Matematicas II Bloque I

MATEMÁTICAS II GRADO ADE

1Jose Angel Silva Reus

Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica Universidad de Alicante

José Angel Silva Reus

Dpto. Métodos Cuantitativos y Teoría Económica

Universidad de Alicante

GRADO ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

MATEMÁTICAS II




BLOQUE I

1. Algunos Conceptos Topológicos.

2. Funciones de varias variables. Dominio, rango.

3. Representaciones geométricas. Curvas de nivel.

4. Límites y continuidad. Propiedades.

5. Derivadas parciales de primer orden. Vector gradiente.

6. Regla de la cadena (derivada función compuestas).

7. Derivada direccional.

8. Funciones implícitas. Derivada de la función impícita.

9. Diferencial. Aproximación lineal.

10.Derivadas de orden superior. Matriz hessiana.

11.Desarrollo de Taylor de orden 2.

12.Formas cuadráticas. Signo de una forma cuadrática.




BLOQUE I

1. Algunos Conceptos Topológicos.




Distancia Euclídea :

2 2 21 1 2 2 n n

n2

k kk 1

d x,y x y

d x,y (x y ) (x y ) ... (x y )

d x,y (x y )




Definición: Denominamos Bola Abierta de centro y radio al conjunto de puntos:

na 0

n

n

B(a; ) x : d x,a

B(a; ) x : x a

Ejemplo:

2 2B( 0,0 ;1) (x,y): x y 1




b

a

c




Definición: Dado el conjunto decimos que es un punto

interior del conjunto S si y sólo si

nS a S

0 / B(a; ) S

Definición: Denominamos interior de un conjunto al conjunto de sus puntos interiores, es decir,

x xint(S) x S : 0 tal que B(x, ) S




Ejemplos: 1S (x,y): y 3 x, -1 x 3




22S (x,y): 0 x 4, x y





frontera del conjunto S si y sólo si

nS na

n

0 B(a; ) S

0 B(a; ) \S

Definición: Denominamos frontera de un conjunto S al conjunto de sus puntos frontera, es decir,

nfr(S) S x S : 0 B(a; ) S B(a; ) \S




22S (x,y): 0 x 4, x y




nS Definición: Denominamos Clausura de un conjunto al conjunto

cl S S (S)

ncl(S) x : 0 tal que B(a; ) S




22S (x,y): 0 x 4, x y





aislado del conjunto S si y sólo si

nS a S

0 / B(a; ) S= a

Definición: Denominamos exterior de un conjunto al conjunto de sus puntos exteriores, es decir,

n nx xex t(S) x \ S : 0 tal que B(x, ) \ S




Definición: Dado el conjunto es un conjunto abierto si y sólo sinS

x xa) x S 0 tal que B(x, ) S

b)S

Es decir:

- Todos los puntos del conjunto S son interiores.

S=int(S)

Nota: es un conjunto abierto.n




Ejemplo:

2 2S (x,y) :1 y x 4; 3 x 3; 3 y 3




Definición: Dado el conjunto es un conjunto cerrado si y sólo sinS

a) S =cl(S)

b) (S) S

c)S

Nota: es un conjunto cerrado.n




Ejemplo:

2 2S (x,y) :1 y x 4; 3 x 3; 3 y 3




Definición: Dado el conjunto es un conjunto acotado si y sólo sinS

a) S B(0;M)

b) M>0 tal que x S x M




M




Definición: Dado el conjunto es un conjunto compacto si y sólo si

nS

a) S es cerrado (S cl(S))yb) S está acotado (S B(0;M))




M




BLOQUE I

2. Funciones de varias variables. Dominio, rango.




Funciones de varias variables

Una función real de varias variables es una regla que a cada vector o punto del espacio euclídeoperteneciente a un conjunto determinado le asociaun número real.

: ( )

nf Dx f x




Ejemplos

xy

1

2 1 2 3 1 2 3

f (x,y) e

f (x ,x ,x ) ln x x x




Dominio

El dominio de una función es el conjunto de puntos del espacio para los que está definida la regla.

