene un vrtice en el punto:

Qu informacin referente al problema nos aporta esto?La funcin P(t) tiene un valor mximo en 1225 y se alcanza cuando t= 15 das, ya que a< 0 (se abre hacia abajo). Esta funcin tiene su vrtice en este punto, luego del cual toma valores menores.

Utilizando la ecuacin cuadrtica:

Un agricultor tiene un terreno de lmites irregulares. l necesita cercar parte de su sitio para sembrado, de modo que este terreno sea cuadrado y que su rea sea igual a 552,25 metros cuadrados Cmo podra el agricultor saber cunto debe medir el lado del cuadrado?

SI hacemos un bosquejo de la situacin y escribimos los datos dados, tendremos que:

552,25 m2

Siempre es bueno plantear de manera visual el problema, al hacer los anlisis necesarios, y teniendo en cuenta que el rea de un cuadrado es la multiplicacin de sus lados, el planteamiento nos conduce a: con lo cual el lado del cuadrado debe medir 23,5 m.Comment by Silvia Baldivieso: Muy bien.9 de 9.

5- Anticipar como se puede discutir y evaluar crticamente la validez de las ideas contenidas en el modelo.

En el desarrollo de esta unidad, se tiene el objetivo de estudiar la funcin cuadrtica y que el estudiante pueda asociarla a la resolucin de una ecuacin cuadrtica en la medida que se buscan los puntos de corte de la funcin con el eje x. El estudiante deber comprender que una funcin cuadrtica modela varias situaciones cotidianas en los mbitos de la fsica, la construccin o las telecomunicaciones. No obstante es preciso indicar que se presentan a menudo errores en los estudiantes al momento de desarrollar problemas donde est involucrada la ecuacin cuadrtica, siendo algunos de ellos los indicados en el siguiente cuadroComment by Silvia Baldivieso: Falt un poco ms de desarrollo en las ideas y fundamentar con algn autor.7 de 9.

6-Evaluacin del aprendizaje de los contenidos.

Para este punto, es necesario aclarar que la evaluacin debe ser un proceso continuo que entregue informacin sobre el proceso de enseanza-aprendizaje tanto a cada estudiante como al docente. Entonces, existen diversos instrumentos de evaluacin que pueden ser utilizados en esta unidad, siendo algunos de ellos: Trabajos grupales formativos, evaluaciones sumativas, co evaluacin o actividades grupales e individuales de estudio.Recordar que el trabajo en grupo ayuda a la explicacin entre pares que, en muchas ocasiones resulta una buena estrategia de aprendizaje. Siguiendo esta idea, se puede formar los grupos de manera que en un grupo no queden todos los estudiantes con mayores habilidades y que el docente pueda entregarles retroalimentacin acerca de los posibles errores cometidos:

Un ejemplo de actividad o trabajo en grupo sera realizar lo siguiente:

Arnoldo est preparando su primer trabajo para el taller de diseo. Le han pedido que haga un collage sobre una madera de rea 900 cm2 con cuadraditos de colores de 22cm. La madera es un rectngulo, donde el largo y el ancho difieren en 80 cm. Cmopodr Arnoldo saber cuntos cuadraditos colocar a lo largo y a lo ancho?

Despus de un momento de nerviosismo, decidi, ingeniosamente, calcular los lados del rectngulo, para lo que hizo el siguiente bosquejo:

(x+40)(x40)=900x21600=900 / +1600x2 = 2500x = 50 x = -50

Si analizamos las respuestas, vemos que x = 50 no es solucin, porque una medida de longitud no puede ser negativa; por lo tanto, la solucin es x =50.Entonces, el largo ser 50 + 40, es decir, 90 cm, y el ancho ser 50 40, es decir, 10 cm.As, deber colocar 45 cuadraditos a lo largo y 5 a lo ancho.

Otra manera de resolver este problema, es pensar que el ancho del rectngulo es x y el largo es x+80

x(x+80)=900x2+ 80x=900 / -900x2 + 80x 900 = 0(x 10)(x + 90) = 0Entonces x = 10 y x = - 90

En este caso, -90 no puede ser solucin pues no existe una longitud negativa. Entonces la respuesta final debera ser que las medidas son 90 cm y 10 cm respectivamente. Comment by Silvia Baldivieso: Muy bien 9 de 9.Total: 59 puntos de 63 Nota: 6,5