Matrices II

Matrices iguales: dos matrices son iguales si son del mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales.

Por lo tanto, 𝑨 = 𝒃 𝒔𝒊 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋

Operaciones

Adición de matrices

Sean A y B matrices del mismo tamaño. La suma de 𝑨 +𝑩 es la matriz que se obtiene al sumar elementos

correspondientes de A y B. Esta matriz 𝑨 +𝑩 será del mismo tamaño que las matrices A y B. Si A y B no son del mismo tamaño, no se pueden sumar, y se dice que la suma no existe. 𝑠𝑖 𝑐 = 𝐴 +𝐵, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗+ 𝑏𝑖𝑗

Por ejemplo:

𝑠𝑒𝑎𝑛 𝐴 = (1 4 70 −2 3

) , 𝐵 = ( 2 5 −6−3 1 8

) , 𝐶 = (−5 4 2 7

) .𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝐴+ 𝐵 𝑦 𝐴+ 𝐶, 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎.

𝐴 +𝐵 = (1 4 70 −2 3

)+ ( 2 5 −6−3 1 8

) = (1+ 2 4+ 5 7− 60− 3 −2 + 1 3+ 8

) = ( 3 9 1−3 −1 11

) existe la suma y el

tamaño es igual al de las matrices originales.

A es una matriz de 2 x 3, mientras que C es una matriz de 2 x 2, A y C no son del mismo tamaño, por lo tanto A + C no existe.

Multiplicación de una matriz por un escalar

Sea A una matriz y c un escalar. El múltiplo escalar de A por c, que se denota cA, es la matriz que se obtiene al

multiplicar cada uno de los elementos de A por c. la matriz cA será del mismo tamañosque la matriz A.

𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐,𝒔𝒊 𝑩 = 𝒄 ∙ 𝑨,𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒃𝒊𝒋= 𝒄𝒂𝒊𝒋.

Por ejemplo:

𝑠𝑒𝑎 𝐴 = (1 −2 47 −3 0

) .𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 3 ∙ 𝐴.

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3𝐴 = 3 ∙ (1 −2 47 −3 0

) = (3 ∙ 1 3 ∙ (−2) 3 ∙ 43 ∙ 7 3 ∙ (−3) 3 ∙ 0

) = (3 −6 1221 −9 0

) observe que A y 3A son matrices de 2x3

Negación y sustracción de matrices

Se define –𝑪 como la matriz (−𝟏) ∙ 𝑪. Esto significa que para negar una matriz, se multiplica por (-1).

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝐶 = ( 1 0 −7−3 6 2

), − 𝐶 = (−1 0 7 3 −6 −2

)

Ahora definimos la sustracción de matrices de manera que sea compatible con la adición, la multiplicación escalar y la negación.

𝑠𝑒𝑎 𝑨−𝑩 = 𝑨+ (−𝟏)𝑩

Esta definición implica que la sustracción se lleva a cabo entre matrices del mismo tamaño, sustrayendo elementos correspondientes.

𝒂𝒔í, 𝒔𝒊 𝑪= 𝑨− 𝑩,𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝒋 −𝒃𝒊𝒋

Por ejemplo:

𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = (5 0 −23 6 −5

) 𝑦 𝐵 = (2 8 −10 4 6

) . 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐴−𝐵.

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 −𝐵 = (5 0 −23 6 −5

) − (2 8 −10 4 6

) = (5 − 2 0− 8 (−2)− (−1)3 − 0 6− 4 (−5)− 6

) = (3 −8 −13 2 −11

)

Multiplicación de matrices Consiste en multiplicar, de manera sistemática, las filas de la prmera matriz A por las columnas de la segunda matriz

B. Obteniendo la matriz producto 𝑨 ∙ 𝑩.

Sea el número de columnas en la matriz A, el mismo que el número de filas de una matriz B. Entonces existe el

Producto 𝑨 ∙ 𝑩. Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B, se dice que el producto no existe.