( )Dm f




Recorrido, rango o imagen

El recorrido (rango o imagen) de una función es el conjunto de valores que puede tomar la función actuando sobre los puntos de su dominio




Ejemplos:

Calculad el dominio y rango de las siguientes funciones

xy

1

2 1 2 3 1 2 3

f (x,y) e





BLOQUE I

3. Representaciones geométricas. Curvas de nivel.




2 2f(x,y) x y

Representación gráfica.




Representación gráfica.

2f(x,y) x y




f x dom(f) : f x

Ejemplo:

0

2

f(x,y) x y

f x,y : x y 0

f x,y : x y 2

Definición: Sea denominamos curva de nivel

al conjunto .

nf :




2f x+y=-2

0f x+y=0 3f x+y=3




0

1

f(x,y) xy

f x,y : xy 0 x,y : x 0 o y 0

f x,y : xy 1




1 2 3 4 51

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1-5

-4

-3

-2

-1




BLOQUE I

4. Límites y continuidad. Propiedades.




0 >0 / x-a f x -A

0 >0 / x B a; f x -A

lim ( ) x a f x A

Límite de funciones de varias variables




Propiedades del límite de funciones:

x a

n n

x a x a

x a x a x a

x a x a x a

lim g(x)g(x)

x a x a

x ax a

x a

f : ; g: ;

lim f(x) limf(x)

lim f(x) g(x) limf(x) limg(x)

lim f(x)g(x) limf(x)limg(x)

limf(x) limf(x)

limf(x)f(x)limg(x) limg(x)




Definición: Sea decimos que f es una función continua

en el punto si y sólo si .

nf : a dom f

x alimf(x) f(a)

Ejemplo:

2

x,y 0,0

x 3lim 3xy 1

f(0,0) 3




Propiedades de las funciones continuas:

n n

g(x)

f : ; g : ; f y g continuas en a.

1) f(x) es continua en a.

2) f(x) g(x) es continua en a.

3)f(x)g(x) es continua en a.

4) Si f(a) 0 y g(a) 0 f(x) es continua en a.

f(x)5) Si g(a) 0 es cog(x)

ntinua en a.




6) Si f es continua en a y g(f(x)) es continua en a g es continua en f a




Análisis de continuidad

i 1 i n ip (x ,...,x ,...,x ) x

Es una función continua en n

1,2

1p (1,2) 1

2p (1,2) 2




Ejemplo: Analizad la continuidad de las funciones

xy

1

2 1 2 3 1 2 3

f (x,y) e


Analizamos la continuidad utilizando las propiedades de las funciones continuas.




BLOQUE I

5. Derivadas parciales de primer orden. Vector gradiente.

6. Regla de la cadena (derivada función compuestas).

7. Derivada direccional.

8. Funciones implícitas. Derivada de la función impícita.

9. Diferencial. Aproximación lineal.

10. Derivadas de orden superior. Matriz hessiana.

11. Desarrollo de Taylor de orden 2.




Definición: Sea denominamos derivada parcial de f en el punto

con respecto a la variable al límite (si existe)

1 i n 1 i nh 0

i

ih 0

i

f(a ,...,a h,...,a ) f(a ,...,a,...,a )f(a) limx h

f(a he ) f(a)f(a) limx h

nf :

ix

a




Ejemplo:

1 2 2 2

h 0 h 01

h 01

xyf(x ,x )x y 1

f(0,0) f(0 h,0) f(0,0) f(h,0) f(0,0)lim limx h h

f(0,0) 0 0lim 0x h




1 21 2 2 2

1 2

h 02

2

2h 0 h 02

2h 02

x xf(x ,x )x x 1

f(1,1) f(1,1 h) f(1,1)limx h

1 h 132 1 hf(0,0) h(1 h)lim lim

x h 3h 2 1 h

f(0,0) (1 h) 1limx 93 2 1 h




Cálculo de derivadas parciales.

Para calcular una derivada parcial se aplican los métodos de derivación de una variable. Por definición de derivada parcial, exceptuando la variable con respecto a la que se deriva, el resto se consideran constantes.

1 2 31 2 3 1 2 3

2 21 2

2 21 2 1 1

2 2 2 21 1 2 1 2

21 2 3

21 2 3 2 1

2 22 1 2 3 1 2 3

x x xx x x x x x1 2 3

1 23 3

x x 1ln x x 1 x 2x

x x x 1 x x 1

x x xx x x x x

x 2 x x x 2 x x x

x x xe e x x ex x




Interpretación de la derivada parcial.

Es análoga al caso de una variable.

i

f(a) 0x

Si la función f es creciente en un entorno del punto con

respecto a la variable .

a

ix

2 21 2 1

2 21 1 2 (1,1)(1,1)

ln x x 1 2x 2 0x x x 1 3




Interpretación de la derivada parcial.

Es análoga al caso de una variable.

i

f(a) 0x

Si la función f es decreciente en un entorno del punto con

respecto a la variable .

a

ix

1 2 31 2 3

x x xx x x 2

1 2 ( 1,1,2)3 ( 1,1,2)

e x x e 2e 0x




Definición: Sea tal que existen todas su derivadas parciales

en el punto . Denominamos gradiente de la función f en el punto al vector de

todas sus derivada parciales evaluadas en el punto.

nf :

a a

1 2 i n

f a f a f a f af a , ,..., ,...,

x x x x




11 2 3 2 2

2 3

1 2 3

1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3

1, 1,3

xf x ,x ,xx x 1

f 1, 1,3 f 1, 1,3 f 1, 1,3f 1, 1,3 , ,

x x x

2x x2x x1f 1, 1,3 , ,x x 1 x x 1 x x 1

1 2 3f 1, 1,3 , ,11 121 121




Análogamente al caso de una variable también tenemos el concepto de derivadas parciales de orden superior.

2

2i i i

2 2

j i j i i j i j

3

k j i k j i

f(a) f(a)x x x

f(a) f(a) f(a) f(a) ; x x x x x x x x

f(a) f(a)x x x x x x




Teorema de Schwartz : Sea verificando que existentodas

sus derivadas parciales primeras y segundas en . Si

son funciones continuas en se verifica

que:

nf :

B(a; )

i

f(a)i 1,...,n x

B(a; )

2 2

j i i j

f(a) f(a) con i jx x x x




Ejemplo:

11 2 3 2 2

2 3

21 2 3 2

22 22 1 2 3

21 2 3 2

22 22 1 2 3

xf x ,x ,xx x 1

f x ,x ,x 2xx x x x 1

f x ,x ,x 2xx x x x 1




Matriz Hessiana:

2 2 2

21 2 1 n 1

2 2 2

21 2 2 n 2

2 2 2

21 n 2 n 2

f a f a f a...

x x x x xf a f a f a

...Hf(a) x x x x x

... ... ... ...f a f a f a

...x x x x x

Si se verifican las condiciones del Teorema de Schwartz es una matriz simétrica.




Ejemplo

2 21 2 1 2

2

22 1 23

11 22

1 2 1

1f(x ,x ) x xx

22x 4x xxHf(x ,x )

4x x 2x




Definición: Sea tal que existen todas sus derivadas

parciales primeras en .Decimos que f es diferenciable en el punto

si y sólo si

nf : B(a; )

1

1x a

f(x) f(a) f(a)(x a) E (x,a)

E (x,a)lim 0x a

1

1v 0

f(a v) f(a) f(a)v E (v,a)

E (v,a)lim 0v

a

Fórmula de Taylor de Primer Orden




Fórmula de Taylor de Segundo Orden

2

22x a

1f(x) f(a) f(a)(x a) (x a)'Hf a (x a) E (x,a)2

E (x,a)lim 0x a

2

22v 0

1f(a v) f(a) f(a)v v 'Hf a v E (v,a)2

E (v,a)lim 0v




Definición: Sea denominamos derivada f en el punto

con respecto a la dirección del vector al límite (si existe)

h 0

f(a hv) f(a)f ' a;v limh

nf :

va

Definición: Sea denominamos derivada direccional de f en el punto

con respecto al vector al límite (si existe)

h 0

vf(a h ) f(a)vvf ' a; lim

v h

nf :

va




Si la función f es diferenciable en el punto a

n

ii 1 i

n

ii 1 i

f '(a;v) f(a)v

f af '(a;v) v

x

v vf ' a; f(a)v v

f av 1f '(a; ) vv v x




Ecuación del Plano Tangente

aSea f diferenciable en el punto . La ecuación del plano tangente al grafo

de la función de la función en el punto es a, f a

z f a f a x a

1 1 n n1 n

f a f az f a x a ... x a

x x

Nota: El vector normal al plano tangente es f a




Ejemplos:

Calculad la derivada según el vector y la derivada direccional.

11 2 3 2 2

2 3

1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3

(1,1, 1)

xf x ,x ,x f' 1,1,-1 ; 2,-2,1x x 1

2x x2x x1 1 2 2f 1,1, 1 , , , ,x x 1 3 9 9x x 1 x x 1

Plano tangente en el punto (1,1,-1)




Regla de la cadena. Derivada de la función Implícita




2f :

f(x,y) f(x,y)df(x,y) dx dyx y

x(t) e y(t)

g(t)=f(x(t),y(t))

dg df(x,y) f(x,y) dx f(x,y) dy dx dyf(x(t),y(t)) ,dt dt x dt y dt dt dt




2f :

f(x,y) f(x,y)df(x,y) dx dyx y

x(u,v) e y(u,v)

g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))

g f(x,y) f(x,y) x f(x,y) y x yf(x(u,v),y(u,v)) ,u u x u y u u u

g f(x,y) f(x,y) x f(x,y) y f(x(uv v x v y v

x y,v),y(u,v)) ,v v




n

1 2 n 1 2 n1 2 n

i

1 2 n 1 n1 n

1 2 n

f :

f(x) f(x) f(x)df(x ,x ,...,x ) dx dx ... dxx x x

x (t) i=1,...,n

g(t)=f(x(t))

dx dx dx dx dxdg df(x) f(x) f(x) f(x)... f(x (t),...,x (t)) ,...,dt dt x dt x dt x dt dt dt

En general




2

1 n 1 n1 n

i 1 m

1 1 m n 1 m

1 n 11 1 m n 1 m

j j 1 j n j j

f :

f(x) f(x)df(x ,...,x ) dx ... dxx x

x (u ,...,u )

g(u)=f(x (u ,...,u ),... ,x (u ,...,u ) )

x x xg f(x) f(x) f(x)... f(x (u ,...,u ) ,...,x (u ,...,u ) ) ,...,u u x u x u u

n

j

xu

En general




Derivación Implícita

n

1 2 n

1 2 n1 2 n

k 1 k 1 k 1 n

j1 k n

1 j j j k j n j

i

j

j

f :

f(x ,x ,...,x ) C

f(x) f(x) f(x)dx dx ... dx 0x x x

x (x ,...,x ,x ,...,x )

xx x xf(x) f(x) f(x) f(x)... ... ... 0x x x x x x x x

x 0 i j (i,j k)x

f(x) fx

jk k

k j j

k

f(x)xx x(x) 0 f(x)x x xx




Interpretación de las derivadas direccionales.

Aproximación lineal de Primer Orden.

Aproximación de Segundo Orden.




Interpretación del signo de una derivada parcial y direccional.

Si la derivada parcial o direccional tiene signo positivo entonces la función crece si los valores de la variable aumentan en la dirección del vector en el que se calcula la derivada.

Si la derivada parcial o direccional tiene signo negativo indica que la función decrece si los valores de la variable aumentan en la dirección del vector en el que se calcula la derivada.




