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MTODOS NUMRICOSTALLER 2

INDICE

Pg.

SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES 3.1. METODO GRAFICO 3.2. METODOS NUMERICOS DE CALCULO DE UNA RAIZ 3.2.1. Mtodos cerrados 3.2.1.1. Mtodo de la Biseccin 3.2.1.2. Mtodo de la Falsa Posicin o Regula Falsi 3.2.2. Mtodos abiertos 3.2.2.1. Mtodo de Aproximaciones sucesivas 3.2.2.2. Mtodo de Newton-Raphson o de la Tangente 3.2.2.3. Mtodo de Newton de segundo orden 3.2.2.4. Mtodo de Von Mises 3.2.2.5. Mtodo de la secante 3.3. RACES DE POLINOMIOS 3.3.1. Teoremas fundamentales de la Teora de ecuaciones algebraicas 3.3.2. Divisin sinttica 3.3.3. Regla de los signos de Descartes 3.3.4. Races racionales 3.3.5. Races irracionales 3.3.5.1. Mtodo de Newton-Raphson EJERCICIOS PROPUESTOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1. CONCEPTOS PREVIOS 4.2. MTODOS DE RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINELES 4.2.1. Mtodos directos 4.2.1.1. Mtodo de eliminacin de Gauss 4.2.1.2. Mtodo de Gauss - Jordan 4.2.1.3. Particin de matrices 4.2.2. Mtodos iterativos 4.2.2.1. Mtodo de Jacobi 4.2.2.2. Mtodo de GaussSeidel 4.2.2.3. Mtodo de Relajacin

21-40 21 22-35 22-26 22 24 26-35 26 29 31 32 34 35-39 35 36 37 37 37 38 39 41-55 41-42 42-54 42-48 42 46 47 48 49 52 54

4Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONESUno de los problemas ms antiguos y bsicos del clculo numrico es el problema de bsqueda de la solucin de una ecuacin, es decir encontrar los valores de la variable x que satisfacen la ecuacin f(x)=0, para una funcin f dada. Las ecuaciones pueden ser algebraicas (la funcin f es un polinomio), por ejemplo: x2+5x-4=0 o bien trascendentes puesto que estn constituidas por funciones trascendentes tales como funciones exponenciales, trigonomtricas, logartmicas, etc., por ejemplo: e-x x; sen x; ln x2 1. Solamente en casos muy simples, de ecuaciones algebraicas, existen frmulas que permiten resolverlas en trminos de sus coeficientes, para el resto de las ecuaciones se utilizan mtodos aproximados que permiten mejorar la solucin por simple repeticin del mismo mtodo hasta adquirir el grado de aproximacin requerido. Estos mtodos son apropiados para realizarlos utilizando computadoras puesto que comprenden la repeticin de un proceso, es decir iteracin. A continuacin se describen mtodos numricos que permiten calcular las races de ecuaciones algebraicas y trascendentes.

3.1. METODO GRAFICO

Este es un mtodo muy simple, consiste en calcular valores de la variable dependiente para distintos valores de la variable independiente. A continuacin se grafican en un sistema de ejes coordenados cartesianos y se observa el punto de interseccin de la funcin con el eje de las abscisas. Este punto proporciona una primera aproximacin a la raz de la ecuacin. Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el mtodo grfico, los valores aproximados de las races de x2-6 x +1 =0. Para ello se calcula el valor de la funcin en el intervalo [-2,8] y se representan los valores en un sistema de ejes cartesianos (Figura 3.1).y 20 15 10 5 0 -5 -10 -2 0 2 4 6 8 x

Figura 3.1. Grfico del polinomio x2-6 x +1

Se observa en el grfico que las races aproximadas son 0 y 6.

21Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

3.2. METODOS NUMERICOS DE CLCULO DE UNA RAIZ

Los mtodos de cmputo de una raz real de una ecuacin involucra dos pasos, en primer lugar la determinacin del intervalo de bsqueda, es decir el intervalo al que la raz pertenece, siempre que la ecuacin est vinculada a un sistema fsico y en segundo lugar la seleccin y aplicacin de un mtodo numrico apropiado para determinar la raz con la exactitud adecuada. Estos mtodos se clasifican en dos categoras: mtodos abiertos y mtodos cerrados. Los mtodos cerrados, tales como el mtodo de la biseccin y el de la falsa posicin, son aquellos que usan intervalos, se caracterizan por ser siempre convergentes pero la velocidad de convergencia es lenta. Los mtodos abiertos, mtodo de aproximaciones sucesivas, de Newton-Raphson, de Newton de 2 orden, de Von Mises, de la secante, requieren informacin nicamente de un punto, o de dos pero que no necesariamente encierran a la raz. La convergencia es ms rpida pero algunas veces divergen.3.2.1. Mtodos cerrados 3.2.1.1. Mtodo de la Biseccin

El mtodo de la biseccin, conocido tambin como de corte binario, de particin en dos intervalos iguales, de bsqueda binaria o de Bolzano se basa en el Teorema del Valor Intermedio y en el teorema de Bolzano.Teorema del valor intermedio: Si f[a,b] y k es un nmero cualquiera comprendido entre f(a) y f (b) entonces existe un c en el intervalo (a,b) tal que f(c)=k. Teorema de Bolzano: sea f una funcin contnua en el intervalo [a,b], con f(a)f(b) 0, la raz se encuentra en el segundo subintervalo (xM, xU). Se calcula una nueva aproximacin a la raz en el nuevo subintervalo y se contina con las iteraciones hasta la cota de error fijada de antemano. Las ventajas y desventajas del mtodo se detallan a continuacin:Ventajas Desventajas

Es siempre convergente

- Converge muy lentamente - Si existe ms de una raz en el intervalo, el mtodo permite encontrar slo una de ellas

A continuacin se presenta un algoritmo de este mtodo iterativo.Algoritmo para el mtodo de Biseccin Permite encontrar una solucin a la ecuacin f(x)=0, dada la funcin continua f en el intervalo [xL,xU]. Considerando la siguiente notacin: xL: lmite inferior del intervalo considerado xU: lmite superior del intervalo considerado xM: raz aproximada E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteraciones Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras i N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Tomar xM= xL+ Paso 4: Si

(x L + x U )2

xL + xU < E f(xM)=0, SALIDA xM 2

PARAR Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Si f(xL). f(xM) >0, tomar xL=xM,

si no tomar xU=xMPaso 7: SALIDA (Procedimiento completado sin xito despus de N iteraciones) PARAR

23Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el mtodo de la biseccin, una de las races de la ecuacin x3+x2-3x-3=0, considerando que la funcin cambia de signo en el intervalo (1,2). La estimacin inicial de la raz se sita en el punto medio de este intervalo: XM = Ahora se calcula f(xL). f(xM): f(1) . f(1,5) = (-4) . (-1,875) = 7,5 > 0 no hay cambio de signo entre a y x1, entonces la raz se encuentra en el intervalo (1,5, 2). La aproximacin a la raz en la segunda iteracin se calcula como xM = 1,5 + 2 = 1,75 2

