MATEMÀTIQUES II
207
MATEMÀTIQUES II (ANÀLISI MATEMÀTIC, ÀLGEBRA, GEOMETRIA, i ESTADÍSTICA I PROBABILITAT) 2n de Batxillerat de Ciències Antonio Cipriano Santiago Zaragoza IES Ramón Giraldo Villanueva de los Infantes Maite Alejandre Gómez IES Joan Fuster Bellreguard
Transcript of MATEMÀTIQUES II
MATEMÀTIQUES II
(ANÀLISI MATEMÀTIC, ÀLGEBRA, GEOMETRIA, i
ESTADÍSTICA I PROBABILITAT)
2n de Batxillerat de Ciències
Antonio Cipriano Santiago Zaragoza IES Ramón Giraldo
Villanueva de los Infantes
Maite Alejandre Gómez IES Joan Fuster
Bellreguard
ipri
i
Índex general
Índex general
BLOC D'ANÀLISI MATEMÀTIC
UNITAT 1:
LÍMITS
1. SUCCESSIONS .................................................................................................................................... 1
2. LÍMIT D’UNA SUCCESSIÓ ................................................................................................................ 1
3. ENTORNS EN LA RECTA. DISTÀNCIA........................................................................................... 2
4. LÍMIT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT .............................................................................................. 2
4.1. DEFINICIONS................................................................................................................................. 3 4.2. APLICACIÓ: CÀLCUL D’UN LÍMIT APLICANT LA DEFINICIÓ ............................................................... 4
5. LÍMITS INFINITS: ASÍMPTOTES VERTICALS ............................................................................... 5
6. LÍMITS EN L ‘INFINIT: ASÍMPTOTES HORITZONTALS ............................................................. 6
7. LÍMITS INFINITS EN L’INFINIT: ASÍMPTOTES OBLÍQÜES ....................................................... 7
8. ALGUNS LÍMITS IMPORTANTS ...................................................................................................... 7
9. INDETERMINACIONS ....................................................................................................................... 9
UNITAT 2:
CONTINUÏTAT
1. CONCEPTE DE FUNCIÓ CONTÍNUA ............................................................................................ 15
1.1. DEFINICIONS............................................................................................................................... 15 1.2. APLICACIÓ: ESTUDI DE LA CONTINUÏTAT EMPRANT LA DEFINICIÓ − ...................................... 16 1.3. APLICACIÓ: CONTINUÏTAT EN PUNTS AÏLLATS I EN PUNTS D’ACUMULACIÓ...................................... 17
2. OPERACIONS AMB FUNCIONS CONTÍNUES ............................................................................. 18
3. CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS ELEMENTALS .................................................................... 18
4. DISCONTINUÏTATS: CLASSIFICACIÓ .......................................................................................... 20
5. TEOREMA DE BOLZANO I DE WEIERSTRASS ........................................................................... 23
UNITAT 3:
DERIVADES
1. TAXA DE VARIACIÓ ....................................................................................................................... 25
2. CONCEPTE DE DERIVADA ............................................................................................................ 25
2.1. DERIVADES LATERALS ...................................................................................................................... 26 2.2. DERIVABILITAT I CONTINUÏTAT ......................................................................................................... 26 2.3. OPERACIONS AMB FUNCIONS DERIVABLES ......................................................................................... 28
3. TAULES DE DERIVADES ................................................................................................................ 30
4. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA ................................................................ 37
5. INTERPRETACIÓ FÍSICA DE LA DERIVADA .............................................................................. 38
6. DERIVADES SUCCESSIVES ........................................................................................................... 38
ipri
ii
Índex general
UNITAT 4:
APLICACIONS DE LES DERIVADES
1. ESTUDI GLOBAL I LOCAL DE FUNCIONS .................................................................................. 39
1.1. MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ ............................................................................................................. 39 1.2. EXTREMS RELATIUS (EXTREMS LOCALS O PUNTS CRÍTICS) .................................................................. 39 1.3. CURVATURA D’UNA FUNCIÓ: PUNTS D’INFLEXIÓ ............................................................................... 40
1.3.1. Definición no rigurosa de convexidad ............................. 40 1.3.2. Ampliació: definició de funció convexa ............................. 41 1.3.3. Criteri de la derivada segona ............................. 41
2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS ............................................................................... 42
3. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS ..................................................................................................... 44
3.1. PROBLEMES RESOLTS D’OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS ........................................................................ 44
UNITAT 5:
PROPIETATS DE LES FUNCIONS DERIVABLES
1. TEOREMA DE ROLLE...................................................................................................................... 55
2. TEOREMA DEL VALOR MITJÀ...................................................................................................... 57
3. TEOREMA DE CAUCHY.................................................................................................................. 58
4. REGLES DE L’HÔPITAL .................................................................................................................. 59
UNITAT 6:
PRIMITIVES I INTEGRALS
1. CONCEPTE DE PRIMITIVA ............................................................................................................ 65
2. TAULES D’INTEGRALS .................................................................................................................. 66
3. MÈTODES D’INTEGRACIÓ ............................................................................................................. 68
4. APLICACIÓ: PROBLEMES DE VALORS INICIALS ..................................................................... 76
UNITAT 7:
INTEGRAL DEFINIDA
1. INTEGRAL DEFINIDA ..................................................................................................................... 77
2. PROPIETATS IMMEDIATES ........................................................................................................... 79
3. TEOREMES IMPORTANTS ............................................................................................................. 80
UNITAT 8:
APLICACIONS DE LA INTEGRAL
1. ÀREES DE RECINTES PLANS ........................................................................................................ 83
1.1. EXERCICIS RESOLTS DE CÀLCUL D’ÀREES PER INTEGRACIÓ ........................................................... 84
2. VOLUMS ............................................................................................................................................ 91
3. LONGITUDS ...................................................................................................................................... 91
ipri
iii
Índex general
BLOC D’ÀLGEBRA
UNITAT 9:
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS ............................................................................................ 93
2. MÈTODE DE GAUSS ........................................................................................................................ 93
3. CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES ................................................................................................. 93
UNITAT 10:
MATRIUS
1. MATRIUS ........................................................................................................................................... 95
2. TIPUS DE MATRIUS ......................................................................................................................... 97
3. OPERACIONS AMB MATRIUS ....................................................................................................... 97
4. MÈTODE DE GAUSS ...................................................................................................................... 101
5. INVERSA D’UNA MATRIU ........................................................................................................... 101
6. EQUACIONS I SISTEMES MATRICIALS .................................................................................... 103
7. RANG D’UNA MATRIU ................................................................................................................. 104
UNITAT 11:
DETERMINANTS
1. DETERMINANTS ............................................................................................................................ 107
2. PROPIETATS ................................................................................................................................... 109
3. MÈTODES PER A CALCULAR DETERMINANTS ...................................................................... 113
4. APLICACIONS DELS DETERMINANTS ...................................................................................... 113
UNITAT 12:
DISCUSSIÓ DE SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS
1. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS ......................................................................................... 121
2. DISCUSSIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS ............................................................... 121
3. DISCUSSIÓ DE SISTEMES AMB UN PARÀMETRE .................................................................. 122
4. ELIMINACIÓ DE PARÀMETRES .................................................................................................. 122
BLOC DE GEOMETRIA
UNITAT 13:
ESPAI AFÍ
ipri
iv
Índex general
1. ESPAI AFÍ TRIDIMENSIONAL ..................................................................................................... 125
2. EQUACIONS DE LA RECTA ......................................................................................................... 129
3. INCIDÈNCIA DE PUNT I RECTA .................................................................................................. 131
4. CONDICIÓ PE TAL QUE TRES PUNTS ESTIGUEN ALINEATS ............................................... 132
5. POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES .............................................................................. 132
6. EQUACIONS DEL PLA ................................................................................................................... 134
7. INCIDÈNCIA DE PUNT I PLA ....................................................................................................... 136
8. QUAN 4 PUNTS SÓN COPLANARIS? .......................................................................................... 136
9. EQUACIÓ GENERAL, CARTESSIANA O IMPLÍCITA DEL PLA ............................................. 136
10. EQUACIÓ DEL PLA QUE PASSA PER TRES PUNTS ............................................................... 137
11. EQUACIÓ CANÓNICA DEL PLA ................................................................................................ 137
12. POSICIONS RELATIVES DE DOS PLANS ................................................................................. 138
13. POSICIONS RELATIVES D’UNA RECTA I UN PLAN ............................................................. 139
14. POSICIONS RELATIVES DE TRES PLANS ............................................................................... 140
15. FEIX DE PLANS ............................................................................................................................ 143
15.1. FEIX DE PLANS D’ARESTA UNA RECTA: FEIX DE PLANS SECANTS ..................................................... 143 15.2. FEIX DE PLANS PARAL·LELS .......................................................................................................... 144
16. RADIACIÓ DE PLANS.................................................................................................................. 145
UNITAT 14:
ESPAI AFÍ EUCLIDIÀ
1. PRODUCTE ESCALAR ................................................................................................................... 147
2. ESPAI VECTORIAL EUCLIDIÀ. ESPAI EUCLIDIÀ .................................................................... 150
3. PRODUCTE VECTORIAL .............................................................................................................. 150
4. ÀREA DEL TRIANGLE .................................................................................................................. 152
5. VECTOR DIRECTOR D’UNA RECTA .......................................................................................... 152
6. PRODUCTE MIXTE ........................................................................................................................ 152
7. VOLUM DEL TETRAEDRE ........................................................................................................... 153
8. VOLUM D’UNA PIRÀMIDE .......................................................................................................... 154
9. EQUACIÓ NORMAL DEL PLA...................................................................................................... 155
10. ANGLE ENTRE RECTES .............................................................................................................. 155
11.ANGLE DE RECTA I PLA ............................................................................................................. 156
12.ANGLE DE DOS PLANS................................................................................................................ 157
13. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UN PLA I D’UN PLA A UNA RECTA ........................................ 158
14. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UNA RECTA .................................................................................. 159
15. DISTÀNCIA ENTRE DUES RECTES .......................................................................................... 159
16. DISTÀNCIA ENTRE DOS PLANS ............................................................................................... 161
17. PERPENDICULAR COMUNA ...................................................................................................... 161
18. PUNT SIMÈTRIC D’UN PUNT RESPECTE D’UN ALTRE PUNT ............................................ 162
19. PUNT SIMÈTRIC RESPECTE D’UNA RECTA ........................................................................... 163
ipri
v
Índex general
20. PUNTS SIMÈTRICS RESPECTE D’UN PLA ............................................................................... 163
21. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UN PLA ....................................................... 164
22. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UNA RECTA .............................................. 164
23. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UNA RECTA SOBRE UN PLA ................................................. 165
BLOC D'ESTADÍSTICA I PROBABILITAT
UNITAT 15:
PROBABILAT
1. INTRODUCCIÓ ............................................................................................................................... 167
2. EXPERIMENTS ............................................................................................................................... 167
3. ESPAI MOSTRAL. SUCCESSOS. ESPAI DE SUCCESSOS ......................................................... 168
4. EXPERIMENTS COMPOSTOS. ESPAIS PRODUCTE ................................................................. 170
5. FREQÜÈNCIES D’UN SUCCÉS ..................................................................................................... 171
6. DEFINICIÓ DE VON MISES: CONCEPTE FREQÜENTISTA DE PROBABILITAT ................. 172
7. DEFINICIÓ CLÁSSICA: LAPLACE ............................................................................................... 172
8. DEFINICIÓ AXIOMÀTICA: KOLMOGOROV .............................................................................. 174
9. PROBABILITAT CONDICIONADA .............................................................................................. 175
10. INDEPENDÈNCIA DE SUCCESSOS ........................................................................................... 175
11. PROBABILITAT TOTAL. FÓRMULA DE BAYES .................................................................... 177
12. PROBLEMES PROPOSATS EN LA SELECTIVITAT DE MATEMÀTIQUES APLICADES II 179
UNITAT 16:
DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
0.- INTRODUCCIÓ .............................................................................................................................. 185
1. VARIABLES ALEATORIES ........................................................................................................... 186
2. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT ......................................................................................... 188
3. LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL ...................................................................................................... 189
4. LA DISTRIBUCIÓ NORMAL ......................................................................................................... 192
5. ÚS DE TAULES ............................................................................................................................... 193
6. APROXIMACIÓ DE LA BINOMIAL PER LA NORMAL ............................................................. 195
TAULAA DE LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL ................................................................................ 196
TAULA DE LA DISTRIBUCIÓ NORMAL ..................................................................................... 198
ipri
vi
Índex general
ipri
1
Unitat 1: Límits
Unitat 1: LÍMITS
1. SUCCESSIONS
Una successió de números reals és un conjunt ordenat d’infinits números reals
1 2, ,..., ,...na a a
on na és el terme general. Es representa pere.
Més formalment, una successió és una funció
( )
:
: n
f
n f n a
→
→ =
I així, ( ) ( )1 21 , 2 ,...f a f a= =
2. LÍMIT D’UNA SUCCESSIÓ
Intuïtivament, diem que el límit d’una successió nx és el número real L si els termes de la dita
successió van aproximant-se a L , i escriurem o lim o limn n nn
x L x L x L→
→ = =
Si nx L→ , aleshores 𝑥𝑛 = 𝐿 quan n és gran.
La pregunta que sorgeix és: com de gran ha de ser n per tal que𝑥𝑛 = 𝐿 ? La resposta és “simple”:
depen de l’aproximació desitjada i de la successió en qüestió.
Definició: El número real a és el límit de la successió ( )na de números reals, quan, per a qualsevol
número positiu , podem trobar un terme de la successió 0na tal que la distància dels infinits
termes posteriors a 0na al número a és menor que :
lim𝑛→+∞
𝑎𝑎 = 𝑎 ⟺ ∀휀 > 𝑜 ∃ 𝑛0 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑛 > 𝑛𝑜⁄ |𝑎𝑛 − 𝑎| < 휀
Les successions que tenen límit s’anomenen convergents i, les que tendeixen a s’anomenen
divergents.
Propietats elementals dels límits de successions:
Suposem que 𝑥𝑛 → 𝑥, 𝑦𝑛 → 𝑦 𝑖 𝛼 ∈ ℝ. Aleshores:
a) n nx y x y+ → +
b) n nx y xy→
c) ny y + → +
d) ny y →
e) n nx y x y− → −
f) 𝑥𝑛
𝑦𝑛→
𝑥
𝑦 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑦 ≠ 0, 𝑦𝑛 = 0 ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
ipri
2
Unitat 1: Límits
El número e
1
lim 1
n
ne
n→+
+ =
, 𝑒 ∈ ℝ ∖ ℚ 𝑖 𝑒 = 2,7181828…
Límits infinits
1) n nx x→+− →−
2) Si e n nx y→ →+ , aleshores:
𝛼 +∞ 𝑠𝑖 𝛼 ∈ ℝ ∪ {+∞}
𝛼 · (+∞) = {+∞ 𝑠𝑖 0 < 𝛼 ≤ +∞−∞ 𝑠𝑖 − ∞ ≤ 𝛼 < 0
𝑎
+∞= 0 𝑠𝑖 𝛼𝜖ℝ
}
𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚è𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 ℝ̅ = [−∞,+∞]
3) Els casos ( ), 0 ,
+−
són indeterminacions.
3. ENTORNS EN LA RECTA. DISTÀNCIA
Donat un número real a i un número real positiu , s’anomena entorn de centre a i radi , a
l’interval obert d’extrems , a a − + :
( ) ( ) , , : E a a a x a x a = − + = − +
El número real a és el límit d’una successió ( )na de números reals, quan, per a qualsevol entorn
( ),E a , podem trobar un terme de la successió 0na tal que els infinits termes posteriors a
0na
pertanyen a l’entorn ( ),E a :
lim𝑛→+∞
𝑎𝑎 = 𝑎 ⟺ ∀ 𝐸(𝑎, 휀) ∃𝑛0 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑛 > 𝑛𝑜⁄ , 𝑎𝑛𝜖 𝐸(𝑎, 휀)
S’anomena entorn reduït de centre a i radi al conjunt:
( ) ( ) * , ,E a E a a = −
Donat un número 0M arbitràriament gran, s’anomena entorn de més infinit, al conjunt:
( ) :E x x M+ =
Donat un número 0M , amb valor absolut arbitràriament gran, s’anomena entorn de menys
infinit, al conjunt:
( ) :E x x M− =
S’anomena entorn d’infinit, al conjunt:
( ) ( ) ( ) :E E E x x M = − + =
Es defineix la distància entre els números reals x i y, com a: ( ),d x y x y= −
4. LÍMIT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
ipri
3
Unitat 1: Límits
4.1. Definicions
Un punt a D és un punt d’acumulació de D⊆ ℝ, i escriurem 'a D , si ( )*E a es té
( )*E a D .
Criteri pràctic: Sempre que existisca un interval obert de centra a contingut en D es tindrà que
'a D .
Definició intuïtiva: Siga :f D → una funció, 'a D i L . Direm que el límit de ( )f x
quan x a→ és L, i escriurem ( )limx a
f x L→
= , si per a valors de x cada vegada més pròxims a a
(diferents de a), els valors de les imatges ( )f x estan cada vegada més pròximes L.
Definició formal:
Siga :f D → una funció, 'a D i L . Direm que el límit de ( )f x quan x a→ és L, i
escriurem ( )limx a
f x L→
= , si per a cada número real positiu , existeix un número real positiu
(que depèn de ), tal que ( )f x L − , si x a − .
a
L
a +a −
L +
L −
x
y ( )y f x=
(En general 1 2 1 2min , = . El que si és simètric és l’interval ( ),L L − + )
Límits laterals:
El límit per l’esquerra és el valor al que tendeix la funció f(x) quan la variable x s’aproxima a a
siguent menor que a. La notació és:
( ) ( )lim o limx a x a
x a
f x f x→ − →
El límit per la dreta és el valor al que tendeix la funció ( )f x quan la variable x s’aproxima a a
siguent major que a. La notació és:
( ) ( )lim o limx a x a
x a
f x f x→ + →
Tenim, per tant, la següent:
a
L
a +a −
L +
L −
x
y
( )y f x=
12
ipri
4
Unitat 1: Límits
Caracterització:
( )( ) ( )
( ) ( )
lim , limlim
lim lim
x a x a
x a
x a x a
f x f xf x
f x f x
→ − → +
→
→ − → +
=
És a dir, ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a
f x f x f x→ → − → +
= =
Propietats dels límits:
1) lim𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ
El límit d’un número és el propi número.
2)
El límit d’una suma (resta) és igual a la suma (resta) dels límits.
3)
El límit d’un producte és igual al producte dels límits.
4) sempre que ( ) 0g a i
El límit d’un quocient és igual al quocient dels límits
5) ( )( )
( )( )lim
lim limx a
g xg x
x a x af x f x
→
→ →
=
sempre que
El límit d’una potència és igual a la potència dels límits.
6) ( ) ( )lim limn n
x a x af x f x
→ →= sempre que f(x)≥ 0 𝑖 lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ≥ 0 quan n siga parell.
El límit d’una arrel és l’arrel del límit.
7) ( ) ( ) ( ) ( )lim log log lim siempre que 0 y lim 0A Ax a x a x a
f x f x f x f x→ → →
=
El límit d’un logaritme és igual al logaritme del límit.
Exercici:
1. Calcula, si existeix, el límit de les següents funcions quan x tendeix a zero:
a) ( )2
x xf x
−= b) ( )
2x xf x
x
+=
4.2. Aplicació: càlcul d’un límit aplicant la definició
Demostrem, aplicant la definició de límit, que 2
3lim 9x
x→
= .
Donat 0 , hem de calcular un 0 tal que, si 3x − , aleshores 2 9x − .
Com un punt pròxim a 3 es pot escriure de la forma x=3 + h amb h≠ 0, es té que
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a
f x g x f x g x→ → →
+ = +
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a
f x g x f x g x→ → →
=
( )
( )
( )
( )
limlim
lim
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
→
→
→
= ( )lim 0x a
g x→
( )lim 0x a
f x→
ipri
5
Unitat 1: Límits
( )2 23 9 6 6 7h h h h h h+ − = + = +
Sempre que 1h .
Per tant, prenent 7
h
= si 17
o 1h = = si 1
7
, es té que ( )
23 9h + − , i com a
conseqüència, 2
3lim 9x
x→
= .
5. LÍMITS INFINITS: ASÍMPTOTES VERTICALS
Dir que ( )limx a
f x→
= + significa que, quan x tendeix a a, amb x a , ( )f x pren valors majors que
qualsevol número real k:
( ) ( )lim 0, 0 tal que si x a
f x k x a k f x →
= + −
Anàlogament, dir que ( )limx a
f x→
= − significa que, quan x tendeix a a, con x a , ( )f x pren
valors cada vegada més xicotets:
( ) ( )lim 0, 0 tal que si x a
f x k x a f x k →
= − − −
Donada la gràfica d’una funció, una asímptota és una recta a la què la gràfica s’apropa cada vegada
més.
Ara, discutirem de forma més detallada els diferents tipus d’asímptotes d’una funció.
Definició:
La recta x a= és una asímptota vertical de la funció ( )f x si existeix algun dels
següents: ( )limx a
f x→
= ( )limx a
f x→ +
= ( )limx a
f x→ −
=
x a=
( )y f x=
( )limx a
f x→
= −
Observacions:
(1) Una funció pot tindre infinites asímptotes verticals.
(2) En les funcions racionals les asímptotes verticals es troben en els valors de x que
anul·len al denominador.
ipri
6
Unitat 1: Límits
(3) La gràfica de la funció no pot tallar a les asímptotes verticals.
6. LÍMITS EN L ‘INFINIT: ASÍMPTOTES
HORITZONTALS
Direm que ( )limx
f x b→+
= significa que, quan x es fa tan gran com vulguem, la funció ( )f x pren
valors propers a un número fixe b:
( ) ( )lim 0, 0 tal que si x
f x b k k x f x b →+
= −
De la mateixa forma, ( )limx
f x b→−
= significa que ( )f x s’apropa a b quan x es fa cada vegada més
menut:
( ) ( )lim 0, 0 tal que si x
f x b k x k f x b →−
= − −
Definició:
La recta y = k és una asímptota horitzontal de ( )f x si existeix algun dels següents límits:
( )limx
f x k→−
= o ( )limx
f x k→+
=
y b=
( )y f x=
( )limx
f x b→+
=
( )limx
f x b→−
=
Observacions:
(1) Una funció té, com a màxim, dues asímptotes horitzontals.
(2) La gràfica de la funció pot tallar a les asímptotes horitzontals.
(3) Per a funcions racionals:
Si en una funció racional el grau del numerador és menor que el grau del
denominador, la recta 0y = (l’eix OX) és una asímptota horitzontal.
Si en una funció racional el grau del numerador i el del denominador són iguals, la recta
serà una asímptota horitzontal (b indica el quocient entre els coeficients líders del
numerador y del denominador).
•
•y b=
ipri
7
Unitat 1: Límits
Si en una funció racional el grau del numerador és una unitat major que el del
denominador, la funció presenta una asímptota obliqua i no n’hi ha asímptotes
horitzontals.
Si en una funció racional, el grau del numerador és dos o més unitats major que el
del denominador, n’hi ha asímptota horitzontal.
7. LÍMITS INFINITS EN L’INFINIT: ASÍMPTOTES
OBLÍQÜES
També pot passar que ( )limx
f x→
= , el que significa que x i ( )f x se fan infinitament grans a la
mateixa vegada. Per tant:
( ) ( )limx
f x f x k→
=
Per a qualsevol x p , siguen k i p números arbitràriament grans.
Definició:
La recta y mx n= + , m 0 , és una asímptota obliqua de ( )f x si existeix algun dels
següents límits:
( )( )lim 0x
f x mx n→−
− − = ( )( )lim 0x
f x mx n→+
− − =
On: 𝑚 = lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥 𝑖 𝑛 = lim
𝑥→∞(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥)
Observacions:
(1) Una funció pot tindre, com a màxim dues
asímptotes obliqües.
(2) La gràfica de la funció pot tallar a les
asímptotes obliqües.
(3) Si en una funció racional el grau del
numerador és dos o més unitats, major que el
del denominador, no n’hi ha asímptota obliqua.
(4) Si ( )( )
( )
P xf x
Q x= és una funció racional i grau P(x) - grau Q(x)= 1, aleshores
l’asímptota obliqua y mx n= + de ( )f x és el quocient de ( )P x entre ( )Q x .
8. ALGUNS LÍMITS IMPORTANTS
Anem a estudiar alguns límits molt senzills però que apareixen sovint i que, per tant, cal tindre-los
sempre presents:
•
•
ipri
8
Unitat 1: Límits
(1) ( )1
f xx
=
0
0
1lim 0
1lim 0
1lim
1lim
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→ +
=
=
= −
= +
0
1limx x→
(2) ( ) 2
1g x
x=
2
2
20
20
20
1lim 0
1lim 0
1lim
1lim
1lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→
→ +
=
=
= +
= += +
(3) ( ) 3
1h x
x=
3
3
30
30
1lim 0
1lim 0
1lim
1lim
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→ +
=
=
= −
= +
30
1limx x→
(4) ( ) 4
1i x
x=
4
4
40
40
40
1lim 0
1lim 0
1lim
1lim
1lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→
→ +
=
=
= +
= += +
ipri
9
Unitat 1: Límits
(5) En general:
Per a n senar: Per a n parell:
0
0
Para impar:
1lim 0
1lim 0
1lim
1lim
nx
nx
nx
nx
n
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→ +
=
=
= −
= +
0
1lim
nx x→
0
0
0
Para par:
1lim 0
1lim 0
1lim
1lim
1lim
nx
nx
nx
nx
nx
n
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→
→ +
=
=
= +
= += +
Un parell de consideracions a tindre en compte quan calculem límits:
a) Si ( ) 1 0...n
nP x a x a x a= + + + és un polinomi, aleshores
( )limx
P x→
=
I el resultat només depèn del monomi n
na x .
b) Per a límits en l’infinit de funcions racionals es té la següent regla pràctica, on
( ) 1 0...n
nP x a x a x a= + + + y ( ) 1 0...m
mQ x b x b x b= + + +
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
si
lim si
0 si
n
xm
grau P grau Q
P x agrau P grau Q
Q x b
grau P grau Q
→
= =
9. INDETERMINACIONS
Quan es calcula el límit d’una suma, un producte, un quocient o una potència de funcions no es
poden aplicar les propietats dels límits, és a dir, cal fer un estudi particular de cada cas. Es diu que,
aquests límits presenten una indeterminació.
Segons el professor R. Payá, en essència, només n’hi ha dos tipus d’indeterminacions [∞ −∞] 𝑖 [0 · ∞], que apareixen en estudiar el comportament de sumes i productes, respectivament, de
funcions. La segona pot prendre a més dos aspectes, [0
0] 𝑖 [
∞
∞], que apareixen en estudiar quocients,
i tres aspectes més, [00], [∞0] 𝑖 [1∞], que sorgeixen en estudiar potències. Es considerarà, a més la
“indeterminació” del tipus [𝑘
0] 𝑎𝑚𝑏 𝑘 ∈ (ℝ − {0}) ∪ {±∞}.
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 0
k AMB 𝑘 ∈ (ℝ − {0}) ∪ {±∞}.
Calculem els límits laterals: ( ) ( )x a-
lim , limx a
f x f x→ + →
Si existeixen ambdós límits i coincideixen els seus valors, aleshores:
( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a
f x f x f x→ → + → −
= =
ipri
10
Unitat 1: Límits
Si no existeix algun dels límits laterals o no coincideix el seu valor, aleshores, no existeix ( )limx a
f x→
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 0
0
a) Per a funcions racionals
Fem la descomposició factorial de numerador i denominador per tal de poder simplificar.
b) Per a funcions irracionals
Si es tracta d’una funció amb arrels quadrades en el numerador (o en el denominador),
multipliquem numerador i denominador per l’expressió amb arrels quadrades en el numerador (
o en el denominador), multipliquem numerador i denominador per l’expressió conjugada del
numerador ( o del denominador).
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS
Es divideix numerador i denominador per la major potència de x que aparega en la funció ( és prou
amb dividir per la major potència de x del denominador).
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS −
a) La funció és la diferència de dues funcions racionals
Es fa l’operació.
b) La funció és la diferència de funcione irracionals
Multipliquem i dividim per l’expressió conjugada de la funció.
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 0
Transformar aquesta indeterminació en una de les anteriors, generalment fent el càlcul de les
operacions.
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 1
La indeterminació, en aquest cas, es resol emprant la següent igualtat:
( )( ) ( ) ( )lim 1
lim x ag x f xg x
x af x e →
−
→=
On a ∈ ℝ ∪ {±∞}.
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 0 00 o
Aquests dos tipus d’indeterminacions es poden resoldre aplicant la següent fórmula:
( )( ) ( ) ( )lim log
lim x ag x f xg x
x af x e →
→=
On a ∈ ℝ ∪ {±∞} i log ln= .
Suggeriment:
Abans de fer la resolució d’indeterminacions cal fer una valoració i anàlisi del límit que volem
calcular:
ipri
11
Unitat 1: Límits
0 0
0lim lim
0x x
x x
x→ →
= = x 0
lim1 1x→
= =
Realment caldria resoldre la indeterminació? La resposta ha de ser no, donat que 1x
x= i, per tant
0 0lim lim1 1x x
x
x→ →= =
Què ha passat? Hem vist la paraula límit i, sense pensar, hem substituït i hem resolt la
indeterminació.
Un altre exemple més:
lim 1 1x
x
→+ =
I, ara resolem la indeterminació? Si tenim en compte que 1 1x = ja tenim resolt el límit que ens
demanaven:
lim 1 lim 1 1x
x x→+ →+= =
Per tant, el suggeriment és que abans de començar a calcular el límit, has de simplificar tot el que
pugues la funció i, després, faces els càlculs que calga per a calcular-ho.
Exercicis:
2. Calcula els següents límits, resolent la corresponent indeterminació, qua aquesta hi
aparega:
1) 3
5lim
3x
x
x→
+
− 2) ( )2lim 5 2
xx x
→+
+ − +
3) 2
22
2 8lim
2x
x
x x→−
−
+ − 4)
4
3lim
2x x→− −
5) 4 2
4
3 2 5lim
4 7x
x x
x→+
− + −
− 6)
22
2
3lim
1
x
x
x
x→+
+
−
3. Calcula els següents límits:
1) 2
3
1lim
1x
x
x→+
−
− 2)
2
3
6 9lim
3x
x x
x→ +
+ −
−
3) 3
2
6lim
3 2x
x x
x x→+
− +
+ + 4)
2
20
2 6 3lim
2 5x
x x
x x→
+ −
+
5) 3
2
1lim
1x
x
x→+
−
+ 6)
2
21
2 3lim
5 4x
x x
x x→ −
− +
− +
ipri
12
Unitat 1: Límits
7) 2
31
1lim
1x
x
x→
−
− 8) ( )lim 2 2
xx x
→++ − −
9) 2
3 22
6lim
3 2x
x x
x x x→−
− +
+ + 10) ( )2lim 1
xx x x
→++ + −
11) 2
22
5 6lim
4 4x
x x
x x→
− +
− + 12) ( )2 2lim 2 1
xx x x
→+− − +
13) 1
1lim
1x
x
x→
−
− 14)
3 25 1
lim5 1
x
x
x
x
+
→+
+
−
15) 0
2 4limx
x
x→
− − 16)
33 1
21
1lim
1
x
x
x
x
−
→
+
+
17) 0
lim1 1x
x
x x→ + − −
18)
2 12 1
2
2 1lim
x
x
x
x x
x
+
−
→+
+ +
4. Calcula els següents límits:
1) 2 2
22
4 4lim
1 2x
x x
x x x→
− +
+ − 2)
21
2 5lim
1 1x
x x
x x→
+ + −
− −
3) ( )3
2
2lim 1 x
xx −
→−
4)
2 12
2
3 5lim
3
x
x
x
x x
−
→+
−
+
5) ( )( )2lim 4 5 2 3x
x x→+
− − − 6) 2
2 4lim
2x
x
x→ +
−
−
7) 2
21
2 2lim
2 1x
x
x x→ −
−
− + 8)
2
1
1lim
3 3x
x
x→
−
+ −
9) lim1x
x x
x→+
+
+ 10)
2 1
1
4lim
4
x
x
x
x
x
−
→
+
+
11)
1
1
1
1lim
2
x
x
x
x
x
−
−
→
+
+ 12)
2
2
5 3lim
7 3x
x
x→
+ −
+ −
5. Calcula els següents límits, resolent la corresponent indeterminació, quan aquesta hi
aparega:
ipri
13
Unitat 1: Límits
a) 2
20
2lim
5x
x
x→ + b)
2
3
2 4 6lim
3 6x
x x
x→
− −
− +
c) 3
2
8lim
2x
x
x→
−
− d)
21
1lim
1x
x
x→
−
−
e) 3 2
21
3 3lim
2 2 4x
x x x
x x→−
+ − −
− − f)
2 12
2
2 1lim
x x
x
x
x x
+ −
→+
+
+
g) ( )
22
3 1lim
2x
x
x→
−
− h)
2 21 1limx
x x
x→+
+ − −
i) ( )
2
22
6lim
2x
x x
x x→
− − +
− j) ( )lim 2
xx x x
→++ −
k) 22
2 6 4lim
2 4x
x x
x x→
+ + −
− − l)
1
2lim
1x
x x
x→−
+ +
+
m) 2
21
3 2lim
1 3x
x x x
x x→
+ + −
− − n)
0lim
1 1x
x
x→ − +
o)
2 1
2 1
1
2
2 1lim
2 2
x
x
x
x
x
−
−
→
+
+ p)
1
1limx
x
x x→
−
−
6. Determina, si existeixen, les asímptotes de cadascuna de les següents funcions:
a) ( ) 2 1
xf x
x=
− b) ( )
2
2
xg x
x=
+
c) ( )2
2
4
4
xh x
x
−=
+ d) ( )
3 2
2
2 4
2 1
x xi x
x
−=
−
e) ( )3
3
2 3
9
xj x
x x
+=
− f) ( )
3 2
2
2
3 4
x xk x
x x
+ −=
− −
ipri
14
Unitat 1: Límits
ipri
15
Unitat 2: Continuïtat
Unitat 2: CONTINUÏTAT
1. CONCEPTE DE FUNCIÓ CONTÍNUA
1.1. Definicions
Definició:
Una funció ( )y f x= , que suposarem definida en un entorn de a , és contínua en a , quan
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), tal que si E f a E a x E a f x E f a (definició topològica)
O, de forma equivalent:
f contínua en 0, 0a (que depèn de i de a ( ) ( ): si x a f x f a − −
(definició mètrica o − ).
a − a +a
( )f a −
( )f a +( )f a
x
y
Definició/Caracterització:
Si f està definida en un interval1 A , es té la següent caracterització, que també es sol fer servir
com a definició:
f és contínua en a A ( ) ( )limx a
f x f a→
= (definició convergent) (1)
Aclariments:
• Per tal que una funció siga contínua en un punt, aquest punt ha de pertànyer al
seu domini de definició. En un altre cas, no té sentit parlar de continuïtat.
No té sentit dir que la funció 1
yx
= no és contínua en 0x = , donat que
aquest punt no pertany al seu domini.
• La condició (1) de continuïtat implica:
1 Si A no és un interval, aleshores cal exigir que 'a A A .
ipri
16
Unitat 2: Continuïtat
o ( )f a
o ( )limx a
f x→
o Aquests valors coincideixen: ( ) ( )limx a
f x f a→
=
Una funció és contínua quan ho és en tots els punts del seu domini de definició.
Una funció és contínua per la dreta en un punt si existeix límit per la dreta en ell i coincideix amb
el valor que pren la funció en aquest punt:
( ) ( ) contínua en per la dreta limx a
f x a f x f a→ +
= =
Una funció és contínua per l’esquerra en un punt si existeix límit per l’esquerra i coincideix amb el
valor que pren la funció en aquest punt:
( ) ( ) contínua en per l'esquerra limx a
f x a f x f a→ −
= =
Caracterització:
Una funció és contínua en un punt quan és contínua per l’esquerra i per la dreta en aquest punt:
𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
Definició:
Una funció és contínua en ,a b quan:
(1) Siga contínua en l’interval obert ( ),a b
(2) Siga contínua per la dreta en a
(3) Siga contínua per l’esquerra en b
No sol ser una tasca fàcil demostrar que una funció donada és contínua, encara que ens ho puga
semblar. Generalment, el que es fa és descompondre la funció que volem estudiar en altres més
senzilles de les que coneixem la continuïtat prèviament. És per aquesta raó que és interessant saber
quin tipus d’operacions realitzades amb funcions contínues ens porten a noves funcions contínues.
1.2. Aplicació: estudi de la continuïtat emprant la definició −
(1) Demostrem la continuïtat de la funció ( ) 2 en 3f x x x= = , emprant la definició mètrica.
En primer lloc, anem a demostrar, aplicant la definició de límit, que 2
3lim 9x
x→
= .
Donat 0 , hem de determinar un 0 tal que, si 3x − , aleshores 2 9x − .
Com un punt pròxim a 3 es pot escriure de la forma 𝑥 = 3 + ℎ 𝑎𝑚𝑏 ℎ ≠ 0, es té que
( )2 23 9 6 6 7h h h h h h+ − = + = +
sempre que 1h .
ipri
17
Unitat 2: Continuïtat
Per tant, prenent 7
h
= si 17
o 1h = = si 1
7
, es té que ( )
23 9h + − , i, com a
conseqüència,𝑓(𝑥) = 𝑥2 é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 3.
(2) Estudiem la continuïtat de la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒𝑛 𝑎 ∈ ℝ. Si 0 1 i x a − , aleshores,
( )2 2 2 2 1x a x a x a x a x a a x a x− = − + = − − + − +
I prenent
min 1,2 1a
= +
És té que ( )2 2 2 1x a x − + , sempre que x a − i, com a conseqüència, f és contínua en
𝑎 ∈ ℝ.
(3) Estudiem la continuïtat de la funció ( )2 1sen si 0
0 si 0
x xf x x
x
= =
en 0x = .
Siga 0 . Com
( ) ( ) ( ) 20 f x f f x x x− =
I volem que siga menor que , prenem = . Aleshores, 0x − implica 2 2x = , i així,
( ) ( )0 0x f x f − −
És a dir, f és contínua en 0x = .
1.3. Aplicació: continuïtat en punts aïllats i en punts d’acumulació
Es diu que 𝑎 ∈ 𝐴 ⊆ ℝ és un punt aïllat, si 0 tal que ( ) ,a a A a − + = .
Una funció 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ és contínua en tots els punts aïllats de A.
Demostració:
Si a∈ 𝐴 ∖ 𝐴′( 𝑎 é𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑎ï𝑙𝑙𝑎𝑡 𝑑𝑒 𝐴), 0 (per definició de punt aïllat) tal que
( ) ,a a A a − + = , aleshores donat 0 , per a cada x A amb x a − , es té que
,x a= i, com a conseqüència, ( ) ( ) 0f x f a − = . És a dir, f és contínua en a.
Un punt a A és un punt d’acumulació de A , i escriurem 'a A , si ( )*E a es té que
( )*E a D .
Criteri pràctic: sempre que existisca un interval obert de centre a contingut en A es tindrà que
'a A .
Siga 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ una funció i 'a A A . Són equivalents:
i) f és contínua en a
ii) ( ) ( )limx a
f x f a→
=
ipri
18
Unitat 2: Continuïtat
Demostració:
i) ii) És prou observar que si nx és una successió de punts de A diferents de a , amb
nx a→ , la continuïtat de en f a ens garanteix que ( ) ( )nf x f a→ .
ii) i) Donat 0 , emprant (ii) aconseguim un 0 tal que si 𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑜 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿,
es té que ( ) ( )f x f a − . Ara bé,, si x a= , l’última desigualtat és obvia, doncs aquesta
desigualtat és certa per a qualsevol x A que verifique x a − , i, com a conseqüència,
tenim la continuïtat de en f a .
2. OPERACIONS AMB FUNCIONS CONTÍNUES
Si f i g són funcions contínues en el punt a , aleshores:
• Suma/resta: f+g i f-g són contínues en a
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )lim lim limx a x a x a
f g x f x g x f a g a f g a→ → →
= = =
• Producte: f·g és contínua en a
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )lim lim lim limx a x a x a x a
fg x f x g x x g x f a g a fg a→ → → →
= = = =
• Quocient: 𝑓
𝑔é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑎) ≠ 0
( )( )
( )
( )
( )( )
limlim
lim
x a
x a
x a
f x f af fx a
g g x g a g
→
→
→
= = =
Si s és contínua en a i g és contínua en b= f(a), aleshores:
• Composició: g∘ 𝑓 é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎
Donat 0 , per la continuïtat de g en ( )f a , existeix 0 tal que per a qualsevol ( )Domy g
amb ( )y f a − es té que ( ) ( )( )g y g f a − . Ara, per la continuïtat de f en a , existeix
0 tal que per a qualsevol ( )Domx f amb x a − es té que ( ) ( )f x f a − . Deduïm
així que ( )( ) ( )( )g f x g f a − per a qualsevol ( )Domx f amb x a − . És a dir, la funció
composta g f és contínua en a .
3. CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS ELEMENTALS
Anomenarem “funcions elementals” a les funcions obtingudes en realitzar sumes, productes,
quocients i composicions de logaritmes, exponencials, potències i funcions trigonomètriques.
• Les funcions polinòmiques, ( ) 1
1 1 0...n n
n nf x a x a x a x a−
−= + + + + , són contínues en tots els
punts.
ipri
19
Unitat 2: Continuïtat
• Les funcions racionals, ( )( )
( )
P xf x
Q x= , són contínues en el seu domini de definició.
