UD2: ANALISI MATEMATIKOAINTEGRAZIOA

BATXILERGO ZIENTIFIKO TEKNOLOGIKOAMATEMATIKA II

2

1 1. INTEGRAL MUGAGABEA.

1.1. Funtzio baten jatorrizkoa.

[a, b] tartean definituta dauden f(x) eta F(x) bi funtzio izanik, esango dugu F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizko funtzioa dela, baldin eta F(x)-ren deribatua f(x) bada tartean.

𝐹 (𝑥) f

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑏𝑎𝑡𝑢𝑎

𝑗𝑎𝑡𝑜𝑟𝑟𝑖𝑧𝑘𝑜𝑎

Demagun F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizkoa dela [a,b] tartean; f(x)-ren integral mugagabea deritzogu haren jatorrizko guztien multzoari, F(x) + K eta honela adierazten dugu:

∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝑘

2

1 1.2. Berealako integralak.

2

1

2

1 1.3. Integral mugagabeen propietateak.

[∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ]′= 𝑓 (𝑥)

∫ [ 𝑓 (𝑥 )+𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥=∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥+∫𝑔 (𝑥 )𝑑𝑥

∫𝑐 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=𝑐∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

2

1 1.4. Integral motak.

1.4.1. Deskonposizio bidezko integralak.

∫ ∫ ∫ dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()()(

∫ (3 𝑥2+4 𝑥−2 ) ∙𝑑𝑥=¿¿

2

1 1.4. Integral motak.

1.4.2. Ordezkapen metodoa.

∫ 2𝑙𝑛𝑥

𝑥∙𝑑𝑥=¿ ¿

2

1 1.4. Integral motak.

1.4.3. Zatikako integrazio metodoa.

∫𝑢 ∙𝑑𝑣=𝑢 ∙𝑣−∫𝑣 ∙𝑑𝑢

∫𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥=¿¿

2

1 1.4. Integral motak.

1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.

∫ 𝑝 (𝑥)𝑞 (𝑥)

𝑑𝑥=¿¿

→ P(x)-en maila ≥ Q(x)-en maila : bi polinomioen arteko zatiketa egiten da. → P(x)-en maila < Q(x)-en maila: Q(x) faktoreetan deskonposatzen dugu ; aukera desberdinak lortu ditzakegu.

a) erro bakunak.

 

2

1 1.4. Integral motak.

1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.

a) Erro bakunak:

b) Erro anizkoitzak:

c) Erro errealik gabeko faktoreak agertzen direnean:

d) Erro errealik gabeko faktoreak eta gainera izendatzailean polinomio bat agertzen denean;

2

1 1.4. Integral motak.

1.4.5. Funtzio Trigonometrikoen integrazioa.

motatakoak:

a) m bakoitia eta n bikoitia; cosx=t ordezkapena egin

b) m bikoitia eta n bakoitia; sinx=t ordezkapena egin

c) m eta n bakoitiak; sinx=t edo cosx=t ordezkapenak egin daitezke

d) m eta n bikoitiak ; tanx=t ordezkapena egin. Kasu honetan;

, eta

Integrazioan funtzio trigonometriko generikoak ageri direnean:

,

1

2

3

4

2. INTEGRAL MUGATUA.

2.1. Kurba baten azpiko azalera.

[a,b] tartearen partizioa deritzogu honako hau betetzen duten zenbaki errealen multzo ordenatu eta finitoari:

= b

Weierstrass- en teorema:F(x) funtzioa jarraitua bada [a,b] tartean, tarte horretako bi puntutan f(x) funtzioak maximoa eta minimoa ditu.Tarte horretan funtzioak duen maximoari M deituko diogu eta minimoari, m

1

2

P partizioari lotutako f(x)-en goi-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:

𝑆𝑔 ( 𝑓 ,𝑃 )=(𝑥1−𝑥0 )𝑀 1+ (𝑥2−𝑥1)𝑀 2+…+(𝑥𝑛−𝑥𝑛− 1)𝑀𝑛

P partizioari lotutako f(x)-en behe-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:

𝑆𝑏 ( 𝑓 ,𝑃 )=(𝑥1−𝑥0 )𝑚1+(𝑥2−𝑥1 )𝑚2+…+ (𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 )𝑚𝑛

1

2

[a,b] tartean jarraitua den f funtzio bat izanik, f-ren integral mugatua [a,b]-n deritzogu goi eta behe baturek biek duten limiteari, eta honela adierazten dugu:

∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥= lim𝑛→∞

𝑆𝑔 ( 𝑓 ,𝑃 )=¿ lim𝑛→∞

𝑆𝑏 ( 𝑓 ,𝑃 ) ¿

1

2

2.2. Funtzio integrala.

F funtzioa [a,b] tartean integragarria bada, funtzioari, izanik, f(x)-en funtzio integrala [a,b]-n deitzen zaio.

Barrow-ren erregela:Izan bedi f(x) funtzioa jarraitua [a,b]-n, eta F(x), f(x)-en jatorrizkoa [a,b]-n. Orduan;

- F

Integral mugatuen propietateak:

F(x) [a,b] tartean definituta egonik eta izanik, orduan;

1

2

=

1

2

2.3. Eskualde lau baten azalera.

F(x) funtzioa jarraitua eta positiboa bada [a,b]-n;

F(x)-en grafikoak, x=a eta x=b zuzenen eta abzisa ardatzak mugatzen duten eskualdearen azalera adierazpen hinek emandakoa da:

𝐴=∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

1

2

2.3. Eskualde lau baten azalera.

F(x) funtzioa jarraitua, postiboa eta negatiboa bada [a,b]-n;

𝐴=∫𝑎

𝑐

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥−∫𝑐

𝑑

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥+∫𝑑

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

1

2

2.3. Eskualde lau baten azalera.

f(x) eta g(x) funtzioa jarraituak, [a,b]-n;

𝐴=∫𝑎

𝑐

[ 𝑓 (𝑥 )−𝑔 (𝑥 ) ]𝑑𝑥+∫𝑐

𝑏

[𝑔 (𝑥 )− 𝑓 (𝑥 )]𝑑𝑥