El elemento en la fila i y la columna j de 𝑨 ∙ 𝑩 se obtiene al multiplicar elementos correspondientes de la fila i de A y

de la columna j de B, y sumando los productos. 𝑠𝑒𝑎 𝑨 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝒏 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 𝑦 𝑩 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝒏 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔.𝐿𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝒊 𝑑𝑒 𝑨 𝑒𝑠 (𝒂𝒊𝟏 𝒂𝒊𝟐…𝒂𝒊𝒏) 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

𝒋 𝑑𝑒 𝐵 𝑒𝑠

(

𝒃𝟏𝒋𝒃𝟐𝒋⋮𝒃𝒏𝒋)

.𝑠𝑖 𝐶 = 𝐴 ∙𝐵, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒄𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝟏 ∙ 𝒃𝟏𝒋 + 𝒂𝒊𝟐 ∙ 𝒃𝟐𝒋 +⋯+𝒂𝒊𝒏 ∙ 𝒃𝒏𝒋.

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 =

(

𝑎11 … 𝑎1𝑗⋮𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑗

…

…

𝑎1𝑛⋮𝑎𝑖𝑛

𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑗 ⋯ 𝑎𝑚𝑛)

,𝑚 𝑥 𝑛 𝑦 𝐵 =

(

𝑏11 … 𝑏1𝑗⋮𝑏𝑖1 … 𝑏𝑖𝑗

…

…

𝑏1𝑝⋮𝑏𝑖𝑝

𝑏𝑛1 … 𝑏𝑛𝑗 ⋯ 𝑏𝑛𝑝)

, 𝑛 𝑥 𝑝

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶 =

(

𝑐11 … 𝑐1𝑗⋮𝑐𝑖1 … 𝑐𝑖𝑗

…

…

𝑐1𝑝⋮𝑐𝑖𝑝

𝑐𝑚1 … 𝑐𝑚𝑗 ⋯ 𝑐𝑚𝑝)

,𝑚 𝑥 𝑝

Entonces el producto 𝑨 ∙ 𝑩 resultará de multiplicar la fila i de la primera matriz, por la columna j de la segunda matriz para cada elemento 𝒄𝒊𝒋 de la matriz 𝑪.

Tamaño de la matriz producto Si 𝑨 es una matriz de 𝒎 𝒙 𝒏 y B es una matriz de 𝒏 𝒙 𝒑, entonces 𝑨 ∙ 𝑩 será una matriz de 𝒎 𝒙 𝒑

Por ejemplo:

𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝐴 = (1 32 0

) 𝑦 𝐵 = (5 0 13 −2 6

)

𝐴 ∙ 𝐵 = (1 32 0

) ∙ (5 0 13 −2 6

)

= ((1 3) (

53) (1 3)(

0−2) (1 3) (

16)

(2 0) (53) (2 0)(

0−2) (2 0) (

16))

1𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐵

2𝑑𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐵

= ((1 ∙ 5) + (3 ∙ 3) (1 ∙ 0) + (3 ∙ (−2)) (1 ∙ 1) + (3 ∙ 6)

(2 ∙ 5) + (0 ∙ 3) (2 ∙ 0) + (0 ∙ (−2)) (2 ∙ 1) + (0 ∙ 6)) = (

𝟏𝟒 −𝟔 𝟏𝟗𝟏𝟎 𝟎 𝟐

)

A diferencia de la multiplicación de números reales, la multiplicación de matrices no es conmutativa.

En general, para dos matrices A y B, 𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨. Algunas veces existen tanto 𝑨 ∙ 𝑩 como 𝑩 ∙ 𝑨, pero solo en raros casos son iguales.

Matriz nula:

Es una matriz en la que todos los elementos son ceros. 0𝑚𝑥𝑛 = (

00⋮0

00⋮0

…………

00⋮0

)

Matriz diagonal: Es la matriz en la que todos los elementos. Fuera de la diagonal principal, son ceros.

𝐴 = (

𝑎110⋮0

0𝑎12⋮0

…………

00⋮𝑎𝑛𝑛

)

En la teoría de matrices, las matrices cero juegan un papel semejante al del cero en los números reales, y las matrices identidad juegan un papel semejante al del 1.

Teorema

Sea A una matriz de m x n y 0mn la matriz cero de m x n. Sea B una matriz cuadrada de n x n, 0n e In las matrices cero e identidad de n x n. Entonces:

𝑨 + 𝟎𝒎𝒏 = 𝟎𝒎𝒏 + 𝑨 = 𝑨

𝑩 ∙ 𝟎𝒏 = 𝟎𝒏 ∙ 𝑩 = 𝟎𝒏

𝑩 ∙ 𝑰𝒏 = 𝑰𝒏 ∙ 𝑩 = 𝑩

Notación matricial y sistemas de ecuaciones La notación matricial es adecuada para expresar sistemas de ecuaciones.