• La funció exponencial, ( )f xy e= , és contínua sempre que ho siga la ( )f x .
• La funció logarítmica, ( )logy f x= , és continua en qualsevol punt x , tal que ( ) 0f x i
( )f x siga contínua.
• Les funcions trigonomètriques, y= sinx i y=cosx, són sempre contínues. La funció
tg y x= no és continua quan 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋 𝑎𝑚𝑏 𝑘𝜖ℝ.
• Les funcions definides a trossos seran contínues si ho són en els seus intervals respectius i
en els punts d’unió. En aquests punts ( punts d’unió) caldrà verificar que la funció estiga
definida i que els límits laterals existeixen, són iguals i coincideixen amb el valor de la
funció en aquest punt.
Exercicis:
7. Estudia la continuïtat d’aquesta funció segons els valors de a.
( )2
2 si 1
2 si 1
x a xf x
x ax x
+ =
− +
8. Calcula a i b per tal que siga contínua la següent funció:
( )
2 si 1
si 1 3
2 4 si 3
x ax x
f x b x
x x
+ −
= − +
9. Siga ( )2
4 si
3 si 0
10 si 0
x x c
f x c x
x x x
− −
= − −
. Per a quin valor de c la funció f(x)és contínua en
x=c?
10. Considerem la funció . Determina el valor de b per tal que siga
contínua.
11. Donada la funció:
( )
10
11
4
x bx
f x
x b x
= −
ipri
20
Unitat 2: Continuïtat
( )
2
2
3 si 1
si 1 1
si 1
ax x
f x bx a x
x b x
+ −
= + − −
Calcula a i b per tal que siga contínua en ℝ.
12. Donada la funció:
( )2 si 2 0
si 0 2x
a x xf x
e a x
− − =
−
Calcula el valor de a per tal que la funció siga contínua en 2, 2− .
13. Donada la funció:
( ) 2
2 5 si 1
si 1
x xf x
x k x
+ =
+
Determina k per tal que ( )f x siga contínua en x = 1.
14. Calcula a i b per tal que ( )f x siga contínua en x=0 i en x=1:
( ) 2
si 0
2 si 0 1
si 12
xe a x
f x ax x
bx
x
+
= +
15. Es considera la funció ( ) 2
ln si 0 1
si 1
x xf x
ax b x
=
+ . Determina els valors de a i b per tal
que ( )f x siga contínua i ( )2 3f = .
16. Calcula el valor de k per tal que la funció ( )f x siga contínua: ( )1
si 11
si 1
xx
f x x
k x
−
= − =
17. Estudia la continuïtat de les següents funcions:
a) ( ) 2
2 si 1
si 1 1
2 1 si 1
x x
f x x x
x x
+ −
= − +
b) ( )1
si 11
si 1
xx
g x x
k x
−
= − =
4. DISCONTINUÏTATS: CLASSIFICACIÓ
ipri
21
Unitat 2: Continuïtat
El criteri és el següent:
Una funció és discontínua en un punt quan no compleix alguna de les tres condicions de la
definició de funció contínua en un punt.
Definició:
Classificació de les discontinuïtats en a :
i) Evitable
Direms que f presenta una discontinuïtat evitable quan
( )
( ) ( )
o
limx a
f a
f x f a→
.
ii) No evitable
ii-1) De primera espècie
Direm que f presenta una discontinuïtat de salt (finit o infinit) quan ( )limx a
f x→
( ( ) ( )lim , lim ' y 'x a x a
f x L f x L L L→ − → +
= = ):
Finit ,si L, L′ϵℝ. En aquest cas, el salt és 'L L− .
De salt infinit
Si {𝐿 = ±∞𝐿′ ∈ ℝ
o {𝐿 ∈ ℝ𝐿′ = ±∞
Direm que f presenta una discontinuïtat asimptòtica en a quan ∄ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
perquè els límits laterals són infinits i diferents
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞
ii-2) De segona espècie
Direm que f presenta una discontinuïtat de segona espècie o essencial, quan ,
almenys un dels límits laterals no existisca.
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó
{
𝐶𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎
𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎
{
𝐸𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑁𝑜 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 {𝐷𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝è𝑐𝑖𝑒 {
𝐷𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑡 {𝐹𝑖𝑛𝑖𝑡𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡
𝐴𝑠𝑖𝑚𝑝𝑡ò𝑡𝑖𝑐𝑎𝐷𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑝è𝑐𝑖𝑒
Exemples:
(1) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )si 0
1 si 0
x xf x
x
=
= presenta una discontinuïtat evitable en
0x = , ja que ( ) ( ) ( )2
1 1lim lim 1 2 1 1x x
f x x f→− →−
= + = − = − .
El valor vertader de f en 0x = és ( )0 0f = .
ipri
22
Unitat 2: Continuïtat
(2) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )2 1 si 1
1 si 1
x xf x
x
+ −=
− = − presenta una discontinuïtat evitable
en 1x = − , ja que ( ) ( )0 0
lim lim 0 1 1x x
f x x f→ →
= = = .
El valor vertader de ( ) en 1 es 1 2f x f= − − = .
(3) La funció “signe de x ”, f:ℝ → ℝ definida per ( )
1 si 0
0 si 0
1 si 0
x
f x x
x
= =−
presenta una
discontinuïtat de salt finit en 0x = , ja que ( ) ( )0 0
lim 1 1 limx x
f x f x→ − → +
= − = .
(4) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )
1 si 0
0 si 0
1 si 0
x
f x x
x
= =−
presenta una discontinuïtat de salt finit
en 0x = , ja que ( ) ( )0 0
lim 1 1 limx x
f x f x→ − → +
= − = .
(5) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )
1si 0
0 si 0
1 si 0
xx
f x x
x
= =−
presenta una discontinuïtat de salt
infinit en 0x = , ja que ( ) ( )0 0
lim y lim 1x x
f x f x→ + → −
= + = − .
(6) La funció ( ) 2
1f x
x= presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=0, ja que
( ) ( )0 0
lim limx x
f x f x→ − → +
= + =
(7) La funció ( )1
f xx
= presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=0, ja que
( ) ( )0 0
lim y limx x
f x f x→ − → +
= − = +
(8) La funció ( ) 2 1f x x= − (amb domini ( ), 1 1,− − + ) presenta discontinuïtats de segona
espècie en x=-1 i, en x01, ja que:
2
12
1
lim 1lim 1
x
x
xx
→− −
→−
−−
2
1lim 1
xx
→− +
−
i
2
12
1
lim 1lim 1
x
x
xx
→ +
→
−−
2
1lim 1x
x→ −
−
(9) La funció f(x)=sin1
𝑥 presenta una discontinuïtat essencial en x=0, ja que els límits laterals no
existeixen.
ipri
23
Unitat 2: Continuïtat
(10) La funció 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ℚ 𝑖 𝑥 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 01
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐼 𝑖 𝑥 < 0
presenta una discontinuïtat de segona espècie ( o
essencial) en x=0, ja que la funció no està acotada i carix de límits laterals en l’origen.
5. TEOREMA DE BOLZANO I DE WEIERSTRASS
Teorema de Bolzano2:
Si f(x) és contínua en [a,b] i en els extrems de l’interval pren valors de signe contrari, aleshores
( ), : 0c a b f c = .
Interpretació geomètrica: Si f(a)>0 i f(b)< 0,i es déu dibuixar una corba des del punt
(a,f(a)) al punt (b,f(b)) sense alçar la llapissera del paper, aquesta corba ha de tallar, almenys
una vegada, a l’eix OX.
x
y
a
b
c
( )f a
( )f b
Exemples:
1. Demostra que l’equació 2xe x− + = té almenys una solució real.
La funció ( ) 2xf x e x−= + − és contínua en , per ser suma de funcions contínues, i, en particular,
és contínua en 0,3 . Com, a més f(0)=3>0 i f(3)<0, aplicant el Teorema de Bolzano,
( ) ( )0,3 : 0c f c = , és a dir, ( )0,3 : 2 0cc e x− + − = ( el que significa que , c és una solució real
de l’equació inicial).
2. Demostra que existeix almenys un número real x tal que sinx=x
Considerem la funció f(x)= sinx-x que és contínua en , per ser suma de funcions contínues, i, en
particular, és contínua en , − . Com, a més 𝑓(−𝜋) = 𝜋 > 0 𝑖 𝑓(𝜋) = −𝜋 < 0, aplicant el
Teorema de Bolzano, ( ) ( ), : 0c f c − = , és a dir,∃𝑐 ∈ (−𝜋, 𝜋) /sin(𝑐) − 𝑐 = 0
2 Bernhard Bolzano: Filòsof, lògic i matemàtic xec nascut a Praga. Després d’ordenar-se sacerdot enseynà filosofia i
religió en la Universitat, encara que, en 1820, acusat de racionalista, va ser expolsat. El teorema del què parlem és de
1817,i, com la majoria dels seus resultats van ser redescoberts a finals del s..
ipri
24
Unitat 2: Continuïtat
( ) ( ), : sen c 0c c − − = (el que significa que, c és una solució real de l’equació inicial). Com a
conseqüència, ( ),x − (que és c ) tal que sinx=x.
3. Com a aplicació del Teorema de Bolzano prova que les funcions ( ) logf x x= i ( ) xg x e−=
es tallen en un punt.
Considerem la funció ( ) ( ) ( ) log xh x f x g x x e−= − = − que és contínua en +
, per ser diferència de
funcions contínues, i, en particular, és contínua en 1, 2 . Com, a més f(1)<0 i f(2)>0, aplicant el
Teorema de Bolzano, ( ) ( )1,2 : 0c h c = , és a dir, ( )( ),c h c és el punt de tall d’ambdues funcions.
4. Té l’equació 5 3 1x x− = alguna solució compresa entre 1 i 2?
Considerem la funció ( ) 5 3 1f x x x= − − que és contínua en , per ser una funció polinòmica i, en
particular, és contínua en 1, 2 . Com a més ( )1 3 0f = − i ( )2 25 0f = , aplicant el Teorema de
Bolzano, ( ) ( )1, 2 : 0c f c = , és a dir, l’equació donada té una solució en l’interval demanat.
ipri
25
Unitat 3: Derivades
Unitat 3: DERIVADES
1. TAXA DE VARIACIÓ
Moltes lleis de la Física, la Química, la Biologia o l’Economia, són funcions que relacionen una
variable “depenent” i amb una altra variable “independent” x, el que solem escriure en la forma
( )y f x= . Si la variable independent canvia d’un valor inicial a a un altre x, la variable y ho fa de
de f (a) a f (x). La raó de canvi mitjà (o taxa de variació mitjana) de respecte a x en
l’interval ,a x és:
Raó de canvi mitjà= 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎≡ 𝑇𝑉𝑀[𝑎, 𝑥]
Amb freqüència interessa considerar la raó de canvi en intervals cada vegada més menuts. Això
mateix, ens porta a definir el que podem anomenar “raó de canvi puntual (o instantània) de
respecte a x en el punt a” com a:
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎≡ 𝑇𝑉𝐼(𝑎)
2. CONCEPTE DE DERIVADA
Definició:
Siga f: A⊆ ℝ → ℝ una funció i a∈A∩ 𝐴′. Aleshores,
f és derivable en x = a ⟺ ∃ limℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ∈ ℝ
o equivalentment, si
∃ lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎∈ ℝ
en aquest límit, si existeix, es representa3 per:
( )( )
'x a
df a dff a
dx dx =
= =
es llig prima en a (derivada de f en a )
es llig derivada de f respecte de x en a
3 La notació va ser introduïda per Leibniz (1646-1716), i s’entén que és un operador, mentre que la
notació va ser introduïda per Lagrange (1736-1813) i la notació es sol emprar en física, ingeniería…
( )y f x=
( )y f x=
( )'f a f
( )df a
dx
( )d
f adx
d
dx
( )'f a ( )f a•
ipri
26
Unitat 3: Derivades
Definició:
2.1. Derivades laterals
f derivable per l’esquerra en x = a ⟺ ∃𝑓′(𝑎−) = lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎∈ ℝ
f derivable per la dreta en x = a ⟺ ∃𝑓′(𝑎+) = lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎∈ ℝ
Caracterització:
f és derivable en x = a⟺ ∃𝑓′(𝑎+), 𝑓′(𝑎−) 𝑖 𝑓′(𝑎−) = 𝑓′(𝑎−)
2.2. Derivabilitat i continuïtat
Propietat 1:
Si una funció és derivable en un punt a aleshores és continua en a.
Demostració:
Si f és derivable en a , de la igualtat
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) f x f a
f x f a x a x ax a
−= + −
−
Es segueix que ( ) ( )limx a
f x f a→
= , és a dir, f és contínua en a .
C.Q.D.
El recíproc és fals:
Contraexemple: La funció ( )f x x= és contínua en 0 0x = però no és derivable en aquest punt.
Continuïtat en 0 0x = :
( ) ( )
( )0 0 0
0
0 0 0
lim lim lim 0lim 0
lim lim lim 0
x x x
x
x x x
f x x xx
f x x x
→ − → − → −
→
→ + → + → +
= = − = =
= = =
y ( )0 0 0f = = , ( )f x es continua en 0 0x = .
Derivabilitat en 0 0x = :
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )0 0
0 0
0' 0 lim lim 1
0 no existe ' 0
0' 0 lim lim 1
0
x x
x x
f x f xf
x xf
f x f xf
x x
→ − → −
→ + → +
− −− = = = −
−
− + = = =−
i, per tant, y x= no és derivable
en 0 0x = .
Resumint:
- f és contínua en 0
- f no és derivable en 0
- La gràfica de f no té recta tangent en 0.
:f D →
ipri
27
Unitat 3: Derivades
Un altre contraexemple més: La funció 1
3 3y x x= = és contínua en 0 0x = però no és derivable
en aquest punt.
Continuïtat en 0 0x = :
( ) ( )1
3
0 0lim lim 0 0x x
f x x f→ →
= = = , per tant, ( )f x és contínua en 0 0x = .
Derivabilitat en 0 0x = :
( )( ) ( )
13
20 0 0 3
0 0 1 1' 0 lim lim lim
0 0x x x
f x f xf
x x x→ → →
− − = = = = = + −
( )' 0f , i, per tant, 1
3y x= no és
derivable en 0 0x = .
Resumint:
- f és contínua en 0
- f no és derivable en 0
- La gràfica de f té una recta tangent vertical en 0.
Aquest resultat també es pot emprar en sentit negatiu:
Propietat 1’:
Si no és contínua en , aleshores no pot ser derivable en aquest punt.
Com a conseqüència, sempre que demanen estudiar la derivabilitat d’una funció, començarem per
estudiar la seua continuïtat.
Resum:
Gràficament les situacions en les que una funció no és derivable en un punt són:
f no és contínua en c
f no és derivable en c
f a
xc
( )( ),c f c
𝑓 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥0 ⟹ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥0
𝑓 𝑁𝑂 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥0⟹ 𝑓 𝑁𝑂 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
ipri
28
Unitat 3: Derivades
f és contínua en c, però la
gràfica de té una
recta tangent vertical en
c no és derivable
en c
és contínua en c, però la gràfica de
no té recta tangent en c (ja que té un valor
màxim) no és derivable en c
Els punts on la gràfica de la funció té aquests punts s’anomenen punts angulosos, i, en ells
verifica:
( ) ( )0 0' 'f x f x− +
2.3. Operacions amb funcions derivables Suma
La funció derivada d’una suma de funcione derivables és la suma de les funcions derivades:
Demostració:
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0' lim lim
h h
f g x h f g x f x h g x h f x g xf g x
h h→ →
+ + − + + + + − −+ = = =
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0lim lim ' 'h h
f x h f x g x h g xf x g x
h h→ →
+ − + −= + = +
Producte per un número real
La funció derivada del producte d’una constant per una funció derivable és la constant per la funció
derivada de la funció:
Demostració:
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0' lim lim
h h
f x h f x f x h f xf x
h h
→ →
+ − + −= = =
( ) ( )( )
0lim 'h
f x h f xf x
h
→
+ −= =
Producte de funcions
La funció derivada d’un producte de funcions derivables és igual a la derivada del primer factor pel
segon sense derivar més el primer factor sense derivar per la derivada del segon factor:
( )( ),c f c
xc
f
f
c
( )( ),c f c
x
f f
f
( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f g x f x g x+ = +
( ) ( ) ( )' 'f x f x =
ipri
29
Unitat 3: Derivades
Demostració:
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0' lim lim
h h
f g x h f g x f x h g x h f x g xf g x
h h→ →
+ − + + − = = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
limh
f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
h→
+ + − + + + −= =
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0 0 0 0lim lim lim limh h h h
f x h f x g x h g xg x h f x
h h→ → → →
+ − + −= + + =
( ) ( ) ( ) ( )' 'f x g x f x g x= +
Funció recíproca d’una funció
La derivada de la funció recíproca d’una funció derivable ve donada per:
Demostració:
( )( ) ( )
( ) ( )0 0
1 11 1
1' lim lim
h h
x h xf x h f xf f
xf h h→ →
−+ − + = = =
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )0 0lim limh h
f x f x h
f x h f x f x f x h
h h f x f x h→ →
− +
+ − += = =
+
( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )20
'1 1lim 'h
f x h f x f xf x
h f x h f x f x f x f x→
− + − −= = − =
+
Quocient de funcions
La funció derivada d’un quocient de funcions derivables és igual al quocient de la derivada del
numerador pel denominador sense derivar menys el numerador sense derivar per la derivada del
denominador, entre el denominador al quadrat:
Demostració:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )2 2
' '1 1' ' '
g x f x f x g xfx f x f x x f x
g g g g xg x g x
− = = + = − =
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
' 'f x g x f x g x
g x
−=
Composició de funcions: regla de la cadena
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f g x f x g x f x g x = +
( )( )
( )2
'1'
f xx
f f x
− =
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )2
' ''
f x g x f x g xfx
g g x
− =
ipri
30
Unitat 3: Derivades
Siguen f:A⊆ ℝ → ℝ 𝑖 g: B⊆ ℝ → ℝ funcions reale de variable real amb . Suposem que
f és derivable en a i que g és derivable en . Aleshores:
Demostració:
Siga h g f= . Cal provar que ( ) ( )
( ) ( )lim ' 'x a
h x h ag b f a
x a→
−=
−.
Per hipòtesis,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )lim lim ' '
y b x a
g y g b f x f ag b f a
y b x a→ →
− −=
− −
La idea és fer en aquesta igualtat la substitució ( )y f x= . Definim
( )( ) ( )
( )
:
'
B
g y g by b
y y b
g b y b
→
−
= − =
que és una funció contínua.
Es té que ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑚𝑏 𝑥 ≠ 𝑎
( ) ( )( )( )
( ) ( ) 1
h x h a f x f af x
x a x a
− −=
− −
i com f és contínua en a i 𝜑 és contínua en b=f(a), es segueix que f és contínua en a , per tant
( )( ) ( )( ) ( ) ( )lim 'x a
f x f a b g b →
= = =
La igualtat [1] ens diu ara que
( ) ( )( ) ( )lim ' '
x a
h x h ag b f a
x a→
−=
− C.Q.D.
3. TAULES DE DERIVADES
Com a exemple, calcularem les funcions derivades d’algunes funcions elementals. A la vegada que
practiquem el càlcul de derivades aplicant la definició, també ho fem servir per a construir la
coneguda taula de derivades i que, aquesta no aparega per art de màgia.
1) La funció f:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑐 és derivable en qualsevol punt a ∈ ℝ. La seua derivada ve
donada per:
( )( ) ( )
' lim lim 0x a x a
f x f a c cf a
x a x a→ →
− −= = =
− −
2) La funció f: ℝ → ℝ, f (x) = x és derivable en qualsevol punt a ∈ℝ. La seua derivada ve
donada per:
( )( ) ( )
' lim lim 1x a x a
f x f a x af a
x a x a→ →
− −= = =
− −
( )f A B
( )b f a=
( ) ( ) ( )( ) ( )' ' 'g f a g f a f a=
ipri
31
Unitat 3: Derivades
3) La funció f: ℝ → ℝ , f(x) = xn és derivable en qualsevol punt a ∈ℝ. Pera calcular la seua
derivada emprarem la fórmula del binomi de Newton:
( )( ) ( ) ( )
0 0' lim lim
n n
h h
f a h f a a h af a
h h→ →
+ − + −= = =
0
0
0lim
n
h
na h
→
=
1 1 0...1 1
n n n nn n n
a h ah a h an n
− − + + + + −
−
h=
1 2 2 1
0
...2 1
lim
n n n n
h
n n nna h a h ah ah
n n
h
− − −
→
+ + + +
− = =
1 2 2 1
1
0
...2 1
lim
n n n n
n
h
n n nh na a h ah ah
n nna
h
− − − −
−
→
+ + + +
− = =
4) La funció:[0,+∞) → ℝ, f(x)= √𝑥, és derivable en qualsevol ( )0,a + . La seua derivada
és:
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )' lim lim lim
x a x a x a
x a x af x f a x af a
x a x a x a x a→ → →
− +− −= = = =
− − − +
( ) ( )( )( )
( )2 2
lim limx a x a
x a x a
x a x a→ →
− −= =
− − ( )x a− ( )1 1
lim2x a x a ax a →
= =++
5) La funció exponencial f: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, és derivable en qualsevol a∈ ℝ.
( )( ) ( ) ( )
0 0 0
1' lim lim lim
a ha h aa
h h h
e ef a h f a e ef a e
h h h
+
→ → →
−+ − −= = = =
tenint en compte que
0
1lim 1
h
h
e
h→
−=
6) La funció f: ℝ → ℝ , f(x)=sinx, és derivable en qualsevol a∈ ℝ.
( )( ) ( ) ( )
0 0
sen sen ' lim lim
h h
f a h f a a h af a
h h→ →
+ − + −= = =
0
2cos sen2 2
lim cosh
h ha
ah→
+
= =
On hem tingut en compte que
sen sen 2cos sen2 2
x y x yx y
+ −− =
i que
ipri
32
Unitat 3: Derivades
0
sen2lim 1
2
h
h
h→=
7) La funció f: ℝ → ℝ, f(x)=cosx, és derivable en qualsevol a∈ ℝ. La seua funció derivada es
pot obtindre tenint en compte que cos(x)= sin(𝜋
2− 𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ i, aplicant la regla de la
cadena:
( )' cosf a a= −
8) La funció tg : :
2
tg
k k
x x
− + → és derivable en qualsevol punt del seu domini i la
seua derivada ve donada per:
( )( )
2 2
cos cos sen sen sen 1tg ' '
cos cos cos
x x x xxx x
x x x
− − = = = =
2 21 tg secx x= + =
9) La funció loga : (0, +∞) → ℝ és derivable en qualsevol ( )0 0,x +
x⟼ log𝑎 𝑥
La seua funció derivada ve donada per:
( )( ) ( ) ( )0 0 0 0
00 0
log log' lim lim
a a
h h
f x h f x x h xf x
h h→ →
+ − + −= = =
0
00 0
0 0 00 0
log 1log1
lim lim lim log 1
aa
ah h h
hx h
xx x h
h h h x x→ → →
++
= = = + =
0 0
0 00 0 0 0
1 1lim log 1 log lim 1
x x
h h
a ah h
h h
x x x x→ →
= + = + =
0
000 0
1 1 1log lim 1 log
x
h
a ah
exx x
h
→
= + =
En particular, la funció loge : (0, +∞) → ℝ és derivable en qualsevol 𝑥0 ∈ (0,+∞),i x⟼ log𝑒 𝑥 ≡ 𝑙𝑛𝑥
la seua derivada ve donada per: 1
ln' xx
=
ipri
33
Unitat 3: Derivades
Taula de derivades (de funcions simples)
Funció Derivada
log lny x x=
arcsen y x= 2
1'
1y
x=
−
arccosy x= 2
1'
1y
x
−=
−
arctg y x= 2
1'
1y
x=
+
Exercici:
18. Calcula la derivada de les següents funcions:
1) ( ) 5 3 27 2 3 4f x x x x= − + − 17) ( ) tg sen f x x x=
2) ( ) 4 25 3 2 7f x x x x= + + − 18) ( ) cos tg f x x x=
y c= ' 0y =
y x= ' 1y =
ny x= 1' ny nx −=
y x=1
'2
yx
=
ny x=1
1'
n ny
n x −=
con 0xy a a= ' lnxy a a=
xy e= ' xy e=
logay x=1
' logay ex
=
1'y
x=
sen y x= ' cosy x=
cosy x= sen y x=−
tg y x= 2' 1 tgy x= +
ipri
34
Unitat 3: Derivades
3) ( ) ( )( )23 1 5 3 2f x x x x= − + − 19) ( ) tg xf x e x=
4) ( )24 1
7 1
xf x
x
+=
+ 20) ( ) 2 lnxf x x=
5) ( ) 31f x x x
x= − + 21) ( ) 10logxf x e x=
6) ( ) ( )( )f x x x x x= − + 22) ( ) 5log cosf x x x=
7) ( )( )( )
2
3 1 2 3
7
x xf x
x
− +=
+ 23) ( )
sen
tg
xf x
x=
8) ( ) ( )2 25 3 1
5 3
xf x x x
x= − +
+ 24) ( )
2
ln
x
f xx
=
9) ( ) 5 3 51f x x x x
x= + + + 25) ( )
2
ln
xf x
x=
10) ( )( ) ( )
2 2
2
3 1 3 1
2
x xf x
x
− − +=
− 26) ( ) sen cosf x x x=
11) ( ) 2
1
3 5 2f x
x x=
− + 27) ( ) sen sen xf x x e x= +
12) ( ) ( )213 2
5 3f x x x
x= − +
− 28) ( )
cos
sen cos
xf x
x x=
+
13) ( ) ( )2 3 sen f x x x x= + 29) ( )3 sen
2
x
x
xf x
x e=
+
14) ( ) 3xf x = 30) ( ) 5 7log logf x x x=
15) ( ) tg
1
x xf x
x=
+ 31) ( ) sen xf x e x=
16) ( )( )2 3 2 sen
1 tg
x x xf x
x
− +=
+ 32) ( ) 5xf x =
Aplicant la regla de la cadena, obtenim la següent taula de derivades per a funcions compostes:
Taula de derivades, per a funcions compostes
Funció Derivada
( )n
y f x= ( ) ( )1
' 'n
y n f x f x−
=
( )y f x=( )
( )
''
2
f xy
f x=
( )ny f x=( )
( )1
''
nn
f xy
n f x−
=
ipri
35
Unitat 3: Derivades
( ) ( )' ' seny f x f x= −
( )arcsen y f x=
( )
( )2
''
1
f xy
f x=
−
( )arccosy f x=
( )
( )2
''
1
f xy
f x
−=
−
( )arctg y f x=
( )
( )2
''
1
f xy
f x=
+
Exercicis:
19. Calcula la derivada de les següents funcions:
1) ( ) ( )2sen 2 3f x x x= − 13) ( ) ( )5
2 1f x x= +
2) ( ) ( )ln 3 1f x x= + 14) ( ) 3senf x x=
3) ( ) 5xf x e= 15) ( ) ( )3sen f x x=
4) ( ) ( )tg 2 3f x x= − 16) ( ) 2 2sen cosf x x x=
5) ( ) ( )7
2 5 2f x x x= − + 17) ( )( )
( )
sen 5 2
cos 3 1
xf x
x
+=
−
6) ( ) en s xf x e= 18) ( ) sen cosxf x e x=
7) ( ) 1 sen cos3 x xf x + += 19) ( ) ( )5log 3 1f x x= +
8) ( ) ( )7log 4 sen f x x= + 20) ( ) ( )ln tg f x x=
9) ( ) 2senf x x= 21) ( ) ( )( )sen cos 3f x x=
10) ( ) 3tgf x x= 22) ( ) 25 3 2f x x x= − +
11) ( )2 23 sen xf x x+= 23) ( ) ( )
223 3 2f x x= −
( ) con 0
f xy a a= ( ) ( )
' ' lnf x
y f x a a=
( )f xy e= ( ) ( )
' 'f x
y f x e=
( )logay f x=( )
( )
'' loga
f xy e
f x=
( )lny f x=( )
( )
''
f xy
f x=
( )sen y f x= ( ) ( )' ' cosy f x f x=
( )cosy f x=
( )tg y f x= ( ) ( )2' ' 1 tgy f x f x = +
ipri
36
Unitat 3: Derivades
12) ( ) ( ) ( )23 2 sen 5f x x x= − 24) ( ) 24 3 1f x x x= − +
20. Calcula la derivada de les següents funcions:
1) 2
2
3
3
xy
x
−=
+ 14) 2seny x=
2)
2
31
1
xy
x
− =
+ 15) 2seny x=
3) ln x
yx
= 16) ( )2arctg 1y x= +
4) 3 1xy = + 17) 2
1log logy
x
=
5) ( )2
3 5 3y x= − 18) 2logy x=
6) x x
x x
e ey
e e
−
−
+=
− 19) 2 2seny x=
7) 3 23y x= 20) ( )5 2cos 7y x=
8) 22
2
xy
x= + 21)
1arctgy
x=
9) 7 xy e−= 22) ( )ln 2 1y x= −
10) sen cosy x x= 23) 2
arcsen3
xy =
11) 1
seny
x= 24)
2
tg2
xy =
12) ( )2ln 1y x= + 25) arctg3
xy =
13) ( )7
2 3y x= − 26) tgy x=
21. Calcula la derivada de les següents funcions:
a) ( )2ln 1y x= −
b) arccos 2y x=
c) ln 1y x= −
d) 4xy e=
e) ( )2
arctgy x=
f) ( )3log 7 2y x= +
g) 3
ln tgyx
=
i) 2 1
2x
xy−
=
j) 1
arcsen1
xy
x
+=
−
k) 2tgy x=
l) 32
2
xy
x
−=
+
m) 2
arctg1
xy
x=
−
n) ( )3 25 tg 3 1y x= +
ipri
37
Unitat 3: Derivades
h) 1
ln lnyx
=
4. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA
Si és contínua en , la recta tangent a la gràfica de en el punt és:
i) la recta que passa per i té pendent si aquest límit
existeix, és a dir, és un número real.
ii) la recta si
Aclaració: aquesta definició prove del fet que la recta tangent a una funció en un punt és el
límit de la recta secant a la funció, quan l’altre punt de tall de la recta secant i la funció tendeix a
Siga una funció contínua i
dos punts de la seua gràfica. Geomètricament es té que
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ= 𝑡𝑔𝛼 = 𝑚𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑠
que és el valor que mesura el pendent de la recta secant en els
punts P i Q a la corba.
Prenent límits en la igualtat anterior resulta:
limℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ= lim
ℎ→𝑜𝑡𝑔𝛼 = lim
ℎ→0𝑚𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑠 ⇔ 𝑓′(𝑎) = 𝑡𝑔𝛼 =𝑚𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡
és a dir, la derivada d’una funció en un punt és igual al pendent de la recta tangent a la funció en
eixe punt.
Com a conseqüència:
Equació de la recta tangent a la corba :
f0x f ( )( )0 0,P x f x
P ( )( ) ( )0 0
00
limx
f x x f xm x
x →
+ −=
0x x=( ) ( )0 0
0limx
f x x f x
x →
+ −=
0x
0x
:f D →
( )( ) ( )( ), , ,P a f a Q a h f a h= = + +
( ) ( )( ) en ,y f x a f a=
( ) ( )( )'y f a f a x a− = −
( )y f x=
a
( )f a
x
y
P
a h+
A
Tan
gen
te Secantes
( )f a h+
0h →
( ) ( ) ( )'y f a f a x a− = −
( )y f x=
a
( )f a
x
y
P
ipri
38
Unitat 3: Derivades
Equació de la recta normal a la corba :
5. INTERPRETACIÓ FÍSICA DE LA DERIVADA
Si ( )x t és la posició d’un mòbil en el instant de temps t , la velocitat mitjana en l’interval de temps
,t t h+ ve donada per
( )( ) ( )
,m
x t h x tv t t h
h
+ −+ =
i la velocitat instantània en l’instant t s’obté prenent límits, quan 0h→ , en l’expressió anterior:
( )( ) ( )
( )0
lim 'h
x t h x tv t x t
h→
+ −= =
A més, la derivada de la velocitat és l’acceleració:
( ) ( ) ( )' ''a t v t x t= =
Si l’acceleració és zero, no n’hi ha canvi de velocitat respecte al temps, és a dir, la velocitat és
constant. En aquest cas, la corba de x en funció de t és una línia recta. Si l’acceleració no és nul·la,
però constant, la velocitat varia linealment amb el temps i la corba de x en funció de t és quadràtica
amb el temps.
En general, la derivada de la funció ( )y f x= és el ritme de canvi (velocitat) amb la que varia la
magnitud y respecte de la magnitud x .
6. DERIVADES SUCCESSIVES Siga I un interval i una funció derivable en I. Si f’ és derivable en 𝑎 ∈ 𝐼, la derivada
s’anomena derivada segona de i la notació emprada és .
Si x I existeix ( )''f x , la funció s’anomena derivada segona de f en I.
En general, definides les funcions , de forma que , per a
, direm que és la funció derivada k-èssima (o derivada d’orde k) de , que
també es representa per: ( ))k
k
k
d ff x
dx=
( ) ( )( ) en ,y f x a f a=
( )( )
( )1
'y f a x a
f a
−− = −
f ( ) ( )' 'f a
en f a ( )''f a
( )''x f x
1)',..., :nf f I− → ( )) 1) 'k kf f −=
2,..., 1k n= − )kf en f I
ipri
39
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
Unitat 4: APLICACIONS DE LES DERIVADES
1. ESTUDI GLOBAL I LOCAL DE FUNCIONS
1.1. Monotonia d’una funció Recordem que, llevat que, expressament, es diga el contrari, el conjunt D és un interval obert.
Definicions:
Una funció :f D → és creixent (resp. decreixent) en D quan, per a qualsevols
en la situació , es verifica que ( ) ( )f x f y (respectivament ( ) ( )f x f y ).
Una funció és estrictament creixent (resp. estrictament decreixent) en D quan,
per a qualsevols en la situació , es verifica que ( ) ( )f x f y (respectivament
( ) ( )f x f y ).
Criteri de la derivada primera:
Si :f D → é𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝐷 𝑖:
𝑓′(𝑥0) {> 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑟𝑒𝑖𝑥𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝐷< 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑖𝑥𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝐷
Definicions:
Direm que una funció és monòtona, quan siga creixent o decreixent i, estrictament monòtona,
quan siga estrictament monòtona quan siga estrictament creixent o estrictament decreixent.
Per tant, estudiar la monotonia d’una funció és estudiar el signe de .
Exercici:
22. Estudia la monotonia de les següents funcions:
a) ( )2
2 1
xf x
x=
− c) ( )
2 4
1
xf x
x
−=
+
b) ( ) 2 9
xf x
x=
− d) ( ) 2ln 1f x x= +
1.2. Extrems relatius (extrems locals o punts crítics)
Definició:
Es diu que :f D → té un màxim (resp. mínim) relatiu en si
(resp. ).
Les coordenades del màxim (resp. mínim) relatiu són ( )( )0 0,x f x .
x, yD
x y
:f D →
x, yD x y
'f
0x ( )0 :E x
( ) ( ) ( )0 0x E x f x f x ( ) ( )0f x f x
ipri
40
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
Condició necessària per a l’existència d’extrems relatius en funcions derivables:
Siga :f D → una funció derivable en i suposem que f té un extrem relatiu en .
Aleshores: ( )0' 0f x =
Contraexemple: El recíproc no és cert.
La funció és derivable i, no obstant això, , no té un extrem relatiu en l’origen,
donat que sempre és creixent.
Condició necessària i suficient per tal que una funció derivable tinga un extrem relatiu en
un punt:
Siga :f D → una funció dues vegades derivable en i, suposem que:
1) ( )0' 0f x =
2) ( )0'' 0f x
Aleshores, té un extrem relatiu en , que és un{𝑚à𝑥𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓′′(𝑥0) < 0
𝑚í𝑛𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓′′(𝑥0) > 0
Exercici:
23. Calcula, si ne té, els extrems relatius de les funcions de l’exercici anterior.
Aquest criteri ens resultarà útil en la majoria dels casos, però n’hi ha un altre, més general, que és
important conèixer:
Criteri general:
Siga :f D → una funció ( )1n − − vegades derivable en i suposem que
1) ( ) ( ) ( ) ( )1)
0 0 0 0' '' ''' ... 0nf x f x f x f x−= = = = =
2) ( ))
0 0nf x
Aleshores, si n és parell, presenta un extrem relatiu en , que és un
{𝑚à𝑥𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓𝑛)(𝑥0) < 0
𝑚í𝑛𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓𝑛)(𝑥0) > 0
I, si n és senar ( imparell). Aleshores, f no té un extrem relatiu en el punt 0x .
1.3. Curvatura d’una funció: punts d’inflexió 1.3.1. Definición no rigurosa de convexidad
Una figura o regió del pla és convexa si, en triar dos punts qualsevols d’ella, el segment que els
uneix està completament inclòs en la figura. En cas contrari es diu que la figura o regió és còncava.
0x 0x
( ) 3f x x= ( )' 0 0f =
0x
( )f x0x
0x
( )f x0x
Polígon convex
Polígon cóncau
ipri
41
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
Definició:
Una funció és convexa4 en un interval si la tangent a la funció en qualsevol punt de l’interval
roman per baix de la gràfica; si està per damunt, es dirà que la funció és còncava.
Els punts on la tangent a la gràfica creua a la funció, s’anomenen punts d’inflexió.
1.3.2. Ampliació: definició de funció convexa
Una funció :f D → és convexa en D sii ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 𝑎𝑚𝑏 𝑎 < 𝑏 es té que
( )( ) ( ) ( ) 1 1 0,1f ta t b f t a f t b t+ − + −
Una funció :f D → és còncava en D sii f− és convexa en D .
Exemples: Anem a demostrar que les funcions 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔(𝑥) = |𝑥|∀𝑥 ∈ ℝ i les funcions afins són
convexes.
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ i 0≤ 𝑡 ≤ 1 es té que:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 22 21 1 1 1 1 0f tx t y tf x t f y tx t y tx t y t t x y+ − − − − = + − − − − = − − −
( )( ) ( ) ( ) 1 1 0,1f ta t b f t a f t b t f+ − + − és convexa en ℝ
2) 𝑔(𝑥) = |𝑥|∀𝑥 ∈ ℝ
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ i 0≤ 𝑡 ≤ 1 es té que:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 tg 1g tx t y tx t y tx t y t x t y x t g y+ − = + − + − = + − = + −
g es convexa en ℝ
3) h(x)= mx+n ∀𝑥 ∈ ℝ, ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ 𝑎𝑚𝑏 𝑚 ≠ 0
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ i 0≤ 𝑡 ≤ 1 es té que:
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1h tx t y m tx t y n t mx n t my n th x t h y+ − = + − + = + + − + = + −
h es convexa en ℝ
1.3.3. Criteri de la derivada segona
Criteri per a estudiar la curvatura d’una funció:
Siga :f D → una funció dues vegades derivable en D .
𝑆𝑖 𝑓′′(𝑥0) {> 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 𝑒𝑛 𝐷< 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑐ò𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑒𝑛 𝐷
Criteri per a estudiar els punts d’inflexió d’una funció:
4 ¡Atenció!! En consultar la bibliografia, és possible trobar llibres on anomen funció còncava al que nosaltres
anomenem funció convexa. El que importa és el seu significat, no el nom que li donen. No obstant això, no he trobat
cap llibre de text que no siga de batxillerat on la funció siga còncava. 2y x=
ipri
42
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
Definició:
Els punts on una funció passa de còncava a convexa o de convexa a còncava s’anomenen punts
d’inflexió.
Si 0x és un punt d’inflexió de f , les coordenades del punt d’inflexió són ( )( )0 0, .x f x
Condició necessària:
Si és dues vegades derivable en i és un punt d’inflexió, aleshores ( )0'' 0f x = .
Condició necessària i suficient:
Si és tres vegades derivable en , ( )0'' 0f x = i ( )0''' 0f x , aleshores f té un punt
d’inflexió en 0x .
Per tant, estudiar la curvatura d’una funció és estudiar el signe de la derivada segona,
Exercici:
24. Estudia la curvatura de les funcions de l’exercici 59.
2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS
Per a representar gràficament una funció seguirem els següents passos:
1º) DOMINI I RECORREGUT (IMATGE)
Dom ( f ) = {números x per als què ( )f x té sentit}
Img ( f ) = ( ) : de forma que y x y f x =
2º) SIMETRIES
a) Funció parell: ( ) ( ) ( )f x f x f x− = és simètrica respecte del ( ) ( ) ( )f x f x f x− =
eix OY
b) Funció senar (imparell): ( ) ( ) ( )f x f x f x− = − és simètrica respecte de l’origen, és
a dir, si girem 180º la gràfica obtenim la mateixa funció.
3º) PERIODICITAT
( )y f x= és periòdica de període T ( ) ( )f x T f T + = i T és el menor dels números que
compleixen la dita condició.
4º) PUNTS DE TALL AMB ELS EIXOS
a) Tall(s) amb l’eix OX: ( )0 0y f x= = → Cap, un o més punts
b) Tall amb l’eix OY: ( )0 0x f y= = → Cap o un punt
f0x 0x
f0x
''f
ipri
43
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
5º) REGIONS D’EXISTÈNCIA a) Intervals de positivitat
( ) 0f x gràfica per dalt de l’eix OX
b) Intervals de negativitat
( ) 0f x gràfica per baix de l’eix OX
Per a determinar les regions d’existència de la funció ( )y f x= cal estudiar el signe de ( )f x
6º) ASÍMPTOTES a) Asímptotes verticals
La recta x a= és una asímptota vertical de ( )y f x= si existeix algun dels següents límits:
( )limx a
f x→
= ( )limx a
f x→ +
= ( )limx a
f x→ −
=
Observacions:
(1) Una funció pot tindre infinites asímptotes verticals.
(2) La gràfica de la funció no pot tallar a les asímptotes verticals.
b) Asímptotes horitzontals
La recta y = k és una asímptota horitzontal de ( )f x si existeix algun dels següents límits:
( )limx
f x k→−
= ( )limx
f x k→+
=
Observacions:
(1 ) Un a funció té, com a màxim dues asímptotes horitzontals.
(2 ) La gràfica de la funció pot tallar a les asímptotes horitzontals.
c) Asímptotes obliqües
La recta y = m x + n, m 0 , és una asímptota obliqua de ( )f x si existeix algun dels
següents límits:
( )( )lim 0x
f x mx n→−
− − = ( )( )lim 0x
f x mx n→+
− − =
I, en aquest cas: ( )
( )( )lim y limx x
f xm n f x mx
x→ →= = −
Observacions:
(1) Una funció pot tindre, com a màxim, dues asímptotes obliqües.
(2) Si una funció té asímptota obliqua, no té asímptota horitzontal i recíprocament.
(3) La gràfica de la funció pot tallar a les asímptotes obliqües en un o més punts.
7º) PUNTS DE DISCONTINUÏTAT
( )f x és contínua en ( )x a Dom f= quan ( ) ( )limx a
f x f a→
= i, per tant, la funció
( )y f x= presenta discontinuïtat en un punt quan, o no existeix el límit de la funció en el
punt o quan el límit no coincideix amb el valor que pren la funció en ell.
ipri
44
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
8º) MONOTONIA
a) Intervals de creixement: ( )' 0f x per a tots els x de l’interval.
b) Intervals de decreixement: ( )' 0f x per a tots els x de l’interval.
c) Punts crítics: extrems relatius
x a= és un possible màxim o mínim relatiu de ( )f x si ( )' 0f a =
Si ( )'' 0f a aleshores ( )f x té en x a= un mínim relatiu.
Si ( )'' 0f a aleshores ( )f x té en x a= un mínim relatiu.
Per a determinar la monotonia de la funció cal estudiar el signe de ( )'f x .
9º) CURVATURA
a) Intervals de convexitat: ( )'' 0f a per a tots els x de l’interval.
b) Intervals de concavitat: ( )'' 0f a per a tots els x de l’interval.
c) Punts d’inflexió:
x a= és un possible punt d’inflexió de ( )f x si ( )'' 0f a =
Si ( )''' 0f a , aleshores ( )f x té en x a= un punt d’inflexió còncau-convex.
Si ( )''' 0f a , aleshores ( )f x té en x a= un punt d’inflexió convex-còncau.
Per a determinar la curvatura de la funció cal estudiar el signe de ( )''f x .
3. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS
Optimitzar una funció és obtindre el valor o valores de la variable independent que maximitzen o
minimitzen la funció objecte d’estudi.
3.1. Problemes resolts d’optimització de funcions
1. Calcula dos números que sumats donen 20 i que el seu producte siga màxim.
Siguen x e y els números cercats. El problema a resoldre el següent:
{𝑥 + 𝑦 = 20𝑥𝑦 𝑚à𝑥𝑖𝑚
Anomenem p al producte dels dos números, és a dir, p xy= [*]
Com 20 20x y y x+ = = − i, substituint en [*] resulta:
𝑝 = 𝑥(20 − 𝑥) = 20𝑥 − 𝑥2
Anem a calcular el (o els) màxim(s) de la funció 𝑝(𝑥): 𝑝′(𝑥) = 20 − 2𝑥
ipri
45
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
𝑝′(𝑥) = 0 ⇔ 20 − 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 10
𝑝′′(𝑥) = −2
𝑝′′(10) < 0 ⇒ 𝑥 = 10 és un màxim
Per tant, els números cercats són:
10
20 10 10
x
y
=
= − =
2. Calcula dos números tals que el quadrat d’un multiplicat per l’altre siga màxim, si la suma
dels números és 40.
Siguen x e y els números cercats. El problema a resoldre és el següent:
{𝑥 + 𝑦 = 40
𝑥2𝑦 𝑚à𝑥𝑖𝑚
Anomenem 2p x y= . Com 40x y+ = es té que 40y x= − i, per tant:
𝑝 = 𝑥2(40 − 𝑥) = 40𝑥2 − 𝑥3
Anem a maximitzar la funció 𝑝(𝑥): 𝑝′(𝑥) = 80𝑥 − 3𝑥2
( ) ( )2
0
' 0 80 3 0 80 3 0 8080 3 0
3
x
p x x x x xx x
=
= − = − = − = =
𝑝′′(𝑥) = 80 − 6𝑥
𝑝′′(0) = 80 > 0 ⇒ 𝑥 = 0 és un màxim (no ens interessa).
80 80'' 80 0
3 3p x
= − =
és un mínim relatiu.
Los números cercats són:
80
3
80 4040
3 3
x
y
=
= − =
3. Quines són les dimensions d’un camp rectangular de 3 600 m2 de superfície, per a poder
tancar-ho amb una tanca de longitud mínima?
Per la fórmula de l’àrea del rectangle es té: 3600xy =
D’altra banda, la superfície que hem de tancar és 2 2x y+
Així, el problema a resoldre és:
{𝑥𝑦 = 3600
2𝑥 + 2𝑦 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎
Com 3600
3600xy yx
= =
x
y2m 3600
ipri
46
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
Identificant 2 2f x y= + i , substituint 3600
yx
= obtenim:
( )23600 2 7200
2 2x
f x xx x
+= + =
Anem a minimitzar f:
( )2 2 2
2 2
4 2 7200 2 7200'
x x xf x
x x
− − −= =
𝑓′(𝑥) = 0 ⇔ 2𝑥2 − 7200 = 0 ⇔ 𝑥 = ±60
( ) 3
14400''f x
x=
𝑓′′(−60) < 0 ⇒ 𝑥 = −60 és un màxim (no ens interessa)
𝑓′′(60) > 0 ⇒ 𝑥 = 60 és un mínim
Per tant, les dimensions del camp són:
60 m
360060 m
60
x
y
=
= =
4. Calcula les dimensions del rectangle d’àrea màxima que es pot inscriure en una
circumferència de radi 5 cm.
A xy= màxima
Pel teorema de Pitàgores: 2 2 210x y+ =
d’on
2100y x= −
La funció a maximitzar és: ( ) 2100f x x x= −
( ) ( ) ( )1
2 2 2 2 4 2 4 2100 100 100 100f x x x x x x x x x= − = − = − = −
( ) ( ) ( )1 3
2 4 32
2 4
1 200 4' 100 200 4
2 2 100
x xf x x x x x
x x
− −= − − =
−
𝑓′(𝑥) = 0 ⇔ 200𝑥 − 4𝑥3 = 0 ⇔ 𝑥(200 − 4𝑥2) = 0 ⇒ {𝑥 = 0
200 − 4𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = ±√50
L’únic possible extrem que ens interessa és 50x =
( )2
2
100 2'
100
xf x
x
−=
−
( )( )
( )( ) ( )
( )
22 22 2
2
2 2 22
4 100 100 2 4 100 100 2100
''100 100100
xx x x x x x x
xf x
x xx
−− − − − − − + −
−= = =
− −−
( )
3
2 2
300 2
100 100
x x
x x
− +=
− −
cm 10
x
y
x
y
cm 5=r
ipri
47
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
( )'' 50 0 50f x = és un màxim
Calculem el valor de y:
( )2
100 50 50y = − =
Per tant, les dimensions del rectangle per tal que l’àrea siga màxima són:
50 cm
50 cm
x
y
=
=
5. Amb 1 m2 de cartró com construiries una caixa del major volum possible.
Tenint en compte el dibuix, hem de maximitzar la funció
𝑣(𝑥) = (1 − 2𝑥)2𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥
Calculem les derivades:
𝑣′(𝑥) = 12𝑥2 − 8𝑥 + 1
20 3 (cent./kg)x+
8 4 12 1
8 16 8 4 24 24 2
8 4 4 124 24
24 24 6
+= =
= = = − = =
𝑣′′(𝑥) = 24𝑥 − 8
𝑣′′ (1
2) = 12 − 8 > 0 ⇒ 𝑥 =
1
2 és un mínim (no ens interessa)
𝑣′′ (1
6) = 4 − 8 < 0 ⇒ 𝑥 =
1
6 és un màxim
Per tant, com 1 1 2
1 2 1 2 16 3 3
x− = − = − = les dimensions de la caixa són: 2 2 1
3 3 6 (m)
6. Un full de paper ha de contindre 18 cm2 de text imprès. Els marges superior i inferior han de
ser de 2cm i, els laterals, d’1cm.Quines han de ser les dimensions per tal que resulten fulls
amb un cost mínim?
Tenint en compte el dibuix, la funció a minimitzar és:
2 2 2 2 2 2 18 4 2 26s x x y y x y= + + + + + + + + = + +
D’altra banda, tenint en compte la fórmula de l’àrea d’un rectangle, es té
que:
18xy =
Així, hem de resoldre el següent problema:
18
4 2 26 mínima
xy
x y
=
+ +
Com 24 24 24 , i, per tant, substituint en s tenim:
( )2 218 4 36 26 4 26 36
4 2 26x x x x
s x s xx x x
+ + + += + + = = =
x21−
x
x
ipri
48
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
Anem a minimitzar 𝑠(𝑥):
( )( ) ( )2 2 2 2
2 2 2
8 26 4 26 36 1 8 26 4 26 36 4 36'
x x x x x x x x xs x
x x x
+ − + + + − − − −= = =
( ) 2 2 36' 0 4 36 0 9 9 3
4s x x x x= − = = = = =
( )( )2 2 3 3
4 4 3
8 4 36 2 8 8 72 72''
x x x x x x xs x
x x x
− − − += = =
𝑠′′(3) > 0 ⇒ 𝑥 = 3 és un mínim
Així les dimensions de la zona que conté el text imprès són:
3 cm
186 cm
3
x
y
=
= =
I, les dimensions del full de paper són: 5 10 cm.
7. Un llaurador sap que, si ven hui la seua collita, podrà arreplegar 50 000 kg, que li pagaran al
preu de 20 cèntims per kg. Per cada dia que espere, la collita minvarà en 800 kg, però el
preu augmentarà en 3 cèntims per kg. Quants dies haurà d’esperar per a obtindre el major
benefici?
Siga x = número de dies que espera el llaurador.
Arreplega una collita de 50000 − 800𝑥 (kg), que ven al preu de 20 3 (cent./kg)x+ . El guany que
obté és:
𝑔(𝑥) = (50000 − 800𝑥)(20 + 3𝑥) que és la funció que hem de maximitzar:
( ) ( ) ( )' 800 20 3 50000 800 3g x x x= − + + − =
16000 2400 150000 2400 4800 134000x x x= − − + − = − +
𝑔′(𝑥) = 0 ⇔ −4800𝑥 + 134000 = 0 ⇔ 𝑥 =134000
4800=335
12
𝑔′′(𝑥) = −4800
𝑔′′ (335
12) < 0 ⇒ 𝑥 =
335
12 és un màxim
Per tant, el llaurador haurà d’esperar 335
12≈ 27,917 ≈ 28 𝑑𝑖𝑒𝑠 per tal que el guany siga màxim.
8. Un venedor de bolígrafs ha observat que, si ven els seus bolígrafs a 15 cèntims, és capaç de
vendre 1 000 unitat diàries, però que, per cada cèntim que augmente el preu, disminueix en
100 unitats la venda diària de bolígrafs. D’altra banda, a ell li costa 7.5 cèntims fabricar un
bolígraf. Esbrina quin preu ha de posar per tal d’obtindre el màxim benefici.
Siga x el preu de cada bolígraf.
El número de bolígrafs venuts al dia és 1000 100n x= − , i, en cada bolígraf obté un benefici igual a
5x− .
El benefici total és:
( ) ( )( )1000 100 5b x x x= − −
ipri
49
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
que és la funció que hem de maximitzar:
( ) ( ) ( )' 100 5 2000 100 100 500 2000 100 200 2500b x x x x x x= − − + − = − + + − = − +
( )2500
' 0 200 2500 0 12,5200
b x x x= − + = = =
𝑏′′(𝑥) = −200
𝑏′′(12,5) < 0 ⇒ 𝑥 = 12,5 és un màxim per a 𝑏(𝑥) Per tant, el preu del bolígraf per tal que el benefici siga màxim és de 12,5 cèntims.
9. Es vol construir el marc per a una finestra rectangular de 6 m2 de superfície. El metro lineal
de tram horitzontal costa 20 euros i el tram vertical 30 euros.
a) Calcula les dimensions de la finestra per tal que el cost del marc siga mínim.
b) Determina el cost del marc.
El problema a resoldre és:
6
2 20 2 30 40 60
xy
M x y x y
=
+ = +
Com 6
6xy yx
= = i substituint en l’expressió de M:
( )26 40 360
40 60x
M x M xx x
+= + = =
Calculem 𝑀′(𝑥) i igualem a zero:
( )( )2 2 2 2
2 2 2
80 40 360 1 80 40 360 40 360'
x x x x x xM x
x x x
− + − − −= = =
( ) 2 2 360' 0 40 360 0 9 3
40M x x x x= − = = = =
Comprovem que la solució positiva que, és la que té sentit, correspon a un mínim:
( )( )2 2 3 3
4 4 4 3
80 40 360 2 80 80 720 720 720''
x x x x x x x xM x
x x x x
− − − += = = =
( ) 303
7203''
3== xM és un mínim
Per tant, les dimensions del marc són: 3 m
2 m
x
y
=
=
Així, el cost del marc és: 40 3 60 2 120 120 + = + = 240 €.
10. En una oficina de correus només admeten paquets amb forma de paral·lelepípede
rectangular, tals que l’amplària siga igual a l’altura i, a més, la suma de les seues tres
dimensions ha de ser 72 cm. Calcula les dimensions del paral·lelepípede per tal que el
volum siga màxim.
El problema a resoldre és:
{𝑥 + 𝑥 + 𝑦 = 72
𝑣 ≡ 𝑥2𝑦 𝑚à𝑥𝑖𝑚
y
x x
2m 6
x
y
ipri
50
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
Com 2 72 72 2x y y x+ = = − i, substituint e l’expressió de v:
𝑣 = 𝑥2(72 − 2𝑥) = 72𝑥2 − 2𝑥3 = 𝑣(𝑥) Maximitzem 𝑣(𝑥):
𝑣′(𝑥) = 144𝑥 − 6𝑥2
( ) ( )0 (No vale)
' 0 144 6 0 14424
6
x
v x x xx
=
= − = = =
𝑣′′(𝑥) = 144 − 12𝑥
𝑣′′(24) = −144 < 0 ⇒ 𝑥 = 24 és un màxim
Per tant, les dimensions de la caixa són: 24 × 24 × 24 (cm).
11. Volem dissenyar un recipient amb forma de prisma rectangular de base quadrada i capacitat
de 80 cm3. Per a la tapa i la superfície lateral fem servir un material determinat; però, per a
la base, hem d’emprar un material un 50% més car. Calcula les dimensions d’aquest
recipient ( longitud del costat de la base i altura) per tal que el preu siga el mínim possible..
Si suposem que el preu del material per a la tapa i els laterals és d’una unitat per
cm2, el preu per a 1 cm2 de la base serà de 1.5 unitats. El preu del recipient, que
és la funció que hem de minimitzar, és:
𝑝 = 𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 1,5𝑥2 = 2,5𝑥2 + 4𝑥𝑦
Aquesta funció depèn de dues variables, però, com sabem que el volum és de 80
cm3, es té que:
2
2
8080V x y y
x= = =
Substituint en la funció:
𝑝 = 2,5𝑥2 + 4𝑥80
𝑥2= 2,5𝑥2 +
320
𝑥= 𝑝(𝑥)
Derivem i igualem a zero:
( ) 2
320' 5p x x
x= −
𝑝′(𝑥) = 0 ⇔ 5𝑥3 − 320 = 0 ⇔ 𝑥3 = 64 ⇔ 𝑥 = 4 cm
Per a comprovar que es tracta del preu mínim, calculem la derivada segona i, substituint:
( ) 3
640'' 5p x
x= +
𝑝′′(4) > 0 ⇒ 𝑥 = 4 és un mínim
El recipient de preu mínim té una base quadrada de 4 cm de costat i una altura de 5 cm.
12. Calcula les dimensions del rectangle d’àrea màxima que es pot inscriure en un triangle
isòsceles on, la base és el costat desigual i mesura 36 cm i l’altura corresponent mesura 12
cm. Suposa que un costat del rectangle està en la base del triangle.
La funció que hem de fer màxima és l’àrea del rectangle: A xy=
Com aquesta funció depèn de dues variables, hem de cercar una relació entre elles.
Els triangles CMB i PNB són semblants, per tant:
x
y
ipri
51
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
1818 2 3 3612
xMB BN
y xCM PN y
−
= = = −
⇒ 𝑥 = 36 − 𝑦2
Substituïm en la funció a maximitzar:
𝐴 = 36𝑦 − 3𝑦2 = 𝐴(𝑦) Derivem i igualem a zero:
𝐴′(𝑦) = 36 − 6𝑦
𝐴′(𝑦) = 0 ⇔ 36 − 6𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 6
Substituïm en la derivada segona:
𝐴′′(6) = −6 < 0 ⇒ 𝑦 = 6 és un màxim
Per tant, les dimensions del rectangle són: 6 cm
18 cm
y
x
=
=
13. Un fil de 100 cm es divideix en dos trossos de longituds x i y; amb el primer, es forma un
quadrat i, amb el segon, un cercle. Raonadament:
a) Calcula x i y per tal que la suma de les àrees del quadrat i del cercle siga màxima.
b) Calcula x i y per tal que la suma de les àrees del quadrat i del cercle siga mínima.
La longitud de la circumferència és 2 r y = i, per
tant, el radi és 2
yr
= .
La funció que hem de maximitzar i minimitzar és la
suma de les àrees: 2 2 2 2
2
16 4 16 4
x y x yS
= + = +
A més, sabem que 100x y+ = , és a dir, 100y x= − .
Substituint:
( )( )
22 100
16 4
xxS S x
−= + =
Derivem i igualem a zero:
( )( )100 100
'8 2 8 2
xx x xS x
− − −= + = −
( ) ( )100
' 0 0 2 800 8 2 8 8008 2
x xS x x x x
−= − = = − + =
800 400
2 8 4x
= =
+ +
Calculem la derivada segona i substituïm:
( )1 1 400
'' 08 2 4
S x x
= + =+
és un mínim.
Per tant, el valor calculat correspon a un mínim. És a dir, quan 400
4x
=
+ e
400 100100
4 4y
= − =
+ +
la suma de les àrees és mínima.
A B
C
M N
P
x
y
12
36
x y
cm 100
4
xyl =
ipri
52
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
L’àrea serà màxima en un dels extrems de l’interval [0, 100] on pren els valors la variable x.
Si x=0 i y=0, el radi del cercle és 100
2r
= , l’àrea del quadrat és 0 i l’àrea del cercle és:
𝐴𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 = 𝜋 ·1002
4𝜋2=10000
4𝜋≈ 795,8𝑐𝑚2
Si x=0 i y=0 , el costat del quadrat és de 25cm i, l’àrea del quadrat és:
𝐴𝑞𝑢𝑞𝑑𝑟𝑎𝑡 = 252 = 625cm2
Així, la funció es fa màxima quan 0x = , és a dir, quan tot el fil es fa servir en fer un cercle.
14. Un jardiner vol fer un parterre5 en forma de sector circular i que tinga de perímetre 20 m. Es
pregunta sobre el radi que ha de prendre per a aconseguir que l’àrea del parterre siga
màxima
a) Expressa l’àrea del parterre, S, com a funció del radi r.
b) Determina el valor del radi que maximitza S.
c) Quina és l’amplària d’aquest sector de màxima superfície?
d) Quin criteri s’emprarà per a garantir que la solució trobada correspon, certament, a un
màxim?
Considerem un sector circular de radi r, arc a i angle .
Deduïm la fórmula de l’àrea del sector a partir de la fórmula de l’àrea de
cercle i de la longitud de la circumferència.
𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 y 𝐿 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟
Si anomenem S a l’àrea del sector circular, es té: 2 22
2 2
r r r a raS
a S r
= = =
a) Per a expressar l’àrea S en funció del radi utilitzem la relació que
proporciona el perímetre del parterre, 2 20r a+ = , d’on:
20 2a r= −
Substituïm en la fórmula de S:
( )( )2
20 210
2
r rS r r S r
−= = − =
b) Derivem i igualem a zero:
𝑆′(𝑟) = 10 − 2𝑟
𝑆′(𝑟) = 0 ⇔ 10 − 2𝑟 = 0 ⇔ 𝑟 = 5m
Calculem la derivada segona i substituïm:
𝑆′′(𝑟) = −2 < 0 ⇒ 𝑟 = 5 és un màxim
c) Per a calcular el valor de la amplitud, , corresponent a aquesta solució, calculem primer el valor
de a:
20 2 5 10a = − = m
i l’angle corresponent a aquest arc (expressat en radians) s’obté mitjançant una relació de
proporcionalitat:
5 Jardí o parte d’ell amb gespa, flors i amples passejos.
ra
ipri
53
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
2 2 20 10
10 2 5
r
r
= = = =
2 radians
d) Pera garantir que la solució correspon a un màxim, hem calculat la derivada segona i hem vist
que té signe negatiu.
15. El valor d’un robí és proporcional al quadrat del seu pes. Divideix un robí de 2 grams en
dues parts de x grams i de 2 x− grams, de forma que el volum dels dos robis formats siga
mínima.
El valor de dos robis serà, en funció del pes d’un d’ells:
𝑉(𝑥) = 𝑘(𝑥2 + (𝑥 − 2)2) = 𝑘(2𝑥2 − 4𝑥 + 4) Calculem la deriva i igualem a zero:
𝑉′(𝑥) = 𝑘(4𝑥 − 4) 𝑉′(𝑥) = 0 ⇔ 𝑘(4𝑥 − 4) = 0 ⇔ 𝑥 = 1
Calculem la derivada segona i substituïm:
𝑉′′(𝑥) = 4𝑥
𝑉′′(1) = 4 > 0 ⇒ 𝑥 = 1 és un mínim
Així, ambdós robis han de pesar 1 gram cadascú.
16. Es volen construir depòsits cilíndrics com el de la figura, amb la condició de què l’altura i el
perímetre de la circumferència sumen 100 m.
Comprova que el volum dels depòsits ve donat per l’expressió:
𝑉(𝑟) = 100𝜋 ⋅ 𝑟2 − 2𝜋2𝑟3
i determina les dimensions del què té volum màxim.
La funció que volem fer màxima és el volum del cilindre: 2V r h=
La condició donada en l’enunciat relaciona les dues variables que apareixen en la
fórmula del volum:
2 100 100 2h r h r + = = −
Substituint en V:
𝑉(𝑟) = 𝜋 ⋅ 𝑟2(100 − 2𝜋 ⋅ 𝑟) = 100𝜋 ⋅ 𝑟2 − 2𝜋2𝑟3
Derivem i igualem a zero:
𝑉′(𝑟) = 200𝜋 ⋅ 𝑟 − 6𝜋2𝑟2
( ) 2 2
0
' 0 200 6 0 100
3
V r r r r
= − = =
La solució 0r = correspon a un cilindre degenerat de volum 0. Estudiem la solució no nul·la
mitjançant la derivada segona:
𝑉′′(𝑟) = 200𝜋 − 12𝜋2𝑟
2100 100 100'' 200 12 200 400 0
3 3 3V r
= − = − =
és un màxim
El cilindre de volum màxim té per dimensions 𝑟 =100
3𝜋 𝑖 ℎ =
100
3.
ipri
54
Unitat 4: Aplicacions de les derivades
ipri
55
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
Unitat 5: PROPIETATS DE LES
FUNCIONS DERIVABLES
1. TEOREMA DE ROLLE
Els resultats més útils del càlcul diferencial es refereixen a funcions derivables en tots els punts
d'un interval i en aquesta categoria entren els teoremes que apareixen en aquesta unitat.
Michel Rolle (1652 - 1719) va ser membre de la Académie des Sciences i en 1691, estudiant un
mètode per a resoldre equacions, va establir, sense demostrar, el teorema que ara porta el seu nom
que és essencialment equivalent al teorema del valor mitjà. Aquest teorema apareix en un text de
geometria i àlgebra anomenat “Démonstration d’une Méthode pour resoudre les Égalitez de tous
les degrez (Demostració d'un mètode per a resoldre les Igualtats de tots els graus)3 ”, publicat en
1691. Com a curiositat dir que Michel Rolle estava en contra dels mètodes infinitesimals defensats
entre altres per L’Hôpital i de fet estava enredat en un acalorat debat sobre els fonaments d'aquests
mètodes, i sostenia que aqueixos mètodes conduïen a paralogismes. A més de per L’Hôpital va ser
refutat també per John Bernouilli, qui va mantindre que Rolle no entenia el Càlcul ([6] i [7]).
El teorema del valor mitjà és sovint atribuït a Joseph Louis Lagrange; no obstant això, va ser
publicat per primera vegada en 1806 pel físic André Marie Ampére que justificava el resultat
usant idees de Lagrange i suposant que la funció derivada era contínua; la qual cosa, com es veurà
de seguida, és innecessari. Quinze anys més tard Augustin Cauchy va tornar a provar el teorema
amb les mateixes hipòtesis. També és digne d'esment que en aqueix mateix article Ampére va
al·legar haver demostrat un resultat que hui se sap que és fals, a saber, que una funció contínua és
derivable excepte, possiblement, en un nombre de punts excepcionals.
El Teorema del Valor Mitjà relaciona els valors de la funció en els extrems d'un interval amb el
valor de la derivada en un punt intermedi del mateix i la seua demostració es basa a aplicar el
Teorema de *Rolle a una funció adequada. A més d'una senzilla prova, aquest teorema s'interpreta
geomètricament d'una forma fàcil, com es veurà a continuació.
Teorema de Rolle:
Si ( )f x és una funció contínua en ,a b , derivable en ( ),a b i tal que ( ) ( )f a f b= , aleshores
( ) ( ), : ' 0c a b f c =
Demostració:
Si ( ) ( ) ,f x f a x a b= , és a dir, si f és constant, aleshores ' 0f en ,a b , i la conclusió és
trivial.
Suposem que 0 ,x a b tal que ( ) ( ) ( )0f x f a f b = i considerem que ( ) ( ) ( )0f x f a f b = .
Com f és contínua en ,a b , aplicant el teorema de Weierstrass, 1 ,x a b tal que
( ) ( )1f x f x ,x a b , en particular ( ) ( ) ( ) ( )0 1f a f b f x f x= .
ipri
56
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
Així, ( ) ( ) ( )1f a f b f x= i, per tant, 1 1 y x a x b , aleshores ( )1 ,x a b .
Prenent1x c= , es té que ( )' 0f c = (ja que f té en 1x un màxim).
Anàlogament, si ( ) ( ) ( )0f x f a f b = . C.V.D.
Exemple:
La funció ( ) 2 2f x x x= + + verifica les hipòtesis del teorema de Rolle en 2,1− donat que és
contínua i derivable en ℝ (per ser una funció polinòmica) i, en particular és contínua en 2,1− i
derivable en ( )2,1− . A més, ( ) ( )2 4 1f f− = = .
Com a conseqüència, ( )2,1c − tal que ( )' 0f c = .
Ara bé, com ( ) ( )' 2 1 y ' 0f x x f x= + = , es té que 1
2x = − , per tant, ( )
12,1
2c = − − és el valor
que el teorema assegura que existeix.
Exemple: Anem a veure que no podem aplicar el teorema de Rolle a la funció
( )
1 2 si 0
1 si 0
1 2 si 0
x x
f x x
x x
+
= = −
en l’interval 1,1− .
Cadascuna de les branques de la funció és contínua en el seu domini, per ser funcions polinòmiques
i constant, així doncs, hem de veure si és contínua en x=0:
( )( ) ( )
( ) ( )( )0 0
0 0
0 0
lim lim 1 2 1lim lim 1
lim lim 1 2 1
x x
x x
x x
f x xf x f x
f x x
→ − → −
→ →
→ + → +
= + =
= = − =
i, per tant, f és contínua en ℝ i, concretament, en 1,1− .
Cadascuna de les branques de la funció és derivable en el seu domini, per ser funcions
polinòmiques i constant, així doncs, hem de veure si és derivable en x=0:
( )( ) ( )
( ) ( )
' 2 ' 0 2' 0
' 2 ' 0 2
f x ff
f x f
+ +
− −
= =
= − = − ( )' 0f
y, per tant, f no és derivable en 0x = , per tant, no és derivable en ( )1,1− .
Ja sabem que no podem aplicar el teorema de Rolle, donat que la funció no és derivable en ( )1,1 .−
Interpretació geomètrica: Aquest teorema afirma l’existència de, almenys un punt
( ) de ,c a b , tal que la recta tangent a ( ) ( )( ) en ,f x c f c siga paral·lela a l’eix OX.
x
y
a b( )y f x=
ipri
57
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
Aplicant de forma conjunta els teoremes de Bolzano i de Rolle es poden determinar intervals on
l’equació ( ) 0f x = , té, com a màxim, una solució.
Amb aquesta finalitat, cal tindre en compte el següent teorema:
“Entre cada dues arrels d’una funció derivable, existeix almenys una arrel de la funció derivada”.
Un enunciat equivalent del teorema anterior és:
“Si ( )'f x no s’anul·la en l’interval ( ),a b , l’equació ( ) 0f x = té, com a molt, una única solució
en l’interval ,a b ”.
Combinant els teoremes de Bolzano y Rolle, obtenim el següent resultat, que és molt útil per a
demostrar la unicitat de la solució,
Teorema:
Si ( )' 0f x en ( ),a b , aleshores l’equació ( ) 0f x = té, com a molt, una única solució en
l’interval ,a b .
Exemple:
Anem a veure que l’equació cos 2x x= té una única solució en ℝ.
Considerem la funció ( ) cos 2f x x x= − que és contínua i derivable en ℝ i, en particular, ho és en
[0,1] i (0,1) respectivament.
Com, a més, f(0)=1>0 i f(1)=cos1-2<0, aplicant el teorema de Bolzano ( )0,1c tal que ( ) 0f c = ,
és a dir, ( )cos 2c c= .
Anem a demostrar que aquesta solució és única. Suposem que d és una altra solució. Aleshores,
( ) ( )0f d f c= = i, aplicant el teorema de Rolle a f en ,c d si d c , o en ,d c si d c , es té
que ( ),e c d tal que ( )' 0f e = .
Ara bé, f’(x)=-sinx-2<0 ∀𝑥 ∈ ℝ, el que contradiu que ( )' 0f e = i, com a conseqüència, l’equació
només té una solució real.
2. TEOREMA DEL VALOR MITJÀ
El teorema del valor mitjà és un dels resultats més útils del Càlcul. La seua utilitat es deu
principalment al fet que aquest teorema permet delimitar l'increment d'una funció quan es coneix
una cota de la seua derivada.
Teorema del valor mitjà (de Lagrange):
Si f(x) és una funció contínua en [a,b] i derivable en (a,b),aleshores ( ),c a b tal que:
( ) ( )( )'
f b f af c
b a
−=
−
(igualtat que es pot escriure en la forma:
( ) ( ) ( )( )'f b f a f c b a− = −
i que es coneix amb el nom de fórmula dels increments finits).
ipri
58
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
Demostració:
Considerem la funció f menys la recta que passa per ( )( ) ( )( ), y ,a f a b f b , és a dir,
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )f b f a
g x f x x a f ab a
− = − − +
−
És immediat que g compleix les hipòtesis del teorema de Rolle, per tant, ( ),c a b tal que
( )' 0g c = . Ara bé,
( ) ( )( ) ( )
' 'f b f a
g x f xb a
−= −
−
i, com a conseqüència,
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
0 ' ' 'f b f a f b f a
g c f c f cb a b a
− −= = − =
− − C.V.D.
Exemple:
La funció ( ) 3 6f x x x= − és contínua i derivable en ℝ (per ser una funció polinòmica), en
particular en 2,1− i, per tant, ( )( ) ( )
( )( )
1 22,1 tal que '
1 2
f fc f c
− − − =
− −.
En efecte, ( )
2 25 43 6 3 3 6 1
1 2x x x
− −= − − = − =
− −. El valor que compleix el teorema es 1c = − .
Interpretació geomètrica: Si es compleixen les hipòtesis del teorema en l’interval ,a b ,
existeix almenys un punt ( ),c a b on la seua recta tangent és paral·lela al segment
determinat pels punts A(a,f(a)) i B(b,f(b)).
( )y f x=
A
B
x
y
a c b
recta
tangen
te
( )y f x=
A
B
x
y
a c b
recta
tangen
te
x
y
a c b
( )y f x=
A
B
recta
tangen
te
Interpretació física: Si x representa el temps i ( )f x la posició d’un mòbil sobre una
recta, aleshores ( ) ( )f b f a
b a
−
− representa la velocitat mitjana en l’interval de temps ,a b , i
( )'f c la velocitat instantània en l’instant c . El teorema afirma que la velocitat mitjana és
assolida almenys en un instant del temps transcorregut entre a i b.
3. TEOREMA DE CAUCHY
El teorema de Cauchy del valor mitjà generalitzat apareix en el seu llibre “Cours d’Analyse” (1821)
i, permet, entre altres, demostrar la regla de L´Hôpital, que farem servir per a resoldre
indeterminacions en el càlcul de límits.
ipri
59
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
Teorema de Cauchy (o del valor mitjà generalitzat):
Si f(x) i g(x) són funcions contínues en [a,b] i derivables en ( ),a b , aleshores ( ),c a b tal que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'g c f b f a f c g b g a− = −
Demostració:
Considerem la funcióℎ: [𝑎, 𝑏] → ℝ definida por
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
f x g x
h x f a g a
f b g b
=
que verifica:
i) h és contínua en ,a b i derivable en ( ),a b .
ii) ( ) ( ) 0h a h b= =
Aleshores, pel teorema de Rolle, ( ),c a b tal que ( )' 0h c = i, com
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' 0h c f b f a g c g b g a f c= − − − =
Resulta que
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' 'f b f a g c g b g a f c− = − C.V.D.
4. REGLES DE L’HÔPITAL
En aquest apartat aplicarem el teorema del valor mitjà generalitzat de Cauchy per a donar un
mètode molt poderós per a calcular límits indeterminats conegut com a “Regla de L’Hôpital”.
Guillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704), va publicar anònimament en 1696 el
primer llibre de text sobre càlcul diferencial, el qual va tindre gran èxit i influència durant el segle
XVIII. En ell apareixen els resultats que hui porten el seu nom, que permeten resoldre en molts
casos indeterminacions de la forma 0
0 𝑜
∞
∞ , que es presenten sovint en estudiar el límit d'un
quocient de dues funcions. Si bé L’Hôpital era un escriptor excepcionalment clar i eficaç, les
anomenades “regles de L’Hôpital” no es deuen a ell sinó al seu mestre Jean Bernouilli (1667-
1748) qui les va incloure en el primer text de Càlcul Diferencial que es coneix (imprès en 1724). No
obstant això, L’Hôpital ja les havia publicades en el seu “Analyse des infiniment petits”, publicat
per ell a París en 1696.
REGLA DE L’HÔPITAL PER A 0
0:
Siguen f(x9 i g(x) dues funcions derivables en un entorn de E a i tals que:
1) ( ) ( ) 0f a g a= =
2) g’ no s’anul·la en E.
Si existeix el límit finit ( )
( )
'lim
'x a
f x
g x→, aleshores existeix també
( )
( )limx a
f x
g x→i, a més:
( )
( )
( )
( )
'lim lim
'x a x a
f x f x
g x g x→ →=
ipri
60
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
Demostració:
Com ( ) ( ) 0f a g a= = , podem triar x E i escriure:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
f x f x f a
g x g x g a
−=
−
Pel què podem aplicar el teorema de Cauchy a l’interval ,a x (o al ,x a , segons es tria x).Com,
en particular, ( ) ( ) 0g x g a− , ja que, si no ( ) ( )g x g a= , i pel teorema de Rolle, 'g se anul·laria
en algun punt de ( ),a x , en contra de les hipòtesis de la regla de L’Hôpital.
Així, ( ),xc a x tal que
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
'
'
x
x
f x f x f a f c
g x g x g a g c
−= =
− [1]
Ara bé, per hipòtesis, ( )
( )
'lim
'x a
f xL
g x→ = . Demostrem que
( )
( )limx a
f xL
g x→ = .
En efecte, per a qualsevol 0 , 0 tal que :x x a − , se verifica que
( )
( )
'
'
f xL
g x− [2]
Com ( ),xc a x , sempre que x a − , es té que xc a − i, tenint en compte [2], es verifica que
x a − i, per tant,
( )
( )
'
'
x
x
f cL
g c−
El que prova que ( )
( )
'lim
'
x
x ax
f cL
g c→ = . Així, tenint en compte [1], resulta que
( )
( )
( )
( )
( )
( )
' 'lim lim lim
' '
x
x a x a x ax
f x f c f x
g x g c g x→ → →= = C.V.D.
Exemples:
1) lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥= [
0
0] = lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1=
1
1= 1
2) ( )
( ) ( )
2 22
2 2 2
4 4
6 tg 1 tg 1 tg3tg tg 2 0 10lim lim 5
2 tg 5 tg 3 0 24 tg 1 tg 5 1 tgx x
x x xx x
x x x x x →− →−
+ + ++ − − = = = = − + + + + +
Altres formes de la regla de L’Hôpital:
L’esquema
( )
( )
( )
( )
'lim lim
'x a x a
f x f x
g x g x→ →=
és vàlid per a 𝑥 → 𝑎, 𝑥 → 𝑎+, 𝑥 → 𝑎−, 𝑥 → +∞ 𝑖 𝑥 → −∞, tant si la indeterminació és del tipus 0
0,
como si és de la forma
, i independentment de què el límit siga finit o infinit.
ipri
61
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
Exemples:
1) 1
lim lim lim1logx x x
xx
x
x
→+ →+ →+
= = = = +
( log és el logaritme natural)
2) 2 2 2 2
lim lim lim 0x x xx x x
x x
e e e→+ →+ →+
= = = = =
Indeterminació 0 : per a transformar-la en una de la forma 0
0 o
tindrem en compte
que:
( ) ( )( )
( )
lim lim1x a x a
f xf x g x
g x
→ →=
Exemple:
( ) ( ) 20 0 0 0
1 1 cos sen 0lim 1 cos cotg 0 lim 1 cos lim lim 0
tg tg 1 tg 1x x x x
x xx x x
x x x→ → → →
−− = = − = = = =
+
Indeterminació − : es pot resoldre emprant la regla de L’Hôpital; amb aquesta finalitat,
es solen realitzar les operacions indicades, obtenint-se indeterminacions de la forma 0
0 o
Exemple:
( )0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1lim lim lim lim
1 0 1 0 2 21
x x x
x x x x xxx x x x
x e e e
e x xe e xe ex e→ → → →
− + − − − = − = = = = = = − − + − +−
Indeterminacions ∞0, 00, 1∞: per a aplicar la regla de L’Hôpital, les transformem en la
forma 0 tenint en compte que:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim loglog
lim lim x ag x f xg x g x f x
x a x af x e e →
→ →= =
on log representa el logaritme natural.
Exemples:
1) ( )( ) ( )
( )2
2
2 2
2
4limln 41 1 11ln 4 lim ln 4 lim
2 0 ln ln lnlnlim 4 limx
x x
x
xx
x xx x x xx
x xx e e e e e
→+
→+ →+
++
+ +
→+ →+ + = = = = = = =
2
2
2 4lim lim
24 2x x
x x
x xe e e e→+ →+
+= = = =
2) ( )lim00
020 0
1
lnlimlim
11lim ln lim ln
00 0
0lim 0 1
xx x xxx
x x
x x
x x xx x x
xx e e e e e e e e
++ −→→ +→+ +→ →
+
−
→
= = = = = = = = = =
ipri
62
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
3)
2
2
1
1 1ln 1 1
1limlim lim
1 1 0 11 1lim ln 1 lim ln 1 10 01lim 1
xxx x
x x
x
x xx
xx x x x x
xe e e e e e e
x
→+→+ →+
→+ →+
−
+ +
+ + − +
→+
+ = = = = = = = =
1e e= =
Exemples: (Límits que no se poden resoldre per L´Hôpital)
a) El següent límit no es pot resoldre aplicant la regla de L’Hôpital:
21limx
x
x→+
+
lim𝑥→+∞
√1 + 𝑥2
𝑥= [
∞
∞] = (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡 𝐿′𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙)
= lim𝑥→+∞
2𝑥
2√1 + 𝑥2
1= lim
𝑥→+∞
𝑥
√1 + 𝑥2= [
∞
∞] = (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡 𝐿′𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) = lim
𝑥→+∞
√1 + 𝑥2
𝑥𝑥𝑥
= lim𝑥→+∞
√1 + 𝑥2
𝑥2
que és el límit que volíem resoldre.
No obstant això, aquest límit es calcula com segueix: 2
2 2
2 2
1
1 1 1lim lim lim lim 1 0 1 1x x x x
xx xx
xx x x
x
→+ →+ →+ →+
+
+ + = = = = + = + =
b) Aquest altre límit tampoc no es pot resoldre aplicant la regla de L’Hôpital:
2 1sen
limlogx
xx
x→
Aquest límit presenta una indeterminació del tipus
, però la utilització de la regla de L’Hôpital
no la resol (Intenta-ho!!). No obstant això, la seua resolució no és difícil:
2 1sen
1lim lim sen lim
log logx x x
xxx x
x x x→ → →
= = +
ja que 1
lim sen 1x
xx→
=
y lim
logx
x
x→= + .
ipri
63
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
c) Calcula sen
limcos
x
xx
e x
e x→+
+
+
Es presenta una indeterminació del tipus
, però aplicant la regla de L’Hôpital entrem en un
bucle infinit. En canvi, dividint numerador i denominador per xe obtenim:
sen sen1
senlim lim lim 1
coscoscos1
x
x x x
xxx x x
xx
e x x
e x e exe xe x
ee
→+ →+ →+
++
+= = =
+++
ja que sen cos
lim 0 limx xx x
x x
e e→+ →+= = .
d) Per a calcular 0
1lim senx
xx→
no es pot aplicar L’Hôpital i, com els anteriors, aquest límit no
és difícil de calcular, ja que 0
lim 0x
x→
= y 1
sen 1x
(és una funció acotada), aleshores
0
1lim sen 0x
xx→
=
ipri
64
Unitat 5: Propietats de les funcions derivables
ipri
65
Unitat 6: Primitives i integrals
Unitat 6: PRIMITIVES I INTEGRALS
1. CONCEPTE DE PRIMITIVA
PRIMITIVES
Definició:
Sean f:D→ ℝ 𝒊 𝑭: 𝑫 → ℝ funcions reals de variable real. Es diu que F és una primitiva de f
quan
( ) ( )' F x f x x D= .
Exercicis:
25. Comprova, en cada cas, que F és una primitiva de f:
1) ( ) 44 2 287F x x= − −
( )( )
3
344 2
xf x
x
=
−
2) ( )1 1
ln1 1
F xx x
= +
+ + ( )
( )2
2
1
xf x
x
− −=
+
3) ( )( )
62 1
6
xF x
+=
( ) ( )
522 1f x x x= +
26. Calcula una primitiva de les següents funcions:
1) 2y x= 5) y x=
2) y sen x= 6) 3y x=
3) 45 2y x= − 7) 1
yx
=
4) 2xy e= 8) y =x+k amb k∈ ℝ
27. Calcula la primitiva de ( ) 2xf x e= que valga e per a 0x = .
Parem atenció a que, si una funció f té una primitiva F també F k+ (on k∈ ℝ) és una primitiva
de f .
Al conjunt de totes les primitives d’una funció donada f , ho representarem per
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = {𝐹: 𝐹é𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑓} = {𝐹: 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)}
i es llig: integral indefinida de f.
( ) ( ) ( ) ( ) significa que 'f x dx F x F x f x= =
ipri
66
Unitat 6: Primitives i integrals
El signe (S de “suma”) va ser proposat per Leibniz en una carta a Henry Oldenburg, secretari de
la Royal Society, escrita en 1675. “Serà útil, suggeria Leibniz, escriure aquest signe en lloc de omn,
que es feia servir fins aleshores per a indicar la integració” 2 2omn dx x x=
Posteriorment, en 1690, Jacques Bernoulli (Jacques I) suggerí el nom de “integral” a Leibniz.
Propietats immediates:
(1) ( ) ( )'f x dx f x =
La derivada de la integral indefinida és la funció integrand, és a dir, la derivada i la
integral indefinida són operacions inverses.
(2) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +
La integral de una suma és igual a la suma de les integrals dels sumands.
(3) ( ) ( ) amb c f x dx c f x dx c = La integral d’un número real per una funció és igual al número real per la integral de
la funció.
2. TAULES D’INTEGRALS
La següent taula d'integrals immediates s'obté calculant la corresponent primitiva de la funció, pel
que és molt important no perdre mai de vista d'on han eixit eixes integrals, açò és, el concepte de
primitiva d'una funció. Ara be, com se solen usar molt i són la base per a calcular altres integrals
més complexes és convenient memoritzar dita taula.
Funcions simples
Forma simple
Potencial
1n −
1
1
nn x
x dxn
+
=+ + k
Logarítmic 1
lndx xx
= + k
Exponencial
ln
x x
xx
e dx e k
aa dx k
a
= +
= +
Sinus ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑘
Cosinus ∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑘
ipri
67
Unitat 6: Primitives i integrals
Tangent ( )
2
2
2
sec tg
1 tg tg
1tg
cos
xdx x k
x dx x k
dx x kx
= +
+ = +
= +
Cotangent ( )
2
2
2
cosec cotg
1 cosec cotg
1cotg
sen
xdx x k
x dx x k
dx x kx
= − +
+ = − +
= − +
Arc sinus
= arc cosinus 2
1arcsen
1dx x k
x= +
−
Arc tangent
= – Arc cotangent
2
2 2
1arctg
1
1 1arctg
dx x kx
xdx k
a x a a
= ++
= ++
Funcions compostes
Forma composta
Potencial
1n − ( ) ( )( )
1
'1
n
n f xf x f x dx
n
+
=+ + k
Logarítmic ( )
( )( )
'ln
f xdx f x
f x= + k
Exponencial
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
'
'ln
f x f x
f xf x
e f x dx e k
aa f x dx k
a
= +
= +
Sinus ∫𝑐𝑜𝑠𝑓(𝑥) · 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑓(𝑥) + 𝑘
Cosinus ∫𝑠𝑖𝑛𝑓(𝑥) · 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑓(𝑥) + 𝑘
Tangent
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
2
2
sec ' tg
'tg
cos
f x f x dx f x k
f xdx f x k
f x
= +
= +
Cotangent
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
2
2
2
cosec ' cotg
1 cosec ' cotg
'cotg
sen
f x f x dx f x k
f x f x dx f x k
f xdx f x k
f x
= − +
+ = − +
= − +
ipri
68
Unitat 6: Primitives i integrals
Arc sinus
= arc cosinus
( )
( )( )
2
'arcsen
1
f xdx f x k
f x= +
−
Arc tangent
= – Arc cotangent
( )
( )( )
( )
( )
( )
2
22
'arctg
1
' 1arctg
f xdx f x k
f x
f x f xdx k
a aa f x
= ++
= ++
Neperià –
Arctangent
∫𝑀𝑥+𝑁
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑑𝑥 = 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖à + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 + 𝑘20, M ax bx c + + irreductible
Exercici:
28. Calcula les següents integrals immediates:
1) ( )3 2 1x x dx+ − 12) 2
1
6 6dx
x+
2) 2
dxx
13) 2
9
9 9dx
x +
3) 1
2
xe dx 14) 6 xdx
4) ( )2
1x dx+ 15) 3 2x dx
5) 3
1dx
x 16)
3
1dx
x
6) 2
1
2 2dx
x+ 17) 6 5
1dx
x
7) 3 25 4x x x
dxx
+ + − 18)
1
8dx
x
8) 10x dx 19) 3 25x dx
9) 2 2
1 1
cos sendx
x x
+
20)
2
1 78 dx
x x
+ −
10) ( )22 dx x x− 21) 2
4 d
1x
x−
11) 2
4 d
1 senx
x− 22)
2 d
3
x
xx
3. MÈTODES D’INTEGRACIÓ
ipri
69
Unitat 6: Primitives i integrals
Integració per canvi de variable:
Sempre que en un integrand identifiquem una expressió del tipus ( )( ) ( )' 'g f x f x el canvi de
variable proporcionarà bons resultats. El canvi a fer és:
( )
( )'
t f x
dt f x dx
=
=
Exercici:
29. Calcula les següents integrals, per canvi de variable:
1) ( )3 25 10 10 10 dx x x x− −
2) 2 1 dx x x+
3) tg dx x
4) 21 3 dx x x+
5) 32 dxx e x
6) ( )4
5 1 dx x+
7) ( )3
1x xe e dx+
8) ( )
22 1
xdx
x +
9) ( )2sen 4x x dx+
10) 2
3 2
xdx
x +
11) 21
xdx
x+
12) ( )
221 4
xdx
x+ +
13)
( )
2
231 1
xdx
x− −
14) ln 1xe dxx
15) 3xe dx−
16) 2 3senx x dx
17) 4
2
1
xdx
x+
18) ( )
2
1
1 1dx
x+ +
19) 21
x
x
edx
e+
20) sen x
dxx
Teorema (fórmula d’integració per parts):
Siguen D un interval i f i g dues funcions amb derivades contínues en D . Aleshores:
' 'fg fg f g= −
En efecte. Eixint de la fórmula de la derivada d’un producte,
( ) ' ' 'fg f g fg= +
i integrant ambdós membres, s’obté que:
( ) ' ' ' ' 'fg f g fg fg f g fg= + = +
I, aïllant:
ipri
70
Unitat 6: Primitives i integrals
' 'fg fg f g= −
Fórmula d’integració per parts:
En els càlculs es procedeix com segueix:
𝑢 = 𝑓(𝑥) →𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡
𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑔′(𝑥) →𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡
𝑣 = 𝑔(𝑥)
u dv u v v du = − Fórmula d’integració per parts
Per a prendre la funció u seguirem la següent regla ordenada (→): ALPES
A: arc
L: logaritmes
P: polinomis
E: exponencials
S: sinus, cosinus, …
Exercici:
30. Calcula les següents integrals, aplicant la fórmula d’integració per parts:
1) cosx xdx
2) xxe dx
3) 2 xx e dx
4) 2 senx xdx
5) 2 cosx xdx
6) senxe xdx
7) ln xdx
8) lnx xdx
9) 2 lnx xdx
10) arctg xdx
11) arcsen xdx
12) arccos xdx
13) 1x xdx+
Integració de funcions racionals:
Integrals del tipus
( )
( )
P xdx
Q x
On P i Q són funcions polinòmiques.
Suposarem que grauP <grauQ i, si no ho fora, faríem la divisió entera de P i Q i podríem
escriure:
ipri
71
Unitat 6: Primitives i integrals
( )
( )( )
( )
( )
P x R xC x
Q x Q x= +
Amb grauR < grauQ.
Cas 1: El polinomi ( )Q x té només arrels reals simples:
Calcula 2
4
1dx
x −
1) Descomponem el denominador, obtenint les seues arrels:
2 1 0 1x x− = =
2) Descomponem la funció 2
4
1x − en suma de fraccions que tenen per numerador una
constant i per denominador cada un dels factors:
2
4
1 1 1
A B
x x x= +
− − +
3) Determinem els valors de A i B operant, igualant els numeradors i donant valors a
x :
( ) ( )4 1 1A x B x= + + − que per a 𝑥 = 1 é𝑠 𝐴 = 2 𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑥 = −1 é𝑠 𝐵 = −2
4) Integrem:
2
4 2 22ln 1 2ln 1
1 1 1dx dx x x C
x x x
− = + = − − + +
− − +
Cas 2: Que el polinomi ( )Q x tinga una arrel real múltiple
Calcula
2
3 2
4 3 2
3 3 1
x xdx
x x x
− +
− + −
1) Factoritzem el denominador, obtenint les seues arrels:
( )33 23 3 1 1x x x x− + − = −
2) Descomponem
2
3 2
4 3 2
3 3 1
x x
x x x
− +
− + − en suma de tres fraccions que tenen per numerador una
constant i per denominador 1x− elevat a 1, 2 y 3:
( ) ( )
2
2 33 2
4 3 2
3 3 1 1 1 1
x x A B C
x x x x x x
− += + +
− + − − − −
3) Determinem els valors de les constants A, B i C:
( ) ( )224 3 2 1 1x x A x B x C− + = − + − +
Per a 1x = obtenim 3C =
Derivant: ( )8 3 2 1x A x B− = − + que per a 1x = resulta 5B =
Tornem a derivar: 8 2 4A A= =
ipri
72
Unitat 6: Primitives i integrals
4) Integrem:
( ) ( )
2
2 33 2
4 3 2 4 5 3
3 3 1 1 1 1
x xdx dx dx dx
x x x x x x
− += + + =
− + − − − −
( )2
5 34ln 1
1 2 1x C
x x= − − − +
− −
Cas 3: Que el polinomi ( )Q x tinga arrels reals simples i múltiples
Es tracta de combinar el que hem fet en els dos casos anteriors.
Calcula 3 2
3 7
1
xdx
x x x
+
− − +
1) Factoritzem el denominador, obtenint les seues arrels:
( )( )23 2 1 1 1x x x x x− − + = + −
2) Descomponem 3 2
3 7
1
x
x x x
+
− − + en suma de tres fraccions que tenen per numerador una
constant i, per denominador 1 y 1x x+ − elevat a 1 y a 2:
( )23 2
3 7
1 1 1 1
x A B C
x x x x x x
+= + +
− − + + − −
3) Determinem els valors de les constants A, B i C:
( ) ( )( ) ( )2
3 7 1 1 1 1x A x B x x C x+ = − + + − + +
1 2 10 5
1 4 4 1
0 7 1
x C C
x A A
x B A C B
= → = → =
= − → = → =
= → = + − → = −
4) Integrem:
( )23 2
3 7
1 1 1 1
x A B Cdx dx
x x x x x x
+= + + =
− − + + − −
( )2
1 1 5 5ln 1 ln 1
1 1 11dx x x C
x x xx
= − + = + − − − +
+ − +−
Cas 4: Que el polinomi ( )Q x tinga arrels complexes conjugades
Calcula 3 2
2 1
2 5
xdx
x x x
+
+ +
1) Factoritzem el denominador, obtenint les seues arrels:
( )3 2 22 5 2 5x x x x x x+ + = + +
2) Descomponem la fracció en suma de dos fraccions. La primera, amb numerador A i
denominador x , i, la segona, amb numerador Mx N+ i denominador el polinomi
irreductible (enℝ) 2 2 5x x+ + :
ipri
73
Unitat 6: Primitives i integrals
( ) 22
2 1
2 52 5
x A Mx N
x x xx x x
+ += +
+ ++ +
3) Determinem les constants A, M i N:
( ) ( )2 1 1 82 1 2 5 , ,
5 5 5x A x x Mx N x A M N+ = + + + + = = − =
4) Integrem:
3 2 2
1 1 8
2 1 5 5 5
2 5 2 5
xx
dx dx dxx x x x x x
− ++
= + =+ + + +
2
1 1 8ln
5 5 2 5
xx dx
x x
−= − =
+ +
21 1 9 1ln ln 2 5 arctg
5 10 2 2
xx x x C
+ = − + + − +
Exercici:
31. Calcula les següents integrals, aplicant la fórmula d’integració per parts:
1)
34 7 2
2 1
x xdx
x
+ +
+
2)
3 2
2
2 3 2 3
2
x x xdx
x x
+ − +
+ −
3)
2
3 2
1
4 5 2
xdx
x x x
+
− + −
4) 2
2 1
7 10
xdx
x x
−
− +
5)
3 2
2
1
5 6
x xdx
x x
− +
− +
6) 1
1
xdx
x
+
−
7)
3 2
2
1
4
x x xdx
x
+ + −
−
8) 4 2
1
2
x xdx
x
−
−
9) ( )( )
2 1
1 3
xdx
x x x
+
+ +
11) 1 3
2 4
xdx
x x
− +
12) 2
1
4dx
x −
13) 3
3 2xdx
x x
+
−
14) ( )( )2
1
2 9dx
x x− −
15) ( )( )2
2
2 3 2
xdx
x x x
−
+ + +
16) 2
2 1
7 10
xdx
x x
−
− +
17)
3 2
2
1
5 6
x xdx
x x
− +
− +
18)
2
3 2
1
4 5 2
xdx
x x x
+
− + −
19) ( )( )2
3 1
1 1
xdx
x x
−
− −
ipri
74
Unitat 6: Primitives i integrals
10) 2
1
6dx
x x+ −
Integració de funcions circulars:
Les primitives del tipus ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚𝑥𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, es resolen depenent de la paritat dels
exponents m i n.
• Si m és senar i n és parell, fem el canvi cos x t= .
• Si m és parell i n és senar, fem el canvi sen .x t=
• Si m i n són senars, fem el canvi cos x t= o bé sen .x t=
• Si m i n són parells, fem el canvi tg x t= , amb el que obtenim les següents relacions:
2
2 2 2
2 1 2sen cos
1 1 1
t t dtx x dx
t t t
−= = =
+ + +
Per a calcular la primitiva∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚𝑥𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥 i, abans de fer el canvi corresponent, emprarem les
següents fórmules, per a transformar-la en una altra més senzilla: 2 2sen cos 1x x+ =
( )2 1sen 1 cos 2
2x x= −
( )2 1
cos 1 cos 22
x x= +
1sen cos sen 2
2x x x=
Exemples:
1) 3 4sen cosx xdx
( )2 4 2 4cos
sen sen cos sen 1 cos cossen
x tx x xdx x x xdx
xdx dt
= = − = =
− =
( ) ( )5 7 5 7
2 4 4 6 cos cos1
5 7 5 7
t t x xt t dt t t dt C C= − − = − − = − + + = − + +
2) 4 5sen cosx xdx
( )2
4 5 4 4 4 2sen cos sen cos cos sen 1 sen cosx xdx x x xdx x x xdx= = − =
( ) ( ) ( )2
4 2 4 2 4 4 6 8sen
1 1 2 2cos
x tt t dt t t t dt t t t dt
xdx dt
= = = − = − + = − + =
=
5 7 9 5 7 92 sen 2sen sen
5 7 9 5 7 9
t t t x x xC C= − + + = − + +
ipri
75
Unitat 6: Primitives i integrals
3) 5 3sen cosx xdx
( )5 2 5 2sen
sen cos cos sen 1 sen coscos
x tx x xdx x x xdx
xdx dt
= = − = =
=
( ) ( )6 8 6 8
5 2 5 7 sen sen1
6 8 6 8
t t x xt t dt t t dt C C= − = − = − + = − +
Quan en l’integrand apareguen funcions trigonomètriques genèriques, realitzarem el canvi tg2
xt = .
A partir d’ell s’obtenen les següents relacions: 2
2 2 2
2 1 2sen cos
1 1 1
t t dtx x dx
t t t
−= = =
+ + +
Exemple: 1 cos
dx
x+
2
2
2 2
22
1tg cos
1 22 1
11 cos 121
11
x tt x
dx dtt
tx tdtdx
tt
−= → =
+= = = −+ + +=
++
2 2
2 2tg
1 1 2 2
xdt dt t C C
t t= = = + = +
+ + −
Integració de funcions irracionals:
Les primitives del tipus ( ), ,...,pn m qR x x x dx , es resolen fent el canvi de variable
Mx t= ,
on ( ). . . ,...,M m c m n p= . Amb aquest canvi, ens garantim que desapareguin les arrels de la
integral.
Exemple: 4
1
xdx
x+
4 443
2 234 4
1 11 4
x tx t tdx t dt dt
t tx dx t dt
== = = =
+ ++ =
3 342 4 4
2
14 1 4 arctg 4 arctg
1 3 3
t xt dt t t x x C
t
= − + = − + = − + +
+
Integració de funcione irracionals:
Les primitives del tipus , ,...,
m q
pnax b ax b
R x dxcx d cx d
+ + + +
, es resolen fent el canvi de
variable Max bt
cx d
+=
+, on ( ). . . ,...,M m c m n p= . Amb aquest canvi, ens garantim que
desapareguin les arrels de la integral.
ipri
76
Unitat 6: Primitives i integrals
4. APLICACIÓ: PROBLEMES DE VALORS INICIALS
La integral indefinida ens permet calcular una funció ( )f x coneguda la seua derivada ( )'f x ,
donat que
( ) ( ) ( )'f x f x dx F x c= = +
Però ( )f x roman indefinida, donat que la constant c no es coneix. Per a determinar c cal donar una
informació; per exemple, el punt ( )( ),a f a de la funció. A aquesta informació l’anomenem valor
inicial. Pel que hem dit anteriorment, de ( ) ( )f a F a c= + s’obté que
( ) ( )c f a F a= − .
ipri
77
Unitat 7: Integral definida
Unitat 7: INTEGRAL DEFINIDA
1. INTEGRAL DEFINIDA
El problema geomètric de la determinació de l'àrea de certes superfícies planes és l'origen i la base
del Càlcul Integral. S’atribueix a Eudoxo (ca. 370 a.C.) la invenció del mètode d'exhaució, una
tècnica per a calcular l'àrea d'una regió aproximant-la per una successió de polígons de manera que
en cada pas es millora l'aproximació anterior. Arquímedes (287-212 A.C.) va perfeccionar este
mètode i, entre altres resultats, va calcular l'àrea d'un segment de paràbola i el volum d'un segment
de paraboloide, així com l'àrea i el volum d'una esfera. Les idees exposades per Arquímedes (en
carta a Dositeo) són fonamentalment les següents:
Es desitja mesurar l'àrea tancada pel següent segment parabòlic (entre 0 i 1) , que representarem per
S:
2 2 2 2
21 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 3 11
4 4 4 4 4 16 4 4 4 2 4 4 4S
+ + + + +
7 150,22 0,47
32 32S S
1
11
8
1
4
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
0
( ) 2f x x=
( ) 2f x x=
10
1
x
y
1
4
1
2
3
4
ipri
78
Unitat 7: Integral definida
2 2 2 2 2 2 2
21 1 1 1 1 1 3 1 1 1 5 1 3 1 70
8 8 8 8 4 8 8 8 2 8 8 8 4 8 8S
+ + + + + + +
2 2 2 2 2 2 2
21 1 1 1 1 3 1 1 1 5 1 3 1 7 11
8 8 8 4 8 8 8 2 8 8 8 4 8 8 8
+ + + + + + +
35 510,27 0,40
128 128S S
Fent cada vegada rectangles de base més petita i, aplicant la fórmula per a sumar els primers n
quadrats6, es té que:
( )( )( )
2 2
1 2 12 11
1 16 6
n n nnn n
Sn n n n
+ + − −
3 2 3 2
3 3
2 3 2 3
6 6
n n n n n nS
n n
+ + + +
3 2 3 2
3 3
2 3 2 3lim lim
6 6n n
n n n n n nS
n n→ →
+ + + +
1 1 1
3 3 3S S =
Com a conseqüència de l’anterior, podem donar la següent definició:
Definició:
Representarem per ( )
b
af x dx l’àrea del recinte limitat per la funció positiva ( )y f x= i les
rectes verticals x=a i x=b. Es llig “integral definida de ( )f x entre a i b”. La funció ( )y f x=
s’anomena integrand, l’interval ,a b s’anomena interval d’integració i els valors a i b
s’anomenen límits d’integració (a es denomina límit inferior i b límit superior, de la integral). A
més, la notació ( )
b
af x dx (deguda a Leibniz) també indica el valor ( )f x que pren la funció f
en un punt genèric ,x a b i dx indica la variable d’integració que, com pot ser qualsevol
lletra, es denomina variable muda.
Si deixem a fixe i fem que b siga variable, l’expressió ( )x
af t dt per a un x donat representa l’àrea
limitada per la funció, la recta vertical t a= i la vertical que passa per x. És, per tant, una funció de
x que anomenarem funció àrea.
Quan existeix la integral ( )
b
af t dt , es diu que la funció ( )f t és (Riemann) integrable en
l’interval ,a b .
6 La fórmula per a sumar els n primers quadrats és: ( )( )1 2 1
6
n n n+ +
ipri
79
Unitat 7: Integral definida
2. PROPIETATS IMMEDIATES
(1) ( )
0
a
af x dx =
És el mateix que dir que un segment té àrea zero.
(2) ( ) ( )
b a
a bf x dx f x dx= −
Per a nosaltres serà un simple conveni.
(3) ( ) ( ) ( )
para
b c b
a a cf x dx f x dx f x dx a c b= +
Si dividim l’àrea a calcular en dos trossos, l’àrea total serà igual a la suma de les àrees de
cadascun dels trossos.
f
( )
c
af x dx
a bc
( )
b
cf x dx
( ) ( ) ( )
c b
a cA f f x dx f x dx= +
(4) ( ) ( )( ) ( ) ( )
b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx+ = +
La situació és la mateixa que en la propietat 3, encara que una mica més delicada.
f
g
f g+( ) ( )
b
aA f f x dx=
( ) ( )
b
aA g g x dx=
a b a b
( ) ( ) ( )
b
aA f g f x g x dx+ = +
(5) ( ) ( )
b b
a acf x dx c f x dx=
La diferència entre les gràfiques de f i c f , és que canviem l’escala d’altura (en la
segona) en un factor c , i, per tant, l’àrea també ha de variar en el dit factor.
f
( ) ( )
b
aA f f x dx=
a b a b
( ) ( )
b
aA cf c f x dx=
c f
ipri
80
Unitat 7: Integral definida
3. TEOREMES IMPORTANTS
Teorema Fonamental del Càlcul:
Si f(x) és contínua en [a,b] i F(x) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
𝑎, aleshores
(1) F(x) és derivable.
(2) F’(x)= f(x) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
Demostració:
( )( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
00 0
' lim lim
x h x
a a
h h
f t dt f t dtF x h F xF x
h h
+
→ →
−+ −= = =
( )( )
0
0
0 00
lim
x h
x
h
f t dtf x x D
h
+
→= =
Donat que si 0h→ l’altura tendeix a ser ( )0f x .
C.V.D.
Regla de Barrow:
Si ( )f x és una funció contínua en [a,b] i F(x) és una primitiva de f(x), aleshores
( ) ( ) ( ) ( )
b b
aaf x dx F x F b F a= = −
Demostració:
Si F(x) és una primitiva de f(x) és verifica que
( ) ( ) ( )'x
a
dF x f t dt f x
dx= =
Suposem que G(x) és una altra primitiva de f(x). Aleshores: ( ) ( )F x G x k= +
Anem a determinar k :
( )
( ) ( )( ) ( )
00
F aG a k k G a
F a G a k
= + = = −
= +
D’altra banda
( ) ( )b
aF b f t dt=
Així doncs:
( ) ( ) ( ) ( )F b G b k G b G a= + = −
D’on es dedueix:
( ) ( ) ( )b
af t dt G b G a= − C.V.D.
Teorema del Valor Mitjà:
Si ( )f x és una funció contínua en un interval tancat ,a b , aleshores, existeix un punt
( ),c a b tal que
ipri
81
Unitat 7: Integral definida
( ) ( )( )b
af x dx f c b a= −
Demostració:
Siga ( ) ( )x
aG x f t dt= . Es té que G és contínua en ,a b i derivable en ( ),a b , aleshores,
pel teorema del valor mitjà per a derivades, ( ),c a b tal que
( ) ( ) ( )( )'G b G a G c b a− = −
És a dir,
( ) ( )( )b
af x dx f c b a= −
C.V.D.
ipri
82
Unitat 7: Integral definida
ipri
83
Unitat 8: Aplicacions de la integral
Unitat 8: APLICACIONS DE LA INTEGRAL
1. ÀREES DE RECINTES PLANS Recinte Limitat per la corba ( )y f x= , l’eix OX i les rectes x a= i x b=
a) Si ( ) 0f x en tot l’interval [a, b]
( )
b
aS f x dx=
b) Si ( ) 0f x en tot l’interval [a, b]
( ) ( )
b a
a bS f x dx f x dx= − =
c) Si ( )f x talla l’eix OX en el punt [a, b]
( ) ( )
1 2
c b
a cS S S f x dx f x dx= + = −
El punto c es calcula resolent l’equació ( ) 0f x = .
c
ipri
84
Unitat 8: Aplicacions de la integral
Recinte limitat per dues corbes, y=f(x) i y=g(x) , en l’interval [a, b] a) Si ( ) ( )f x g x en tot [a, b]
( ) ( )( )
b
aS f x g x dx= −
Per a poder aplicar aquesta fórmula no cal que les funcions siguen positives. Es poden aplicar en
qualsevol cas.
( )y f x=
( )y g x=
b) Si ( ) ( )f x g x y, ( ) ( ) y f x g x es tallen en l’interval [a, b] quan x = c
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 2
c b
a cS S S f x g x dx g x f x dx= + = − + −
El valor c del punt de tall es calcula resolent el sistema
( )
( )
y f x
y g x
=
=
També cal determinar quina funció està per damunt en cada tram.
( )y f x=
( )y g x=
a bc
1.1. Exercicis resolts de càlcul d’àrees per integració
1.- Calcula l’àrea tancada per la funció: 3
( )2
xf x
−= , l’eix OX, i les rectes x = 3 i x = 9.
ipri
85
Unitat 8: Aplicacions de la integral
Es tracta d’un triangle de base 6 i altura ( )9 3f =
L’àrea ombrejada és = 9 9
3 3
3 1 3
2 2 2 2
x xdx dx
− = − =
26 3
9 u2
=
2.- Calcula l’àrea tancada per la funció: 3
( )2
xf x
−= , l’eix OX, i les rectes x = 5 i x = 9.
És un trapezi de bases: f(5)=1 i f(9)=3, i d’altura 4 unitat
És l’àrea ombrejada =
9
5
3
2
xdx
−=( ) 21 3 4
8 u2
+ =
4.- Calcula l’àrea tancada per la funció: 2( ) 3 4f x x x= − + , l’eix OX, i les rectes x = 2 i 4.x =
És l’àrea ombrejada = ( )3 2
4 42
2 23 4 3 4
3 2
x xx x dx x− + = − + = 226
u3
ipri
86
Unitat 8: Aplicacions de la integral
5.- Calcula l’àrea tancada per la funció: 2( ) 3 4f x x x= − + , l’eix OX, i les rectes
x = -1 i x = 4
És l’àrea ombrejada = ( ) 4
2
13 4x x dx
−− + =
2115 u
6
6.- Calcula l’àrea tancada per la funció:
2 6 5( )
2
x xf x
− += , l’eix OX, i les rectes
x = 1− i x = 0
És l’àrea ombrejada =
0 2
1
6 5
2
x xdx
−
− += 225
u6
7.- Calcula l’àrea tancada per la funció:
2 6 5( )
2
x xf x
− += , l’eix OX, i les rectes
x = 1− i x = 2
És l’àrea ombrejada =
2 2 1 2
1 1
6 5 6 5 32 5
2 2 3 3
x x x xdx dx
−
− + − + − = − − =
237 u
3
ipri
87
Unitat 8: Aplicacions de la integral
8.- Donada la funció
2
3 3
2
3( ) 2 1 0
2
1 0
si xx
f x x si x
x si x
−
−
= + +
Es demana, calcula l’àrea del recinte pla limitat per la gràfica de ( )f x , l’eix OX, l’eix OY i la
recta 3x = .
La representació gràfica del recinte del què cal calcular l’àrea és:
Calculem els límits d’integració. Un d’ells és x=0 ( donat que l’àrea està limitada per l’eix OY) i,
l’altre és x=3 ( recta donada). Per tant, l’àrea demanada vindrà donada per la següent integral:
( ) 3
3 3
2
0 0
13
xA x dx x
= + = + =
3 33 03 0 12
3 3
= + − − =
Així, l’àrea cercada és de 12 u2.
9.- Donada la funció:
2
2 3
( ) 1 3 0
2 4 3 0
si x
f x x si x
x x si x
−
= + − − +
Es demana: Calcula l’àrea de la regió del pla limitat per la gràfica de f(x), l’eix OX, l’eix OY i la
recta x=3.
ipri
88
Unitat 8: Aplicacions de la integral
Els límits d’integració són x=0 (ja que l’àrea demanda està limitada per l’eix OY) i x=3 ( recta
donada), i, per tant, el valor de l’àrea demanada és:
( ) 3
3 2 3 2 3
2
0 0
3 32 4 3 2 4 3 2 4 3 3 18 18 9
3 2 3 2
x xA x x dx x
= − + = − + = − + = − + =
9 u2
10.- Donada la funció 2 1 2
( ) 62
x si x
f xsi x
x
−
=
Es demana: Àrea del recinte tancat que delimita la gràfica de f(x) i l’eix OX.
Els límits d’integració són els punts on la funció talla a l’eix OX. En el nostre cas:
2 21 0 1 1 1x x x− = = = =
(tin en compte que 6
0x donat que una fracció és zero només quan el numerador ho és)
L’àrea demanada és7:
( ) 1 1
3 3 1
2 2
1 1 1
4 81 u
3 3 3 3
x xA x dx x x
−−−
= − − = − − = − + = − − =
11.- Donada la funció
2
10
( ) 1 0 2
5 15 2
si xx
f x x si x
x si x
−
= + +
Es demana: Àrea del recinte limitat per la gràfica de ( )f x , els eixos de coordenades i la recta x=2.
7 El signe de la integral és negatiu perquè l’àrea demanada està per baix de l’eix X.
ipri
89
Unitat 8: Aplicacions de la integral
Els límits d’integració són x=0 ( ja que l’àrea demanada està limitada per l’eix OY) i x=2 ( recta
donada), i, per tant, l’àrea demanada és:
( ) 2
3 2
2
0 0
8 01 2 0
3 3 3
xA x dx x
= + = + = + − + =
213
u3
12.- Donada la funció
2
1 0
( ) 1 0 2
2 2
x si x
f x x si x
si x
+
= − + −
.
Es demana: Calcula l’àrea del recinte tancat que delimita la gràfica de la funció amb l’eix OX.
Els límits d’integració són els punts de tall de la funció amb l’eix OX:
1 0 1 0 1x x x+ = + = = −
2 21 0 1 1 1x x x− + = = = = només és vàlid x=1, ja que, x=-1 està fora del domini
2 0− = no és veritat
Així, els límits d’integració són x=-1 i x= 1
L’àrea demanada és:
( ) 0 1
2
1 0
1 2 101 1
2 3 6A x dx x dx
−= + + − + = + = =
25 u
3
ipri
90
Unitat 8: Aplicacions de la integral
13.- Determina el valor de a per tal que l’àrea compresa per la gràfica de la funció ( ) 2 2f x ax= + ,
l’eix OX i les rectes 1x = − i 2x = siga 21 unitats d’àrea.
En aquest cas, els límits d’integració ens venen donats per les rectes x=-1 i x=2. Així, tenim la
següent integral:
( ) 2
3 2
2
1 1
8 12 21 2 21 4 2 21
3 3 3
xA ax dx a x a a
−−
= + = + = + − − − =
8 12 6 63 1821 9 18 63
3 3 3 3 9
a aa a
− + + + = + = =
45
9a = 5a =
Per tant, la funció és ( ) 25 2f x x= +
14.- Donada la funció
( )
1 si 0 1
1
si 1 3
6 si 3 4
xx
f x x x
x x
+
= −
Calcula l’àrea del recinte limitat per l’eix OX, la gràfica de f i les rectes x=2 i x=4.
En aquest cas, els límits d’integració ens venen donats per les rectes x=2 i x=4. La gràfica de la
funció és:
Atenció, encara que els límits d’integració són x=2 i x=4, en l’interval n’hi ha dues funcions que
estan per damunt, aleshores, cal calcular el punt de tall d’ambdues funcions ( només ens interessa la
coordenada x), per a dividir l’interval en dos intervals:
66 2 6 3
2x x x x= − = = =
Per tant, hem de calcular dues integrals:
1ª) Integral de la funció ( )1f x x= en l’interval 2, 3
2ª) Integral de la funció ( )2 6f x x= − en l’interval 3, 4
L’àrea demanada val:
ipri
91
Unitat 8: Aplicacions de la integral
( ) 3 4
2 2 3 4
2
2 3 2 3
9 4 16 9 146 6 24 18 2 5 u
2 2 2 2 2 2 2
x xA xdx x dx x
= + − = + − = − + − − − = − =
15.- Donada la funció ( ) 213
3f x x= − + . Calcula l’àrea del recinte limitat per l’eix OX, la gràfica
de f i la recta 2x = .
Calculem els límits d’integració (punts de tall amb l’eix OX):
( ) 2 2 2 21 1 1 33 0 3 0 3 9 9 3
13 3 3
3
f x x x x x x−
= − + = − + = − = − = = = =
−
Per tant, el límit inferior d’integració és x=-3 i el límit superior és x=2, que és la recta que ens
donen.
L’àrea demanda és: 2
3 2
2 2
3 3
1 1 1003 3 u
3 3 3 9
xA x dx x
−−
= − + = − + =
2. VOLUMS Volum d’un cos de revolució
El volum del cos de revolució generat en girar
un arc de la corba contínua, ( )y f x= ,
a x b , al voltant de l’eix OX és:
( ) 2
b
aV f x dx=
3. LONGITUDS
A través de la història de les matemàtiques, grans pensadors van considerar impossible calcular la
longitud d'un arc irregular. Encara que Arquímedes havia descobert una aproximació rectangular
per a calcular l'àrea davall una corba amb un mètode d'esgotament (mètode d'exhaució) , pocs van
a
b( )y f x=
eje de
rotación
ipri
92
Unitat 8: Aplicacions de la integral
creure que fóra possible que una corba tinguera una longitud definida, com les línies rectes. Els
primers mesuraments es van fer usant aproximacions: els matemàtics de l'època traçaven un polígon
dins de la corba, i calculaven la longitud dels costats d'este per a obtindre un valor aproximat de la
longitud de la corba. A l'augmentar el nombre de segments, disminuint la longitud de cada u,
s'obtenia una aproximació cada vegada millor.
En el segle XVII, el mètode d'exhausció va portar a la rectificació per mètodes geomètrics de
moltes corbes: l'espiral logarítmica per Torricelli en 1645 (alguns pensen que va ser John Wallis
en 1650) , la cicloide per Christopher Wren en 1658, la catenària per Gottfried Leibniz en
1691…
Longitud d’un arc de corba Donat un arc de corba en l’espai, definit per les seues equacions paramètriques:
x=x(t), y=y(t), z=z(t) amb t∈ [𝑎, 𝑏]
la longitud de l’arc ve donada per:
( ) ( ) ( ) 2 2 2
' ' 'b
aL x t y t z t dt= + +
Si la corba ve donada en forma explícita y=f(x),aleshores:
( ) 2
1 '
b
aL f x dx= +
x
y
a b
L
( )y f x=
ipri
93
Unitat 9: Sistemes d’equacions lineals
Unitat 9: SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
Equacions lineals
Una equació lineal d’incògnites 1 2, ,..., nx x x és una igualtat de la forma
1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + =
on els nombres reals 1,..., na a es denominen coeficients, i el número real b , terme independent.
Sistemes d’equacions
Un sistema lineal de m equacions amb n incògnites, és un conjunt d’equacions lineals de la forma:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
... ... ... ... ... ... ... ...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + = + + + =
[1]
on els 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ són els coeficients, 𝑏𝑘 ∈ ℝ els termes independents i 𝑥𝑝 ∈ ℝ són les incògnites
(nombres reals que cal calcular, si existeixen).
Una solució de [1] és una n− upla ( )1 2, ,..., nx x x de nombres reals que fan que les equacions de [1]
es transformen en identitats. Resoldre un sistema d’equacions lineals, és calcular totes les solucions.
Direm que dos sistemes d’equacions lineals amb les mateixes incògnites són equivalents, quan
tenen les mateixes solucions.
2. MÈTODE DE GAUSS
Mètode de Gauss
Un sistema té forma escalonada quan cada una de les equacions posseïx una incògnita menys que
l'anterior.
Un sistema d'equacions es resol pel mètode de Gauss quan les seues solucions per mitjà de la
reducció del sistema donat a un altre sistema equivalent a ell que siga escalonat. El desenrotllament
del mètode ho veurem en la unitat següent.
3. CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES
Els sistemes els podem classificar, atenent al nombre de solucions que tinguen, com segueix:
ipri
94
Unitat 9: Sistemes d’equacions lineals
INDETERMINAT (SCI)
INDETERMINAT (SCI)
DETERMINAT (SCD) SISTEMA COMPATIBLE
SISTEMA INCOMPATIBLE (SI)
SISTEMA
Sistema amb alguna solució
Sistema sense cap solució
Sistema amb una única solució
Sistema amb infinites solucions
ipri
95
Unitat 10: Matrius
Unitat 10: MATRIUS
1. MATRIUS
Definició:
Una matriu de dimensió (o orde) m n és un conjunt de mn nombres reals distribuïts en una
taula de m files i n columnes (s’escriuen entre parèntesis)
11 1 1
1
1
j n
i ij inm n
m mj mn
a a a
a a aA
a a a
=
També es sol representar en la forma, ( ) , 1,..., , 1,...,ijA a i m j n= = = en què l’element ija es
troba en la intersecció de la fila i amb la columna j.
Definició:
Direm que dues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i els elements que estan en la
mateixa posició són iguals.
Exercicis:
32. En un IES hi ha 107 alumnes en 3ºESO, i 110 alumnes. En 4ºESO hi ha 84 alumnes i 95
alumnes. En 1ºBACH. hi ha 69 alumnes i 68 alumnes, i en 2ºBACH. hi ha 46 alumnes i 48 alumnes.
a) Representa per mitjà d'una matriu, les dades anteriors. La dita matriu la representarem per A.
b) Explica el significat dels elements 𝑎22 ,𝑎31𝑖 𝑎42. c) Assigna subíndexs a les entrades amb valor superior a 60 i inferior a 100.
d) Quants alumnes cursen 2ºBACH.?
33. Si l’IES anterior és un centre comarcal on es reuneixen estudiants procedents de tres pobles
𝑃1, 𝑃2𝑖 𝑃3 , atenent a la seua procedència i sexe, obtenim la següent matriu 2 3 :
1 2 3
90 182 34
91 182 41
P P P
B H
M
=
a) Quants alumnes procedeixen del poble 1?
b) Quin significat té l’element 23b ?
I si considerem l’activitat professional principal dels pares dels alumnes i el seu lloc origen, tenim
la matriu 3 3 :
ipri
96
Unitat 10: Matrius
1 2 3
Funcionario 22 105 11
Agricultor 114 115 12
Manufacturero 45 151 52
P P P
C
=
c) Explica el significat dels termes 𝑐12, 𝑐31 𝑖 𝑐23.
d) Assigna subíndexs als elements de la matriu de valor inferior a 50.
e) Quin valor numèric correspon a les entrades de la matriu 𝑐13, 𝑐22 𝑖 𝑐32.
34. En la matriu següent es representen els grams de vitamines A, B i C de dos aliments 1 i 2.
Quin aliment te més vitamina B? I C? Quin aliment té major quantitat de vitamines?
1 15 6 2
2 0 18 9
A B C
35. El gràfic següent ens mostra les relacions que s’estableixen en un grup de sis persones.
Construeix una matriu que indique les relacions anteriors, indicant amb 1 l’existència de relació
entre dues persones i amb 0 la no existència de relació.
2 3
4 5 6
11
(Indicació: per conveni posarem 0 en la diagonal principal (en els elements a11, a22, a33, a44, a55 i
a66), ja que les relacions les considerem amb altres i no amb un mateix)
36. Una xarxa de cinc processadors poden relacionar-se segon el següent esquema:
Procesador 2 Procesador 3
Procesador 1
Procesador 4 Procesador 5
Construeix una matriu que indique les relacions entre els processadors, indicant amb 1 l'existència
de relació entre dos processadors i amb 0 la no existència de relació. És possible una comunicació
total entre tots els processadors?
37. El grafo8 adjunt representa els camins que comuniquen diverses localitats, amb les seues
respectives distàncies. Calcula la matriu de les distàncies més curtes.
8 Un grafo és un conjunt, no buit, d’objetes anomenats vèrtexs i una altra col·lecció de parelles de vèrtexs, anomenats
arestes ( que poden ser orientats o no). Usualment, un grafo es representa mitjançant una sèrie de punts ( els vèrtexs)
connectats per línies ( les arestes)
ipri
97
Unitat 10: Matrius
AB
C
D
E
120 km
50 km 128 km
70 km
60 km
55 km
2. TIPUS DE MATRIUS
Definició:
Es diu matriu transposada de A a la matriu que resulta de intercanviar, ordenadament, les files
per les columnes. Es representa per At o per AT.
Definició:
Una matriu és nul·la si tots els seus elements són zero.
Definició:
Una matriu és quadrada si té igual número de files que de columnes.
Diagonal principal: Els elements iia d’una matriu quadrada formen la diagonal principal.
Definició:
Una matriu quadrada és simètrica quan ij jia a= , és a dir, quan TA A= .
Definició:
Una matriu quadrada és:
- triangular superior quan tots els elements per davall la diagonal principal són zero.
- triangular inferior quan tots els elements per damunt la diagonal principal són zero.
Definició:
Una matriu diagonal és una matriu quadrada on tots els elements que no estiguen en la diagonal
principal són zero.
Definició:
La matriu identitat és una matriu diagonal on els elements de la diagonal principal son uns.
3. OPERACIONS AMB MATRIUS
Suma:
Sobre la dimensió: han de ser d’igual dimensió
( )
( )( ) ( ) ( )
ij
ij ij ij ij
ij
A aA B a b a b
B b
= + = + = +
=
ipri
98
Unitat 10: Matrius
Propietats:
• Associativa: ( ) ( )A B C A B C+ + = + +
• Commutativa: A B B A+ = +
• Element neutre: A O A+ =
• Element oposat: ( )A A O+ − =
Producte d’un número real per una matriu:
Es multiplica el número per tots els elements de la matriu.
( )( ) ( )ij
ij ij
A aA a a
= = =
Propietats: o ( )A B A B + = +
o ( ) A A A + = +
o ( ) ( )A A =
o 1A A=
Per complir aquestes huit propietats, el conjunt ℳ(ℝ) = {𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑢𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑠 𝑑′𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑛 𝑥 𝑚} M té estructura algebraica d’espai vectorial real:
(ℳ𝑛𝑥𝑚(ℝ), +,· ) és un espai vectorial real
Producte de matrius:
Sobre la dimensió: número de files del segon factor = número de columnes del primer factor
Per a multiplicar dues matrius cal efectuar el producte de cada fila de la primera matriu per totes
les columnes de la segona.
Sobre la dimensió de la matriu producte: ( )n m m p n p
A B AB
Propietats:
Que no compleix:
• Commutativa: AB BA
• Divisors de zero: 0AB = 0 ó 0A B= =
• Cancel·lat iva: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 ⇏ 𝐴 = 𝐵 ( 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝐵 ≠ 0) Que compleix:
➢ Associativa: ( ) ( )A BC AB C=
➢ Distributiva: ( )A B C AB AC+ = +
➢ Element neutre: e m n n m n m m n m nA I A I A A = =
Potència d’una matriu quadrada: )
... con n
nA A A A n=
ipri
99
Unitat 10: Matrius
Exercicis:
38. Donades les matrius
2 4 0 5 1 8 1 0 3, y
6 3 1 7 9 4 2 4 1A B C
= = =
−
calcula:
a) A B C+ + c) ( ) ( )A B C+ − + −
b) ( )B C+ − d) ( )tt tA B C+ + −
39. Fes la següent operació:
1 2 2 3 1 2 1 0
3 4 3 4 0 3 0 2
− + + +
− −
40. Calcula a, b, c i d per què es verifique:
2 2 7 5
2 2 2 3 4
a b a a b
c d d c d
+ = +
− +
41. Comprova amb un exemple que la transposada d’una suma de dues matrius és igual a la
suma de les dues matrius transposades: ( )t t tA B A B+ = + .
42. Realitza les següents operacions:
a) 1 2 2 3 1 2
2 33 4 3 4 0 3
− − +
−
b) 1 0 2 31 1
0 2 1 43 2
−
− −
43. Donades les matrius:
1 1 4 0 1 2, y
0 3 1 2 2 3A B C
− − = = =
− − −
calcula:
a)1
2A B+
b) 3 5 6A B C+ −
c)1 1
22 3
A B C− −
44. Calcula tots els productes possibles entre les matrius:
, ,
45. Donades les matrius A i B:
−=
152
321A
−
=
03
12
40
17
B
−−
−
=
0120
4170
0132
C
ipri
100
Unitat 10: Matrius
,
calcula:
a) ( )A B B
b) ( )A B A
46. Per a les matrius:
Fes les següents operacions:
a) b) c)
d) e) f) CD
g) h) i)
j) k)
47. Amb les matrius , calcula:
a) b) c) d) e)
f) Són commutatives les matrius A i B?
48. Calcula y on .
49. Donades les matrius:
a) Calcula la matriu .
b) Calcula .
50. Siga un número natural i la matriu:
Calcula per a 𝑘 ∈ ℝ.
−−
−
=
021
011
201
A
−=
040
122
053
B
2 3 0 1 21 1 2 0 3 4
, , 5 1 4 2 y 14 0 3 1 2 3
1 0 0 3 3
A B C D
−
= = = − − = − − − −
A B+ 3 4A B− AB
AD BCtA C
t tD A tB AtD D tDD
2 4 5 1 1 0, y
6 3 9 8 2 7A B C
− = = =
−
AB BA2C 3C 2tA C
32 , AA 4A
=
100
110
111
A
5 2 1 2
0 1 3 5
4 7 4 2
A B
−
= = − − −
5 3t tA B−tAB
k
1 1 1
0 1 0
0 0 1
A
=
kA
ipri
101
Unitat 10: Matrius
51. Considera la matriu i calcula els valors de p i q que fan que es verifique la
següent igualtat: .
52. Siga la matriu . Calcula nA per a n∈ ℕ.
53. Fes les següents operacions amb matrius:
a)
b)
c)
d)
4. MÈTODE DE GAUSS
Consisteix en transformar el sistema original en un sistema triangular, mitjançant les
transformacions elementals de Gauss:
Transformacions elementals de Gauss:
▪ Multiplicar una fila per un número diferent de zero
▪ Sumar a una fila un múltiple d’una altra ( )
▪ Intercanviar files ( )
N’hi ha una variant del mètode de Gauss que es coneix com a mètode de Gauss-Jordan i que
consisteix en diagonalitzar la matriu, és a dir, fer-ne 1 en la diagonal principal i 0 en la resta.
5. INVERSA D’UNA MATRIU
0 1A
p q
=
2A A=
1 1
0 1A
=
22 02 3 1 1 0
3 10 1 2 1 0
1 2
−
− − − − − − − 2
1 0 2 31
0 1 1 42
−
− − 2
1 0 2 33
1 0 1 45
−
− − 2
2 3 1 2 2 0 2 012
1 4 1 3 1 3 1 32
+ −
− −
11 12 13 14
transformaciones
21 22 23 24 de Gauss
31 32 33 34
( )
a x a y a z a
a x a y a z a
a x a y a z a
+ + =
+ + = ⎯⎯⎯⎯⎯→+ + =
11 12 13 14
22 23 24
33 34
b x b y b z b
b y b z b
b z b
+ + =
→ + = =
( )i iF F→
j j iF F pF→ +
i jF F
ipri
102
Unitat 10: Matrius
Inversa:
Sobre la dimensió: la matriu (i, com a conseqüència la seua inversa) han de ser matrius
quadrades.
Una matriu quadrada és invertible, inversible (o té inversa), si existeix una matriu, que es
representa per , i que verifica:
Mètodes per a calcular la inversa:
- Mètode directe per a calcular :
Resolent el sistema d’equacions lineals que resulta.
- Mètode de Gauss-Jordan
Exercicis:
54. Calcula, si existeix, la inversa de:
a) b) c)
55. Troba x i y tals que , on:
i
56. Calcula la inversa de i l’ inversa de .
57. Emprant els mètodes treballats en classe, calcula les matrius inverses de
I comprova que .
Comprova també que:
a)
b)
c)
58. Calcula, emprant el mètode de Gauss-Jordan, les inverses de les matrius:
A1A−
1 1AA A A I− −= =
1A−
( )1( | ) transformaciones de Gauss |A I I A−
−=
11
32A
−=
64
32B
−=
00
11C
0=BA
−−
−
−−
=
431
541
532
A
−
−−
−
=
yx
yx
B
1
531
1
−
−
−
=
011
112
131
A
0 1 2
1 0 1
2 1 0
B
=
3 1 2 3
5 2 1 1A B
= =
1 1 y AA I B B I− −= =
( )1 1 1AB B A− − −=
( )1
1A A−
− =
( )1 11
33
A A− −=
ipri
103
Unitat 10: Matrius
I comprova que
6. EQUACIONS I SISTEMES MATRICIALS
Definició:
Una equació matricial lineal és una equació matricial lineal on la incògnita és una matriu.
Resolució d’equacions matricials:
Totes les equacions matricials (lineals), es poden transformar en una del tipo
o AX B XA B= =
Seguint els mateixos passos que per a resoldre equacions polinòmiques de primer grau. L’única
diferència és que no n’hi ha una divisió de matrius, és per aquesta raó que, per a aïllar X, cal
emprar la inversa:
1 1
1
AX B
A AX A B
X A B
− −
−
=
=
=
1 1
1
XA B
XAA BA
X BA
− −
−
=
=
=
Definició:
Un sistema lineal d’equacions matricials és un sistema lineal on les incògnites són matrius.
Resolució de sistemes lineals d’equacions matricials:
Per a resoldre un sistema matricial (lineal), s’apliquen els mètodes coneguts de resolució de
sistemes d’equacions lineals (reducció, substitució o igualació).
Exercicis:
59. Si i , resol les equacions
a)
b)
60. Calcula i en els següents sistemes d’equacions matricials:
a)
1 32 3
2 1
0 5
1 3
X Y
X Y
− =
− =
b)
2 3 42 3
7 1 2
3 2 12
4 0 1
X Y
X Y
− + =
−
− = −
61. Obtin la matriu en les següents equacions matricials:
a) h)
1 2 3 1 2 2
2 3 1 2 2 1
3 2 1 1 0 1
A B
= =
1 1 y A A I BB I− −= =
=
12
21A
−=
11
11B
AXA =+32
BAX =
X Y
X
CBAX =+ BAAX +=+ −13
ipri
104
Unitat 10: Matrius
b) i)
c) j)
d) k)
e) l)
f) m)
g) n)
62. Resol l’equació matricial , on:
63. Siguen les matrius:
(a) Calcula les matrius C i D, sabent que AC = BD = I, on I és la matriu identitat d’orde dos.
(b) Discuteix i resol el sistema donat per :
On 𝐶−1𝑖 𝐷−1 són les matrius inverses de les matrius C i D indicades en l’apartat anterior.
64. Troba una matriu que verifique on
65. Siguent
resol l’equació matricial .
7. RANG D’UNA MATRIU
Definició:
Direm que una fila o columna (d’una matriu) és linealment independent si no es pot expressar
com a una combinació lineal de les altres.
Definició:
El rang d’una matriu és el número de files (o de columnes) linealment independents que té la
matriu. Es representa per o per rang (A).
Mètode de Gauss per al càlcul del rang:
CBXA += 2 AXIAAX −=−
BAAX =+ IXAAX =+ −1
CXBA =+ 2 BXAX =− 2
CBXA =− XBAXA t =+
CBXAX += CXAXA t =+
XBXA =− AXB C=
22 AABX =−
−=
=
22
31 y
01
32BA
2 3 1 0
3 1 1 5A y B
= =
−
( )1 11
2
xC D
y
− − − =
X2X B AB− =
1 2 1 1 0 1
1 3 1 y 2 2 2
0 0 2 0 0 6
A B
= =
3 12 0 1 1 2 9 3
, 0 1 , 1 1 5 3 4 8 13
1 2
A B C y D
= = = =
AB CX D+ =
A
( )rg A
ipri
105
Unitat 10: Matrius
Es calcula, aplicant el mètode de Gauss, fent zero el major número de files (o de columnes). En
aquest cas, el rang és el número de files (o de columnes) no nul·les.
EXEMPLES:
Calculem el rang de les següents matrius:
a)
8 1 4
5 2 4
1 1 0
A
= −
3 1 2 1
3
8
5 2
8 1 4 0 7 4 0 0 0
5 2 4 0 7 4 0 7 4
1 1 0 1 1 0 1 1 0
F F F F
F FlA
− + +
− +
−
= − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −
⟹ 𝑟𝑔(𝐴) = 2
(número de files diferents de zero)
b)
6 1 3
6 8 0
2 5 5
B
−
= − −
2 31 2 1 2
1 3
32 428
5
6 1 3 1 6 3 1 6 3
6 8 0 8 6 0 0 42 24
2 5 5 5 2 5 0 32 10
F FC C F F
F FB
− + +
+
− − −
= − ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ − −
( )
1 6 3
0 42 24 3
0 0 348
rango B
−
→ = −
donat que té tres files diferents de zero.
c)
1 2 3 7
2 4 3 5
1 6 5 4
C
= − −
( )2 31 2
1 3
2
1 2 3 7 1 2 3 7 1 2 3 7
2 4 3 5 0 8 9 19 0 8 9 19 3
1 6 5 4 0 8 8 11 0 0 1 8
F FF F
F FC rango C
− ++
+
= − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ = − − −
Exercicis:
66. Calcula, pel mètode de Gauss, el rang de les següents matrius:
a) e)
b) f)
1 4 1
1 3 2
2 2 0
A
−
= −
1 0 2 1 1
0 2 1 1 2
1 1 3 2 0
0 8 7 9 4
E
−
− = −
1 3 1
2 1 5
1 10 8
B
−
= − −
1 1 1 2
2 3 5 11
1 1 6 29
F
= −
ipri
106
Unitat 10: Matrius
c) g)
d) h)
67. Calcula el rang de les següents matrius:
a) c)
b) d)
2 1 3
4 2 1
6 3 2
C
= −
1 3 1 1
1 5 3 3
1 1 1 1
3 7 5 5
G
− − − =
1 2 0 3
1 3 1 4
2 1 5 1
D
− −
= − −
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
H
− − = − −
2 2 0
4 2 2
2 2 4
A
−
= − −
1 0 1
2 1 0
3 2 1
C
−
= −
1 2 3 4
2 4 6 9
3 6 9 1
B
= − − −
1 0 1
1 1 1
2 0 0
D
−
= −
ipri
107
Unitat 11: Determinants
Unitat 11: DETERMINANTS
1. DETERMINANTS
Determinant d’una matriu quadrada A cada matriu quadrada se li pot associar un número real, que anomenarem determinant de la
matriu, que s’obté a partir dels elements de la mateixa. Si la matriu és A, les notacions seran
.
El determinant d’una matriu és important, perquè entre altres motius, permet saber si una matriu té
inversa o no, sense haver de “calcular” la inversa.
Determinant d’una matriu d’orde dos
Definició:
Exercicis:
68. Calcula el determinant de les matrius:
a) b) c)
69. Indica per a quins valors de x són regulars les matrius:
a) b)
70. Resol les següents equacions:
a) b)
Determinant d’una matriu d’orde 3 Definició:
Si , es defineix el menor complementari de l’element , i s’escriu ,
com al determinant de la matriu d’orde dos, que resulta de suprimir la fila i i la columna j de la
matriu A.
Definició:
( )det o A A
11 12
11 22 12 21
21 22
deta a
a a a aa a
= −
−
−=
603
5
3
1
A
−−
−=
22
11B
−−=
27
311C
−−=
x
xA
3
12
+−−
−−=
11
31
xx
xB
1523
5=
−
+
x
xx69
31
59=
+
−
xx
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
ija ijM
ipri
108
Unitat 11: Determinants
Anomenem adjunt de l’element , al número .
Definició:
El determinant d’una matriu d’orde 3 és la suma dels productes dels elements de qualsevol fila o
columna pels seus adjunts corresponent.
Regla de Sarrus:
Efectuant el desenvolupament corresponent s’obté la regla de Sarrus, que reflexarem a
continuació: |𝐴| =a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 – a13·a22·a31 -a32·a23·a11 – a12·a21·a33
Exercicis:
71. Calcula els determinants de les matrius:
a) c)
b) d)
72. Indica quines de les matrius de l’exercici anterior són regulars i quines no.
73. Resol:
a) b)
74. Calcula tots els adjunts de les següents matrius:
a) b)
75. Calcula els determinants per la regla de Sarrus:
ija ( )1i j
ij ijA M+
= −
−−
−=
633
211
052
A
−=
124
103
221
C
−
−−=
521
431
001
B
−−
−
−
=
117
384
215
D
24
61
130
21
=
− x
x
47
34
12
011
−=
−
−
x
xx
−−
−
=
012
210
231
A
−
−
=
041
204
612
B
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
Productos con signo + Productos con signo −
ipri
109
Unitat 11: Determinants
a) b)
76. Calcula desenvolupant per una fila o una columna, els determinants:
a) c)
b) d)
Determinant d’una matriu d’orde 4 Definició:
El càlcul del determinant de matrius quadrades d’orde 4 o superior es realitza seguint el mateix
procediment (que emprarem com a definició), és a dir, es tria una fila o columna qualsevol i es
realitza la suma dels productes de cada element de la fila o columna pel seu adjunt:
11 11 21 21 31 31 41 41det A a A a A a A a A= + + +
(determinant d’una matriu ( )ijA a= d’orde 4, que s’ha desenvolupat per la primera columna).
2. PROPIETATS
1. Si una matriu té una fila o una columna de zeros, el determinant és zero.
Exemples:
a) 1 2
1 0 0 2 00 0
= − =
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 2
1 0 2 1 0 3 0 1 2 2 0 1 1 0 2 0 2 1 1 0 3 0
1 0 3
−
− = − + − − + − − + + − − =
−
2. Si s’intercanvien dues files o dues columnes, canvia el signe del determinant.
Exemples:
a) ( )1 2
1 3 2 2 72 3
−= − − =
Intercanviem la primera i la segona files:
( )2 3
2 2 1 3 71 2
= − − = −−
1 3 4
2 0 5
3 8 9
−
−
4 5 2
7 9 0
4 1 6
− −
3 1 7
2 4 3
1 0 9
−
−
5 4 3
2 1 0
6 7 8
1 2 5
3 6 7
4 2 1
− 1 4 2
3 1 8
4 0 12
ipri
110
Unitat 11: Determinants
b)
3 0 1
1 4 2 12 8 4
2 0 1
−
= − =
−
c) Intercanviem la primera i la tercera columnes:
1 0 3
2 4 1 8 12 4
1 0 2
−
= − = −
−
3. El determinant d’una matriu amb dues files o columnes iguals és zero.
Exemples:
a) 1 2
2 2 01 2
= − = (té dues columnes iguals)
b)
1 2 0
2 4 1 2 2 0
1 2 0
−
= − + =
−
(té dues files iguals)
4. Si multipliquem una fila o columna per un número real, el valor del determinant resta
multiplicat per aquest número.
Exemples:
a) multiplicamos la primera fila por 31 2 3 6
1 30 1 0 1
− −= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ =
b) multiplicamos la tercera columna por 2
2 0 1 2 0 2
0 0 1 2 0 0 2 4 2 2
2 1 0 2 1 0
−
−
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − = − = −
− −
5. Un determinant, amb una fila o columna formada per la suma de dos números, es pot
descompondre en suma d’altres dos determinants que tenen les mateixes files o columnes
restants i, en lloc d’aquella, una altra formada pels primers i segons sumands,
respectivament.
Exemples:
a)
( ) ( )1 2 2
1 2 0 1 3 2 41 3 0
1 2 2 1 2 2 22 6 4
1 3 0 1 0 3 0
+= + − − + = −
− +
+= + = − = −
− + −
ipri
111
Unitat 11: Determinants
b)
0 1 0
1 2 2 1 3 3
0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 2 2 1 3 1 2 3 2 1 0 1 2 3
0 0 1 0 0 1 0 0 1
−
+ − =
− − −
+ − = + − = + =
6. El determinant d’una matriu no canvia si a una qualsevol de les seues files o columnes se
li sumen o resten els elements d’una altra paral·lela a ella, multiplicats per una constant.
Exemples:
a)
2 1 2
0 12
2 1
0 1 0 12
2 1 2 0F F F
−=
− − + =
b)
1 2
1 3
2
1 1 0
2 3 0 3 2 5
1 2 1
1 1 0 1 1 0
2 3 0 0 5 0 5
1 2 1 0 1 1
F F
F F
− +
+
−
= + =
−
− −
= =
−
7. Un determinant és zero si alguna de les files o columnes que el componen és combinació
lineal d’altres paral·leles a ella.
Exemples:
a) 3 2
2 1 3
0 2 6 0 ya que 3
3 3 9
C C= =
− −
b) 3 1 2
2 1 3
1 2 1 0 ya que 2
4 3 1
F F F
−
− = = +
8. El determinant d’un producte de matrius és igual al producte dels determinants de cada
factor.
Exemple:
ipri
112
Unitat 11: Determinants
1 1 2 0 1 5
2 0 2 y 1 2 0
0 1 1 4 5 2
A B
−
= − − = − − −
( ) ( ) ( )
1 1 2 0 1 5
det 2 0 2 =0 y det 1 2 0 67 det det 0 67 0
0 1 1 4 5 2
A B A B
−
= − − = − = − = − = − −
( )
1 1 2 0 1 5 9 9 1
det 2 0 2 1 2 0 det 8 12 6 0 det 0
0 1 1 4 5 2 5 3 2
AB AB
−
= − − − = − − − = = − − − −
Altres propietats dels determinants que és important conèixer són:
9. TA A=
10. 1 1A
A
− =
Demostració:
( )1 1 1 1 1det det det det 1 det
detAA I AA I A A A
A
− − − −= = = = C.Q.D.
Exercicis:
77. Si , calcula:
a) b) c)
3
3
3
a d g
b e h
c f i
d)
g h i
a b c
d e f
e)
78. Aplica les propietats de determinants per a provar que val zero, siguent A la
matriu:
a) b)
6==
ihg
fed
cba
A
A2 A5−
ihg
fed
cba
2
1
2
1
2
1
222
−−−
( )det A
3 6 9
4 8 12
a a a
A
=
1 2 3
3 6 9
2 2 2
a a a
A
+ + +
=
ipri
113
Unitat 11: Determinants
3. MÈTODES PER A CALCULAR DETERMINANTS
Mètode del pivot: Es basa en la propietat 6, i consisteix en triar una fila o columna, prendre un element ( anomenat
pivot) i fer zeros la resta d’elements de la mateixa fila o columna. Després, es desenvolupa el
determinant per eixa fila o columna.
Mètode de Gauss:
Donat un determinat qualsevol d’odre n, per a calcular el seu valor pel mètode de Gauss, haurem
de transformar-ho en un altre determinant de forma triangular.
Per a anul·lar tots els elements que queden per davall de la diagonal principal, emprarem la cerca
de zeros, fent servir les propietats dels determinants.
Exercicis:
79. Calcula els determinants:
a) b)
80. Demostra que:
81. Calcula en funció de a el determinant:
82. Resol
4. APLICACIONS DELS DETERMINANTS
(1) CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA
1 0 1 1
1 4 2 3
2 1 0 0
0 3 1 2
− 3 1 0 1
2 3 1 3
5 6 2 4
0 1 1 1
−
−
−
( ) ( )3
1 1 1
1 1 11 3
1 1 1
1 1 1
a
aa a
a
a
−
−= + −
−
−
1
1
1
1
a a a a
a a a aA
a a a a
a a a a
+
+=
+
+
1 1 0
1 10
1 1 1
1 1 0
x
x x
x
x
− −
− −=
−
−
ipri
114
Unitat 11: Determinants
Definició:
La matriu adjunta de la matriu és la matriu que resulta de substituir
l’element pel seu adjunt corresponent, .
Càlcul de la inversa:
( )( )1 1Adj
t
A AA
− =
Rang: el rang d’una matriu és el número de files o de columnes linealment independents.
Teorema del rang:
El rang d’una matriu coincideix amb l’orde de la major submatriu regular, és a dir, amb l’orde
de la major submatriu quadrada amb determinant no nul.
Del teorema del rang es dedueix que si en una matriu quadrada A
- Intercanviem dues files (columnes) o
- Multipliquem una fila (columna) per un número no nul o
- Li sumem a una columna una combinació lineal de la resta
la matriu 'A resultant té el mateix rang que A .
Condicions necessàries i suficients per tal que una matriu tinga inversa:
Una matriu quadrada té inversa (és a dir, existeix 1A− ) ( ) ( )rango orden 0A A A =
és regular.
EXEMPLES:
Calcula el rang de les següents matrius:
a)
8 1 4
5 2 4
1 1 0
A
= −
A1= (8) és una submatriu de A d’orde 1 i |8| ≠ 0 ⟹ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≥ 1
𝐴2 = (8 15 −2
) és una submatriu de A d’orde 2 i |8 15 −2
| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≥ 2 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑟 3.
Com a conseqüència, rang(A)= 2.
b)
6 1 3
6 8 0
2 5 5
B
−
= − −
B1 =(6) és una submatriu d’orde 1 i |6| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≥ 1
𝐵2 = (6 −1−6 8
) és una submatriu de B d’orde 2 i |6 −1−6 8
| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐵) ≥ 2.
c)
1 2 3 7
2 4 3 5
1 6 5 4
C
= − −
( )ijaA = ( ) ( )
ijAAAdj =
ija ijA
A
A
ipri
115
Unitat 11: Determinants
C1 =(1) és una submatriu de C d’orde 1 i |C1|=|1|≠0⇒rang(C)≥1
𝐵2 = (1 2−2 4
) és una submatriu de C d’orde 2 i |𝐶2| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐵) ≥ 2 (fixa’t que n’hi ha prou
submatrius d’orde 2 en C)
I, també n’hi ha 4 submatrius d’orde 3
- Llevant la quarta columna:
1 2 3
2 4 3
1 6 5
− −
- Llevant la tercera columna:
1 2 7
2 4 5
1 6 4
− −
- Llevant la segona columna:
3 7 2
3 5 1
1 5 4
−
− −
- Llevant la primera columna:
2 3 7
4 3 5
6 5 4
En canvi, en aquest cas, hem sigut afortunats i tots tenen determinant diferent de zero ( 8− ,
64, 53 y 30− − ), però si el primer haguera sigut nul, caldria calcular el segon, i així successivament
fins a trobar, o no un determinant no nul.
Com a conseqüència, rang (C) = 3.
(2) REGLA DE CRAMER
L’ expressió matricial del sistema de equacions i incògnites
é , on , y .
Definició:
és un sistema de Cramer és regular
Regla de Cramer (vàlida només per a sistemes de Cramer):
On, el determinant del numerador està format per les columnes de A, fent la substitució la i-
èssima columna per la columna b de termes independents.
−m −n
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
....
2211
22222121
11212111
BAX = ( )nmijaA
=
=
nx
x
X 1
=
mb
b
B 1
BAX = A
0A ( )
A
cbcx
n
i
1det=
ipri
116
Unitat 11: Determinants
Exercicis:
83. Considerem la matriu A:
a) Per a quins valors de a té inversa la matriu?
b) Calcula-la per a i per a .
84. Calcula les matrius inverses:
a) b)
85. Calcula la matriu inversa, quan siga possible:
a) b) c)
86. Calcula el rang de les matrius:
a) b)
b) d)
87. Cerca el valor de per a que la matriu A tinga rang 2:
88. Estudia el rang de la matriu A, segons els valors del paràmetre a:
89. Estudia el rang de les matrius segons els valors de a:
a) b)
−
=
200
11
11
a
a
A
2=a 3=a
=
320
120
312
1
A
−
−
=
123
001
541
B
−−
−
=
311
230
121
A
=
11
24B
−
−−
=
921
030
1064
C
−
−−
−
=
933
622
311
A
−
−=
34
05
12
B
−
−
−
=
111
213
102
C
−−
−=
182
473D
a
−
−
=
a
A
33
042
321
1 0
2 2 1
0 1
a
A a
a
= + −
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a
M a
a
+
= + +
1 0 2 3 1
2 1 3 0 2
4 1 6 4
N
a
−
= − −
ipri
117
Unitat 11: Determinants
90. Estudia el rang de A segons els valors del paràmetre a. Per a quins valors té inversa?
Problemes de sistemes d’equacions lineals: Cramer vs Gauss
91. En un grup de 2n de Batxillerat tots els alumnes tenen com a matèria optativa una d'estes
tres assignatures: Literatura, Psicologia o Francés. El nombre d'alumnes matriculats en Literatura
representa el 60% del total d'alumnes del grup. Si tres alumnes de Psicologia s'hagueren
matriculat en Francés, llavors estes dos assignatures tindrien el mateix nombre d'alumnes.
Finalment, el doble de la diferència del número de matriculats en Literatura i en Psicologia és el
triple de la diferència dels matriculats en Psicologia i en Francés. Troba el nombre d'alumnes
matriculats en cada una de les matèries optatives i el número alumnes del grup.
92. En un Institut s’imparteixen ensenyances d'ESO, Batxillerat i Cicles Formatius. La suma del
nombre dels alumnes de Batxillerat i del doble dels alumnes de Cicles Formatius excedeix en 100 al
nombre dels alumnes d'ESO. Si sumem el 40% dels matriculats en AIXÒ amb el 30% dels
matriculats en Batxillerat i amb el 20% dels matriculats en Cicles Formatius s'obté un número que
excedeix en 45 unitats al 30% del nombre total d'alumnes. Sabent que cursen estos tres tipus
d'ensenyança un total de 1200 alumnes, troba el número de matriculats en cada tipus d'ensenyança.
93. Un alumne de 2n de Batxillerat empra en la compra de tres llapis, un maquineta de fer
punta i dos gomes d'esborrar, tres euros. El doble del preu d'un llapis excedeix en cinc cèntims
d'euro a la suma dels preus d'un maquineta de fer punta i d'una goma d'esborrar. Si cada llapis
costara cinc cèntims d'euro més, llavors el seu preu duplicaria al d'una goma d'esborrar.
Determina el preu d'un llapis, d'un maquineta de fer punta i d'una goma d'esborrar.
94. La suma de les edats actuals dels tres fills d'un matrimoni és 59 anys. Fa cinc anys, l'edat
del menor era un terç de la suma de les edats que tenien els altres dos. D'ací a cinc anys, el doble
de l'edat del germà mitjà excedirà en una unitat a la suma de les edats que tindran els altres dos.
Troba les edats actuals de cadascun dels fills.
95. Un Institut compra 500 paquets de folis a tres proveïdors diferents de 2,75; 2,70 i 2,80
euros cada paquet, respectivament. La factura total ascendeix a 1360 euros. La diferència entre el
nombre de paquets subministrats pel 2n i el 3r proveïdor, és triple del nombre de paquets
subministrats pel 1r proveïdor. Quants paquets subministra cada un dels proveïdors?
96. En una població s'han presentat dos partits polítics A i B a les eleccions municipals. Si 250
votants del partit A hagueren votat el partit B, ambdós partits hagueren empatat a vots. El nombre
de vots en blanc o nuls és el 1% de la suma del nombre de vots obtinguts per ambdós candidatures.
Sabent que van ser a votar 11615 electors, troba el nombre de vots obtingut per cada partit i quants
són blancs o nuls.
Solució:
{x = número de votants d′Ay = número de votants de Bz = número de votants de C
1 0 3
5 1 1 3
2 0 6 8
a
A
a
−
= − − +
ipri
118
Unitat 11: Determinants
( ) ( ) ( )
250 250 500
0.01 100 0 , , 6000,5500,115
1161511615
x y x y
z x y x y z x y z
x y zx y z
− = + − =
= + → − − + = → = + + =+ + =
El candidat A obté 6000 vots, el B 5500, i nul o en blanc n’hi ha 115.
97. Per a poder comprar 5 bolígrafs necessite 2 euros més dels que tinc. En canvi, em sobra un
euro del que tinc si compre 2 llapis. Finalment, necessite 60 cèntims d'euro més del que tinc per a
poder comprar dos bolígrafs i dos llapis. Troba el preu d'un bolígraf i el d'un llapis. De quants
diners dispose?
Solució:
{
x = cuantitat de diners que tinc
y = preu d′un boli
z = preu d′una llapisera
( ) ( )
5 2
2 1 , , 2, 0.8, 0.5
2 2 0.60
y x
z x x y z
y z x
= +
= − → = + = +
Així, dispose de 2€, un bolígraf costa 80 cèntims i una llapissera costa 50 cèntims.
98. Es consideren, el nombre de tres xifres “xyz” i el que resulta d'este al permutar les xifres de
les unitats i de les centenes. Troba el valor de les xifres “x”, “ y” i “z” sabent que la suma dels dos
números és 585, que la divisió del primer entre el segon té de quocient 1 i de resta 99 i que la suma
de la xifra de les centenes i la xifra de les desenes del primer nombre és 7.
Solució:
( ) ( )
( ) ( )
100 10 100 10 585100 10
100 10 100 10 99 , , 3,4,2100 10
7
x y z z y xxyz x y z
x y z z y x x y zzyx z y x
x y
+ + + + + == + +
+ + = + + + → = = + + + =
Les xifres “x”, “y” i “z” prenen els valors 3, 4 i 2 respectivament.
99. Un home li diu a la seua esposa: Te n'has adonat que des del dia de la nostra boda fins al
dia del naixement del nostre fill van transcórrer el mateix nombre d'anys que des del dia del
naixement del nostre fill fins hui? El dia del naixement del nostre fill la suma de les nostres edats
era de 55 anys. La dona li va replicar: "Me acord que en eixe dia del naixement del nostre fill,
tu tenies l'edat que jo tinc ara i a més recorde que el dia de la nostra boda el doble de l'edat que el
teu tenies excedia en 20 anys a l'edat que jo tinc hui. Troba les edats actuals d'ambdós.
Solució:
( ) ( )
Boda Nacimiento hijo Hoy
edad marido2 20
edad mujer
3ª
x x
yy x z x
z
=− = + +
=
55 (1ª ecuación)ecuación
(2ª ecuación)
y z
y z x
+ =
= +
ipri
119
Unitat 11: Determinants
( ) ( )
( ) ( )
55 55
0 , , 5,35,30
4 2 202 2 20
y z y z
y z x x y z x y z
x y zy x z x
+ = + =
= + → − + − = → = − + − =− = + +
Per tant, a dia de hui, l’home té 30 + 5 = 35 anys i la dona 25 + 5 = 30 anys.
100. Per a la compra d'un article de preu 10,70 euros s'utilitzen monedes d'1 euro, de 50 cèntims
d'euro i de 20 cèntims d'euro. El nombre total de monedes excedeix en una unitat al triple de
monedes d'1 euro. El 30% de la suma del nombre de monedes d'1 euro amb el doble del nombre de
monedes de 50 cèntims coincideix amb el nombre de monedes de 20 cèntims. Troba el nombre de
monedes que s'utilitzen de cada classe.
Solució:
{x = número de monedes de 1euro y = número de monedes de 50 cèntims z = número de monedes de 20 cèntims
( )
( ) ( )
número de monedas de 1 €
número de monedas de 50 cent.
número de monedas de 20 cent.
0,5 0,2 10,70 100 50 20 1070
3 1 2 1 , , 6,7,6
3 6 10 00,3 2
x
y
z
x y z x y z
x y z x x y z x y z
x y zx y z
=
= =
+ + = + + =
+ + = + → − + + = → = + − =+ =
Per tant, utilitza 6 monedes de 1 €, 7 monedes de 50 cent. Y 6 monedes de 20 cent.
ipri
120
Unitat 11: Determinants
ipri
121
Unitat 12: Discussió de sistemes d’equacions
Unitat 12: DISCUSSIÓ DE SISTEMES
D’EQUACIONS LINEALS
1. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Duu el nom del matemàtic francés Eugène Rouché qui el va enunciar en 1875i el va completar en
1880, i del matemàtic alemany Ferdinand Georg Fröbenius qui va ser un dels molts matemàtics
que el van demostrar.
Teorema de Rouché-Fröbenius
Un sistema d’equacions lineals és compatible si, i només si, el rang de la matriu de coeficients
A, és igual al rang de la matriu ampliada :
Sistema compatible ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏)
Demostració
Escrivim el sistema en forma vectorial: 1 1 2 2 ... n nC x C x C x b+ + + =
) Si el sistema és compatible determinat, aleshores, existeix almenys una solució ( )1 2, ,..., ns s s .
Això és, 1 1 2 2 ... n nC s C s C s b+ + + = , és a dir, la columna de termes independents és combinació
lineal de les columnes de la matriu dels coeficients, A , i, coma conseqüència, rang(A)=rang(A│b).
) Si rang(A)=rang(A│b), aleshores la columna de termes independents és combinació lineal de
les columnes de la matriu A i, per tant, ( )1,..., ns s tal que 1 1 2 2 ... n nb C s C s C s= + + + , això és,
( )1,..., ns s és una solució del sistema i, com a conseqüència, el sistema és compatible determinat.
C.Q.D.
2. DISCUSSIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
Siga un sistema de equacions i incògnites.
Discussió de sistemes lineals homogenis
Sistemes Homogenis {
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏)=𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡é 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó,𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙
} 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏)<𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡é 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑠
} 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
( ) A b
AX b= −m −n
ipri
122
Unitat 12: Discussió de sistemes d’equacions
Discussió de sistemes lineals no homogenis
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑒𝑠 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑖𝑠 {
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏) = 𝑟 ⇒ 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡é 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó ⇒
𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 {𝑟 = 𝑛 ⇒ 𝑠𝑜𝑙. ú𝑛𝑖𝑐𝑎 ⇒ 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
𝑟 < 𝑛 ⇒ 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑠.⇒ 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏) ⟹ 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡. 𝑛𝑜 𝑡é 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó ⇒ 𝐼𝑁𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸
Com a conseqüència del teorema de Rouché-Fröbenius tenim que tot sistema de Cramer és
compatible determinat. Malgrat això, no tot sistema compatible determinat és de Cramer.
3. DISCUSSIÓ DE SISTEMES AMB UN PARÀMETRE Un paràmetre és un símbol matemàtic que pot agafar infinits valors en una equació, per a cadascun
dels quals s’obtindrà una solució diferent, anomenada solució particular.
Definició:
La discussió de sistemes amb un paràmetre consisteix en calcular els valors del paràmetre, per
als que el sistema és compatible determinat, indeterminat o incompatible.
Es pot discutir:
- Emprant el mètode de Gauss.
- Amb el teorema de Rouché–Fröbenius, aplicant, només, els determinants.
- Amb el teorema de Rouché–Fröbenius primer i aplicant el mètode de Gauss després.
4. ELIMINACIÓ DE PARÀMETRES L’eliminació de paràmetres d’un sistema d’equacions és el procediment que transforma un
sistema donat en un altre equivalent on no apareixen els paràmetres anteriors.
Considerem un sistema d’equacions expressat en funció dels paràmetres 1,..., n :
1 11 1 1
1 1
...
.......................................
...
n n n
m m mn m m
b a a x
b a a x
+ + + = + + + =
Transformem el sistema anterior en un sistema de m-equacions amb n-incògnites (1,..., n ):
11 1 1 1
1 1
...
..........................................
...
n n n
m mn m m m
a a x b
a a x b
+ + = − + + = −
Imposant que rang (A) = rang(𝐴|𝑏) obtenim un sistema equivalent on no apareixen els paràmetres
1,..., n . Aquestes equacions reben el nom d’equacions implícites del sistema.