Ejemplos

1 2 3 1 2 3

1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3

f(x ,x ,x ) x x x

1 1 1f(x ,x ,x ) , ,2 x x x 2 x x x 2 x x x

f(1,4, 1) 2

1 1 1f(1,4, 1) , , (0,0,0)4 4 4

f((1,4, 1) (1,0,0)) f(2,4, 1) 5 f(1,4, 1) 2

f((1,4, 1) (0,1,0)) f(1,5, 1) 5 f(1,4, 1) 2

f((1,4, 1) (0,0,1)) f(1,4,0) 5 f(1,4, 1) 2




Ejemplos

f '[(1,4, 1);(1,1, 1)] f(1,4, 1) (1,1, 1) 1 0

f((1,4, 1) (1,1, 1)) f(2,5, 2) 5 f(1,4, 1) 2

f '[(1,4, 1);(1, 2, 1)] f(1,4, 1) (1, 2, 1) 1 0

f((1,4, 1) (1, 2, 1)) f(2,2, 2) 2 f(1,4, 1) 2




Interpretación del valor de una derivada parcial

El valor de una derivada parcial con respecto xi, con signo positivo, nos aproxima cuanto aumenta la función si se incrementa en una unidad el valor de la variable xi .

El valor de una derivada parcial con respecto xi, con signo negativo, nos aproxima cuanto disminuye la función si se incrementa en una unidad el valor de la variable xi .




Ejemplos

1 2 3 1 2 3

1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3

i

f(x ,x ,x ) x x x

1 1 1f(x ,x ,x ) , ,2 x x x 2 x x x 2 x x x

f(1,4, 1) 2

f 1,4,-11 1 1 1f(1,4, 1) , , (0,0,0); 4 4 4 x 4

1f((1,4, 1) (1,0,0)) f((1,4, 1)) 5 2 0'236 0'254




11 2 3 2 2

2 3

1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3

(1, 1,3)

2

xf x ,x ,x f' 1,1,-1 ; 2,-2,1x x 1

2x x2x x1 1 2 2f 1,1, 1 , , , ,x x 1 3 9 9x x 1 x x 1

f 1,1, 1 2f((1,1, 1) (0,1,0)) f 1,1, 1 0'17 0'22x 9




Interpretación del valor de una derivada direccional

El valor de , con signo positivo, nos aproxima cuanto

aumenta la función si nos desplazamos , es decir, uu

uf ' x,u

u uf x f x f ' x,u u




Interpretación del valor de una derivada direccional

El valor de , con signo negativo, nos aproxima cuanto

disminuye la función si nos desplazamos , es decir, uu

uf ' x,u

u uf x f x f ' x,u u




Ejemplos

1 2 3 1 2 3

1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3

f(x ,x ,x ) x x x

1 1 1f(x ,x ,x ) , ,2 x x x 2 x x x 2 x x x

f(1,4, 1) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1f(1,4, 1) , , ; f' 1,4, 1 ; , , , , , ,4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4

1 1 1f (1,4, 1) , ,3 3 3

1 1 1f(1,4, 1) 2'236 f' 1,4, 1 ; , , 0'253 3 3




11 2 3 2 2

2 3

1 31 22 2 2 22 2 2 22 3 2 3 2 3

(1,1, 1)

xf x ,x ,x x x 1

2x x2x x1 1 2 2f 1,1, 1 , , , ,x x 1 3 9 9x x 1 x x 1

1 1 1 3f ' 1,1, 1 ; , ,93 3 3

1 1 1 1f((1,1, 1) , , ) f 1,1, 1 0'21 f ' 1,1, 1 ;3 3 3 3

1 1, , 0'203 3




Aproximación Lineal

o

De Primer Orden




Para el caso de una variable la aproximación lineal se realiza con los valores de la recta tangente.

En el caso de varias variables la aproximación lineal, o de primer orden, se realiza con los valores del plano tangente.

Por tanto si x B a;

f(x) f(a) f(a)(x a)

La aproximación es mejor para épsilon pequeño




Aproximación Cuadrática

o

De Segundo Orden




Para el caso de una variable la aproximación lineal se realiza con la fórmula de Taylor de Segundo Orden.

En el caso de varias variables se realiza de forma análoga.

Por tanto si

x B a;

La aproximación es mejor para épsilon pequeño

1f(x) f(a) f(a)(x a) (x a)'Hf a (x a)2




Ejemplo

2 2

2 2

f(x,y) x y

f(1,1) 2,2

2 0Hf 1,1

0 2

f(1'01,1'01) 2'0402 2 0'02 0'02 2'0400

f(1'01,1'01) 2'0402 2 0'02 0'02 2(0'01) 2(0'01) 2'0404

Matematicas II Bloque I

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