𝑎11 ∙ 𝑥1 +⋯+ 𝑎1𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏1⋮ +⋯+ ⋮ ⋮

𝑎𝑚1 ∙ 𝑥1 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

𝐴 = (𝑎11 … 𝑎1𝑛⋮ … ⋮𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛

), 𝑋 = (𝑥1⋮𝑥𝑛

) 𝑦 𝐵 = (𝑏1⋮𝑏𝑛

)

Al hacer la multiplicación de matrices, el sistema de ecuaciones se escribe en la forma matricial:

𝑨𝑿 = 𝑩

Por ejemplo:

Propiedades de las operaciones con matrices: Sean A, B y C matrices y a, b y c escalares. Supongamos que las matrices son de tamaños tales que se puedan realizar las operaciones (se dicen que las matrices son conformes).

Propiedades de la adición de matrices y de la multiplicación por un escalar

1. 𝐴 +𝐵 = 𝐵+ 𝐴 propiedad conmutativa de la adición. 2. 𝐴 + (𝐵 +𝐶) = (𝐴 +𝐵)+ 𝐶 propiedad asociativa de la adición. 3. 𝐴 + 0 = 0 +𝐴 = 𝐴 (donde 0 es la matriz cero de tamaño adecuado) 4. 𝑐 ∙ (𝐴 +𝐵) = 𝑐 ∙ 𝐴 + 𝑐 ∙ 𝐵 propiedad distributiva de la adición. 5. (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝐶 = 𝑎 ∙ 𝐶 + 𝑏 ∙ 𝐶 propiedad distributiva de la adición. 6. (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝐶 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝐶) propiedad asociativa del producto por escalares.

Propiedad de la multiplicación de matrices

1. 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶) = (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 propiedad asociativa de la multiplicación. 2. 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 +𝐴 ∙𝐶 propiedad distributiva de la multiplicación. 3. (𝐵 + 𝐶) ∙ 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐴 + 𝐶 ∙ 𝐴 propiedad distributiva de la multiplicación. 4. 𝐴 ∙ 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 ∙ 𝐴 = 𝐴 (donde In es la matriz identidad adecuada). 5. 𝑐 ∙ (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝑐 ∙ 𝐴) ∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ (𝑐 ∙ 𝐵) propiedad asociativa del producto por escalares.

𝑛𝑜𝑡𝑎: 𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴, 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.

Potencia de una matriz

La notación usada para potencias de matrices es semejante a la usada para potencias de números reales. Si 𝑨 es una

matriz cuadrada, entonces 𝑨 multiplicada por si misma 𝒌 veces se escribe 𝑨𝒌.

𝑨𝒌 = 𝑨 ∙ 𝑨 ∙ 𝑨………. 𝑨⏟

𝒌 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

Teorema Si A es una matriz cuadrada de 𝑛 𝑥 𝑛 y r y s son enteros no negativos, entonces:

1) 𝐴𝑟 ∙ 𝐴𝑠 = 𝐴𝑟+𝑠 2) (𝐴𝑟)𝑠 = 𝐴𝑟∙𝑠 3) 𝐴0 = 𝐼𝑛 por definición.

Matriz traspuesta La traspuesta de una matriz 𝑨, denotada por 𝑨𝒕, es la matriz cuyas columnas son las filas de la matriz 𝑨 dada. La primera fila de 𝑨 se convierte en la primera columna de 𝑨𝒕, la segunda fila de 𝑨 se convierte en la segunda columna de 𝑨𝒕 y así sucesivamente. El elemento (𝒊, 𝒋) de 𝑨 se convierte en el elemento (𝒋, 𝒊) de 𝑨𝒕. Si 𝑨 es una matriz de 𝒎 𝒙 𝒏, 𝑨𝒕 es una matriz de 𝒏 𝒙 𝒎. Por ejemplo:

𝑠𝑖 𝐴 = ( 2 7−8 0

) 𝐵 = (1 2 −74 5 6

) 𝐶 = (−1 3 4)