Consideracions a tindre en compte:
ipri
123
Unitat 12: Discussió de sistemes d’equacions
- Si en el sistema inicial, rang(A)= m, no podem eliminar cap paràmetre, donat que, com
és un sistema compatible determinat, no té equacions implícites que el limiten.
- Si rang (A)= k<m podrem eliminar alguns paràmetres; aquesta eliminació donarà lloc a
un sistema de equacions.
m k−
ipri
124
Unitat 12: Discussió de sistemes d’equacions
ipri
125
Unitat 13: Espai afi
Unitat 13: ESPAI AFÍ
1. ESPAI AFÍ TRIDIMENSIONAL 1.1. VECTORS EN L’ESPAI
Definició:
Un vector fixe és un segment orientat que té el seu origen en el punt i el seu extrem en el punt .
Els elements d’un vector són:
- Mòdul de : és la longitud del segment. Es representa per .
- Direcció de : és la direcció de la recta que passa per i .
- Sentit de : és el recorregut de la recta quan ens traslladem de a .
Dos vectors fixes no nuls són equipol·lents si tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix
sentit.
El conjunt de tots els vectors fixes de l’espai resta classificat en classes d’equivalència; cada classe
d’equivalència estarà formada per un vector fixe i tots els equipol·lents a ell. A cadascuna
d’aquestes classes l’anomenarem vector lliure9.
Definició:
Anomenarem vector lliure a cadascuna de les classes d’equivalència formada per un vector fixe i
tots els seus equipol·lents.
Al conjunt format per tots els vectors lliures el representem per .
En tenim definides les següents operacions:
a) Suma
Per a sumar dos vectors lliures �⃗� 𝑖 𝑣 es representa el vector i, pel seu extrem s’afegeix un
representant del vector . El vector que resulta d’unir l’origen de amb l’extrem de
s’anomena vector suma de �⃗� 𝑖 𝑣 .
uv
u
u
v v−
uv
+ ( )u v+ −
9 Això no és res estrany; de fet, ja coneixes un altre conjunt on passa el mateix, és el conjunt ℚ dels nombres racionals.
Recorda que, quan es treballa amb fraccions, es pot triar la fracció equivalent que és resulte més útil. Exactament el
mateix passa amb els vectors: de tots els que són equipolents entre si, triarem el que resulte més útil en cada situació.
AB A B
AB AB
AB A B
AB A B
3V
3V
u
v u v
ipri
126
Unitat 13: Espai afi
Propietats de la suma:
(1) Commutativa:
(2) Associativa:
(3) Existència d’element neutre: :
(4) Existència d’element oposat:
b) Multiplicació d’un vector per un número real
El producte del vector pel número real és el vector que té la mateixa direcció que
, igual sentit si i sentit contrari si , i, amb mòdul igual a .
Propietats de la multiplicació per escalars:
(5)
(6)
(7)
(8)
Per verificar aquestes huit propietats es diu que la terna és un espai vectorial real.
Siga l’espai ordinari i l’espai vectorial tridimensional dels vectors lliures en , encara que,
tot el que es diga en aquest apartat, és general per als espais vectorials de qualsevol “dimensió”.
Definició:
Diem que els vectors són linealment dependents si no tots nuls
tals que . En cas contrari, diem que els vectors són linealment
independents, és a dir, si l’única possibilitat de què la igualtat anterior siga certa és que
.
Criteri pràctic:
En un espai vectorial tridimensional tres vectors són linealment independents si la matriu que té
les files ( columnes) formada per les components dels vectors té rang 3, és a dir, si el determinant
de la matriu és no nul.
u v v u+ = +
( ) ( )u v w u v w+ + = + +
0 0u u+ =
( ) 0u u+ − =
u k ku
u 0,k 0k k u
u con
0
ku
k
con
0
ku
k
( )k u v ku kv+ = +
( )k h u ku hu+ = +
( ) ( )kh u k hu=
1u u=
( )3 , ,V +
E3V E
1 2, , ... , nv v v1 2, ,..., n
1 1 2 2 ... 0n nu u u + + + =
1 2 ... 0n = = = =
ipri
127
Unitat 13: Espai afi
Casos particulars:
• Dos vectors ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , y , ,u u u u v v v v= = són linealment dependents si se verifica la
següent condició:
1 2 3
1 2 3
rango 1u u u
v v v
=
• Tres vectors ( )1 2 3, ,u u u u= , ( )1 2 3, ,v v v v= i ( )1 2 3, ,w w w w= són linealment dependents
si se verifica la següent condició:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
rango 1 o 2
u u u
v v v
w w w
=
• Dos vectors ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , y , ,u u u u v v v v= = són linealment independents si se verifica la
següent condició:
1 2 3
1 2 3
rango 2u u u
v v v
=
• Tres vectors ( )1 2 3, ,u u u u= , ( )1 2 3, ,v v v v= i ( )1 2 3, ,w w w w= són linealment
independents si se verifica la següent condició:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
rango 3
u u u
v v v
w w w
=
Definició:
Una combinació lineal dels vectors és una expressió de la forma
amb .
Definició:
Un conjunt de vectors d’un espai vectorial es diu que formen un sistema de generadors si
qualsevol vector de l’espai es pot escriure com a combinació lineal dels vectors del conjunt.
Definició:
Un conjunt de vectors formen una base si són linealment independents i, a més, formen un
sistema de generadors.
Criteri pràctic:
En un espai vectorial tridimensional tres vectors linealment independents sempre formen una
base.
Definició:
Si és una base, qualsevol altre vector de l’espai vectorial es pot escriure de
forma única com a:
1 2, , ..., nv v v 1 1 ... n nv v + +
1 2, ,..., n
1 2, , ..., nu u u w
1 1 2 2 ... n nw u u u = + + +
ipri
128
Unitat 13: Espai afi
Els escalars són les coordenades del vector respecte d’aquesta base.
Exercicis:
101. Siguen els vectors i . Calcula
i c per tal que es verifique: .
102. Estudia la dependència o independència lineal dels següents conjunts de vectors:
a)
b)
c)
103. Determina el valor de per tal que els següents conjunts de vectors siguen linealment
dependents:
a)
b)
104. Quin dels següents conjunts de vectors formen una base?
a)
b)
105. Per a quins valors de a el conjunt de vectors és linealment
independent? És una base pera aquests valors?
ESPAI AFÍ ASSOCIAT A L’ESPAI VECTORIAL
Siga l’espai ordinari i l’espai vectorial dels vectors lliures en . El par , on
3: E E V → definida per ( ),A B AB →
verifica les següents propietats, es denomina espai afí
associat a l’espai vectorial :
1) Donat un vector i un punt , existeix un únic punt tal que
2)
3)
D’ara en avant, el denotarem por .
La aplicació anterior és, evidentment, sobrejectiva, però no injectiva.
Siga . Aleshores, qualsevol punt determina el vector lliure , que
denominarem vector de posició del punt P respecte del punt O.
1 2, ,..., n w
( ) ( ) ( )1, 5,2 , 3, 4, 1 , 6,3, 5x y z= − = − = − ( )24,26, 6w = −
, a b ax by cz w+ + =
( ) ( ) ( )1,2,1 , 1,0,3 , 1, 2, 1u v w= = − = −
( ) ( ) ( ) ( )1,2,3 , 1,4,11 , 1,1, 1 , 0,1,4a b c d= = = − =
( ) ( ) ( )1,1,0 , 1,0,1 , 5, 2,3x y z= = =
k
( ) ( ) ( ), 3, 2 , 2,3, , 4,6, 4u k v k w= − = = −
( ) ( ) ( )3,2,5 , 2,4,7 , 1, 1,a b c k= = = −
( ) ( ) ( ) 1 1, 2,1 , 1,0,1 , 2, 2, 2B =
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 , 0,0,1B =
( ) ( ) ( ) 1,1,1 , ,1,1 , 1, ,0S a a=
3V
E3V E ( ),E
3V
3v V O E P E
( ),O P v =
( ), 0A B A B = =
( ) ( ) ( ), , , , ,A B B C A C A B C E + =
3E
3O E3P E p OP =
ipri
129
Unitat 13: Espai afi
Un sistema de referència en l’espai afí , és una quaterna de punto tals que els
vectors I formen una base de . Les rectes determinades
pel punt i cadascun dels punts U1 ,U2 i U3 s’anomenen eixos coordenats. Els plans determinats
per cada parell d’eixos coordinats s’anomenen plans coordenats. Les coordenades d’un punt
són els únics nombres reals , tals que:
1 2 3OP p xu yu zu = = + +
El punt és la representació gràfica de la terna i ho indicarem per ( ), ,P x y z . Com a
conseqüència, les ternes ordenades de nombres reals són una representació algebraica dels vectors
lliures de l’espai.
2. EQUACIONS DE LA RECTA
Definició:
S’anomena determinació lineal de la recta al parell format per un punt , anomenat base, i un vector
(lliure) no nul que s’anomena vector director o de direcció de la recta.
ij
k
A
X , r A v
OA
OX
v
x
y
z
• Equació vectorial de la recta
Siga r la recta determinada pel punt A i el vector 𝑣 . Si , tenim que
I, com resulta:
Si ( ), ,X x y z i tenim que:
3E ( )1 2 3, , ,O U U U
1 1 2 2, ,u OU u OU = = 3 3u OU =
3V
O3P E
( )1 2 3, ,x x x
P
r ( ),A v A
v
X r
OX OA AX= +
AX v=
( )1 2 3, , ,A a a a ( )1 2 3, ,v v v v=
𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑣 Equació vectorial de la recta
(x,y,z) = (a1, a2, a3) +𝜆 (v1,v2,v3)
Equació vectorial de la recta en coordenades
ipri
130
Unitat 13: Espai afi
• Equacions paramètriques de la recta
• Equació contínua de la recta
Eliminant de les equacions paramètriques resulta:
En rectes paral·leles als eixos algun dels denominadors de l’equació contínua és zero, per tant,
aquesta equació adquireix un caràcter formal o simbòlic; per a obtindre en aquests casos l’equació
general només cal igualar a zero el corresponent numerador, i obtindré la segona equació de l’altra
igualtat.
• Equació implícita o cartesiana
Desenvolupant l’equació contínua s’obté:
Exercicis:
106. Expressa, en totes les formes possibles l’equació de la recta que passa pel punt i
té com a vector director .
107. Expressa, en totes les formes possibles, l’equació de la recta que passa pels punts P(1,-2,5) i
Q(-2,1,0).
108. Calcula les equacions de la recta en forma paramètrica i contínua.
109. Expressa cadascuna de les següents rectes de totes les formes vistes en classe:
a) b)
c)
( )1, 2,5P −
( )3,1, 2v = −
2 3
2 1
x y z
x y z
+ + =
− − =
2 2 4
1 1 3
x y z− − −= =
−
3 1
3 5
x y z
x y z
− − =
− + =
2
1
3 2
x t
y t
z t
= +
= − = +
{
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2𝑧 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3
Equacions paramètriques de la recta
𝑥−𝑎1
𝑣1=
𝑦−𝑎2
𝑣2=
𝑧−𝑎3
𝑣3 Equació contínua de la recta
{𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0 Equació implícita
ipri
131
Unitat 13: Espai afi
110. Calcula l’equació de la recta que passa per l’origen de coordenades i és paral·lela a la
recta d’equació .
Equacions dels eixos de coordenades: Eix OX:
( ) ( ) 0,0,0 , 1,0,0OX O i =
Equació vectorial: ( ) ( ) ( ), , 0,0,0 1,0,0x y z = +
Equacions paramètriques: 0
0
x
y
z
=
= =
Equacions implícites: 0
0
y
z
=
=
Eix OY:
( ) ( ) 0,0,0 , 0,1,0OY O j =
Equació vectorial: ( ) ( ) ( ), , 0,0,0 0,1,0x y z = +
Equacions paramètriques:
0
0
x
y
z
=
= =
Equacions implícites: 0
0
x
z
=
=
Eix OZ:
( ) ( ) 0,0,0 , 0,0,1OZ O k =
Equació vectorial: ( ) ( ) ( ), , 0,0,0 0,1,0x y z = +
Equacions paramètriques:
0
0
x
y
z
=
= =
Equacions implícites: 0
0
x
y
=
=
3. INCIDÈNCIA DE PUNT I RECTA Definició/ caracterització:
Els vectors �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) 𝑖 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) són paral·lels, ||u v , sii són linealment
dependentes, és a dir, u v= amb 𝜆 ∈ ℝ, o equivalentment, quan 31 2
1 2 3
uu u
v v v= =
1
2 2
x yz
+= = −
−
ipri
132
Unitat 13: Espai afi
Definició / caracterització:
Siga la recta determinada pel punt i el vector . Tenim:
𝑃(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) ∈ ℝ ⟺ {
𝑝1 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1𝑝2 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2𝑝3 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3
compatible determinat ⟺ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∥ �⃗�
Exercicis:
111. Estudia si els punts P(1,-2,5)i Q(2,2,4) pertanyen a la recta .
112. Els punts A (3,-4,2), B(1,2,3) i C(3,-4,6) estan alineats?
4. CONDICIÓ PE TAL QUE TRES PUNTS ESTIGUEN
ALINEATS Caracteritzacions:
Els punts 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) 𝑖 𝐶(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) estan alineats si, i només si,
𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3𝑐1 − 𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐3 − 𝑎3
) < 2
o equivalentment si els vectors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ són linealment dependents.
5. POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES
Siguen {
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2𝑥 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3
𝑖 {
𝑥 = 𝑎′1 + 𝜇𝑣′1𝑦 = 𝑎′2 + 𝜇𝑣′2𝑥 = 𝑎′3 + 𝜇𝑣′3
dues rectes i, siga i
. Es poden presentar les següents posicions relatives:
* rang M=2
* r i s s’encreuen ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 3
* r i s es tallen en un punt ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 2
** rang M=1
* r i s són paral·leles ( i diferents) ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 2
* r i s són coincidents ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 1
Rang M 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� Sistema Posició relativa
2 3 Incompatible S’encreuen
2 2 Compatible determinat Es tallen en un punt
1 2 Incompatible Són paral·leles
r ( )1 2 3, ,A a a a ( )1 2 3, ,v v v v=
2 2 4
1 1 3
x y z− − −= =
−
1 1
2 2
3 3
'
'
'
v v
M v v
v v
=
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
' '
' '
' '
v v a a
M v v a a
v v a a
−
= − −
ipri
133
Unitat 13: Espai afi
1 1 Compatible indeterminat Són coincidents
Si les rectes venen donades en equacions implícites, aleshores:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
0
0
0
0
A x B y C z Dr
A x B y C z D
A x B y C z Ds
A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
+ + + = + + + =
𝑀 = (
𝐴1 𝐵1 𝐶1𝐴2 𝐵2 𝐶2𝐴3 𝐵3 𝐶3𝐴4 𝐵4 𝐶4
) 𝑖 �̃� = (
𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1𝐴2 𝐵2 𝐶2 𝐷2𝐴3 𝐵3 𝐶3 𝐷3𝐴4 𝐵4 𝐶4 𝐷4
) i
I es poden presentar les següents posicions relatives:
rang M rang�̃� Sistema Posició relativa
3 4 Incompatible S’encreuen
3 3 Compatible determinat Es tallen en un punt
2 3 Incompatible Paral·leles
2 2 Compatible indeterminat Coincidents
r
s
Rectes que s’encreuen
r
s
Rectes secants (en un punt)
r
s
Rectes paral·leles
r s=
Rectes coincidents
Podem fer aquesta classificació seguint les relacions vectorials
Siguen 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑖 𝑢𝑠⃗⃗⃗⃗ els vectors directors de les rectes r i s, i Pr i Ps punts qualsevols de r i s
respectivament. Tenim:
Vectors directors
Proporcionals No proporcionals
r su u ru su
Coincidents Paral·leles Secants S’encreuen
r r su P P ru r sP P ( )det , , 0r s r su u P P = ( )det , , 0r s r su u P P
ipri
134
Unitat 13: Espai afi
Exercicis:
113. Estudia la posició relativa de les següents parelles de rectes:
a) b)
114. Estudia la posició relativa de les rectes .
115. Estudia, segons els valors de , la posició relativa de les rectes:
116. Estudia les posicions relatives de les rectes que apareixen en cada apartat- Quan es tallen,
calcula el punt on ho fan:
a)
1 5 1
2 3 y 1
5
x x
r y s y
z z
= − =
= + = = − + =
c)
3 2 1 6
1 y 3 3
5 5
x x
r y s y
z z
= + = − −
= − = + = =
b)
3
y 3
0
x x
r y s y
z z
= =
= = = =
d)
3 2
2 y 3 2
1 1
x x
r y s y
z z
= + = −
= − − = + = = −
6. EQUACIONS DEL PLA Definició:
Un pla queda determinat per un punt (el vector s’anomena vector de
posició) i dos vectors linealment independents ( no nuls i no proporcionals) i
, que anomenem vectors directors. A ( ), ,A v w l’anomenem determinació lineal
del plano .
Aw
v
( ), ,A v w
1
2
0
2 3
2 0
2 3
x y zr
x y
x y zr
x y z
− + =
+ =
− + = − − =
1
2
2 5
4 10
2 7
2 3 8
x ys
x z
y zs
x y
+ = −
− = −
− = − − =
8 0 y
4 2 5
x z x yr s
y z x y z
+ = + =
+ = − + =
k
( ) ( ) ( )1
, , 1,0,2 3,1, y 13
xr x y z k s y z
+ = + − = − + =
( )1 2 3, ,A a a a OA a=
( )1 2 3, ,v v v v=
( )1 2 3, ,w w w w=
ipri
135
Unitat 13: Espai afi
ij
k
x
y
z
A
w
v
( ), ,A v w
w
vX
AX
OA
OX
Per obtindre l’equació vectorial, tenim en compte que OX OA AX= + i, com AX v w = + ,
resulta que
OX OA v w = + +
que és l’equació vectorial del pla determinat pel punt A i els vectors 𝑣 𝑖 �⃗⃗� .
• Si ( ), ,X x y z tenim:
• Efectuant les operacions obtenim:
Exercicis:
𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑣 + 𝜇�⃗⃗� Equació vectorial del pla
on 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ
(x,y,z) = (a1, a2, a3) +𝜆 (v1,v2,v3)+ 𝜇(𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) Equació vectorial del pla en coordenades
{
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1 + µ𝑤1𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2 + µ𝑤2𝑧 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3 + µ𝑤3
Equacions paramètriques del pla
ipri
136
Unitat 13: Espai afi
117. Expressa les equacions del pla determinat pel punt i els vectors
.
118. Calcula les equacions del pla que conté als punts i
C(-2,4,-1).
119. Determinar les equacions paramètriques del pla determinat pel punt P i els vectors
directors �⃗� 𝑖 𝑣 en cadascun dels casos següents:
a)
b)
7. INCIDÈNCIA DE PUNT I PLA Definició / caracterització:
El punt pertany al pla (és un punt del pla), quan es compleix la següent
condició:
És a dir, si els vectors 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑣 𝑖 �⃗⃗� són linealment dependents.
8. QUAN 4 PUNTS SÓN COPLANARIS? Caracteritzacions:
Els punts 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), 𝐶(𝑐1, 𝑐2, 𝑐2) 𝑖 𝐷(𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, ) són coplanaris10 si, i només si,
els vectors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ són linealment dependents si, i només si, ( )det , , 0AB AC AD =
Exercicis:
120. Calcula el valor de per tal que els quatre punts estigues en el mateix pla
. Calcula l’equació del pla.
9. EQUACIÓ GENERAL, CARTESSIANA O IMPLÍCITA
DEL PLA Siga el pla determinat pel punt i els vectors directors i
. L’equació general ve donada per:
10 Estan en el mateix pla.
( )1, 2,3P
( ) ( )1,1,0 y 1,0,1u v= =
( ) ( )3,2, 1 , 0,2, 5A B− −
( ) ( ) ( )2,3,1 , 2, 3,0 , 1,0,1P u v− = − =
( ) ( ) ( )0,1,1 , 2,0,0 , 0, 1,0P u v= = −
( )1 2 3, ,P p p p
( )1 1 1 1
1 2 3 2 2 2 2
3 3 3 3
, , det 0
p a v w
P p p p p a v w
p a v w
−
− = −
a
( ) ( ),0,1 , 0,1, 2 ,a ( ) ( )1,2,3 , 7,2,1
( )1 2 3, ,A a a a ( )1 2 3, ,v v v v=
( )1 2 3, ,w w w w=
ipri
137
Unitat 13: Espai afi
1 1 1
2 2 2
3 3 3
det 0 0
x a v w
y a v w Ax By Cz D
z a v w
−
− = + + + = −
En general, si a l’equació implícita d’un pla li falta una de les seues variables, és perquè és paral·lel
a l’eix corresponent a la dita variable. Així:
• Si , el pla que s’obté és paral·lel a l’eix OX .
• Si , el pla que s’obté és paral·lel a l’eix OY .
• Si , el pla que s’obté és paral·lel a l’eix OZ .
Exercicis:
121. Calcula l’equació general del pla que conté als punts , i té com a
vector director .
122. Calcula l’equació general del pla determinat pel punt i els vectors directors
.
10. EQUACIÓ DEL PLA QUE PASSA PER TRES PUNTS Sabem que tres punts diferents i no alineats determinen un pla que passa per ells.
El pla que passa per tres punts diferents i no alineats A, B i C tenen la següent determinació
lineal ( ), ,A AB AC , i, per tant, si X és un punt genèric, l’equació del pla és:
( )det , , 0AX AB AC =
11. EQUACIÓ CANÓNICA DEL PLA En l’equació general dividint per – D:
1 0A B C
x y zD D D
+ + − =− − −
Si anomenem 𝑎 = − 𝐷
𝐴, 𝑏 = −
𝐷
𝐵 𝑖 𝑐 = −
𝐷
𝐶 resulta:
0A=
0B =
0C =
( ) ( )1, 2, 1 , 3,0, 2P Q−
( )1,1, 1u = −
( )1, 2,3P
( ) ( )1 2, 1 y 2, 1,3a b= − − = −
A B
CX
𝑥
𝑎=
𝑦
𝑏=
𝑧
𝑏= 1 Equació canónica o segmentària del pla 𝜋
ipri
138
Unitat 13: Espai afi
On a,b i c són els punts on el pla talla als eixos x, y i z respectivament.
Aquesta equació també es pot obtindre aplicant l’apartat anterior amb A(a,0,0), B(0,b,0) i C(0,0,c).
ij
k
x
y
z
( )0, ,0B b
( ),0,0A a
( )0,0,C c
12. POSICIONS RELATIVES DE DOS PLANS Siguen 0, ' ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D + + + = + + + = dos plans i anomenem
𝑀 = (𝐴 𝐵 𝐶𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
) 𝑖 �̃� = (𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′
)
Es tenen les següents posicions relatives:
* 𝜋 𝑖 𝜋′ es tallen en una recta ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀 = 2
* 𝜋 𝑖 𝜋′ són paral·lels⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀 = 1 𝑖 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 2
* 𝜋 𝑖 𝜋′ són coincidents ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀 = 1 = 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃�
Rang M Rang �̃� Sistema Posició relativa
2 2 Compatible indeterminat Es tallen en una recta
1 2 Incompatible Són paral·lels
1 1 Compatible indeterminat Són coincidents
Plans secants
(en una recta)
1
2
Plans paral·lels
12
Plans coincidents
ipri
139
Unitat 13: Espai afi
Exercicis:
123. Estudia la posició relativa de les següents parelles de plans:
a) b)
124. Estudia la posició relativa de .
13. POSICIONS RELATIVES D’UNA RECTA I UN PLAN
Siga {
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2𝑥 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3
i π: Ax + By + Cz + D=0 un pla. Es poden presentar les següents posicions
relatives:
1ra forma:
• 1 2 3 0Av Bv Cv+ + La recta i el pla se tallen en un punt
• 𝐴𝑣1 + 𝐵𝑣2 + 𝐶𝑣3 = 0 {𝐴𝑎1 + 𝐵𝑎2 + 𝐶𝑎3 + 𝐷 ≠ 0 ⇒ 𝑟 𝑖 𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙 · 𝑙𝑒𝑙𝑠𝐴𝑎1 + 𝐵𝑎2 + 𝐶𝑎3 + 𝐷 = 0 ⇒ 𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑢𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝜋
r
Recta i plano, secants
(en un punt)
r
Recta paral·lela al pla
r
Recta continguda en el pla
2na forma:
Si la recta ve donada com a intersecció de dos plans i el pla mitjançant la seua equació implícita:
2
' ' ' ' 0
'' '' '' 0
0
A x B y C z Dr
A x B y C z D
Ax By Cz D
+ + + =
+ + + =
+ + + = considerem
𝑀 = (𝐴′ 𝐵′ 𝐶′𝐴′′ 𝐵′′ 𝐶′′𝐴 𝐵 𝐶
) 𝑖 �̃� = (𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′𝐴′′ 𝐵′′ 𝐶′′ 𝐷′′𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
)
I es poden presentar les següents posicions relatives: s
rang �̃� Sistema Posició relativa
3 3 Compatible determinat Es tallen en un punt
2 3 Incompatible Són paral·lels
2 2 Compatible indeterminat Recta continguda en el pla
1
2
2 0
3 6 3 3
x y z
x y z
− + =
− + =
1
2
2 0
2 3
x y z
x y z
− + =
− − =
2 3 1 0 y 2 4 6 5 0mx y z x y z+ − − = − + + =
rango M
ipri
140
Unitat 13: Espai afi
Exercici:
125. Estudia la posició relativa de la recta y el pla en cada cas:
a) b)
14. POSICIONS RELATIVES DE TRES PLANS
Siguen
0
' ' ' ' 0
'' '' '' '' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =
+ + + = + + + =
tres plans i considerem
𝑀 = (𝐴 𝐵 𝐶𝐴′ 𝐵′ 𝐶′𝐴′′ 𝐵′′ 𝐶′′
) 𝑖 �̃� = (𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′𝐴′′ 𝐵′′ 𝐶′′ 𝐷′′
)
Es tenen les següents posicions relatives:
• rang M = 3 ⇔ els tres plans es tallen en un únic punt.
• rang M= 2 i rang�̃�= 3
➢ Les matrius d’orde que poden formar-se amb les files de M, tenen rang 2;
aleshores, els plans es tallen dos s dos segons ( obtenim, per tant, tres rectes)
➢ Una de les matrius referides té rang 1 i les altres, rang 2. En aquest cas, dos
plans són paral·lels i el tercer els talla en dues rectes paral·leles.
• rang M= 2 i rang�̃�=2
➢ Les matrius d’orde que poden formar-se amb les files de �̃� tenen rang 2.
Els tres plans són diferents.
➢ Una de les matrius té 1. Aleshores, dos plans coincideixen i el tercer los talla
mitjançant una recta.
• rang M= 1 i rang �̃�=2
➢ Si les matrius d’orde que poden formar-se amb les files de �̃� són de rang
2, aleshores, els tres plans paral·lels.
➢ Si una d’eixes matrius té rang 1, aleshores, dos plans coincideixen i l’altre és
paral·lel.
• rang M= 1 i rang M̃=1⇔els plans coincideixen
rang
(�̃�) Sistema
Rang de les
submatrius de
d’orde
Rang de les
submatrius de�̃�
d’orde
Posició relativa
3 --- C.D. --- --- Secants en un punt
2 3 I. 2 (totes) --- Es tallen dos a dos obtenint
tres rectes
2 3 I. 1 (una) ---
Dos plans paral·lels i el
tercer els talla mitjançant
dues rectes paral·leles
2 2 C.I --- 2 (totes) Diferents i es tallen en una
recta
1
5 3 0
5 7 3
x y zr
x y
− = =
− = −
1 1
1 2 1
3 1
x y zr
x y z
− + = =
+ − =
2 3
2 4
2 4
( )rg M M
2 3 2 4
ipri
141
Unitat 13: Espai afi
2 2 C.I. --- 1 (una)
Dos plans coincideixen i el
tercer els talla mitjançant
una recta
1 2 I. --- 2 (totes) Paral·lels
1 2 I. --- 1 (una) Dos plans coincideixen i
l’altre és paral·lel
1 1 I. --- --- Coincidents
Tres plans secants en un punt
Tres plans secants dos a dos mitjançant 3 rectes
Dos plans paral·lels i el tercer els talla
mitjançant 2 rectes
Tres plans diferents, secants en una recta
Dos plans coincidents i el tercer els talla
mitjançant una recta
Els tres plans són paral·lels
ipri
142
Unitat 13: Espai afi
Dos plans coincidents i l’altre paral·lel
Els tres plans són coincidents
Exercicis
126. Determina la posició relativa dels plans:
127. Estudia per als diferents valors de m la posició relativa dels plans:
a) b)
128. Estudia la posició relativa dels següents plans:
a) c)
b)
Problemes afins:
129. Calcula l’equació de la recta paral·lela a que passe pel punt d’intersecció
de la recta amb el plano .
130. Calcula l’equació implícita del pla que passa pel punt i és paral·lel al pla
.
1
2
3
2 3 1
2
2 2 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + = − − + = −
1
2
3
1
1
1
mx y z
x my z
x y mz
+ + =
+ + = + + =
1
2
3 1
mx y z m
x my mz m
x y z
− − = −
− + = + + = −
2 3 0
3 2 1 0
2 0
x y z
y z
x y z
+ − − =
+ − = + + − =
1 0
3 2 0
2 2 3 4 0
x y z
x y z
x y z
− + − =
+ − = + − + =
2 3 0
2 0
3 4 0
x y z
x y z
x y z
− + − =
− + − = − + − =
2 5
3 5
x zr
y z
+ =
+ =
1 3 2
4 2 3
x y zs
− + + = = 7x y z − + =
( )1,1,1P
1 2 3
3 2
1
x
y
z
= + −
= + = − −
ipri
143
Unitat 13: Espai afi
131. Donats els punts ( 1,1,1), (2,3,4) i (-5,0,-2), comprova si estan alineats. En cas afirmatiu,
calcula les equacions paramètriques i continua de la recta que defineixen i, en cas negatiu,
l’equació del pla corresponent.
132. Donades les rectes
i
troba el pla que passa per r i és paral·lel a s i el que passa per s i és paral·lel a r.
133. Determina l’equació del pla que conté a la recta i és paral·lel a la
recta .
134. Considerem les rectes d’equacions
𝑟 ≡ {𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0−2𝑥 + 𝑧 − 1 = 0
𝑖 𝑠 ≡ 𝑥 + 1 =𝑦 − 3
𝑛=𝑧
2
a) Calcula per tal que r i s siguen paral·leles.
b) Per al valor de n obtés en l’apartat anterior, determina l’equació del pla que conté a
ambdues rectes.
135. Donades les rectes 𝑟 ≡ {𝑥 = 3 + 𝜆𝑦 = −1 + 2𝜆𝑧 = 2 + 𝜆
𝑖 𝑠 ≡ {4𝑥 + 5𝑦 + 7 = 0
3𝑦 − 4𝑧 + 7 −𝑚 = 0
a) Calcula el valor de , per tal que les dues estiguen en el mateix pla.
b) Calcula l’equació del pla.
136. Considerem la recta , el pla i el punt , siguent:
a) Obtin una recta paral·lela a que passe pel punt .
b) Calcula el punt d’intersecció de r i π.
15. FEIX DE PLANS
15.1. Feix de plans d’aresta una recta: feix de plans secants Siguen π i π’ dos plans que es tallen en una recta . El conjunt de tots els plans que passen per la
recta s’anomena feix de plans d’aresta r i té per equació:
( ) ( )' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D + + + + + + + =
1
3 0 1
x y zr
− = = ( ) ( ) ( ), , 2,1,1 3, 1,3s x y z t = + −
2 2 4
1 2 3
x y z− − −= =
−
1 3
1 2
x t
y t
z t
= +
= + =
n
m
r P
( )1 8 2
; 2 3 1; 1,0,42 3 5
x y zr x y z P
− + − = = − + =
s r P
rr
ipri
144
Unitat 13: Espai afi
Exemple: Determina l’equació del pla que passa per l’origen de coordenades i conté a la recta determinada
pels plans:
1 0
' 2 0
x y zr
x y
+ + − =
− − =
Sabem que el feix de plans d’arestes r té per equació:
( ) ( )1 2 0x y z x y + + − + − − =
Com, a més, el pla passa per l’origen de coordenades, es té que:
( ) ( )0 0 0 1 0 0 2 0 2 0 2 + + − + − − = − − = = −
y per tant:
( ) ( )2 1 2 0 2 2 2 2 2 0x y z x y x y z x y − + + − + − − = − − − + + − − =
( )3 2 0 3 2 0x y z x y z − − − = − + + =
És a dir, el pla que ens demanen és: '' 3 2 0x y z + + = .
15.2. Feix de plans paral·lels Si en l’equació del pla 0Ax By Cz D + + + = substituïm els coeficients A, B i C per les
coordenades d’un vector n normal al pla, s’obté l’expressió de tots els plans que són paral·lels i
que tenen vector normal n :
( )
00
, ,n n n
n n n
Ax By Cz DA x B y C z D
n A B C
+ + + = + + + =
=
Aquest conjunt de plans s’anomena feix de plans paral·lels normals a n .
Exemple:
El feix de plans paral·leles normals a ( )3, 2, 1n = − té per equació:
3 2 0x y z D+ − + =
ipri
145
Unitat 13: Espai afi
Donant valor a D∈ ℝ, obtenim els plans del feix.
Exemple: Anem a determinar un pla ' que passe per ( )3,2, 1P − i siga paral·lel a 3 2 1 0x y z − + + = .
Com el vector normal a és ( )3, 1, 2n = − , l’equació del feix de plans paral·lels normals a n és:
3 2 0x y z D− + + =
Substituint les coordenades de P en obtenim:
( )3 3 2 2 1 0 5D D − + − + = = −
i, per tant, l’equació del pla demanat és: 3 2 5 0x y z− + − = .
16. RADIACIÓ DE PLANS Suposem que els plans π, π’ i π’’ tenen en comú un únic punt . Aleshores, el conjunt de tots els
plans que passen per , rep el nom de radiació de plans de vèrtex , i té per equació:
( ) ( ) ( )' ' ' ' '' '' '' '' 0Ax By Cz D A x B y C z D A x B y C z D + + + + + + + + + + + =
P
P P
ipri
146
Unitat 13: Espai afi
ipri
147
Unitat 14: Espai afi euclidià
Unitat 14: ESPAI AFÍ EUCLIDIÀ
1. PRODUCTE ESCALAR
PRODUCTE ESCALAR EN
Definició:
Es defineix el producte escalar de dos vectors per:
on ∡(𝑎, 𝑏) és l’angle que formen els vectors 𝑎 ⃗⃗⃗ 𝑖 �⃗� que forman los vectores y a b .
Propietats:
(1) Commutativa:
(2) Distributiva:
(3)
(4)
(el número real a a s’anomena quadrat escalar i es representa per 2
a )
Definició:
Es defineix el mòdul d’un vector per:
3a V
Dues propietats importants:
• Desigualtat de Cauchy-Schwarz: 3 ,a b a b a b V
• Desigualtat triangular:
Definició:
Els vectors 𝑎 𝑖 �⃗� són perpendiculars o ortogonals, a b⊥ , quan .
Definició:
El vector a és un vector unitari sii 1a = .
Definició:
Una base de l’espai vectorial , es diu ortonormal quan els seus vectors són ortogonals dos a
dos i unitaris.
3V
a b b a =
( )a b c a b a c + = +
( ) ( ) ( )a b a b =
0 0a a a
a a a=
3 ,a b a b a b V+ +
0a b =
3V
𝑎 ∙ �⃗� = |𝑎 | · |�⃗� | · 𝑐𝑜𝑠∡(𝑎 , �⃗� ) ∀ 𝑎 , �⃗� ∈ 𝑉3
ipri
148
Unitat 14: Espai afi euclidià
A partir d’ara, sempre treballarem amb la base usual, és a dir, amb la base ortonormal:
( ) ( ) ( ) 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k= = = =B
Expressió analítica del producte escalar:
Si 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) 𝑖 �⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) respecte d’una base ortonormal, aleshores:
Expressió analítica del mòdul: Si respecte d’una base ortonormal, aleshores:
Expressió analítica del cosinus de l’angle que formen dos vectors:
Si 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) 𝑖 �⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) respecte d’una base ortonormal, aleshores:
Vector perpendicular a un pla: Un vector n és perpendicular al pla , i s’escriu n ⊥ , quan és
perpendicular a qualsevol vector contingut en el pla.
Siga 0PQ Ax By Cz + + = qualsevol. Si 𝑃(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) 𝑖 𝑄(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3), tenim que
( ) ( ) ( )1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
00
0
Ap Bp Cp DA q p B q p C q p
Aq Bq Cq D
+ + + = − + − + − =
+ + + =
És a dir, el producte escalar del vector ( )1 1 2 2 3 3, ,PQ q p q p q p= − − − i del vector ( ), ,n A B C= és
zero, aleshores
( ), , 0n A B C Ax By Cz D= ⊥ + + + =
Exercicis:
137. Siguen els vectors i .
Calcula els productes escalars:
138. Calcula l’angle que formen aquestes parelles de vectors:
a) �⃗� = (4,−1,3)𝑖 𝑣 = (3,0,2)
b) �⃗� = (5,4, −1)𝑖 𝑣 = (2,−3,−2)
139. Determina per tant que l’angle que formen 𝑎 = (1,2,2)𝑖 �⃗� = (−3,1, 𝑎) mesure
60°.
140. Decideix si el triangle de vèrtexs i és rectangle,
acutangle o obtusangle.
141. Si �⃗� , 𝑣 són vectors ortogonals i unitaris, calcula els possibles valors del paràmetre
real a per tal que els vectors �⃗� + 𝑎𝑣 𝑖 �⃗� − 𝑎𝑣 formen un angle de 60º.
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b = + +
( )1 2 3, ,a a a a=
2 2 2
1 2 3a a a a= + +
( ) 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos ,
a b a b a ba b
a a a b b b
+ +=
+ + + +
( ) ( ) ( )1, 5,2 , 3, 4, 1 , 6,3, 5x y z= − = − = − ( )24,26, 6w = −
, , y x y x z w w w z
a
( ) ( )2, 4,0 , 3, 3,1A B− − ( )6, 2,4C −
ipri
149
Unitat 14: Espai afi euclidià
Indicacions: El producte escalar corresponent s’efectua “com si fora un producte de polinomis” i
per a calcular els mòduls cal tindre en compte la definició de mòdul)
Nota 1: posició relativa d’una recta i un pla
Fent servir el vector normal al pla, s’entén molt millor el que s’ha vist en l’apartat 13 de la unitat
anterior (1ra forma d’estudiar la posició relativa d’una recta i un pla), i que es pot escriure en la
forma:
Siga 𝑟 ≡ {𝑃, 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ } 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑖 𝜋 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 un pla, amb vector normal
( ), ,n A B C= .
Se poden presentar les següents posicions relatives:
• 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ ⊬ �⃗� ⟺ 𝑟 𝑖 𝜋 𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡
• 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ ⊥ �⃗� {𝑃 ∈ 𝜋 ⟹ 𝑟 ⊂ 𝜋 ( 𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑢𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝜋)
𝑃 ∉ 𝜋 ⟹ 𝑟 ∥ 𝜋 ( 𝑟 𝑖 𝜋 𝑠ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙 · 𝑙𝑒𝑙𝑠)
r
n
P
ru
Recta i pla, secants
(en un punt)
r
nP
ru
Recta paral·lela al pla
r
n
P
ru
Recta continguda en el pla
Nota 2: Posició relativa de dos plans
Siguen 0Ax By Cz D + + + = i ' ' ' ' ' 0A x B y C z D + + + = dos plans amb vectors
normals ( ), ,n A B C = i ( )' ', ', 'n A B C = , respectivament.
Es tenen les següents posicions relatives:
• 𝑛𝜋 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∦ 𝑛𝜋′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑠 ( 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎)
• 𝑛𝜋 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑛𝜋′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ { 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙 · 𝑙𝑒𝑙𝑠: 𝑃 ∈ 𝜋 ⟹ 𝑃 ∉ 𝜋′𝐶𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠: 𝑃 ∈ 𝜋 ⟹ 𝑃 ∈ 𝜋′
Plans secants (en una recta)
' ' '
A B C
A B C
1
2
Plans paral·lels
' ' ' '
A B C D
A B C D= =
12
Plans coincidents
' ' ' '
A B C D
A B C D= = =
ipri
150
Unitat 14: Espai afi euclidià
2. ESPAI VECTORIAL EUCLIDIÀ. ESPAI EUCLIDIÀ L’espai vectorial dotat amb el producte escalar s’anomena espai vectorial euclidià. L’espai afí
associat a l’espai vectorial euclidià, s’anomena espai euclidià o espai afí euclidià.
Definició:
Si A(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) 𝑖 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) respecte d’un sistema de referència ortonormal, es defineix la
distància entre A i B per:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2 3 3,d A B AB b a b a b a= = − + − + −
Propietats:
(1) 𝑑(𝐴, 𝐵) ≥ 0𝑖 𝑑(𝐴, 𝐵) = 0 ⟺ 𝐴 = 𝐵
(2)
(3)
Exercicis:
142. Calcula la distància entre els punts A(1,-2,-3) i B(-2,-1,3).
143. Calcula el valor del paràmetre a per tal que la distància entre els punts A(1,a,2) i
B(5,3,2)siga igual a cinc..
3. PRODUCTE VECTORIAL Definició:
Si 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) 𝑖 �⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) respecte d’una base ortonormal, es defineix el producte
vectorial11 de 𝑎 𝑖 �⃗� :
On, en “l’última igualtat” s’entén que estem calculant el determinant de les components ( escrites
per files) dels vectors respecte de la base ortonormal usual .
