Regla de cramer o método por determinantes

Regla de Cramer o método

por determinantesG. Edgar Mata Ortiz

Sistemas de ecuaciones

lineales

• Una ecuación lineal se caracteriza porque

sus incógnitas están elevadas a una

potencia unitaria.

• No contiene funciones trascendentes como

logaritmo, seno o coseno, entre otras.

• Un sistema de ecuaciones lineales consta de

dos o más ecuaciones, generalmente con el

mismo número de incógnitas.

Solución de un Sistemas de

ecuaciones lineales

• La solución de un sistema de ecuaciones

lineales está formada por los valores de las

incógnitas que, al mismo tiempo, hacen

verdaderas a todas las ecuaciones que

forman el sistema.

• Se puede comprobar si la solución obtenida

es correcta sustituyendo los valores

obtenidos en todas las ecuaciones: Si se

obtienen identidades, la solución es correcta.


ecuaciones lineales

• No todos los sistemas de ecuaciones tiene

solución, y cuando la tienen, no siempre es

solución única.

• Existen diferentes métodos de solución de

sistemas de ecuaciones lineales:

– Método gráfico

– Métodos algebraicos

– Métodos lineales


ecuaciones lineales

• A veces es preferible un método de solución,

en otras ocasiones no es posible emplear

algún método en particular, por ello, es

necesario conocer diferentes métodos y

elegir el que mejor responde a las

necesidades específicas de cada problema.

• En este material estudiaremos el método de

Cramer o método por determinantes.

3

3

3

4

1 2

4

2

2

Método de Cramer

• El método de Cramer puede resultar

laborioso, pero tiene la ventaja de que es

mecánico y repetitivo, por lo que es

relativamente fácil de aprender y de

automatizar con la ayuda de una

computadora.

3

3

3

4

1 2

4

2

2

3

3

3

4

1 2

4

2

2

Método de Cramer

• Un ejemplo de resolución de un sistema de

dos ecuaciones con dos incógnitas por el

método de Cramer, automatizado con Excel

se encuentra en el siguiente enlace:

http://licmata-math.blogspot.mx/2012/10/metodo-de-cramer-determinantes-en-excel.html

- 3 + 2 x = + 2.00

- 2 + 5

y = + 1.00

Ecuación 1: - 3 x + 2 y = - 4 Dx = - 4 + 2 = - 20 - 2 = - 22

Ecuación 2: - 2 x + 5 y = + 1 + 1 + 5

Dy = - 3 - 4 = - 3 - 8 = - 11

- 2 + 1

Método de Cramer.

- 11Sisyema de dos ecuaciones con

dos incógnitas.DP = = - 15 + 4 =

http://licmata-math.blogspot.mx/2012/10/metodo-de-cramer-determinantes-en-excel.html

Método de Cramer

• La mejor forma de aprender estos métodos

es a partir de ejemplos.

• En las siguientes diapositivas se irá

desarrollando el procedimiento, paso a paso,

para resolver un sistema de tres ecuaciones

con tres incógnitas por el método de Cramer

o por determinantes.

Ejemplo:Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18

+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11

- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17

• Los coeficientes de las incógnitas se

convierten en el determinante principal

del sistema.

Ejemplo:Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18

+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11

- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17+ 3 - 6 + 9

DP = + 2 - 4 + 5

- 3 - 4 + 6

2. Calcular el valor del DP

• Existen varias formas de calcular el

determinante principal, una de ellas consiste

en agregar, a la derecha, las dos primeras

columnas del mismo determinante.

+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6

DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4

- 3 - 4 + 6 - 3 - 4


+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6

DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4

- 3 - 4 + 6 - 3 - 4- 72 + 90 - 72

• Ahora se multiplica, en diagonal, como se

muestra en la figura.


+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6

DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4

- 3 - 4 + 6 - 3 - 4- 108 + 60 + 72

• Nuevamente se multiplica en diagonal, y

se cambia el signo a los resultados.


+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6

DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4

- 3 - 4 + 6 - 3 - 4- 108 + 60 + 72 - 72 + 90 - 72

DP = -30

• Finalmente se suman algebraicamente los

seis resultados de las multiplicaciones.

3. Determinante para x1 (Dx1)

+ 18 - 6 + 9

Dx1 = + 11 - 4 + 5

+ 17 - 4 + 6

• El determinante para x1 es como el determinante principal, pero se cambia la primera columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.

+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18

+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11

- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17

+ 18 - 6 + 9 + 18 - 6

Dx1 = + 11 - 4 + 5 + 11 - 4

+ 17 - 4 + 6 + 17 - 4

4. Calcular el valor del Dx1

• Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres

de ellas) y se suman los seis resultados anteriores

Dx1 =


• Es como el determinante principal, pero se cambia la segunda columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.

+ 3 + 18 + 9

Dx2 = + 2 + 11 + 5

- 3 + 17 + 6

+ 3 + 18 + 9 + 3 + 18

Dx2 = + 2 + 11 + 5 + 2 + 11

- 3 + 17 + 6 - 3 + 17




Dx2 =


• Es como el determinante principal, pero se cambia la tercera columna,

anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.

+ 3 - 6 + 18

Dx3 = + 2 - 4 + 11

- 3 - 4 + 17

+ 3 - 6 + 18 + 3 - 6

Dx3 = + 2 - 4 + 11 + 2 - 4

- 3 - 4 + 17 - 3 - 4




Dx3 =

Resultados de los

determinantes

DP = -30

Dx1 = +30

Dx2 = +60

Dx3 = -30

+ 3 - 6 + 9

DP = + 2 - 4 + 5

- 3 - 4 + 6

+ 18 - 6 + 9

Dx1 = + 11 - 4 + 5

+ 17 - 4 + 6

+ 3 + 18 + 9

Dx2 = + 2 + 11 + 5

- 3 + 17 + 6

+ 3 - 6 + 18

Dx3 = + 2 - 4 + 11

- 3 - 4 + 17

Valores de las incógnitas

Se obtienen dividiendo cada

determinante de x1, x2 y x3

entre el determinante

principal:

11

22

33

x

P

x

P

x

P

Dx

D

Dx

D

Dx

D

Valores de las incógnitas

11

22

33

x

P

x

P

x

P

Dx

D

Dx

D

Dx

D

1 1

2 2

3 3

301

30

602

30

301

30

x x

x x

x x

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