Matrices.

A=[aij]

A-Nombre de la matriz.

a-Número.

i-Renglón.

j-Columna.

i×j-Orden de la matriz.

Elementos de una matriz.

Columnas.

Renglón.

Ejercicio.

• Indica el orden de la matriz.

• Indica el valor de los elementos.

a21=

a22=

a33=

a43=

a34=

a13=

Diagonal Principal.

• La matriz tiene que ser cuadrada.

• En ella se encuentran:

a11

a22

a33

ann

Diagonal principal.

Tipos de matrices.

Matriz cuadrada.

• Tiene el mismo número de renglones y

columnas.

i=j=n

2×2

De orden 2

3×3

De orden 3

Matriz renglón.

• Solo hay filas.

• Matriz de orden 1×n.

De orden 1×4

Matriz columna.

• Solo hay columnas.

• Matriz de orden n×1

B= De orden 3×1

Matriz escalar.

A=[3]

A=3 De orden 1×1

• De orden 1×1

• Solo es un número.

• Se quitan corchetes.

Matriz cero.

• Todos los elemntos son cero.

Matriz diagonal.

• Matriz cuadrada.

• De orden "n".

• Diagonal principal es diferente a cero.

Matriz identidad.

• Matriz diagonal.

• De orden "n".

• Elementos distintos de cero son 1.

Se denota como In # de orden identidad.

Matriz triangular superior.

• Matriz cuadrada.

• De orden "n".

• i>j

• Los elementos son cero abajo de la diagonal principal.

A=

Matriz triangular inferior.

• Matriz cuadrada.

• De orden "n".

• i<j

• Los elementos son cero arriba de la diagonal principal.

A=

Matriz simétrica.

• Matriz cuadrada.

• De orden "n".

• Los elementos aij=aji .

Matrices iguales.

Son iguales.

• Tienen el mismo orden.

• Sus elementos son iguales.

Ejercicios. Determina los siguientes valores.

Operaciones con

matrices.

Multiplicación o división por un

escalar. • Normal:

A=[aij]

• Multiplicado por un escalar (x):

xA=[xaij]

• Dividiendo por un escalar (x):

A/2=[aij/2]

• Cada elemento de la matriz se

multiplica o divide por el

escalar.

Escalar.

Ejercicios.

• Determina.

5A=

B/2=

-C=

Suma o resta.

• Solo pueden sumarse o restarse si tienen el

mismo orden.

• Se hace sumando o restando los elementos

correspondientes.

Ejercicios.

• A+B=

• A-B=

• 2A-B/2=

Ecuaciones.

Multiplicación de matrices.

• El número de columnas

de la matriz A debe ser

igual al número de

renglones de la matriz B.

A×B=C

A=[aij] de orden m×n

B=[bij] de orden n×p

C=[cij] de orden m×p

Ejercicios.

A³= B²=

AB=

Ecuaciones de 2 o más

variables. Forma normal.

2x+3y=7

3x-y=5

Con matrices.

•Se obtiene buscando convertir

esa matriz a matriz identidad.

11x=22

X=22/11

X=2

3(2)-y=5

y=1

Método de Gauss-Jordan.

1.-Tomas la primera columna.

2.-Buscas convertir el uno.

Tienes dividir todo el renglón entre el

número que deseas convertir en uno.

3.-Buscas convertir los ceros

Tienes que multiplicar el renglón en

donde ya hay un uno por el número que

quieres convertir en cero cambiándole el

signo y se lo sumas a todo el renglón en

donde está el cero.

4.-Tomas la segunda columna

5.-Buscas convertir el uno

6.-Buscas convertir los ceros

7.-Sigues hasta acabar con la matriz y

convertirla en identidad.

R1÷2

R1(-3)+R2

R2(-11/2)

R2(-3/2)+R1

Matriz identidad: X

Y

Ejercicios.

p-q+r-s=3

p+q+r+s+5=0

p-3q=r+s+9

1+p+q-r+s=0

Si da:

Infinito de puntos.

No tiene solución.

Matriz inversa.

• Al multiplicarla la matriz original por la matriz identidad

se crea la inversa.

R1(-2)+R2

R2÷7

Ejercicios.

Determinante de una matriz.

2×2.

• Este método solo sirve para matrices de orden 2

Método de Sarrus.

1.-Copia los dos primeros renglones

abajo.

2.-Se empieza desde la diagonal

principal.

3.-Hasta acabar con las diagonales.

4.-Y luego de derecha a izquierda

hasta acabar con las diagonales.

• (6)(-4)(7)= -168

• (-3)(5)(-6)= 90

• (2)(1)(8)= 16

= -62

• (-6)(-4)(2)= 48

• (8)(5)(6)= 240

• (7)(1)(-3)= -21

= 267

-62-267= -329

Método de cofactores.

• Tomas el primer renglón y el primer numero de la columna.

• Dejas un determinante vacío .

• Primer renglón segunda columna ( pones el signo que le toca ).

• Determinante vacía.

• …

• Eliminando el primer renglón y el numero en donde lo tomas y copias

la matriz en la determinante vacía.

• …

• Resuelves.

+ - + - + -

- + - + - +

+ - + - + -

- + - + - +

+ - + - + -

- + - + - +

Ejercicios.

Solución de ecuaciones.

Utilizando determinantes.

Regla de Cramer. Para resolver el siguiente sistema

6x-y=-2

-3x+2y=7

Se crea una matriz con los coeficientes de las variables ordenadas

Y se obtiene el determinante

Se crean tantas matrices adicionales como variables vaya

sustituyendo las columnas de la variable correspondiente por los

términos independientes

6 -1

A= -3 2

A = 12-3=9

-2 -1

Ax = 7 2

Variable x y columna x

sustituidas

Se obtiene el

determinante

Ax = -4+7 = 3

6 -2

Ay = -3 7 Ay = 42-6= 36

Se dividen los determinantes de la siguiente forma para obtener el valor de

las variables

Ax Ay

X= A y= A

3 1 36

X= 9 = 3 y= 9 = 9

Comprobación

1

6 3 - 4 = -2

1

3 3 +2(4) =7

A través de la matriz inversa

6x – y = -2

-3x + 2y = 7

6 -1 x -2

-3 2 y 7

A X = C

A-1 Ax = A-1C

Ix = A-1C

x = A-1C

6 -1 1 0 R1÷6

A= -3 2 0 1

1 -1/6 1/6 0

-3 2 0 1 R1(3)+R2

1 -1/6 1/6 0

0 3/2 1/2 1 R2 (2/3)

1 -1/6 1/6 0 R2(1/6)+R1

0 1 1/3 2/3

1 0 2/9 1/9

0 1 1/3 2/3

Matriz inversa a través de la

matriz adjunta y el determinante

1

A-1 = A adj A

matriz transpuesta

t

adj A = Ac

Matriz adjunta matriz de cofactores

Obtenga B-1

Usando la adjunta y B

2 1

B = 4 6

bc11 = +(2)

B = 8 bc12 = -(1)

bc13 = -(4)

bc22 = +(6)

+ -

Bc = - + 6 1

adj B= -4 2

6 -4 cambias

Bc = -1 2

1 6 -1

B-1= 8 -4 2

Obtenga las matrices inversas usando adjuntas y determinantes

-3 2

C= 9 -6

C = 0

1 2 3

D= 4 4 6

3 2 3

D = 0