(x L + x U )2

=

1+ 2 = 1,5 2

y f(1,5) . f(1,75) = -1,70312< 0 , por lo tanto la raz est en (1,5, 1,75), entonces la tercera iteracin es: xM =1,5 + 1,75 = 1,625 2

y as sucesivamente, en la sexta iteracin se llega a un valor de x6=1,734 bastante prximo al valor verdadero de la raz 1,73213.2.1.2. Mtodo de la Falsa Posicin o Regula Falsi

Este mtodo es similar al de la biseccin salvo que la siguiente iteracin se toma en la interseccin de una recta entre el par de valores x y el eje de las abscisas en lugar de tomar el punto medio. El reemplazo de la curva por una lnea recta da una posicin falsa de la raz, de aqu el nombre de mtodo de la regla falsa. Para aplicarlo se eligen los extremos xL y xU del intervalo entre los que se encuentra la raz, verificando que se cumpla que f(xL). f(xU) < 0. Si se observa la Figura 3.3, por semejanza de tringulos, puede escribirse la siguiente igualdad: f(xU ) f(xL ) = xM xL xM xU la siguiente frmula de iteracin o recurrencia: xM = xU f(xU ) xU xL f(xU ) f(xL ) (3.2) (3.1)

Y despejando de la expresin (3.1) el valor de xM, que es una aproximacin de la raz, se obtiene

El valor de xM, calculado con la ecuacin (3.2), reemplaza a uno de los dos valores, xL o xU que produzca un valor de la funcin que tenga el mismo signo de f(xM). De esta manera los valores xL y xU siempre encierran a la raz. Si f(xM)=0 el proceso termina. Si f(xM) tiene el mismo signo de f(xL), el prximo paso es elegir xL = xM y xU = xU. Si f(xM) tiene el mismo signo de f(xU) el prximo paso es elegir xL = xL y xU = xM.24Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

El proceso se repite en la misma forma hasta llegar a la cota de error. En la Figura 3.3 se presenta un esquema del mtodo.y

xL

(xM,0) xU x

Figura 3.3. Esquema del mtodo de la Falsa Posicin

Un algoritmo para este mtodo iterativo es el que sigue.Algoritmo para el mtodo de la Falsa Posicin Permite encontrar una solucin a la ecuacin f(x)=0, dada la funcin continua f en el intervalo [xL,xU], considerando la siguiente notacin: xL: lmite inferior del intervalo considerado xU: lmite superior del intervalo considerado xM: raz aproximada f(xL): valor de la funcin en xL f(xU): valor de la funcin en xU E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteraciones Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras i N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Tomar x M = x U f ( x U ) Paso 4: Si f ( x U ) PARAR Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Si f(xL). f(xM) >0, tomar xL=xM, si no tomar xU=xM Paso 7: SALIDA (Procedimiento completado sin xito despus de N iteraciones) PARAR

xU xL f(xU ) f(xL )

xU xL < E f(xM)=0, SALIDA xM f(xU ) f(xL )

25Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el mtodo de la falsa posicin, una de las races de la ecuacin planteada en el tem 3.2.1.1, considerando que la funcin cambia de signo en el intervalo (1,2). Se iniciarn los clculos con los valores iniciales xL = 1 y xU = 2 Primera iteracin: xL = 1, f(xL) = -4 xU = 2 f(xU) = 3 xM = 2 3 (2 1) = 1,57142 3 ( 4)

Segunda iteracin: Como f(xM)= -1,36449 tiene el mismo signo que f(xL), xM se convierte en el lmite superior de la siguiente iteracin, xU = 1,57142 xL = 1, f(xL) = -4 xU = 1,57142 f(xU) = -1,36449

x M = 1,57142 1,36449

(1,57142 1) = 1,70540 1,36449 ( 4)

Se procede de esta manera hasta que en la quinta iteracin el valor de xM es 1,73194 muy prximo al valor verdadero 1,7321 Las ventajas y desventajas del mtodo son:Ventajas Desventajas

Es siempre convergente

- Si existe ms de una raz en el intervalo, el mtodo permite encontrar slo una de ellas

Converge ms rpidamente que el mtodo de la biseccin

3.2.2. Mtodos abiertos 3.2.2.1. Mtodo de Aproximaciones sucesivas

El mtodo de aproximaciones sucesivas o iteracin de punto fijo es una forma muy til y simple de encontrar la raz de una ecuacin de la forma f(x)=0. Para ello se reordena la ecuacin de manera que x sea igual a g(x). Esta transformacin se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando x en ambos miembros de la ecuacin original. A una solucin de esta ecuacin se le llama un punto fijo de la funcin g. Sin embargo, es muy importante la seleccin de la funcin g(x), ya que no siempre converge con cualquier forma elegida de g(x).26Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

En sntesis, sea: f(x)=0 (3.3)

una ecuacin algebraica o trascendente y x = x* una raz de ella o sea un valor de x tal que la verifique idnticamente, es decir: f(x*)=0. Sumando x a ambos miembros de (3.3) se tiene f(x) +x = x y llamando g(x)= x + f(x) se tiene que: x = g(x) (3.4)

El mtodo de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir x0, un valor aproximado de la raz x* en el segundo miembro de la ecuacin (3.4), con lo que se obtiene: x1=g(x0) Procediendo reiteradamente de esta manera, la i-sima aproximacin o i-sima iteracin es: xi+1=g(xi) Un algoritmo para este mtodo iterativo es el que sigue.Algoritmo para el mtodo de Iteracin de Punto Fijo Permite encontrar una solucin a la ecuacin x=g(x), dada una aproximacin inicial x0.

(3.5)

Considerando la siguiente notacin:x0: aproximacin inicial a la raz x: aproximacin a la raz E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteraciones Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras i N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Tomar x= g(x0) Paso 4: Si x x 0 < E , SALIDA x PARAR Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Tomar x0=x Paso 7: SALIDA (Procedimiento completado sin xito despus de N iteraciones) PARAR

Si a medida que n crece, xi+1 tiende a x* se dice que el mtodo converge, en caso contrario diverge. Si el mtodo converge, la diferencia entre dos iteraciones sucesivas ser ms pequea a medida que i aumenta, lo que proporciona un criterio de terminacin de aplicacin del mtodo. Se acepta el siguiente teorema sin demostracin:

27Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Teorema: El mtodo de aproximaciones sucesivas converge si existe un nmero fijo m tal que: f ' ( x ) m < 1 .

