Medidas de Desempeño Teoría de Colas

Investigación de Operaciones 2

Medida del performance de los sistemas de colas

El performance puede ser medido concentrándose - Los clientes en la cola- Los clientes en el sistema

Los períodos transitorios y estáticos complican el análisis del tiempo de atención.

Un período transitorio ocurre al inicio de la operación.- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución.

Un período estacionario sigue al período transitorio.- En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.

- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención efectiva.

l< m l< m1 +m2+…+mk l< km

Para un servidor Para k servidores Para k servidores con tasa se serv. mcada uno

Estado del sistema de colas

En principio el sistema está en un estado inicialSe supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación)Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.)Lo que interesa es el estado estable

Desempeño del sistema de colas

Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales:

1. El número de clientes que esperan en la cola

2. El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema

Medición del Rendimiento de las Colas

Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en

la cola2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el

sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).4. Número de clientes promedio en el sistema.5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío6. Factor de utilización del sistema7. Probabilidad de la presencia de un específico número de

clientes en el sistema.

Medida del performance en periodos estacionarios .

P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.L = número de clientes promedio en el sistema.Lq = número de clientes promedio en la cola.W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema.Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola.Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido.

r = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).

Medidas del desempeño del sistema de colas

1. Número esperado de clientes en la cola Lq

2. Número esperado de clientes en el sistema Ls

3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq

4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales

ml

ll

m

+

+

qs

qq

ss

qs

LL

WLWL

WW 1

Formulas

- Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq.

- Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:

* Sistemas de colas simples* Los clientes llegan según una tasa finita de llegada* El sistema opera bajo las condiciones de períodos

estacionarios. L = l W Lq = l Wq L = Lq + l / m

Para el caso de una población infinita.

Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo

Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por horaSe tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por horaSe sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo

La tasa media de llegadas l es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minutoLa tasa media de servicio m es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo

clientesWLclientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.03475.0

min41131

min3

++

ll

m

Medidas del desempeño del sistema de colas: ejercicio

Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por horaSe tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por horaSe sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la colaCalcule las medidas de desempeño del sistema

Probabilidades como medidas del desempeñoBeneficios:

–Permiten evaluar escenarios–Permite establecer metasNotación:–Pn : probabilidad de tener n clientes en

el sistema–P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas

Factor de utilización del sistemaDada la tasa media de llegadas l y la tasa media de servicio m, se define el factor de utilización del sistema r. Generalmente se requiere que r < 1Su fórmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es:

mlr

mlr

s

Factor de utilización del sistema - ejemplo

Con base en los datos del ejemplo anterior, l = 0.75, m = 1El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es

r = l/m = 0.75/1 = 0.75 = 75%Con dos servidores (s = 2):r = l/sm = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%