Matriz jacobinana
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DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938 Página 1 de 4 TEMA: MATRIZ JACOBIANA SEMANA: 14 TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II MATRIZ JACOBIANA La matriz jacobiana: Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable. Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aun tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera F: : n m F continua, es decir (k) ( , ) n m F C se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal ( , ) n m tal que: 0 (F(x) F(y)) (x y) lim 0 x y x y …. (1) Función escalar: Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar : . n F En este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como: 1 (x) (x) (x) : F(x) n F F x x Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente. Función vectorial: Supongamos : n F es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales: (x ,...,x ), i i i n y F 1 (x) (F (x),..., F (x)) m y F Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F: 1 1 1 1 n m m n y y x x y y x x Esta matriz es notada de diversas maneras:
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E INGENIERÍA E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
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TEMA: MATRIZ JACOBIANA SEMANA: 14
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
MATRIZ JACOBIANA La matriz jacobiana: Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las
aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este
sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya
que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación
lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aun tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la
"matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera F: : n mF continua, es
decir (k) ( , )n mF C se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal ( , )n m tal que:
0
(F(x) F(y)) (x y)lim 0
x y x y
…. (1)
Función escalar: Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar : .nF En este caso la matriz
jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas
parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:
1
(x) (x)(x) : F(x)
n
F F
x x
Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es
precisamente el gradiente.
Función vectorial: Supongamos : nF es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio
euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:
(x ,..., x ),i i i ny F 1(x) (F (x),...,F (x))my F
Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser
organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:
1 1
1
1
n
m m
n
y y
x x
y y
x x
Esta matriz es notada de diversas maneras:
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(y , , y )(x , , x ), o
(x , , x )
mF n
m
J
o 1 1(x , x ), o F(x , x )n nDF
Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función ,iy para 𝑖 = 1, . . . , 𝑚.
Si p es un punto de n
y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por (p).pJ En este caso, la aplicación
lineal descrita por (p)pJ es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:
(x) F(p) (p)(x p)FF J
para x cerca de p. O con mayor precisión:
0
(F(x) F(p)) (p)(x )lim 0
F
x p
J p
x p
En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita, formados por funciones, puede generalizarse el concepto de
matriz jacobiana definiendo una aplicación lineal jacobiana.
Ejemplos
01. La matriz jacobiana de la función 3 3:F definida como:
2
1 2 3 1 3 2 3(x , x , x ) (x ,5x ,4 x 2 x )F
Es
1 2 3
2
1 0 0
(x , x , x ) 0 0 5
0 8 2
FJ
x
No siempre la matriz jacobiana es cuadrada.
02. Supóngase la función 3 4: ,F
cuyas componentes son:
1
1
1y
x
2 35y x
2
3 2 34 2y x x
4 3 1(x )y x sen
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Aplicando la definición de matriz jacobiana:
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 2 3
3 3 3
1 2 3
4 4 4
1 2 3
(x , x , x )F
y y y
x x x
y y y
x x xJ
y y y
x x x
y y y
x x x
2
1
2
3 1 1
10 0
0 0 5
.
0 8 2
cos(x ) 0 (x )
x
x
x sen
DETERMINANTE JACOBIANO
Si 𝑚 = 𝑛, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana
es cuadrada y podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.
El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese
punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún,
el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.
01. El determinante jacobiano de la función 3 3:F definida como:
2
1 2 3 2 1 2 3 2 3(x , x , x ) (5x ,4 x 2sen(x x ), x x )F
es:
1 2 3 1 3 2 3 2 2 3
3 2
0 5 0
(x , x , x ) 8 2 cos(x x ) 2 cos(x x )
0
J x x x
x x
1 2 2 3
1 2
2
8 2 cos(x x )5 40
0
x xx x
x
teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá
donde 1 0x ó 2 0x (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto
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pequeño centrado en el punto (1, 1, 1 ) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más
voluminoso que el original.
02. Cambiando un poco la función anterior por ésta:
2
1 2 3 2 1 2 3 1(x , x , x ) (5x , 4 x 2 (x x ), x )F sen
El determinante jacobiano quedará:
1 2 3 1 3 2 3 2 2 3
0 5 0
(x , x , x ) 8 2 cos(x x ) 2 cos(x x )
1 0 0
J x x x
1 2 2 3
2 2 3
8 2 cos(x x )5 10 cos(x x ).
1 0
x xx
En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado 2 0,x y por otro:
2 3 2 3cos(x x ) 0 x x (2 k 1)2
con 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
Invertibilidad y jacobiano Una propiedad interesante del jacobiano es que cuando éste es diferente de cero en el entorno
de un punto dado, entonces el teorema de la función inversa garantiza que la función admite una función inversa
alrededor de dicho punto.
El teorema anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya que por ejemplo la
función 3(x) xf tiene por jacobiano
2(x) 3xJ que se anula en el punto 0,x aunque alrededor de ese punto la
función sigue teniendo inversa
1
1 3(x) (x) x ,g f aun cuando el jacobiano es nulo en el origen.
Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.
Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”, Harla, sexta edición, 1992.
Referencias
http://www.ub.edu/glossarimateco/category/matem%C3%A1ticas-para-economia-y-empresa-i/funciones/derivada
https://www.luna.ovh/planeta/es/Jacobiano
