LGEBRA SUPERIOR

Tercera investigacinMatriz de cofactores

Qu es una matriz de cofactores?Una matriz de cofactores es una matriz donde cada elemento es un determinante, en la cual cada elemento aij es reemplazado por su cofactor lcijl. Cofactor de un componenteEl cofactor de un componente aij denotado por cij est definido por:

En otras palabras, el cofactor del componente cij es el menor Mij con signo prefijado (-1)i+j. Por ejemplo, para el caso de una matriz 3x3:

Menor de un componenteSi A es una matriz cuadrada de orden nxn, entonces el menor del elemento cij se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz (n-1)(n-1) de A la cual se forma suprimiendo todos los elementos de la fila i y todos los elementos de la columna j.Una matriz adjunta es la traspuesta de una matriz de cofactores. Para el caso de una matriz:

Cmo se produce una matriz de cofactores?Para calcular la matriz de cofactores se tienen que obtener los cofactores de la matriz inicial para posteriormente trazar una nueva matriz con esos elementos, siempre respetando las posiciones de cada factor.Matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto. El adjunto de un elemento aij es el valor del determinante que se obtiene de eliminar la fila y la columna en que se haya dicho elemento (menor complementario) multiplicando por el signo correspondiente a su posicin, segn la regla de los signos o aplicando la expresin (-1)i+j. La matriz adjunta se representa por A* y se forma a partir de una matriz cuadrada. Qu usos se le pueden dar a la matriz de cofactores?Clculo de la matriz inversaDada la matriz cuadrada A, su inversa ser igual a la expresin: La cul es fcil probarla ya que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sera el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas.)Solucin de sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l)Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incgnitas de la forma:

Donde aj son los coeficientes, xi las incgnitas, y bi son los trminos independientes. El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse AmxnXnx1=bmx1, donde la matriz A se denomina matriz de coeficientes. Tambin se usar la matriz ampliada, que se representa por A, que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos aadido la columna del trmino independiente:

Bibliografa:Carlos, Orihuela. Matemticas para economistas, Per, 2009, P.p. 37-41.Nuria, Lucena. Larousse. Diccionario esencial de matemticas, Larousse, Mxico, 2009, pag.232.Cynthia Nadiezdha Cornejo del ValGrupo: K3 de octubre del 2013