Un planteamiento grfico diferente es el de separar la ecuacin x = g(x) en dos partes, como y1 = x (recta a 45) y y2 = g(x), stas se pueden graficar por separado. Los valores de x correspondientes a las intersecciones de estas funciones representan las races de f(x) = 0. En la Figura 3.4 se muestra la convergencia (a) y (b) ya que verifican el teorema de la convergencia y la divergencia (c) y (d) en el mtodo de Aproximaciones sucesivas.y

y

(a)

(b)

x

x1

x

x*

x

x0

x2

x*

x1

x

(c)y y

(d)

x* x1 x2

x

x1

a

x0 x2

x

Figura 3.4. Convergencia y divergencia del Mtodo de Iteracin de Punto Fijo

Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el mtodo de aproximaciones sucesivas, una de las races de la ecuacin x2 - 4x + 2=0, existen muchas formas de cambiar la ecuacin a la forma x=g(x). Si se despeja x de la ecuacin se tiene: x = o iteracin es xi+1 = ( xi )2 + 2 4 x2 + 2 , por lo tanto la ecuacin de recurrencia 4

28Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

En la tabla siguiente se muestran los valores obtenidos, se comienza con una aproximacin x0=1. El valor real de la raz (0.586) se alcanza luego de cinco iteraciones.xi 1 0,75 0,641 0,603 0,591 0,587 xi+1 0,75 0,641 0,603 0,591 0,587 0,586

Las ventajas y desventajas del mtodo son:Ventajas Desventajas

Es simple Es flexible

- No siempre es convergente, depende de la forma de la funcin g(x)

3.2.2.2. Mtodo de Newton-Raphson o de la Tangente

En este mtodo si el valor inicial de la raz es xi, se puede extender una tangente desde el punto (xi, f(xi)). El punto donde esta tangente corta al eje x representa una aproximacin mejorada de la raz. Existen por lo menos tres maneras usuales de introducir el mtodo de Newton Raphson puesto que se puede derivar a partir de un mtodo grfico a partir de la de iteracin de punto fijo bien utilizando la serie de Taylor. El desarrollo a partir de esta serie es el siguiente: f ( x i +1 ) = f ( x i ) + f ' ( x i )( x i +1 x i ) + f ' ' ( ) ( x i +1 x i )2 2 (3.6)

donde se encuentra en alguna parte del intervalo xi y x i+1. Truncando la serie de Taylor despus de la primera derivada, se obtiene: f(x i+1) f(xi) + f (xi)(x i+1-xi) (3.7)

donde f (xi) es adems de la derivada primera, la pendiente de la recta descripta. En la interseccin con el eje x, f(x i+1) debe ser igual a cero, o sea: 0 f(xi) + f (xi)(x i+1-xi) Resolviendo para x i+1:x i +1 = x i f ( xi ) f ' ( xi )

(3.8) (3.9)

La frmula (3.9) se denomina Frmula de Newton Raphson.

29Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Este mtodo definido por el denominador f (xi) hace que geomtricamente se pase de una aproximacin a la siguiente por la tangente a la curva y = f(x) trazada en el punto correspondiente a la aproximacin presente, esto puede observarse en la Figura 3.5.y

x*

x2

x1

x0

x

Figura 3.5. Mtodo de Newton-Raphson

Un algoritmo para este mtodo iterativo es el que sigue.Algoritmo para el mtodo de Newton-Raphson Permite encontrar una solucin a la ecuacin f(x)=0, dada una aproximacin inicial x0.

Considerando la siguiente notacin:x0: aproximacin inicial a la raz x: aproximacin a la raz f(x): funcin en estudio f(x): derivada de la funcin E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteraciones Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras i N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Tomar x = x 0

f(x 0 ) f ' (x 0 )

Paso 4: Si x x 0 < E , SALIDA x PARAR Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Tomar x0=x Paso 7: SALIDA (Procedimiento completado sin xito despus de N iteraciones) PARAR

Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el mtodo Newton-Raphson, una de las races de la ecuacin x2 - 4x + 2=0, se calcula la derivada primera de la funcin dada.30Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Como f(xi)= x2 - 4x + 2, su derivada primera es: f(xi)= 2x - 4. Por lo tanto la frmula de recurrencia es: x i +1 = x i f(xi ) x 2 4x + 2 = xi i f ' (xi ) 2x i 4

En la tabla siguiente se muestran los valores obtenidos, se comienza con una aproximacin x0=1. El valor real de la raz (0.586) se alcanza luego de dos iteraciones.xi 1 0,5 0,583 xi+1 0,5 0,583 0,586

Las ventajas y desventajas del mtodo son:Ventajas Desventajas

Converge ms rpido que cual- - No siempre es convergente, depende de quiera de los mtodos analizados la naturaleza de la funcin hasta ahora. - No es conveniente en el caso de races mltiples - Puede alejarse del rea de inters si la pendiente es cercana a cero

3.2.2.3. Mtodo de Newton de segundo orden

Si en lugar de considerar los dos primeros trminos de la serie de Taylor se consideran los tres primeros trminos (3.6), se representa con xi a la diferencia entre x i+1 y xi y se iguala a cero, se tiene: f ( x i ) + x i f ' ( x i ) + y sustituyendo xi por ( x i ) 2 f ' ' (xi ) = 0 2 (3.10)

f(xi ) (a partir de la frmula de Newton-Raphson) queda: f '(xi ) (3.11)

1 f(xi ) f ( x i ) + x i f ' ( x i ) f ' ' ( x i ) = 0 2 f ' (xi ) Despejando xi se obtiene:x i = f(x i ) f(xi ) f ' (xi ) f ' ' (xi ) 2f ' ( x i )

(3.12)

31Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

De la ecuacin (3.12) se puede despejar el valor de x i+1: x i +1 = x i f(xi ) f(xi ) f ' (xi ) f ' ' (x i ) 2f ' ( x i ) (3.13)

Este mtodo considera un mayor nmero de trminos de la serie por lo tanto converge ms rpidamente que el mtodo de Newton-Raphson. Un algoritmo para este mtodo iterativo es el que sigue.Algoritmo para el mtodo de Newton de segundo orden Permite encontrar una solucin a la ecuacin f(x)=0, dada una aproximacin inicial x0.

Considerando la siguiente notacin:x0: aproximacin inicial a la raz x: aproximacin a la raz f(x): funcin en estudio f(x): derivada primera de la funcin f(x): derivada segunda de la funcin E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteraciones Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras i N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Tomar x = x 0

f(x 0 ) f(x0 ) f ' (x 0 ) f ' ' (x 0 ) 2f ' ( x 0 )

Paso 4: Si x x 0 < E , SALIDA x PARAR Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Tomar x0=x Paso 7: SALIDA (Procedimiento completado sin xito despus de N iteraciones) PARAR

3.2.2.4. Mtodo de Von Mises

El mtodo de Newton-Raphson puede ser problemtico si se est en puntos alejados de las races y cercanos a puntos donde el valor de f(xi) sea prximo a cero. Para ello von Mises sugiri utilizar Newton-Raphson (frmula 3.9) sustituyendo el denominador f(xi) por f(x0), es decir obtener geomtricamente las siguientes aproximaciones por medio de paralelas a la primera tangente. La ecuacin de recurrencia es:

32Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

x i +1 = x i

f ( xi ) f ' (x0 )

(3.14)

En la Figura 3.6 se muestra un esquema de la aplicacin del Mtodo de von Mises.y

x*

x3 x2

x1

x0

x

Figura 3.6. Mtodo de von Mises

Un algoritmo para este mtodo iterativo es el que sigue.Algoritmo para el mtodo de Von Mises Permite encontrar una solucin a la ecuacin f(x)=0, dada una aproximacin inicial x0.