Propietats: Si 𝑎 , �⃗� ∈ 𝑉3 𝑖 𝜆 ∈ ℝ
(1)
(2) 𝑎 ∧ �⃗� é𝑠 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑎 𝑖 �⃗�
11 També es sol representar per
3V3E
( ) ( ), ,d A B d B A=
( ) ( ) ( ), , ,d A C d A B d B C +
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, ,a a a a a a
a bb b b b b b
= −
1 2 3
1 2 3
det
i j k
a a a
b b b
, ,i j k
( ) sen ,a b a b a b =
.
90º
90º
a b
a
b
ipri
151
Unitat 14: Espai afi euclidià
(3) Si 0 o 0 0a b a b= = =
(4) a b b a = −
(5) ( )a b a b a b = =
(6)
(7) 𝑎 ∧ �⃗� = 0⃗ ⟺ 𝑎 𝑖 �⃗� 𝑠ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠
(8) No verifica la propietat associativa
Interpretació geomètrica12:
Siguen 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑙𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 �⃗� 𝑖 𝑣 amb origen en . Aleshores, el mòdul del
producte vectorial és l’àrea del paral·lelogram determinat per𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ :
En efecte. Si considerem el paral·lelogram determinat pels vectors �⃗� 𝑖 𝑣 , tenim que:
u
v
OA
B C
'B
Área ' senu BB u v = =
i, per tant:
senu v u v = =
= Àrea del paral·lelogram determinat per �⃗� 𝑖 𝑣
Exercicis:
144. Calcula el producte vectorial dels vectors i .
145. Calcula el valor de a per tal que, en efectuar el producte vectorial
s'obtinga el vector .
12 El producte vectorial de dos vectors, es defineix en un sistema de coordenades orientat, com el vector perpendicular
al pla generat pels dos vectors definits amb la referida orientació. La definició ve donada per l’expressió
sen a b a b n =
On 𝜃 = ∡{𝑎 , �⃗� } 𝑖 �⃗� és un vecctor unitari ortogonal al pla generat pels mateixos.
La dependència de l’orientació, crea un “xicotet” problema quan es canvia de sistema de referència, donat que un
“vertader vector” no deuria canviar de direcció en canviar l’orientació. Per aquest motiu, el producte vectorial no és un
“vertader vector” i, és el que s’anomena pseudovector o vector axial, d’ací que el seu mòdul tinga unitats d’àrea i no de
longitud, com es dedueix de la propietat(1) i de la seua interpretació geomètrica.
( )
( )
a b c a b a c
b c a b a c a
+ = +
+ = +
O
OACB
u
v
OA
B C
( )1, 2,5u = − ( )3,1, 2v = −
a
( ) ( )1,2, y ,3,1u a v a= = ( )4,3, 1w = − −
|�⃗� ∧ 𝑣 | = à𝑟𝑒𝑎 (𝑂𝐴𝐶𝐵)
ipri
152
Unitat 14: Espai afi euclidià
4. ÀREA DEL TRIANGLE
Siga ABC el triangle de vèrtexs
A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) i C(c1, c2, c3)
Aleshores, l’àrea del triangle ve donada per:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1det
2 2
i j k
S AB AC b a b a b a
c a c a c a
= − − − − − −
Exercicis:
146. Calcular l’àrea del triangle de vèrtexs A( 2,1,0), B(3,2,1) i C(4,2,-1).
147. Donats els vectors , calcula l’àrea del triangle que
determinen dos representants dels mateixos, amb el mateix origen, en unir els seus extrems.
5. VECTOR DIRECTOR D’UNA RECTA
Si la recta ve donada com a intersecció dels plans𝜋1 𝑖 𝜋2,
1
2
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz Dr
A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
Es té que
és un vector director de la recta r , on ( )1
, ,n A B C = i ( )2
', ', 'n A B C = .
Exercici:
148. Obtindre un vector director de cadascuna de les següents rectes, emprant el
producte vectorial:
a) b) c)
6. PRODUCTE MIXTE
Definició:
El producte mixte dels vectors 𝑎 , �⃗� 𝑖 𝑐 es defineix per:
( ) ( )1,2,3 y 3,1,0u v= =
r
1 2rv n n =
1
2 3
2 1
x y zr
x y z
+ + =
− − =3
0
2 5
x yr
x y z
+ =
− + =2
8
4
x zr
y z
+ =
+ =
( ), ,a b c a b c =
A
B
C
x
y
z
ipri
153
Unitat 14: Espai afi euclidià
Interpretació geomètrica:
Siguen 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ els representants de 𝑎 , �⃗� 𝑖 𝑐 amb origen en . Aleshores, el valor absolut
del producte mixte de 𝑎 , �⃗� 𝑖 𝑐 és igual al volum del paral·lelepípede determinat
per 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
( ) , ,V OBDCAFEG OA OB OC =
Donat que
𝑉( 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙 · 𝑙𝑒𝑙𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑒) = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =
= |�⃗� × 𝑐 | · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =
Expressió analítica del producte mixte: Siguen , i .
Aleshores:
En efecte:
Propietats:
(1) Antisimètrica
, , , , , , , , , , , ,a b c c a b b c a b a c a c b c b a = = = − = − = −
(2) Trilineal
(3) , , 0 , y a b c a b c = són linealment dependents (coplanaris o proporcionals)
7. VOLUM DEL TETRAEDRE Siga ABCD el tetraedre de vèrtexs i .
O
OBDCAFEG
cos , , , b c a a b c a b c = =
a
b
c
B
A
C D
E
F
G
O
( )1 2 3, ,a a a a= ( )1 2 3, ,b b b b= ( )1 2 3, ,c c c c=
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , det
a a a
a b c b b b
c c c
=
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
1 2 3
3 3 3 3 3 3
, ,b c a c a b
a b c a b c a i a j a k i j kb c a c a b
= = + + − + =
( )1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
2 3 2 3 1 2
1 2 3
det det , ,
a a ab b b b b b
a a a b b b a b cc c c c c c
c c c
= − + = =
', , , , ', ,a a b c a b c a b c + = +
, ', , , , ',
, , ' , , , , '
a b b c a b c a b c
a b c c a b c a b c
+ = +
+ = +
, , , , , , , ,a b c a b c a b c a b c = = =
( )1 2 3, , ,A a a a ( )1 2 3, , ,B b b b ( )1 2 3, ,C c c c ( )1 2 3, ,D d d d
ipri
154
Unitat 14: Espai afi euclidià
Aleshores, el volum del tetraedre ve donat per:
És a dir , és un sisè del valor absolut del producte mixte dels tres vectors.
O en coordenades:
Exercicis:
149. Calcula el volum del tetraedre que determinen els vectors i
.
150. Calcula el volum del tetraedre que determina el pla en tallar als
plans coordenats.
8. VOLUM D’UNA PIRÀMIDE Considerem la piràmide que te per base el quadrilàter
ABCD , i un altre vèrtex P no situat en el pla o estan els
punts A, B, C i D. e
El volum de la piràmide es:
On la superfície de la base es pot calcular amb la fórmula
de l’apartat 4 com a l’àrea d’un quadrilàter i l’altura és la
distància del vèrtex al pla de la base, per a la que també
tenim un algoritme.
1, ,
6V AB AC AD =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
11det
16
1
a a a
b b bV
c c c
d d d
=
( ) ( )2,3,3 , 2,9,1u v= = −
( )1, 2,1w = −
2 4 8 0x y z+ + − =
A
B
C
D
A
B
C
D P
x
y
z
𝑉𝑝𝑖𝑟à𝑚𝑖𝑑𝑒 =1
3𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 · ℎ
ipri
155
Unitat 14: Espai afi euclidià
9. EQUACIÓ NORMAL DEL PLA Siga el pla determinat pel punt i els vectors directors𝑣 𝑖 �⃗⃗� i siga un vector perpendicular
al pla. Aleshores, l’equació del pla es pot escriure de la forma
Si, a més, el vector és unitari (o el dividim pel seu mòdul), l’equació anterior rep el nom
d’equació normal del pla.
Si , es té que és un vector perpendicular al pla i, per tant,
l’equació normal del pla amb vector normal que passa pel punt ve donada per:
( ) ( ) ( )1 2 3 0A x a B y a C z a D− + − + − + =
n
( ), ,A v w
Exercici:
151. Calcula l’equació normal del pla que passa pel punt .
10. ANGLE ENTRE RECTES Siguen r i s dues rectes de l’espai euclidià. L’angle que formen aquestes dues rectes, tant si es tallen
com si s’encreuen, es redueix al cas en què es tallen, donat que, si s’encreuen, podem triar l’angle
que forma una d’elles amb la paral·lela de l’altra, per un punt de la primera.
L’angle que formen les rectes r i s coincideix amb l’angle que formen les rectes r i s’, on s’ és una
recta paral·lela a la recta s que passa per un punt P de la recta r.
Com les rectes s i s’ són paral·leles tenen el mateix vector director, doncs l’angle que formen les
rectes r i s ve donat per l’angle que formen els seus respectius vectors directors.
Definició:
A n
( ) 0n x a − =
n
0Ax By Cz D + + + = ( ), ,n A B C=
n ( )1 2 3, ,A a a a
2 3 5 0x y z− + + = ( )1, 1,2A −
P
r
s
's
ru
'ssu u=
su
•Q
•
ipri
156
Unitat 14: Espai afi euclidià
Anomenem angle que formen dues rectes al menor dels angles que formen els seus vectors
directors:
Caracterització de la perpendicularitat de dues rectes:
Exercicis:
152. Estudia la posició de les rectes r i s, i calcula l’angle que formen:
153. Determina l’angle que formen les següents parelles de rectes:
a)
b)
11.ANGLE DE RECTA I PLA Definició:
Siga una recta, un pla, un vector normal a i
l’angle agut que formen r i π. Aquest angle es defineix com a el complementari de l’angle agut
que formen un vector de la recta i un vector normal al pla:
, arccosr s
r s
u ur s
u u
=
, 90ºr sr s u u⊥ =
33
1 215
14 5
x tx y
r s y ty z
z t
=− =
= + + = = − +
1 2 1 1 1 2= =
6 4 2 3 2 1
x y z x y zr s
− + − + − − = =
− − −
12 1
4 3 4 2
2 2
x tx y z
r y t s
z t
= −+ +
= − = =− = +
+r x a u = 0Ax By Cz D + + + = n
( )sen cos ,u n =
( )sen cos 90º
u n
u n
= − =
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
arcsenAu Bu Cu
u u u A B C
+ +=
+ + + +
nu
90º −
r
'r
ipri
157
Unitat 14: Espai afi euclidià
Condició de perpendicularitat de recta i pla:
31 2||uu u
r u nA B C
⊥ = =
Condició de paral·lelisme de recta i pla:
1 2 3|| 0 0r u n Au Bu Cu = + + =
Exercicis:
154. Calcula l’angle que formen la recta amb el pla .
155. Calcula, en cada cas, l’angle que formen la recta i el pla:
a)
b)
12.ANGLE DE DOS PLANS Definició:
Siguen dos plans i �⃗� 𝑖 𝑛′⃗⃗ ⃗ vectors perpendiculars
a 𝜋 𝑖 𝜋′ respectivament (per exemple, i ). L’angle agut format pels dos plans està
determinat per
O, en coordenades:
3 2
7 1 3
x y z− −= =−
3 1 0x y z+ − + =
1 3 2 1 0
2 4 2
x y zr x y z
+ + = = − − + =
−
1 2 2 0
2
x t
r y t x y z
z
=
= + − − = = −
0, ' ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D + + + = + + + =
( ), ,n A B C= ( )' ', ', 'n A B C=
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
' ' 'cos
' ' '
AA BB CC
A B C A B C
+ +=
+ + + +
'
n
'n
𝑐𝑜𝑠𝛼 = |𝑐𝑜𝑠∢ (�⃗� , 𝑛′⃗⃗ ⃗)|
ipri
158
Unitat 14: Espai afi euclidià
Condició de perpendicularitat de dos plano:
Exercici:
156. Calcula l’angle que formen els plans:
a)
b)
13. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UN PLA I D’UN PLA A UNA
RECTA Definició:
La distància del punt al pla
És la distància del punt P al punt Q, que és el punt d’intersecció del pla amb la perpendicular a 𝜋
des de P.
En coordenades , tenim:
Com a conseqüència:
Definició:
La distància d’un pla a una recta paral·lela a ell coincideix amb la distància d’un punt
qualsevol Pr ∈ 𝑟 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎 .
Exercicis:
157. Calcula la distància del punt al pla
.
158. Calcula la distància del punt al pla
.
159. Calcula l’altura des del vèrtex del tetraedre determinat pels punts
.
Indicació: Calcula el pla determinat pels punts A, B i C i obtin la distància del punt D a eixe pla.
' ' 0 ' ' ' 0n n n n AA BB CC⊥ = + + =
3 y 2 4 0z x y z = − + + =
2 1 0 y ' 3 0x y z x z − + − = + + =
( )1 2 3, ,P p p p
0Ax By Cz D + + + =
( ) 1 2 3
2 2 2,
Ap Bp Cp Dd P
A B C
+ + +=
+ +
r
( )2,1,0P
2 3 2 0x y z − + − =
( )2,1,0P
2
3 2
1 2
x
y
z
= − +
= − = + −
D
( ) ( ) ( ) ( )2,0,0 , 1,3, 2 , 1, 4, 1 y 0,0,0A B C D− − −
𝑑(𝑟, 𝜋) = 𝑑(𝑃𝑟 , 𝜋) on 𝑃𝑟 ∈ 𝑟
ipri
159
Unitat 14: Espai afi euclidià
14. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UNA RECTA Definició / caracterització:
Siga un punt i r la recta determinada per un punt i un vector director
La distància del punt a la recta es pot expressar
per:
on B és un punt arbitrari de la recta diferent de A i
és l’àrea del paral·lelogram determinat per
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , que es pot escriure :
En efecte. L’àrea del paral·lelogram és:
À𝑟𝑒𝑎 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 · 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = |𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ | · ℎ
À𝑟𝑒𝑎 = |𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗|
I, com , igualant i aïllant :
Exercicis:
160. Calcula la distància del punt a la recta .
161. Calcula la distància del punt a la recta .
162. Calcula l’àrea del triangle que formen A(2,0,0), B(-1,3,2) i C(1,-4,-1).
Indicació: Pren, per exemple, com a base el costat AB i l’altura serà la distància del vèrtex C a la
recta que determinen els punts A i B.
15. DISTÀNCIA ENTRE DUES RECTES Entre rectes secants o coincidents:
Siguen r i r’ dues rectes secants o coincidents. Es té que
( ), ' 0d r r =
Entre rectes
( )1 2 3, ,P p p p ( )1 2 3, ,A a a a
( )1 2 3, , uru u u=
P r
( )( )
,S ABCP
d P rAB
=
( )S ABCP
( ),r
r
u APd P r
u
=
PABC
( ),h d P r= h
r
r r
r
u APu h u AP h
u
= =
( )2,1,0P2
2 1
y zr x
− = =
( )1,1, 1P −2 1
3 1 2
x y zr
+ − = =
−
r
A
B
P
C
h
•
xy
z
ipri
160
Unitat 14: Espai afi euclidià
paral·leles:
Si r i r’ són dues rectes paral·leles, aleshores
( ) ( )'
', ' ,r r r
r
r
u P Pd r r d r P
u
= =
On Pr∈ 𝑟 𝑖 𝑃𝑟′ ∈ 𝑟′.
Entre rectes que s’encreuen:
Siguen r i r’ dues rectes que s’encreuen. La distància entre les rectes r i r’ és igual a la distància
entre dos plans paral·lels 𝜋 𝑖 𝜋′ que contenen, respectivament, a r i r’.
Si {
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑢1𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑢2 𝑧 = 𝑎3 + 𝜆𝑢3
𝑖 {𝑥 = 𝑎′1 + 𝜇𝑢′1𝑦 = 𝑎′2 + 𝜇𝑢′2
𝑧 = 𝑎′3 + 𝜇𝑢′3
tenim que:
( )( )
1 2 3
1 2 3
' ' 1 1 2 2 3 3
2 2 2' 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
det ' ' '
det , , ' ' ', '
' ' ' ' ' '
r r r r
r r
u u u
u u u
u u A A a a a a a ad r r
u u u u u u u u
u u u u u u
− − − = =
+ +
on és un punt de i és un punt
de .
( ) ( ) ( )1 2 3 ' 1 2 3 1 2 3, , , ' , ' , ' , ,r ru u u u u u u u A a a a= = r ( )1 2 3' ', ', 'A a a a
'r
P
Q
ur
v
'
'r
v
r
'r
rP
'rP
( ), 'd r r
ru
ipri
161
Unitat 14: Espai afi euclidià
Entre rectes que
s’encreuen:
La distància entre dues rectes que s’encreuen, r i r’, coincideix, també, amb la distància d’una
d’elles, r, al pla que conté a l’altra, r’, i és paral·lel a r.
Teorema:
Donades dues rectes que s’encreuen, sempre existeix un pla que conté a una d’elles i és paral·lel
a l’altra.
Exercicis:
163. Calcula la distància entre els següents parells de rectes:
a) 𝑟 ≡𝑥
2=
𝑦
3=
𝑧
−1 𝑖 𝑠 ≡
𝑥
1=
𝑦+1
−3=
𝑧
−1
b) 𝑟 ≡𝑥+1
−1=
𝑦+1
−1=
𝑧+1
−1 𝑖 𝑠 ≡ {
2𝑥 − 3𝑦 = 02𝑦 − 3𝑧 = 0
c) 𝑟 ≡𝑥−1
2=
𝑦
3=
𝑧
−1 𝑖 𝑠 ≡
𝑥
2=
𝑦
2=
𝑧
−1
164. Calcula la distància entre els següents parells de rectes:
a) 𝑟 ≡ {2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
𝑧 = 0𝑠 ≡ {
2𝑥 − 3𝑦 = 02𝑦 − 3𝑧 = 0
b) és la recta que passa per l’origen de coordenades i el punt , i és la recta
que passa pel punt i és perpendicular al pla .
16. DISTÀNCIA ENTRE DOS PLANS Plans coincidents o que es tallen:
Si els plans són coincidents o es tallen, la distància és zero:
( ), ' 0d =
Plans paral·lels:
Si els plans són paral·lels, la distància entre ambdós és igual a la distància entre qualsevol punt
d’un dels plans a l’altre:
Exercici:
165. Calcula la distància entre els següents plans:
a) 𝜋 ≡ 2𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 𝑖 𝜋′ ≡ 4𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 = 12
b) π≡3x-3y=0 i π'≡x-y=1
17. PERPENDICULAR COMUNA Anomenem perpendicular comuna a les rectes r i r’ a la recta que és perpendicular a elles i talla a
les dues.
r ( )1,2,1P − s
( )1,1,1Q 0x =
P𝑑(𝜋, 𝜋′) = 𝑑(𝑃𝜋, 𝜋
′)𝑜𝑛 𝑃𝜋 ∈ 𝜋
ipri
162
Unitat 14: Espai afi euclidià
Abans de donar un mètode pe a calcular-la cal fer notar que per tal que el problema tinga solució
única les rectes r i r’ han de ser secants o que s’encreuen en l’espai.
Per a calcular la perpendicular comuna a les
dues rectes:
(1) Calculem un pla paral·lel a les dues
rectes.
(2) Calculem un pla perpendicular a i
que continga a .
(3) Calculem un pla perpendicular a i
que continga a .
(4) La recta cercada és la intersecció dels
plans 𝛽 𝑖 𝛽′.
“Una altra forma” de calcular la perpendicular comuna a dues rectes és la següent:
on és un punt de , és un punt de , és un vector director de , és un vector
director de i és un punt genèric de la perpendicular comuna .
Exercicis:
166. Calcula la perpendicular comuna als parells de rectes que pots formar amb les
rectes:
167. Calcula unes equacions de la recta t perpendicular comuna a les rectes
18. PUNT SIMÈTRIC D’UN PUNT RESPECTE D’UN
ALTRE PUNT El simètric del punt respecte d’un altre punt és el punt tal que és el punt mitjà del
segment .
r
'
'r
'
'r
r
Perpendicular común
( )
( )
'
' ' '
det , , 0
det , , 0
r r r r
r r r r
A X u u up
A X u u u
=
=
rA r 'rA 'r ru r 'ru
'r X p
1 2 3
1 1 1 1 2
2 2 2 2 1 2
x y z z y zr r x y r x
− − − = = − = = − = =
−
1 3 2 1
1 2 2 3 1 1
x y z x y zr s
− − − + = = = =
− −
P M 'P M
'PP
P
'P
Md
d
ipri
163
Unitat 14: Espai afi euclidià
Donats dos punts en l’espai A(a1,a2,a3) i B(b1,b2,b3) , el punt mitjà del segment és:
Exercicis:
168. Calcula el punt simètric del punt respecte del punt .
169. Obtin el punt simètric de respecte del punt .
170. Calcula els vèrtexs del triangle simètric al format pels punts
respecte de l’origen de coordenades.
19. PUNT SIMÈTRIC RESPECTE D’UNA RECTA Dos punts P i P’ són simètrics respecte d’una recta , si la recta és perpendicular al segment
en el seu punt mitjà. Aquesta recta rep el nom de recta de simetria.
Donats una recta i un punt que no hi pertany, per a determinar el simètric de P respecte de r,
seguim els següents passos:
1) Obtenim l’equació del pla perpendicular a i que passa per
2) Calculem el punt d’intersecció de i .
3) Determinem el punt simètric de respecte de .
Exercicis:
171. Calcula el punt simètric del punt respecte de la recta .
172. Calcula els vèrtexs del triangle simètric al format pels punts
respecte de la recta.
20. PUNTS SIMÈTRICS RESPECTE D’UN PLA Dos punts P i P’ són simètrics respecte d’un pla , si el pla és perpendicular al segment en
el seu punt mitjà. Aquest pla rep el nom de pla de simetria.
AB
3 31 1 2 2, ,2 2 2
a ba b a bM
++ +
( )0,2, 1A − ( )1,0,2B −
( )0,0,1A ( )1, 2,1B −
( ) ( ) ( )0, 1,2 , 1, 2,0 , 2,0, 1A B C− − −
r r
'PP
r P
r .P
M r
'P P M
( )2,1,0P2
1 2 1
x y zr
− = =
( ) ( ) ( )0, 1,2 , 1, 2,0 , 2,0, 1A B C− − −
'PP
P
'P
M
d
d
r
ipri
164
Unitat 14: Espai afi euclidià
Donats un pla i un punt que no hi pertany, per a determinar el
simètric de respecte de seguim els següents passos:
1) Obtenim l’equació de la recta perpendicular al pla i que
passa per .
2) Calculem el punt d’intersecció de i .
3) Determinem el punt simètric de respecte de .
Exercicis:
173. Calcula el simètric del punt respecte del pla
174. Si els punts A(1,0,5) i A’(3,2,-3) són simètrics, Calcula una recta i el pla respecte
dels quals aquests punts són simètrics.
175. Calcula el simètric del punt respecte del pla .
21. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UN
PLA Donats un punt i un pla , anomenarem projecció ortogonal de
sobre , al punt que verifica:
on és la recta perpendicular a que passa per .
Exercicis:
176. Calcula la projecció ortogonal del punt sobre el pla
.
177. Calcula la projecció ortogonal dels punts A(0,0,0), B(-1,1,1) i C(0,2,0) sobre el pla
, determinat per les rectes:
22. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UNA
RECTA La projecció ortogonal d’un punt sobre una recta és el punt d’intersecció de la recta amb el pla
perpendicular a ella que conté al punt.
Per a obtenir-ho:
- Calculem el pla perpendicular a i que conté a
P
P r
P
M r
'P P M
( )2,1,0P 2 3 2 0x y z − + − =
( )0,1, 3A − 2 0x y z + + − =
P
P Q
Q r =
r P
( )0,0,0P
2 3 2 0x y z − + − =
2 33 2 1
2 03 2 1
x zx y zr s
y z
+ =− − − = =
− =
r P
P
'P
r
M
P
'P
r
d
d
Q
P
ipri
165
Unitat 14: Espai afi euclidià
- Calculem la intersecció del pla amb la recta .
- La solució del sistema anterior és la projecció .
Com a conseqüència:
La distància d’un punt a una recta és la distància entre el punt i el punt projecció
ortogonal de sobre .
Exercicis:
178. Calcula la projecció ortogonal del punt sobre la recta
.
179. Troba la projecció ortogonal dels punts A(0,0,0), B(-1,1,1) i C(0,2,0) sobre la recta
:
a) b)
23. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UNA RECTA SOBRE UN
PLA Donats una recta i un pla , anomenarem projecció ortogonal de sobre a la recta (o
punt) que definim de la següent forma:
(i) Si aleshores (en aquest cas és un punt on es projecten tots els punts
de la recta)
(ii) Si aleshores , siguent el pla que conté a la recta i que verifica
.
Exercicis:
180. Calcula el punt on es tallen les projeccions de les rectes
r'P
P r P M r
P r
( )0,0,0O
1 3
2 1 1
x y zr
− − = =
−
r
3 2 1
3 2 1
x y zr
− − − = =
2 3
0
x zr
y z
+ =
− =
r r s
r ⊥ s r = s
s
r
r ⊥ rs = r r
r ⊥
s
r
r
ipri
166
Unitat 14: Espai afi euclidià
sobre el pla .
181. Calcula la projecció ortogonal de la recta sobre el pla
d’equació .
182. Calcula la projecció ortogonal de la recta
sobre el pla d’equacions paramètriques .
82 2 0
11 0
1
x tx y
r s y tx y
z t
= − ++ − =
= + − + = = − +
2 0x y z − + + =
3 2 1
3 2 1
x y zr
− − − = =
2 3 2 0x y z − + − =
2 2 2
1 1 1
x y zr
− − − = =
−
2 3
3 2 2
x
y
z
= −
= − + = + −
ipri
167
Unitat 15: Probabilitat
Unitat 15: PROBABILITAT
1. INTRODUCCIÓ
La Teoria de la Probabilitat s'interessa per l'anàlisi de la noció intuïtiva de “atzar” o “aleatorietat”,
la qual com totes les nocions s'origina en l'experiència. La idea quantitativa d'atzar va prendre forma
primer amb les taules de jocs i va començar amb Pascal i Fermat (1645) com a teoria dels jocs
d'atzar. Des de llavors, la paraula probabilitat apareix en el nostre llenguatge ordinari en multitud
d'ocasions. Així, afirmacions del tipus que la probabilitat d'obtindre dos escolans al llançar dos daus
no carregats és un entre 36, de que hi ha una probabilitat lleugerament inferior a un mitjà que un
nadó de bolquers siga xic i de que en els pròxims dos anys la probabilitat que es puga curar el
càncer és xicoteta, pot dir-se que expressen juís de probabilitat. No obstant això, cada un dels
exemples anteriors es refereix a un tipus diferent de juí de probabilitat. El primer es refereix a un juí
de probabilitat que podríem denominar clàssic, en el que els possibles resultats són equiprobables
(tots tenen la mateixa probabilitat d'ocórrer) . El segon és una afirmació de tipus freqüentista i es
refereix a la freqüència relativa amb què una certa propietat apareix entre els membres d'una classe
determinada, i el tercer constitueix un exemple del que podríem cridar un juí de credibilitat i és una
mesura del grau de confiança que tenim en la veritat d'una certa proposició o en el succés d'un
succés determinat.
2. EXPERIMENTS En general, anomenarem experiment a qualsevol procediment especificat o conjunt d’operacions
que proporciona uns determinats resultats.
Anomenarem experiment determinista a aquell on es compleixen les següents dues condicions:
a) es coneixen tots els possibles resultats de l'experiència.
b) se sap amb certesa el resultat que es va a obtindre al repetir l'experiència en condicions
prefixades, quedant el fenomen determinat per elles.
Exemples:
1. Tirar una pedra des d'un edifici (sabem que se'n va cap avall, i es pot calcular el temps que
tardarà a arribar a terra...) .
2. Calfar un casset d'aigua (sabem que la temperatura augmenta) .
3. Colpejar una pilota (sabem que es va a moure, i inclús coneixent les forces que actuen, podem
conèixer precisament on caurà)
Anomenarem experiment aleatori, probabilista o estocàstic a aquell en què es compleixen les
següents dues condicions:
a) es coneixen tots els possibles resultats de l'experiència.
ipri
168
Unitat 15: Probabilitat
b) repetit en igualtat de condicions pot presentar resultats distints en cada experiència
particular i al repetir l'experiència en condicions fixades no pot predir-se el resultat que es va a
obtindre.
Exemples:
1. Imaginem que llancem un dau a l'aire (normal, de 6 cares i no trucat) . Podem predir el resultat
que obtindrem? Evidentment no.
2. Tirar una moneda a l'aire i observar quina cara cau cap amunt.
3. Omplir una quiniela de futbol,
4. Jugar una partida de pòquer i, en general, qualsevol joc en què intervinga l'atzar.
La Teoria de la Probabilitat s'ocupa d'assignar un cert número a cada possible resultat que puga
ocórrer en un experiment aleatori, a fi de quantificar dites resultats i saber si un succés té més
possibilitats d'ocórrer que un altre o relacions semblants. Amb este fi, introduirem algunes
definicions.
3. ESPAI MOSTRAL. SUCCESSOS. ESPAI DE SUCCESSOS
Definicions:
S'anomena succés elemental a cada un dels possibles resultats indescomponibles que poden
obtindre's al realitzar un experiment aleatori.
Denominem espai mostral al conjunt de resultats possibles que s’obtenen en realitzar un
experiment aleatori i el denotarem per (encara que també es sol denotar per E ).
Anomenem succés a qualsevol subconjunt de l'espai mostral, és a dir, un succés és un conjunt de
punts mostrals amb alguna propietat.
Denominem espai de successos al conjunt de tots els successos d'un experiment aleatori, i es
designa per ( ) , on és l'espai mostral associat a l'experiment aleatori.
En tot experiment aleatori sempre hi ha, almenys, dos successos:
Anomenem succés impossible al succés que no conté cap succés i ho representarem per ( )
, i anomenem succés segur al succés ( ) , ja que conté a tots els successos elementals de
l'experiment.
Exercicis:
183. Obtindre l'espai mostral dels punts obtinguts al tirar un dau.
184. I en el cas del llançament d'una moneda?
185. Descriure l'espai mostral de l'experiment consistent a extraure una bola d'una bossa
en què hi ha 3 roges (R) , 2 blanques (B) i 4 verds (V)
ipri
169
Unitat 15: Probabilitat
186. Escriure l'espai mostral associat a l'experiment de traure una carta d'entre les deu
del pal de copes d'una baralla espanyola.
Operacions amb successos:
Definim la unió dels successos A i B , 𝐴 ∪ 𝐵, com el succés format pels successos elementals que
pertanyen a algun dels successos . Este succés ocorre quan ocorre o quan ocorre Ao quan ocorrre B.
Definim el succés intersecció dels successos A i B, A B , com el succés que ocorre sempre que
ocorren A i B , és a dir, està format pels successos elementals que pertanyen a A i a B.
Direm que els successos A i B són:
a) Compatibles quan A B .
b) Incompatibles quan A B = .
Definim el succés complementari de A , *cA A A= = , com el succés format pels successos
elementals que estan en i que no estan en A, és a dir, si A no es realitza, es realitza sempre �̅�.
Definim la diferència dels successos A i B, A B− , com el succés que es presenta quan ho fa A però
no B, és a dir: A B A B− = .
Exercicis:
187. Siguen els successos: A = {ser oient de Cadena Dial}, B = {ser oient de la Europa FM}
i C = ={ser oient de KISS FM}. Expressa mitjançant les operacions de successos:
1. Ser oient de, almenys, una emissora.
2. Ser oient de Cadena Dial, però no de Europa FM ni de KISS FM.
3. Escoltar, només dues emissores.
4. Escoltar alguna emissora, però no les tres.
188. En un sorteig de loteria ens fixem en la xifra en què acaba la “grossa”.
1. Quin és l’espai mostral?
2. Descriu els successos A = “menor que 3”, B = “parell” i C = “major que 4” escrivint tots els
seus elements.
3. Calcula els successos 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐵 ∩ 𝐶, �̅� ∩ �̅� 𝑖 𝐴 ∪ 𝐶̅.
Les lleis de DE MORGAN i altres propietats:
1) Lleis de De Morgan
ipri
170
Unitat 15: Probabilitat
( ) ( ) y A B A B A B A B = =
2) Commutatives
y A B B A A B B A = =
3) Associatives
( ) ( ) ( ) ( ) y A B C A B C A B C A B C = =
4) Distributives
( ) ( ) ( )A B C A B A C =
( ) ( ) ( )A B C A B A C =
5) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B− − =
A B
A B
A B−B A−
Exercicis:
189. Aplicant les lleis de De Morgan, expressa el succés ( )c
H C , on H és el succés ser
home i C estar casat.
190. Considerem entre els habitants d’un municipi, els successos A = {ser soci del casino},
B = ={ser soci del club de futbol local} i C = {ser soci d’alguna associació juvenil}. Expressa
en funció de A, B i C les següents situacions:
1. Ser soci d’alguna d’eixes associacions.
2. Ser soci de les tres associacions.
3. Ser soci, només, del casino.
4. Ser soci de, com a màxim, una o dos associacions.
5. No ser soci de cap de les tres.
6. Ser soci d’una única associació.
4. EXPERIMENTS COMPOSTOS. ESPAIS PRODUCTE
Anomenarem experiment compost al format per diversos experiments simples. L'espai mostral
associat a un experiment compost es denomina espai compost o espai producte.
Si 1 és l'espai mostral associat al primer experiment i 2 l'associat al segon experiment, llavors
l'espai mostral compost és 1 2 =
Exercicis:
ipri
171
Unitat 15: Probabilitat
191. Troba els espais mostrals (producte) dels experiments següents:
a) Tirar dos monedes i apuntar el resultat de la seua cara superior.
b) Tirar un dau i una moneda.
c) Tirar tres monedes.
d) Tirar dos daus.
192. Escriure l'espai mostral associat a l'experiment de llançar dos daus de diferents colors
i observar la parella de números que s'obté.
193. Escriure l'espai mostral associat a l'experiment de llançar dos daus de diferents colors
i sumar els números que s'obtenen.
194. Considerem els successos de l'experiment de llançar dos monedes:
A = {sacar una cara i una creu}
B = {al menys una creu}
Calcular:𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, �̅� ∩ �̅� 𝑖 𝐴 − 𝐵.
5. FREQÜÈNCIES D’UN SUCCÉS Repetim un experiment aleatori n – vegades i siga A un succés qualsevol associat aquest
experiment.
S’anomena freqüència absoluta de A al número
( )af A = nº de vegades que es verifica el succés A
S’anomena freqüència relativa de A al número
( )( )a
r
f Af A
n=
Propietats de la freqüència relativa:
1) ( )0 1rf A
2) La suma de les freqüències relatives de tots els successos elementals d’un experiment
aleatori és igual a 1.
3) La freqüència relativa d’un succés és igual a la suma de les freqüències relatives dels
successos elementals que el componen.
4) ( ) ( )1 y 0r rf f = =
5) Si A i B són successos incompatibles, aleshores:
( ) ( ) ( )r r rf A B f A f B = +
6) Si A i B són successos compatibles, aleshores:
( ) ( ) ( ) ( )r r r rf A B f A f B f A B = + −
7) La suma de les freqüències relatives de dos successos contraris és igual a 1:
( ) ( ) 1r rf A f A+ =
ipri
172
Unitat 15: Probabilitat
Exercici:
195. S’ha llaçant un dau 100 vegades i s’han obtés els següents resultats:
Cara 1 2 3 4 5 6
af 13 15 17 16 20 19
Calcula les freqüències relatives dels successos següents:
a) A = eixir parell b) B = eixir senar
c) C = eixir 2 o 4 d) cA A i
cA B
6. DEFINICIÓ EMPÍRICA DE VON MISES: CONCEPTE
FREQÜENTISTA DE PROBABILITAT
Llei de regularitat de les freqüències relatives
La freqüència relativa d’un succés s’apropa més i més a un valor fixe anomenat probabilitat, a
mesura que augmentem les repeticions d’un experiment aleatori, és a dir:
( ) ( )lim rn
f A P A→
=
Per a Von Mises, la probabilitat d'un succés en relació amb un experiment aleatori només es pot
conèixer a través de l'experiència, és a dir, la mesura de la incertesa que ens representa la
probabilitat del succés, queda determinada al realitzar un gran nombre de proves de l'experiment i
examinar la freqüència relativa del succés en qüestió.
Esta concepció de la probabilitat té, dins de la concepció axiomàtica (que veurem a continuació) ,
una caracterització matemàtica resultat de les anomenades lleis dels grans nombres, que estableixen
la convergència de la freqüència relativa d'un succés a la seua probabilitat.
7. DEFINICIÓ CLÁSSICA: LAPLACE
Està basat en el concepte de resultats igualment versemblants i motivat pel Principi de la raó
insuficient, el qual postula que, si no hi ha un fonament per a preferir una entre diverses
possibilitats, totes han de ser considerades equiprobables.
Exemples
1) Així, en el llançament d'una moneda perfecta la probabilitat de cara ha de ser igual a la de
creu i, per tant, ambdós iguals a ½.
ipri
173
Unitat 15: Probabilitat
2) De la mateixa manera, la probabilitat de cada un dels sis successos elementals associats al
llançament d'un dau ha de ser igual a 1/6.
Regla de LAPLACE
Si els successos elementals de l'espai mostral són equiprobables (és a dir, tenen la mateixa
probabilitat) , llavors la probabilitat d'un succés qualsevol A ve donada pel quocient entre el nombre
de casos favorables de què ocórrega i el nombre de casos possibles, açò és:
Propietats de la probabilitat:
1) ( )0 1P A
2) La suma de les probabilitats de tots els successos elementals d’un experiment aleatori és
igual a 1.
3) La probabilitat d’un succés és igual a la suma de les probabilitats dels successos
elementals que el componen.
4) ( ) ( )1 y 0P P = =
5) Si A i B són successos incompatibles, aleshores:
( ) ( ) ( )P A B P A P B = +
6) Si A i B són successos compatibles, aleshores:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = + −
7) La suma de les probabilitats de dos successos contraris és igual a 1, és a dir,
( ) ( ) 1P A P A+ =
Problemes:
196. Es considera un experiment aleatori que consisteix a llançar un dau. Es demana la
probabilitat d'obtindre:
a) Número imparell
b) Nombre primer
c) Múltiple de 3
d) Múltiple de 5
197. Es realitza un experiment aleatori que consisteix en l'extracció d'una carta d'una
baralla espanyola. Es demana trobar les probabilitats següents:
a) Obtindre un or
b)Obtindre un as
198. Considerem l'experiment aleatori que consisteix a llançar dos daus i anotar la suma
dels punts de les cares superiors. Trobar la probabilitat dels successos següents:
a) Obtindre suma igual a 8
b) Obtindre suma menor o igual a 4
𝑃(𝐴) =𝑛. 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
ipri
174
Unitat 15: Probabilitat
199. Una urna conté dos boles blanques i dos roges. Es fan quatre extraccions amb
reemplaçament. Troba: els successos A = {només ha eixit una bola roja} i B = {la segona
extracció és bola roja} i calcula, 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑖 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).
200. S'ha encarregat la impressió d'una enquesta. L'impressor informa que cada miler de
fulls la màquina espatla 12 fulls. Troba la probabilitat que triat a l'atzar un full de
l'enquesta:
a)Estiga malament imprès
b)Estiga correctament imprès
201. Trobar la probabilitat que al llançar tres monedes s'obtinga almenys una cara.
8. DEFINICIÓ AXIOMÀTICA: KOLMOGOROV Definició:
S'anomena mesura de probabilitat a qualsevol funció que associe a cada succés A , de l'espai de
successos (finit) , un número real de [0,1] que anomenem probabilitat de A i representem per
P(A) , que compleix els axiomes següents:
1) La probabilitat d'un succés qualsevol és major o igual que zero: ( ) 0P A
2) La probabilitat del succés segur és igual a la unitat: ( ) 1P =
3) La probabilitat de dos successos incompatibles és igual a la suma de les probabilitats de cada
un d'ells, és a dir, si A i B són incompatibles, llavors:
( ) ( ) ( )P A B P A P B = +
Propietats:
Les mateixes que en l’apartat anterior.
Problemes:
202. Un jugador de futbol, especialista a llançar penals, fica 4 de cada 5 que tira. Per als
pròxims tres penals que tire, es consideren els successos següents: A = {només fa gol un d’ells
}, B = {ne fa dos dels tres} i C = {fa gol el primer}. Troba la probabilitat dels successos A, B i
C, A B , A C i B C .
203. En una joieria hi ha dos alarmes. La probabilitat que s'active la primera és 1
3 , de
que s'active la segona és 2
5i de que s'activen les dos al mateix temps és
1
15 . Quina és la
probabilitat que s'active alguna de les dos? I de que no s'active cap d'elles?
ipri
175
Unitat 15: Probabilitat
9. PROBABILITAT CONDICIONADA Siga A un succés amb ( ) 0P A . Per a qualsevol altre succés B es defineix la probabilitat de B
condicionada a A per:
( ) ( )
( )
P A BBP
A P A
=
Com a conseqüència:
( ) ( ) ( )BP A B P A PA
=
Altres propietats de la probabilitat condicionada que cal conèixer:
1) ( ) ( )1B BP PA A
= −
2) Si 1B i 2B són successos incompatibles, aleshores:
1 2 1 2B B B BP P P
A A A = +
Problemes:
204. Dos successos tenen la mateixa probabilitat igual a 0.5. La probabilitat que
ocórrega un dels successos sabent que ha ocorregut l'altre és igual a 0.3. Quina és la
probabilitat que no curra cap dels dos successos?
