Instituto Leonardo Bravo, A. C.

Maestría en Administración de Empresas

  Método de Determinantes

Regla de Cramer 3X3Método de Sarrus 3X3

El método de determinantes es también conocido como método de Cramer.

METODO DE DETEMINANTES

Matemático Suizo quien nació en Ginebra (31-julio-1704 -  4 –enero-1752). (1724-1727) Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra.1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad.

Su obra fundamental fue la “Introduction à l’analyse des courbes algébriques” (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión:

Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas.

REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es un teorema en algebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

• El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

• El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

En primer lugar debemos hallar la matriz ampliada, la cual está asociada al sistema de ecuaciones. Esto quiere decir que la primera columna estará formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones. Por otro lado la segunda columna estará formada por los coeficientes de la segunda incógnita. De esta forma llegaremos a la última de las columnas que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

Después de realizar esto podemos calcular el determinante de A. Aplicamos la regla de Cramer que consiste en primer lugar en ir sustituyendo la primera columna del determinante (A) por los términos independientes. Posteriormente se dividirán los resultados de dicho determinante entre el determinante (A) para hallar así el valor de la incógnita primera. Si continuamos sustituyendo los términos independientes en las diferentes columnas terminaremos hallando las incógnitas restantes.

EJEMPLO APLICADO: Para calcular este tipo de sistemas es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Se cambia el sistema de ecuaciones 3x3 a la matriz de coeficientes:

2. El siguiente paso es hallar los valores de X, Y y Z: para eso sacamos 4 determinantes:

Determinantes del sistema = Det (A) Determinante de X = Det ( A1) Determinante de Y = Det (A2) Determinante de Z = Det (A3)

Para obtener el determinante del sistema se toma la matriz y le aumentamos dos filas más con los coeficientes de las primeras dos filas y comenzamos a multiplicar:

Se multiplica en diagonal de derecha a izquierda y viceversa = [-1 + 6 + 4] – [-1+ - 6 + - 4] = [9] – [-11] = 9 + 11 = 20

3. El siguiente paso es sacar los determinantes de las variables:

Para sacar el determinante de X remplazamos los coeficientes de la columna de X por los términos independientes:

Para hallar el Determinante de (A1) se hace igual que al determinante (A):

= [-5 + -3 + 0] – [0 +-30 + 2] = [-8] – [-28]

= -8 + 28 = 20

Para obtener el determinante de Y remplazamos los coeficientes de la columna de Y por los valores de igualación, como en el determinante anterior:

= [-1 + 0 + -10] – [-1 + 0 +10] = [-11]-[9] = -11 - 9 = -20

Para hallar el determinante de Z se remplaza la columna de Z por el coeficiente de igualación como lo hemos hecho anteriormente:

= [0 +30 +2] - [-5 + -3 + 0] = [32] – [-8] = 32 + 8 = 40 Utilizamos la fórmula:

X = 20/20 = 1 Y = -20/20 = -1 Z = 40/20 = 2 Los valores de las variables son:

X = 1 Y = -1 Z= 2

MÉTODO DE SARRUS PARA ECUACIONES DE

3X3

LA REGLA DE SARRUS ES UN MÉTODO FÁCIL PARA MEMORIZAR Y CALCULAR UN DETERMINANTE 3×3. RECIBE SU NOMBRE DEL MATEMÁTICO FRANCÉS PIERRE FRÉDÉRIC SARRUS, QUE LA INTRODUJO EN EL ARTÍCULO «NOUVELLES MÉTHODES POUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS», PUBLICADO EN ESTRASBURGO EN 1833. CONSIDÉRESE LA MATRIZ DE 3×3:

Sea una ecuación de 3x3 de la forma:

|𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3|

Hallamos el determinante de cualquiera de las incógnitas en este caso para x |𝑑1 𝑏1 𝑐1

𝑑2 𝑏2 𝑐2𝑑3 𝑏3 𝑐3|

X=

Resolvemos el numerador de la siguiente forma:

|𝑑1 𝑏1 𝑐1𝑑2 𝑏2 𝑐2𝑑3 𝑏3 𝑐3|

|𝑑1 𝑏1 𝑐 1𝑑2 𝑏2 𝑐 2|

X= d1*b2*c3+d2*b3*c1+d3*b1*c2 – (d3*b2*c1) -(d1*b3*c2) - (d2*b1*c3)

Como hallaremos “x” los valores de “x” en este caso “a”, serán remplazadas por los valores de la igualdad de la ecuación en este caso las posiciones de “d”

Resolvemos el denominador de la misma forma:

|a1 𝑏1 𝑐1a2 𝑏2 𝑐2a3 𝑏3 𝑐3|

|a1 𝑏1 𝑐1a2 𝑏2 𝑐2|

X= a1*b2*c3+a2*b3*c1+a3*b1*c2 – (a3*b2*c1) -(a1*b3*c2) - (a2*b1*c3)

Luego resolvemos las demás incógnitas de la misma forma.Recordar que al remplazar “y” y los valores de “y” en este caso “b”, serán remplazadas por los valores de la igualdad de la ecuación en este caso las posiciones de “d”, y así mismo para los valores de “z”

EJEMPLO PRACTICO1. Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo?