2. Enunciados Matrices-Ecuaciones

Unidad 1: Matrices. 0 0 2 , siendo A ! 0 2 0 2 0 2

Calcula A

2000

2 3 Dada la matriz A ! 0 1 ; a) Calcula A y A , b) Halla una ley n general para calcular A .

1 2

1 2 1 Dada la matriz A ! 2 0 1 , calcula, si existen las siguientes 6 1 0 matrices: a) Una matriz X tal que X A ! 0 1. b) Una matriz Y 1

Dada la matriz A ! 0 1 encontrar todas las matrices P ! c d tales que A P P A (PAU Junio 2005-06).0 a 0 n 0 0 a . Hallar A para todo numero entero 0 0 0

positivo n. 2 1 3 1 2 1

Dadas las matrices: A 0 3 , B 2 1 y C 3 1 comprueba las siguientes igualdades: a) A B C ! A B C ; b) A B C ! A B A C ; c) A B C ! A C B C ; d) A B 2 ; e) A 2 B 2 2 AB

Dada la matriz A

tal que A Y

1 0 1 0 1 0

(PAU).

1 2

a

b

(PAU).

0 1 0 1 0 1 Dadas las matrices A ! 0 0 1 y B ! 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Encontrar la

regla de calculo de las potencias sucesivas de A y de B, es decir A n y Bn.

Dadas las matrices A ! 0 1 , I ! 0 1 a) Hallar dos constantes E y F tales que A 2 ! E A F I . b) Calcular A5 utilizando la expresin obtenida en el apartado anterior. c) Hallar todas las matrices X que (PAU Septiembre 2004-05). satisfacen A X A X ! A 2 X 2 .

1 2

1 0

0 k t 1 k t Dadas las matrices A ! 0 0 k , B ! 0 1 k a) Hallar A10. 0 0 0 0 0 1

b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular k = 0, hallar B10. (PAU Septiembre 2004 -05).

5 2 0 a b 0 Dadas las matrices A ! 2 5 0 y B ! c c 0 . Se pide: a) Encon0 0 1 0 0 1

trar las condiciones que deben cumplir a, b yc para que s e verifique A B ! B A . b) Para a = b = c = 1, calcular B10 . (PAU Junio 2006-07).

Dadas las matrices: A ! 1 2 , I ! 0 1 , se pide: a) Hallar dos 2 constantes a y b, tales que A ! aA bI . b) Sin calcular explcitamente A3 y A4, y utilizando solo la expresin anterior, obtener la matriz A 5. (PAU Junio General 2009-10)

1

1

1 0

Dadas las matrices

1 0 2 0 1 A! 1 2 0 y B ! 0 1 y las ecuaciones 1 1

matriciales X A = B ; Y AB = O y Z BA = O a) Seala las planteadas correctamente. b) En su caso, calcula la matriz X , Y Z. Razona la respuesta. (PAU). Encontrar un nmero real P { 0 , y todas las matrices B de dimension 2x2 (distintas de la matriz nula), tales que B 3 1 ! B 9 3 (PAU Junio 2002-03). 1 P 0 3 0

Expresar la matriz X ! como combinacin lineal de A ! y 2 2 1 B! 1

6

Hallar todas las matrices A ! 0 b distintas de la matriz 0 0 2 tales que A ! A . b) Para una cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado anterior, calcular M ! A A 2 A10 . (PAU Septiembre 2005-06).1 1 1 1 Obtener, para todo numero natural n, el valor de: 1 1 1 1 n n

a

a

0 0

(PAU Modelo 2009-10). cos E sen E cos F senF

Probar que las matrices A ! sen E cos E y B ! sen F cos F conmutan es decir AB = BA . Hallar este producto. Aplicarlo para hallar A2, A3 y An , n N.

Resolver el siguiente sistema matricial

4 8 2 A 3B ! 7 11 10 1 5 A 2B ! 8 18

(PAU).

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:7 3 X 2Y ! 16 6 X 3Y ! 2 3 4 12 27

(PAU).

Resuelve los sistemas matriciales: a) 2 X Y ! 1 1 1 3 X Y ! 5 4 1 0

b) X Y ! 4 2 2 8 3Y X ! 12 2

2

4

Sea A una matriz cuadrada que verifica que A 2 + 2A = I, donde I denota la matriz identidad. a) Demostrar que A es no singular (det(A) { I) y expresar A -1 en funcin de A e I. b) Calcular dos nmeros p y q tales que A3 ! pI qA . c) Si A ! 1 k cumple la relacin de partida, calcular el valor de k. (PAU Modelo 2001 -02).0 1

Sea A una matriz de dimensin 5x4, B una matriz de dimensin mxn y C otra de dimensin 3x7. Si se sabe que se puede obtener la matriz producto ABC, cul es la dimensin de la matriz B?. Y la de la matriz ABC?. (PAU).

1 1 1 Sea A ! 1 1 1 1 1 1

e I la matriz identidad de orden tres.

a) Existe algn valor real, m, que verifique: (A I ) (A + mI) = I ? . Razona la respuesta. b) Calcula una matriz B tal que (A I) B = I4 . (PAU).

Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Expresar A -1 en terminos de A. b) Expresar A n en terminos de A e I, para cualquier numero natural n. c) Calcular a para que A 2 = I, siendo A la matriz:2

1 1 A! 0 a

(PAU Septiembre 2001-02).

Sea A una matriz mxn. a) Existe una matriz B tal que BA sea una matriz fila?. b) Se puede encontrar una matriz B tal que AB sea una matriz fila?. Si existe, que dimensin tiene?. c) Busca una matriz B1 1 tal que B A ! 0 0siendo A ! 0 1 0 0

(PAU).

10 Sea la matriz A ! a partir de la A n 0 1 Calcular A (PAU MODELO 2008-09)

1 1

n Sea la matriz A ! 0 1 : a) Para cada numero natural n, hallar A . 22 2 b) Calcular A 12A + 2A. (PAU).

1 a

1 0 1 Sea la matriz A ! 2 1 1 , con b un parmetro real. a) Para qu 1 0 b2 x 0 valores del parmetro b el sistema de ecuaciones lineales A y ! 0 z 0

tiene solo la solucin x = y = z = 0?. Justifica la respuesta. x 1 b) Para b = - 1 resuelve, si es posible, el sistema A y ! 1 z 1

(PAU).

2 2 2 Sea la matriz A ! 2 2 2 Se pide: a) Comprobar que A3 - 2A2 = 0. 2 2 2

b) Hallar A n.

(PAU MODELO 2004-05).

Sea la matriz

1 0 A! 3 1 y sea n un numero natural . Encontrar el

valor de A n para cada n y hallar A 350 A250 .

(PAU).

Sea I y A las matrices I ! 0 1 A ! 10 17 . Calcular, escribien 2 do las operaciones necesarias: a) Las matrices A y A5. b) Los nmeros (PAU). reales E y F para los que se verifica I A 3 ! E I F A . Sean A una matriz cuadrada de orden n tal que A 2 = A, I la matriz unidad de orden n y B = 2A I. Calcula B2. a1 Sean A y B matrices diagonales de orden tres: A ! 0 0 b1 0 0 B ! 0 b2 0 Probar que AB tambin es diagonal. 0 0 b 3

1 0

17

29

0 a2 0

0 0 a3

0 1 1 1 0 Sean A, I y B las matrices A ! 1 1 0 , I ! 0 1 1 0 0 0 0 6 3 4 B ! 3 2 1 Contestar razonadamente, existe 4 1 5

0 0 y 1

algn valor de P

real, tal que la igualdad A P I 2 ! B sea cierta?. En caso afirmativo, hallar dicho valor de P . (PAU).

1 7 0 0 0 2 Sean las matrices A ! 2 , B ! 2 , C ! 0 1 0 y E ! 5 . 3 2 0 0 1 3 x Calcular M ! y para que verifique la ecuacin (AB t + C)M = E z

2 1 2 0 1 1 Se consideran las matrices A ! 1 1 1 y B ! 5 1 3 1 2 2 0 0 2

calcula (A + B)2 , A2 + 2AB + B2 y A2 + B2 , Por qu no coinciden sus resultados?. Cul seria la formula correcta para el cuadrado de una suma de matrices?.

2 1 2 Se consideran las matrices A ! 1 1 1 e I 1 2 2

3x3.

Se pide: a) Hallar (A I)2. b) Calcular A4 haciendo uso del apartado anterior. (PAU MODELO 2005 -06)

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que A At = I, donde At es la matriz traspuesta de A e I la matriz identi dad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual orden, analiza si A B es tambin una matriz ortogonal. (PAU). Si una matriz cuadrada A verifica A 2 + 7A = I, siendo I la matriz unidad, calcula A -1 en funcion de A

Unidad 2: DeterminantesAveriguar segn el valor de a el nmero de races reales que tiene la ecuacinx2 a a a a x2 a a a a x2 a a a a x2!0

(PAU).

Calcula el siguiente determinante, haciendo previamente ceros en la5 1 6 9 4 7 5 1 9 6

segunda columna:

2 0

2 3

12 7

Calcula el valor de los siguientes determinantes.1 A ! 3 0 2 1 2 0 0 1 2 1 0 B ! 1 0 1 0 3 0 1 0 2 4 2 2 1 2 3 2

1 2 3 1

Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, laa2 1 ab 1 b2

identidad: 2a a b 2b ! a b 31

PAU Junio 2002-03).

Comprueba, utilizando las propiedades de los determinantes, que los siguientes determinantes, llamados de Vandermonde, verifican:1 B ! a a2 1 b b2 1 c ! b a c a c b c2

1 C ! a a2

1 b b2

1 c c2

1 d d2 d3 x2 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 ! x 13

! b a c a d a c b d b d c

a3

b3

c3

Comprueba que

1 1 1

x2 1

1

1 2 4 8

1 3 9

1 4 16 !0

Comprueba que la ecuacin

x x2

tiene solo tres

x3

27 64

soluciones sin necesidad de calcular el determinante. Cules son?.

1 a bc

Comprueba sin desarrollar que A ! 1 b c a ! 01 c ab

1 1 1 1 1 9 1 1 9 Dada la siguiente matriz de orden n A ! 1 1 1

1 1 1 1 , 1 9 1 1

se pide a) Calcular el determinante de la matriz A2 . b) Calcular el valor del determinante de la matriz A3 . c) Calcular el valor del deter minante de la matriz A5 . (PAU Junio 2007 -08). 3 1 1 0

Dadas las matrices A ! 8 3 , I ! 0 1 a) Comprobar que A 2 ! A y que A I ! A I . b) Sea M una matriz cuadrada de2

orden 2. Se puede asegurar que se cumple que M 2 ! M ?. Razonar la respuesta. c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden dos, tales que: M I ! M I . (PAU Septiembre 2005-06).2

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar el determinante de las matrices 5A ; - A ; At y AAt .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. Qu condicin debe verificar k para que la matriz tenga inversa?. Cunto vale en ese caso A 1 .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16. Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) A ; c) - 6A ; d) At ; e) AtA ; f) AAt .2 a2 3

5 13 vale cero para a = 3. Comprobar que es 35

El determinante as sin desarrollarlo.

4 a 8 a

Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias paraa 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a ! a 3 a 13

deducir:

1 1 1

Halla los valores reales de a, b, c y d para que se cumplan las3 a1

c 1 c 2 c 2d 1 0 d ! 18 1 3

0 4 ! 197 1

igualdades a) 4 1 2 b 1

1 ! 2 ; b) 2 a 2d d2 1 0

c)

b 3

1 5

b ! 5 ; d) 2 2 d

cos E Hallar el determinante de la matriz A ! senE 0

senE

cos E 0

0 0 1

a

a a

a a a

Hallar en funcin de a, el valor del determinante : A !

2 a a 3 2 a 4 3

2 a

(PAU Septiembre 1998-99)

Justifica, sin realizar calculo alguno, que:x x x32

y y y32

z2

1

1 y y2

1 z z2

z ! x yz x z3 x2

Obtn el desarrollo de los siguientes determinantes por los adjuntos1 1 21

31

2

de la primera fila: A ! 3 0 12 1 0

B ! 0 1

4

2 2

Obtn, sin calcular el valor del determinante, dos soluciones para1 1 12

1 1 !0 x

1 x

1

Obtener en funcin de a, b y c el determinante de la matriz1 1 1 1 1 1 a A! 1 1 b 1 1 1 1 c 1 1 1 1

(PAU).

a

1 0 0

7 5 a3 0

2 7 1 2a !0

Resolver la ecuacin :

0 a 1 0 0

2 x2 1

x 1 x 1 x 1

x 12x 1 ! 0 x2 1

Resolver la ecuacin:

x 1

x 1

2

(PAU Modelo 2008-09).

Resolver las ecuaciones:x 1 1 0 x 1 1 1 1 x 0 1 x !0

a)

x 1 1

x b)x

1 1

1

x 1 ! 0 1 x

Resolver las ecuaciones siguientes:1 1 1 1 1 1 3 1 2 4

a)

2 1 x x

a a

1 1

aa

2 1

5

! 0 b) 0 a

1 ! 0 c) 0 2

7 3

2 !0 2 3 k2

1 x x

d)

x 2

1 0

1 !2 1

Sabemos que el determinante de la matriz

a b A! c d vale 12.

Hallar l determinante de las matrices: a) 3A , b) -2A ; c) 7A d) At ; e) AAt ; f) AtA .

;

3 2

1 0

4 1 3 6 2 0 4 3 3 2 2

Sabiendo que 2 3 4 ! 5 , determina sin desarrollarlos el valor de

los siguientes determinantes. a) 2 6 4 , b) 1 3 0 ,4 4 1 8 3 1 0 4 1 a b 6 4 c f ! 10 , calcula el valor de i 4 1 1 0 3a 2g 5d 3b 3c

c) 5 3 4 y d) 4 4 3

Sabiendo que d eg h

2h 2i 5e 5 f

a b

c f ! 6 , determina sin desarrollar el valor de los i 2a g 2b h 2c i 2b 2h c 3a f 3d i 3g a/5 d /5 g /5

Sabiendo que d eg h

siguientes determinantes. a) d / 3 e / 3 f / 3 , b) 2ea b c

c)

ad be c f ad g beh c f i

1E

2F

3K 4 0 F 6 3 , K 4

Sabiendo que 6 0 3 ! 3 , y utilizando las propiedades de los2 determinantes, calcular: a) el determinante de la matriz 6 E

10

20 30 0 3F 1 , c) 3K

3E 2 3F 4 3K 6 2E E 6 2F F 2K K 3

b)

2 3E

(PAU Junio Especifica 2009-10).

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 . a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2Aes igual a 8, Cunto vale el A . b) Calcula para que valores de x se cumple que 2 A ! 8 , siendo la1 1 x matriz A ! x 1 2 2 x 2 x 1

(PAU).

2a a Sea la matriz A ! a a

a 2a a a

a a a , calcular el valor de su 2a a a 2a a

determinante en funcin de a. 2 3

(PAU).

Sea la matriz A ! 1 2 . Para cada numero real P definimos la matriz B = A - PI, donde I denota la matriz identidad 2x2. a) Hallar los valores de P que hacen que el determinante de B sea nulo. b) Resolver el sistema B ! para los diferentes valores de P . y 0 (PAU Modelo 2001-02). Sean dos matrices cuadradas de orden n, A y B. Probar, haciendo uso de las propiedades estudiadas, que A B ! B A , a pesar de que en general A B { B A x 0

Sean las matrices : A ! 7 1 y B ! 5 6 Hallar los determinan tes de las siguientes matrices. a) A ; b) B ; c) 3A ; d) 2B ; e) A + B ; f) 3A + 2B ; g) AB ; h) BA ; i) At .

3

5

4 2

a

b x 1 0

2 a 3b 0 x 1 0 0 x

Se considera la funcin: = f(-1), determina a y b.

f ( x) !

1 0 0

S f(0) = -3 y f(1) (PAU).

a

b e g

c f ! 3 , calcula sin desarrollar el valor de i

i

g

h

Si

d g

f c d a eb 3c 3a 3b

a

b x 1 0

2 a 3b 0 x 1 0 0 x

Se considera la funcion f ( x) !

1 0 0

, sabiendo que (PAU).

f(0) = -3 y que f(1) = f(-1), determinar a y b

Si A ! C1 , C 2 , C 3 es una matriz cuadrada de orden 3 con columnas C1 , C 2 , C 3 , y se sabe que det A ! 4 , se pide a) Calcular det A 3 y det 3 A. b) Calcular detB y det B 1 , siendo B ! 2C 3 , C1 C 2 ,5C1 la matriz cuyas columnas son 2C 3 , C1 C 2 ,5C1 . (PAU Modelo 2008-09).a Si la matriz A ! d g

b e h

c f tiene determinante n, averigua el valor del i 4e 2 f 2h i , 6b 3c

determinanted f C ! ac g i

e b h

6d de las siguientes matrices B ! 3g 9a f e cb ih

Simplificar sin desarrollar:

2a 3a b 2c 3c b

Si A es una matriz tal que A 2 ! 0 0 , a) Cul es el valor del deter minante de A?. b) Calcular un numero k tal que: 3 4 1 0 0 0 1 1 k 0 1 ! 0 0 2

0 0


Sin desarrollar los determinantes comprueba que:bc ac ab a b c a2 c2 1 a2 1 c2 a3 b3 c3 b2 = 1 b2

Unidad 2 . Rangos de matricesCalcula el rango de A segn los distintos valores del parmetro real a0 a 2 2 A ! 1 0 1 3 5 a 4 4 3

(PAU Junio 2001-02).

Calcular el rango de la matriz A segn los diferentes valores del parametro real a:0 a 2 2 A ! 1 0 1 3 5 a 4 4 3


1 1 Considera la matriz A ! m m 2 m m

1 m 2 . Halla los valores de m para los m2

que el rango de A es menor que 3.

(PAU).

Determina los valores de x para los que el rango de la matrizx 3 0 A ! 0 1 x valga 2. 1 1 1

Estudiar el rango de A segn los valores del parmetro a:

1 a a a 1 A! 1 a 1 0 2a a 1 1 0

Razonar si A es inversible para algn valor

de a.

Estudiar el rango de A segn los valores del parmetro a. Para que valores de a es la A inversible?.a 1 0 3 A ! 5 1 1 3 2 0 6 a 8 m m 1 m m 1 m Estudiar el rango de la matriz: A ! m 1 segn los m 1 m 1

valores del parametro m.

(PAU Junio 2006 -07).

Estudiar el rango de las siguientes matrices segn el valor del correspondiente parmetro.1 1 1 1 a a 1 2 1 1 2 1 1 2 A! ; B ! 0 a 1 ; C ! 0 2 2 P 1 3 4 a 1 a 2 3 k2 P 1 7 3 m 2 3 2 Q 4 D! 5m m 2 ; E ! Q 1 5

1 1 1 a Halla el rango de la matriz: A ! 0 1 a 1 0 segn el valor del 1 1 a 1

parmetro a.

(PAU).

Halla el rango de la matriz : los parmetros a y b .

a 1 1 A ! 2 b b2 2 1 1

a 1 a

segn los valores de (PAU).

Halla el rango de las siguientes matrices:3 1 2 0 1 A! 6 2 4 0 2 1 2 3 0 B ! 2 1 4 0 3 2 2 1

Halla el rango de las siguientes matrices:1 a) A ! 6 7 1 d) D ! 2

3 5 0 3 0 6 1 3 7 9 0 ; b) B ! 2 0 4 ; c) C ! 7 9 5 0 10 6 5 4 4 0 2 9 0 4 1 3

Halla el rango o caracterstica de las siguientes matrices:4 1 2 3 0 2 1 2 3 ; B ! 3 2 1 ; C ! 0 1 2 A! 2 1 4 1 1 1 0 0 3

Hallar el rango de la matriz

cos E A ! senE 0

senE

cos E 0

0 0 1

Hallar el rango de las siguientes matrices:1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 4 ; B! A! 1 1 1 1 3 2 1 3 1 1 1 1 5 2 1 2

1 0 1 Sea la matriz A ! 4 1 m . Determine los valores de m para los 0 m 3

que Rango(A) < 3. Puede ser rango(A) = 1 para algun valor de m?. (PAU).1 1 Sea r el rango de la matriz A ! 2 0

0 1 1 4 2 3 a) Hallar r, b) Sealar 1 0 0 3 1 2

r filas y r columnas linealmente independientes.

Unidad 2. Matriz inversa. Ecuaciones matricialesCalcula la matriz X, tal que X B + A = C siendo: 0 3 0 4 2 1 1 3 5 A! 5 1 3 , B ! 2 0 1 , C ! 2 4 6 0 3 2

(PAU).

Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica0 1 0 2 0 0 XA +BA = A , siendo A ! 0 1 0 , B ! 0 2 0 1 0 2 0 0 0 2 2


1 1 1 0 0 1 Considera las matrices A ! 2 1 2 y B ! 0 1 1 , Calcula la 0 0 1 1 1 1

matriz X que verifica que XA + B = I.

(PAU).

Considera las matrices A ! 2 1 y B ! 1 2 . Halla x para que se cumpla A 2 B 2 ! 6 12 8 8

1

x

0 1

(PAU).

Contesta a las siguientes cuestiones: a) calcula los valores x, y, z que1 2 1 0 y verifican la siguiente ecuacin matricial: x 2 1 1 ! 1 3 2 z 10 1

b) Expresa el sistema anterior en forma matricial AX = B . c) Calcula la matriz inversa de A.

(PAU).

Dada la ecuacin matricial A X + B = C, se pide obtener la matriz1 1 0 1 1 0 1 X siendo: A ! 1 2 0 , B ! 0 1 , C ! 1 3 (PAU). 0 0 1 1 2 1 1 1 2 t -1 2 Dada la matriz A ! 3 4 calcula la expresin: (A A ) A

1 1 2 Dada la matriz A ! 2 x 1 calcula para que valor de x, posee 1 4 x inversa y para cuales no es inversible . Calcular A-1. (PAU).

1 a 1 Dada la matriz A ! 0 1 0 estudiar para que valores de a tiene 0 1 a

inversa y calcularla siempre que sea posible. ( PAU Junio Especifica 2009-10).

1 1 1 x Dada la matriz A ! 1 1 x 1 , obtn los valores de x para los 1 1 1 x

que posee inversa. Calcular A-1.

1 2 a 1 Dada la matriz A ! 2a 0 1 se pide: a) Determinar el rango 2 0 a 1

de A segn los valores del parmetro a. b) Decir cuando la matriz A es invertible. Calcular la inversa par a = 1. (PAU Septiembre 2007-08).

a 1 1 Dada la matriz: A ! 1 a 1 , se pide: a) Estudiar el rango de la 1 1 a

matriz A segn los valores del parmetro a. b) Obtener la matriz inversa de A para a = - 1 (PAU Junio 2008 -09).

2 1 a Dada la matriz M ! 2a 1 1 a) Determinar el rango de M segn 2 a 1

los valores del parmetro a. b) Determinar para que valores de a existe la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para a = 2. (PAU Junio 2005-06). 2 Dada la matriz M ! 2 2P 1 P 1 P 1 a) Determinar el rango de M segn 1

los valores del parametro P . b) Determinar para que valores de P existe la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para P ! 0 . (PAU Modelo 2006-07).

m 1 2m Dada la matriz: M ! m 1 2 , se pide: a) Determinar los valores 0 1 1

del parmetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determi nar los valores del parmetro m para los cuales la matriz M 25 es invertible. c) Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa M 1 de M. (PAU Septiembre 2008-09).

2 1 4 Dada la matriz inversible A ! 3 2 5 hallar: 0 1 1

a) AtA , b) AAt ,

c) AA-1 , d) A-1A , e) AtA-1 , f) A-1At .

1 2 0 1 1 2 Dadas las matrices: A ! 0 1 2 , B ! 1 1 1 a) Determinar la 0 2 3 0 1 3 matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que A ! B X


0 0 1 1 Dadas las matrices: A ! 3 1 1 y B ! 0 5 1 2 0 1 a) Hallar A . b) Hallar la matriz X, tal que: A X

0 1 0 . Se pide : 0 0 0 At ! B (donde At

significa matriz traspuesta de A). 4 2 2

(PAU Junio 2003 -04).

Dadas las matrices: A ! 1 1 , B ! 3 1 , obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuacin matricial A X B ! A B . (PAU Septiembre 2008 -09). Determina la matriz X, sabiendo que se verifica: X A 2 + B A = A2 y que:0 1 0 A ! 0 1 0 1 0 0 0 0 2 y B! 0 2 0 2 0 0

4

(PAU).

Estudia para que valores de m la matriz siguiente tiene inversam 0 1 0 1 1 . En caso de ser posible, halla su inversa para m = -1 (PAU). m 0 m

Estudiar para que valores del parmetro a tiene inversa cada una de las siguientes matrices y hallar la inversa en esos casos:0 2 a 2 a) A ! 0 a 2 0 0 0 a a 0 a b) B ! 2 a 1 a 1 2a 1 0 a 3

1 1 1 Halla la matriz inversa de la matriz: A ! 1 2 1 0 1 0

En la matriz del anterior, seala los cambios que ocurren en A -1 si en la matriz A se intercambian dos de sus filas o dos de sus co-lumnas. Y si se multiplica una de sus filas por un numero p { 0?. Y si se multiplica por p { 0 una columna?. Halla, si existe, una matriz cuadrada A de orden 2, que cumpla las siguientes condiciones: a) Coincide con su traspuesta. b) Verifica la ecuacin matricial 1 1 1 1 3 3 A 0 1 ! 3 3 1 1

(PAU). Hallar la inversa de la matriz A ! 9 3 -1 2 2 -1 (A ) = (A ) . 7 4

y comprueba s

0 1 0 1 0 0 Hallar la matriz inversa de I A siendo: A ! 0 0 1 ; I ! 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Hallar las inversas de las matrices:

a)

1 0 1 A ! 3 1 0 0 5 1

; b)

1 1 1 B ! 1 1 11 1 1 1

Hallar una matriz X tal que A-1XA = B, siendo A ! 2 1 1 1 B! 2 1

3

1

(PAU Junio 2004-05)

Resolver la ecuacin matricial AX = B siendo: A ! 0 1 ; 1 2 3 B! 0 1 1

1

2

Resolver la ecuacin matricial A 2X B = A2 siendo:0 1 0 0 1 0 A ! 0 2 0 y B ! 0 3 0 0 0 1 0 0 1

(PAU).

Resolver la ecuacin matricial B(2A + I) = AXA + B siendo2 1 1 1 1 0 A! 0 1 , B ! 1 1 e I ! 0 1

(PAU).

Resuelve la ecuacin matricial AX + C = B, siendo A ! 1 0 , 2 0 1 1 0 1 2 1 B! 2 1 1 0 y C ! 1 0 3 0

4

1

(PAU).

1 1 0 1 Sea la ecuacin AX = B con : A ! 3 0 2 y B ! 2 5 1 1 3

Hallar A-1 y X.1 1 1 0 Sea k un numero natural y sean las matrices A ! 0 1 0 , B ! 1 y 0 0 1 1 k C ! 1 2 a) Calcular A . b) Hallar la matriz X que verifica la 1

ecuacin A k X ! B C .

(PAU Junio 2000 -01).

Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = AB. Comprobar que entonces se tiene la formula: I B 1 ! B 1 A (donde I denota la matriz identidad). b) Dada la matriz A ! 2 A B ! A B .1 1 1

hallar la matriz B para la cual se verifica (PAU Septiembre 2002-03).

1 7 0 0 0 2 Sean las matrices A ! 2 , B ! 2 , C ! 0 1 0 y E ! 5 . 3 2 0 0 1 3 x Calcular M ! y para que verifique la ecuacin (AB t +C)M = E. z

(PAU). 1 0 1 1 0 2 Sean las matrices A ! 1 0 2 , B ! 1 1 0 a) Calcular A-1. b) 0 1 0 1 0 3

Resolver la ecuacin matricial AX = BA. (PAU Prueba 2001-02). 7 3

Sean las matrices: A ! 0 1 , B ! 8 3 . a) Hallar una matriz X 1 10 tal que X A X ! B . b) Calcular A . c) Hallar todas las matrices M que satisfacen A M A M ! A 2 M 2 . (PAU Modelo 2007-08). 9

2

0

Sean las matrices: A ! 0 1 , B ! 6 7 . Hallar una matriz X tal 1 que X A X ! B .

1 1

8

1 1 2 P Se consideran las matrices A ! y B ! P 1 1 1 0

3 0 , donde P es 2

cualquier numero real. a) Encuentra los valores de P para los que AB es invertible. b) Determina los valores de P para los que BA es

invertible. c) Dados a y b, nmeros reales cualesquiera, puede ser el x a sistema A y ! compatible determinado?. z b

(PAU Junio 1998 -99).

Unidad 3. Sistemas de ecuacionesCalcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 aos la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 aos la edad de la madre ser la suma de las edades que los hijos tendrn en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendr 42 aos. (PAU Junio 2001-02).

De tres nmeros x, y ,z, sabemos lo siguiente: que el primero mas el segundo suman 0; que el primero mas el tercer suman 1; que la suma de los tres es 0 y, para terminar, que el primero multiplicado por un numero k mas el doble de la suma del segundo y del tercero da 1. a) Que puede decirse del valor de k?. b) Cunto valen esos tres n meros?. (PAU).

El capitn Ala Triste tiene a su cargo tres compaas: una de suizos, otra de zuavos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza el ca pitn promete una recompensa de 901 escudos que se repartirn de la siguiente forma: El soldado que primero suba junto con todos los de su

compaa recibirn un escudo y el resto de la recompensa se repartir a partes iguales entre las otras dos compaas. Si el primero que sube es suizo, las otras dos compaas recibirn escudo cada una; si el pri mero que sube es zuavo, las otras dos reciben 1/3 de escudo cada una y si el primero que sube es sajn, las otras dos obtienen de escudo. Cuntos hombres hay en cada compaa?.

El to Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla, observa que esta muy aguada, por lo que decide aadirle una cierta cantidad de vino y entonces la ca ntidad de agua es del 30 % del total. Como sigue estando aguada, le aade de nuevo la misma cantidad de vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total. Cuantos litros de vino se aaden en cada ocasin y cuantas hay de agua?.

En una autonoma existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, cuntas prestaciones ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.

En una confitera envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto da se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas ms de tamao pequeo que de tamao mediano. Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombo nes envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuantas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema . En una feria, un granjero vendi cada ganso, pollo y codorniz por 10, 5 y 1 respectivamente. En total vendi 50 animales y recibi 100 . cuntos animales vendi de cada clase, si vendi la quinta parte de pollos que de codornices?.

La liga de futbol de un cierto pas la juegan 21 equipos a doble vuel ta. Este ao, los partidos ganados valan 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campen de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el ao pasado, los partidos ganados

valan 2 puntos y el resto igual. Con este sistema el actual campen habra obtenido 50 puntos. Cuntos partidos gano, empato y perdi el equipo campen?. (PAU).

La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es de 73 aos. Dentro de 10 aos, la edad del padre ser el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 aos, la edad del hijo mayor era el doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.

Las edades, en aos, de un nio, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: - La edad del padre es E veces la de su hijo. - El doble de la edad del abuelo mas la edad del nio y mas la del padre es de 182 aos. - El doble de la edad del nio mas la del abuelo es 100. a) Establece las edades de los tres suponiendo que E = 2. b) Para E = 3, que ocurre con el problema planteado?. c) Siguiendo con E = 3, que ocurre si en la segunda condicin la suma es de 200 en vez de 182?. (PAU).

Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma canti dad. Calcular lo que tiene cada uno, sabiendo que entre los tres renen 60 . (PAU).

Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: Cuan tos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del 40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.

Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos A,B y C. El A tiene 10 cal por cada 100 gr de alimento, el B tiene 30 cal por ca da 100 gr y el C 40 cal por cada 100 gr. A) Si la dieta consta de 4000 gr

de alimentos por da, dicha dieta esta restringida a 840 cal exactas y la cantidad de alimento A ingerido debe de ser doble en peso que la canti dad de alimento de C. Hallar las cantidades que debe de ingerir de ca da uno de los alimentos. Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del numero es 16, encuentra dicho numero.

Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tr es alturas. Si la suma de las dos cifras de un numero es 11 y al invertir el orden de las cifras, el nuevo numero aumen ta en 27 unidades. Calcular el numero.

Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 % de alcohol. Qu graduacin tendra una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de tinto?. (Llamar x a la graduacin del vino blanco, y a la graduacin del vino tinto, z a la graduacin de la mezcla)

Tres amigos juegan tres partidas a los chinos. Acuerdan que, si uno pierde le dar a cada uno de los otros dos, igual cantidad de dinero que la que tengan en ese momento. Cada uno pierde una partida y todos acaban con 40 . Con cuanto di nero empez a jugar cada jugador?.

Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo comn. El regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar

cuanto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el mtodo de Gauss. Tres personas A, B y C deciden repartirse 8600 pts, de la siguiente forma: A recibe el triple de lo que reciban B y C juntos y adems por cada 2 pts que reciba B, el C recibe 3 pts. Se pide: a) Plantear el siste ma de ecuaciones que permita determinar cuanto recibe cada uno. b) Resolver el sistema.

Un cajero automtico contiene 95 billetes de 100, 200 y 500 y un total de 20000 . Si el nmero de billetes de 100 es el doble que el n mero de billetes de 200, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo. (PAU Septiembre 1998-99).

Un almacenista dispone de tres tipos de cafs: el A, a 9,80 / kg; el B, a 8,75 / kg, y el C, a 9,50 / kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de caf para suministrar un pedido de 1050 kg a un precio de 9,40 / kg. Cuntos kg de cada tipo de caf debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos?. (PAU Junio 1997-98).

Un ama de casa adquiri en el mercado ciertas cantidades de pata tas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euro s por kg respectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, adems, compr 1 kg ms de na ranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para de terminar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el siste ma.

Un automvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A ala B tarda 2 horas y 30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. Cul es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan en tren s 192 km?.

Un coleccionista decide regalar un montn de sellos. A cada persona con la que se encuentra le da la mitad de los sellos que llevaba mas

uno, y se encuentra exactamente a 6 personas. Si al final regala todos los sellos, Cuntos sellos tenis el coleccioni sta?. (PAU). Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y ob tuvo un 8 de calificacin. En la segunda pregunta saco 2 puntos ms que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto ms que en la segnda. Plantea el sistema de ecuaciones y resulvelo por el mtodo de Gauss.

Un mayorista del sector turstico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros euro peos comunitarios y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12000 . A una segunda agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales, y 20 a internacionales no comu nitarios, y cobra 13000 . A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comu nitarios, cobrando 7000 . Se pide: a) Hallar el precio de cada billete. b) Por ra zones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Halla r en que porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes extranjeros comunitarios, manteniendo constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios, para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias. (PAU) Un nmero capica tiene cinco cifras. a) La suma de sus cifras es 9. b) La cifra de las centenas es igual a la suma de las cifras de las unida des y de las decenas. c) Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el nmero que resulta disminuye en 9. Encuentra dicho nme ro. (PAU).

Un panadero fabrica por da, un cierto numero de panes de 500 g , con un coste en materias primas de 40 cntimos la unidad. Los costes fijos diarios de produccin (impuestos, energa...) son de 200 I y se vende cada pan a 90 cntimos. Deter minar la produccin diaria para que:

a) que el panadero cubra gastos; b) que obtenga unas ganancias de 100 I vendiendo todos los panes fabricados; c) que obtenga unas ga nancias de 100 I sin vender todos los panes fabricados; d) que obtenga unas ganancias mayores de 40 I sin vender todos los panes fabricados. Un pastelero desea vender cajas que contengan al menos 12 unida des, con dulces de dos clases y a un precio menor de 5 I. Si el precio de coste de cada una de las clases de dulces es de 50 y 25 cntimos la uni dad: a) encuentra de forma grfi-ca el conjunto de soluciones. b) Si la caja no puede estar vaca ni contener una so -la clase de dulce, halla todas las posibles combinaciones de las cajas que satisfacen las condicio nes impuestas por el pastelero. Un vinatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7 euros, respectivamente. Cmo debera mezclarlos para obtener un litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino que solo cuesta 3 euros el litro?.

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dlares y libras. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000 . Se quiere que el valor del dinero disponible en euros se a el doble del valor del dinero en dlares y que el valor del dinero en libras sea la d cima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y que un dlar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dlares y libras que la empresa ha de tener dispo nible.

Una persona va al supermercado y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. El da siguiente compra una botella de huevos y dos botellas de aceite. Vuelve a la tienda y compra una bolsa de patatas y otra docena de huevos. El primer da pago 6 , al da siguiente se gasto 6,5 y en la tercera ocasin pago 3,5 . Calcula, si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite. Una refinera compra petrleo a dos pases A y B. Comprando 500 barriles al pas A y 15500 barriles al pas B, resulta un precio medio de 19875 dlares el barril. Comprando 1000 barriles al pas A y 1000 al

pas B, el precio medio es de 18 dlares el barril. Cuanto cu esta el barril de crudo de cada pas?.

UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuaciones lineales.Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogneo (sus tr minos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incgnitas que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indeterminado; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejem plo cuando la respuesta sea afirmativa.x 3y 2z ! 0

Averige si el siguiente sistema 2 x 4 y 3 z ! 0 puede ser compatiblex y mz ! 0

indeterminado para algn valor de m. Es incompatible para algn valor de m?x 2 y 2z t ! 4

Clasifica y resuelve el siguiente sistema:

x y z t ! 5 x y zt !6 6 x 3 y 3 z 2t ! 32

Considera el sistema:

x y z !1 3 x 4 y 2 z ! 3

a) Aade una ecuacin lineal

al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea incompatible.

b) Si aadimos al sistema dado la ecuacin mx + y z = -1, determina para que valores del parmetro m el sistema resultante es compatible indeterminado y resulvelo. (PAU).y z !1

Considerar el sistema de ecuaciones P 1x y z ! Px P 1y z ! 0

a) Discutirlo segn los valores del parametro P . b) Resolverlo para P ! 0 . c) Resolverlo para P ! 3 . (PAU Septiembre 1999-2000)

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un ax 4 y az ! a

parametro real: 4 x ay az ! a x y z !1

Se pide a) Discutir el sistema. b) (PAU Modelo 2004 -05).

Resolver el sistema para a = 1.3x 2 y z ! 5 2 x 3 y 2 z ! 4

Dadas las ecuaciones

a) Aade una ecuacin para

que el sistema sea incompatible. b) Aade una ecuac in para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedi miento seguido para aadir la ecuacin. (PAU).3x 2 y z ! 5 2x 3 y z ! 4

Dado el sistema

a) Aade una ecuacin lineal de

manera que el sistema resultante sea incompatible. b) Aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. Resuelve el sistema. (PAU).2x y 2z ! 1 x yz !3

Dado el sistema

a) Cmo ha de ser la ecuacin que

debe de aadirse para que sea incompatible?. b) Cmo es la ecua cin que debe de aadirse para que resulte compatible indetermina do?. Resuelve el sistema. (PAU).

Dado el sistema

x 2y !1 x y 2z ! 1

, a) escribir una tercera ecuacin de la

forma ax by ! c (distinta de las dos anteriores) de manera que el siste ma de tres ecuaciones y dos incgnitas resultante siga siendo compati ble. b) Dado el sistema2x 2 y z ! 1 x y 2z ! 1

, escribir una tercera ecuacin de

la forma E x F y Kz ! 1 (distinta de los dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incgnitas resultante sea compatible indeterminado. (PAU Junio 03 -04).ay bx ! c

Dado el sistema: cx az ! b si a,b y c son no nulos, el sistema tienebz cy ! a

solucin nica. Halla dicha solucin.

(PAU).

Dado el sistema:

1 a x 2 y 4 z ! 0 1 a) Estudiar la compatibilidad x a y z ! 0 x ay z ! 0

segn los valores del parmetro a. b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2003 -04).2x y ! P

Dado el sistema P x 2 y ! 4 se pide: a) Discutir el sistema segn los3x y ! 2

valores del parmetro P . b) Resolver el sistema cuando sea posible. (PAU Junio 2008-09).xz !2

Dado el sistema: x P y z ! 4 P x y z ! 5

se pide: a) Discutirlo para los

distintos valores del parmetro P . b) Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado. c) Resolverlo para P ! 2 . (PAU Modelo 2009-10).

Px 2 y z ! 0

Dado el sistema P x y 2 z ! 0 se pide: a) Obtener los valores delx Py 2 z ! 0

parmetro P para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para P ! 5 (PAU Septiembre 2008-09).4 x 4Py 2 z ! 2P

Dado el sistema de ecuaciones P x y P z ! P4 P x 4P y P z ! 9

Se pide a) Discutir

el sistema segn los valores del parmetro P . b) Resolverlo para P ! 1


m 1x y z ! 3 Dado el sistema de ecuaciones: mx m 1y 3z ! 2m 1 a) Discutirlo x 2 y m 2 z ! 4segn los distintos valores de m. b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2004 -05)x 2 y 3z ! 3 2x 3y z ! 5

Dado el sistema de ecuaciones:

Se pide: a) Calcular a

y b de manera que al aadir una tercera ecuacin de la forma ax+ y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incgnitas sea igual a 4. (PAU Septiembre 2006-07).x y 2z ! 2

Dado el sistema de ecuaciones 2 x y 3 z ! 2 Se pide: a) Discutirlo5 x y az ! 6

segn los valores del parmetro a. b) Re solverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Junio 2000 -01).x ay z ! a

Dado el sistema de ecuaciones: ax 2 z ! 2x z ! 2

se pide: a) Discutirlo

segn los valores del parmetro a. b) Re solverlo en el caso a = 0. (PAU Junio General 2009-10).

x k 1y 2 z ! 1

Dado el sistema de ecuaciones lineales kx y z ! k

a) Discu-

k 1x 2 y z ! k 1tirlo segn los distintos valores del parmetro k. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU. Septiembre 2006-07).

x y mz ! m 2

Dado el sistema de ecuaciones lineales 2 x m 1y m 1z ! m

m 2 x 3 y 2m 1z ! 3m 4a) Discutirlo segn los distintos valores del parmetro m . b) Resolver lo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2007-08).2x 3 y z ! k

Dado el sistema de ecuaciones x 2 y 3 z ! 2kx ky 4 z ! 1

a) Discutirlo segn los

distintos valores de k. b) Resolverlo cuando sea compatible indetermi nado. (PAU Modelo 2005-06).

x ky k 2 z ! 1

Dado el sistema de ecuaciones: x ky kz ! k 2 x ky k z ! k2 2

a) Discutirlo segn

los distintos valores de k. b) Resolverlo para k = -1 (PAU Modelo 2006-07).x y !3

Dado el sistema de ecuaciones: 2 x 3 y ! 2 k a) Discutirlo segn los3x 5 y ! k

distintos valores del parmetro k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible. (PAU Modelo 2008 -09).

Dado el sistema de ecuaciones lineales

x ay ! 2 ax y ! a 1

Se pide a) Discutir

el sistema segn los valores del parmetro a. b) Determinar pa ra que valor o valores de a el sistema tiene una solucin en la que y = 2 (PAU. Junio 2007-08).x ky z ! 0

Dado el sistema homogneo

kx y z ! 0

Averiguar para que

k 1x y ! 0valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en tales casos. (PAU. Junio 2005 -06).x ky z ! 0

Dado el sistema homogneo de ecuaciones 2 x y 2 z ! 0 se pide:x 4 y kz ! 0

a) Determinar para que valores del parmetro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. b) Resolverlo para el caso k = 3. (PAU Junio General 2009-10).

Determina, segn los valores del parmetro E, cuando tiene solucinEx y z ! E 2

el sistema: E x 1 E y E 1z ! E 2E x y z ! 2E 2

Resulvelo cuando sea compatible indeterminado.

(PAU).

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en funcin del parmetro2x y 2z ! 2

a. Resulvelo cuando sea posible. 2 x y z ! 12x a y z ! a2

(PAU).

Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parmetrox y az ! a 2

a. x ay z ! aax y z ! 1

Resulvelo en los casos de compatibilidad.

(PAU).

x 2y z ! 2

Discute el sistema de ecuaciones lineales x 1 b y bz ! 2b segn losx by b z ! 1 1

valores de b.ax 2 y 6 z ! 0

(PAU).

Discute el sistema de ecuaciones 2 x ay 4 z ! 22 x ay 6 z ! a 2

segn los valores

del parametro a. b) Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para a = 2. (PAU Junio 1998 -99).ax ay ! a x ay ! 1

Discute, en funcin de a, el sistema

(PAU).

Discute, segn los valores del parmetro P, el sistema de ecuacionesx Py z ! P 2

lineales: x y P z ! 2P 2Px y z ! P

Resulvelo en el caso de que sea compati (PAU).

ble indeterminado.

Discute y resuelve por Cramer los siguientes sistemas: a)2a 3b ! 6 a 5b ! 3 3 x 5 y ! 33 2 z x 2y z ! 6 3 p 3q 11r ! 0 4 p 7r ! 0 5 p 3q 3r ! 0 6 p 6q r ! 0

b) 3 x ! 19 y10 3 z ! x 2 y

c) 3 x y 2 z ! 3 d)2 x 3 y z ! 3

Discutir el siguiente sistema segn los valores del parmetro k y resolverlo en el caso de que sea compatible indeterminado:kx ` z ! k x ky z ! 1 3 x y kz ! 2

Discutir el siguiente sistema. Hallar, si existe, su solucin cuando

x a 2 1 y az ! 1

a = 0.

a

2

1 y a 1z ! 02

xa z !0

x yz !a x y z !1

Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en funcin del parmetro a (PAU).

3 x 3 y az ! a

Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema segn los valores del parmetro E . Resolverlo, si es posible, para E = 0.x 2y z ! 3 E x E 3y 3 z ! 1

Discutir razonadamente, en funcin del parmetro k, el siguientex ky z ! k 2

sistema: kx y z ! kx y kz ! 2k 1


Discutir segn los valores del parmetro P , y resolver en los casos en6 x 4 y 2P z ! 2

que sea posible el sistema P x y z ! 25 x 3 y 3 z ! 2P


Discutir segn los valores del parametro P , a) el sistema6 x 4 y 2 Pz ! 2 Px y z ! 2 5 x 3 y 3 z ! 2P

y b) resolver el sistema anterior en los casos en que (PAU Modelo 2004 -05).

sea compatible.

Discutir segn los valores del parmetro real P el sistema:Px 3 y z ! P x P y Pz ! 1 y resolver el sistema anterior en el caso P ! 2 x y z !1


Discutir y resolver el siguiente sistema segn los valores delPx y z ! 1

parmetro :

x Py z ! P x y Pz ! P2

Discutir y resolver el siguiente sistema segn los valores delax y z ! 1

parmetro a:

x 2y z ! 2 x 3y z ! 0

Encuentra el valor del parmetro a, a , para los cuales el2 x 3 y 2z ! 4

sistema: ax y z ! 26 x 5 y 3 z ! 5a

es compatible, y, en caso afirmativo, (PAU).

resulvelo.

Encuentra la relacin entre las soluciones obtenidas y la matriz inversa de la matriz de los coeficientes 2 3 1 1

(PAU).

Estudie, segn los valores del parametro a, el sistema de ecuacionesax ay ! a

lineales siguiente: x y az ! ax 2 y 3z ! a

(PAU).

Hallar P para que el siguiente sistema tenga solucin distinta de lax y z !0

trivial. Resolverlo en esos casos.

3x 4 y Pz ! 0 9 x 16 y P 2 z ! 0

Q ! Qx z

Hallar para que valores de Q es incompatible el sistema: 1 ! 2 x Qy z3 ! x 3z

Obtn los valores x, y, z que verifiquen la siguiente ecuacin matri cial: 1 1 1 1 y x 2 2 1 ! 0 1 0 1 z 0

Resolver el sistema de ecuaciones

x y 3z ! 0 2x 3y z ! 5

. Hallar la solucin

del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incgnitas sea igual a 4. (PAU. Septiembre 2006-07).x 2 y z 3v ! 4

Resolver el siguiente sistema:

x 2 y z 3v ! 4 2 x 4 y 2 z 6v ! 8 2x 2 z ! 0

(PAU Septiembre 2007-08).x 2 y 3z ! 1 2x y z ! 2

Resuelve el sistema de ecuaciones

. Hallar dos

constantes E y F de manera que al aadir al sistema anterior una tercera ecuacin: 5 x y Ez ! F , el sistema resultante sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2004-05).

Resuelve los siguientes sistemas:x y z ! 16 2 x 3 y 3 z ! 12 x 3 y 2 z ! 11 3x 5 y z ! 4 x 2y z ! 0 2x y 8z ! 0 x y 2 z ! 4 2x y 6z ! 3 x yz !0 x yz !0

a) x z ! 11y z ! 13 2x 3y z ! 0

b) x 4 y 5 z ! 113 x 2 y z ! 7 x yz !0

c) 2 x y 3 z ! 4 d) 2 x y 3 z ! 17

e) x 2 y z ! 64 x 7 y z ! 12

f) x y 2 z ! 0x 3y 4z ! 0

g) 3 x 4 y z ! 0 h) 2 x 3 y 2 z ! 0

Resuelve los siguientes sistemas:x y 1 ! 0

a) 2 x y 6 ! 0 b)x 3y ! 2

x y !5 yx!2

2x 4 y z ! 3

c) x 2 y z ! 33x y 5z ! 1

d)

5 x 2 y 3 z 7t ! 1 5x 2 y 3z ! 4

2x 3y z 2 ! 0 4 x y 3z 4 ! 0

9 x 5 y ! 10

x 3 y z ! 1

e) x 2 y 2 z 3 ! 0 f) y 3z ! 53 x 4 z ! 7

g)

x 5 y 3z ! 3 x y z !1 3x 7 y 5z ! 5

Resuelve los siguientes sistemas homogneos:x yz !0 x 2 y 3z ! 0

a) 2 x y ! 0x 3y 2z ! 0

b) 4 x 5 y 6 z ! 07x 8y 9z ! 0

Resuelve los sistemas de ecuaciones:2x 3y ! 1 x y !0

y

2x 3y ! 0 x y !1

Resuelve, utilizando un mtodo algebraico, el siguiente sistema dex yz !3

ecuaciones: 2 x y z ! 4x 4 y 2z ! 5

x 2y z ! 0

Sea el sistema de ecuaciones:

y 2z t ! 0 2 x 2P y t ! 0

Hallar los valores de P

para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2. Resolverlo si P = 0ax y 4 z ! 1

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x ay 2 z ! 1 yz!a

a) Discutir el sistema segn los valores de a. b) Resolver el sistema para a = 2. c) Resolver el sistema para a = 1 (PAU Septiembre 2000 -01).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente delx y!2

parametro real a: ax y 2 z ! 0 Se pide: a) Discutir el sistema segnx y az ! 1

los diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema para

a = - 1. c) Resolver el sistema para a =2.

(PAU Junio 2001 -02).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente delx 3 y az ! 4

parametro real a: x ay z ! 2x 4 y 5z ! 6

Se pide: a) Discutir el sistema segn

los diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2003 -04).

Se considera el sistema de ecuaciones en las incgnitas x, y, z , t .x 2y z ! 0 y 2z t ! 0 2 x 2P y t ! 0

a) Encuentra los valores de P para que el rango de la

matriz de los coeficientes del sistema sea 2. b) Resuelve el sistema anterior para P = 0. (PAU Junio 1997-98).ax y z ! a 1 a 2

Se considera el sistema de ecuaciones x ay z ! a 12 a 2x y az !a 13 a 2

a) Comprobar que es compatible para todo valor de a. b) Describir en terminos geometricos el conjunto de soluciones para a =1 y para a = -2. c) Resolverlo para a = -2 (PAU Junio 1999-2000).

P 1 1 1 x 1 1 P 1 Se considera el sistema de ecuaciones: 1 P 1 y ! 1 a) Discu P 1 1 z 1 tirlo segn los valores del parmetro real P . b) Resolverlo para P ! 3 . c) Resolverlo para P ! 1 . (PAU. Junio 2000 -01).

2 x my 3 z ! 3

Se considera el sistema de ecuaciones: x y 2 z ! 05 x m 1y z ! 9

se pide:

a) Discutir el sistema segn los valores de m. b) Resolver el sistema para el caso m = 0. (PAU Junio Especifica 2009-10).

m 2x m 1y z ! 3Se considera el sistema de ecuaciones: mx y z ! 2x my z ! 1

Se pide:

a) Resolverlo para m = 1. b) Discutirlo para los distintos valores de m. (PAU Junio 2002-03).

3x 4 y 3z ! 9

Se considera el sistema de ecuaciones: mx 2 y z ! 5x y z !2

Se pide:

a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solucin nica. b) Resolverlo para m = 1. (PAU Septiembre 2002 -03).

2. Enunciados Matrices-Ecuaciones

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