PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:

¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el melate ?

¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ?

¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.

¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,

PROBABILIDAD

Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien de una forma sencilla interpretar la probabilidad. En este curso lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias.

PROBABILIDAD

El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico.

El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.

PROBABILIDAD

Fenómenos Aleatorios y

Fenómenos Determinísticos.

Fenómeno Aleatorio.-

Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad.

Fenómeno Determinista.-

Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.

PROBABILIDAD

La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Experimento aleatorio.-

Una acción que se realiza con el propósito de analizarla. Tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados.

Se considera como aleatorio y estocástico, si sus resultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones.

PROBABILIDAD

Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

PROBABILIDAD

Ejemplos:

Tirar dardos en un blanco determinado

Lanzar un par de dados

Obtener una carta de una baraja

Lanzar una moneda

PROBABILIDAD

Otros ejemplos de eventos:

A: que al nacer un bebe, éste sea niña

B: que una persona de 20 años, sobreviva 15 años más

C: que la presión arterial de un adulto se incremente ante un disgusto

PROBABILIDAD

Probabilidad e Inferencia.

Se presentan dos candidatos al cargo de la presidencia del CEUDLA, y se desea determinar si el candidato X puede ganar.

Población de interés: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarán el día de las elecciones.

Criterio de gane: Si obtiene el más del 50% de los votos.

PROBABILIDAD

Supóngase que todos los estudiantes de la UDLA van a las urnas y se elige de manera aleatoria, una muestra de 20 estudiantes.

Si los 20 estudiantes apoyan al candidato

¿ Qué concluye respecto a la posibilidad que tiene el candidato X de ganar las elecciones ?

PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

2.- EL CANDIDATO Y GANARA

3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%

Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN LA POBLACION SERA IGUAL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD

TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.

LLAME X = CAE AGUILA

Y = CAE SOL.

¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.

PROBABILIDAD

TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.

LLAME X = CAE AGUILA

Y = CAE SOL.

¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.

PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20 VOTANTES DE LA MUESTRA LO APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIA VOTAR POR EL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD

NO.

SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20 VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA MUY POCO PROBABLE.

PROBABILIDAD

Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados

de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.

Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como

puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).

S = s, a

PROBABILIDAD

2.- Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

PROBABILIDAD

Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… S Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden

contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento.

Al número de puntos muestrales de S se le

representa por N(S)

PROBABILIDAD

Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades:

Evento seguro.- Siempre se verifica después del

experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral.

E = S y N(E) = N(S) Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica

como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.

S, y N() = 0

PROBABILIDAD

Evento Elemental.- Es el evento E que

contiene exactamente un punto muestral

de S, esto es, N(E) = 1.

Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral.

Si s1, s2 S entonces s1, s2 son eventos elementales.

PROBABILIDAD

Ejemplos (1) y (2):

En el experimento 1,

S = s, a , s y a son sucesos elementales

N(S) = 2

A = Que caiga sol = s , N(A) = 1

B = Que caiga águila = a , N(B) = 1

PROBABILIDAD

En el experimento 2,

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y

N(S) =6

A = Que caiga un uno = 1

B = Que caiga un dos = 2

: : :

F = Que caiga un seis = 6

PROBABILIDAD

Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto

N(E) > 1

Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como:

s tal que cA s A

PROBABILIDAD Ejemplo: Experimento: Se lanza una moneda tres veces. Espacio Muestral: Ω = (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),

(S,A,A), (A,A,A) , N(Ω) = 8, S es el evento seguro. Evento simple: B:Que salgan tres soles; B = (S,S,S) , N(B) = 1 Evento compuesto: E: Que salgan al menos dos soles; E = (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) , N(E) = 4 Evento imposible: (conjunto vacio). N() = 0

PROBABILIDAD

Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).

Por tanto para el ejemplo anterior existen: 28 = 256, eventos posibles. Para el caso del experimento: se tira una

moneda, el espacio muestral es de 2 puntos muestrales S = A, S, por lo que se tienen 22 = 4

subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S), (A), (S), (conjunto vacio).

PROBABILIDAD

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

PROBABILIDAD

OPERACIÓN

EXPRESION DESCRIPCION

UNION A B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos

suceden INTERSECCION A B Intersección de los eventos

originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

PROBABILIDAD

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn.

Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B Ω gráficamente se puede expresar como:

S

A B

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD

S

A B

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos comunes.

Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente exclusivos, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A B = , lo que ocurre en la fig. 1.

PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = 1,2,3,4,5,6 , N(S) = 6

Sean A, B, C los eventos:

A: Que caiga un número impar = 1, 3, 5 ,

N(A) = 3

B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5 = 3, 4 , N(B) = 2

C: Que caiga un número par = 2, 4, 6 ,

N(C) = 3

PROBABILIDAD

A B = 1, 3, 5 3, 4 = 1,3,4,5, N(A B) = 4

A C = 1, 3, 5 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S, N(A C) = N(S) = 6

B C = 3, 4 2, 4, 6 = 2,3,4,6, N(B C) = 4

A B C = 1, 3, 5 3, 4 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S,

N(A B C) = 6

S

A

B

C

1

5

3

4

2 6

PROBABILIDAD

A B= 1, 3, 5 3, 4 = 3, N(AB) = 1 A C= 1, 3, 5 2,4,6 = , N(A C) = N) = 0 B C= 3, 4 2, 4, 6 = 4, N(B C) = 1 (A B) C = ( 1, 3, 5 3, 4 ) 2,4,6 = 3 2,4,6 =, N((A B) C) = N) = 0 A (B C) = 1, 3, 5 ( 3, 4 2,4,6 )= 1, 3, 5 4 =, N(A (B C)) = N) = 0

S

A

B

C

3

4

PROBABILIDAD

A – B = = 1, 3, 5 - 3, 4 = 1, 5 , N(A – B) = 2

A – C = 1, 3, 5 - 2,4,6 = 1,3,5 = A, N( A – C) = N(A) = 3

B – C = 3, 4 - 2,4,6 = 3 , N(B-C) = 1

S

A

B

C

1

5

3

PROBABILIDAD

Ac = 2, 4, 6 = C N(Ac ) = N( C )= 3

Bc = 1, 2, 5, 6 N(Bc ) = 4

Cc = 1, 3, 5 = A N(Cc ) = N(A) = 3

S

A

B

C

1

5

3

4

2 6

PROBABILIDAD

Probabilidad Clásica y Frecuencial.

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor.

Ejemplo: La regularidad estadística en el experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga sol s , se tiende a estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

PROBABILIDAD

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

La probabilidad de un evento A, denotada por P(A), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el número de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.

PROBABILIDAD

Esto es:

donde

N(A) = número de elementos del evento A

N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.

( )( ) (2)

( )

N AP A

N

PROBABILIDAD

Probabilidad clásica.-

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

donde

NCF - número de casos favorables

NCT - número de casos totales

(1) )(NCT

NCFAP

PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento.- Se lanza una moneda

Evento A.- que al lanzar una moneda caiga águila.

Calcular la probabilidad de A:

S = A, S, N(Ω) = 2

A = A , N(A) = 1

( ) 1( ) .5

( ) 2

N AP A

N