Mximo y mnimo de Derivadas Parciales

I.-Definiciones:Para el presente informe, se debe tener en cuenta las siguientes definiciones.Punto Crtico: Corresponde a un punto interior del dominio de una funcin f(x,y) donde la Derivada Parcial df/dx y df/dy se anulan. Este punto crtico corresponde a (a,b).Punto Silla:La funcin derivable f(x,y) tiene un punto silla en un punto crtico (a,b) si en cada disco abierto con centro en (a,b) existen puntos del dominio (x,y) donde f(x,y) > f(a,b) y puntos del dominio (x,y) donde f(x,y) < f(a,b).El punto correspondiente (a,b,f(a,b)) sobre la superficie z=f(x,y) se llama punto silla de la superficie.

Mximo Local: f(a,b) es un valor mximo local de f si f(a,b) f(x,y) para todos los puntos (x,y) del dominio en un disco abierto con centro en (a,b).

Mnimo Local:f(a,b) es un valor mnimo local de f si f(a,b) f(x,y) para todos los puntos (x,y) del dominio en un disco abierto con centro en (a,b).

II.-Teorema a utilizar:El teorema a utilizar corresponde al Criterio de la segunda derivada para valores extremos locales:Suponiendo que las primeras y segundas derivadas parciales de f(x,y) son continuas, y que df/dx (a,b) = df/dy (a,b) = 0, entonces:

a) f tiene un mximo local en (a,b) si d2f/dx2 < 0 y d2f/dx2 * d2f/dy2 (d2f/dxdy)2 > 0 en (a,b)b) f tiene un mnimo local en (a,b) si d2f/dx2 > 0 y d2f/dx2 * d2f/dy2 (d2f/dxdy)2 > 0 en (a,b)c) f tiene un punto silla en (a,b) si d2f/dx2 * d2f/dy2 (d2f/dxdy)2 < 0 en (a,b)

III.-Aplicacin del Teorema

1. Determinar los valores extremos locales de las siguientes funciones

f(x,y) = x2 + xy + y2 +3x -3y +4

Solucin:

Paso 1:La funcin es derivable para todos los valores de x e y, por lo tanto la funcin tiene valores extremos slo en los puntos donde df/dx y df/dy se anulan, correspondiendo al punto crtico (a,b), el cual se calcular a continuacin:

df/dx(x,y)=2x + y + 3 = 0df/dy(x,y)=x + 2y - 3 = 0

Por lo tanto:x=-3y=3Punto crtico: (-3,3)

Paso 2:Una vez obtenido el punto crtico, se debe calcular d2f/dx2 , d2f/dy2 y d2f/dx2 * d2f/dy2 (d2f/dxdy)2 , para verificar los tres criterios del teorema.

d2f/dx2 = 2d2f/dy2 = 2d2f/dxdy = 1

d2f/dx2 * d2f/dy2 (d2f/dxdy)2 = (2)*(2) (1)2 = 3

Paso 3:Se analizan los datos para saber si corresponden a un mximo local, mnimo local o punto silla:d2f/dx2 = 2 , es > 0d2f/dx2 * d2f/dy2 (d2f/dxdy)2 = 3 , es > 0

Por lo tanto, y segn el punto b del teorema, la funcin f(x,y) = x2 + xy + y2 +3x -3y +4 tiene un mnimo local en (-3,3).

El valor de f en ese punto es:f(-3,3) = (-3)2 + (-3)*(3) + (3)2 + 3*(-3) 3*(3) + 4 = -5