205. Siguen A i B dos successos amb ( ) ( )0.5, 0.3P A P B= = i ( ) 0.1P A B = . Calcula
les següents probabilitats:
( ) ( ) ( ) ( ), , y A A AP A B P P PB A B A B
206. A un alumne el porten en cotxe a la facultat el 80% dels dies un amic. Quan el
porten en cotxe, arriba tard el 20% dels dies Quan l’amic no el porta, l’alumne arriba
prompte a classe el 10% dels dies. Determina:
a) La probabilitat de que arribe prompte a classe i l’haja portat l’amic.
b) La probabilitat de que arribe tard a classe.
c) Si ha arribat prompte a classe, calcula, quina és la probabilitat de que no l’haja portat
l’amic?
10. INDEPENDÈNCIA DE SUCCESSOS Es diu que un succés A és independent d’un altre succés B si
És a dir, la presència de no influeix en la probabilitat de que A ocórrega o no.
Caracterització:
( ) ( )AP P AB
=
B
ipri
176
Unitat 15: Probabilitat
és independent de ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AP P A P A B P A P BB
= =
Com a conseqüència, la independència de successos és una propietat recíproca, és a dir, si és
independent de , aleshores és independent de i, per tant, direm que A i B són independents.
Propietat: Si A i B són independents, aleshores també ho són:
a) A i B
b) A i B
c) A i B
Propietat: Si A , B i C són independents, aleshores:
( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C =
El recíproc no és cert.
Problemes:
207. Calcula la probabilitat d'obtindre tres quatres al llançar tres daus
208. Calcular la probabilitat de “cap sis” en llançar quatre daus.
209. . Calcula la probabilitat de “algun sis” en llançar quatre daus. (“Algun sis” és el
succés contrari de “cap sis”).
210. En una classe infantil hi ha 6 xiquetes i 10 xiquets. Si es tria a 3 alumnes a l'atzar,
troba la probabilitat de:
a) Seleccionar tres xiquets.
b) Seleccionar 2 xiquets i una xiqueta.
c) Seleccionar, almenys, un xiquet.
211. Es tenen dos successos A i B. Si les probabilitats són:
𝑃(𝐴) = 0.7, 𝑃(𝐵) = 0.6 𝑖 𝑃( �̅� ∪ �̅�) = 0.58
a) Són independents A i B?
b) Troba la probabilitat que no es complisca ni A ni B.
212. :En un IES hi ha organitzades activitats extraescolars de caràcter esportiu. dels
alumnes de 2n de Batxillerat, participen en eixes activitats 14 xiques i 22 xics. En eixe
curs hi ha un total de 51 xics i 44 xiques. Si es tria un alumne a l'atzar, calcula la
probabilitat que:
A B
A
B B A
ipri
177
Unitat 15: Probabilitat
a) Siga xic i no participe en les dites activitats.
b) Participe en les activitats sabent que és xica.
c) Siga xica, sabent que hi participa.
213. En una certa població laboral, un 80 % són peons sense qualificar (succés P) i un 50
% són dones (succés M) . Se sap, a més, que el 40 % són peons femenins i que un 45 % dels
treballadors els pares del qual tenen estudis (succés PE) , són dones.
Digues si són independents els successos:
a) P i M
b) PE i M
c) P i Mc
11. PROBABILITAT TOTAL. FÓRMULA DE BAYES
Fórmula de la probabilitat composta:
Si 1,..., nA A són n successos ordenats, aleshores:
( ) ( ) 321 1
1 1 2 1 1
... ... nn
n
A AAP A A P A P P P
A A A A A −
=
Es diu que els successos 1,..., nA A formen una partició de l’espai mostral quan
1) i jA A i j =
2)
Teorema de la Probabilitat Total:
Siga 1,..., nA A una partició de l’espai mostral tal que ( ) 0iP A , y siga un altre succés.
Aleshores:
( ) ( )1
n
iii
BP B P A PA
=
=
Demostració:
Escrivim B B= . Es té que ( )1 1
n n
i i
i i
B B A B A= =
= =
i, per tant,
( ) ( ) ( )( )
( )1
1 11
n n n
i i iii ii
BP B P B A P B A P A PA
= ==
= = =
on en (1) hem fet servir la fórmula de la probabilitat composta.
C.V.D.
Fórmula de BAYES:
Siga 1,..., nA A una partició de l’espai mostral tal que ( ) 0iP A , i siga un altre succés.
Aleshores:
1
n
ii
A=
=
B
B
ipri
178
Unitat 15: Probabilitat
( )
( )1
iii
n
iii
BP A PAA
PB
BP A PA
=
=
Demostració:
Es té que
( )
( )
( )
( )1
iiii
n
iii
BP A PAP A BA
PB P B BP A P
A=
= =
C.V.D.
Les probabilitats ( )iP A s’anomenen probabilitats a priori per formular-se davant de la presència
del succés B, les probabilitats i
BPA
s’anomenen versemblança i les probabilitats iAP
B
s’anomenen probabilitats a posteriori, donat que el seu càlcul es realitza després de contar amb
ona informació addicional subministrada pel succés B.
Problemes:
214. Dels crèdits concedits per un banc, un 42 % ho són per a clients nacionals, un 33 %,
per a clients de la Unió Europea i un 25 % per a clients de la resta del món. D'eixos crèdits,
són destinats a habitatge un 30 %, un 24 % i un l4 %, segons siguen nacionals, de la UE o de
la resta del món. Triat un client a l'atzar, quina probabilitat n’hi ha de que el crèdit concedit
no siga per a habitatge?"
215. En una certa empresa es produeixen dos béns A i B en la proporció 3 a 4.
La probabilitat que un bé de tipus A tinga defecte de fabricació és del 3%, i del
tipus B, del 5 %. S'analitza un bé, triat a l'atzar, i resulta correcte. Quina
probabilitat existeix de que siga del tipus A?
216. En una certa població, un 20 % dels treballadors ho fa en l'agricultura (A) , un 25 %
en la indústria (I) i la resta en el sector de servicis (S) . Un 63 % dels que treballen en el camp
són majors de 45 anys, sent eixe percentatge del 38 % i el 44 % en els altres sectors.
Seleccionat un treballador a l'atzar, quina probabilitat n’hi ha de que tinga menys de 45 anys?
217. En una casa hi ha tres clauer A, B i C. El primer amb 5 claus, el segon amb 7 i el
tercer amb 8, de les que només una de cada clauer obri la porta del traster. Es tria a l'atzar
un clauer, i d'ell, una clau per a intentar obrir el traster. Es demana:
a) Quina és la probabilitat que s'encerte amb la clau?
b) Quina és la probabilitat que el clauer triat siga el tercer i la clau no obri? c) I si la clau
triada és la correcta, quina serà la probabilitat que pertany al clauer A?
ipri
179
Unitat 15: Probabilitat
218. ** Una urna conté 4 boles (blanques i negres). S’introdueix una bola blanca i, a
continuació, s’extrau una altra bola. Quina és la probabilitat que la bola extreta siga
blanca?
219. Es disposa de tres urnes amb les següents composicions en boles de color blanc (B) i
negres (N):
U1 = {3B, 7N}; U2 = {5B, 5N}; U3 = {8B, 2N}
Llancem un dau a l'aire, de manera que: Si ix 1, 2 o 3, extraiem una bola de la primera urna; si ix 4
o 5 fem l'extracció una bola de la segona urna, i, si ix 6, fem l'extracció d'una bola de la tercera.
Després de realitzar una extracció es verifica que ha eixit una bola de color negre. Determinar la
probabilitat de què procedisca de la tercera urna.
220. En una bossa hi ha 4 boles negres i 5 blanques. En una altra bossa hi ha 2 boles
negres i 3 blanques. Es tria a l'atzar una bossa i d'ella extrau una bola, es demana:
a) Si la bola extreta és de color blanc, probabilitat de què procedisca de la primera urna.
b) Si la bola extreta és de color negre, probabilitat de què procedisca de la segona urna.
221. Un armari té dos calaixos. El calaix n. 1 conté 4 monedes d'or i 2 de plata. El calaix
n. 2 conté 3 monedes d'or i 3 de plata. S'obri un calaix a l'atzar i s'extrau una moneda.
Calcular: a) Probabilitat que s'haja obert el calaix n. 2 i s'haja extret una moneda d'or.
b) Probabilitat que s'haja obert el calaix n. 1, sabent que, a l'extraure una moneda, esta és
d'or.
222. : Un taller té distribuïts els vehicles en tres naus. En la nau A hi ha 12 vehicles dels
quals 4 estan avariats; en la nau B hi ha 6 vehicles i la mitat estan avariats, i en la naix C
dels 8 vehicles que conté, hi ha 3 avariats. Si es tria una nau i un vehicle a l'atzar, es
demana:
a) Quina probabilitat hi ha d'estiga en perfectes condicions de funcionament?
b) Si el vehicle està avariat, quina és la probabilitat de què procedisca de la nau B?
12. PROBLEMES PROPOSATS EN LA SELECTIVITAT DE
MATEMÀTIQUES APLICADES II 223. En una rifa amb 500 paperetes, 75 tenen un premi de 100 euros, 150 tenen un premi
de 25 euros i 275 un premi de 10 euros. Triada una papereta a l'atzar, calcular la
probabilitat que: 1) S'obtinga un premi de 25 euros. 2) S'obtinga un premi menor de 100
euros.
ipri
180
Unitat 15: Probabilitat
224. Joan és el responsable d'una aula d'informàtica en una empresa i no es pot confiar
en ell perquè la probabilitat que oblide fer el manteniment d'un ordinador en absència del
cap és 2/3. Si Juan li fa manteniment a un ordinador este té la mateixa probabilitat
d’espatllar-se que de funcionar correctament, però si no li fa el manteniment només hi ha
una probabilitat de 0´25 de funcionar correctament.
1) Quina és la probabilitat que un ordinador funcione correctament a la volta del cap?
2) Al seu retorn, el cap es troba un ordinador avariat, quina és la probabilitat que Juan no
li fera el manteniment?
225. Es truca una moneda de manera que la probabilitat d'eixir cara és doble que la
d'eixir creu. Si es llança tres vegades esta moneda. 1) Calcula l'espai mostral per a este
experiment. 2) Calcula la probabilitat d'obtindre dos encreuaments i una cara.
226. En una oficina treballen 4 secretàries que arxiven documents. Cada una d'elles
arxiva el 40%, 10%, 30% i 20%, respectivament, dels documents. La probabilitat que té
cada una d'elles d'equivocar-se a l'arxivar és 0´01, 0´04, 0´06 i 0´1 respectivament. 1)
Quina és la probabilitat que un document estiga mal arxivat? 2) Si s'ha trobat un document
mal arxivat, quina és la probabilitat que siga degut a la tercera secretària?
227. En la farmaciola d'un equipatge es troben dos caixes de pastilles per al mal de cap i
tres caixes de pastilles per al tiroide. La farmaciola d'un altre equipatge hi ha tres caixes de
pastilles per al mal de cap, dos caixes de pastilles per al tiroide i una caixa de pastilles
laxants. Si es trau una caixa de pastilles a l'atzar de cada un dels equipatges, calcular la
probabilitat que:
1) Les dos caixes siguen per al tiroide.
2) les dos caixes siguen de pastilles diferents
228. El 45% de la població espanyola deixa la seua residència habitual per a anar de
vacacions d'estiu, d'estos només el 5% ix a l'estranger. No obstant això, hi ha un 1%
d'espanyols que no estant de vacacions ix a l'estranger en l'estiu. Triat un espanyol a l'atzar,
calcular la probabilitat que: 1) viatge a l'estranger en l'estiu i 2) trobant-se en l'estranger,
estiga de vacacions.
229. Tenim un dau (amb les seues sis cares numerades de l'1 al 6) , trucat en el que és dos
vegades més probable que isca un número parell que un número imparell. 1) Calcula la
probabilitat d'eixir parell i la d'eixir imparell. 2) Calcula la probabilitat que, en un sol
llançament del dau, isca un número menor que 4.
230. En un centre universitari hi ha matriculats 550 alumnes en primer, 300 en segon i
150 en tercer. (Es compte cada alumne només en el curs inferior de totes les assignatures
ipri
181
Unitat 15: Probabilitat
que tinga) . El percentatge de matriculats en més de 8 assignatures és: el 70% dels alumnes
de primer, el 90% dels alumnes de segon i el 30% dels alumnes de tercer. Triat un alumne a
l'atzar, troba la probabilitat que 1) estiga matriculat en més de 8 assignatures i 2) estant
matriculat en més de 8 assignatures siga de primer.
231. En una ciutat hi ha tres llocs d'oci (A, B, C) als que van habitualment un grup
d'amics. Les probabilitats d'anar un dia qualsevol a cada un d'ells són, respectivament, 0,4,
0,3 i 0,6. Trobar la probabilitat que, un dia qualsevol el dit grup 1) només vaja a un dels
llocs, 2) vaja únicament a dos dels llocs.
232. En una classe de segon de Batxillerat composta pel 55 % de xics i la resta de xiques,
practica el handbol el 40% dels xics i una de cada quatre xiques. Si triem a l'atzar un
alumne de la classe, 1) quina és la probabilitat que practique handbol? 2) Quina és la
probabilitat que practique handbol i siga xica? 3) Si resulta que no practica handbol, quina
és la probabilitat que siga xica?
233. En una classe de segon de batxillerat hi ha 10 xics i 10 xiques, la mitat de les xiques
i la mitat dels xics han optat per l'assignatura de Biologia, calcular la probabilitat que, triat
un alumne a l'atzar d'eixa classe, 1) siga xic o haja triat Biologia, 2) siga xica i no haja triat
Biologia
234. Per a superar una oposició es presenten dos models d'examen A i B, en el model A hi
ha 8 preguntes de contingut general i 12 de contingut específic i el model B es compon de 9
preguntes de contingut general i 6 de contingut específic (no hi ha preguntes comunes en els
dos models d'examen) . Per a triar una pregunta, primer es tria un model d'examen a l'atzar
i després, a l'atzar, es tria una pregunta del model elegido.1) Quina és la probabilitat que la
pregunta triada siga de contingut específic? 2) Si la pregunta triada és de contingut
general, quina és la probabilitat que s'haja triat prèviament el model A?
235. En una aula d'un col·legi, el percentatge de destres (només utilitzen la mà dreta) és
el 60%, la d'esquerrans (només utilitzen la mà esquerra) el 15% i un 1% que són
ambidextres (utilitzen indistintament ambdós mans) , 1) quina és la probabilitat de triar un
alumne d'esta classe que només utilitze una mà? 2) En una altra aula d'eixe col·legi amb 25
alumnes, els destres representen el 84 % del a classe i resta són esquerrans. Si traiem dos
alumnes de classe, un a un i sense tornar-los a l'aula, quina és la probabilitat que ambdós
utilitzen la mateixa mà?
236. En un col·legi hi ha 30 xiquets no nascuts a Espanya, dels quals 6 han nascut en l'Est
d'Europa, 15 en el Nord d’Àfrica i la resta són d'origen asiàtic. Al començar el curs, el
centre els mesura el nivell d'espanyol a fi de proporcionar-los classes especials a què ho
ipri
182
Unitat 15: Probabilitat
necessiten. Feta la prova de nivell s'observa que 3 xiquets De l'Est d'Europa, 9 nord-
africans i 6 asiàtics necessiten classes compensatòries.
1) Si triem un xiquet del col·legi a l'atzar, quina és la probabilitat que siga asiàtic i no
necessite classes compensatòries?
2) Si triat un xiquet a l'atzar resulta que ha hagut d'assistir a classes compensatòries, quina
és la probabilitat que siga d'origen nord-africà?
237. En un examen teòric per a l'obtenció del permís de conduir hi ha 14 preguntes sobre
normes, 12 sobre senyals i 8 sobre educació viària. Si es trien dos preguntes a l'atzar. 1)
Quina és la probabilitat que les dos preguntes siguen d'educació viària? 2) Quina és la
probabilitat que cap siga de senyals?
238. Els percentatges de contingut violent que emet un determinat canal televisiu
autonòmic en les diferents franges horàries és el següent. 1 % al matí, 2 % a la vesprada i 3
% a la nit. Si un telespectador qualsevol sintonitza un dia aleatòriament este canal amb la
mateixa probabilitat de franja horària: 1) Quina és la probabilitat que no veja cap
contingut violent? 2) Si un telespectador ha vist un contingut violent en eixe canal, quina és
la probabilitat que haja sigut al matí?
239. En la vorera d'emergència d'una determinada carretera, les probabilitats que un
cotxe parat en esta vorera d'emergència tinga els pneumàtics molt gastats és de 0,23 i de
que tinga els fars defectuosos és de 0,24. També sabem que la probabilitat que un cotxe
parat en esta vorera d'emergència tinga els pneumàtics molt gastats o bé els fars
defectuosos és de 0,38. Calcula la probabilitat que un cotxe parat en eixa vorera
d'emergència, 1) tinga els pneumàtics molt gastats i els fars defectuosos. 2) no tinga cap de
les dos avaries.
240. En una determinada granja d'ànecs en què només hi ha dos tipus, un amb pic roig i
un altre amb pic groc, s'observa que: el 40 % són mascles i amb pic groc, el 20 % de tots
els ànecs tenen el pic roig, el 35 % dels ànecs que tenen el pic roig són mascles, mentre que
només el 15 % dels mascles tenen el pic roig. 1) Triat un ànec a l'atzar, calcular la
probabilitat que siga mascle. 2) Si l'ànec triat ha sigut femella, quina és la probabilitat que
tinga el pic roig?
241. Si una persona va un dia al seu dentista, suposem que la probabilitat que només li
netege la dentadura és de 0,44, la probabilitat que només li tape una càries és de 0,24 i la
probabilitat que li netege la dentadura i li tape una càries és de 0,08, calcular la
probabilitat que un dia de què va al seu dentista, este: 1) li netege la dentadura o bé li tape
una càries, 2) ni li netege la dentadura ni li tape una càries.
ipri
183
Unitat 15: Probabilitat
242. El 42 % de la població activa d'un cert país, està formada per dones. Se sap que el
24% de les dones i el 16 % dels homes estan en desocupació.
1. Triada una persona a l'atzar de la població activa d'eixe país, calcula la probabilitat que
estiga en desocupació.
2. Si hem triat una persona amb treball, Quina és la probabilitat que siga home?
243. En unes votacions a consell escolar d'un cert centre sabem que la probabilitat que
vote una mare és del 0,28, la probabilitat que vote un pare és del 0,21 i la probabilitat que
voten els dos és de 0,15.
a) Quina és la probabilitat que almenys un dels dos vote?
b) Quina és la probabilitat que no vote cap dels dos?
244. Els viatjants d'una empresa lloguen cotxes a tres agències de lloguer: 60 % a
l'agència A, 30 % a l'agència B i la resta a l'agència C. Si el 9 % dels cotxes de l'agència A
necessiten una revisió, el 20 % dels cotxes de l'agència B necessiten una revisió i el 6 %
dels cotxes de l'agència C necessiten una revisió.
a) Quina és la probabilitat que un cotxe llogat per eixa empresa necessite una revisió?
b) Si un cotxe llogat ha necessitat una revisió quina és la probabilitat que ho hagen llogat a
l'agència B?
245. En l'Institut d'un determinat barri se sap que 1/3 dels alumnes no viu en el barri.
També se sap que 5/9 dels alumnes han nascut en la ciutat i que 3/4 dels alumnes no han
nascut en la ciutat o viuen en el barri. Seleccionat a l'atzar un alumne d'eixe Institut,
calcular la probabilitat que: 1) visca en el barri 2) no haja nascut en la ciutat, 3) no haja
nascut en la ciutat i visca en el barri.
246. La terminació d'un treball de construcció es pot retardar a causa d'una vaga. La
probabilitat que hi haurà sobra és de 0,6, la probabilitat que s'acabe a temps és de 0,85 si
no hi ha sobra i de 0,35 si hi ha sobra.
a) Quina és la probabilitat que el treball s'acabe a temps?
b) Si el treball s'ha acabat a temps, quina és la probabilitat que hi haja hagut sobra?
ipri
184
Unitat 15: Probabilitat
ipri
185
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
Unitat 16: DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
0.- INTRODUCCIÓ
Li podem donar dos significats a la paraula estadística:
(1) Dades numèriques relatius a un conjunt d'elements o col·lecció de dades numèriques.
(2) Ciència que té com a objecte donar mètodes per al tractament de les masses de dades
d'observació i la seua aplicació.
A les dos accepcions anteriors podem afegir una tercera deguda a Barnett:
“L’estadística és la ciència que estudia com ha d'emprar-se la informació i com donar una
guia d'acció en situacions que comporten incertesa”
Etimològicament el terme “estadística” té la seua arrel en la paraula “estadista” i aquesta a la
mateixa vegada en el terme llatí “status”. D'ací naix la seua primera vocació, la de constituir-se com
l'exteriorització quantitativa de les coses de l'estat.
En este sentit, els antecedents de la “Estadística” són tan remots com ho pot ser la història de
l'home. És fàcilment imaginable que les societats humanes més primitives estigueren interessades a
enumerar les seues característiques més rellevants: famílies, homes aptes per a la guerra, utensilis
de caça, caps de bestiar, etc. Les referències històriques ens proporcionen les primeres evidències
de recomptes, situant-les en el cens de l'emperador Yao en la Xina de l'any 2238 a.C., i en
documents assiris, egipcis i grecs que precedeixen als més pròxims de l'Imperi Romà, en el que la
preocupació per l'activitat censal dels individus i béns de l'estat tenia una clara finalitat tributària i
militar.
Posteriorment, l'avanç general del coneixement quantitatiu de les coses de l'estat en les seues facetes
d'arreplega d'informació, descripció i anàlisi de la mateixa, va adquirir una base més científica a
través de les millores introduïdes per les dos escoles estadístiques més importants: l’alemanya i
l’anglesa.
Però en realitat la gran transformació de l'Estadística, que l'ha convertit en una ciència susceptible
no sols de discutir la realitat, sinó de modelitzar-la utilitzant els mètodes de l'Anàlisi Matemàtica,
sorgeix precisament de la seua vinculació a este a través del Càlcul de Probabilitats.
L'origen del Càlcul de Probabilitats se situa en el S. XVII, atribuint-se a les aportacions que Pascal
va realitzar sobre alguns problemes clàssics dels jocs d'atzar. Però en realitat, ja a partir del S. XV
alguns matemàtics notables com Paccioli, Cardano, Kepler i Galileu, havien esbossat unes primeres
formalitzacions d'alguns esquemes aleatoris.
Esta nova ciència va anar prenent cos i vinculant-se fortament a la Teoria de Funcions al llarg dels
segles XVIII i XIX, i començaments del XX gràcies als èxits de figures tan notables com
Bernouilli, Leibniz, Bayes, Laplace, Tchebicheff, Kolmogorof, Markov... El resultat de tot això ha
ipri
186
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
sigut la construcció d'un model de comportament dels anomenats fenòmens estocàstics en el que pot
enquadrar-se tota experiència o evidència empírica que revista caràcter d'aleatorietat.
La fusió d'estos dos vessants de millora del coneixement: l'Estadística com arreplegament,
descripció i anàlisi de la informació, i el Càlcul de Probabilitats, s'ha plasmat en una nova branca
florent d'esta disciplina: l'ESTADÍSTICA MATEMÀTICA, sorgida en les primeres dècades del
segle XX i el fruit de les quals, producte d'aportacions de matemàtics com Yule, Fisher, Neyman,
Pearson,..., ha sigut la disponibilitat eficaç instruments que permeten posar en relació les dades
arreplegats amb algun model ideal de probabilitat, i ajuden a descobrir en l'evidència empírica algun
tipus de regularitat estocàstica (aleatòria) .
Resumint, històricament, l'Estadística ha començat per ser descriptiva. Ha calgut abans que res
acumular informació, criticar-la, posar-la en condicions, analitzar-la i sintetitzar-la. Posteriorment,
després d'haver-se comprovat analogies, descobert permanències estadístiques, reconegut un cert
nombre de distribucions tipus, observat algunes formes de dependència estructurals prou grans,
l'Estadística va arribar a ser explicativa, gràcies en particular al Càlcul de Probabilitats.
L'Estadística, per tant, es configura com la tecnologia del mètode científic que proporciona
instruments per a la presa de decisions, quan estes s'adopten en ambient d'incertesa, sempre que esta
incertesa puga ser mesurada en termes de probabilitat. Per això l'Estadística es preocupa pels
mètodes d'arreplega i descripció de dades, així com de generar tècniques per a l'anàlisi d'esta
informació.
Arran de tot allò que s'ha exposat, podem dividir l'estudi d'esta disciplina en:
(1) Estadística Descriptiva
(2) Càlcul de Probabilitats
(3) Estadística Teòrica o Inferència Estadística
1. VARIABLES ALEATORIES Sovint, en realitzar un experiment aleatori ens interessa més que el resultat complet de l'experiment,
una funció real dels resultats. Per exemple, si l'experiment aleatori consisteix a llançar tres vegades
una moneda, podem estar interessats a determinar el nombre de cares obtingudes i per a això
definim una funció X que assigna un valor numèric (nombre de cares) a cada resultat de
l'experiment. D'esta manera, si denotem per C al succés “ eixir cara” i per F al succés “eixir creu”
tenim, per exemple, que X (FCF) = 2 o que X (FFF) = 0. Tals funcions, els valors del qual depenen
dels resultats d'un experiment aleatori, s’anomenen variables aleatòries.
Les variables aleatòries i les seues distribucions de probabilitat, poden considerar-se una
generalització del concepte freqüentista de probabilitat. S'introdueixen com el model matemàtic
ideal a què s'aproximen les distribucions de freqüències que s'obtindrien en una repetició indefinida
de proves d'este experiment.
Per això, ens recorden a les variables estadístiques i a les seues distribucions de freqüència
estudiades en Estadística Descriptiva.
Anomenarem variable aleatòria a tota funció que associa a cada element de l'espai mostral un
número real
ipri
187
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
Les variables aleatòries es classifiquen en discretes i contínues, depenent de si la dita variable pren
valors aïllats (variable discreta) o els presa en un interval (variable contínua) .
EXEMPLES:
1) Es tira una moneda tres vegades i s'observa la successió de cares i encreuaments. L'espai
mostral es compon dels 8 elements següents:
Siga X el nombre de cares que van eixint. Es té que X és una variable aleatòria que presa
els valors següents:X(ccc) = 3
X(ccx) = X(cxc) = X(xcc) = 2
X(cxc) = X(xxc) = X(cxx) = 1
X(xxx) = 0
X é, per tant, una variable aleatòria discreta que pren els valors 0, 1, 2 i 3.
: 0,1, 2,3X →
2) Es tria un punt a l'atzar en un cercle de ràdio r. Siga X la distància del punt al centre del cercle.
Llavors, X és una variable aleatòria contínua i el seu espai de valors és l'interval tancat els extrems
del qual són 0 i r, és a dir:
: 0,X r→ □
Associada a una variable aleatòria X tenim una funció
que anomenarem funció de distribució de la variable aleatòria .
EXEMPLE:
Siga X una variable aleatòria contínua amb la següent funció de distribució F:
𝐹(𝑥) = {0,5𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑠
( )1 1,5P X =Àrea de la regió ombrejada del
dibuix =
( )
:
X
X
→
⎯⎯→
, , , , , , ,ccc ccx cxc xcc xcx xxc cxx xxx =
( ) ( )
:
F
F x P X x
→
=
X
5
16
ipri
188
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
2. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
Les distribucions de probabilitat són modelitzacions de les corresponents distribucions estadístiques
de freqüències.
Es classifiquen en discretes i contínues, depenent de que la corresponent distribució estadística siga
discreta o contínua.
2.1. Distribucions de probabilitat discretes
S’anomena distribució de probabilitat d’una variable aleatòria discreta X a la taula
L’aplicació que associa a cada valor de la variable la seua corresponent probabilitat s’anomena
funció massa de probabilitat:
que està caracteritzada per les següents dues propietats:
a) 0 ip i
b) 1ip =
EXERCICI:
247. En una caixa hi ha xinxetes, unes estan ben fabricades i altres tenen algun defecte,
amb la mateixa probabilitat. Triem dos xinxetes, i considerem la variable aleatòria “número
de xinxetes defectuoses”. Es demana:
a) L'espai mostral i determinar si la variable aleatòria és discreta.
b) Construir la distribució de probabilitat i comprovar que es compleixen les dos propietats
que la caracteritzen.
Els paràmetres associats a una distribució de probabilitat són:
Esperança matemàtica o mitjana: i iEX x p= (també es representa per )
Variància: (també es representa per 2 )
Desviació típica:
EXERCICIS:
248. Calcular els paràmetres de la distribució de l'exercici anterior.
ix 1x 2x 1nx − nx
( )i ip P X x= =1p
2p 1np − np
( )i ix P X x⎯⎯→ =
( ) ( )2
i iVar X x p= −
( )Var X = +
ipri
189
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
249. Llancem tres monedes a l'aire, i considerem la variable aleatòria “número de cares
obtingudes”. Es demana:
a) L'espai mostral i la variable aleatòria.
b) Construir la distribució de probabilitat.
c) Calcular l'esperança matemàtiques, la variància i la desviació típica.
2.2. Distribucions de probabilitat contínues
Una variable aleatòria és contínua quan pot prendre un número infinit de valors de la recta real.
La distribució de probabilitat associada a una variable aleatòria contínua s’anomena distribució de
probabilitat contínua.
En les dites distribucions de probabilitat, la probabilitat d'un valor concret és zero, i este cas el que
es fa és que es calculen probabilitats associades a intervals: ( )P a X b
Es defineix la funció de densitat o corba de probabilitat f(x), la gràfica del qual ens diu quines
són les zones on estan els valors més probable, és a dir, les zones més denses en probabilitat.
Propietats que caracteritzen a la funció de densitat:
(1) La seua gràfica amb l’eix d’abscisses compren un àrea igual a 1:
( ) 1f x dx+
−=
(2)
( ) ( )0 Domf x x f
Relació entre f i F:
► Coneguda f :
► Coneguda F :
( ) ( )'F x f x=
EXEMPLE:
Calcularem la funció de densitat de la variable aleatòria de l'exemple 2. Per a això, derivem la
funció de distribució:
𝐹′(𝑥) = {0,5 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑠= 𝑓(𝑥)
En aquest cas, és immediat comprovar que es compleixen les propietats (1) i (2): ( ) 0,5 0 0, 2f x x=
A= àrea d’un rectangle 2 0,5 1= =
3. LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL La distribució binomial és una de les distribucions discretes més útils, ja que la seua àrea
d’aplicació inclou:
( ) ( )x
F x f t dt−
=
ipri
190
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
- inspecció de qualitat
- control de defectes
- qualitat del servici de telefonia
- vendes (màrqueting)
- mercadotècnia
- medicina
- investigació d'opinions...
Suposem un experiment del què només ens interessa la idea que ocórrega o no ocórrega d'un
esdeveniment concret. Sense pèrdua de generalitat anomenarem èxit al fet que ocórrega el dit
esdeveniment i fracàs a què no ocórrega. La probabilitat d'èxit és p i la de fracàs 1- p = 1.
Suposem a més que l'experiment es realitza n vegades i cada una de les realitzacions és independent
de les altres.
Siga X la variable aleatòria que representa el “número d’èxits” obtinguts en les n realitzacions de
l'experiment.
Les dos suposicions clau per a la distribució binomial són les següents:
- la probabilitat d'èxit p roman constant per a cada assaig.
- les n realitzacions són independents entre si.
En les condicions anteriors es diu que X segueix una distribució binomial de paràmetres n i p,
, si la seua funció massa de probabilitat és:
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛
𝑘) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑘 = 0,1, … , 𝑛
En: s’anomena número combinatori i es llegeix “n sobre k”
𝑛! = 𝑛 · (𝑛 − 1) · (𝑛 − 2)… · 2 · 1
0! = 1} s’anomena factorial de n ( on n∈ ℕ)
EXEMPLE:
( ),X n p⎯⎯→B
( )!
! !
n n
k k n k
=
−
ipri
191
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
La probabilitat que certa llavor germine en unes determinades condicions és 0,4. Si en les dites
condicions se sembren 30 llavors, i es considera la variable aleatòria X, que expressa el número de
llavors que germinen, s'observa que X segueix una distribució binomial B(30, 0,4) .
Troba la probabilitat que germinen 5 llavors.
I la probabilitat de que germinen com a molt 5 llavors?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 0 1 2 3 4 5 0,0056588P X P X P X P X P X P X P X = = + = + = + = + = + = =
(en aquest cas, els càlculs cal fer-los amb ordinador, o mitjançant una aproximació de la binomial
que no anem a veure).
EXEMPLE:
Un examen tipus consta de deu preguntes, cadascuna d'elles amb tres respostes, de manera que
només una és correcta. Un estudiant que no ha preparat la matèria decideix contestar a l'atzar a totes
elles.
a) Quina és la probabilitat d'encertar sis preguntes?
b) I la probabilitat de no encertar cap?
Siga X = número de respostes encertades. Es té que .
a)
b)
EXERCICIS:
250. Un arquer té una probabilitat de fer blanc. Si realitza quatre tirs, calcula:
a) La probabilitat de fer dos blancs.
b) La probabilitat de fer dos o més blancs.
251. La probabilitat de naixements de xiquets de sexe masculí a Espanya és de 51,7%.
Troba la probabilitat que una família de 5 fills tinga:
a) Almenys una xiqueta.
b) Almenys un xiquet.
252. La probabilitat que un estudiant obtinga el títol d'arquitecte és de 0,3. Calcula la
probabilitat que d'un grup de set estudiants matriculats en primer curs:
a) Els set finalitzen el grau.
b) Almenys dos acaben el grau. La probabilitat de que un estudiant obtinga el títol
d’arquitecte és de 0,3.
( ) 5 30 530
5 0,4 0,6 0,004145
P X − = = =
110,
3X
⎯⎯→
B
( )6 4
10 1 26 0,0569
6 3 3P X
= = =
( )0 10
10 1 20 0,0173
0 3 3P X
= = =
ipri
192
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
Els paràmetres (mitjana, variància i desviació típica) d’una distribució binomial són:
Esperança matemàtica (mitjana):
Variància:
Desviació típica:
EXEMPLE:
La probabilitat que un llibre isca defectuós en una determinada impremta és del 3 %. Calcula:
a) El nombre de llibres defectuosos esperats en un lot de 10 000.
b) La variància i la desviació típica d'esta distribució.
Siga X = el llibre és defectuós. Es té que ( )10 000 , 0,03B .
a) El número de llibres defectuosos esperats és igual a la mitjana de la distribució:
10000 0,03 300EX np= = =
és a dir, s’espera que n’hi haja 300 defectuosos en el lot.
b) Variància:
( ) 10000 0,03 0,97 291Var X npq= = =
c) Desviació típica:
291 17,05npq = + = =
Exercici:
253. Calcular l’esperança matemàtica, la variància i la desviació típica dels exercicis 4 i
5.
4. LA DISTRIBUCIÓ NORMAL Una distribució corresponent a una variable contínua es diu normal si la seua funció de densitat és:
i es representa per , amb 𝜇 ∈ ℝ i 0 , on representa la mitjana (esperança
matemàtica) i la desviació típica.
S'anomena Normal perquè és molt freqüent, apareixent en circumstàncies molt inesperades (abans
es creia que totes eren així) . Altres vegades apareix una distribució molt pareguda a la normal, que
pot tractar-se com si ho fóra.
EX np=
2 npq =
npq = +
( )
21
2
:
1
2
x
f
f x e
− −
→
=
( ),X N ⎯⎯→
( )F x
x
( ) ( )F x P X x=
ipri
193
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
En el cas 0 = i 1 = es denomina distribució normal tipificada i la seua funció de distribució
corresponent està tabulada, per la qual cosa sempre cal passar a una N(0,1):
5. ÚS DE TAULES (1) ( )1, 45 0,9265P Z =
Per a calcular aquesta probabilitat, es prou consultar en la taula: ( )1, 45 0,9265P Z =
(2) ( )1, 45P Z −
Per a calcular aquesta probabilitat cal tindre en compte la simetria
de la distribució normal i aplicar la propietat que relaciona la
probabilitat d’un succés amb el seu contrari ( ( ) ( )1P A P A= − ):
( ) ( ) ( )1,45 1,45 1 1,45
1 0,9265 0,0735
P Z P Z P Z − = = − =
= − =
(3) ( )1,25 2,57P Z
Interpretant aquesta probabilitat com a àrees es té la següent
igualtat:
( )
( ) ( )
1,25 2,57
2,57 1,25
0,9949 0,8944 0,1005
P Z
P Z P Z
=
= − =
= − =
(4) ( )1,25 2,57P Z
Per a calcular aquesta probabilitat tenim en compte la simetria de distribució:
( ) ( )
( ) ( )
1,25 2,57 1,25 2,57
2,57 1,25
0,9949 0,8944 0,1005
P Z P Z
P Z P Z
− − =
= − =
= − =
(5) ( )0,53 2,46P Z−
Aplicarem el que hem vist en els apartats anteriors:
( )
( ) ( )
( ) ( )
0,53 2,46
2,46 0,53
2,46 1 0,53 0,695
P Z
P Z P Z
P Z P Z
− =
= − − =
= − − =
EXERCICIS:
254. En una distribució normal N(110, 10), calcula:
( ) ( ) , 0,1X
X N Z N
−→ ⎯⎯⎯⎯→ = →
01,45−
1,25 2,57
1,25−2,57−
0,53− 2,46
ipri
194
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
a) ( )110P X
b) ( )110 120P X
c) ( )130P X
255. Calcula les següents probabilitats:
a) ( )0,84P Z c) ( )2P Z
b) ( )1,5P Z d) ( )1,87P Z
256. Calcula el valor de k en cada cas:
a) ( ) 0,719P Z k = b) ( ) 0,8997P Z k = c) ( ) 0,5040P Z k =
257. Calcula:
a) ( )1,3P Z d) ( )1,3 1,96P Z
b) ( )1,3P Z − e) ( )1,96 1,3P Z− −
c) ( )1,3P Z − f) ( )1,96 1,96P Z−
PROBLEMES:
258. En un centre hi ha 500 alumnes les estatures del qual es distribueixen segons la
corba normal, de mitja 170 cm i desviació típica 8 cm.
a) Quants alumnes tenen la seua estatura compresa entre 162 i 178 cm?
b) Quants mesuraran més de 186 cm?
259. Una màquina realitza peces de precisió amb un diàmetre mitjà de 8 mm i una
desviació de 0,5 mm. Suposant que la distribució és normal, calcula la probabilitat que una
peça presa a l'atzar tinga un diàmetre:
a) Major que 8,5 mm.
b) Menor que 7,5 mm.
c) Comprés entre 7 i 9 mm.
260. Per a aprovar un examen d'ingrés en una escola, es necessita obtindre 50 punts o
més. Per experiència d'anys anteriors, sabem que la distribució de punts obtinguts pels
alumnes és normal, amb mitja 55 punts i desviació típica 10.
a) Quina probabilitat hi ha de que un alumne aprove?
b) Si es presenten a l'examen 400 alumnes, quants cal esperar que ingressen en eixa
escola?
261. En una ciutat, les temperatures màximes diàries durant el mes de juliol es
distribueixen normalment amb una mitjana de 26 °C i una desviació típica de 4º . Quants
dies es pot esperar que tinguen una temperatura màxima compresa entre 22 °C i 28 °C?
ipri
195
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
6. APROXIMACIÓ DE LA BINOMIAL PER LA NORMAL
La variable aleatòria l’aproximarem per una normal, quan
𝑛𝑝 > 5 𝑖 𝑝 > 0,005
𝑋 → 𝐵(𝑛, 𝑝) ≅ 𝑁(𝑛𝑝,√𝑛𝑝𝑞) ⟵ 𝑋′
Ara bé, com estem aproximant una distribució discreta per una contínua, cal fer un ajustament que
s’anomena correcció de Yates:
EXEMPLE:
El 2 % dels cargols fabricats per una màquina són defectuosos. Si s'estudia un lot de 2000 cargols,
quina és la probabilitat que hi haja menys de 50 cargols defectuosos?
Si X = número de cargols defectuosos, es té que ( )200 , 0,02X ⎯⎯→B i, per tant, aproximem X
per 𝑋′ ⟶𝑁(2000 · 0,02, √2000 · 0,02 · 0,98) = 𝑁(40,6,26) .
Així,
És a dir, la probabilitat de que en el lot n’hi ha menys de 50 cargols defectuosos és del 93,57 %.
( ),X n p⎯⎯→B
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0,5 ' 0,5
' 0,5
' 0,5
' 0,5
' 0,5
P X k P k X k
P X k P X k
P X k P X k
P X k P X k
P X k P X k
= = − +
= +
= −
= −
= +
( ) ( ) ( ) ( )49,5 40
50 ' 50 0,5 ' 49,5 1,52 0,93576,26
P X P X P X P Z P Z−
= − = = = =
ipri
196
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
TAULAA DE LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL
Probabilitat d’obtindre k èxits
( ),X n p→( ) ( )1
n kkn
P X k p pk
− = = −
ipri
197
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
ipri
198
Unitat 16: Distribucions de probabilitat
TAULA DE LA DISTRIBUCIÓ NORMAL
( )P Z a
a
ipri
199
Unidad 16: Distribucions de probabilitat
