7/18/2019 Matrices

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-56d4fc07570ec 1/4

UNCa – Facultad de Ciencias Agrarias

Dpto. Ciencias Básicas – Matemática I y II

 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3. O!"ACION!# CON MA$"IC!#

#UMA

Sean Am%n y Bm%n dos matrices equidimensionales.Si A & 'ai() y B & '*i(); entonces, existe una matriz Cm%n tal que:

C & A + B⇔

 ci( & ai( + *i(  i,(

La suma de matrices goza de las propiedades conmutativa y asociativa y tiene elemento neutro (la

matriz nula).

A + B & B + A'A +B) + C & A + 'B + C)A + - & - + A & -

Para toda matriz A & 'ai(), se define su matriz opuestaA & 'ai() tal que:

A + 'A) & -

"!#$A

Si dos matrices A y B son equidimensionales, entonces

A B & A + 'B).

sea que, para restar de A la matriz B, !asta con sumar a A la opuesta de B.

La resta de matrices no es conmutativa. A B≠

 B A

MA$"I/ $"A#U!#$A D! UNA MA$"I/

"ada una matriz A cualquiera, se llama traspuesta de A, y se sim!oliza con At 

#$, a una matrizque tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A.

 At #%& ('i() ⇔ 0i( & a (i a (i∈ A

ropiedad1 el determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta.

| A|=| A| t  #

MU2$I2ICACION D! UNA MA$"I/ O" UN !#CA2A" 

Para multiplicar una matriz A por un escalar   cualquiera, !asta multiplicar cada elemento de A

 por el escalar   .

7/18/2019 Matrices

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-56d4fc07570ec 2/4

A & 'ai() ∧  ∈

"⇒

  .A & '.ai()

MU2$I2ICACION D! MA$"IC!#

Si una matriz A  es conforma!le con otra matriz B, entonces existe una matriz C  llamada

producto de A por B que cumple con la siguientede4inici5n:

  A & 'ai() ∧ B & '*i(), C & 'ci() tal 6ue

  A % B & C ⇔  ba=c kjik 

n

=1k 

ij   ∑  , i,(.

"e esta definicin se deduce que, si el orden de A es mxn y el de B es mxp, el de C es mxp, esdecir que la matriz producto tiene como n*mero de filas el de A, y como n*mero de columnas el

de B.

NO CONMU$A$I7IDAD D! 2A MU2$I2ICACION D! MA$"IC!#

+n general, la multiplicacin de matrices no es conmutativa.

A . B≠

 B . A

Por ello, al multiplicar matrices se de!e acer una clara distincin entre una multiplicacin aizquierda (o pre-multiplicacin) y una multiplicacin a dereca (o post-multiplicacin).

ABACO D! 2A MU2$I2ICACION D! MA$"IC!#

l efectuar una multiplicacin entre dos matrices y /, es pr0ctico utilizar un esquema (llamado0!aco de la multiplicacin) como el siguiente: 

B

  A A.B Por e1emplo, si A y B son tales que

aaa

aaa = A

232221

131211

  y

b

b

b

 = B

31

21

11

 ,

 para efectuar su multiplicacin es conveniente utilizar esta disposicin

 !22

 !#2

 !32

  a22 a2#a23 

a#2a##a#3

a22 !224a2# !#24a23 !32

a#2 !224a## !#24a#3 !32

7/18/2019 Matrices

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-56d4fc07570ec 3/4

 MA$"I/ N!U$"A !N 2A MU2$I2ICACION La matriz identidad In  es neutra en la multiplicacin de matrices, tanto por izquierda (pre-multiplicando) como por dereca (post-multiplicando).

s5, dada una matriz Am%n cualquiera, se cumple: Im.Am%n & Am%n Am%n.In & Am%n 

+1emplo: sea

 

3-3

25

1-2

 = A3x2

6esulta:

  A=

3-3

25

1-2

 =

3-3

25

1-2

 .

100

010

001

 = A. I  3x23x23

   A=

3-3

25

1-2

 = 

10

01 .

3-3

25

1-2

 = I . A 3x223x2

IN7!"#ION D! UNA MA$"I/

Sea A una matriz no singular de orden n. +xiste, asociada a ella, una matriz llamada 7la in8ersa

de A9, que se anota A: y que satisface la condicin:

A.A: & A:.A & In

donde In es la matriz identidad.

Se demuestra que, dada A, su matriz inversa A: se o!tiene efectuando las operaciones que seindican en la igualdad que sigue:

 )C ( .1

= At 

 A

 A

1-

∆,

donde ;A es el determinante de A y 'CA)t es la matriz de los co-factores de A, traspuesta.

+1emplo: sea

11-2-

111-

312

 = A ; se quiere calcular A:.

6esulta: ;A & < + '<) + 3 '=) '<) ':) & :<

dem0s:

2=(-1)-1=11-

11 = )aC(  11   1=(-2)-1-=

12-

11- = )aC(  12

3=(-2)-1=1-2-

11- = )aC(  13 4=(-3)-1=

11-

31 = )aC(  21

8=(-6)-2=12-

32 = )aC(  22 0=(-2)-2-=

1-2-

12 = )aC(  23  

7/18/2019 Matrices

http://slidepdf.com/reader/full/matrices-56d4fc07570ec 4/4

2-=3-1=11

31 = )aC(  31 5=(-3)-2=

11-

32 = )aC(  32  

3=(-1)-2=

11-

12 = )aC(  33

Por lo que

35-2-

084-

31-2

 =C  A  y

303

5-81-

2-4-2

 = )C ( t 

 A , de donde:

∆

4

10

4

1

12

5-

3

2

12

1-

6 

1-

3

1-

6 

1

 =

303

5-81-

2-4-2

.12

1 = )C .( 

1 = A

t 

 A

 A

1-

8erificacin: para verificar la validez de la matriz o!tenida, A se pre-multiplica y se post-multiplica por A:,de!iendo resultar, por definicin de matriz inversa, la matriz identidad I. +n efecto,

 I =

100

010

001

 =

410

41

12

5-

3

2

12

1-

6 

1-

3

1-

6 

1

 .

11-2-

111-

312

 = A A. 31-

 I =

100

010

001

 =

11-2-

111-

312

 .

4

10

4

1

12

5-

3

2

12

1-

6 

1-

3

1-

6 

1

 =.A A 31-

  .