Considerando la siguiente notacin:x0: aproximacin inicial a la raz x: aproximacin a la raz f(x): funcin en estudio f(x00): valor de la derivada de la funcin para el valor inicial de aproximacin x0 E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteraciones Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras i N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Tomar x = x 0

f(x 0 ) f ' ( x 00 )

Paso 4: Si x x 0 < E , SALIDA x PARAR Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Tomar x0=x Paso 7: SALIDA (Procedimiento completado sin xito despus de N iteraciones) PARAR

3.2.2.5. Mtodo de la secante

Surge como una variacin del mtodo de Newton-Raphson, en lugar de tomar la tangente se toma la secante. De manera que la derivada se aproxima por una diferencia dividida, es decir:

33Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

f ' ( xi)

f ( x i 1 ) f ( x i ) x i 1 x i

(3.15)

Esto puede sustituirse en la frmula (3.9), de manera que se llega a: x i +1 = x i f ( x i )( x i 1 x i ) f ( x i 1 ) f ( x i ) (3.16)

La ecuacin (3.16) es la frmula para el mtodo de la secante. El mtodo requiere de dos valores iniciales pero como no se requiere que f(x) cambie de signo en el intervalo considerado, no se lo incluye dentro de los mtodos que utilizan intervalos. Un algoritmo para este mtodo iterativo es el que sigue.Algoritmo para el mtodo de la Secante Permite encontrar una solucin a la ecuacin f(x)=0, dadas dos aproximacin inicial x0 y x1.

Considerando la siguiente notacin:x0: aproximacin inicial a la raz x1: aproximacin inicial a la raz x: aproximacin a la raz f(x): funcin en estudio E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteraciones Paso 1: Tomar i = 2 Paso 2: Mientras i N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Tomar x = x 1

f ( x 1 )( x 0 x1 ) f ( x 0 ) f ( x1 )

Paso 4: Si x x 0 < E , SALIDA x PARAR Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Tomar x0=x1; x1=x Paso 7: SALIDA (Procedimiento completado sin xito despus de N iteraciones) PARAR

En la Figura 3.7 se muestra un esquema del mtodo.

34Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

y f(xi)

f(xi-1)

x*

xi-1

xi

x

Figura 3.7. Mtodo de la Secante

3.3. RACES DE POLINOMIOS

Los polinomios son funciones de relevancia en modelos de ciencia e ingeniera, a continuacin se detallan teoremas y reglas necesarias para el clculo de sus races.

3.3.1. Teoremas fundamentales de la Teora de ecuaciones algebraicas.

El teorema fundamental del Algebra indica:Teorema Fundamental del Algebra: Toda ecuacin algebraica de grado n admite n races reales o complejas.

A continuacin se enuncian y demuestran algunos teoremas de inters para encontrar las races de polinomios.Teorema del residuo: el residuo que resulta de dividir el polinomio P(x) entre el binomio (x a), es igual al valor del polinomio cuando x = a.

Demostracin: Sea Q(x) el cociente y R el residuo que resulta de dividir P(x) entre x a, por definicin de divisin de un polinomio entre un binomio se tiene: P(x) = (x a) Q(x) + R y si: x = a, P(a) = (a-a) Q(a) +R P(a) = R con lo que queda demostrado el teorema.

Teorema recproco: el valor del polinomio P(x) para x = a, es igual al residuo que resulta de dividir P(x) entre x a.

35Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Teorema del factor: si x =a es una raz de la ecuacin P(x) = 0, entonces x a es un factor del polinomio P(x).

P(x) = (x a) Q(x) + R y si: x = a, P(a) = (a-a) Q(a) +R P(a) = R Como P(a) =0 puesto que a es una raz de P(x) =0, el resto R es igual a cero por lo tanto puede afirmarse que (x a) es un factor de P(x).3.3.2. Divisin sinttica

La divisin de un polinomio P(x) entre (x-a) puede expresarse como: P(x) = (x a) Q(x) + R donde Q(x) es el cociente y R el resto o residuo. Si se considera queQ ( x ) = A 0 x n 1 + A1 x n 2 + A 2 x n 3 + L + A n 2 x + A n 1 es el cociente y R el re-

(3.17)

siduo o resto que resulta de dividir el polinomio: Pn ( x ) = a0 x n + a1 x n 1 + L + a n 1 x + an entre el binomio (x- a), entonces puede expresarse como: a 0 x n + a1x n 1 + L + a n 1x + a n = A 0 x n + ( A 1 aA 0 )x n 1 + ( A 2 aA 1 )x n 2 + L + + ( A n 1 aA n 2 )x + (R aA n 1 ) Como los polinomios de ambos miembros son iguales los coeficientes de las mismas potencias de x en ambos polinomios deben ser iguales entre s, luego: a0=A0 a1=A1 - a A0 ... an-1=A n-1 - a A n-2 an=R - a A n-1 de donde se obtiene: A0 =a0 A1= a1 + a A0 ... A n-1 = a n-1 + a A n-2 R = an + a A n-1 Estos son los coeficientes del polinomio, cociente y residuo buscados, los clculos se pueden arreglar de la siguiente forma:

36Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

a0 a A0

a1 a A0 A1

...

a n -1 a A n-2

an a A n-1 R

...

An-1

Este es un esquema de la divisin sinttica, se debe ordenar el polinomio P(x) en potencias decrecientes de x, insertando un 0 para todos los trminos con coeficientes nulos. Si P(x) es de grado n, entonces el cociente Q(x) es de grado n-1.3.3.3. Regla de los signos de Descartes

El nmero de races reales positivas en la ecuacin algebraica de coeficiente reales P(x) =0, es igual al nmero de cambios de signo en el polinomio P(x) o es menor que este nmero en un nmero par. El nmero de races negativas es igual al nmero de cambios de signo en el polinomio P(- x) o es menor que este nmero en un nmero par.3.3.4. Races racionales

Para determinar las races racionales de una ecuacin algebraica de coeficientes enteros o reales si se elimina la parte decimal multiplicndose por un nmero lo suficientemente grande pueden establecerse los siguientes pasos: 1. 2. 3. Escribir la ecuacin en orden descendente de potencias de x. Separa todas las races nulas. Determinar los nmeros mximos de races positivas y negativas por la regla de los signos de Descartes. 4. 5. 6. Establecer las posibles races racionales. Probar que una de estas es raz, aplicando el teorema recproco del factor. Separar la raz determinada y estudiar la ecuacin reducida obtenida, de manera de eliminar de la lista original de posibles races racionales las que ya no pueden ser.3.3.5. Races irracionales

Si una ecuacin algebraica posee races irracionales, en primer lugar se deben aplicar los procedimientos descriptos anteriormente para encontrar y separar las races racionales, de forma que se tenga una ecuacin reducida que posea solamente races irracionales. Si esta ecuacin es de primer o segundo grado, sus races se obtienen por medio de frmulas, para grados superiores al segundo se pueden aplicar los mtodos detallados anteriormente.

37Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

3.3.5.1. Mtodo de Newton-Raphson

Como la funcin considerada es un polinomio, se puede escribir la frmula (3.9) como:x i +1 = x i P( x i ) P' ( x i )

(3.18)

El polinomio P(x) puede expresarse como la ecuacin (3.17), si se toma x = xi, se tiene que: P(xi)= R (3.19)

El denominador de la ecuacin (3.18) puede obtenerse derivando la expresin (3.17) con respecto a x: P(x)=(x-xi)Q(x)+Q(x) Y haciendo x=xi, se llega a que: P(xi)= Q(xi) (3.21) (3.20)

Y de acuerdo con el teorema recproco al del residuo Q(x) puede determinarse como el residuo R que resulta de dividir Q(x) entre (x-xi) puesto que: Q(x)=(x-xi) S(x)+R Si se toma x=xi, resulta: P(xn) = Q(xn) =R (3.23) (3.22)

Sustituyendo en (3.18) se obtiene la expresin de Newton-Raphson para resolver una ecuacin algebraica: x i +1= x i R R'

(3.24)

Realizando consideraciones similares se llega a la frmula de recurrencia de Newton de segundo orden para una ecuacin algebraica:1 P ' ( x i ) 1 P' ' ( x i ) R' ' R' = + = P( x i ) 2 P ' ( x i ) R' R x i

(3.25)

Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el mtodo Newton-Raphson, una de las races irracionales de la ecuacin x3 +2x2-3x-3=0, (se sabe que una de las races es 1.4605), se comienza con x=2: 1 2 1 2 1 2 2 4 2 6 -3 8 5 12 17 -3 10 7

38Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Entonces se aplica la frmula (3.24) para obtener una mejor aproximacin de la raz:x1 = 2 7 = 1.5882 17

1 1,5882 1 1,5882 1 x 2 = 1,5882

2 1,5882 3,5882 1,5882

-3 5,6988 2,6988 8,2211

-3 4,2862 1,2862

5,1764 10,9198

1,2862 = 1,4704 10,9198

Se realiza la divisin sinttica para este valor y as sucesivamente hasta llegar al valor buscado.

EJERCICIOS PROPUESTOS 3.1. Calcule la raz cuadrada negativa de 0.8 utilizando el mtodo de aproximaciones sucesivas. 3.2. Evale, aplicando Iteracin de Punto Fijo, el factor de friccin f en una tubera por la que circu-

la un fluido con flujo turbulento. Este factor est dado por la ecuacin:1 e 9,35 = 1,14 2 log + . Considere que el dimetro D= 0,2 m; el espesor e=0,0035 m y el f D Re f

nmero de Reynolds, Re =3x104.3.3. Resuelva la ecuacin: sen 2x = 0, a partir de x0 =1,165, aplicando el mtodo de Newton de 2

orden.3.4. Aplique el mtodo de von Mises, y luego comprelo con Newton-Raphson y Newton de 2

orden, para resolver: 4x3 18 x2 + 12 x 6 = 03.5. Considere la pared de un horno, de 0,08 m de espesor, la temperatura del lado interno es 642

K, si las prdidas de calor desde la superficie externa se producen por conveccin y radiacin, determine la temperatura del lado externo de la pared (T1). La ecuacin que rige esta situacin problemtica es:

Los datos son:

k (T1 T0 ) + T14 Tf 4 + h (T1 Tf ) = 0 x

(

)

Conductividad trmica, k =1,33 W/mK; Emisividad, = 0.8;Temperatura del lado interno de la pared, T0 = 642 K; Temperatura del lado externo de la pared, T1;Temperatura del aire, Tf =299 K;

39Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Coeficiente convectivo de transferencia calrica, h =18 W/m2K; Constante de Stefan-Boltzmann, =5,67 x10-8 W/m2K4; Espesor de la pared, x=0,08 m.3.6. Un proyecto de Ingeniera Qumica requiere que se calcule, exactamente, el volumen molar

(v) de monxido de carbono a 80 bares de presin y 226 K, de tal forma que se pueda determinar el tubo adecuado que los contenga. Aplique los mtodos de Newton Raphson y von Mises. Datos: R=0.08314 bar m3/kgmol K; a=1.396 bar m6/(kgmol)2; b= 0,0345 m3/kgmol3.7. Demuestre que: 1, 2 y -2, son races de la ecuacin: x3 x2 - 4 x + 4 =0, utilizando el teorema

del factor.3.8. Resuelva la ecuacin: x3 7 x2 - 10 x + 16 =0, utilice la regla de los signos de Descartes.

40Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEn muchas ocasiones los problemas de matemticas aplicadas a la ciencia e ingeniera pueden reducirse a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Estos sistemas pueden resolverse tanto por mtodos exactos como por mtodos aproximados.

4.1. CONCEPTOS PREVIOS

Una ecuacin algebraica lineal es una ecuacin en donde en cada trmino aparece nicamente una variable o incgnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo, a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = c1, es una ecuacin algebraica lineal en las variables x1, x2, x3, , xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13,, a1n y el trmino independiente c1, son constantes reales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultneamente. Por ejemplo, a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = c1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = c2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + + a3n xn = c3M

(4.1)

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + ann xn = cn Aplicando la definicin de producto de matrices, en este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incgnitas, puede escribirse en forma matricial: a11 a12 a a 22 21 K K a n1 a n2 a13 K a1n a 23 a 2n K K a n3 a nn x1 c 1 x c 2 = 2 K K x n c n

(4.2)

Este sistema de ecuaciones se simboliza como [A]nxn [X]nx1 = [C]nx1, en donde A es la matriz del sistema, X es el vector incgnita y C es el vector de trminos independientes, que en forma sinttica se simboliza como AX=C.

41Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

La matriz formada por A, a la que se le agrega el vector de trminos independientes como ltima columna, se denomina matriz ampliada del sistema que se simboliza como [Aa].Solucin de un sistema de ecuaciones : es un conjunto de valores de las incgnitas que

verifican simultneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. De acuerdo con su solucin, un sistema puede ser compatible, si admite solucin; o incompatible si no admite solucin. Un sistema compatible puede ser determinado, si la solucin

es nica; o indeterminado, si la solucin no es nica.Teorema de Rouch Frobenius: Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada (rg (A) = rg (Aa)) entonces A X = C es compatible, y recprocamente.

El corolario de este teorema es el siguiente:Un sistema Compatible ser determinado (solucin nica) si el rango de la matriz de coeficientes es igual al nmero de incgnitas r(A)=n, y ser indeterminado (infinitas soluciones) si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el nmero de incgnitas r(A) < n

Las soluciones de un sistema compatible de la forma AX=C permanecen invariantes ante las siguientes operaciones elementales: Intercambio de dos filas o renglones cualesquiera. Multiplicacin de una fila por un escalar no nulo. Suma a una fila de una combinacin lineal no nula de otro rengln

4.2. MTODOS DE RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINELES

Para la resolucin de Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales se utilizan dos tipos de mtodos: mtodos directos y mtodos iterativos.4.2.1. Mtodos directos

Los mtodos directos son aquellos que obtiene la solucin exacta, salvo errores de redondeo en los clculos, luego de un nmero finito de operaciones elementales. Pertenecen a este grupo el mtodo de eliminacin de Gauss, el mtodo de Gauss-Jordan, particin de matrices, etc. A continuacin se describen los mtodos mencionados.4.2.1.1. Mtodo de eliminacin de Gauss

Consideremos el sistema de ecuaciones algebraicas lineales:

42Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = c1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = c2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + + a3n xn = c3M

(4.3a) (4.3b) (4.3c)

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + ann xn = cn

(4.3d)

El procedimiento para resolver este sistema consta de dos pasos: 1. Eliminacin hacia adelante de incgnitas. 2. Sustitucin hacia atrs 1. Eliminacin hacia adelante En la eliminacin hacia adelante, se reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial consiste en multiplicar la primera ecuacin del sistema (4.3a) por el a cociente entre los coeficientes de la primera incgnita de la segunda y primera ecuacin, 21 , a11 obtenindose: a a c a 21x 1 + a 21 12 x 2 + K + a 21 1n x n = a 21 1 a11 a11 a11 (4.4)

