Solución de un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas aplicando la Regla De Cramer

La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes.

Ejemplo:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

Para resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer:

Paso 1:Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos

Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x, y y de z, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:

De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4

Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x, y y z.

Esta expresión es una determinante de tercer orden porque tiene tres filas y tres columnas.

Paso 2 :Resolver la determinante del sistema ( )El valor de una determinante de tercer orden se halla aplicando la Regla de Sarrus.

2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.

Se multiplican entre si los tres números por que pasan las diagonales principales y secundarias 2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Diagonales Principales

Diagonales Secundarias

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 4 = 2 6 8 = - 48 + 72 + 96

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Los productos de los números que hay en las diagonales principales se escriben con su propio signo.

Se multiplican los términos de las diagonales secundarias.

2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Los productos de los números que hay en las diagonales secundarias se escriben con el signo cambiado.

2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Finalmente se efectúa la operación correspondiente.

24 -120

-96

Siendo éste el valor de la determinante de todo el sistema.

Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos

La determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones.

De esta manera nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

3 3 4 = 5 6 8

4 9 -4

En este caso los coeficientes de x fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 4 :Resolver

3 3 4 = 5 6 8 = - 72 + 180 + 96

4 9 -4

3 3 4

5 6 8

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60

4 9 -4

3 3 4

5 6 8

Luego se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60

4 9 -4

3 3 4

5 6 8

108 - 156

- 48

Se realiza la operación la cual dio como resultado -48 que será el valor de la determinante de x.

Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos

La determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones.

De esta manera nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2 3 4 = 2 5 8

4 4 -4

Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 6 :Resolver

2 3 4 = 2 5 8 = - 40 + 32 + 96

4 4 -4

2 3 4

2 5 8

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24

4 4 -4

2 3 4

2 5 8

Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24

4 4 -4

2 3 4

2 5 8

- 8 +16 - 40

8 - 40

- 32

Se realiza la operación la cual dio como resultado – 32 el cual será el valor de la determinante de y.

Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos

La determinante de z equivale a colocar en la columna de los coeficientes de z los términos independientes de las ecuaciones.

De esta manera nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2 3 3 = 2 6 5

4 9 4

Aquí los coeficientes de z fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 8 :Resolver

2 3 3 = 2 6 5 = 48 + 54 + 60

4 9 4

2 3 3

2 6 5

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24

4 9 4

2 3 3

2 6 5

Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24

4 9 4

2 3 3

2 6 5

102 -12 - 114

102 - 126- 24

Se realiza la operación la cual dio como resultado –24 el cual será el valor de la determinante de z.

Paso 9:Hallar el valor de x.

El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).

Es decir

De esta manera

=

Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

= Siendo éste el valor de x.

Paso 10:Hallar el valor de y.

El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).

Es decir

De esta manera

=

Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

= Siendo éste el valor de y.

Paso 11:Hallar el valor de z.

El valor de z se obtiene dividendo el valor de la determinante de z ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).

Es decir

De esta manera

=

Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

= Siendo éste el valor de z.

Paso 12:Reemplazar los valores de x,y y z en la primera ecuación del sistema.

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2( )+3( )+4( )

1 + 1 + 1 = 3

Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Paso 13:Reemplazar los valores de x,y y z en la segunda ecuación del sistema.

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2( )+6( )+8( )

1 + 2 + 2 = 5

Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Paso 14:Reemplazar los valores de x,y y z en la tercera ecuación del sistema.

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( )

2 + 3 - 1= 4

Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x, y y z satisfacen todas las ecuaciones

Por lo tanto para el sistema

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

La solución es:

x = y =

z =