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑡 = (2 −87 0

) 𝐵𝑡 = ( 1 4 2 5−7 6

) 𝐶𝑡 = (−1 3 4

)

Propiedades de la matriz traspuesta

1. (𝐴 +𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡+𝐵𝑡 traspuesta de una suma. 2. (𝑐 ∙ 𝐴)𝑡 = 𝑐 ∙ 𝐴𝑡 traspuesta de un múltiplo escalar. 3. (𝐴 ∙ 𝐵)𝑡= 𝐵𝑡 ∙ 𝐴𝑡 traspuesta de un producto. 4. (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴 traspuesta de una traspuesta.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz que es igual a su traspuesta. Las matrices siguienetes son ejemplos de matrices simétricas. Observe la simetría de las matrices respecto a la diagonal principal. Todos los elementos no diagonales se presentan en pares situados simétricamente respecto a la diagonal principal.

Matriz Inversa

Sea 𝑨 una matriz de 𝒏 𝒙 𝒏. Si se puede encontrar una matriz 𝑩 tal que 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝑨 = 𝑰𝒏, entonces se dice que 𝑨

es invertible, y a 𝑩 se la llama inversa de 𝑨. si no existe esta matriz 𝑩, entonces 𝑨 no tiene inversa.

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (1 23 4

) 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑎 𝐵 = (−2 1

3 2⁄ − 1 2⁄)

Teorema La inversa de una matriz invertible es única.

Demostración: sean 𝑩 y 𝑪 inversa de 𝑨. Entonces 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝑨 = 𝑰𝒏 𝒚 𝑨 ∙ 𝑪 = 𝑪 ∙ 𝑨 = 𝑰𝒏

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐼𝑛 𝐶 ∙ (𝐴 ∙𝐵) = 𝐶 ∙ 𝐼𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐶

(𝐶 ∙ 𝐴) ∙ 𝐵 = 𝐶 𝐼𝑛 ∙ 𝐵 = 𝐶 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝐶 𝑦 𝐴 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑠

𝐵 = 𝐶 Notación

𝑠𝑒𝑎 𝑨 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑨−𝟏.

𝐷𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑨 ∙ 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏 ∙ 𝑨 = 𝑰𝒏

Teorema

Sea 𝑨 ∙ 𝑿 = 𝑩 un sistema de 𝒏 ecuaciones con 𝒏 variables. Si existe 𝑨−𝟏, la solución es única y está dada por:

𝑿 = 𝑨−𝟏 ∙ 𝑩 Demostración:

Primero demostraremos que 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵 es solución:

Se tiene 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 , entonces reemplazamos 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵, quedando:

𝐴 ∙ (𝐴−1 ∙ 𝐵) = 𝐵 (𝐴 ∙ 𝐴−1) ∙ 𝐵 = 𝐵 𝐼𝑛 ∙ 𝐵 = 𝐵 𝐵 = 𝐵

𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵 Satisface la ecuación, por lo que es solución de la misma. Ahora probaremos que la solución es única, sea 𝑋1solución del sistema, entonces 𝐴 ∙ 𝑋1 = 𝐵, multiplicando ambos

lado de la ecuación por 𝐴−1 se obtiene:

𝐴−1 ∙ 𝐴 ∙ 𝑋1 = 𝐴−1 ∙ 𝐵

𝐼𝑛 ∙ 𝑋1 = 𝐴−1 ∙ 𝐵

𝑋1 = 𝐴−1 ∙ 𝐵

De manera que hay una única solución y es 𝑿𝟏 = 𝑨−𝟏 ∙ 𝑩

Propiedades de la matriz inversa Sean 𝐴 𝑦 𝐵 matrices invertibles, y 𝑐 un escalar distinto de cero. Entonces

1. (𝐴−1)−1= 𝐴

2. (𝑐 ∙ 𝐴)−1 =1

𝑐∙ 𝐴−1

3. (𝐴 ∙ 𝐵)−1= 𝐵−1 ∙ 𝐴−1 4. (𝐴𝑛)−1 = (𝐴−1)𝑛 5. (𝐴𝑡)−1 = (𝐴𝑡)−1

Falta el cálculo de la inversa antes de las propiedades está en la página 98.

Guía de actividades

Matriz traspuesta y simétrica:

Matriz inversa:

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