Como el primer trmino de la primera ecuacin modificada (4.4) es idntico al primer trmino de la segunda ecuacin (4.3b), se elimina la primera incgnita de (4.3b) restando la ecuacin (4.4) de (4.3b) y se llega a: a a c a 22 a 21 12 x 2 + K + a 2n a 21 1n x n = c 2 a 21 1 , es decir: a11 a11 a11

a22x2++a2nxn =c2

(4.5)

el apstrofe se utiliza para indicar que los coeficientes de las incgnitas han sufrido modificaciones en sus valores. El proceso se repite hasta que se elimina la primera incgnita de las ecuaciones restantes dando como resultado el siguiente sistema modificado: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = c1 a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = c2 (4.6a) (4.6b)

Man2 x2 + an3 x3 + + ann xn = cn (4.6d)

43Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

La ecuacin pivotal, es decir la que permanece invariante es la ecuacin (4.6a). A continuacin se repite el proceso para eliminar la segunda incgnita (x2) desde la tercera ecuacin hasta la ltima, restando a cada ecuacin la segunda ecuacin (4.6b) multiplicada pora' i2 (recora' 22

dando que i representa al nmero de fila o rengln, siendo i3): Una vez completado este paso se repite el procedimiento de manera de eliminar las incgnitas iniciales de las ecuaciones subsiguientes hasta llegar a la ltima, transformndose el sistema en un sistema triangular superior: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = c1 a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = c2 a33 x3 + + a3n xn = c3M

(4.7a) (4.7b) (4.7c)

a(n-1)nn xn = c(n-1)n 2. Sustitucin hacia atrs La ecuacin (4.7c) puede resolverse para xn: xn =

(4.7d)

cn

(n 1)

n a(nn 1)

(4.8)

Este resultado se puede sustituir en la (n-1)-sima ecuacin y resolver sta para x procedimiento se repite, evaluando las x restantes. Esquemticamente: a 11 a 21 a 31 a 11 a 12 a 22 a 32 a 12 a ' 22 x3 = a 13 a 23 a 33 a 13 a ' 23 a ' ' 33 c1 c2 c3 c1 c '2 c ' '3

n-1.

El

Eliminacin hacia adelante

c ' '3 a ' '3 (c '1 a ' 23 x 3 ) x2 = a 22 (c 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ) x1 = a 11

Sustitucin hacia atrs

Una de las desventajas de este mtodo es que durante el proceso en las fases de eliminacin y sustitucin es posible que ocurra una divisin entre cero. Por ello se ha desarrollado una estrategia del pivoteo que evita parcialmente estos problemas.

44Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

Si se resuelve un pequeo nmero de ecuaciones, el error por redondeo es pequeo y generalmente no afecta sustancialmente la precisin de los resultados, pero si se van a resolver simultneamente muchas ecuaciones, el efecto acumulativo del error por redondeo puede introducir errores relativamente grandes en la solucin. Por esta razn el nmero de ecuaciones simultneas que se puede resolver satisfactoriamente con el mtodo de eliminacin de Gauss, utilizando de 8 a 10 dgitos significativos en las operaciones aritmticas, se limita generalmente a 15 o 20. A continuacin se indica el algoritmo del mtodo.Algoritmo de Eliminacin de Gauss

Considerando el sistema (4.3) y la siguiente notacin: n: nmero de ecuaciones aij: elementos de la matriz ampliada Aa (1 i n y 1 j n + 1) p: ndice del elemento pivote Fi: fila iPaso 1: Para i = 1, ..., n-1 seguir los Pasos 2 a 4. (Eliminacin hacia adelante) Paso 2: Sea p el menor entero con i p n y api0.

Si p no puede encontrarse, SALIDA (No existe solucin nica)PARAR Paso 3: Si pi intercambiar la fila p por la fila i Paso 4: Para j= i+1, ..., n seguir los Pasos 5 a 6 Paso 5: Hacer m ij =

a ij a ii

Paso 6: Realizar Fj-mijFi e intercambiarla por la fila Fj Paso 7: Si ann=0 entonces SALIDA (No existe solucin nica) PARAR Paso 8: Hacer x n =

cn (Sustitucin hacia atrs) a nn

Paso 9: Para i= n-1, ..., 1 tomar

n 1 c i a ij x j xi = a ii j = i +1

Paso 10: SALIDA X (es decir (x1,x2, ...,xn)) PARAR

x1 + x 2 + 2x 3 = 3 Por ejemplo, se desea resolver el sistema 3 x 1 x 2 + x 3 = 1 , aplicando el mtodo de eli 2x 1 + 3 x 2 4 x 3 = 8 minacin gaussiana.45Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

a) Eliminacin hacia adelante Como el coeficiente de la primera incgnita es 1, se multiplica la primera ecuacin por 3 y se resta el resultado de la segunda ecuacin, luego se multiplica por 2 la primera ecuacin y se resta de la tercera de manera que el sistema queda reducido a:

x1 + x 2 + 2x 3 = 3 4 x 2 5 x 3 = 8 x 2 8x 3 = 2 Se procede ahora a eliminar la segunda incgnita de la tercera ecuacin, para ello se divide la segunda ecuacin por -4 y se multiplica por el coeficiente de la tercera ecuacin que en este caso es 1, quedando la segunda como: x 2 + ecuacin. El sistema es ahora: x1 + x 2 + 2x 3 = 3 4 x 2 5 x 3 = 8 37 x3 = 0 4 b) Sustitucin hacia atrs Se despeja x3 de la tercera ecuacin, en este caso: x3=0, se reemplaza este valor en la segunda ecuacin: 4 x 2 = 8 por lo tanto x2=2 y por ltimo se reemplazan estos valores en la primera ecuacin x 1 + 2 = 3 entonces x1=1.4.2.1.2. Mtodo de Gauss - Jordan5 x 3 = 2 y se resta este resultado de la tercera 4

Es diferente al mtodo de eliminacin gaussiana puesto que cuando se elimina una incgnita no slo se elimina de las ecuaciones siguientes sino de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminacin genera una matriz identidad en lugar de una matriz triangular. Por consiguiente no es necesario emplear la sustitucin hacia atrs para obtener la solucin. A continuacin se esquematiza el mtodo.

46Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

a 11 a 21 a 31 1 0 0 x1

a 12 a 22 a 32 0 1 0

a 13 a 23 a 33

0 0 1

c1 c2 c3

c *1 c *2 c *3 = = = c *1 c *2 c *3

x2 x3

Por ejemplo, si se desea resolver el sistema anterior utilizando este mtodo, se escribe el sistema en forma matricial, se trabaja con la matriz ampliada (formada por la matriz de coeficientes a la que se le adiciona una ltima columna constituida por los trminos independientes), luego se efectan operaciones elementales en las filas hasta llegar a la matriz identidad quedando los valores de las incgnitas en la ltima columna de la matriz ampliada.

