Matematicas matrices

Matemáticas

EOLAPAZColegio Ntra. Sra. de la Paz – Torrelavega (Cantabria)

Eolapaz.com / Historia de España

Colegio Nuestra Señora de la Paz Carmen

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TEMA 2. Matrices

2.1.Concepto,nomenclatura,tipos

2.2.Igualdad,operaciones,propiedades

2.3. Rango: definición y cálculo por Gauss


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Dimensión de la matriz

2ª columna

3ª fila

Concepto de matriz o tablaDefinimos matriz de orden m x n a un conjunto cualquiera de elementos (generalmente números) distribuidos rectangularmente en m filas y n columnas.

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij)

411

305

343

221

A

Diagonalsecundaria

Matriz cuadrada: A =

1 3 5

2 4 6 1 1 1

Algunos tipos de matrices por su forma

Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )

Matriz columna: A =

2

4 6

Matriz transpuesta: dada una matriz A sellama transpuesta de A a la que se obtienecambiando filas por columnas.

Si A =

1 2 3

4 5 6 entonces tA =

1 4

2 5 3 6

Matriz simétrica: se llama así a toda matriz cuadrada tal que aij = aji

B =

1 –1 3

–1 2 4 3 4 7

es simétrica

Matriz antisimétrica o hemisimétrica: sellama así a toda matriz cuadrada tal que aij = – aji

B =

0 2 5

–2 0 –4 –5 4 0

es antisimétrica

Diagonal principal

Algunos tipos de matricesatendiendo a los elementos

Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son 0.

O =

0 0 0

0 0 0 0 0 0

es la matriz nula de orden 3

Matriz diagonal: es una matriz cuadrada,en la que todos los elementos no pertene-cientes a la diagonal principal son nulos.

B =

2 0 0

0 -3 0 0 0 9

es una matriz diagonal

Matriz escalar: es una matriz diagonal,con todos los elementos de la diagonalprincipal iguales.

B =

2 0 0

0 2 0 0 0 2

es una matriz escalar

Matriz unidad o identidad: es una ma-triz escalar, con los elementos de la diago-nal principal iguales a 1.

I3 =

1 0 0

0 1 0 0 0 1

es la matriz unidad de orden 3

Matriz triangular: es una matriz cuadra-da, con los elementos por encima (debajo)de la diagonal principal nulos.

A =

1 2 3 4

0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1

es una matriz triangular

superior.


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Operaciones con matrices: sumaLa suma de dos matrices A = (aij) y B = (bij) de la misma dimensión, es otra matriz S = (sij), de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij = aij + bij

A + B = (aij) + (bij) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

+

b11 b12 b13

b21 b22 b23 b31 b32 b33

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

= (aij + bij ) = (sij)

64

76

44

13.

51

30

71

25

14


7

Propiedades de la adición de matrices:

• A + (B + C) = (A + B) + C (Asociativa)

• A + B = B + A (Conmutativa)

• A + O = A (O es la matriz nula)

• La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A, ya que A + (– A) = O


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Operaciones con matrices: producto de un número por una matriz

El producto de un número real k por una matriz A = (aij) es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k: bij = k . aij

k . A = k . (aij) = k.

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij) = (bij) = B

390612

1218393

13024

46131.3


9

Propiedades de la operación producto de un número por una matriz:

• k(A + B) = kA + kB (propiedad distributiva 1ª)

• (k + h)A = kA + hA (propiedad distributiva 2ª)

• k(hA) = (kh)A (propiedad asociativa mixta)

• 1 . A = A (elemento neutro)


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10 6 15 29

–1 –7 10 8 7 8 25

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Producto de matricesPara poder multiplicar matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda.

El producto de una matriz A = (aij) de dimensión m x n por la matriz B = (bij) de dimensión n x q, es otra matriz P = (pij) de dimensión m x q, tal que cada elemento pij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda.

1 2 –1 5

0 –1 2 3 3 2 4 6

• =

1 2 3

–1 5 0 2 1 2

fila 2 columna 3

elemento p23


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Propiedades del producto de matrices:

• A(BC) = (AB)C (propiedad asociativa)

• AB BA

• AIn = InA = A (sólo para matrices cuadradas. In = es la matriz unidad)

• A(B + C) = AB + AC (distributiva respecto a la suma de matrices)

• AA-1 = In (sólo para algunas matrices cuadradas llamadas regulares o inversibles. A-1 es la matriz inversa)

(no es en general conmutativo)


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TRASPOSICIÓN Y OPERACIONES

Observaciones sobre las operaciones con matrices

tt A.kA.k

ttt A.BB.A

ttt BABA

tt AA

hk0AconhAkA

BA0kconkBkA BABA.BA 22

B.A2BABA 222

CBCABA

CBC.AB.A

0Bó0A0B.A


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Rango de una matriz• Una fila (columna), I, depende linealmente de sus paralelas I1, I2, ..., In si existen

unos números reales a1, a2, ..., an no todos nulos, tales que:I = a1I1+ a2I2+ ...+ anIn

• Rango de una matriz: es el número de filas o columnas linealmente independientes que podemos encontrar entre las filas o columnas de la matriz.

rango (A) = rango (F1, F2, F3, ...) = rango (C1, C2, C3, ...)

00

13

42

013

042

13

42rangrangrang

Transformaciones que no modifican el rango de una matriz

●Suprimir o añadir una fila o columna nulas.

●Suprimir o añadir una fila o columna proporcional a otra.

853

642

106

53

42

53

42rangrangrang


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●Suprimir o añadir una fila o columna dependiente de otras

42

21

623

142

521

rangrang

●Multiplicar una fila o columna por un número distinto de cero

71

21

71

63rangrang

●Sumar o restar una fila o columna a otra.

0112

023

141

234

122

141

rangrang

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