2 3 3F1 +F2 1 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1F2 +F1 1 4F2 3 2 F3 F +F3 3 1 1 1 F1 +0 4 5 8 /0 1 5 / 4 2 2 2 3 4 8 0 1 8 2 0 1 8 2 3/ 4 1 4 1 0 1 0 3 / 4 1 3 / 4F3 +F1 1 0 0 1 F3 5 +F 0 1 0 1 5 / 4 2 / 4F 2 0 1 0 2 37 5/4 2 3 0 0 37 / 4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Se llega al mismo resultado que con el mtodo anterior, es decir x1=1, x2=2 y x3=0. Este no es un mtodo recomendable ya que involucra alrededor de un 50% de clculos adicionales, sin que haya ms beneficios.4.2.1.3. Particin de matrices

Este mtodo puede utilizarse para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales, y consiste en dividir las matrices de la ecuacin matricial del sistema en submatrices de ordenmenor.

Dado un sistema de ecuaciones, expresado en notacin matricial, [A]2x2 [X]2x1 = [C]2x1. Si A22 representa una submatriz de A con inversa conocida, formada por alguno de los renglones da A y el mismo nmero de columnas de A, se puede expresar la ecuacin matricial en forma notacional como: A 11 A 12 x1 c 1 A = 21 A 22 x 2 c 2 (4.9)

47Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

En donde fijada la posicin de la submatriz A22 en A, quedan obligadas las de las otras submatrices. Para resolver el sistema matricial se realizan las operaciones matriciales indicadas en l, producto e igualdad, teniendo en cuenta que los elementos matriciales son a la vez matrices. Se tiene: A11 x1 + A12 x2 = c1 A21 x1 + A22 x2 = c2 (4.10) (4.11)

Despejando el vector x2 de (4.11), se obtiene: A22 x2 = c2 - A21 x1 y por lo tanto: x2 = A22-1(c2 - A21 x1) Sustituyendo (4.13) en (4.10) y despejando el vector x1, se llega a: A11 x1 + A12 A22-1(c2 - A21 x1) = c1 (A11 - A12 A22-1 A21) x1 = c1 - A12 A22-1c2 x1 = (A11 - A12 A22-1 A21)-1(c1 - A12 A22-1c2) (4.14) (4.13)

En esta ltima expresin se hace B = A11 - A12 A22-1 A21 y D = A12 A22-1, por lo tanto (4.14) queda como: x1 = B-1(c1 - Dc2) Reemplazando la ecuacin (4.15) en la ecuacin (4.13): x2 = A22-1 c2 - A22-1 A21 B-1(c1 - Dc2) x2 = - A22-1 A21 B-1c1 + (A22-1+ A22-1 A21 B-1D) c2 (4.16) (4.15)

Haciendo en esta ltima expresin: E = A22-1 A21 y F = A22-1+ E B-1D, se puede escribir (4.16) como sigue: x2 = - EB-1 c1 + F c2 En sntesis se llega a: x1 B 1 B 1D c 1 = x F c 2 2 EB 14.2.2. Mtodos iterativos

(4.17)

(4.18)

Los mtodos iterativos o de aproximaciones sucesivas se utilizan cuando los sistemas de ecuaciones a resolver son de grandes dimensiones o bien son sistemas dispersos (la matriz de coeficientes posee muchos ceros). Estos mtodos construyen una sucesin de aproximaciones a

48Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

la solucin de las incgnitas hasta obtener una precisin determinada o hasta completar un nmero determinado de iteraciones. Son ejemplos el mtodo de Jacobi, el de Gauss-Seidel, etc.4.2.2.1. Mtodo de Jacobi

Si se considera un sistema de ecuaciones algebraicas, que puede escribirse en forma matricial como [A] [X] = [C] y que A = D + R, donde D es una matriz diagonal; es decir, una matriz cuadrada cuyos elementos sobre la diagonal principal son los nicos diferentes de cero. Entonces puede escribirse que: (D + R) X = C DX = C RX X = D-1C D-1R X (4.19)

Se admite que la diagonal de A no contiene elementos nulos, para que exista la matriz inversa D-1. La ecuacin (4.19) sugiere el mtodo iterativo: X k+1= D-1C D-1R Xk (4.20)

Este es el mtodo iterativo de Jacobi, de iteraciones totales o de desplazamientos simultneos, definido por la ecuacin de recurrencia (4.20), significa que del sistema de ecuaciones, se

despeja x1 de la primera ecuacin, x2 de la segunda, etc., obtenindose las siguientes ecuaciones: c a12 x 2 a13 x 3 K a1n x n x1 = 1 a11 x2 = c 2 a 21x 1 a 23 x 3 K a 2n x n a 22 (4.21)

(4.22)

c a 31x1 a 32 x 2 K a 3n x n x3 = 3 a 33M

(4.23)

xn =

c n a n1x1 a n2 x 2 K a n,n 1x n 1 a nn

(4.24)

Para aplicar el mtodo, se considera una primera aproximacin al valor de las incgnitas x, que se denomina X(0) (el suprandice indica el orden de aproximacin). Se sustituye esta primera aproximacin en los segundos miembros de las ecuaciones (4.21) a (4.24), por ejemplo, si se toma la solucin trivial, en la ecuacin (4.21) se encuentra x1 haciendo x2 hasta xn iguales a cero. Luego se calcula x2 de la ecuacin (4.22) tomando x1, x3, xn iguales a cero y as sucesivamente hasta llegar a la ltima ecuacin y encontrar xn. Se obtiene de esta manera una nueva aproxima-

49Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

cin a los valores de las incgnitas, es la aproximacin de orden 1, es decir X(1). El procedimiento se repite hasta que la solucin converja cerca de los valores reales. La convergencia se puede verificar usando el criterio de error relativo. Este mtodo es muy poco utilizado debido a que el mtodo de Gauss-Seidel converge ms rpidamente a la solucin y adems lo hace cuando no se logra que el mtodo de Jacobi converja. La condicin suficiente para que el mtodo de Jacobi converja es que la matriz de coeficientes sea diagonal dominante, es decir que cada elemento de la diagonal principal es mayor en valor absoluto que la suma del resto de los elementos de la misma fila en la que se encuentra el elemento en cuestin. A continuacin se presenta un algoritmo para este mtodo iterativo.Algoritmo de Jacobi

Considerando la siguiente notacin: n: nmero de ecuaciones aij: elementos de la matriz A (i indica el nmero de fila y j el nmero de columna en el que se encuentra el elemento en cuestin) ci: elementos del vector C x0i: componentes de la primera aproximacin al vector solucin (esta primera aproximacin es X0) xi(k): componentes de la aproximacin de orden k al vector solucin, k vara de 1 a N (indica el orden de aproximacin o iteracin) E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteracionesPaso 1: Para k = 1 Paso 2: Mientras k N seguir con los pasos 3 a 6 Paso 3: Para i= 1, ..., n, calcular la aproximacin de orden 1 mediante la frmula:

n 1 c i a ij x 0 j xi = a ii j=1 ji

Paso 4: Si X X 0 < E , SALIDA X (es decir (x1,x2, ...,xn)) PARAR Paso 5: Tomar k = k+1 Paso 6: Para i= 1, ..., n tomar x0i=xi Paso 7: SALIDA (Nmero mximo de iteraciones completado) PARAR

50Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

2x 1 x 2 0,1x 3 = 4 Por ejemplo, se desea resolver el sistema 0,1x1 + 7 x 2 0,3 = 20 utilizando este mtodo, 3 x 1 2x 2 + 100 x 3 = 450 suponiendo una cota de error del 3 %. Se despeja x1 de la primera ecuacin, x2 de la segunda y x3 de la tercera ecuacin. x1 = 4 + x 2 + 0,1x 3 20 0,1x1 + 0,3 x 3 450 3 x 1 + 2 x 2 ; x2 = ; x3 = 2 7 100

Se supone como primera aproximacin la solucin trivial, entonces de la primera ecuacin se despeja x1 suponiendo que x2 = x3= 0 por lo tanto x1= 2. Se calcula x2 suponiendo que x1=x3=0, es decir: x 2 = x3 = 450 = 4,5 . 100 Se realiza una nueva iteracin con los valores: x1= 2; x2= 2.857 y x3= 4.5, es decir: x1 = 4 + 2,857 + 0,1( 4,5) = 3,653 220 ((0,1) . ( 2)) + 0,3( 4,5) = 3,021 7 450 ((3).( 2)) + 2 (2,857 ) = 4,497 100

20 = 2,857 y 7

por ltimo x3 que es:

x2 =

x3 =

Se calcula el error relativo porcentual de aproximacin: E x1 = 3,653 2 .100 = 45,25% ; 3,653 3,021 2,857 .100 = 5,43% ; 3,021 4,497 4,5 .100 = 0,07% 4,497 Se realiza una nueva iteracin, ahora con x1= 3,653; x2= 3,021 y x3= 4,497 y se llega a que x1=3,735 con Ex1= 2,19 %; x2=2,998 con Ex2= 0,77 %; x3=4,451 con Ex3= 1,03 %.

E x2 =

E x3 =

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4.2.2.2. Mtodo de GaussSeidel

Es un mtodo iterativo que disminuye el error de redondeo, se denomina tambin de desplazamientos sucesivos o de iteraciones parciales. Si se tiene un conjunto de n ecuaciones (4.1), que puede escribirse en forma matricial como: [A] [X] = [C] y si los elementos de la diagonal principal son diferentes de cero, la primera ecuacin se puede resolver para x1, la segunda para x2, etc., lo que lleva a las ecuaciones (4.21) a (4.24). Se puede comenzar el proceso de solucin utilizando una aproximacin inicial X0 a la solucin que es el vector columna X. La solucin trivial puede servir de valor inicial, se supone que x2, ..., xn valen 0. Estos valores se sustituyen en la ecuacin (4.21) y de ella se despeja un nuevo valor de x 1 = c1 . Luego se sustituye el nuevo valor de x1 con x3,, xn iguales a cero en la ecuaa11

cin (4.22) y se calcula un nuevo valor de x2. Este procedimiento se repite en cada una de las ecuaciones hasta llegar a la ecuacin (4.24) de la que se calcula un nuevo valor de xn. Se regresa a la primera ecuacin y se repite todo el proceso hasta que la solucin converja cerca de los valores reales. La convergencia se puede verificar usando el criterio de error relativo. Este mtodo se diferencia del de Jacobi puesto que una vez que se calcula una aproximacin a una incgnita se utiliza esta aproximacin en la misma iteracin. Las condiciones suficientes para que el mtodo de Gauss-Seidel converja es que la matriz de coeficientes sea diagonal dominante o bien que la matriz de coeficientes sea simtrica y definida positiva. Un algoritmo del mtodo se muestra a continuacin.Algoritmo de Gauss-Seidel

Considerando la siguiente notacin: n: nmero de ecuaciones aij: elementos de la matriz A (i indica el nmero de fila y j el nmero de columna en el que se encuentra el elemento en cuestin) ci: elementos del vector C x0i: componentes de la primera aproximacin al vector solucin (esta primera aproximacin es X0) xi(k): componentes de la aproximacin de orden k al vector solucin, k vara de 1 a N (indica el orden de aproximacin o iteracin) E: cota de error o criterio de detencin N: nmero mximo de iteracionesPaso 1: Para k = 1 Paso 2: Mientras k N seguir con los Pasos 3 a 6 Paso 3: Para i= 1, ..., n, calcular la aproximacin de orden i mediante la frmula:

xi =

1 a ii

i 1 n c i a ij x a ij x j 0j j =1 j=i+ 1

continua

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Paso 4: Si X X 0 < E , SALIDA X (es decir (x1,x2, ...,xn)) PARAR Paso 5: Tomar k = k+1 Paso 6: Para i= 1, ..., n tomar x0i=xi Paso 7: SALIDA (Nmero mximo de iteraciones completado) PARAR

2x 1 x 2 0,1x 3 = 4 Por ejemplo, se desea resolver el sistema 0,1x1 + 7 x 2 0,3 = 20 utilizando este mtodo, 3 x 1 2x 2 + 100 x 3 = 450 suponiendo una cota de error del 3 %. Se despeja x1 de la primera ecuacin, x2 de la segunda y x3 de la tercera ecuacin. x1 = 4 + x 2 + 0,1x 3 20 0,1x1 + 0,3 x 3 450 3 x 1 + 2 x 2 ; x2 = ; x3 = 2 7 100

Se supone que x2 = x3= 0, por lo tanto x1= 2, con este nuevo valor y con x3= 0 se calcula x2, es decir: x2 = 20 ((0,1) . ( 2)) = 2,828 7

con este valor y x1= 2 se calcula x3, x3 = 450 ((3).(2)) + 2 (2,828 ) = 4,497 100 Con estos nuevos valores de x2 y x3 se determina un nuevo valor de x1 x1 = 4 + 2,828 + 0.1( 4,497 ) = 3,639 2

Con este valor y x3= 4,497 se calcula x2: x2 = 20 ((0,1) . (3,639 )) + 0,3( 4,497 ) = 2,998 7

Y con este valor y x1=3,639 se encuentra el nuevo valor de x3

53Mtodos Numricos Ing Miguel cobos A

x3 =

450 ((3).(3,639 )) + 2 (2,998 ) = 4,451 100 Se calcula el error relativo porcentual de aproximacin:

E x1 =

3,639 2 .100 = 45,04% ; 3,639 2,998 2,828 .100 = 5,67% ; 2,998 4,451 4,497 .100 = 1,03% 4,451

E x2 =

E x3 =

En la tercera iteracin se llega a que x1=3,722 con Ex1= 2,23 %; x2=2,995 con Ex2= 0,1 %; x3=4,448 con Ex3= 0,07 %.4.2.2.3. Mtodo de Relajacin

El mtodo de relajacin fue ideado por el ingeniero britnico Richard Southwell, converge ms rpidamente que el de Gauss-Seidel. Consiste en tomar nueva aproximacin a la solucin como una combinacin lineal de la solucin de la etapa anterior, es decir aplicando la frmula (4.24) correspondiente al mtodo de Gauss-Seidel pero con la incorporacin de un factor de relajacin denominado w: x i(k ) = (1 w )x (k 1) + w i 1 a iii 1 n c i a ij x a ij x j 0j j =1 j=i+ 1

(4.25)

En esta frmula el suprandice k indica que es la k-sima iteracin y a w se le asigna un valor entre 0 y 2, este valor se determina por prueba y error y el mtodo se denominar: Mtodo de sub-relajacin, si 0